RECREAŢ II MATEMATICE

Transcription

1 Anul XII, Nr. Iulie Decembrie RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Universitatea Al. I. Cuza din Iaşi (86 ) e iπ = Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI -

2 Semnificaţia formulei de pe copertă: iπ Într-o formă concisă, formula e = leagă cele patru ramuri fundamentale ale matematicii: ARITMETICA reprezentată de GEOMETRIA reprezentată de ALGEBRA reprezentată de i ANALIZA MATEMATICĂ reprezentată de e Redacţia revistei : Petru ASAFTEI, Dumitru BĂTINEŢU-GIURGIU (Bucureşti), Temistocle BÎRSAN, Dan BRÂNZEI, Alexandru CĂRĂUŞU, Constantin CHIRILĂ, Eugenia COHAL, Adrian CORDUNEANU, Mihai CRĂCIUN (Paşcani), Paraschiva GALIA, Paul GEORGESCU, Mihai HAIVAS, Gheorghe IUREA, Lucian-Georges LĂDUNCĂ, Mircea LUPAN, Gabriel MÎRŞANU, Alexandru NEGRESCU (student, Iaşi), Gabriel POPA, Dan POPESCU (Suceava), Florin POPOVICI (Braşov), Maria RACU, Neculai ROMAN (Mirceşti), Ioan SĂCĂLEANU (Hârlău), Ioan ŞERDEAN (Orăştie), Dan TIBA (Bucureşti), Marian TETIVA (Bârlad), Lucian TUŢESCU (Craiova), Adrian ZANOSCHI, Titu ZVONARU (Comăneşti) COPYRIGHT, ASOCIAŢIA RECREAŢII MATEMATICE Toate drepturile aparţin Asociaţiei Recreaţii Matematice. Reproducerea integrală sau parţială a textului sau a ilustraţiilor din această revistă este posibilă numai cu acordul prealabil scris al acesteia. Se consideră că autorii materialelor trimise redacţiei revistei sunt, în mod implicit, de acord cu publicarea lor, îşi asumă responsabilitatea conţinutului lor şi cedează Asociaţiei Recreaţii Matematice dreptul de proprietate intelectuală asupra acestora. TIPĂRITĂ LA BLUE SIM & Co IAŞI Bd. Carol I, nr. 3-5 Tel. 33, simonaslf@yahoo.com ISSN

3 Anul XII, Nr. Iulie Decembrie RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI e iπ = Revistă cu apariţie semestrială EDITURA RECREAŢII MATEMATICE IAŞI -

4 .

5 Universitatea ieşeană la aniversare Anul curent este considerat ca fiind cel de-al 5-lea an de existenţă a Universităţii Al.I. Cuza şi este sărbătorit prin mai multe acţiuni academice, dedicate evenimentului. Desigur, chiar cu acceptarea ideii că anul 86 este anul de naştere al venerabilei instituţii, universitatea ieşeană este tot cea mai veche din ţară, iar progresul pe care l-a realizat este confirmat şi de includerea ei în grupul Coimbra. Poate chiar mai semnificativ decât această apartenenţă este faptul că mai mulţi tineri profesori ce şi-au început pe băncile ei ucenicia sunt acum titulari de catedre universitare la unele universităţi de mare faimă în lume: Paris, Oxford, Brown (Providence), Berkeley (California), Stanford şi altele. Situaţia îmi este cunoscută numai pentru matematicieni şi bănuiesc că şi alte domenii pot da exemple similare. Din trecut putem indica nume sonore, care au dus reputaţia universităţii ieşene dincolo de hotarele României. Istoricul A.D. Xenopol este primul român care a fost ales membru al Academiei Franceze, după Dimitrie Cantemir (acesta la Academia Prusiană de ştiinţe). Horia Hulubei, pe când era profesor la Iaşi, a devenit membru corespondent al Academiei Franceze. Alt fizician de la Iaşi, Ştefan Procopiu, a făcut un nume bun pentru universitatea din Iaşi, precum şi Gheorghe Brătianu, ale cărui lucrări sunt frecvent utilizate în cercetarea istorică mondială contemporană. Cu toate acestea, Universitatea din Iaşi, înfiinţată prin decret al domnitorului Alexandru Ioan Cuza şi purtând semnătura primului său ministru, Mihail Kogălniceanu, fost profesor al Academiei Mihăilene, nu este prima instituţie din ţările române care să-şi poată apropria titlul universitar. Ea este o a doua treaptă în evoluţia Academiei Mihăilene, întemeiată la 835, sub domnia lui Mihalache Sturza, cu aportul substanţial al părintelui educaţiei moderne din Moldova Gheorghe Asachi. În discursul pronunţat la deschiderea Academiei Mihăilene, acesta spunea că înfiinţarea acestei instituţii are menirea de a ridica la un rang superior şcoala din Principatul Moldovei în acord cu nivelul luminatei Europe. 93

6 La Academia Mihăileană, a cărei existenţă a fost marcată de evenimentele politico-sociale ale timpului, a rostit Mihail Kogălniceanu discursul său istoric, în deschiderea primului curs ţinut vreodată la noi de Istorie Naţională. Tot aici, Dimitrie Asachi, fiul lui Gh. Asachi, a tipărit primul curs de topografie în limba română. El a fost şi unul dintre primii români care a făcut cercetare matematică originală. În cartea Învăţământul românesc în date de Mihai Bordeianu, fost director al Bibliotecii Universitare Mihai Eminescu din Iaşi, şi Petru Vladcovschi, cercetător, se poate vedea pe bază de documente că Academia Mihăileană a fost o instituţie de rang universitar, comparabilă cu multe alte instituţii similare din Europa. Există în această lucrare o listă detaliată a diferitelor discipline de învăţământ, cu indicaţii asupra conţinutului cursurilor, care arată fără îndoială faptul că această Academie servea aceleaşi ţeluri ca şi universităţile europene din alte ţări, având mulţi profesori formaţi în marile centre universitare apusene, ei fiind atât din Moldova cât şi din Muntenia sau Transilvania. Înfiinţarea universităţii ieşene, la un an după Unirea Principatelor, a fost o simplă formalitate regizată de Mihail Kogălniceanu. De fapt, drapelele mai multor facultăţi existente în Muzeul universităţii sunt datate cu mulţi ani înainte de 86. Mai mult, studenţii ce existau la Academia Mihăileană, cât şi un mare număr dintre profesorii săi, au devenit automat studenţi sau profesori ai acesteia. Aşa încât, la un an după înfiinţare, Universitatea a putut acorda prima diplomă din istoria sa trunchiată. Primii profesori ai universităţii, în cea mai mare parte fără titlu de doctor, i-au propus lui Simion Bărnuţiu, cu doctorat la Viena, să devină primul rector. Acesta a declinat politicos oferta, invocând faptul că este cetăţean al Imperiului Austriac. Simion Bărnuţiu provenea de la Academia Mihăileană, unde predase cursuri de nivel european. Trebuie menţionat faptul că în anul 935, a fost sărbătorit de către universitarii ieşeni Centenarul Universităţii Mihăilene. Printre profesorii din acea vreme se numărau personalităţi ca: Alexandru Myller, Grigore Moisil, Octav Mayer, Ştefan Procopiu, Petre Andrei, Iorgu Iordan, Petru Caraman, Ioan Plăcinţeanu, Mihai Ralea, I. Borcea, a căror operă ştiinţifică se bucura de recunoaştere internaţională. Peste 5 de ani, în anul 96, s-a sărbătorit din nou centenarul universităţii ieşene, fireşte, prin ignorarea sau minimalizarea rolului Academiei Mihăilene, prin nerecunoaşterea acesteia ca primă universitate a ţării cu limba de predare româna. 94

7 Acest prejudiciu adus, în ultimă instanţă, primei universităţi româneşti, nu poate fi acoperit de manifestarea oarecum pompoasă, presărată cu alocuţiuni pronunţate într-un veritabil limbaj de lemn de mulţi vorbitori. Rectorul Universităţii V.I. Lenin din Chişinău ne-a salutat la sfârşitul mesajului său rostit în limba rusă cu Trăiască Univerzitetul din Iaşi, aceasta în limba română. Ca participant la deschiderea acestor solemnităţi, mi-au procurat adevărate satisfacţii mesajele rostite, într-o limba română de înaltă calitate, de Alf Lombard (Suedia) şi Carlo Tagliavini de la Universitatea din Padova. Argumentul invocat de cei ce au hotărât repetiţia sărbătoririi Centenarului Universităţii din Iaşi se reduce, în fond, la faptul că Mihalache Sturza a emis, în 84, un decret de desfiinţare a Academiei, probabil îngrijorat de activitatea studenţilor care erau sub influenţa ideilor revoluţionarilor de la 848, ca peste tot în Europa. Facultăţile acesteia şiau păstrat totuşi existenţa, devenind apoi părţi componente ale Universităţii ieşene. Întreruperi şi alte dificultăţi au apărut şi la alte instituţii similare din alte ţări. Cu toate acestea, multe instituţii de învăţământ superior şi-au păstrat identitatea şi continuitatea. De ce s-a petrecut altfel la noi, contrar părerii lui A.D. Xenopol, figură de prim rang în istoria universităţii ieşene? Cred că valul sovromculturii, dominantă în acea perioadă a contribuit la această situaţie oarecum anormală, contrar tradiţiilor academice şi intereselor noastre culturale. Luând în consideraţie Academia Mihăileană şi rolul ei de a promova învăţământul superior din Moldova în limba română, trebuie să concludem că în anul sărbătorim cea de a 75-a aniversare a primei universităţi româneşti. Cu ocazia Centenarului Seminarului Matematic Al. Myller, organizat la Iaşi în zilele de -6 iunie, s-au putut constata progresele realizate în acest sector al cunoaşterii. Fireşte, acest lucru a fost posibil datorită faptului că în anul 835, apoi în anul 86, oameni luminaţi au pus bazele necesare construirii unui viitor fecund educaţiei superioare a tinerilor. Constantin CORDUNEANU University of Texas, Arlington 95

8 Centenarul Societăţii de Ştiinţe Matematice din România În vara anului 99, la via lui Ion Ionescu de la Valea Călugărească, a avut loc o şedinţă a redactorilor Gazetei Matematice în care s-a hotărât înfiinţarea unei societăţi pentru îndeplinirea unor forme legale, adică a unei societăţi care să dea o acoperire juridică întregii activităţi desfăşurate în jurul revistei menţionate mai sus. O comisie formată din Vasile Cristescu, Andrei Ioachimescu, Ion Ionescu, Traian Lalescu, I.D. Teodor şi Gheorghe Ţiţeica s-a ocupat de redactarea documentelor necesare recunoaşterii oficiale a noii societăţi. Proiectul depus şi apoi votat în camerele parlamentului devine lege. În cuvântul luat în Senat, de sprijin pentru noua societate, Spiru Haret spune: A contribuit mai mult decât orice altă instituţiune pentru dezvoltarea şi întărirea învăţământului matematic. Regele Carol I promulgă legea prin Decretul 3798 din 8 decembrie 9. Aceasta este data înfiinţării Societăţii Gazeta Matematică. Societatea este administrată de o Delegaţie compusă din doi membri aleşi pentru doi ani, fără dreptul de a fi realeşi imediat, şi un casier ales pentru cinci ani, care poate fi reales. Prin delegaţi erau coordonate diversele activităţi: delegat pentru aritmetică, delegat pentru examinarea notelor şi articolelor etc. De menţionat, Gh. Ţiţeica a fost, până la sfârşitul vieţii sale, delegat pentru întocmirea rapoartelor. În 94, ca urmare a Legii persoanelor juridice, se aduc modificări statutului, iar societatea trece sub tutela Ministerului Instrucţiunii, Cultelor şi Artelor. În anul 935 este inaugurată Casa Gazetei Matematice, rezultat al unor contribuţii particulare felurite (teren de amplasare, execuţia lucrării, donaţii etc.) şi sprijinului statului. (Acest local a fost confiscat abuziv în 949 de puterea comunistă şi nici astăzi lucrurile nu s-au clarificat.) Tot în 935 a fost organizat un mare jubileu la 4 de ani de la apariţia Gazetei Matematice. Semicentenarul acesteia a fost sărbătorit în 945, în condiţiile grele de după război. Cu instalarea puterii comuniste, s-a instaurat în ţară o atmosferă apăsătoare de nesiguranţă şi abuzuri; o serie de membri marcanţi ai Societăţii Gazeta Matematică sunt arestaţi şi sfârşesc în închisori, iar Societatea însăşi dispare. În locul ei este înfiinţată Societatea de Ştiinţe Matematice şi Fizice din R.P.R., iar revista Gazeta Matematică devine Gazeta Matematică şi Fizică. Au urmat şi alte schimbări în structura organizatorică a noii societăţi şi a publicaţiei (publicaţiilor) tutelate. În 964, prin separarea secţiei de matematică de cea de fizică, ia fiinţă Societatea de Ştiinţe Matematice, care publică Gazeta Matematică în doua serii: A şi B. Vor mai urma şi alte schimbări şi raţionalizări... Din anul 98, a fost reluat Concursul Gazetei Matematice sub numele de Concursul anual al rezolvitorilor. S.S.M.R. este partener, alături de Ministerul Învăţământului şi Cercetării în organizarea olimpiadelor pentru elevi, naţionale şi internaţionale. În 995, o amplă manifestare a fost dedicată Centenarului Gazetei Matematice. Statul Român a conferit, în anul 5, Ordinul Meritul Cultural în grad de Ofiţer revistei Gazeta Matematică. 96 Redacţia

9 Strofoida câteva proprietăţi elementare Temistocle BÎRSAN Abstract. In this note, some elementary properties of the strophoid are given. The whole content is accessible to highschool students and section can be understood by junior highschool students as well. Keywords: strophoid, ellipse, hyperbola, parabola. MSC : 53A4. Scopul propus este de a prezenta, în limitele cunoştinţelor de geometrie dobândite în cursul şcolii, începând cu cele din clasa a VI-a, câteva proprietăţi ale strofoidei. În mod necesar, selecţia acestora a fost severă, dar sperăm că faptele reţinute sunt suficiente pentru introducerea cititorului în universul fascinant al strofoidei. Nume ilustre sunt legate de studiul acestei curbe: E. Torricelli (645), G.P. Roberval (645), I. Barrow (97), Jean Bernoulli, A.L.J. Quételet (9) ş.a. Denumirea de strofoidă i-a fost dată de E. Montucci în 846 (στ ρoφoς (strophos)=cordon/sfoară răsucit(ă), ειδoς (eidos)=aspect). Alte denumiri: pteroides torricellana, logociclica, focala lui Quételet.. Fie date un punct A şi o dreaptă care nu-l conţine. Fie O proiecţia punctului A pe. O dreaptă variabilă d ce trece prin A intersectează în P. Vom numi strofoidă locul geometric al S d punctelor S şi S situate pe d şi verificând condiţia P S = P S = P P O. Punctul A se va numi vârful strofoidei, O-centrul său, iar S O -axa sa (fig. ). Când d variază astfel încât P parcurge axa A de sus în jos, punctul S descrie ramura de strofoidă indicată de săgeţile pline, iar S descrie ramura indicată de săgeţile întrerupte; S se îndreaptă către A, iar S porneşte din A (vom stabili riguros forma curbei în secţiunea ). Evident, condiţia P S = P S = P O implică faptul că O, S, S se află pe cercul cu centrul în P şi tangent la OA. Ca urmare, are loc Fig. Propoziţia. Strofoida este locul geometric al intersecţiilor cercurilor tangente în O la OA cu diametrii lor care trec prin vârful A. M Vom utiliza mai jos notaţiile C A şi C O pentru cercurile S C(A, AO) şi C(O, OA). O nouă caracterizare a strofoidei va S decurge imediat din lema următoare (demonstraţia căreia utilizează relaţia între unghiurile cu laturile perpendiculare): Lemă. Fie M intersecţia perpendicularelor în A pe AS A O şi în O pe OS. Atunci, S satisface condiţia P S = P O dacă şi M numai dacă M C A. Afirmaţie similară relativă la punctele Fig. S şi M (fig. ). Prof. dr., Catedra de matematică, Univ. Tehnică Gh. Asachi, Iaşi 97

10 Propoziţia. Strofoida este locul punctelor S cu proprietatea că perpendicularele în A şi O pe dreptele AS şi respectiv OS se intersectează pe C A. Propoziţia 3. Strofoida (de vârf A şi centru O) este locul ortocentrelor H ale triunghiurilor MAO, unde M este un punct mobil pe C O. Demonstraţie. Dacă M C O şi H este ortocentrul triunghiului MAO, atunci OL este axă de simetrie a triunghiului isoscel OAM M şi avem ÕAHL ÖM HL. Rezultă că ÕP HO ÕP OH sau P H P O, adică H este pe strofoidă. L P Invers, dacă H este un punct pe strofoidă (pe arcul superior al buclei în fig. 3), notăm cu M intersecţia paralelei O A H prin H la axa a strofoidei. Se arată, pe cale inversă, că P H HO implicăõahl ÖMHL şi apoi că AHO MHO (cazul LLU!) şi se obţine că OL AM. Cum şi MH AO (prin construcţia punctului M), rezultă că H Fig. 3 este ortocentru în M AO, ceea ce încheie demonstraţia. Propoziţia 4. Dreptele şi trec prin punctele O şi respectiv A şi sunt perpendiculare pe AO. Fie M mobil şi N = pr M. Locul geometric al simetricelor punctelor N faţă de dreapta AM este strofoida de vârf A şi centru O. Demonstraţie. Fie {P } = AS OM (fig. 4). Dacă S se obţine din M ca în enunţ, atunci triunghiurile ANS şi P AM sunt isoscele şi avem AS = AN = MO şi AP = MP. Deci P S = AS AP = MO MP = P O, adică P S = P O şi punctul P aparţine strofoidei. Invers, dacă S este pe strofoidă, fie M punctul obţinut intersectând cu paralela prin A la OS. Din P S = P O şi P SO P AM deducem AP = MP şi apoi AS = OM. Dacă N = pr M, urmează că triunghiul ANS este isoscel. Din AM OS şi rezultă uşor că (AM este bisectoarea unghiuluiõn AS, deci şi mediatoarea segmentului [N S], adică S A este simetricul lui N faţă de AM şi demonstraţia este completă. Fig. 4 Cititorul va putea rezolva, cu mijloacele la fel de elementare, problemele: N M Problema. Fie date punctele A şi O şi fie, perpendicularele în O şi respectiv A pe AO. Se consideră un punct M mobil şi fie S punctul în care dreapta OM retaie cercul de centru A ce trece prin M. Arătaţi că locul punctului S este strofoida de vârf A şi centru O. Problema. Fie B punctul diametral opus lui A în cercul C O şi M C O mobil. Arătaţi că strofoida de vârf A şi centru O este locul punctelor S de intersecţie a perpendicularei prin M pe AO cu paralela prin O la MB. Problema 3. Arătaţi că, dacă M este un punct mobil pe C O, atunci locul centrului cercului înscris în triunghiul MAO este bucla strofoidei de vârf O şi centru A.. Unele proprietăţi ale strofoidei necesită cunoştinţe de geometrie mai avansate. Vom prezenta câteva dintre acestea, cu grija de a rămâne în limitele programelor. 98 P O S

11 Propoziţie 5. Transformata strofoidei prin inversiune faţă de cercul C A este curba însăşi. Demonstraţie. Să arătăm că punctele S şi S (fig. ) sunt inverse în raport cu C A. Într-adevăr, punctele A, S şi S sunt coliniare şi avem AS AS = (AP + P S) (AP P S ) = (AP + P O) (AP P O) = AP P O = AO, deci AS AS = AO. În continuare, vom abandona abordarea sintetică a problemelor, preferând utilizarea metodei coordonatelor. Vom lua originea axelor de coordonate în punctul O-centrul strofoidei (fig.), dreapta AO cu sensul de parcurs de la A la O ca axă a x-lor şi ca axă a y-lor. Considerând AO = a, avem A( a, ). Ca parametru luăm ordonata t a punctului variabil P, adică P (, t), t R. Fie S(x, y) pe dreapta AP : y = t a (x+a). Condiţia P S = P O se scrieèx + (y t) = t. Sistemul acestor două ecuaţii se mai scrie: x + y yt = şi t = ay. Introducând t în prima x + a ecuaţie, obţinem, după câteva calcule simple, ecuaţia carteziană a strofoidei: () x(x + y ) = a(y x ) sau, în formă explicită, () y = ±xra + x a x, x [ a, a). Pentru ramura strofoidei cu + avem: lim y = + (dreapta x = a este asimptotă), y = x + ax + a x a (a x) a x cu x = a ( 5) singura ei rădăcină în [ a, a) şi tabelul de variaţie a x a ( 5) a y y, 3a + Graficul strofoidei este compus din graficul acestei ramuri şi al simetricului său faţă de axa x-lor (fig. ). Tangentele în origine la strofoidă sunt bisectoarele axelor de coordonate. Pentru calculul ariei buclei de strofoidă avem (cu substituţiileéa + x a x = t şi t = tg u) succesiv: + x t A = Z x ra dx = 8aZ (t ) a a x (t + ) 3 dt = Zπ 4 = 8a sin u cos u du = π a. Pentru aria domendiului cuprins între strofoidă şi asimptota sa obţinem, în urma unui calcul similar, A = + π a. Aria totală a domeniului mărginit de strofoidă şi asimptota sa este A=A +A =4a, adică de patru ori aria pătratului de latură AO. Intersectând strofoida dată prin () cu dreapta y = tx dusă prin nodul ei, obţinem 99

12 ecuaţiile parametrice: (3) x = a t + t, y = at( t ) + t ; tot din () se obţine şi ecuaţia polară a strofoidei cos θ (4) ρ = a cos θ P y A O x (ρ =x +y =a y x x =aρ sin θ cos θ cos θ = aρ cos θ cos θ ). Fig. 5 Proprietăţile următoare indică legături ale strofoidei cu curbele de ordinul doi familiare: parabola, elipsa şi hiperbola. Propoziţia 6. Fie P o parabolă de vârf A şi O intersecţia axei cu directoarea sa. Locul proiecţiilor lui O pe tangentele la P într-un punct mobil al ei este strofoida de vârf A şi centru O. Demonstraţie. Alegem O ca origine, axa parabolei ca axa x-lor şi directoarea ca axă a y-lor. Atunci P are ecuaţia y = 4a(x + a). Fie (α, β) P un punct mobil. Impunând condiţiile din enunţ obţinem ecuaţiile: β = 4a(α + a) punctul (α, β) P, βy = a(x + a + α + a) ecuaţia tangentei în (α, β) şi y = β a x ecuaţia perpendicularei în O pe tangentă. Eliminăm α şi β din sistemul acestor ecuaţii: β = ay se introduce în a doua ecuaţie şi se obţine α + a = y x x + x + a. Înlocuind acestea în prima ecuaţie, vom găsi ca ecuaţie a locului tocmai ecuaţia carteziană () a strofoidei. Observaţie. Date o curbă Γ şi un punct fix A, se numeşte podara curbei Γ faţă de polul A curba descrisă de proiecţia lui A pe tangenta la Γ într-un punct mobil al ei. Proprietatea perecedentă se poate enunţa astfel: podara parabolei fată de punctul de intersecţie a directoarei cu axa sa este strofoidă cu centrul în acest punct şi vârful în vârful parabolei. Propoziţia 7. Curba inversă a hiperbolei echilatere de vârfuri O şi A faţă de cercul C O este strofoida de vârf A şi centru O. Demonstraţie. Cum A( a, ) (fig. ), centrul hiperbolei este punctul a,, iar ecuaţia ei estex + a y = a 4 sau x y + ax =. Fie H(α, β) pe hiperbolă, deci α β + aα = (*). Inversul acestui punct, fie el S(x, y), este coliniar cu O şi H şi satisface relaţia OS OH = a (cercul C O având raza OH = a). Aşadar, avem y = β α x şi (x + y )(α + β ) = a 4. Rezolvând sistemul acestor două ecuaţii în α şi β, obţinem α = x + y, β = x. Scriind că + y (α, β) verifică ecuaţia hiperbolei echilatere, adică introducând în (*) aceste expresii, a x a y

13 a obţinem ecuaţia locului punctului S: x a y x + y x + y + unde x(x + y ) = a(y x ) strofoida de vârf A şi centru O. a3 x x + y =, de Într-un plan π considerăm punctele A şi O şi dreapta ce trece prin O şi este perpendiculară pe AO. Notăm cu C cilindrul de rotaţie de axă ce trece prin A. Propoziţia 8. Locul focarelor elipselor de secţiune a cilindrului C F B cu planele care trec prin A şi sunt perpendiculare pe π este strofoida situată în π şi având vârful A şi P.. F. centrul O. A Demonstraţie. Notăm cu θ unghiul pe care-l face un O plan oarecare (ce îndeplineşte cerinţele propoziţiei) cu cel al secţiunii circulare. De asemenea, notăm AB axa mare a elipsei de secţiune rezultate, F şi F focarele şi P centrul Fig. 6 ei. Evident, P F = = P F şi rămâne să arătăm că P O = P F. În triunghiul dreptunghic OAP avem P O = a tg θ şi AP = a a. Elipsa de secţiune având semiaxele cos θ cos θ şi a, rezultă că P F a a cos θ = a tg θ. Ca urmare, P F = a tg θ = P O, ceea ce încheie demonstraţia. 4. Aducând modificări elementelor de temelie ale strofoidei: A (vârful), O (centrul) şi (axa) în privinţa poziţiei sau formei lor, se vor obţine generalizări importante. d Fie date o curbă Γ şi două puncte A şi O. S. Curba strofoidală a curbei Γ relativ la punctele S A... P A şi O este locul geometric al punctelor S şi S ale unei drepte variabile d ce trece prin A şi care O. îndeplinesc condiţia P S = P S = P O, unde P este un punct de intersecţie (altul decât A) al dreptei Fig. 7 d cu curba Γ. Dacă Γ este o dreaptă, notată d, O d şi AO d, vom obţine strofoida dreaptă (pe scurt, strofoida), curbă la care ne-am referit în secţiunile precedente. Renunţând la condiţia AO d, obţinem strofoida oblică, cu proprietăţi asemănătoare cu ale strofoidei drepte. Dacă Γ este un cerc, O este centrul său şi A se află pe cerc, se obţine melcul trisector. Dacă Γ este o dreaptă, O nu-i aparţine şi A este la infinit, curba strofoidală corespunzătoare este hiperbolă. Bibliografie. C. Climescu - Strofoida (Logociclica), Recreaţii Ştiinţifice, (884), I. Creangă şi colab. - Curs de geometrie analitică, Ed. Tehnică, Bucureşti, R. Ferréol - Strophoïde droite (ou strophoide de Newton), courbesd/strophoiddroite/strphoiddroite.shtml. 4. R. Ferréol - Courbe strophoïdale, strophoidale/strophoidale.shtml. 5. J. Lemaire - Hyperbole équilatère et courbes dérivées, Vuibert, Paris, 97.

14 O generalizare a teoremei lui Coşniţă Ion PĂTRAŞCU Omagiu adus lui Cezar Coşniţă, la centenarul naşterii sale Abstract. This note is a tribute to the memory of the Romanian mathematician Cezar Coşniţă, as this year there are years since his birth. A theorem of concurrence published by C. Coşniţă in 94 is extended. Keywords: Coşniţă point, Kariya point, barycentric coordinates. MSC : 5M4. În luna octombrie,, se împlinesc de ani de la naşterea profesorului universitar Cezar Coşniţă (9-96). Nota de faţă este dedicată acestui eveniment şi conţine generalizarea unei teoreme ce aparţine lui C. Coşniţă. Teorema lui Coşniţă. Fie O centrul cercului circumscris triunghiului ABC şi A, B, C centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor BOC, COA, respectiv AOB. Atunci dreptele AA, BB, CC sunt concurente [4]. Punctul de concurenţă a dreptelor AA, BB, CC se numeşte punctul lui Coşniţă. Teoremă. Fie P un punct în planul triunghiului ABC, nesituat pe cercul circumscris sau pe laturile acestuia, A B C triunghiul podar al lui P şi A, B, C puncte astfel încât P A P A = P B P B = P C P C = k, k R. Atunci dreptele AA, BB, CC sunt concurente. Demonstraţie. Fie α, β, γ coordonatele baricentrice ale lui P. Din α = aria( P BC), avem P A = α a şi din P A P A = k, găsim P A = ak (am considerat P în α interiorul triunghiului ABC, vezi figura). Notăm cu D şi respectiv P proiecţiile ortogonale ale lui A pe AD şi P pe A D. DeoareceÖP A D ÕABC (unghiuri cu laturile perpendiculare) avem: A P = P A cos B = ak cos B. α Din γ = aria( P AB), rezultă că P C = γ c şi A D = A P + P D = ak cos B + γ α c. Notăm A (α, β, γ ) kac cos B + 4γα şi avem: γ =, α = 4α aria( A BC) = BC A A = a k 4α kab cos C + 4βα. Adică 4α 4α Profesor, Colegiul Naţional Fraţii Buzeşti, Craiova şi, analog ca în calculul lui γ, β =

15 A a k 4α, 4α În acelaşi mod aflăm că B kab cos C + 4βα 4β cos B + 4γα C kab, 4γ kab cos C + 4βα, 4α, b k 4β, 4β kac cos B + 4γα. 4α kcb cos A + 4βγ, 4β kbc cos A + 4γβ, c k 4γ. 4γ 4γ În conformitate cu secţiunea 8 din [] sau [], cevienele AA, BB, CC sunt concurente dacă şi numai dacă α β 3 γ = α 3 β γ. Cum în cazul nostru această relaţie se verifică, dreptele AA, BB, CC sunt concurente. Teorema se demonstrează în mod analog în cazul când punctul P este în exteriorul triunghiului ABC. Vom numi punctul lor de concurenţă punctul generalizat al lui Coşniţă. Observaţii.. Condiţiile din enunţul teoremei au interpretarea geometrică: punctele A, B, C se află pe perpendicularele din P pe laturile triunghiului şi sunt inversele punctelor A, B, C în raport cu cercul de centru P şi rază k.. Teorema lui Coşniţă se obţine în cazul particular P = O şi k = R (O şi R sunt centrul şi respectiv raza cercului circumscris). Într-adevăr, OA = R cos A şi cu teorema sinusurilor aplicată în BOC avem a sin A = OA (A fiind centrul cercului circumscris BOC). De unde OA OA = R ; analog găsim OB OB = OC OC = R. 3. Se verifică uşor că luând P = I (centrul cercului înscris) şi k = r(r + a), a > dat, iar r raza cercului înscris, dreptele AA, BB, CC sunt concurente în punctul lui Kariya. Aşadar, teorema prezentată este o generalizare şi a teoremei lui Kariya (vezi [4]). Bibliografie. C. Coşniţă - Coordonnées barycentriques, Bucarest, Paris, Librairie Vuibert, 94.. C. Coşniţă - Geometrie analitică în coordonate baricentrice, Editura Reprograph, Craiova, C. Barbu - Variaţiuni pe tema punctului lui Coşniţă, Gazeta Matematică nr. 4/, C. Barbu - Teoreme fundamentale din geometria triunghiului, Editura Unique, Bacău 8. 3

16 Criteriu pentru calculul unor limite de funcţii Valentina BLENDEA, Gheorghe BLENDEA Abstract. The theorems of Cesàro-Stolz and Cauchy-d Alembert in the theory of sequences are extended to the case of positive real functions. The results thus obtained are use to solve certain calculus problems. Keywords: Cesàro-Stolz theorem, Cauchy-d Alembert theorem. MSC : 6A3. Scopul acestei note este de a extinde unele rezultate din teoria limitelor de şiruri la limite de funcţii. În acest sens vom aminti: Teoremă. a) (Cesàro-Stolz). Fie (a n ) n şi (b n ) n două şiruri de numere reale a n+ a n cu proprietăţile: i) < b n + ; ii) lim = l R. Atunci există n b n+ b n a n lim = l. n b n lim n b) (Cauchy-d Alembert). Dacă (a n ) n este un şir de numere strict pozitive şi a n+ = l R, atunci există lim n an = l. a n n În continuare prezentăm o variantă a teoremei de mai sus pentru funcţii şi câteva aplicaţii. Propoziţie. ) Fie a şi t > şi funcţiile f, g : [a, + ) R, cu proprietăţile: a) f este mărginită pe orice interval mărginit din [a, + ); b) g ia valori strict pozitive, este strict crescătoare şi nemărginită. f(x + t) f(x) Dacă există lim = l R, atunci există x + g(x + t) g(x) lim f(x) x + g(x) = l. ) Fie a >, b >, t > şi funcţia h : [a, + ) [b, + ) care are proprietatea că h(x + t) este mărginită pe orice interval mărginit din [a, + ). Dacă există lim = x + h(x) l R +, atunci există lim [h(x)] x = l t. x + Demonstraţie. ) Cazul I: l R. Pentru orice ε >, există δ ε > a astfel încât x > δ ε l ε < f(x + t) f(x) g(x + t) g(x) < l + ε l ε [g(x + t) g(x)] < f(x + t) f(x) <l + ε [g(x + t) g(x)]. Fie x > δ ε +3t, n x N astfel încât x n x t (δ ε +t, δ ε +3t). Aplicând inegalitatea precedentă pentru x t > x t >... > x n x t > δ ε +t > δ ε şi adunând inegalităţile obţinute, deducem că l ε [g(x) g(x n x t)] < f(x) f(x n x t) <l + ε [g(x) g(x n x t)]. Profesor, Colegiul Naţional, Iaşi Profesor, Colegiul Naţional M. Eminescu, Iaşi 4

17 Din stricta monotonie şi nemărginirea lui g rezultă că lim g(x) = +. Se obţine: x + l ε + g(x)hf(x tn x ) l ε g(x tn x )i< f(x) g(x) < < l + ε + g(x)hf(x tn x ) l + ε g(x tn x )i. Fie funcţiile h, h : (δ ε +t, δ ε +3t) R, h(y) = f(y) l ε g(y), h (y) = f(y) l + ε g(y), care sunt mărginite din ipotezele a) şi b), deci există M = M ε > astfel încât h(y) < M, h (y) < M, y (δ ε + t, δ ε + 3t). Din astfel încât < g(x) < ε M, x > δ ε. Deducem f(x) g(x) l<ε, x > max{δ ε, δ ε}, deci lim x + f(x) lim x + g(x) = l. g(x) = δ ε > a Cazul II: l = ±. Se tratează asemănător. ) Dacă luăm în ) f(x) = ln(h(x)) şi g(x) = x, x a, acestea verifică ipotezele a) şi b) din ), deci ln f(x) lim x + x = lim f(x + t) f(x) = lim x + t x + = ln l t = ln l t lim x + [h(x)] x = l t. h(x + t) h(x) t Aplicaţii.. Dacă funcţia f : [, + ) R este mărginită pe orice interval mărginit din f(x + ) f(x) f(x) [, + ) şi există lim = l R, atunci există lim x + x + x + x = l. Soluţie. Funcţia f din enunţ şi g : [, + ) R, g(x) = x verifică ipotezele din Propoziţiei, punctul ), cu t =, de unde rezultă concluzia.. Se consideră numărul a > şi o funcţie f : [a, + ) R care este mărginită pe f(x) orice interval mărginit din [a, + ), cu proprietatea că lim x + x =. Să se arate f(x + ) f(x) că, dacă există lim, atunci aceasta este egală cu zero. x + x Soluţie. Funcţiile f şi g : [a, + ) R, g(x) = x verifică ipotezele Propoziţiei, punctul ), şi avem: f(x + ) f(x) f(x + ) f(x) lim = l R lim x + x x + x + = lim x + 5 f(x + ) f(x) x = = x x + = l.

18 f(x) Conform aplicaţiei precedente, rezultă că lim x + x = l, deci l =. 3. Fie f : [, + ) [, + ) o funcţie continuă şi neconstantă astfel încât f(x + ) lim = l R x x + f(x) +. Atunci există lim f(t)dt x + Zx =8< = l. :a, x = Zx Soluţie. Fie a > şi funcţia F : [, + ) [a, + ), F (x) f(t)dt, x >, care este derivabilă pe (, + ). Funcţia F este mărginită pe orice interval mărginit F (x + ) f(x + ) din [, + ) şi lim = lim = l (se utilizează regula lui l Hospital). x + F (x) x + f(x) Aplicând Propoziţia, punctul ), se obţine rezultatul. x. 4. Să se arate că lim x + [x] x =, unde [x] reprezintă partea întreagă a numărului Soluţie. Considerând funcţia f : [, + ) [, + ), f(x) = [x], observăm că [x + ] f este mărginită pe orice interval mărginit din [, + ) şi lim =, deci, x + [x] conform Propoziţiei, punctul ), rezultă că lim x + [x] x =. Rodolph Neculai Racliş ( ), doctor în ştiinţe matematice la Sorbona în 93, a fost directorul Institutului Matematic Român şi fondatorul revistei Numerus (v. articolul de la pag. 8). Ca un omagiu adus lui, în Numerus vol. 3, caietul 9, pag. 96, este publicată următoarea problemă (reprodusă fidel!): (Ion Armean). Să se facă următoarea operaţie: R a c l i ş = ş ş ş / notând prin litere anumite cifre şi prin diferite cifre ce trebuie determinate prin raţionament. N.B. Răspunsul se găseşte la pag

19 Asupra unor puncte de concurenţă ale unui triunghi Dan POPESCU Omagiu adus lui Cezar Coşniţă, la centenarul naşterii sale Abstract. Some remarkable points in the geometry of triangle are presented in a unified way, as being Jacobi points in particular positions. Keywords: Jacobi point, Fermat-Torricelli point, Napoleon s point, Vecten s point, Morley s point, Coşniţă s point. MSC : 5M4. Nota îşi propune o abordare metodologică unitară şi accesibilă a câtorva probleme de concurenţă din geometria elementară a triunghiului. Următorul rezultat este atribuit matematicianului german Carl Gustav Jacob Jacobi (84-85). Mai este numit şi teorema Fermat-Torricelli generalizată ([]). Teorema. Fie triunghiul ABC şi punctele A, B, C din planul său încât ÖA BC ÖC BA,ÖB CA ÖA CB şiöc AB ÖB AC. Atunci dreptele AA, BB şi CC sunt concurente într-un punct J, numit punctul lui JACOBI. Demonstraţie. Să analizăm doar cazul AA [BC] = {A } şi BC (AA ) θ, celelalte cazuri presupunând raţionamente similare. A Dacă α = m(öb AB), β = m(öa BC), γ = m(öb CA), B atunci A B B A C = A[ABA ] A[ACA ] = AB A B sin(b + β) AC A C sin(c + γ). Se C C obţin relaţii analoage relativ la punctele B AC şi C AB şi se verifică uşor că A B A C BC B A CA C B = B A C. Conform reciprocei teoremei lui Ceva, dreptele AA, BB şi CC sunt concurente. De observat că punctul J poate fi şi în exteriorul A triunghiului ABC. Particularizând α, β, γ, vom obţine mai multe puncte remarcabile ale triunghiului. I. Punctul lui Fermat. În exteriorul triunghiului ABC se construiesc triunghiurile echilaterale A BC, B AC şi C AB. Evident, perechile de semidrepte ([AB, [AC ), ([BA, [BC ) şi ([CA, [CB ) sunt izogonale pentru unghiurile triunghiului ba,òb şi, respectiv,òc. Atunci, dreptele AA, BB şi CC se intersectează într-un punct F, punctul lui FERMAT. O chestiune conexă acestui rezultat o constituie problema găsirii unui punct P din interiorul unui triunghi ABC cu toate unghiurile de măsură mai mică decât, astfel ca suma P A + P B + P C să fie minimă. Acest punct a fost cercetat şi de E. TORRICELLI. Dacă P Int( ABC) şi triunghiul BP C se roteşte cu 6 în jurul lui B, atunci P A + P B + P C = P A + P P + P C. Aşa că suma este minimă, Profesor, Colegiul Naţional Ştefan cel Mare, Suceava 7

20 dacă şi numai dacă P, P sunt pe CC. Astfel, punctul lui TORRICELLI coincide cu punctul lui FERMAT. II. Punctul lui Napoleon. Dacă pe laturile triunghiului ABC şi în exteriorul lui se construiesc trei triunghiuri echilaterale cu centrele B, E şi F, atunci dreptele AD, BE şi CF sunt drepte concurente într-un punct N, numit punctul lui NAPOLEON, după numele împăratului Franţei NAPOLEON BONAPARTE. Triunghiul echilateral cu centrul D are o latură [BC], cel cu centrul E are o latură [AC] şi cel cu centrul F are o latură [AB]. Deci şi punctul lui NAPOLEON este tot un punct JACOBI. Totodată, triunghiul DEF este şi el echilateral, după cum se deduce prin calculul unei singure lungimi DE. III. Punctul lui Vecten. Dacă pe laturile triunghiului ABC şi în exteriorul lui se construiesc pătrate cu centrele D, E şi F atunci dreptele AD, BE şi CF sunt drepte concurente în punctul V, numit punctul lui VECTEN, fiind pus în evidenţă de profesorul francez de liceu M. VECTEN (8). IV. Punctul lui Morley. Acesta este un alt punct de tip JACOBI. În 899, profesorul FRANK MORLEY (86-937) a arătat că trisectoarele unghiurilor unui triunghi ABC determină un triunghi echilateral A B C, iar AA, BB şi CC sunt drepte concurente într-un punct, numit punctul lui MORLEY. V. Punctul lui Coşniţă şi dualul său. Spre deosebire de dualul său, acesta nu-i punct de tip Jacobi; însă, în [] se dă rezultatului lui Coşniţă o demonstraţie pe baza Teoremei. Vom prezenta o alta, directă şi simplă. Teorema (Coşniţă). Fie triunghiul ABC, O centrul cercului circumscris triunghiului, O A, O B şi O C centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor OBC, OAC şi OAB, respectiv. Atunci dreptele AO A, BO B şi CO C sunt concurente în punctul K, numit punctul lui COŞNIŢĂ. Demonstraţie. Se consideră A = AO A BC şi punctele B, C definite analog. Avem m (BOC) = A etc. Se deduce că mø(bo A C) = 36 4A. Astfel, mø(cbo A ) = mø(bco A ) = A 9. Apoi, sinø(abo A ) = sin(b + A 9 ) = cos(a C). Analog, B A C sinø(aco O A ) = cos(a B). Deci, A B A A C = A[ABO A] A[ACO A ] = AB BO A sin(õabo A ) c cos(a C) = AC CO A sin(õaco A ) b cos(a B). Analog, B C a cos(b A) B = A c cos(b C) şi C A C B = b cos(c B) şi concurenţa este evidentă, conform reciprocei teoremei lui Ceva. a cos(c A) Teorema 3. Dacă I este centrul cercului înscris în triunghiul ABC, I A, I B şi I C sunt centrele cercurilor înscrise triunghiului IBC, IAC şi, respectiv, IAB. Atunci dreptele AI A, BI B şi CI C sunt concurente într-un punct K, numit punctul lui COŞNIŢĂ dual. 8 O C C A O B O B

21 Demonstraţie. Se observă că K este un punct Jacobi cu α = A 4, β = B 4, γ = C 4. În [], articol recent apărut, sunt date un număr mare de rezultate înrudite cu teorema lui Coşniţă (printre care şi Teorema 3, cu o demonstraţie diferită). Bibliografie. C. Barbu - Variaţiuni pe tema punctului lui Coşniţă, GM(B)-4/, M. de Villiers - A Dual to Kosnita s Theorem,, Math. and Inf. Quart., 6(996), IMPORTANT În scopul unei legături rapide cu redacţia revistei, pot fi utilizate următoarele adrese t birsan@yahoo.com şi profgpopa@yahoo.co.uk. Pe această cale colaboratorii pot purta cu redacţia un dialog privitor la materialele trimise acesteia, procurarea numerelor revistei etc. Sugerăm colaboratorilor care trimit probleme originale pentru publicare să le numeroteze şi să-şi reţină o copie xerox a lor pentru a putea purta cu uşurinţă o discuţie prin asupra acceptării/neacceptării acestora de către redacţia revistei. La problemele de tip L se primesc soluţii de la orice iubitor de matematici elementare (indiferent de preocupare profesională sau vârstă). Fiecare dintre soluţiile acestor probleme - ce sunt publicate în revistă după un an - va fi urmată de numele tuturor celor care au rezolvat-o. Adresăm cu insistenţă rugămintea ca materialele trimise revistei să nu fie (să nu fi fost) trimise şi altor publicaţii. Rugăm ca materialele tehnoredactate să fie trimise pe adresa redacţiei însoţite de fişierele lor (de preferinţă în L A TEX). Pentru a facilita comunicarea redacţiei cu colaboratorii ei, autorii materialelor sunt rugaţi să indice adresa . 9

22 Câteva proprietăţi caracteristice ale triunghiului isoscel Răzvan CEUCĂ Abstract. Let P be the intersection point of the Cevian lines AA, BB, CC in the triangle ABC. A couple of remarkable points of the triangle (denoted G, H, K, Γ, N) are identified, such that the congruence of two segments among [P A ], [P B ] and [P C ] implies the property of the triangle to be isosceles. Keywords: simedian, Gergonne s point, Nagel s point. MSC : 5M4. Fie dat un triunghi ABC şi fie P punctul de concurenţă a trei ceviene AA, BB, CC cu A (BC), B (CA) şi C (AB). Ne punem următoarea întrebare: dacă două dintre segmentele [P A ], [P B ], [P C ] sunt congruente, triunghiul ABC este isoscel? Cu un contraexemplu, vom arăta că răspunsul este negativ. În acest scop, avem nevoie de câteva pregătiri. Notăm cu m = A B A C, n = B C B A şi p = C A C B rapoartele care determină poziţia cevienelor AA, BB şi respectiv CC faţă de triunghi. Mai jos, vom stabili formulele care dau lungimile segmentelor [P A ], [P B ] şi [P C ] funcţie de a, b, c, m, n, p. Într-adevăr, conform teoremei lui Van Aubel, avem A P A P A = B A B C + C A C B = + p, de unde n () P A n = C B + n + np AA. P Cum aaa = b A B + c A C aa B A C (teorema lui B Stewart) şi cum A B = m m + a, A C = a, obţinem m + () AA = m + (mb + c m m + a ). Din () şi (), deducem = formula pentru P A ; apoi, prin analogie, deducem P B şi P C. Avem: = P A n + n + np m + mb + c m = m + a, (3) P B p + p + pm n + nc + a n n + b, P C m + m + mn p + pa + b p p + c. Elev, Colegiul Naţional, Iaşi A C

23 Contraexemplul următor arată că nu are loc implicaţia P A = P B = P C ABC isoscel. Luând a = c, b = c, obţinem un triunghi scalen pentru orice c > 4 (într-adevăr, a < c < b şi b < a + c). Pentru m =, n =, p = 3 avem mnp =, 3 deci cevienele AA, BB, CC sunt concurente. Utilizând formulele (3), după calcule, găsim: P A = P B = P C = 9. Vom indica, în continuare, ceviene particulare pentru care răspunsul la întrebarea pusă este pozitiv. I. Mediane (P G). Avem: GB = GC 3GB = 3GC BB = CC (BB, CC mediane) ABC isoscel cu vârful A. II. Înălţimi (P H). Avem HB = HC HB A HC A AB = AC AB B AC C AB = AC (triunghiurile ce intervin sunt dreptunghice). III. Bisectoare (P I). Este un caz mai complicat. Dacă numai două dintre segmentele [IA ], [IB ], [IC ] sunt congruente, atunci ABC poate să nu fie isoscel, după cum arată exemplul: ABC cu A = 6, B =, C = nu este, evident, isoscel, dar se constată că IB = IC (întradevăr, avem m(õib A) = C + B = 7, m(õic A) = B + C = şi, cu teorema sinusurilor în AIB şi AIC, obţinem IB = AI sin 7 = IB = IC ). Dacă însă IA = IB = IC, atunci ABC este echilateral. AI sin = IC, adică Într-adevăr, ţinând seama de formula () şi analoagele sale, în care m = c b, n = a c, p = b, condiţia noastră a revine la aaa = bbb = ccc. Cu formulele ce dau lungimile bisectoarelor, obţinem b + c cos A = c + a cos B = a + b cos C. Punând aici b + c = R(sin B + sin C) = 4R cos A cos B C etc., deducem egalităţile cos B C Consideraţii de rutină ne conduc la A = B = C = 6. = cos C A = cos A B. IV. Simediane (P K). Vom avea în vedere triunghiuri ascuţitunghice (a + b c > etc.). Întrucât m = c b, n = a b, p = b, cu formula () obţinem a KA a = a + b + c AA, iar cu () deducem că lungimea simedianei AA este dată de AA = b c b + c a b + c. Ca urmare, vom avea: KB = KC b BB = c CC b c + a b c + a = c a + b c b a + b c + a = c b c a + b a + b c + a b c + a + c a + b = b c + a =

24 c a (ultima paranteză scrisă fiind nenulă în condiţia că ABC este ascuţitunghic) + b (b c )(a + b + c ) = b = c. Afirmaţia şi calculul precedente rămân valabile şi în cazul triunghiurilor obtuzunghice în A (nu însă dacă unghiul obtuz ar fiòb sauòc). V. Ceviene Gergonne (P Γ). Ştim că AB = AC = p a, BC = BA = p b, CA = CB = p c, p = semiperimetrul triunghiului. Vom arăta în fapt echivalenţa condiţiilor: ) b = c, ) cevienele Gergonne ce pleacă din vârfurile B şi C sunt congruente, 3) segmentele [ΓB ] şi [ΓC ] sunt congruente. Într-adevăr, utilizând teorema cosinusului în ABB şi ACC, avem: BB = CC c + (p a) c(p a)(cos A = b + (p a) b(p a) cos A b c (b c)(p a) cos A = (b c)[b + c (p a) cos A] = b = c (paranteza pătrată nu se anulează: în caz contrar, am avea cos A = b + c b + c a >, fals). Presupunem acum că ΓB = ΓC. Atunci ΓB C este isoscel, deci ÖBB C ÖCC B. De asemenea, deoarece AB C este isoscel, avem şi ÖBC B ÖCB C. Aşadar, BB C CC B şi deducem că BB = CC şi, ca urmare, b = c. VI. Ceviene Nagel (P N). În acest caz, BC = CB = p a, CA = AC = p b, AB = BA = p c. Urmăm calea parcursă în cazul precedent. Cu teorema cosinusului, aplicată în ABB şi ACC, relativ la cevienele Nagel BB şi CC, avem: BB = CC c + (p c) c(p c) cos A = b + (p b) b(p b) cos A b c + [(p b) (p c) ] cos A[b(p b) c(p c)] = (b c)[b + c a + cos A(b + c a)] b = c. Fie acum NB = NC, iar ABC va fi considerat ascuţitunghic. Observăm că relativ la NBC şi NCB avem: NC = NB, BC = CB = p a şi au unghiuri opuse în vârful comun N. Atunci,ÖNBC ÖNCB, fiind ascuţite; triunghiurile sunt congruente şi vom avea BN = CN. Rezultă că BB = CC şi, apoi, b = c. Prin ce proprietate sunt înrudite următoarele numere:, 3, 3, 85, 78, 9 33, 37 57, , ? N.B. Răspunsul se găseşte la pag. 7.

25 Valeurs et vecteurs co-propres d une application semi-linéaire Adrien REISNER Abstract. The notions of a semi-linear mapping, of a co-eigenvalue and co-eigenvector are introduced. A number of properties thereof outline the similarities/differences of these notions with respect to the corresponding classical ones. Keywords: semi-linear, co-eigenvalue, co-eigenvector. MSC : 5A8. Soit E un espace vectoriel complexe de dimension n. Pour u L(E), λ C est une valeur propre s il existe x E non nul tel que u(x) = λx; le vecteur x est un vecteur propre de u associé à la valeur propre λ. Enfin, le spectre de u, noté Sp u, désigne l ensemble des valeurs propres de l endomorphisme u, tandis que Sp M u désignera le spectre de la matrice M u représentant u dans une base quelqonque de E. Remarque. E étant un C espace vectoriel (et plus généralement si E est un K espace vectoriel où K est un corps algébriquement clos) tout endomorphisme u de E admet n valeurs propres, les n racines du polynôme caractéristique χ u (X) = det(m u IX). Le but de cet article est l étude de certaines propriétés des applications semilinéaires de E dans lui-même. Définitions. a) Une application u de E dans lui-même est semi-linéaire si elle possède la propriété suivante: a C, x, y E, u(ax + y) = au(x) + u(y). (u désignera désormais une application semi-linéaire de E dans lui-même.) b ) α C est une valeur co-propre de u s il existe un vecteur x tel que: u(x)=αx. Un tel vecteur x est un vecteur co-propre associé à la valeur co-propre α. x étant un vecteur co-propre de u, il existe au plus une seule valeur co-propre de u associée à x. En effet, si u(x) = λx = µx, alors (λ µ)x =, d où λ = µ car x. De façon évidente, la composée de deux applications semi-linéaires est une application linéaire En particulier, si u est une application semi-linéaire alors l application u est linéaire. Proposition. Si α est une valeur co-propre de u, pour tout réel θ le nombre complexe αe iθ est encore une valeur co-propre de u. Si x est un vecteur co-propre associé à α, alors e iθ/ x est un vecteur co-propre associé à α e iθ. Démonstration. Soit x un vecteur co-propre associé à la valeur co-propre α, i.e. u(x) = αx avec x. Il vient alors pour tout réel θ: u(e iθ/ ) = e iθ/ αx = Centre de Calcul E.N.S.T., Paris; adrien.reisner@enst.fr 3

26 (e iθ α) (e iθ/ x) et par suite e iθ α est une valeur co-propre de u associée au vecteur co-propre e iθ/ x. Remarque. En particulier, α est valeur co-propre de u si et seulement si α est valeur co-propre de l application semi-linéaire u. Proposition. Si α est une valeur co-propre de u, l ensemble E α des vecteurs co-propres associés est un espace vectoriel réel mais pas un espace vectoriel complexe. E est aussi bien un R-espace vectoriel qu un C-espace vectoriel. Soit B = (e, e,..., e n ) et B = (f, f,..., f n ) deux bases de l espace vectoriel E et P la matrice de passage de la base B à la base B : P = Pass(B, B ). Proposition 3. a) À toute application semi-linéaire u est associée dans la base B une matrice carrée complexe A d ordre n telle que la relation y = u(x) s écrive: Y = AX. On notera: A = Mat(u, B). b) Si A = Mat(u, B) et B = M(u, B ) alors on a: B = P AP. Démonstration. a) Pour x = np x i e i on a u(x) = np x i e i. Posant alors u(e i ) = np a ki e k il vient y = u(x) =Pk (Pi a ki x i )e k soit y k =Pi a ki x i et finalement Y = AX. b) Avec des notations évidentes (X et X attaché à x dans les bases B et B respectivement) X = P X, Y = P Y, Y = AX, Y = BX. Donc AP X = AP X = P BX. Cette égalité étant réalisée pour tout X, on en déduit: AP = P B soit B = P AX formule de changement de base. La relation ARB P GL n (C) telle que B = P AP est de façon évidente une relation d équivalence. Deux matrices A et B appartenant à la même classe sont dites co-semblables. Compte tenu de la proposition précédente l application semilinéaire u est représentée dans deux bases différentes par des matrices co-semblables. Deux matrices co-semblables ont le même co-spectre. [En effet si AX = αx et B = P AP on a avec Y = P X : BY = P AP P X = P AX = αy.] Avec les notations de la Proposition 3, a), si α est une valeur co-propre de u on dira que α est une valeur co-propre de la matrice A. Si x est un vecteur co-propre associé à α, on a alors: AX = αx. La matrice A est co-trigonalisable (resp. co-diagonalisable) si cette matrice est co-semblable à une matrice trigonale (resp. diagonale) voir compléments. Exemple numérique. Soit à chercher valeurs co-propres de la matrice A = Le vecteur X =a un vecteur co-propre associé à la valeur copropre α on a l équivalence suivante: AX = αx b = αa, a = αb. On en déduit:. bétant a = α ( α a) soit a =, car + αa = + α et finalement a = b =, i.e. la matrice A n a pas de valeur co-propre. C est une différence essentielle avec les valeurs propres voir la première remarque. 4

27 Proposition 4. a) Si une matrice réelle A admet une valeur propre réelle λ, alors cette matrice admet au moins une valeur co-propre. b) Si α est valeur co-propre de la matrice carrée complexe A, alors le nombre réel α est valeur propre de la matrice AA. Démonstration. a) Il existe un vecteur X réel, non nul vérifiant AX = λx. Donc AX = λx, i.e. λ est aussi valeur co-propre, c.q.f.d. b) Soit X tel que AX = αx où A est une matrice complexe. On a alors: AX = αx et donc AAX = αax = α X, i.e. α est valeur propre de la matrice AA. Corollaire. Pour que le réel positif ou nul µ soit valeur co-propre de la matrice A il faut et il suffit que le réel µ soit valeur propre de la matrice AA. Démonstration. ( ) résulte de l assertion b) de la proposition précédente. ( ) Soit µ, µ Sp AA et X un vecteur propre associé, i.e. AAX = µ X. Montrons que µ est valeur co-propre de la matrice A en envisageant deux cas: I. AX et X sont liés. Etant donné que X est non nul, on a: AX = αx. Donc A(AX) = A(αX) = αax = α X soit µ = α, i.e. µ = αe iθ. Par suite AX = αx AX = µe iθ X, c est à dira que µe iθ est une valeur co- propre de la matrice A et la proposition permet de conclure que µ est aussi une valeur co-propre de A, c.q.f.d. II. les vecteurs AX et X sont indépendants. Dans ce cas le vecteur non nul Y = µx + AX vérifie: AY = A(µX + AX) = µax + µ X = µy, i.e. µ est valeur co-propre de la matrice A. Considérons maintenant le cas particulier d une matrice triangulaire. Etant donnée une matrice triangulaire supérieure A, on a la Proposition 5. a) Si λ est valeur propre de A, alors pour tout réel θ le nombre complexe λe iθ est une valeur co-propre de la matrice A. b) Si α est une valeur co-propre de A alors il existe un réel θ tel que le nombre complexe αe iθ soit valeur propre de la matrice A.... λ Démonstration. a) Si A = λ..., alors λ n AA = λ λ λ n Les réels λ, λ,..., λ n sont les valeurs propres de la matrice AA et, compte tenu du corollaire précédent, les réels λ, λ,..., λ n sont valeurs co-propres de A. La remarque de la proposition montre alors que λ, λ,..., λ n sont valeurs 5.

28 co-propres de la matrice A et enfin la Proposition permet de conclure: θ R, (λ j e iθ ) j:,...,n sont valeurs co-propres de la matrice A. b) Soit α une valeur co-propre de A. α est aussi une valeur co-propre de la matrice A. Le Corollaire montre alors que α est valeur propre de la matrice AA. Donc, il existe j [, n] tel que α = λ j soit (puisqu il existe θ tel que αe iθ ) : α = λj e iθ = λ j e iθ ou λ j = αe iθ Sp A. Exemple numérique. Etant donnée la matrice triangulaire supérieure A = i i Sp A. En particulier, i = est valeur co-propre de A. Le vecteur i, + ib X = a un vecteur co-propre associé à la valeur co-propre, on a les c + id étant équivalences suivantes: AX = X i i a ib + ib = c id = a c + id {ia+b+c id a + ib et ic + d = c + id}. Par suite: c = d, b + c + i(a d) = a + ib ou b + c = a. + i Le vecteur est vecteur co-propre associé à la valeur co-propre. D ailleurs l ensemble E des vecteurs co-propres associés à la valeur co-propre est l espace vectoriel réel voir Proposition E = k + i +k i k +, k Rª. Remarques concernant la co-diagonalisabilité. Si P AP = diag(λ j ) on a, en désignant par c j la j-ème colonne de la matrice P : Ac j = λ j c j pour j :,..., n. Par suite, de même que pour les matrices diagonalisables, c j est vecteur co-propre de la matrice A associé à la valeur co-propre λ j. Compte tenu de la remarque de la Proposition, on peut même choisir la matrice diagonale diag (λ j ) telle que pour j :... n, λ j R +. Soit A = B + ic une matrice carrée complexe d ordre n (où les matrices B et C sont réelles). Concluons alors avec le théorème suivant qui indique une condition nécessaire et suffisante pour qu un complexe α soit valeur co-propre d une matrice A: Théorème 6. α est valeur co-propre de la matrice A si et seulement si α est valeur propre de la matrice carrée réelle d ordre n, D, définie par blocs par D = B C C B. Démonstration. Le complexe α est valeur co-propre de A si et seulement si α est aussi valeur co-propre de la matrice A voir remarque de la Proposition. Il vient alors, X et Y étant réels: (B + ic)(x iy ) = (BX + CY ) + i(cx BY ). Le vecteur X + iy est vecteur co-propre de la matrice A = B + ic associé à la valeur co-propre α si et seulement si BX + CY = α X et CX BY = α Y ce qui s écrit C encore: B B X α Sp D. C Y = α X Y i.e., 6

29 Compléments sans démonstration. On a vu dans le premier exemple numérique qu une matrice peut ne pas avoir de valeurs co-propres. Néanmoins, on a le théorème suivant: Théorème 7. Toute matrice A M n+ (C) admet une infinité de valeurs copropres. (Différence avec les valeurs propres!) Pour démontrer ce théorème on montre que pour une telle A matrice le polynôme caractéristique de la matrice AA est un polynôme réel ayant au moins une valeur propre λ réelle positive ou nulle. Le corollaire et la Proposition permettront alors de conclure. Les théorèmes suivants concernent la co-trigonalisabilité et la co-diagonalisabilité des matrices: Théorème 8. Pour A M n (C) les deux assertion suivantes sont équivalentes: a) il existe P G L n (C) telle que A = P T P où T est une matrice triangulaire, i.e. la matrice A est co-trigonalisable; b) les valeurs propres de la matrice AA sont réelles positives ou nulles, i.e. SpAA R +. De plus, la matrice P peut être choisie telle que P = t P (P unitaire). Corollaire. La matrice A est symétrique si et seulement si A est unitairement co-diagonalisable, i.e. U unitaire telle que A = Udiag(λ i )U = Udiag(λ i ) t U. Théorème 9. Pour A M n (C) les deux assertion suivantes sont équivalentes: a) il existe P G L n (C) telle que A = P DP, où D est une matrice diagonale, i.e. A est co-diagonalisable; b) la matrice A vérifie les trois conditions suivantes: i) AA est diagonalisable, ii) SpAA R +, iii) rga = rgaa. Références. J.-M. Arnaudiès, H. Fraysse - Cours de mathématiques, Tome. Algèbre, Editions Dunod, Paris, J. Fresnel - Algèbre des matrices, Editions Hermann, Paris, J. Fresnel - Espaces quadratiques, euclidiens hermitiens, Editions Hermann, Paris, 999 (pour les compléments). Vizitaţi pagina web a revistei Recreaţii Matematice: 7

30 Proprietăţi ale primitivelor funcţiilor periodice Gheorghe IUREA Abstract. It is outlined the fact that a small number of elementary properties of periodic functions are sufficient for solving various problems proposed at contests and olympiads of mathematics. Keywords: periodic functions, the primitive of a function. MSC : 6A4. În anul 3, la examenul de bacalaureat a fost propusă următoarea Zx Problemă. lim sin t dt este: a) ; b) ; c) ; d) x x X π. Este o problemă cunoscută, dar dificilă. Un răspuns se poate obţine astfel: fie şirul x n = Znπ n Z(k+)π sin t dt, n N ; cumznπ sin t dt = sin t dt = nπ X n k= Zπ sin y dy = n, obţinem x n =. Prin urmare, limita cerută, dacă există, π este egală cu π. În această notă demonstrăm câteva proprietăţi ale primitivelor funcţiilor periodice şi totodată indicăm un mod de determinare a primitivelor acestor funcţii. Propoziţie. Fie f, F : R R, unde f este o funcţie continuă, neconstantă şi periodică de perioadă T >, iar F (x) =Zx f(t) dt. Atunci: a)z(k+)t kt b)zx+t x f(t) dt =ZT f(t) dt, pentru orice k Z; f(t) dt =ZT f(t) dt, pentru orice x R; c) F (x) =hx (T ) + F x Thx R, unde F este primitiva lui F pe TiF Ti, x [; T ] care se anulează în zero; d) există a R astfel încât funcţia G : R R, G(x) = F (x) ax să fie periodică şi neconstantă; Zx e) lim f(t) dt = ZT f(t) dt; x x T f) funcţia F nu admite asimptotă oblică spre. Demonstraţie. a) Cu substituţia y = t kt, obţinemz(k+)t f(t) dt =ZT f(y) dy. b) Considerăm funcţia g : R R, g(x) =Zx+T f(t) dt = F (x + T ) F (x); atunci g (x) = f(x + T ) f(x) =. Rezultă că g este constantă, deci g(x) = g() pentru orice x R şi de aici concluzia. Profesor, Liceul Teoretic Dimitrie Cantemir, Iaşi x kt k= kπ 8

31 c) Pentru x, fie n =hx deci nt x < (n + )T. Avem că Ti N, F (x) =ZT f(t) dt+zt f(t) dt+...+znt f(t) dt+zx f(t) dt. Cu substituţia t T (n )T nt = y, obţinemzx f(t) dt =Zx nt f(y) dy, şi folosind a), F (x) = nzt f(t) dt + Zx nt nt f(y) dy. Cum x nt [; T ), rezultă că F (x) = nf (T ) + F (x nt ). Pentru x <, alegem n = hx N, deci nt x < (n )T şi atunci Ti F (x) = T f(t) dt+z T f(t) dt+...+z nt f(t) dt+zx f(t) dt. Cu substituţia R T (n )T nt t + nt = y în ultima integrală şi folosind punctul a), F (x) = nzt f(t) dt + Zx+nT f(y) dy. Dar x + nt [; T ), deci F (x) = nf (T ) + F (x + nt ). În concluzie F (x) =hx (T ) + F x Thx TiF Ti, pentru x R. d) Conform punctului b), F (x + T ) F (x) =ZT f(t) dt, prin urmare G(x + T ) G(x) = F (x + T ) F (x) at =ZT f(t) dt at. Alegând a = f(t) dt, rezultă T că G(x + T ) = G(x), pentru orice x R, prin urmare, pentru a determinat, G este periodică de perioadă T. Dacă G este constantă, atunci G (x) =, pentru orice x R. Rezultă că f(x) a =, pentru orice x R, contradicţie. În concluzie, funcţia G nu este constantă. Rx f(t) dt e) lim = lim x x x G(x) x + a =a, deoarece G fiind continuă şi periodică, este mărginită. F (x) f) Conform punctului e), lim = a. Cum G este periodică şi neconstantă, x x rezultă că nu există lim G(x). Prin urmare, F nu admite asimptotă oblică spre. x Notă.. Rezultatele de la punctele a) şi b) sunt clasice. Punctul c) poate fi folosit pentru determinarea primitivelor funcţiilor periodice. Punctele d), e) şi f) fac obiectul unei probleme semnate de prof. univ. dr. Radu Gologan.. Folosind punctul e) al propoziţiei demonstrate, obţinem că: nt Zx lim sin t dt = Zπ sin t dt = x x π π. Prezentăm câteva probleme, ca aplicaţii directe ale propoziţiei demonstrate.. Determinaţi primitivele funcţiei f : R R, f(x) = sin x. Soluţie. f este periodică de perioadă π. Primitiva lui f care se anulează în este F (x) = cos x şi atunci primitiva pe R este F (x) = hx πhx πi+ cosx πi. Prin urmare, funcţia F (x) = n + ( ) n cos x, x [nπ; (n + )π), n Z, este primitiva lui f, care se anulează în zero. 9 ZT

32 Zx. Se consideră funcţiile f : R R, f(x) = f(t) dt. 3 + cos x şi F : R R, F (x) = a) Să se calculeze lim x F (x). b) Să se arate că graficul funcţiei F nu are asimptotă către +. (Variante BAC 7, enunţ parţial) Soluţie. a) Evident că f(x) 4, pentru orice x R, deci F (x) x 4, pentru orice x R şi de aici obţinem că lim F (x) =. x b) Este o consecinţă imediată a punctului a) şi a punctului f) din propoziţie. Observaţie. f este periodică 8><>: de perioada T = π. Primitiva lui f pe [; π], care se anulează în zero, este F (x) = arctgtg x, x [; π) π, x = π arctgtg x + π, x (π; π] 8><>: şi atunci primitiva lui f care se anulează în zero este arctgtg x + nπ, x [nπ; (n + )π) (n + )π F (x) =, x = (n + )π arctgtg x, n Z. (n + )π +, x ((n + )π; (n + )π] 3. Se consideră funcţiile f : R R, f(x) = 3+{x}( {x}) şi F : R R, F (x) = Zx f(t) dt. a) Să se calculeze lim F (x). x b) Să se arate că există a R, astel încât funcţia G : R R, G(x) = F (x) ax să fie periodică. (Variante BAC 7, enunţ parţial) Soluţie. a) Deoarece f(x) 3, pentru orice x R, obţinem că F (x) 3x, pentru orice x R şi de aici lim F (x) =. x b) Cum f este periodică de perioadă T =, din punctul d) al propoziţiei demonstrate rezultă că există a =Z f(x) dx = 9 cu proprietatea cerută. 6

33 x Notă. Primitiva funcţiei f pe [; ], care se anulează în zero, este F (x) = 3x + x3. Prin urmare, primitiva funcţiei f care se anulează în zero este: F (x) = 3 9 (x [x]) (x [x])3 [x] + 3(x [x]) Fie f : R R o funcţie continuă şi periodică de perioadă T >. Arătaţi că lim f(nx) dx = n Zb b a ZT f(x) dx, pentru orice a, b R. a T Soluţie. Cu substituţia nx = t, obţinemzb f(nx) dx = Znb f(t) dt = b a n na Znb Zna f(t) dt a f(t) dt şi, conform punctului e), urmează concluzia. nb na 5. Fie f : [; T ] R o funcţie continuă şi g : R R o funcţie continuă şi periodică de perioadă T >. Atunci ZT lim f(x)g(nx) dx = n ZT T dx ZT f(x) g(x) dx(v. [], [3]). Soluţie. Fie a n =ZT f(x)g(nx) dx, n N. Evident, a n = n DeoareceZ(k+)T a n = X n cum lim kt n X k= n n k= n f(ξ k )Z(k+)T kt n g(nx) dx = n T n f(ξ k) =ZT ZT g(nx) dx = X n X n k= Z(k+)T n kt n f(x)g(nx) dx. g(t) dt, aplicând o teoremă de medie, obţinem că k= n f(ξ k) ZT g(t) dt, ξ k kt n f(t) dt, rezultă concluzia problemei. Ca aplicaţie directă a acestui rezultat obţinem problema: Fie f : R (; ) o funcţie continuă cu perioada. Atunci: k= ; (k + )T n lim n Z =Z f(x)f(nx) dx f(x) dx. nx (Cristinel Mortici, etapa judeţeană, 3) 6. Fie f : R R o funcţie continuă şi periodică. Dacă F este o primitivă a lui f, F (k) arătaţi că şirul a n = k este convergent dacă şi numai dacă F este periodică. k= (Florian Dumitrel, Concursul Nicolae nx Coculescu, 8) nx Soluţie. Fie T > o perioadă a funcţiei f. Există a R astfel încât funcţia G(k) G : R R, G(x) = F (x) ax să fie periodică. Prin urmare, a n = k + a k. k= şi

34 nx Cum G este mărginită, fiind continuă şi periodică, există M >, astfel încât G(x) M, pentru orice x R. Atunci G(x) + M M, pentru orice x R. nx G(k) + M Rezultă că şirul b n nx nx = k este convergent, fiind monoton şi mărginit. k= G(k) + M Astfel, a n nx = k M k +a k. Prin urmare, şirul (a n) este convergent dacă şi numai dacă a este convergent. Cum lim + k= k= k= k n n = k=, rezultă că (a n ) converge dacă şi numai dacă a = şi concluzia se impune. 7. Fie f : R R o funcţie continuă şi periodică de perioadă iraţională, iar F o primitivă a sa. Să se demonstreze că şirul (F (n) n) n este convergent dacă şi numai dacă f(x) =, pentru orice x R. (Florian Dumitrel, Concursul Nicolae Coculescu, 9) Soluţie. Dacă f(x) =, pentru orice x R, concluzia este evidentă. Reciproc, fie T R\Q, T >, o perioadă a funcţiei f. Există a R astfel încât funcţia G : R R, G(x) = F (x) ax să fie periodică, de perioadă T. Atunci F (n) n = G(n) + (a )n şi de aici şirul (F (n) n) n este convergent numai dacă a =. Rezultă că şirul (G(n)) n are limită. Fie l R limita acestui şir şi x R. Deoarece T R\Q, din teorema lui Kronecker rezultă că mulţimea {n mt n, m N} este densă în R, deci există şirurile (n k ) k N şi (m k ) k N astfel încât lim (n k m k T ) = x şi (n k m k T ) k N este strict crescător. k Şirul (n k ) este nemărginit; altfel, cum m k T = (m k T n k ) + n k, k N, ar rezulta că (m k ) este mărginit, adică B = {n k m k T k N} ar fi mărginită, ceea ce ar contrazice monotonia şirului (n k m k T ) k N. Prin urmare (considerând, eventual, un subşir al şirului (n k )), lim n k =. k Cum G(n k ) = G(n k m k T ) G(x) şi (G(n k )) k N este un subşir al şirului (G(n)) n N, rezultă că G(x) = l. Deci F (x) = l + x şi f(x) =, pentru orice x R. Bibliografie. L. Niculescu - O metodă de calcul a primitivelor unei funcţii periodice, G.M.-8/99, D. Popescu, F. Popovici - O generalizare a lemei lui Riemann, Recreaţii Matematice nr. /, D. Popescu - Asupra unui şir de integrale Riemann, Recreaţii Matematice nr. /9, N. Pavelescu - Primitivele unor funcţii periodice, G.M.-/, Subiectele şi variantele de bacalaureat, 3-7.

35 O problemă de reprezentare Marian TETIVA Abstract. This note is a very quick overview of some wellknown and simple representation problems of a certain type; accessible explanations are given for the steps leading to their solutions. Keywords: natural number, representation in base. MSC : A67. Prin probleme de reprezentare înţelegem aici acele probleme în care se cere să se demonstreze că orice număr de un anumit tip (întreg, raţional, natural impar etc.) poate fi scris într-o anumită formă. De exemplu: să se arate că orice număr natural (nenul) poate fi scris ca sumă de puteri distincte ale lui. Recunoaşteţi acest enunţ? (Probabil că da.) Într-o altă formulare, putem zice acelaşi lucru astfel: oricare ar fi numărul natural n, există numerele naturale k şi a, a,..., a k {, } astfel încât n = a + a + + a k k. De exemplu =, 3 = +, = = (Acum aţi recunoscut sigur enunţul care stabileşte reprezentarea în baza ). Iată şi alte exemple, din cele mai des întâlnite. Problema. moduri în forma Orice număr natural n poate fi reprezentat într-o infinitate de ± ± ±... ± m, pentru anumite numere naturale m şi anumite alegeri ale semnelor plus şi minus. Aceasta înseamnă că trebuie să dovedim că, dat fiind numărul natural n, putem găsi un număr natural m şi o alegere a semnelor plus/minus astfel încât egalitatea anterioară să fie adevărată (iar asta se întâmplă pentru o infinitate de numere naturale m; în unele probleme se cere să arătăm unicitatea reprezentării - de exemplu, orice număr natural este într-un singur mod suma unor puteri distincte ale lui doi, dacă, desigur, facem abstracţie de ordinea termenilor -, în altele se cere să se arate că există o infinitate de reprezentări etc.). De exemplu avem: = şi dacă vă gîndiţi bine de tot de unde provine această egalitate neaşteptată şi (aparent) greu de găsit, aproape că aţi rezolvat problema. Să mai menţionăm aici că, dimpotrivă, avem următorul enunţ: Problema. Să se arate că un număr natural n poate fi reprezentat în forma n = ± ± ±... ± n pentru o anume alegere a semnelor plus şi minus dacă şi numai dacă n dă restul sau la împărţirea cu 4. Profesor, Colegiul Naţional Gheorghe Roşca Codreanu, Bârlad 3

36 (Aceasta nu e tocmai o problemă de reprezentare în sensul precizat la început, dar e clar că face parte din acelaşi cerc de idei.) Următoarea este, poate, mai puţin cunoscută, dar nu mai puţin frumoasă; propusă de Mihai Onucu Drimbe în Gazeta Matematică []: Problema 3. Să se arate că orice număr raţional pozitiv poate fi reprezentat într-o infinitate de moduri în forma ±... m ± pentru anumite numere naturale m şi anumite alegeri ale semnelor plus şi minus. (Enunţul original se referă la numere întregi pozitive, dar se poate şi aşa.) Există o largă varietate de asemenea probleme, pentru care, desigur, nu avem loc aici, iar ca să vă faceţi o idee despre importanţa lor în matematică, gîndiţi-vă doar că teorema fundamentală a aritmeticii - fundamentală, da? - este o teoremă de reprezentare a oricărui număr natural ca produs de numere prime. Ajungem la problema despre care vom vorbi mai departe. Problema 4. Orice număr întreg impar are o infinitate de reprezentări de forma ± ± ±... ± m pentru anumite numere naturale m şi anumite alegeri ale semnelor plus şi minus. De ea vrem să ne ocupăm în această notă. Nu înainte de a vă sfătui să reflectaţi asupra celor enunţate mai sus, sau să le căutaţi soluţiile prin cărţi; se găsesc în nenumărate: [3], [4], [5]; totuşi (repet, dacă am mai spus-o - şi am mai spus-o!), nu faceţi asta înainte de a munci singuri la ele: chiar dacă nu veţi găsi independent rezolvări complete, nimic nu poate înlocui efortul personal, iar satisfacţiile, cele reale, nu vin (orice ar spune unii) decât de pe urma acestuia. Să observăm, mai întâi, că o reprezentare a unui număr natural în această formă generează o infinitate de reprezentări similare ale aceluiaşi număr. E suficient să înlocuim pe m cu m + m+ pentru a obţine, din n = ± ± ±... ± m, n = ± ± ±... ± ( m + m+ ) = ± ± ±... ± m m ± m+, adică (aşa cum am anunţat) o altă reprezentare. O secundă de gîndire şi ne dăm seama că egalitatea m = m + m+ este, de fapt, un caz particular pentru m = m m+... m+p + m+p (unde p poate fi orice număr natural), deci reprezentarea n = ± ± ±... ± m produce, cu această formulă, o infinitate de reprezentări: n = ± ± ±... ± m m m+... m+p ± m+p 4

37 (pentru fiecare p câte una). Astfel că tot ce ne mai rămâne de făcut este să dovedim că fiecare număr impar n (de ce impar? pentru că este evident că numerele pare nu pot avea asemenea reprezentări) are măcar o reprezentare cum cere enunţul. Desigur, putem rezolva problema doar pentru numerele întregi impare pozitive, căci schimbarea tuturor semnelor într-o reprezentare a lui n conduce la o reprezentare a lui n. Cum obţinem deci o scriere ca (să zicem) 33 = ? Pornim de la 33 = 7 şi folosim scrierea 7 = De unde am ştiut-o pe aceasta? Evident, din 7 = 59 şi pe care am aflat-o pornind de la Acum e timpul pentru 59 = ; 59 = 3 = 5 = + ( ) = = = Exerciţiul. Arătaţi (prin inducţie) că orice număr natural impar admite o reprezentare de forma ± ± ±... ± m (pentru un anumit număr natural m şi o anumită alegere a semnelor plus şi minus). Deduceţi că orice număr întreg poate fi reprezentat (într-o infinitate de moduri) în forma ± p ± p+ ±... ± q pentru anumite numere naturale p q şi anumite alegeri ale semnelor plus şi minus. Ipoteza de inducţie se referă la posibilitatea reprezentării în forma cerută a tuturor numerelor mai mici decât, să zicem, k şi conduce la existenţa unei reprezentări pentru k. Pentru asta îl scriem pe k în forma s (t ) şi folosim identitatea fundamentală menţionată şi mai sus: =... u + u+ etc. Aceasta e soluţia pe care (cel puţin eu) am întâlnit-o cel mai des. Mi s-a părut întotdeauna prea complicată (mărturisesc că nici nu am înţeles-o bine de prima dată; de fapt, e uşor de înţeles, dar cînd vrei s-o explici cuiva te loveşti mereu de dificultăţi la alegerea lui u şi aşa mai departe, iar inducţia nu face ca lucrurile să fie mai simple: dar acesta e un fel de a spune că n-ai pătruns în esenţa problemei). De aceea am căutat mereu altă variantă (iar prin cărţi n-am găsit, chiar dacă - nu mă îndoiesc - şi cele ce urmează trebuie să mai fi fost gîndite de altcineva şi, probabil există şi în cărţi, altele decât cele cu care m-am întâlnit eu). Au trecut ani. Într-o zi, explicând unui elev soluţia de mai sus şi văzând cât de greu accede la înţelegerea ei (în ciuda faptului că eu, între timp, chiar am priceput-o 5

38 şi i-o arătam cu exemple şi tot ce trebuie), m-am gândit: trebuie să mai fie şi altă posibilitate! Şi singura idee care mi-a venit a fost să mă leg de reprezentarea în baza doi.într-adevăr, privind numărul 33 scris ca sumă de puteri ale lui : 33 = mi-am dat seama imediat cum trebuie să fac: era suficient să-l înlocuiesc aici pe cu + şi pe 3 cu 3 + 4, ca să obţin scrierea lui 33 în forma căutată. (Era banal!) Iată încă un exemplu: 73 = = E atât de banal, încât, practic, intră în categoria demonstraţii fără cuvinte! Noi vom propune, totuşi, cititorului interesat să formalizeze această demonstraţie, chiar pentru situaţia generală prezentată în exerciţiul anterior (e un fel de a spune: generală ; propriu-zis, nu avem o generalizare efectivă, ci doar una de circumstanţă). Exerciţiul. Fie n un întreg pozitiv, scris n = n + n n k (unde n < n <... < n k ) ca sumă de puteri distincte ale lui. Să se arate că există p q numere naturale şi există o alegere a semnelor plus şi minus astfel încât n = ± p ± p+ ±... ± q. Deduceţi că acest enunţ este valabil pentru orice întreg nenul n (de ce nu şi pentru zero?). (Desigur, p = n şi q = n k, dar pentru q avem o infinitate de posibilităţi; partea a doua rezultă, cum am mai spus, doar prin schimbarea semnelor). Cu asta s-ar părea că am terminat, dar nu e aşa: Propoziţie. Fie n şi m numere naturale nenule, cu n impar şi m > n. Atunci există o alegere a semnelor plus şi minus astfel încât n = ± ± ±... ± m. Demonstraţie. Conform ipotezei, numărul m n este par şi pozitiv. De aceea ( m n) este un întreg pozitiv, prin urmare el poate fi scris ca sumă de puteri ale lui : ( m n) = n + n n k, cu n < n < < n k numere naturale. Deoarece ( m n) < ( m ) = (m+ ) < m, exponenţii n, n,..., n k sunt din mulţimea {,,..., m}. Atunci n = m ( n + n n k ) este scrierea pe care o căutăm. 6

39 De exemplu, să spunem că vrem să găsim o exprimare a lui 33 ca sumă de forma ± ± ±... ±. Pentru asta calculăm ( ) = 97 şi scriem acest număr ca sumă de puteri ale lui 97 = Avem atunci 33 = ( ) == E limpede ca lumina zilei că această demonstraţie conduce la un rezultat general. Chiar aşa şi este: M.O. Drimbe a descoperit această teoremă (generală) şi a publicat-o [] încă din 983! Această întâlnire peste ani mie îmi revelează încă o dată (dacă mai era nevoie) nesfârşita frumuseţe a matematicii. Bibliografie. M.O. Drimbe - O problemă de reprezentare a numerelor întregi, GM -/983, M.O. Drimbe - Problema C:37, GM /984, p A. Engel - Probleme de matematică - strategii de rezolvare, Editura Gil, Zalău, L. Panaitopol, Alexandru Gica - Probleme de aritmetică şi teoria numerelor. Idei şi metode de rezolvare, Editura Gil, Zalău, W. Sierpinski - Elementary Theory of Numbers, (Translated from Polish by A. Hulanicki), Warszawa, 964. Răspuns la recreaţia de la pag.. În reprezentarea lor într-o bază convenabil aleasă, numerele indicate folosesc numai cifra : = (în orice bază b ) 3 = 3 = 3 85 = 4 78 = = = = = 9 7

40 Un episod inedit din matematica românească interbelică Temistocle BÎRSAN, Dan TIBA Unele publicaţii matematice dintre cele două războaie mondiale poartă sigla Institutul Matematic Român cu deviza pitagorică Mundum Regunt Numeri şi anul de înfiinţare 98. Sub egida acestei instituţii academice s-a desfăşurat o activitate variată, sumând un număr important de realizări. Institutul Matematic Român şi-a continuat activitatea chiar şi în primii ani ai celui de-al Doilea Război Mondial. Directorul IMR, şi în acelaşi timp animatorul principal al activităţilor sale, a fost Rodolphe Neculai Racliş (care deseori semna Rodolphe Racliş sau Neculai Racliş). Adresa de corespondenţă indicată era str. Porumbaru 7, Bucureşti, mai târziu Aleea Vulpache, devenită ulterior str. Ankara 5, adică acasă la R.N. Racliş. În perioada la care ne referim, şcoala matematică românească se afirmase şi căpătase deja o recunoaştere şi în afara graniţelor ţării. Legea învăţământului din 98 a dat o lovitură învăţământului matematic prin desfiinţarea secţiei reale prevăzută de legea Haret (898) pentru cursul superior al liceelor. O consecinţă imediată a acestei măsuri a fost scăderea dramatică a cunoştinţelor de matematică ale elevilor din şcolile secundare. În acest context, alături de alte societăţi şi publicaţii ale timpului, IMR a jucat un rol important în susţinerea învăţământului matematic românesc şi dezvoltarea aptitudinilor şi gustului pentru matematică. IMR nu a avut ca scop desfăşurarea unei activităţi sistematice de cercetare ştiinţifică, aşa cum se face astăzi în institutele cu nume similar. Şi-a asumat atributele unei case editoriale publicând trei reviste, cursuri universitare şi manuale şcolare, dar membrii săi au fost totodată realizatori şi redactori ai acestora sau, în multe cazuri, autori ai celor din urmă. Revista Universitară Matematică este, cronologic, prima revistă publicată de IMR şi se adresează candidaţilor la licenţă şi elevilor şcolilor tehnice superioare. Au apărut doar două volume: vol.i din 99, format din patru fascicule, şi vol.ii din 937, o singură fasciculă. Cea de-a patra fasciculă din 99 este dedicată în întregime memoriei lui Traian Lalescu, ilustrul nostru matematician dispărut prematur în acel an, şi cuprinde: un portret al acestuia, scrisorile de condoleanţe primite de la Émile Picard şi Vito Volterra, precum şi cuvintele de doliu trimise de E. Pangrati, Gh. Ţiţeica, D. Pompeiu, V. Vâlcovici ş.a. În celelalte fascicule, în cea mai mare parte a lor, sunt prezentate chestiuni de examen: enunţuri şi soluţii ale subiectelor date la diferite examene de la Facultăţile de ştiinţe din toată ţara sau Şcoala Politehnică din Bucureşti, iar în fascicula din 937 Prof. dr., Univ. Tehnică Gh. Asachi Iaşi Cercet. şt., Inst. de Matematică al Academiei S. Stoilow, Bucureşti 8

41 sunt publicate şi subiecte date în anii anteriori la examenul de capacitate, urmate apoi de soluţii detaliate; fapt notabil, se publică şi componenţa comisiei de examinare, totalul candidaţilor şi numărul şi numele celor admişi. Sunt interesante unele date statistice în această privinţă: la Facultatea de Ştiinţe din Bucureşti, la examenul de geometrie analitică din iunie 97 cu profesorul Gheorghe Ţiţeica, asistat de Dan Barbilian, doar 8 candidaţi au fost admişi din 7 înscrişi; la Facultatea de Ştiinţe din Iaşi, în iunie 98, un singur candidat a fost admis la examenul de astronomie (Gheorghe Gheorghiev, cunoscutul geometru de mai târziu). Sunt publicate un număr mic de note matematice, dar multe materiale de informare: lista lucrărilor de licenţă de la Facultatea de Ştiinţe din Cluj, specialitatea matematică, din anii (vol.i, nr.), un raport al lui Anton Davidoglu asupra desfăşurării examenului de capacitate în care se fac recomandări privind recrutarea corpului profesoral secundar (vol.ii), subiectele discutate în şedinţele Cercului Revistei Universitare (la Bucureşti) în ianuarie 99 etc. (unul dintre conferenţiari fiind academicianul (de mai târziu) Nicolae Teodorescu, cu subiectul Introducere în studiul ecuaţiilor integrale de tip Volterra). Dintre articolele omagiale menţionăm Cincuantenarul lui Émile Picard scris de Traian Lalescu (vol., nr., 99) şi Câteva cuvinte în legătură cu lecţiile D. Paul Montel la Universitatea din Cluj de Gheorghe Călugăreanu (vol., nr.3, 99). Mai cunoscută este revista Numerus ( ), cu prima apariţie la 5 mai 935, cu un conţinut şi un public vizat menţionate în subtitlu: Revistă de matematici elementare pentru învăţământul secundar, normal, profesional şi militar. Apare aproximativ lunar în fascicule, numite caiete; zece caiete formează un volum, iar caietele sunt numerotate în continuare. Secretari de redacţie şi cu un aport important în apariţia revistei au fost Cezar Coşniţă, Virgil Claudian, Traian Angelescu ş.a. Revista a publicat un număr impresionant de probleme propuse, ordonate pe materii şi clase, de subiecte date la bacalaureat în liceele de pe tot cuprinsul ţării, ca şi de subiecte propuse la examenele de capacitate, la probele de matematică elementară. IMR a organizat concursuri anuale pentru rezolvitorii de probleme propuse în Numerus. Aceste concursuri au purtat, succesiv, numele unor matematicieni români sau francezi: Spiru Haret, Traian Lalescu, Edouard Goursat, Henri Poincaré, Gheorghe Ţiţeica, Nicolae Botea (colaborator important al IMR, decedat prematur), Dimitrie Pompeiu, Andrei Ioachimescu. În anii de dinainte de război, erau atraşi mulţi participanţi din toată ţara, care erau toţi listaţi în revistă, iar premianţii (premiile purtau numele concursului) erau înscrişi în liste speciale şi primeau drept recompensă publicaţii ale IMR. Iată şi două informaţii care ne ajută să retrăim momentul istoric: în septembrie 939 s-au prezentat în toată ţara 35 candidaţi şi au fost declaraţi bacalaureaţi 8 ; din cauza concentrarii directorului, secretarilor de redacţie şi colaboratorilor, rezultatul concursului George Ţiţeica la care au luat parte 65 elevi şi eleve se publică în Caietul 59 (octombrie 94). Mai apar în fasciculele revistei unele note matematice şi materiale variate de popularizare şi umanizare a matematicii: portrete ale unor înaintaşi celebri, articole aniversare, aforisme, fantezii matematice. Este de remarcat excelenta calitate 9

42 a portretelor lui Euclid, Arhimede, Descartes, Newton, Euler, Poincaré, precum şi S. Haret, Gh. Ţiţeica, D. Pompeiu, N. Botea, A. Angelescu etc., care erau deseori însoţite de biografia şi prezentarea operei lor. Sunt evocate figuri de mari matematicieni ca R. Descartes (după o conferinţă ţinută de Gh. Ţiţeica la Institut Français des Hautes Études en Roumanie, 937), S. Haret (după discursul de recepţie al lui Gh. Ţiţeica, la Academia Română, 94), I. Newton şi L. Euler (de I. Ionescu), T. Lalescu, Arhimede, H. Poincaré, Gh. Ţiţeica (de Dan Barbilian), P. Fermat, G. Galilei (traduceri). În anii războiului au apărut în revista Numerus unele accente politizante nepotrivite, care nu aveau legătură cu matematica, obiectul revistei. Dintre articolele deosebite publicate menţionăm lucrările Raţionamentul aritmetic şi Adevărata valoare de Dimitrie Pompeiu, articolele Despre ipoteza Fermat şi Despre numerele pitagorice ale lui Gabriel Sudan, Problema celor patru culori de Ion Armean, descrierea Congresului Interbalcanic de la Bucureşti din septembrie 937 sau a sărbătoririi lui Paul Montel în 938 la Universitatea din Cluj. Revista în limba franceză Annales Roumaines de Mathématiques, de fapt o colecţie (bibliotecă) de cărţi sau memorii consacrate din literatura matematică şi având autori români, a publicat sau republicat sub formă de fascicule (numite caiete) următoarele: La géométrie du triangle de Traian Lalescu (caietul ), Sur les couples transformables de Alexandru Pantazi (caietul ), La dérivée aréolaire de Nicolae Teodorescu (caietul 3), Coordonnées barycentriques de Cezar Coşniţă (caietul 4) şi Recherches sur le grand théorème de Fermat de R.N. Racliş (caietul 5). Cărţile La géométrie du triangle şi Coordonnées barycentriques, care apăruseră anterior fragmentat în caietele revistei Numerus, au fost copublicate în Annales Roumaines de Mathématiques şi de editura Vuibert, Paris, în anii 938, 94; prima este deschisă cu o scrisoare a lui É. Picard şi o prefaţă semnată de Gh. Ţiţeica, iar cea de-a doua este prefaţată de D. Pompeiu. În 958 a apărut şi ediţia în limba română a cărţii lui T. Lalescu, Geometria triunghiului, care ne-a ajutat şi ne-a încântat pe mulţi dintre noi. Cu o intenţie asemănătoare, în Numerus, vol. 4-6, a fost publicată traducerea primelor trei cărţi ale Elementelor lui Euclid; nu s-a continuat, deoarece între timp a apărut traducerea integrală, în Biblioteca Gazetei Matematice. O altă componentă importantă a activităţii IMR este publicarea de cursuri universitare şi manuale şcolare grupate respectiv în Biblioteca Universitară şi Colecţia Numerus. În centrul acestei activităţi se află R.N. Racliş, care a editat, reeditat, revizuit sau alcătuit după note de curs un număr însemnat de tratate şi cursuri universitare profesate la Facultatea de Ştiinţe sau Şcoala Politehnică din Bucureşti: Curs de geometrie analitică de Gheorghe Ţiţeica, Curs de analiză infinitezimală de Anton Davidoglu, Probleme de geometrie analitică de Dan Barbilian, Curs de geometrie descriptivă de Ermil Pangrati şi Gheorghe Nichifor, Curs de algebră superioară de R. Racliş şi multe altele. În Colecţia Numerus au apărut, în mai multe ediţii, manualele: Geometrie de R. Racliş, V. Claudian şi C. Coşniţă (pentru clasele de liceu:,3,4,5,6), Aritmetică de R. Racliş şi Traian Angelescu (pentru clasele:,,3), Probleme deslegate de examen de R. Racliş, V. Claudian şi C. Coşniţă ş.a. 3

43 R. Racliş a editat o parte importantă a operei didactice a lui Traian Lalescu în publicaţiile IMR. În prefaţa la Culegere de probleme de geometrie descriptivă, ediţia a II-a, 935, el spune: La cinstea de a fi fost elevul lui Traian Lalescu şi colaboratorul lui, la Facultatea de Ştiinţe din Bucureşti, în ultimii lui patru ani, se adaugă cinstea de a mi se încredinţa, în mod exclusiv, publicarea tuturor lucrărilor ilustrului meu Maestru. Menţionăm şi faptul că IMR a instituit Medalia Traian Lalescu pentru comemorarea la 5 iunie 939 a zece ani de la moartea acestuia; medalia era decernată elevilor bacalaureaţi care sumau un punctaj ridicat la concursurile anuale ale revistei Numerus, dar şi profesorilor ce au pregătit un număr mare de elevi premiaţi la aceste concursuri. În fine, a existat şi un Premiu Traian Lalescu ce se acorda celor mai distinşi licenţiaţi în ştiinţe matematice sau ingineri diplomaţi. Prin publicistica bogată şi variată, concursuri, cercuri, congrese, aniversari şi comemorări, premii şi medalii, cât şi prin atragerea colaborarării unor iluştri matematicieni, din ţară şi străinătate, Institutul Matematic Român a avut o contribuţie remarcabilă la ridicarea nivelului învăţământului românesc, întreaga sa activitate putând fi un model de urmat chiar şi astăzi. Bibliografie. - Annales Roumaines de Mathématiques -colecţie.. - Revista Universitară Matematică, vol.i (99) şi vol.ii (937) Revista Numerus-colecţie. 4. G.Şt. Andonie - Istoria matematicii în România, vol.i (965), pp ; vol.ii (967), pp , Ed. Ştiinţifică, Bucureşti. 5. N. Mihăileanu - Revistele de matematici elementare (pp.8-87, pp.-3, p.5), Ed. Gil, Zalău, *** - Traian Lalescu, un nume peste ani, Curtea Veche, Bucureşti, 7. LAMPAS UTILITATIS, prima candelă, arată că nu putem împărtăşi matematica mulţimii oamenilor decât dacă ne oprim mai întâi asupra utilităţii ei. LAMPAS DECORIS, candela frumuseţii; adevăratul succes în transmiterea cunoştinţelor de matematică este posibil numai dacă ştim că matematica este tot atât de frumoasă pe cât este de utilă. LAMPAS IMAGINATIONES, candela a treia; în matematică, niciodată nu s-a făcut o descoperire fără impulsul imaginaţiei, care deschide calea pe care logica s-o urmeze. LAMPAS POESIS, candela poeziei. Matematicile spune Ion Barbu/Dan Barbilian - pun în joc puteri sufleteşti, nu mult diferite de cele solicitate de poezie şi artă, iar cei care n-au simţit poezia matematicii ar fi mai bine să n-o mai profeseze. LAMPAS MISTERII, candela a cincea, dezvăluie lumii unul din farmecele ştiinţei: slujitorii ei au fost confruntaţi, în fiece epocă, cu mari probleme, cărora, odată rezolvate, le-au luat locul altele. 3

44 SEBASTIAN ANIŢA (94-) Este aproape o cutezanţă să speri că vei găsi cuvintele potrivite pentru a istorisi cariera de peste patru decenii a profesorului de matematică Sebastian Aniţa. Vom încerca însă în rândurile următoare să prezentăm, atât cât ne stă în putinţă, realizările acestui eminent discipol al şcolii de matematică de la Iaşi, la rândul său creator de pasiuni pentru matematică în rândul celor care au avut şansa de a-i fi fost elevi sau de a-i fi citit cărţile scrise cu har. S-a născut la 3 septembrie 94, în satul Basarabi, comuna Preuţeşti, judeţul Suceava, în familia lui Sevastian şi a Anicăi Aniţa, gospodari de frunte ai satului, părinţi care au sădit dragostea de carte în sufletele celor şase copii ai lor. A absolvit, în anul 959, Liceul Nicu Gane din Fălticeni, şcoală cu renume a învăţământului moldav. În anul 964 a obţinut licenţa în matematică la Facultatea de matematică a Universităţii Alexandru Ioan Cuza din Iaşi şi, în acelaşi an, şi-a început activitatea la Grupul Şcolar de Chimie nr. 3 din Iaşi. A fost apoi transferat, în anul 967, la Liceul Teoretic Al.I. Cuza, şcoală tânără, dar cu un prestigios corp profesoral şi cu elevi având dorinţă de învăţătură. În acest timp, profesorul Sebastian Aniţa a parcurs cu siguranţă şi reuşită deplină examenele carierei didactice, obţinând gradul I în anul 977. Din anul 98 a fost transferat la Liceul Naţional (astăzi Colegiul Naţional Iaşi). În momentul plecării sale de la liceul Cuza s-a întâmplat un lucru despre care nu avem cunoştinţă că ar avea precedent: o întreagă clasă şi-a cerut transferul, nedorind să se despartă de profesorul iubit. Apreciat unanim pentru calitatea actului didactic practicat, Sebastian Aniţa a avut ca dominantă a personalităţii sale permanenta dorinţă de autodepăşire. Ca o anecdotă, în anul, în prag de pensionare, a participat activ, împreună cu mai tineri colegi, la un stagiu de formare pentru profesorii examinatori, împărtăşind din experienţa sa, dar în acelaşi timp urmărind conştiincios cursurile predate. Drumul spre înalta performanţă a elevilor săi l-a pregătit printr-o asiduă muncă de autoperfecţionare, precum şi printr-o permanentă colaborare cu elevii. A fost un promotor al pregătirii centralizate a tinerilor cu aptitudini pentru matematică, susţinând lecţii în cadrul cursurilor săptămânale adresate acestora în anii 7. Recunoaşterea 3