1. Funcţii speciale. 1.1 Introducere

Transcription

1 Introducere Dacă o anumită ecuaţie diferenţială (reprezentând de obicei un sistem liniar cu coeficienţi variabili) şi soluţie sa sub formă de serie de puteri apare frecvent în practică, atunci i se dă un nume şi se introduc simboluri speciale care să le definească. Proprietăţile funcţiilor sunt studiate şi tabelate şi această informaţie devine a resursă care poate fi exploatată de către ingineri. Am văzut că sistemele liniare cu coeficienţi constanţi au soluţii care pot fi scrise în raport cu funcţii elementare (sinusoide, exponenţiale, etc.). Aceste funcţii se numesc elementare deoarece ele sunt tratate în detaliu în cursurile de algebră elementară, trigonometrie şi calcul numeric şi sunt folosite frecvent în numeroase aplicaţii inginereşti. Pe scurt, deoarece aceste funcţii ne sunt familiare, le putem folosi cu uşurinţă şi ne vom referi la ele sub denumirea de funcţii elementare. Prin contrast, funcţiile cu care nu suntem la fel de familiarizaţi sunt mai dificil (cel puţin la început) de folosit în aplicaţii iar uneori ne referim la acestea prin funcţii ne-elementare, funcţii speciale, sau funcţii transcendente. Vom folosi denumirea de funcţii speciale pentru a sublinia semnificaţia lor specială pentru diferite aplicaţii inginereşti. O caracteristică particulară a acestor aşa-numite funcţii speciale este o proprietate numită ortogonalitate. În această subcapitol, vom defini această proprietate, vom identifica pe scurt câteva funcţii care împart această caracteristică specială, şi vom da câteva detalii suplimentare pentru două cazuri particulare (polinoamele Legendre şi funcţiile Bessel). În capitolul următor se va face o generalizare pentru a cuprinde o întreagă clasă de probleme care au drept soluţie funcţii ortogonale, cunoscute sub numele de probleme Sturm- Liouville. 1.2 Funcţii ortogonale Se spune despre două funcţii că sunt ortogonale dacă integrala definită pe un domeniu dat a produsului lor este nulă. Proprietatea de ortogonalitate este aplicată de obicei la o clasă de funcţii care diferă prin una sau mai multe variabile (şi care reprezintă de obicei soluţia de bază a probleme cu valori proprii omogene cu un număr infinit de soluţii de tip funcţii proprii). De exemplu, o clasă de sinusoide se poate reprezenta ca 1

2 unde n este un întreg pozitiv. O funcţie particulară poate fi f(x) = ψ 2 (x) = sin 2x. Ne referim la o funcţie arbitrară care aparţine acestui set folosind pur şi simplu indicele discret "n", unde a "n"-a funcţie se notează cu ψ n (x), a "m"-a cu ψ m (x), etc.. Proprietatea de ortogonalitate poate fi formulată matematic prin relaţia unde şi δ mn este funcţia delta Kronecker care este egală cu unitatea dacă m = n şi este egală cu zero dacă m n. Dacă g m = 1, atunci se spune că g m (x) este o funcţie ortonormală. Proprietatea de ortogonalitate este importantă deoarece funcţii cu această caracteristică sunt folosite adesea la dezvoltarea unor funcţii arbitrare în dezvoltări în serii infinite cu termeni exprimaţi în raport cu funcţiile de bază. De exemplu, funcţia f(x) poate fi scrisă în termenii unei serii Fourier generalizate, ca unde a n sunt coeficienţii dezvoltării. Proprietatea de ortogonalitate intervine atunci când se încearcă determinarea unei relaţii pentru coeficienţii a n. Pentru a vedea acest lucru, se înmulţeşte ec. (8.4) cu cea de-a "m"-a funcţie, g m (x), şi se integrează pe domeniul de interes. Făcând aceasta, se obţine sau unde simbolul sumei este eliminat din ultima egalitate din ec. (8.5) deoarece ortogonalitatea impune ca toţi termenii din suma infinită să fie zero cu excepţia termenului pentru care n = m. Această simplificare este esenţială în numeroase aplicaţii practice, şi ea nu ar fi posibilă fără proprietatea de ortogonalitate (aşa cum este ea definită în ec. (8.2)). Vedem astfel importanţa majoră a acestei caracteristici. Seria Fourier generalizată dată în ec. (8.4) este o dezvoltare în serie de funcţii proprii în termenii unui set complet de funcţii ortogonale de bază. Alegerea funcţiilor de bază este determinată de obicei de domeniul de interes şi condiţiile la limită impuse lui f(x). Funcţiile de bază se obţin de obicei dintr-o problemă Sturm-Liouville din care rezultă un set de funcţii proprii ortogonale (pentru detalii suplimentare vezi capitolul următor). Noţiunea de completeness implică ca seria Fourier generalizată să conveargă pentru n. Deşi de interes teoretic, o dovadă riguroasă de completeness este adesea nenecesară, deoarece în problemele practice, seria este aproape întotdeauna trunchiată la primii termeni. În final, vom nota că, în multe cazuri, funcţii de bază pot fi ortogonale în raport cu o funcţie pondere, p(x). Acest lucru înseamnă că 2

3 unde normalizarea este dată de Pentru acest caz relaţia de bază pentru dezvoltarea în serie este nemodificată (adică ec. (8.4) este aceeaşi), dar expresia pentru coeficienţii dezvoltării este modificată corespunzător pentru a se obţine 1.3 Generalităţi despre câteva funcţii speciale Aşa cum am menţionat, există un număr de funcţii speciale care apar frecvent în numeroase domenii. De exemplu, mai jos sunt tabelate câteva dintre cele mai importante funcţii speciale şi unele dintre proprietăţile lor. De reţinut că toate aceste funcţii speciale au ortogonalitatea drept caracteristică comună Polinoame Legendre Ecuaţia diferenţială (n este un întreg nenegativ) Formula lui Rodrique Funcţia generatoare Relaţia de recurenţă Ortogonalitatea Funcţii Legendre asociate (pentru m = 0, acestea se reduc la polinoamele Legendre) Ecuaţia diferenţială (n şi m sunt întregi ne-negativi) Formula lui Rodrique Ortogonalitatea 3

4 1.3.3 Polinoame Hermite Ecuaţia diferenţială (n este un întreg nenegativ) Formula lui Rodrique Funcţia generatoare Relaţia de recurenţă Ortogonalitatea Polinoame Laguerre Ecuaţia diferenţială (n este un întreg ne-negativ) Formula lui Rodrique Funcţia generatoare Relaţia de recurenţă Ortogonalitatea Funcţii Bessel Ecuaţia Bessel ordinară Soluţia generală (ordinară) Ecuaţia Bessel modificată Soluţia generală (modificată) Funcţii Hankel Obs: Mai multe relaţii de recurenţă, derivate şi integrale pentru funcţiile Bessel sunt date într-un paragraf următor. Proprietatea de ortogonalitate a funcţiilor Bessel ordinare, care e întrucâtva mai complicată datorită legăturii cu condiţiile la limită impuse pentru o anumită problemă, este tratată de asemenea ulterior. 1.4 Funcţia Gamma Deşi nu se încadrează în aceeaşi clasificare ca funcţiile speciale enumerate în subcapitolul anterior, aşa-numita funcţie Gamma este de asemenea o funcţie importantă întâlnită frecvent în practică (şi de care vom avea nevoie în demonstraţiile ulterioare). Funcţia gamma este expresie integrală care se defineşte după cum urmează: 4

5 Această integrală este convergentă pentru n > 0. Deoarece integralele de acest tip apar atât de frecvent, devine convenabil să dezvoltăm şi să tabelam anumite relaţii cheie pentru folosirea ulterioară. În particular, în continuare sunt date trei astfel de expresii legate de funcţia gamma Relaţii pentru funcţia Gamma Pentru orice n pozitiv Γ(n+1) = n Γ(n) Pentru un întreg pozitiv Γ(n+1) = n! Pentru n = 1/2 Γ(1/2)= π Restul acestui paragraf demonstrează aceste trei relaţii şi dă un exemplu simplu de aplicare a lor. Să demonstrăm că, pentru orice n pozitiv, Γ(n+1) = n Γ(n). Pentru a vedea acest lucru, din ec. (8.10) avem că Dacă integrăm acum prin părţi, cu, şi notăm u = x n şi dv = e -x dx atunci: du = n x n-1 dx, iar v = -e -x Prin urmare, Să demonstrăm că, pentru un întreg pozitiv, Γ(n+1) = n!. Dacă n este un întreg pozitiv, atunci sau, în general, Γ(n+1) = n! (unde Γ(n) este uneori denumită funcţie factorial generalizată). Să demonstrăm că, pentru n = 1/2, Γ(1/2)= π. Dacă în definiţia de bază considerăm n = 1/2 se obţine, Dacă notăm x = u 2, avem dx = 2u du şi înlocuind acest rezultat în integrală, expresia originală se reduce la Ridicând la pătrat acest rezultat se obţine 5

6 Trecând acum la coordonate polare cu u = r cosθ şi v = r sinθ, avem iar cu limitele domeniului u,v redus la primul cadran, adică 0 < u < şi 0 < v <, limitele pentru r şi θ devin 0 < r < şi 0 < θ < π/2. Prin urmare, expresia de mai sus devine Astfel, am arătat că Γ(1/2)= π. 1.5 Ecuaţia Legendre şi polinoamele Legendre (în detaliu) Pentru a ilustra modul de calcul necesar pentru a deduce şi lucra cu funcţiile speciale identificate anterior, să dezvoltam cumva discuţia despre ecuaţia Legendre şi polinoamele Legendre. Deducerea şi manipularea celorlalte funcţii speciale se face într-o manieră similară (în special diferitele relaţii polinomiale - de exemplu, polinoamele Hermite şi Laguerre) Soluţia cu serii de puteri Să ne reamintim că ecuaţia Legendre este dată de relaţia Deoarece ec. (8.11) este analitică în jurul lui x 0 = 0, pentru determinarea lui y(x) se poate folosi metoda standard a seriilor de puteri. Pentru acest caz, fie şi după înlocuirea acestei forme şi relaţiilor corespunzătoare pentru derivate în ecuaţia originală, se obţine relaţia de recurenţă unde a 0 şi a 1 sunt constante arbitrare iar m = 0, 1, 2,. Prin urmare, soluţia la ecuaţia Legendre se poate scrie ca unde şi 6

7 Aceste serii sunt convergente pentru x Forma standard pentru polinoamele Legendre În numeroase cazuri, "n" din ec. (8.11) va fi un întreg ne-negativ. Când acest lucru este adevărat, expresiile de mai sus (adică ec. (8.15) şi (8.16)) se reduc la polinoame de ordinul n. În particular, y 1 (x) este un polinom de ordinul n dacă n este par, iar y 2 (x) este un polinom de ordinul n dacă n este impar. Aceste polinoame, înmulţite cu anumite constante, se numesc polinoame Legendre. Pentru a aduce aceste polinoame la o formă standard, să rezolvăm relaţia de recurenţă de mai sus pentru a m, obţinându-se unde Acum, în loc să scriem toţi coeficienţii care nu dispar în funcţie de a 0 sau a 1, să-i scriem în funcţie de coeficientul cu puterea cea mai mare a lui x (adică a n ). În particular, dacă îl alegem pe a n ca fiind se obţine pentru toţi n unde domeniul de interes este -1 x 1. Pentru a aduce polinoamele în forma finală, observăm că folosind ec. (8.17) cu m = n - 2 obţinem şi, după câteva calcule, aceasta poate fi scrisă ca Efectuând calcule similare cu m = n-4, ec. (8.17) poate fi scrisă de asemenea ca Această metodă poate fi continuată pentru deducerea unei relaţii generale de calcul pentru a n-2m unde n-2m 0, sau 7

8 şi unde M = n/2 sau M = (n-1)/2, dintre care oricare este un întreg. Obs: Paşii de mai sus, deşi nu în întregime riguroşi, dau o idee de bază pentru aducerea soluţiei generale la o formă standard. Detaliile aici nu prezintă o foarte mare importanţă, dar ec. (8.19) - (8.21) sunt într-adevăr importante, şi ele reprezintă aşa numitele polinoame Legendre în formă standard. Forma particulară prezentată aici este întrucâtva arbitrară, dar este consecventă cu majoritatea literaturii asupra acestui subiect Câteva polinoame Legendre de ordin inferior Putting specific values în ecs. (8.20) şi (8.21) gives (recall care ): n m P n (x) 0 0 P 0 (x) = (1)(2)! P 1 (x) = 2(1)(1)(1) x = x 2 0, 1 (1)(4)! (-1)(2)! P2 (x) = 4(1)(2)!(2)! x2 + 4(1)(1)(1) x0 = (3x 2-1)/2 3 0, 1 Etc. (dar calculele devin greoaie) Câteva relaţii importante De reţinut că formula lui Rodrique poate fi de asemenea folosită la generarea de formule explicite pentru polinoame Legendre de ordin inferior. În particular, dacă se dă formula lui Rodrique, se pot deduce expresiile polinoamelor de ordin inferior după cum urmează: n P n (x) 0 P 0 (x) = Etc. (dar şi aici calculele devin greoaie) Cea mai bună metodă de a genera formule explicite pentru polinoamele Legendre este de a folosi una dintre numeroasele relaţii de recurenţă disponibile. Aceste relaţii de recurenţă 8

9 sunt utile în special pentru calculul polinoamelor Legendre şi a derivatelor lor cu ajutorul calculatorului. În particular, două astfel de relaţii des folosite sunt: şi Pentru a ilustra modul de folosire a ec. (8.23), să deducem o expresie explicită pentru P 3 (x). Ca să facem acest lucru, în relaţia de recurenţă vom lua pur şi simplu n = 2, sau Astfel, Deoarece P n (x) este un simplu polinom de ordinul n, se pot calcula cu uşurinţă prima derivată sau cele de ordin superior. De exemplu, P 2 '(x) este dată de Cu toate acestea, o formula recurenţă, este foarte utilă pentru implementarea pe calculator. Folosind ec. (8.24), se poate obţine acelaşi rezultat prin sau P 2 '(x) = 3x, la fel ca mai înainte. Aşa cum s-a indicat anterior, cea mai importantă caracteristică a aşa-numitor funcţii speciale este proprietatea de ortogonalitate (vezi subcapitolul corespunzător). Pentru polinoamele Legendre, această relaţie se scrie sub forma unde δ mn este funcţia delta Kronecker. Să derivăm formal această relaţie de ortogonalitate, pentru a arăta metoda de bază care este folosită pentru majoritatea demonstraţiilor de acest tip. Deoarece P m (x) şi P n (x) satisfac ecuaţia Legendre, avem pentru m n Dacă se înmulţeşte acum ec. (8.28) cu P n (x) şi ec. (8.29) cu P m (x) şi se scad expresiile rezultate rezultă dar 9

10 Prin urmare, expresia de mai sus se reduce la Dacă privim la membrul stâng al acestei ultime expresii, vedem că Deci, În final, prin integrarea acestei expresii pe domeniul de interes se obţine Observaţi că prima parte a acestei expresii dispare deoarece termenul (1-x 2 ) calculat la limită tinde la zero. Astfel, deoarece m n, relaţia de mai sus se reduce la Această relaţie exprimă proprietatea de ortogonalitate pentru m n. Deducerea unei expresii generale pentru normalizare (adică pentru cazul în care m = n) nu este deloc simplă şi există un număr de abordări care pot fi folosite (dintre care toate sunt tedious). Abordarea aleasă aici începe cu funcţia generatoare pentru polinoamele Legendre, Ridicând la pătrat ambii membri ai ec. (8.32) rezultă Dacă integram acum această expresie obţinem unde ultima egalitate este un rezultat al relaţiei de ortogonalitate din ec. (8.31). Lucrând la membrul stâng al acestei expresii, cu notaţiile a = 1 + t 2 z = -2tx şi dz = -2tdx avem că 10

11 Dar pentru t 2 < 1, termenul conţinând funcţia log natural poate fi rescris sub forma unei dezvoltări în serie infinită ca Deci, integrala devine În final, rezultatul este şi egalând coeficienţii corespondenţi, vedem ca care este normalizarea căutată pentru relaţia de ortogonalitate a polinoamelor Legendre când m = n Observaţii legate de aplicarea practică Scopul principal al demonstraţiilor anterioare este simpla demonstrare a câtorva relatii importante pentru un anumit set de polinoame ortogonale. Calcule Similare pot fi făcute pentru alte funcţii ortogonale (polinoame Hermite, polinoame Laguerre, etc.). Trebuie subliniat că alegerea unor anumite polinoame ortogonale pentru o problemă dată este adesea impusă de domeniul de interes. De exemplu, în cazul polinoamelor Legendre, funcţii sunt ortogonale pe intervalul -1 x +1 şi acest domeniu le face potrivite în special pentru problemele în coordonate sferice. În particular, polinoamele Legendre sunt intens folosite unde dependenţa directională a unei mărimi este tratată explicit - cum ar fi cazul problemelor de transport a particulelor. Adesea, una dintre of variabilele de direcţie, să spunem θ, variază între 0 şi π (adică 0 θ π) şi o simplă schimbare de variabilă, μ = cos θ, îl duce pe μ între ±1; domeniu de interes pentru polinoamele Legendre. De exemplu, să considerăm că o mărime Σ, depinde de o variabilă direcţie θ. Atunci, Σ(θ) Σ(cos θ) Σ(μ) unde μ = cos θ iar Σ(μ) se poate scrie în funcţie de polinoamele Legendre, sau 11

12 unde, în practică, seriile infinite sunt trunchiate la un număr finit de termeni, rezultând o relaţie aproximativă pentru Σ(μ). Prima parte a ec. (8.35) este doar o reprezentare în serie Fourier generalizată (denumită uneori serie Fourier-Legendre) pentru funcţia Σ(μ). Trunchierea la un număr finit de termeni reprezintă aproximaţia obişnuită care se face în majoritatea problemelor practice. Coeficienţii dezvoltării din ec. (8.35) pot fi aflaţi prin înmulţirea ambilor membri ai expresiei cu P m (μ) iar prin integrare se obţine În sfârşit, dacă se foloseşte pur şi simplu proprietatea de ortogonalitate a polinoamelor Legendre şi se exprimă a n, se obţine sau Se calculează şi se memorează prin coeficienţii a n informaţiile de bază despre Σ(μ), iar apoi, când este necesar, se reconstruieşte Σ(μ) folosind ec. (8.35). 1.6 Ecuaţii Bessel şi funcţii Bessel (în detaliu) O altă clasă importantă de funcţii speciale o formează aşa numitele funcţii Bessel. Aceste funcţii sunt aplicabile într-o gamă largă de situaţii şi, similar altor funcţii speciale, un anumit set particular de funcţii Bessel are de asemenea proprietatea de ortogonalitate. Acest subcapitol tratează definirea şi folosirea funcţiilor Bessel şi evidenţiază câteva aspecte cheie care sunt utile în aplicaţiile practice Ecuaţia Bessel Ecuaţia Bessel ordinară este scrisă ca unde ν reprezintă ordinul funcţiei Bessel iar λ este un parametru din argumentul funcţiei Bessel rezultante. Dacă notăm t = λx, atunci şi Prin urmare, cu aceste înlocuiri, ec. (8.37) devine 12

13 Această formă, scrisă cu t = x, duce la Aceasta este cea mai des întâlnită formă a ecuaţiei Bessel. Alegerea este într-un fel nefericită deoarece ec. (8.37) este mult mai generală şi apar mai frecvent in practică. Cu toate acestea, după cum se arată aici, modificarea formei pentru a include un parametru λ este clară (se înlocuieşte pur şi simplu x cu λx) Rezolvarea prin metoda seriilor de puteri Deoarece ec. (8.39) are punct singular obişnuit în x = 0, trebuie să folosim metoda a seriilor de puteri extinse. Astfel, vom încerca şi, după înlocuirea acestei presupuse soluţii şi a derivatelor sale în ecuaţia differenţială definitorie, ecuaţie indicială devine (pentru a 0 0), Se obţin deci, două rădăcini: r 1 = ν şi r 2 = -ν. Dacă ne concentrăm mai întâi asupra lui r 1 = ν, relaţia de recurenţă devine pentru m = 1,2,3,. Această formă este puţin diferită faţă de cazul obişnuit. Concret, deoarece la reprezentarea tipică toţi coeficienţii impari dispar (adică a 1, a 3, a 5, =0), se înlocuieşte m cu 2m-2, care se reduce apoi la ec. (8.42), unde indicele m ia valori de la 1 la din unitate în unitate (din acest motiv coeficientul de mai sus este scris ca a 2m ). În sfârşit, pentru a aduce soluţia la forma standard, se defineşte a 0 ca iar prima soluţie a ecuaţiei Bessel ordinare devine Această funcţie se numeşte an funcţie Bessel ordinară de primul tip şi se notează cu J ν (x). După câteva calcule, reprezentarea în serie infinită pentru J ν (x) poate fi scrisă as unde Γ(n) este funcţia factorial generalizată (adică funcţia Gamma). Ecuaţia (8.45) este definiţia formală a lui J ν (x) şi această serie este convergentă pentru toate valorile lui x. Efectuând calcule similare, pentru r 2 = -ν se obţine o a doua soluţie a ec. (8.39), sau 13

14 Această serie converge pentru toate valorile lui x cu excepţia lui x = Independenţă liniară Dacă ν nu este un întreg, J ν şi J -ν sunt liniar independente. Aceasta se poate vedea analizând funcţiile în apropierea lui x = 0. Lângă x = 0, exponentul negativ din J -ν indică că această funcţie este independentă, în timp ce J ν este clar dependentă. Prin urmare, cele două funcţii nu sunt proporţionale astfel încât ele trebuie să fie linear independente. Dacă ν este întreg, situaţie este diferită. În acest caz, cele două rădăcini ale ecuaţiei indiciale din soluţia cu serie de puteri diferă printr-un întreg, şi am învăţat să fim prudenţi asupra independenţei liniare atunci când se întâmplă acest lucru. Pentru a analiza mai în detaliu problema independenţei liniare, să considerăm următoarea egalitate, Membrul stâng al acestei relaţii este pur şi simplu Wronskianul lui J ν şi J -ν (cu semn negativ), sau Acum, pentru ν = n unde n este un întreg, membrul drept al ec. (8.47) este clar zero (adică sin nπ = 0 pentru n întreg). Prin urmare, W = 0, iar J n şi J -n are linear dependenţi. De fapt, este uşor de arătat din reprezentarea sub formă de serii infinite că, pentru un n întreg, Dacă ν nu este un întreg, sin νπ 0 şi W 0, iar cele două soluţii, J ν şi J -ν, sunt linear independent (după cum s-a arătat mai sus). Prin urmare, în acest caz soluţie generală a ecuaţiei Bessel ordinare devine Când ν = n este un întreg, e nevoie să găsim o a două soluţie liniar independentă prin alte mijloace Funcţii Bessel ordinare de tipul al doilea În căutarea unei a doua soluţii liniar independente, să considerăm următoarea demonstraţie. Pentru ν întreg, J ν (x) şi J -ν (x) sunt linear independente iar ec. (8.50) reprezintă soluţia generală a ec. (8.39). Să definim acum o nouă funcţie, Y ν (x), exprimată in funcţie de aceste două funcţii liniar independent, sau Acum, deoarece J ν (x) şi Y ν (x) sunt liniar independente pentru ν ne-întreg, soluţia generală a ecuaţiei Bessel se poate scrie ca unde este uşor de observat corespondenţa cu ec. (8.50) cu valorile lui c 0 şi c 1 date de 14

15 Adevăratul nostru scop la aceste calcule este de a determina ce se întâmplă atunci când ν devine an întreg. Pentru această situaţie, să trecem la limită ec. (8.51) prin ν n. Făcând această operaţie se obţine care, via ec. (8.49), duce după înlocuire la o nedeterminare, sau Astfel, pentru a determina această limită, se foloseşte regula lui l Hospital, adică unde este important de observat că derivata este făcută în raport cu ν. După trecerea efectivă la limită, avem Iar acum luând derivatele indicate, termen cu termen, şi simplificând, se obţine (după numeroase calcule!!!) cu unde γ este cunoscută drept constanta lui Euler. Deşi această funcţie este "urâtă" şi se lucrează extrem de greu cu ea in această formă, ea este, cu toate acestea, o funcţie importantă. Ea este binecunoscută şi poate fi transformată, calculată numeric, trasată grafic, derivată, integrată, etc., la fel ca şi orice altă funcţie. Y ν (x) şi Y n (x) sunt cunoscute sub numele de funcţii Bessel ordinare de tipul al doilea. Pentru calculul numeric, funcţiile Bessel ordinare de primul şi al doilea tip, sunt de obicei aproximate cu dezvoltări polinomiale, ai căror coeficienţi sunt tabelaţi, şi, ori de câte ori este nevoie de valorile lui J ν (x) sau Y ν (x), ele se calculează cu un polinom relativ simplu Rezumatul expresiilor de calcul - Funcţii Bessel ordinare Ecuaţia Bessel ordinară 15

16 Soluţia generală (ordinară) Definiţie lui Y ν Definiţie of Y n Rezumatul expresiilor de calcul - Funcţii Bessel modificate Ecuaţia Bessel modificată Soluţia generală (modificată) Definiţie lui I ν Definiţie lui of K ν Definiţie lui of K n În tabelul de mai sus, I ν (λx) se numeşte funcţia Bessel modificată de primul tip iar K ν (λx) se numeşte funcţia Bessel modificată de al doilea tip. I ν şi K ν sunt liniar independente pentru orice ν > Rezumatul expresiilor de calcul - Funcţii Hankel Funcţiile Hankel de primul şi de al doilea tip of sunt conjugate complexe şi ele sunt scrise ca Proprietăţi suplimentare şi relaţii între funcţiile Bessel Câteva formule de recurenţă importante (pentru simplitate nu a fost inclusă dependenţa funcţională de x): Câteva formule importante de derivare: Câteva formule importante de integrare: Formulele de derivare se pot folosi pentru a obţine diferite relaţii integrale. De exemplu, expresia de mai sus a lui J ν '(x), dă pentru ν = 0 Astfel, din această relaţie, avem J 0 ' (x) = -J 1 (x) 16

17 Similar, expresia lui J ν '(x), pentru ν = 1, dă Membrul stâng al ultimei expresii poate fi scris ca derivata produsului xj 1 (x), sau Prin urmare, din integrarea acestei expresii se obţine Exemple de grafice şi valori limită pentru funcţiile Bessel de ordin inferior Este important să cunoaştem comportarea funcţiilor Bessel pentru diferite valori ale argumentului x. Această este adevărată în special pentru funcţii Bessel întregi de ordin inferior deoarece acestea apar frecvent în aplicaţiile practice. Pentru a arăta această comportare, a fost scris un scurt program MATLAB numit BESSPLT.M care trasează grafic câteva funcţii Bessel de ordin inferior iar graficele rezultate sunt date în Fig De aici se observă în mod evident că funcţiile Bessel ordinare sunt de natură oscilatorie iar funcţiile Bessel modificate tind să arate ca exponenţiale Fig. 8.1 Grafice ale funcţiilor Bessel de ordin inferior. descrescătoare şi crescătoare (această este doar o descriere grosieră). Listingul fişierului BESSPLT.M este dat Table 8.1, şi acest poate servi ca un exemplu al modului în care se lucrează cu funcţiile Bessel în MATLAB. Prezintă de asemenea interes şi valorile limită ale funcţiilor Bessel întregi de ordin inferior pe intervalul [0 x ]. În particular, valorile limită poate fi rezumate după cum urmează: J 0 (x) J 1 (x) Y 0 (x) Y 1 (x) I 0 (x) I 1 (x) K 0 (x) K 1 (x) pentru x pentru x oscilează oscilează oscilează oscilează 0 0 Aceste valori sunt utile în special la calculul condiţiilor la limită pentru PCL care pot fi rezolvate in raport cu funcţii Bessel de ordin întreg. 17

18 Există încă multe alte relaţii utile legate de funcţiile Bessel, care nu au fost tabelate aici dar care pot fi găsite în literatura de specialitate Ecuaţii rezolvabile în raport cu funcţiile Bessel Dacă (1 - a) 2 4c şi d, p, q sunt diferite de zero, atunci ecuaţia diferenţială are soluţia completă unde cu condiţiile: 1. dacă d < 0, J v şi Y v se înlocuiesc cu I v şi K v 2. dacă ν n, Y v şi K v se pot înlocui cu J v şi I v Există o singură excepţie de la regula de mai sus, când ecuaţia se reduce exact la o ecuaţie Euler-Cauchy de ordinul al doilea de forma care are soluţiile de forma y = x m (vezi capitolul 2). Expresiile rezumate de ec. (8.59) - (8.61) reprezintă o metodă de rezolvare analitica a unei largi clase de probleme în raport cu funcţii Bessel ordinare sau modificate. Numeroase sisteme liniare de ordinul al doilea cu coeficienţi variabili poate fi aduse la această formă şi, dacă acest lucru poate fi făcut, ecuaţiile de mai sus reprezintă o abordare sistematică pentru rezolvarea acestor sisteme. Bibliografie 1. 10/ Lecture Notes by Dr. J. R. White, UMass-Lowell (updated October 1998). 18