DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1

Size: px

Start display at page:

Download "DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1"

Norah Hoover
5 years ago
Views:

1 DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1 Abstract This article is devoted to the study of two fundamental and reciprocal questions: when do three given points lie on a single line, and when do three given lines pass through a single point? The techniques we describe in this article will be augmented by more sophisticated approaches, such as the Papus s theorems, the Desargues s theorems, the Pascal s theorem, the Brianchon s theorem and the Newton s theorem The formalism of projective geometry makes a discussion of such properties possible, and exposes some remarkable facts, such as the duality of points and lineswhile technique cross-ratio of four points, and in the light of duality the cross-ratio of four lines can be useful on contest problems, much of the material here is considered too advanced for primary and secondary school educationthis is a pity, as some of the most beautiful classical geometry appears only in the projective geometry Key words: cross-ratio, bivalent range, harmonic range, harmonic conjugate, concurrence and collinearity AMS Classification 51-xx,51Axx, 51A5 Scopul principal al rezultatelor de mai jos este familiarizarea cititorilor cu noi metode (puţin cunoscute chiar de profesorii de matematică) de rezolvare a problemelor de concurenţă şi coliniaritate şi anume cu tehnicile oferite de proprietăţile fasciculelor anarmonice Considerăm fig1 unde S( a, b, d) sau S( A, B, D) reprezintă un fascicul convergent, cu punctul S propriu de raze a, b, d sau SA, SB, S SD şi fig2 în care S ( a, b, d) este un fascicul paralel de raze a, b, d sau SA, SB, S SD cu punctul S impropriu S Fig1 Fig2 A B C D A B C D a b c d a b c d 1 Prof, Şc George Emil Palade, Buzău, Romania Str Micro V, Bl36, Ap15, Buzau, cod 1257, stanciuneculai@yahoocom

2 CA DA Dacă diviziunea ABCD) def : CB DB fasciculul ataşat S(ABCD) se numeşte fascicul armonic ( este diviziune armonică (ABCD 1 Biraportul ataşat unui fascicul convergent Fie fasciculul S ( tăiat de secanta (vezi fig1) în punctele A a, B b, C D d Dacă S(XYZ ) şi Z, XY not CA CA h 2 S( CSA) S( CSA) XSY, h d( S, ), atunci CB CB h 2 S( CSB) S( CSB) CA ( ABCD ) CB sin( ca) sin( da) : sin( cb) sin( db) : ) atunci not aria triunghiului de vârfuri DA S( CSA) S( DSA) SC SA sin( ca) SD SA sin( da) : : DB S( CSB) S( DSB) SC SB sin( cb) SD SB sin( db) not sin( ca) sin( da) Dacă S( :, atunci rezultă ( ABCD) S( sin( cb) sin( db) Teoreme de invarianţă Teorema 1Fiind date pe dreapta, punctele fixe A, B, D Pentru orice S, notăm a SA, b SB, c S d SD Biraportul ataşat fasciculului S ( este invariant DemonstraţieFie S, S, ca în fig3 S Fig3 S X, Y A B C D a b c d a b c d Din S( ( ABCD) şi S ( abcd ) ( ABCD) rezultă S( S( abcd ) (qed) Teorema 2Fiind dat fasciculul fix de vârf S şi raze a, b, d Pentru orice secantă care intersectează razele fasciculului în A a, B b, C c, şi D d, biraportul ataşat diviziunii (ABCD) este invariant DemonstraţieFie şi două secante oarecare (fig4), care intersectează razele fasciculului în punctele A, B, D şi A, B, D

3 S Fig4 A B C D A B C D Avem ( ABCD) S( şi ( A BCD ) S( Rezultă ( ABCD) ( ABC D) (qed) Fasciculul tăiat de o secantă paralelă cu una din raze Fie fasciculul S( şi a (fig5) Fig5 S C D A C B a b c d D CA DA CA SA (1) S( ( ABCD ) :,(2) CAS CBC, CB DB CB CB DA SA (3) DAS DBD Din (1),(2) şi (3) rezultă : DB DB SA SA 1 1 S( : : ( ABCD ) CB DB CB DB 1 1 Avem următoarea regulă mnemotehnică pentru scrierea valorii biraportului : CB DB Deoarece a scriem a Ai (punctul impropriu pe direcţia paralelelor a ), CAi DAi S( : şi luom CA i : DA i 1 (trecerea la limită A Ai ) CB DB 1 1 S( : CB DB ConsecinţăFie B, D puncte fixe pe dreapta, a, S a, SB b, SC SD d Atunci S a, S( este invariant CAi DAi 1 1 DemonstraţieFie A i a S( ( Ai BCD) : : =constant CB DB CB DB Teorema 3Fie A, B, D puncte fixe pe C( O; şi M C( O; (fig6)dacă MA a, MB b, MC MD d atunci, M C( O; M ( este invariant

4 sin( ca) sin( da) Demonstraţie M ( : =constant, deoarece A, B, D sunt puncte fixe şi sin( cb) sin( db) CBA CB DCBA DCB ca =ct, cb =ct, da =ct, db =ct Observaţie Din figura 6 rezultă M ( ABCD) M ( ABC D) Teorema 4 Fie A, B, şi D puncte fixe pe C( O; iar, a, b, şi d tangentele în cele patru puncte la cercul C ( O; Atunci oricarea ar fi tangenta t la cercul C( O; în punctul T C( O;, punctele A1 a t, B1 b t, C1 c t şi D1 d t formează o diviziune anarmonică ( A1 B1C1 D1 ) invariantă DemonstraţieConsiderăm fig7 Fig7 Avem ( A1 B1C1 D1 ) O( A1 B1C1 D1 ) Formăm apoi fasciculul cu vârful în T şi raze TA OA1, TB OB 1, TC OC1 şi TD OD1 Deci T ( ABCD) O( A1 B1C1 D1 ) Obţinem ( ) CBA CB DA BCD A1 B1C1 D1 T ( ABCD) (sin : sin ) : (sin : sin ) =constant Teorema 5Pe cercul C( O; considerăm punctele distincte A, B, D şi tangentele a, b, d în aceste puncte la cerc (fig8)avem egalităţile: A( abcd) B( AbCD) C( ABcD) D( ABCd ) Demonstraţie A ( abcd) (sin CAa : sin CAB) : (sin DAa : sin DAB) CDA BC DA BCD = (sin : sin ) : (sin : sin ) r constant= B( AbCD) C( ABcD) D( ABCd) (din egalităţi de sinusuri)

5 Fig 8 Observaţie Teorema 5 reprezintă cazul limită a teoremei 3 în care punctul M de pe C ( O; coincide cu unl din punctele A, B, C sau D Teorema 6Pe cercul C ( O; se consideră punctele distincte A, B, D şi tangentele la cerc în aceste puncte: a, b, d (fig9) Dacă notăm E a b, F b G c d, H d a, I b d şi J a atunci avem egalităţile: ( AEJH) ( EBFI ) ( JFCG) ( HIGD) DemonstraţieConsiderăm fasciculul cu vârful în O şi raze OA, OE, OJ şi OH H J Fig9 OAEJH, apoi fasciculul cu vârful în A şi razele perpendiculare pe razele fasciculului anterior : a OA, AB OE, AC OJ respectiv AD OH, A(aBCD) şi avem : ( AEJH) O( AEJH ) A( abcd) Analog se obţin şi relaţiile: ( EBFI ) O( EBFI ) B( AbCD) ; ( JFCG) O( JFCG) C( ABcD) ; ( HIGD) O( HIGD) D( ABCd) Acum aplicăm relaţii între sinusuri, ca în teorema 5, pe care aici le detaliem astfel: CDA ABC CDA CAa CBA cca şi CDA, rezultă: CDA sin( CAa) sin( CBA) sin( cca) sin( CDA) sin( ) şi analoagele CB sin( CAB) sin( CBb) sin( ccb) sin( CDB) sin( )

6 DA sin( DAa) sin( DBA) sin( DCA) sin( dda) sin( ) DAB sin( DAB) sin( DBb) sin( DCB) sin( ddb) sin( ) Ţinând seama de aceste valori putem scrie: CDA CB DA DAB A( abcd) B( AbCD) C( ABcD) D( ABCd) (sin : sin ) : (sin : sin ) (qed) Observaţie Teorema 6 reprezintă cazul limită al teoremei 4 în care tangenta t la cercul C ( O; coincide cu una din tangentele a, b, d Teoreme de concurenţă şi coliniaritate Teorema 7 Dacă două diviziuni anarmonice egale ( ABCD) ( ABC D) au un punct comun A, atunci dreptele BB, CC şi DD sunt concurente DemonstraţieAvem fig1 O A B C D B C D D Fig1 Fie O BB CC şi D OD Din teorema 2 rezultă ( ABCD) ( ABC D ) iar, din ipoteză avem ( ABCD) ( ABCD ) Deci ( AB CD ) ( ABCD ), apoi din teorema I5 se obţine D D (qed) Teorema 8Dacă două fascicule anarmonice egale S( S( abcd ) au o rază comună SS a, atunci punctele de intersecţie ale celor trei perechi de raze corespondente: B b b, C c D d d sunt coliniare

7 S Fig11 a b c d A B C D D b c d S Demonstraţie Fie A BC a, D BC d şi D DC d(fig11) Din ipoteză rezultă (1) S( S( abcd ) Intersectând fasciculul S ( cu secanta BC rezultă (2) S( ( ABCD) Intersectând fasciculul S( abcd ) cu secanta BC rezultă (3) S ( abcd ) ( ABCD) Din cele trei relaţii avem ( ABCD) ( ABCD), apoi din teorema I5 se obţine D D (qed) Propun în încheiere câteva teoreme clasice ce pot fi atacate cu tehnicile fasciculelor anarmonice(teoremele 7 şi 8) AplicaţiiTeoreme clasice(se demonstrează cel mai simplu cu teoremele 7 şi 8) Teorema 9 Prima teoremă a lui Papus În ABC fie A, B, C trei puncte coliniare situate pe laturile BC, CA, AB şi BB CC M, AM BC A1 În aceste condiţii A şi A 1 sunt conjugate armonic în raport cu B şi C, adică ( BC AA1 ) 1 Teorema 1 A doua teoremă a lui Papus Pe două drepte şi luom trei şiruri de puncte arbitrare A, B, C respectiv A, B, C Intersecţiile U BC B V CA CA şi W AB AB sunt trei puncte coliniare Teorema 11 Teorema plană a lui Desargues, directă şi reciprocă Dacă două triunghiuri au vârfurile aşezate pe trei drepte concurente atunci laturile lor corespunzătoare se taie în trei puncte coliniare şi reciproc dacă intersecţia perechilor de laturi a două triunghiuri sunt coliniare atunci vârfurile corespunzătoare sunt aşezate pe trei drepte concurente Având în vedere că teorema rămâne valabilă şi în cazul în care punctul de concurenţă al celor trei drepte este impropriu iar unul sau toate cele trei puncte de intersecţie pot fi improprii enunţul poate fi reformulate astfel: Fie trei drepte a, b, c pe care luom : A, A a ; B, B b ; C c Dreptele a, b, c sunt concurente în O (propriu sau impropriu) dacă şi numai dacă intersecţiile A BC BC, B CA CA şi C AB AB sunt situate pe o dreaptă (proprie sau improprie)spunem că ABC şi ABC sunt omologice, O este centrul omologiei şi B C este axa omologiei Teorema 12 Teorema lui Desargues directă cazul spaţial Fie Oabc fasciculul de vârf O - propriu sau O i - impropriu şi A, A a; B, B b; C c În aceste condiţii, punctele proprii sau improprii

8 A BC BC, B CA CA C AB AB sunt coliniare pe dreapta d (proprie ) sau, d (improprie) i Teorema 13 Teorema lui Desargues reciprocă cazul spaţial Fie A BC BC, B CA CA C AB AB coliniare pe dreapta d (proprie ) sau, d i (improprie)atunci AA BB CC O Observaţie Şi în cazul plan (teorema II11), omologia de centru O - propriu şi axă improprie este o omotetie, iar omologia de centru impropriu şi axă improprie este o translaţie Teorema 14Teorema lui Pascal pentru hexagon Într-un hexagon înscris într-un cer laturile opuse se taie în puncte coliniare Teorema 15Teorema lui Pascal pentru patrulatere înscrise Într-un patrulater inscriptibil, inersecţiile laturilor opuse şi cele ale tangentelor la cercul circumscris duse prin perechile de vârfuri opuse sunt 4 puncte coliniare Teorema 16Teorema lui Brianchon Într-un hexagon circumscris unui cerc diagonalele sunt concurente Teorema 17Teorema lui Newton Într-un patrulater circumscriptibil, cele două diagonale împreună cu cele două drepte determinate de punctele de contact ale perechilor de laturi opuse cu cercul înscris, sunt patru drepte concurente Teorema 18Într-un trapez isoscel, intersecţia laturilor neparalele şi intersecţiile tangentelor duse prin vârfurile opuse la cercul circumscris trapezului, sunt puncte coliniare pe o dreaptă paralelă cu bazele Teorema 19Raportul anarmonic al unui fascicul este egal cu raportul anarmonic al coeficienţilor unghiulari ai razelor fasciculului BIBLIOGRAFIE: [1] Nicolescu, L, Boskoff, W, Probleme practice de geometrie, Ed Tehnică, Bucureşti, 199 [2] Mihăileanu, N N, Complemente de geometrie sintetică, EDP, Bucureşti, 1965 [3] [4] [5] [6] [7] [8]

GRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat

GRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat GRAFURI NEORIENTATE 1. Notiunea de graf neorientat Se numeşte graf neorientat o pereche ordonată de multimi notată G=(V, M) unde: V : este o multime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc noduri