1. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi

Size: px
Start display at page:

Download "1. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi"

Transcription

1 Introducere Scopul acestui curs este de a furniza celor interesaţi în primul rând o bază solidă asupra problemelor matematice care apar în inginerie şi în al doilea rând un set de instrumente practice care să fie de folos la rezolvarea problemelor de design şi analiză care apar. În curs se prezintă atât metodele numerice cât şi cele analitice. Deoarece majoritatea sistemelor fizice pot fi descrise prin relaţii matematice cu ajutorul ecuaţiilor diferenţiale (aplicând legile fizice de conservare), accentul va fi pus direct sau indirect pe găsirea metodelor de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale ordinare sau cu derivate parţiale. Subiectele tratate acoperă treptat fundamentele matematice necesare pentru identificarea şi rezolvarea a numeroase tipuri de ecuaţii diferenţiale des întâlnite în disciplinele inginereşti. Acest prim capitol trece în revistă conceptele şi strategiile de bază (atât analitice cât şi numerice) pentru rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale ordinare de ordinul întâi (EDO). La început sunt analizate cele mai des întâlnite şi mai utile metode generale de rezolvare, iar apoi sunt prezentate câteva exemple care să ilustreze modul de aplicare a diferitelor metode. Acest mod de tratare, care cuprinde mai întâi o prezentare a algoritmilor de rezolvare (cu un minim de cunoştinţe teoretice), iar apoi câteva exemple concrete, este urmat pe parcursul întregului curs. 1.2 Metode analitice de rezolvare Privire de ansamblu asupra metodelor de rezolvare analitică Acest subcapitol clasifică şi rezumă metodele de rezolvare analitică pentru ecuaţiile diferenţiale ordinare (EDO) de ordinul întâi Diferite forme de ecuaţii de ordinul întâi Metoda I - Ecuaţii separabile Dacă se dă ecuaţia g(y)dy = f(x)dx, prin integrare directă se obţine 1

2 unde c este o constantă de integrare Metoda II - Reducerea la forma separabilă Anumite ecuaţii de ordinul întâi care nu sunt separabile pot fi făcute separabile printr-o simplă schimbare de variabilă. În particular, ecuaţiile omogene pot fi adesea reduse la forma separabilă prin înlocuirea y = ux. Note: Fie ecuaţia M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, dacă înlocuirea λx pentru x şi λy pentru y duce la o expresie de forma λ n [M(x,y)dx + N(x,y)dy] = 0, atunci se spune că sistemul este omogen. Exemplu 1.2 ilustrează această metoda de rezolvare Metoda III - Ecuaţii exacte Ecuaţia de ordinul întâi M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 se numeşte exactă dacă membrul stâng este o diferenţială exactă de forma Atunci prin integrare, se obţine Din ec. (1.3), avem de asemenea şi atunci Prin urmare, deoarece, avem care este o condiţie necesară şi suficientă pentru ca Mdx + Ndy să fie o diferenţială totală Metoda IV - Reducerea la forma exactă Unele ecuaţii pot fi aduse la forma exactă prin multiplicarea cu anumite funcţii, g(x,y) 0, care se numesc de obicei factor integrant. Dată M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, dacă g(x,y) este un factor integrant, atunci gmdx + gndy = 0 este exactă. Dacă acest lucru este adevărat, atunci următoarea expresie este validă: Acest lucru este mai degrabă complicat pentru funcţiile generale g(x, y). Dar, dacă g(x,y) este doar o funcţie de o variabilă [de exemplu, dacă avem g(x,y) = g(x)], ec. (1.8) devine 2

3 Împărţind la gn şi reordonând se obţine Soluţie acestei ecuaţii dă factorul integrant dorit, g(x). Exemplu 1.1 ilustrează şi explică în plus această metodă rezolvare. De reţinut că se poate considera de asemenea g(x,y) = g(y), pentru care se obţine o expresie similară, dar diferită pentru ec. (1.9). Această formulare alternativă este utilă uneori Metoda V - Ecuaţii liniare de ordinul întâi Dată o ecuaţie liniară de forma ea se poate rescrie ca Atunci când o multiplicăm cu un factor integrant, g(x), această ecuaţie poate fi scrisă ca unde, iar g(x) este definit de ec. (1.9), sau Prin urmare Cu acest factor integrant, ecuaţie liniară de ordinul întâi originală devine Dar Prin urmare care dă, sau, 3

4 În aplicaţiile practice, paşii care conduc la ec. (1.12) trebuie făcuţi pentru ecuaţia explicită care ne interesează. Pe parcurs, trebuie verificat întotdeauna ca, dacă se foloseşte factorul integrant calculat, membrul stâng al EDO originale este într-adevăr o diferenţială exactă. Acest lucru verifică dacă factorul integrant a fost determinat corespunzător Metoda VI - Reducerea la o formă liniară (Ecuaţia Bernoulli) Anumite ecuaţii neliniare pot fi reduse la o formă liniară printr-o anumită înlocuire. Probabil că cea mai importantă ecuaţie de acest tip este ecuaţia Bernoulli: (note: dacă a = 0 sau 1 atunci sistemul este linear). Pentru a liniariza acest sistem, fie Atunci Prin urmare, care este un sistem de ordinul întâi liniar în u(x). Se rezolvă atunci această expresie pentru u(x), care prin înlocuirea în ec. (1.14) dă efectiv rezultatul dorit pentru y(x). De remarcat că Metodele I, III, şi V sunt incluse implicit ca părţi ale Metodelor II, IV, şi respectiv VI. Metode numerice de rezolvare Privire de ansamblu asupra metodelor numerice de rezolvare Se caută o soluţie numerică a unei probleme cu condiţii iniţiale (PCI) de forma: Pentru găsirea acesteia există două abordări de bază: Metode numerice uni-pas Pentru calculul valorilor funcţiei la pasul curent, metoda se bazează pe folosirea valorilor de la pasul precedent (această tehnică dă naştere la o varietate de formule Runge-Kutta). La baza majorităţii formulelor de integrare numerică uni-pas stă relaţia dezvoltării în serie Taylor în jurul unui punct x sau x n : unde h = Δx = pasul normalizat. Deoarece y' = f, y" = f',, avem că sau, în notaţia discretă [cu x x n şi h = (x n+1 - x n )], avem 4

5 sau Metode numerice multi-pas Ideea metodei este de a folosi doi sau mai mulţi paşi anteriori la calculul următoarei valori a funcţiei (o metodă specială este metoda Adams-Bashford-Moulton). Metodele multi-pas integrează pe un pas finit, la fel ca mai sus, dar ele înlocuiesc integrantul cu o aproximare de tipul unui polinom de interpolare care poate fi integrat analitic. Ordinul polinomului de interpolare defineşte o anumită metodă multi-pas particulară Metoda Euler de ordinul întâi (Runge Kutta de ordinul întâi) Metoda de bază Cea mai simplă metodă uni-pas trunchiază seria Taylor după termenul de ordinul întâi, obţinându-se Aceasta este o metodă de ordinul întâi a cărei eroare de trunchiere pe pas este de ordinul lui h 2 (scrisă de obicei ca O(h 2 )) Interpretarea fizică Se presupune că panta y' = f(x,y) este constantă pe intervalul h = x n+1 - x n. Deci, sau care se reduce la ec. (1.23) Algoritm 1. Se calculează funcţia (o singură dată la un pas) 2. Se incrementează funcţia 3. Se incrementează variabila independentă Se repetă toţi paşii până la final. 5

6 1.3.3 Metoda Euler-Heun modificată (Runge Kutta de ordinul doi) Metoda de bază În această aproximare se trunchiază seria Taylor după termenul de ordinul doi, şi se obţine Fie acum care dă (pasul corector) Problema care apare aici e că ne trebuie o valoare a lui y * n+1 pentru a-l calcula pe y n+1. Să încercăm metoda Euler de ordinul întâi, sau (pasul predictiv) Aceasta este o metode de ordinul al doilea a cărei eroare este de ordinul h 3 (scrisă ca O(h 3 )) Interpretarea fizică Se presupune că panta y' = f(x,y) variază liniar pe intervalul h Algoritm 1. Se calculează funcţia (de două ori la un pas) 2. Se incrementează funcţia 3. Se incrementează variabila independentă Se repetă toţi paşii până la final Metodele Runge-Kutta Metoda de bază Denumirea de metode Runge-Kutta (RK) se referă la întreaga gamă de metode care folosesc o trunchiere a unei dezvoltări în serie Taylor fără a fi necesar calculul derivatelor de ordin superior. În general, valoarea de la finalul pasului este dată de unde φ(x n,y n,h) este funcţia increment care poate fi interpretată ca panta medie pe interval deînmulţită cu lăţimea intervalului h. Această funcţie este de forma 6

7 unde N este ordinul metodei RK iar formulele explicite pentru coeficienţii k j se determină prin compararea dezvoltării originale în serie Taylor cu aproximările corespunzătoare pentru derivatele lui f(x n,y n ) Algoritmul pentru metoda RK de ordinul 4 1. Se calculează funcţia (de patru ori la un pas) 2. Se incrementează funcţia 3. Se incrementează variabila independentă Se repetă toţi paşii până la final. Metoda este uşor de implementat pe calculator şi este exactă până la ordinul al patrulea (eroarea pe pas este de ordinul h 5 ) Metoda Adams-Bashford-Moulton (metodă multi-pas) Principiu Dată o problemă cu condiţii iniţiale (PVI) se integrează cu un pas finit folosind pentru f(x, y) o aproximare prin polinom de interpolare pe întreg intervalul, sau Alegerea concretă a polinomului de interpolare şi implementarea specifică duc la diverse metode multi-pas. Probabil că implementarea cel mai des întâlnită este prin metoda Adams- Bashford-Moulton Metoda Adams-Bashford - Pasul predictiv 1. Se determină un polinom de interpolare cubic pentru funcţia f(x, y) prin punctele x n, x n-1, x n- 2, x n-3. Pentru a găsi un polinom de ordinul trei sunt necesare patru puncte. 2. Se integrează această funcţie pe intervalul de la x n la x n+1, şi se obţine 7

8 Metoda Adams-Bashford - Pasul corector 3. Se determină un polinom cubic pentru f(x, y) prin punctele x n+1, x n, x n-1, x n-2, unde. 4. Se integrează polinomul rezultat, ceea ce duce la Algoritm 1. Se foloseşte metoda RK pentru a determinare pe y 3, y 2, şi y 1 (y 0 este cunoscut). 2. Se calculează folosind ec. (1.28). 3. Se calculează şi se calculează y n+1 folosind ec. (1.29). 4. Se incrementează intervalul x şi se merge la pasul 2 până la final Concluzii finale Metoda Adams-Bashford-Moulton este o metode de ordinul al patrulea (adică eroarea este de ordinul lui h 5 ). Această metodă este mai rapidă decât metoda RK de ordinul 4 deoarece la fiecare pas sunt necesare doar două calcule ale funcţiei. Cu toate acestea, metoda nu se auto-iniţiază; pentru aceasta se foloseşte metoda RK Control adaptiv al pasului de integrare Notaţii generale şi comentarii despre controlul erorilor Analiza şi controlul erorilor sunt caracteristici importante ale oricărei metode numerice pentru rezolvarea EDO de ordinul întâi. Controlul automat al erorilor este o caracteristică implementată de obicei direct în software, făcând folosirea unei proceduri de rezolvare a EDO relativ clară pentru utilizator. În concluziile asupra acestui subiect, vom defini mai întâi următoarele simboluri: ε = eroarea maximă admisibilă (ε = tol/10, unde tol este definită de utilizator), δ = eroarea calculată la fiecare pas iar indicaţiile generale pentru alegerea mărimii pasului sunt: 1. dacă 0.2ε < δ < 10ε, h rămâne neschimbat 2. dacă δ > 10ε, h se înjumătăţeşte iar pasul curent se repetă 3. dacă δ < 0.2ε, h se dublează În general, h nu trebuie să fie prea mic deoarece numărul de paşi va fi mare (ceea ce duce la creşterea erorilor prin rotunjire şi ineficienţei calculului). De asemenea, mărimea intervalului trebuie să nu fie nici prea mare deoarece cresc erorile prin trunchiere. Indicaţiile de mai sus trebuie folosite pentru asigurarea unei performanţe optime a algoritmului numeric Obţinerea estimării erorii Metoda I - Calculul cu două mărimi diferite de pas (h şi 2h) 8

9 Să ilustram această metodă cu un exemplu care foloseşte metoda RK de ordinul 4. Soluţia căutată, y ~, poate fi scrisă în funcţie de soluţia calculată folosind pasul h, y(h), şi o estimare a erorii, δ, sau Dacă se repetă calculul cu pasul 2h, soluţia poate fi scrisă ca Prin scăderea acestor două ecuaţii rezultă sau notând avem Această estimare a erorii este adesea mărită de două ori datorită erorilor prin rotunjire suplimentare în cazul unui pas mic [adică y(h) necesită de două ori mai mulţi paşi ca y(2h)]. În consecinţă, pentru metoda RK de ordinul 4, estimarea erorii pentru calculul simultan cu paşii h şi 2h este dată de Metoda II - Calculul cu două aproximări RK diferite În cazul metodelor predictiv-corectoare, diferenţa dintre (valoarea prezisă) şi y n+1 (valoarea corectată) poate da o estimare a erorii în y n+1. De exemplu, în metoda Euler modificată, dacă se foloseşte o soluţie de ordin mare (corectată), rezultatul căutat este dat de iar dacă se foloseşte o soluţie de ordin mic (prezisă), rezultatul căutat poate fi scris ca Deci, la fel ca înainte, prin scăderea acestor relaţii se obţine şi notând avem 9

10 Deci, pentru metoda Euler modificată (sau RK1-2), estimarea erorii pentru calcule simultane cu aproximări RK de ordine diferite este dată de Note finale Dacă se face analiza erorii folosind serii Taylor, variabila independentă este întotdeauna normalizată pe domeniul [0,1]. În consecinţă, mărimea pasului, h, este întotdeauna subunitară. De reţinut că analizele făcute mai sus sunt mai degrabă grosiere şi ele prezentate pentru a ajuta la ilustrarea strategiei de bază utilizate. Avantajul aici este că estimările erorii sunt deja disponibile în software-ul care implementează metoda numerică de rezolvare, şi ele pot fi folosite pentru adaptarea automată a lui h pe măsura desfăşurării calculului. Acest lucru dă utilizatorului posibilitatea de a alege toleranţă dorită fără a se împovăra şi cu alegerea şi modificarea lui h în timpul calculului. De obicei astfel se obţine o creştere semnificativă a preciziei, eficienţei, şi a uşurinţei în utilizare Funcţii de rezolvare a EDO în MATLAB Generalităţi MATLAB-ul dispune de o suită de rutine pentru rezolvarea numerică a EDO. Aceste funcţii folosesc o varietate de metode în funcţie de rutina particulară care este aleasă (vezi fişierele Help din MATLAB pentru o listă cu opţiunile disponibile). Funcţiile predefinite ODE23 şi ODE45 sunt cele mai folosite rutine pentru rezolvarea a numeroase probleme tipice cu EDO. Aceste rutine aplică o variantă a metodei de reglare adaptivă a pasului descrisă mai sus prin obţinerea estimării erorii folosind două estimări RK de ordine diferite. Rutina ODE23 foloseşte o combinaţie de formule de ordinul 2 şi 3 pentru precizie redusă, iar ODE45 foloseşte un set de formule de ordinul 4 şi 5 pentru o precizie medie pe pas pentru un pas dat. Bibliografie 1. 10/ Lecture Notes by Dr. J. R. White, UMass-Lowell (updated August 1998). 10

GRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat

GRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat GRAFURI NEORIENTATE 1. Notiunea de graf neorientat Se numeşte graf neorientat o pereche ordonată de multimi notată G=(V, M) unde: V : este o multime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc noduri

More information

1. Funcţii speciale. 1.1 Introducere

1. Funcţii speciale. 1.1 Introducere 1. 1.1 Introducere Dacă o anumită ecuaţie diferenţială (reprezentând de obicei un sistem liniar cu coeficienţi variabili) şi soluţie sa sub formă de serie de puteri apare frecvent în practică, atunci i

More information

VISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE. Se deschide proiectul Documents->Forms->Form Wizard->One-to-many Form Wizard

VISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE. Se deschide proiectul Documents->Forms->Form Wizard->One-to-many Form Wizard VISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE Fie tabele: create table emitenti(; simbol char(10),; denumire char(32) not null,; cf char(8) not null,; data_l date,; activ logical,; piata char(12),; cap_soc number(10),;

More information

Parcurgerea arborilor binari şi aplicaţii

Parcurgerea arborilor binari şi aplicaţii Parcurgerea arborilor binari şi aplicaţii Un arbore binar este un arbore în care fiecare nod are gradul cel mult 2, adică fiecare nod are cel mult 2 fii. Arborii binari au şi o definiţie recursivă : -

More information

Aplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ

Aplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ Aplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ Autori: - Ionuț LUCA - Mircea MIHALEA - Răzvan ARDELEAN Coordonator științific: Prof. TITU MASTAN ARGUMENT 1. Profilul colegiului nostru este

More information

Pasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I

Pasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I 4.19 Cum se transformă o faţă în piatră? Pasul 1. Deschideţi imaginea pe care doriţi să o modificaţi. Pasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I Pasul 3. Deschideţi şi

More information

SUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1

SUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1 008 SUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1 1. Dacă expresiile de sub radical sunt pozitive să se găsească soluţia corectă a expresiei x x x 3 a) x

More information

Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic

Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiect nr. 154/323 cod SMIS 4428 cofinanțat de prin Fondul European de Dezvoltare Regională Investiții pentru viitorul

More information

GREUTATE INALTIME IMC TAS TAD GLICEMIE

GREUTATE INALTIME IMC TAS TAD GLICEMIE Corelaţii Obiective: - Coeficientul de corelaţie Pearson - Graficul de corelaţie (XY Scatter) - Regresia liniară Problema 1. Introduceţi în Excel următorul tabel cu datele a 30 de pacienţi aflaţi în atenţia

More information

4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia

4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia 4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia Media (sau ) a unei variabile aleatoare caracterizează tendinţa centrală a valorilor acesteia, iar dispersia 2 ( 2 ) caracterizează

More information

Modalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ:

Modalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ: Modalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ: Proiectorul BenQ acceptă redarea conţinutului tridimensional (3D) transferat prin D-Sub, Compus, HDMI, Video şi S-Video. Cu

More information

Biraportul în geometria triunghiului 1

Biraportul în geometria triunghiului 1 Educaţia Matematică Vol. 2, Nr. 1-2 (2006), 3-10 Biraportul în geometria triunghiului 1 Vasile Berghea Abstract In this paper we present an interesting theorem of triangle geometry which has applications

More information

Teoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1

Teoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1 Educaţia Matematică Vol. 4, Nr. 1 (2008), 33-38 Teoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1 Silviu Crăciunaş Abstract In this article we propose a demonstration of Borel - Lebesgue

More information

Ghid de instalare pentru program NPD RO

Ghid de instalare pentru program NPD RO Ghid de instalare pentru program NPD4758-00 RO Instalarea programului Notă pentru conexiunea USB: Nu conectaţi cablul USB până nu vi se indică să procedaţi astfel. Dacă se afişează acest ecran, faceţi

More information

LESSON FOURTEEN

LESSON FOURTEEN LESSON FOURTEEN lesson (lesn) = lecţie fourteen ( fǥ: ti:n) = patrusprezece fourteenth ( fǥ: ti:nθ) = a patrasprezecea, al patrusprezecilea morning (mǥ:niŋ) = dimineaţă evening (i:vniŋ) = seară Morning

More information

10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere

10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere 10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere Intervalele de încredere pentru un parametru necunoscut al unei distribuţii (spre exemplu pentru media unei populaţii) sunt intervale ( 1 ) ce conţin parametrul,

More information

Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic

Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru Proiect nr. 154/323 cod SMIS 4428 cofinanțat de prin Fondul European de Dezvoltare Regională Investiții pentru viitorul dumneavoastră. Programul Operațional

More information

Cum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară

Cum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară Cum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară Marian TETIVA 1 Abstract. The paper brings some tools from advanced algebra (namely algebraic integers) in attention of those interested in

More information

6. MPEG2. Prezentare. Cerinţe principale:

6. MPEG2. Prezentare. Cerinţe principale: 6. MPEG2 Prezentare Standardul MPEG2 VIDEO (ISO/IEC 13818-2) a fost realizat pentru codarea - în transmisiuni TV prin cablu/satelit. - în televiziunea de înaltă definiţie (HDTV). - în servicii video prin

More information

Paradoxuri matematice 1

Paradoxuri matematice 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 51-56 Paradoxuri matematice 1 Ileana Buzatu Abstract In this paper we present some interesting paradoxical results that take place when we use in demonstration

More information

PROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE

PROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE PROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE Corneliu Mănescu-Avram Nicuşor Zlota Lucrarea prezentata la Conferinta Anuala a SSMR din Romania, Ploiesti, 19-21 octombrie 2012 Abstract. This paper

More information

2. PORŢI LOGICE ( )

2. PORŢI LOGICE ( ) 2. PORŢI LOGICE (9.4.24) 2.. INTRODUCERE 2.. CONSTANTE ŞI VARIAILE OOLEENE. TAELE DE ADEVĂR În algebra booleană sunt două constante: şi. În funcţie de tipul de logică folosit, de tehnologia utilizată,

More information

Algoritmică şi programare Laborator 3

Algoritmică şi programare Laborator 3 Algoritmică şi programare Laborator 3 Următorul algoritm calculează cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun a două numere naturale, nenule, a şi b, citite de la tastatură. Algoritmul are

More information

OPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR

OPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR OPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE Traian Alexandru BUDA, Magdalena BARBU, Gavrilă CALEFARIU Transilvania University of Brasov,

More information

Split Screen Specifications

Split Screen Specifications Reference for picture-in-picture split-screen Split Screen-ul trebuie sa fie full background. The split-screen has to be full background The file must be exported as HD, following Adstream Romania technical

More information

O VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE

O VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE O VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE de Andrei ECKSTEIN, Timişoara Numeroase noţiuni din analiza matematică au un analog discret. De exemplu, analogul discret al derivatei este diferenţa

More information

Biostatistică Medicină Generală. Lucrarea de laborator Nr Intervale de încredere. Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti:

Biostatistică Medicină Generală. Lucrarea de laborator Nr Intervale de încredere. Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti: Biostatistică Medicină Generală Lucrarea de laborator Nr.5 Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti: Să folosiţi foaia de calcul Excel pentru a executa calculele necesare găsirii intervalelor de încredere

More information

Circuite Basculante Bistabile

Circuite Basculante Bistabile Circuite Basculante Bistabile Lucrarea are drept obiectiv studiul bistabilelor de tip D, Latch, JK şi T. Circuitele basculante bistabile (CBB) sunt circuite logice secvenţiale cu 2 stări stabile (distincte),

More information

ARHITECTURA SISTEMELOR DE CALCUL ŞI SISTEME DE OPERARE. LUCRĂRILE DE LABORATOR Nr. 12, 13 şi 14

ARHITECTURA SISTEMELOR DE CALCUL ŞI SISTEME DE OPERARE. LUCRĂRILE DE LABORATOR Nr. 12, 13 şi 14 ARHITECTURA SISTEMELOR DE CALCUL ŞI SISTEME DE OPERARE LUCRĂRILE DE LABORATOR Nr. 12, 13 şi 14 ELEMENTE DE LOGICĂ NUMERICĂ. REDUCEREA EXPRESIILOR LOGICE. I. SCOPUL LUCRĂRILOR Lucrările prezintă câteva

More information

Consideraţii statistice Software statistic

Consideraţii statistice Software statistic Consideraţii statistice Software statistic 2014 Tipuri de date medicale Scala de raţii: se măsoară în funcţie de un punct zero absolut Scale de interval: intervalul (sau distanţa) dintre două puncte pe

More information

Page 1 of 6 Motor - 1.8 l Duratorq-TDCi (74kW/100CP) - Lynx/1.8 l Duratorq-TDCi (92kW/125CP) - Lynx - Curea distribuţie S-MAX/Galaxy 2006.5 (02/2006-) Tipăriţi Demontarea şi montarea Unelte speciale /

More information

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 16 - Criptografia asimetrică Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Limitările criptografiei

More information

22METS. 2. In the pattern below, which number belongs in the box? 0,5,4,9,8,13,12,17,16, A 15 B 19 C 20 D 21

22METS. 2. In the pattern below, which number belongs in the box? 0,5,4,9,8,13,12,17,16, A 15 B 19 C 20 D 21 22METS CLASA a IV-a 1. Four people can sit at a square table. For the school party the students put together 7 square tables in order to make one long rectangular table. How many people can sit at this

More information

Defuzzificarea într-un sistem cu logică fuzzy. Aplicaţie: maşina de spălat cu reguli fuzzy. A. Obiective. B. Concepte teoretice ilustrate

Defuzzificarea într-un sistem cu logică fuzzy. Aplicaţie: maşina de spălat cu reguli fuzzy. A. Obiective. B. Concepte teoretice ilustrate Defuzzificarea într-un sistem cu logică fuzzy. Aplicaţie: maşina de spălat cu reguli fuzzy A. Obiective 1) Vizualizarea procesului de selecţie a valorii tranşante de ieşire din mulţimea fuzzy de ieşire

More information

Universitatea din Bucureşti. Facultatea de Matematică şi Informatică. Şcoala Doctorală de Matematică. Teză de Doctorat

Universitatea din Bucureşti. Facultatea de Matematică şi Informatică. Şcoala Doctorală de Matematică. Teză de Doctorat Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Şcoala Doctorală de Matematică Teză de Doctorat Proprietăţi topologice ale atractorilor sistemelor iterative de funcţii (Rezumat) Îndrumător

More information

Cu ce se confruntă cancerul de stomac? Să citim despre chirurgia minim invazivă da Vinci

Cu ce se confruntă cancerul de stomac? Să citim despre chirurgia minim invazivă da Vinci Cu ce se confruntă cancerul de stomac? Să citim despre chirurgia minim invazivă da Vinci Opţiunile chirurgicale Cancerul de stomac, numit şi cancer gastric, apare atunci când celulele normale ies de sub

More information

TTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună

TTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună Lighting TTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună TTX260 TTX260 este o soluţie de iluminat liniară, economică şi flexibilă, care poate fi folosită cu sau fără reflectoare (cu cost redus), pentru

More information

Reprezentări grafice

Reprezentări grafice Reprezentări grafice Obiective: - realizarea graficelor pentru reprezentarea datelor; Problema 1: S-a realizat un studiu pe un lot format din 19 nou născuţi pentru care se urmăresc parametrii biomedicali:

More information

Curs 10: Analiza seriilor de timp. Data mining - Curs 10 1

Curs 10: Analiza seriilor de timp. Data mining - Curs 10 1 Curs 0: Analiza seriilor de timp Data mining - Curs 0 Structura Motivaţie Pre-procesarea seriilor de timp Predicţie Identificare şabloane Grupare şi clasificare Detecţie anomalii Data mining - Curs 0 2

More information

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE FINANŢE, ASIGURĂRI, BĂNCI şi BURSE de VALORI

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE FINANŢE, ASIGURĂRI, BĂNCI şi BURSE de VALORI ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE FINANŢE, ASIGURĂRI, BĂNCI şi BURSE de VALORI LUCRARE DE LICENŢĂ MODELE DE EVALUARE A OPŢIUNILOR (METODE PRACTICE COMPUTAŢIONALE) COORDONATOR: PROF. UNIV. DR.

More information

PREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI My joy is my sorrow unmasked. 1

PREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI My joy is my sorrow unmasked. 1 PREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI 203 Abstract. Presentation with solutions for the problems given at the Juniors and Seniors Tests, and some selected other problems from the Călăraşi Competition, 203. Data:

More information

Capitolul V MODELAREA SISTEMELOR CU VENSIM

Capitolul V MODELAREA SISTEMELOR CU VENSIM 5.1. Introducere Capitolul V MODELAREA SISTEMELOR CU VENSIM VENSIM este un software de modelare vizuală care permite conceptualizarea, implementarea, simularea şi optimizarea modelelor sistemelor dinamice.

More information

Maria plays basketball. We live in Australia.

Maria plays basketball. We live in Australia. RECAPITULARE GRAMATICA INCEPATORI I. VERBUL 1. Verb to be (= a fi): I am, you are, he/she/it is, we are, you are, they are Questions and negatives (Intrebari si raspunsuri negative) What s her first name?

More information

OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA

OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 014/015 RUNDA A DOUA Abstract. Comments on some of the problems presented at the new integrated International Mathematical

More information

Click pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat.

Click pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat. 1. Sus în stânga, click pe Audio, apoi pe Audio Connection. 2. Click pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat. 3. 4. Alegeți opțiunea favorită:

More information

TEMATICĂ EXAMEN LICENŢĂ. Iunie 2014

TEMATICĂ EXAMEN LICENŢĂ. Iunie 2014 TEMATICĂ EXAMEN LICENŢĂ Iunie 2014 ANALIZĂ MATEMATICĂ - Continuitate: continuitatea funcţiilor reale de una sau mai multe variabile, uniform continuitate, uniform continuitatea funcţiilor continue de o

More information

Capitolul 1. Noţiuni de bază

Capitolul 1. Noţiuni de bază 1 Capitolul 1. Noţiuni de bază Capitolul este destinat în principal prezentării unor elemente introductive absolut necesare pentru păstrarea caracterului de sine stătător al lucrării în Liceu anumite noţiuni

More information

Application form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO)

Application form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO) Application form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO) Open to all born between 1 January 1990 and 31 December 2000 Surname Nationality Date of birth Forename Instrument

More information

Contribuţii la studiul problemelor de coincidenţă pentru operatori univoci si multivoci

Contribuţii la studiul problemelor de coincidenţă pentru operatori univoci si multivoci Contribuţii la studiul problemelor de coincidenţă pentru operatori univoci si multivoci Rezumatul tezei de doctorat Oana Maria Mleşniţe Departamentul de Matematică Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca

More information

AMINELE BIOGENE-IMPLICATII IN PATOLOGIA UMANA

AMINELE BIOGENE-IMPLICATII IN PATOLOGIA UMANA Raport ştiinţific Grant TD 282/2008 cu tema AMINELE BIOGENE-IMPLICATII IN PATOLOGIA UMANA Director grant Asist.drd.Zamosteanu Nina ANUL 2008 Rezultatele obţinute pe parcursul anului 2008 au avut ca obiectiv

More information

Rigla şi compasul. Gabriel POPA 1

Rigla şi compasul. Gabriel POPA 1 Rigla şi compasul Gabriel POPA 1 Abstract. The two instruments accepted by the ancient Greeks for performing geometric constructions, if separately used, are not equally powerful. The compasses alone can

More information

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a IV-a, Graph Magics. Dumitru Ciubatîi Universitatea din Bucureşti,

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a IV-a, Graph Magics. Dumitru Ciubatîi Universitatea din Bucureşti, Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a IV-a, 2006 133 Graph Magics Dumitru Ciubatîi Universitatea din Bucureşti, workusmd@yahoo.com 1. Introducere Graph Magics este un program destinat construcţiei

More information

Tehnici de programare

Tehnici de programare Tehici de programare 2016 ovidiu.baias@aut.upt.ro Scurtă prezetare Curs 14 săptămâi Test 1 săptămâa 7 Proiect săptămâa 13 Lucrări practice 14 săptămâi Test 2 săptămâa 14 Grilă sesiue Tehici de programare

More information

EPI INFO. - Cross-tabulation şi testul 2 -

EPI INFO. - Cross-tabulation şi testul 2 - EPI INFO - Cross-tabulation şi testul 2 - Au drept scop verificarea unor ipoteze obţinute în urma centralizării datelor unei cercetări statistice şi stabilirea posibilelor legături între variabile. Acest

More information

Culegere de probleme de Analiză numerică cu soluţii

Culegere de probleme de Analiză numerică cu soluţii Culegere de probleme de Analiză numerică cu soluţii în MATLAB şi MuPAD Radu Tiberiu Trîmbiţaş Prefaţă Lloyd N. Trefethen a propus următoarea definiţie a Analizei numerice: Analiza numerică este studiul

More information

COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI

COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 214 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI Abstract. Comments on some of the problems presented at the 214 District Round of the Romanian National Mathematics Olympiad.

More information

DIRECTIVA HABITATE Prezentare generală. Directiva 92/43 a CE din 21 Mai 1992

DIRECTIVA HABITATE Prezentare generală. Directiva 92/43 a CE din 21 Mai 1992 DIRECTIVA HABITATE Prezentare generală Directiva 92/43 a CE din 21 Mai 1992 Birds Directive Habitats Directive Natura 2000 = SPAs + SACs Special Protection Areas Special Areas of Conservation Arii de Protecţie

More information

Mail Moldtelecom. Microsoft Outlook Google Android Thunderbird Microsoft Outlook

Mail Moldtelecom. Microsoft Outlook Google Android Thunderbird Microsoft Outlook Instrucțiunea privind configurarea clienților e-mail pentru Mail Moldtelecom. Cuprins POP3... 2 Outlook Express... 2 Microsoft Outlook 2010... 7 Google Android Email... 11 Thunderbird 17.0.2... 12 iphone

More information

CE LIMBAJ DE PROGRAMARE SĂ ÎNVĂŢ? PHP vs. C# vs. Java vs. JavaScript

CE LIMBAJ DE PROGRAMARE SĂ ÎNVĂŢ? PHP vs. C# vs. Java vs. JavaScript Vizitaţi: CE LIMBAJ DE PROGRAMARE SĂ ÎNVĂŢ? PHP vs. C# vs. Java vs. JavaScript Dacă v-aţi gândit să vă ocupaţi de programare şi aţi început să analizaţi acest domeniu, cu siguranţă v-aţi întrebat ce limbaj

More information

INTRODUCERE : Ce este econometria? 1. Scurt istoric privind apariţia econometriei. 2. Definiţia econometriei

INTRODUCERE : Ce este econometria? 1. Scurt istoric privind apariţia econometriei. 2. Definiţia econometriei INTRODUCERE : Ce este econometria?. Scurt istoric privind apariţia econometriei. Definiţia econometriei 3. Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei modelul econometric Sursa de date Teste statistice

More information

FIŞA DISCIPLINEI1 1. Date despre program 2. Date despre disciplină 3. Timpul total estimat 3.7 Total ore studiu individual

FIŞA DISCIPLINEI1 1. Date despre program 2. Date despre disciplină 3. Timpul total estimat 3.7 Total ore studiu individual FIŞA DISCIPLINEI 1 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Aurel Vlaicu Arad 1.2 Facultatea Facultatea de Ştiinţe Exacte 1.3 Departamentul Departamentul de Matematică-Informatică

More information

ZOOLOGY AND IDIOMATIC EXPRESSIONS

ZOOLOGY AND IDIOMATIC EXPRESSIONS ZOOLOGY AND IDIOMATIC EXPRESSIONS ZOOLOGIA ŞI EXPRESIILE IDIOMATICE 163 OANA BOLDEA Banat s University of Agricultural Sciences and Veterinary Medicine, Timişoara, România Abstract: An expression is an

More information

Hama Telecomanda Universala l in l

Hama Telecomanda Universala l in l H O M E E N T E R T A I N M E N T Hama Telecomanda Universala l in l 00040081 2 6 5 3 12 1 14 13 4 8 7 9 17 4 10 16 15 Manual de utilizare Funcţia Tastelor 1. TV: Selectati aparatul pe care doriţi să-l

More information

PREZENTARE INTERFAŢĂ MICROSOFT EXCEL 2007

PREZENTARE INTERFAŢĂ MICROSOFT EXCEL 2007 PREZENTARE INTERFAŢĂ MICROSOFT EXCEL 2007 AGENDĂ Prezentarea aplicaţiei Microsoft Excel Registre şi foi de calcul Funcţia Ajutor (Help) Introducerea, modificarea şi gestionarea datelor în Excel Gestionarea

More information

9.1. Structura unităţii de I/E. În Figura 9.1 se prezintă structura unui sistem de calcul împreună cu unitatea

9.1. Structura unităţii de I/E. În Figura 9.1 se prezintă structura unui sistem de calcul împreună cu unitatea 9. UNITATEA DE I/E Pe lângă unitatea centrală şi un set de module de memorie, un alt element important al unui sistem de calcul este sistemul de I/E. O unitate de I/E (UIE) este componenta sistemului de

More information

Cuprins. ; 93 B. 13. Problema transporturilor (a distribuirilor) 100

Cuprins. ; 93 B. 13. Problema transporturilor (a distribuirilor) 100 Cuprins CUVÂNT ÎNAINTE 5 CAPITOLUL l -A. SPAŢII VECTORIALE (LINIARE) 7 A.l. Noţiunile elementare ale algebrei liniare 7 A.2. Combinaţie liniară de vectori 10 A.3. Vectori liniari independenţi. Vectori

More information

FIŞA DISCIPLINEI Anul universitar

FIŞA DISCIPLINEI Anul universitar Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului Universitatea Babeş - Bolyai Facultatea de Business Str. Horea nr. 7 400174, Cluj-Napoca Tel: 0264 599170 Fax: 0264 590110 E-mail: tbs@tbs.ubbcluj.ro

More information

TEOREMA FLUXULUI MAGNETIC

TEOREMA FLUXULUI MAGNETIC TEOREMA FLUXULUI MAGNETIC EUGENIU POTOLEA 1 Cuvinte cheie: Teoria fizicii, legile electrodinamicii, legea fluxului magnetic. Rezumat. Teoria tradiţională a electrodinamicii consideră că relaţia B = este

More information

Ghid de instalare in limba romana TE100-S16 TE100-S24

Ghid de instalare in limba romana TE100-S16 TE100-S24 Ghid de instalare in limba romana TE100-S16 TE100-S24 Table of of Contents Contents... 1. Inainte de Incepe... 2. Instalare fizicã... 3. Caracteristici tehnice... Rezolvare a problemelor ce ar putea sã

More information

Split Screen Specifications

Split Screen Specifications Reference for picture-in-picture split-screen Cuvantul PUBLICITATE trebuie sa fie afisat pe toată durata difuzării split screen-ului, cu o dimensiune de 60 de puncte in format HD, scris cu alb, ca in exemplul

More information

Anexa 2. Instrumente informatice pentru statistică

Anexa 2. Instrumente informatice pentru statistică Anexa 2. Instrumente informatice pentru statistică 2.1. Microsoft EXCEL şi rutina HISTO Deoarece Microsoft EXCEL este relativ bine cunoscut, inclusiv cu unele funcţii pentru prelucrări statistice, în acest

More information

Clasele de asigurare. Legea 237/2015 Anexa nr. 1

Clasele de asigurare. Legea 237/2015 Anexa nr. 1 Legea 237/2015 Anexa nr. 1 Clasele de asigurare Secţiunea A. Asigurări generale 1. accidente, inclusiv accidente de muncă şi boli profesionale: a) despăgubiri financiare fixe b) despăgubiri financiare

More information

Analele Universităţii Constantin Brâncuşi din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 4/2011

Analele Universităţii Constantin Brâncuşi din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 4/2011 PROIECTAREA ŞI REALIZAREA UNUI LIMBAJ DE PROGRAMARE ÎN CODUL G PENTRU REPERUL CASETĂ R290, COMPONENTĂ A PRODUSULUI GHIRLANDĂ C3G 1800,2000,2250 Iovanov Valeria Victoria, Colegiul Tehnic Nr. 2, Târgu-Jiu,

More information

FISA UNITATII DE CURS

FISA UNITATII DE CURS 1. TITLUL: ECUATII DIFERENTIALE SI CU DERIVATE PARTIALE SEMINAR = 2 LABORATOR = 0 SEMESTRUL: 5 1. Teoria elementară a ecuaţiilor diferenţiale (ecuaţii cu variabile separabile, omogene, liniare, afine,

More information

Exerciţii Capitolul 4

Exerciţii Capitolul 4 EXERCIŢII CAPITOLUL 4 4.1. Scrieti câte un program Transact-SQL si PL/SQL pentru calculul factorialului unui număr dat. 4.2. Scrieţi şi executaţi cele două programe care folosesc cursoarele prezentate

More information

Geometrie euclidian¼a în plan şi în spaţiu. Petru Sorin Botezat

Geometrie euclidian¼a în plan şi în spaţiu. Petru Sorin Botezat Geometrie euclidian¼a în plan şi în spaţiu Petru Sorin Botezat aprilie-mai 2009 Capitolul 1 Noţiuni de logic¼a 1.1 Propoziţii Unitatea discursului logic este propoziţia. Not¼am propoziţiile cu p; q; r;...

More information

Curs 3 Word 2007 Cuprins

Curs 3 Word 2007 Cuprins Curs 3 Word 2007 Cuprins Stiluri... 2 Tipuri de stiluri... 2 Stilurile predefinite ale programului Word... 2 Stilul Normal... 3 Stilurile Heading (Titlu)... 3 Cum aplicati un stil unui text... 3 Crearea

More information

COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2013 ULTIMELE DOUĂ TESTE DE SELECŢIE

COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2013 ULTIMELE DOUĂ TESTE DE SELECŢIE COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 03 ULTIMELE DOUĂ TESTE DE SELECŢIE Abstract. Comments on some of the problems given at the last two Selection Tests after the National Mathematics Olympiad 03. Data:

More information

SORIN CERIN STAREA DE CONCEPŢIUNE ÎN COAXIOLOGIA FENOMENOLOGICĂ

SORIN CERIN STAREA DE CONCEPŢIUNE ÎN COAXIOLOGIA FENOMENOLOGICĂ SORIN CERIN STAREA DE CONCEPŢIUNE ÎN COAXIOLOGIA FENOMENOLOGICĂ EDITURA PACO Bucureşti,2007 All right reserved.the distribution of this book without the written permission of SORIN CERIN, is strictly prohibited.

More information

Capitolul 5. Elemente de teoria probabilităţilor

Capitolul 5. Elemente de teoria probabilităţilor Capitolul 5. Elemente de teoria probabilităţilor Acest capitol este preluat din Dragomirescu (1998), cu unele corecţii şi cu o piesă originală: aplicaţia ecologică sau biomedicală la regula adunării şi

More information

Un tip de data este caracterizat de: o O mulţime de date (valori є domeniului) o O mulţime de operaţii o Un identificator.

Un tip de data este caracterizat de: o O mulţime de date (valori є domeniului) o O mulţime de operaţii o Un identificator. 3. Tipuri de date 1 Un tip de data este caracterizat de: o O mulţime de date (valori є domeniului) o O mulţime de operaţii o Un identificator Exemplu: Tipul de dată - Număr întreg ( Integer ): Un număr

More information

DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1

DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1 DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1 Abstract This article is devoted to the study of two fundamental and reciprocal questions: when do

More information

LUCRAREA NR. 2 STUDIUL AMPLIFICATORULUI DIFERENŢIAL

LUCRAREA NR. 2 STUDIUL AMPLIFICATORULUI DIFERENŢIAL LUCRRE NR. STUDIUL MPLIFICTORULUI DIFERENŢIL 1. Scopl lcrării În această lcrare se stdiază amplificatorl diferenţial realizat c tranzistoare bipolare, în care generatorl de crent constant este o srsă de

More information

Press review. Monitorizare presa. Programul de responsabilitate sociala. Lumea ta? Curata! TIMISOARA Page1

Press review. Monitorizare presa. Programul de responsabilitate sociala. Lumea ta? Curata! TIMISOARA Page1 Page1 Monitorizare presa Programul de responsabilitate sociala Lumea ta? Curata! TIMISOARA 03.06.2010 Page2 ZIUA DE VEST 03.06.2010 Page3 BURSA.RO 02.06.2010 Page4 NEWSTIMISOARA.RO 02.06.2010 Cu ocazia

More information

STANDARDUL INTERNAŢIONAL DE AUDIT 120 CADRUL GENERAL AL STANDARDELOR INTERNAŢIONALE DE AUDIT CUPRINS

STANDARDUL INTERNAŢIONAL DE AUDIT 120 CADRUL GENERAL AL STANDARDELOR INTERNAŢIONALE DE AUDIT CUPRINS 1 P a g e STANDARDUL INTERNAŢIONAL DE AUDIT 120 CADRUL GENERAL AL STANDARDELOR INTERNAŢIONALE DE AUDIT CUPRINS Paragrafele Introducere 1-2 Cadrul general de raportare financiară 3 Cadrul general pentru

More information

Criterii pentru validarea tezelor de doctorat începute în anul universitar 2011/2012

Criterii pentru validarea tezelor de doctorat începute în anul universitar 2011/2012 CNATCDU - Panel 4 - Stiinte juridice Criterii pentru validarea tezelor de doctorat începute în anul universitar 2011/2012 1. Între temă, titlu şi conţinutul tezei există concordanţă. 2. Tema tezei este

More information

VERBUL. Are 3 categorii: A. Auxiliare B. Modale C. Restul. A. Verbele auxiliare (to be si to have)

VERBUL. Are 3 categorii: A. Auxiliare B. Modale C. Restul. A. Verbele auxiliare (to be si to have) VERBUL Are 3 categorii: A. Auxiliare B. Modale C. Restul A. Verbele auxiliare (to be si to have) 1. Sunt verbe deosebit de puternice 2. Au forme distincte pt. prezent si trecut 3. Intra in alcatuirea altor

More information

ARHITECTURA CALCULATOARELOR 2003/2004 CURSUL 10

ARHITECTURA CALCULATOARELOR 2003/2004 CURSUL 10 ARHITECTURA CALCULATOARELOR 2003/2004 CURSUL 10 4.1.4 Ceasuri (semnale de tact) În majoritatea circuitelor digitale ordinea în care au loc evenimentele este critică. Uneori un eveniment trebuie să preceadă

More information

în perioada 1 7 decembrie 2017, urmatoarele filme :

în perioada 1 7 decembrie 2017, urmatoarele filme : 71/ 27.XI.2017 ROMANIAFILM PREZINTA : în perioada 1 7 decembrie 2017, urmatoarele filme : 1 Cinematograful EUROPA din BUCURESTI = tel.0374.053.498 MARITA Distribuitor : Microfilm 1-7 dec: 13.00, 15.00,

More information

Asocierea variabilelor discrete

Asocierea variabilelor discrete Asocierea variabilelor discrete Asocierea variabilelor nominale Tipuri de teste χ Pearson este cel mai utilizat tip de test de semnificaţie χ (de multe ori lipseşte numele "Pearson") şi priveşte asocierea

More information

Alexandrina-Corina Andrei. Everyday English. Elementary. comunicare.ro

Alexandrina-Corina Andrei. Everyday English. Elementary. comunicare.ro Alexandrina-Corina Andrei Everyday English Elementary comunicare.ro Toate drepturile asupra acestei ediţii aparţin Editurii Comunicare.ro, 2004 SNSPA, Facultatea de Comunicare şi Relaţii Publice David

More information

OLIMPIADA DE MATEMATIC ¼A ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007

OLIMPIADA DE MATEMATIC ¼A ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007 ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007 CLASA A IV-A. Folosind de şapte ori cifra 7, o parte din semnele celor patru operaţii operaţii +; ; ; : eventual şi paranteze rotunde, compuneţi şapte exerciţii, astfel

More information

STANDARDUL INTERNAŢIONAL DE AUDIT 315 CUNOAŞTEREA ENTITĂŢII ŞI MEDIULUI SĂU ŞI EVALUAREA RISCURILOR DE DENATURARE SEMNIFICATIVĂ

STANDARDUL INTERNAŢIONAL DE AUDIT 315 CUNOAŞTEREA ENTITĂŢII ŞI MEDIULUI SĂU ŞI EVALUAREA RISCURILOR DE DENATURARE SEMNIFICATIVĂ 1 P a g e STANDARDUL INTERNAŢIONAL DE AUDIT 315 CUNOAŞTEREA ENTITĂŢII ŞI MEDIULUI SĂU ŞI EVALUAREA RISCURILOR DE DENATURARE SEMNIFICATIVĂ CUPRINS Paragraf Introducere 1-5 Proceduri de evaluare a riscului

More information

Gândirea algoritmică - o filosofie modernă a matematicii şi informaticii

Gândirea algoritmică - o filosofie modernă a matematicii şi informaticii Gândirea algoritmică - o filosofie modernă a matematicii şi informaticii Marin Vlada Universitatea din Bucuresti, vlada@fmi.unibuc.ro Abstract Dezvoltarea informaticii actuale se datorează cercetărilor,

More information

Microsoft Excel partea 1

Microsoft Excel partea 1 Microsoft Excel partea 1 În această parte veţi utiliza următoarele funcţionalităţi ale pachetului software: Realizarea şi formatarea unei foi de calcul Adrese absolute şi relative Funcţii: matematice,

More information

Laboratorul 1. Primii paşi în Visual Basic.NET

Laboratorul 1. Primii paşi în Visual Basic.NET Laboratorul 1 Primii paşi în Visual Basic.NET Ce ne propunem astăzi? În laboratorul de astăzi ne propunem crearea unei aplicaţii simple pentru evidenţa studenţilor unei facultăţi. În cadrul acestei aplicaţii

More information

OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA ADDENDUM

OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA ADDENDUM OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 014/015 RUNDA A DOUA ADDENDUM Abstract. Comments on some additional problems presented at the new integrated International

More information

Optimizarea profitului în condiţii de criză

Optimizarea profitului în condiţii de criză Economie teoretică şi aplicată Volumul XX (2013), No. 6(583), pp. 57-73 Optimizarea profitului în condiţii de criză Sorin BRICIU Universitatea 1 Decembrie 1918, Alba Iulia sorinbriciu@gmail.com Sorinel

More information

ENVIRONMENTAL MANAGEMENT SYSTEMS AND ENVIRONMENTAL PERFORMANCE ASSESSMENT SISTEME DE MANAGEMENT AL MEDIULUI ŞI DE EVALUARE A PERFORMANŢEI DE MEDIU

ENVIRONMENTAL MANAGEMENT SYSTEMS AND ENVIRONMENTAL PERFORMANCE ASSESSMENT SISTEME DE MANAGEMENT AL MEDIULUI ŞI DE EVALUARE A PERFORMANŢEI DE MEDIU SISTEME DE MANAGEMENT AL MEDIULUI ŞI DE EVALUARE A PERFORMANŢEI DE MEDIU Drd. Alexandru TOMA, ASEM, (Bucureşti) Acest articol vine cu o completare asupra noţiunii de sistem de management al mediului, în

More information

Operaţiile de sistem de bază

Operaţiile de sistem de bază System i Operaţiile de sistem de bază Versiunea 6 Ediţia 1 System i Operaţiile de sistem de bază Versiunea 6 Ediţia 1 Notă Înainte de a folosi aceste informaţii şi produsul pe care îl suportă, citiţi

More information