10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere
|
|
- Allan Elliott
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere Intervalele de încredere pentru un parametru necunoscut al unei distribuţii (spre exemplu pentru media unei populaţii) sunt intervale ( 1 ) ce conţin parametrul, nu cu certitudine, si cu anumită probabilitate (spre exemplu cu probabilitate = 95% sau = 99%). Valoarea lui se numeşte nivel de încredere/nivel de semnificaţie iar 1 şi se numesc limita de încredere inferioară şi superioară. Un astfel de interval ( 1 ) este calculat folosind o selecţie din populaţie. Valoarea = 95% înseamnă că probabilitatea ca intervalul ( 1 ) să nu-lconţină pe este 1 =5%=005, adică aproximativ unul din 0 de intervale astfel determinate nu îl va conţine pe. Cu cât valoarea lui este mai apropiată de1, cuatâtestemai mică probabilitatea erorii 1 ca intervalul de încredere să nu-lconţină parametrul, dar în acelaşi timp lungimea 1 a intervalului de încredere devine mai mare (tinde la infinit pentru 1). Intervalele de încredere sunt mai utile decît estimatorii punctuali ai parametrilor necunoscuţi, deoarece având intervalul de încredere putem considera ca estimator mijlocul 1+ al intervalului (în acest caz, probabilitatea ca să diferefaţă de estimatorul considerat cu mai puţin de 1 este egală cu). Pentru a determina capetele 1 şi aleintervaluluideîncredere,considerăm un eşantion 1 din populaţia dată. Aceste valori sunt valorile observate ale unei variabile aleatoare (reprezentând populaţia studiată), dar ele pot fi privite ca valori ale variabile aleatoare independente 1 având aceeaşi distribuţie cu variabila aleatoare. Atunci 1 = 1 ( 1 ) şi = ( 1 ) sunt valorile observate ale variabilelor aleatoare Θ 1 = Θ 1 ( 1 ) şi Θ = Θ ( 1 ).Condiţiacaintervalul( 1 ) să-l conţină parametrul cu probabilitate se poate scrie deci sub forma (Θ 1 Θ )= (57) Pentru a determina variabilele aleatoare Θ 1 şi Θ folosim următoarea. Teorema 10.1 (Suma de variabile aleatoare normale independente) Fie 1 variabile aleatoare normale independente, având fiecare medie şi dispersie.atunciaulocurmătoarele. a) Suma este o variabilă aleatoare normală cumedie şi dispersie. b) Variabila aleatoare = este o variabilă aleatoare normală cumedie şi dispersie. (58) c) Variabila aleatoare = (59) este o variabilă aleatoare normală standard(cu medie 0 şi dispersie 1). Demonstraţie. a) Este suficient să demonstrăm afirmaţia din enunţ încazul =(demonstraţia poate fi apoi completată prin inducţie matematică). Se poate arăta că deoarece variabilele aleatoare normale 1 şi sunt independente, variabila aleatoare 1 + este de asemenea o variabilă aleatoare normală. Avem ( 1 + )= ( 1 )+ ( )= + = şi deci variabila aleatoare 1 + are medie. De asemenea, deoarece variabilele aleatoare 1 şi sunt independente, se poate arăta că dispersia sumei 1 + este egală cu suma dispersiilor variabilelor aleatoare 1 şi,adică ( 1 + )= ( 1 )+ ( )= + = şi deci variabila aleatoare 1 + are dispersie. Am arătat deci că 1 + N, încheiând astfel prima parte a demonstraţiei. b) Conform primei părţi a demonstraţie avem că 1 ++ N este o variabilă aleatoare ³ normală cu medie şi dispersie. Folosind Teorema 4.4 rezultă că variabila aleatoare = 1++ N = ³ N este o variabilă aleatoare normală cumedie şi dispersie. 45
2 ³ c) Cum N, folosind din nou Teorema 4.4 obţinem că variabila aleatoare standardizată = N (0 1) este o variabilă aleatoare normală cumedie0 şi dispersie 1. Folosind teorema anterioară, putem acum determina intervale de încredere pentru media şi dispersia unei populaţii normale după cum urmează Intervale de încredere pentru media unei populaţii normale cu dispersie cunoscută Dacă populaţia N este normalăcumedie (necunoscută) şi dispersie (cunoscută), conform Teoremei 10.1 rezultă că variabila aleatoare = N (0 1) este o variabilă aleatoare normală standard. Pentru un nivel de încredere fixat, folosind Anexa determinăm valoarea constantei astfel încât = ( ) =Φ () Φ ( ) Relaţia anterioară se poate scrie sub forma Ã! = sau echivalent (rezolvând dubla inegalitate în raport cu ) µ + = Considerând Θ 1 = şi Θ = +,relaţia anterioară se poate scrie echivalent sub forma (Θ 1 Θ )= Înlocuind variabilele aleatoare 1 prin valorile observate 1 ale eşantionului obţinem că un interval de încredere pentru media necunoscută a populaţiei este ( 1 )= µ + (60) Exemplul 10. Să se determine un interval de 95% încredere pentru media necunoscută a unei populaţii normale cu dispersie cunoscută =9, folosind un eşantion de volum = 100 cu medie =5. Folosind Anexa determinăm valoarea corespunzătoare probabilităţii =095 astfel încât Φ () Φ ( ) = =095 şi obţinem =1960. Folosind formula (60) determinăm intervalul de încredere pentru media necunoscută apopulaţiei ( 1 )= µ + µ 3 3 =( 1 )= =( ) O altă problemă în determinarea unui interval de încredere este legată de alegerea volumului selecţiei, ca în exemplul următor. Exemplul 10.3 Cât de mare trebuie ales volumul al selecţiei în exemplu anterior dacă sedoreşte obţinerea unui interval de 95% încrederedelungimecelmult =04? Intervalul de încredere pentru media apopulaţiei din formula (60) are lungimea 1 = µ + µ = 46
3 Egalând această expresie cu valoarea dorită, obţinem de unde rezolvând în raport cu se obţine = µ = = µ = Pentru a obţine intervalul de încredere dorit, trebuie să alegem un volum de selecţie = 865. Observaţia 10.4 Se poate arăta că pentru un nivel de încredere 1, lungimea intervalului de încredere corespunzător tinde câtre infinit Intervale de încredere pentru media unei populaţii normale cu dispersie necunoscută În cazul în care dispersia a populaţiei este necunoscută, nu mai putem utiliza formula (60) pentru a determina un interval de încredere pentru media necunoscută apopulaţiei. Deoarece valoarea abaterii pătratice medii din aceastăformulăestenecunoscută, înlocuim pe prin estimatorul 04 = s P =1 ( ) 1 (61) al lui. Fâcând însă această înlocuire, variabila aleatoare corespunzătoare = nu mai este o variabilă aleatoare normală (esteovariabilă aleatoare cu 1 grade de libertate, având funcţia de distribuţie () tabelată înanexa3),şi deci valoarea trebuie determinată folosind acest tabel astfel încât () ( ) = Ca şi în cazul distribuţiei normale standard, distribuţia Student are o funcţie de densitate simetrică faţă de origine, şi deci ( ) =1 () pentru orice R. Înlocuind în relaţia ant6erioară ( ) prin 1 () obţinem echivalent () (1 ()) = sau () = 1+ (6) Obţinem deci că în cazul unei populaţii având dispersie necunoscută, pentru un nivel de încredere fixat, intervalul de încredere pentru media necunoscută a populaţiei este µ ( 1 )= + (63) unde este volumul selecţiei, = 1++ este media eşantionului, estimatorul al abaterii pătratice medii este dat de formula (61), iar este determinat din Anexa 3 astfel conform relaţiei (6) pentru 1 grade de libertate. Exemplul 10.5 Cinci măsurători pentru temperatura de aprindere a motorinei (în grade Fahrenheit) sunt Presupunând că temperatura de aprindere a motorinei este o variabilă aleatoare normală, să se determine un interval de 99% încredere pentru temperatura medie de aprindere a motorinei. 47
4 În acest caz, deoarece dispersia este necunoscută, pentru a determina intervalul de încredere vom folosi formula (63). Folosind datele din eşantion determinăm media de selecţie = = 1446 şi estimăm abaterea pătratică medie folosind formula (61): s P5 =1 = ( ) = 38 = Folosind Anexa 3 pentru a determina valoarea lui astfel încât să aibălocrelaţia (6), adică () = = 0995 (alegem 1=5 1=4grade de libertate), şi obţinem =460. Înlocuind aceste valori în formula (63), obţinem că unintervalde99% pentru temperatura medie de aprindere a motorinei este µ ( 1 )= + µ = = ( ) Intervale de încredere pentru dispersia unei populaţii normale Procedând similar Teoremei 10.1, şi folosind în acest caz estimatorul al dispersiei, se poate arăta că variabila aleatoare = 1 1 X =1 =( 1) are o distribuţie cu 1 grade de libertate (valorile funcţiei de distribuţie sunt tabelate în Anexa 4). Deoarece această distribuţienuestesimetrică (ca în cazul distribuţiei normale), în loc de şi determinăm două constante 1 şi astfel încât se află între 1 şi cu probabilitate, adică Spre exemplu, determinăm constantele 1 şi astfel încât ( 1 )= 1 ( 1 )=. (64) şi ( )= 1+ (65) unde () este în acest caz funcţia de distribuţie a variabilei aleatoare cu 1 grade de libertate din Anexa 4 (procedând astfel, aria de sub densitatea variabilei aleatoare cuprinsă între 1 şi va fi egală cu 1+ 1 =, şi are deci loc relaţia (64) de mai sus). Relaţia (64) se mai poate scrie echivalent sub forma µ 1 ( 1) = de unde rezolvând inegalităţile în raport cu obţinem µ 1 1 = 1 sau (Θ 1 Θ )= unde Θ 1 = 1 şi Θ =
5 Înlocuind variabilele aleatoare 1 prin valorile observate 1 ale eşantionului obţinem că un interval de încredere pentru dispersia necunoscută apopulaţiei este µ 1 ( 1 )= 1 (66) 1 unde este volumul selecţiei, = 1 1 P =1 ( ) este estimatorul dispersiei,iar 1 sunt determinate din Anexa 4 pentru 1 grade de libertate conform relaţiilor (65). Exemplul 10.6 Să se determine un interval de 95% încredere pentru dispersia necunoscută aeşantionului reprezentând rezistenţa la rupere (kg/mm a unei table de metal). Folosind valorile eşantionului ( =14valori) determinăm media selecţiei = =878 şi estimatorul al dispersiei = 1 14X ( ) = =1 FolosindAnexa4(cu 1=14 1=13grade de libertate), determinăm constantele 1 astfel încât ( 1 )= 1 =005 şi ( )= 1+ =0975. Obţinem 1 =501 şi =474. Folosind formula (66) determinăm intervalul de încredere pentru dispersia necunoscută µ 1 ( 1 )= 1 µ = =( ) 10.4 Intervale de încredere pentru alte distribuţii Intervalele de încredere pentru media şi dispersia determinate în secţiunile anterioare se aplică în cazul unei distribuţii normale. Pentru a obţine aceste formule s-a folosit faptul cădacă 1 sunt variabile aleatoare normale independente cu medie şi dispersie, atunci variabila aleatoare = este o variabilă aleatoare normală standard. Una din teoremele fundamentale ale Teoriei probabilităţilor (Teorema Limităcentrală) afirmăcădacă 1 sunt variabile aleatoare independente cu medie şi dispersie (nu neapărat normale), atunci pentru valori ale lui ale volumului selecţiei suficient de mari, variabila aleatoare = este aproximativ o variabilă aleatoare normală standard. Acest fapt permite ca formulele pentru intervalele de încredere pentru media şi dispersia a unei populaţii normale din secţiunile anterioare să poată fi folosite şi în cazul altor distribuţii, nu neapărat normale. Pentru ca aproximarea să fie bună, volumul al selecţiei trebuie să fie cel puţin 0 în cazul intervalelor de încredere pentru medie, şi cel puţin 50 în cazul intervalelor de încredere pentru dispersie. Exerciţii Exerciţiul 10.1 De ce sunt intervalele de încredere mai utile decât estimatorii punctuali? Exerciţiul 10. Ce se întâmplă cu intervalul de încredere din Examplul 10. dacă se foloseşte un nivel de încredere de 99% în loc de 95%? Dar dacă mediadeeşantionului este 8 în loc de 5? Exerciţiul 10.3 Să se determine un interval de 99% încredere pentru media auneipopulaţii normale cu abatere pătratică medie5, folosindeşantionul
6 Exerciţiul 10.4 Să se determine un interval de 95% încredere pentru media auneipopulaţii normale cu abatere pătratică medie1, folosindeşantionul Exerciţiul 10.5 Să se determine un interval de 95% încredere pentru media auneipopulaţii normale cu dispersie =16, folosind un eşantion de volum 00 având medie Exerciţiul 10.6 Ce se întâmplă cu intervalul de încredere din exerciţiul anterior dacă volumul eşantionului se reduce la 50? Exerciţiul 10.7 Ce volum al eşantionului este necesar pentru ca intervalul de 95% încredere pentru medie să aibă olungimea?? Exerciţiul 10.8 Să se determine un interval de 99% încredere pentru media unei populaţii normale cu dispersie =036 folosind un eşantion de volum 90 cu medie Presupunând că populaţia din care următoarele eşantioane au fost extrase este normală, să se determine un interval de 99% încredere pentru media a populaţiei. Exerciţiul 10.9 Un eşantion de 0 de şuruburi cu medie 1550 cm şi dispersie 009 cm. Exerciţiul Temperatura de topire a aluminiului (în grade Celsius) în cazul eşantionului Exerciţiul Conţinutul de cupru (în procente) a unui aliaj de alamă în cazul eşantionului Exerciţiul 10.1 Un interval de 99% încredere pentru parametrul al distribuţiei binomiale folosind un eşantion de volum cu frecvenţă relativădeapariţie a succesului = Exerciţiul Să se determine un interval de 95% încredere pentru procentul de maşini aflate pe o autostradă care au frâne aflate în condiţii necorespunzătoare, folosind folosind faptul că din 500 maşini verificate în mod aleator, 87 au avut frâne aflate în condiţii necorespunzătoare. Presupunând că populaţia din care următoarele eşantioane au fost extrase este normală, să se determine un interval de 95% încredere pentru dispersia a populaţiei. Exerciţiul Rezistenţa la rupere (kpsi) a unui aliaj de oţel aflat la temperatura camerei, folosind eşantionul Exerciţiul Emisia de monoxid de carbon (grame pe km) a unui anumit tip de maşină (având viteză medie de 55 km/h), folosind eşantionul Exerciţiul Dacă este o variabilă aleatoare normală cumedie40 şi dispersie 4, ce fel de distribuţie au variabilele aleatoare 3 şi 5? Exerciţiul Dacă 1 şi sunt variabile aleatoare normale independente, cu medii 16, respectiv 1, şi dispersii 8, respectiv, care este distribuţia variabilei aleatoare 4 1? Exerciţiul Omaşină umplecutiicântărind kg cu kg de sare, unde şi sunt variabile aleatoare nromale cu medii 00 kg, respectiv 10 kg, şi dispersii kg, respectiv 0.5 kg. Ce procent de cutii rezultate vor cântări între 08 kg şi 1 kg? Exerciţiul Dacă greutatea a sacilor de ciment este distribuită normalcumedie40 kg şi dispersie kg, câţi saci de ciment poate căra un camion dacă probabilitatea ca greutatea totală sădepăşească 000 kg este de 5%? 50
4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia
4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia Media (sau ) a unei variabile aleatoare caracterizează tendinţa centrală a valorilor acesteia, iar dispersia 2 ( 2 ) caracterizează
More informationGRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat
GRAFURI NEORIENTATE 1. Notiunea de graf neorientat Se numeşte graf neorientat o pereche ordonată de multimi notată G=(V, M) unde: V : este o multime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc noduri
More informationTeoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1
Educaţia Matematică Vol. 4, Nr. 1 (2008), 33-38 Teoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1 Silviu Crăciunaş Abstract In this article we propose a demonstration of Borel - Lebesgue
More informationVISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE. Se deschide proiectul Documents->Forms->Form Wizard->One-to-many Form Wizard
VISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE Fie tabele: create table emitenti(; simbol char(10),; denumire char(32) not null,; cf char(8) not null,; data_l date,; activ logical,; piata char(12),; cap_soc number(10),;
More informationRigla şi compasul. Gabriel POPA 1
Rigla şi compasul Gabriel POPA 1 Abstract. The two instruments accepted by the ancient Greeks for performing geometric constructions, if separately used, are not equally powerful. The compasses alone can
More informationPasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I
4.19 Cum se transformă o faţă în piatră? Pasul 1. Deschideţi imaginea pe care doriţi să o modificaţi. Pasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I Pasul 3. Deschideţi şi
More informationPROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE
PROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE Corneliu Mănescu-Avram Nicuşor Zlota Lucrarea prezentata la Conferinta Anuala a SSMR din Romania, Ploiesti, 19-21 octombrie 2012 Abstract. This paper
More informationBiraportul în geometria triunghiului 1
Educaţia Matematică Vol. 2, Nr. 1-2 (2006), 3-10 Biraportul în geometria triunghiului 1 Vasile Berghea Abstract In this paper we present an interesting theorem of triangle geometry which has applications
More informationReprezentări grafice
Reprezentări grafice Obiective: - realizarea graficelor pentru reprezentarea datelor; Problema 1: S-a realizat un studiu pe un lot format din 19 nou născuţi pentru care se urmăresc parametrii biomedicali:
More informationModalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ:
Modalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ: Proiectorul BenQ acceptă redarea conţinutului tridimensional (3D) transferat prin D-Sub, Compus, HDMI, Video şi S-Video. Cu
More informationBiostatistică Medicină Generală. Lucrarea de laborator Nr Intervale de încredere. Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti:
Biostatistică Medicină Generală Lucrarea de laborator Nr.5 Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti: Să folosiţi foaia de calcul Excel pentru a executa calculele necesare găsirii intervalelor de încredere
More informationPlatformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiect nr. 154/323 cod SMIS 4428 cofinanțat de prin Fondul European de Dezvoltare Regională Investiții pentru viitorul
More informationParcurgerea arborilor binari şi aplicaţii
Parcurgerea arborilor binari şi aplicaţii Un arbore binar este un arbore în care fiecare nod are gradul cel mult 2, adică fiecare nod are cel mult 2 fii. Arborii binari au şi o definiţie recursivă : -
More informationEPI INFO. - Cross-tabulation şi testul 2 -
EPI INFO - Cross-tabulation şi testul 2 - Au drept scop verificarea unor ipoteze obţinute în urma centralizării datelor unei cercetări statistice şi stabilirea posibilelor legături între variabile. Acest
More informationSUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1
008 SUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1 1. Dacă expresiile de sub radical sunt pozitive să se găsească soluţia corectă a expresiei x x x 3 a) x
More informationO VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE
O VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE de Andrei ECKSTEIN, Timişoara Numeroase noţiuni din analiza matematică au un analog discret. De exemplu, analogul discret al derivatei este diferenţa
More informationAplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ
Aplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ Autori: - Ionuț LUCA - Mircea MIHALEA - Răzvan ARDELEAN Coordonator științific: Prof. TITU MASTAN ARGUMENT 1. Profilul colegiului nostru este
More informationGREUTATE INALTIME IMC TAS TAD GLICEMIE
Corelaţii Obiective: - Coeficientul de corelaţie Pearson - Graficul de corelaţie (XY Scatter) - Regresia liniară Problema 1. Introduceţi în Excel următorul tabel cu datele a 30 de pacienţi aflaţi în atenţia
More informationSplit Screen Specifications
Reference for picture-in-picture split-screen Split Screen-ul trebuie sa fie full background. The split-screen has to be full background The file must be exported as HD, following Adstream Romania technical
More informationCuprins. ; 93 B. 13. Problema transporturilor (a distribuirilor) 100
Cuprins CUVÂNT ÎNAINTE 5 CAPITOLUL l -A. SPAŢII VECTORIALE (LINIARE) 7 A.l. Noţiunile elementare ale algebrei liniare 7 A.2. Combinaţie liniară de vectori 10 A.3. Vectori liniari independenţi. Vectori
More information22METS. 2. In the pattern below, which number belongs in the box? 0,5,4,9,8,13,12,17,16, A 15 B 19 C 20 D 21
22METS CLASA a IV-a 1. Four people can sit at a square table. For the school party the students put together 7 square tables in order to make one long rectangular table. How many people can sit at this
More informationParadoxuri matematice 1
Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 51-56 Paradoxuri matematice 1 Ileana Buzatu Abstract In this paper we present some interesting paradoxical results that take place when we use in demonstration
More informationConsideraţii statistice Software statistic
Consideraţii statistice Software statistic 2014 Tipuri de date medicale Scala de raţii: se măsoară în funcţie de un punct zero absolut Scale de interval: intervalul (sau distanţa) dintre două puncte pe
More informationriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 16 - Criptografia asimetrică Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Limitările criptografiei
More information1. Funcţii speciale. 1.1 Introducere
1. 1.1 Introducere Dacă o anumită ecuaţie diferenţială (reprezentând de obicei un sistem liniar cu coeficienţi variabili) şi soluţie sa sub formă de serie de puteri apare frecvent în practică, atunci i
More informationARHITECTURA SISTEMELOR DE CALCUL ŞI SISTEME DE OPERARE. LUCRĂRILE DE LABORATOR Nr. 12, 13 şi 14
ARHITECTURA SISTEMELOR DE CALCUL ŞI SISTEME DE OPERARE LUCRĂRILE DE LABORATOR Nr. 12, 13 şi 14 ELEMENTE DE LOGICĂ NUMERICĂ. REDUCEREA EXPRESIILOR LOGICE. I. SCOPUL LUCRĂRILOR Lucrările prezintă câteva
More informationUniversitatea din Bucureşti. Facultatea de Matematică şi Informatică. Şcoala Doctorală de Matematică. Teză de Doctorat
Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Şcoala Doctorală de Matematică Teză de Doctorat Proprietăţi topologice ale atractorilor sistemelor iterative de funcţii (Rezumat) Îndrumător
More information1. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi
1. 1.1 Introducere Scopul acestui curs este de a furniza celor interesaţi în primul rând o bază solidă asupra problemelor matematice care apar în inginerie şi în al doilea rând un set de instrumente practice
More informationLESSON FOURTEEN
LESSON FOURTEEN lesson (lesn) = lecţie fourteen ( fǥ: ti:n) = patrusprezece fourteenth ( fǥ: ti:nθ) = a patrasprezecea, al patrusprezecilea morning (mǥ:niŋ) = dimineaţă evening (i:vniŋ) = seară Morning
More informationPage 1 of 6 Motor - 1.8 l Duratorq-TDCi (74kW/100CP) - Lynx/1.8 l Duratorq-TDCi (92kW/125CP) - Lynx - Curea distribuţie S-MAX/Galaxy 2006.5 (02/2006-) Tipăriţi Demontarea şi montarea Unelte speciale /
More informationApplication form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO)
Application form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO) Open to all born between 1 January 1990 and 31 December 2000 Surname Nationality Date of birth Forename Instrument
More informationAspecte geometrice ale unei rozete asociate unui triunghi
Aspecte geometrice ale unei rozete asociate unui triunghi Vlad TUCHILUŞ, Răzvan Andrei MORARIU, Robert ANTOHI 1 Abstract. In this Note, a rosette is associated to an arbitrary triangle and the triangles
More informationCapitolul 5. Elemente de teoria probabilităţilor
Capitolul 5. Elemente de teoria probabilităţilor Acest capitol este preluat din Dragomirescu (1998), cu unele corecţii şi cu o piesă originală: aplicaţia ecologică sau biomedicală la regula adunării şi
More information2. PORŢI LOGICE ( )
2. PORŢI LOGICE (9.4.24) 2.. INTRODUCERE 2.. CONSTANTE ŞI VARIAILE OOLEENE. TAELE DE ADEVĂR În algebra booleană sunt două constante: şi. În funcţie de tipul de logică folosit, de tehnologia utilizată,
More informationSplit Screen Specifications
Reference for picture-in-picture split-screen Cuvantul PUBLICITATE trebuie sa fie afisat pe toată durata difuzării split screen-ului, cu o dimensiune de 60 de puncte in format HD, scris cu alb, ca in exemplul
More information6. MPEG2. Prezentare. Cerinţe principale:
6. MPEG2 Prezentare Standardul MPEG2 VIDEO (ISO/IEC 13818-2) a fost realizat pentru codarea - în transmisiuni TV prin cablu/satelit. - în televiziunea de înaltă definiţie (HDTV). - în servicii video prin
More informationEşantionarea statistică în auditul financiar pentru estimarea denaturărilor contabile
Eşantionarea statistică în auditul financiar pentru estimarea denaturărilor contabile Abstract Elisabeta JABA*, Ioan-Bogdan ROBU** & Mihaela-Alina ROBU*** Statistical Sampling in Financial Auditing to
More informationCum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară
Cum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară Marian TETIVA 1 Abstract. The paper brings some tools from advanced algebra (namely algebraic integers) in attention of those interested in
More informationGhid de instalare pentru program NPD RO
Ghid de instalare pentru program NPD4758-00 RO Instalarea programului Notă pentru conexiunea USB: Nu conectaţi cablul USB până nu vi se indică să procedaţi astfel. Dacă se afişează acest ecran, faceţi
More informationPress review. Monitorizare presa. Programul de responsabilitate sociala. Lumea ta? Curata! TIMISOARA Page1
Page1 Monitorizare presa Programul de responsabilitate sociala Lumea ta? Curata! TIMISOARA 03.06.2010 Page2 ZIUA DE VEST 03.06.2010 Page3 BURSA.RO 02.06.2010 Page4 NEWSTIMISOARA.RO 02.06.2010 Cu ocazia
More informationGeometrie euclidian¼a în plan şi în spaţiu. Petru Sorin Botezat
Geometrie euclidian¼a în plan şi în spaţiu Petru Sorin Botezat aprilie-mai 2009 Capitolul 1 Noţiuni de logic¼a 1.1 Propoziţii Unitatea discursului logic este propoziţia. Not¼am propoziţiile cu p; q; r;...
More informationOLIMPIADA DE MATEMATIC ¼A ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007
ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007 CLASA A IV-A. Folosind de şapte ori cifra 7, o parte din semnele celor patru operaţii operaţii +; ; ; : eventual şi paranteze rotunde, compuneţi şapte exerciţii, astfel
More informationDefuzzificarea într-un sistem cu logică fuzzy. Aplicaţie: maşina de spălat cu reguli fuzzy. A. Obiective. B. Concepte teoretice ilustrate
Defuzzificarea într-un sistem cu logică fuzzy. Aplicaţie: maşina de spălat cu reguli fuzzy A. Obiective 1) Vizualizarea procesului de selecţie a valorii tranşante de ieşire din mulţimea fuzzy de ieşire
More informationINTRODUCERE : Ce este econometria? 1. Scurt istoric privind apariţia econometriei. 2. Definiţia econometriei
INTRODUCERE : Ce este econometria?. Scurt istoric privind apariţia econometriei. Definiţia econometriei 3. Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei modelul econometric Sursa de date Teste statistice
More informationCircuite Basculante Bistabile
Circuite Basculante Bistabile Lucrarea are drept obiectiv studiul bistabilelor de tip D, Latch, JK şi T. Circuitele basculante bistabile (CBB) sunt circuite logice secvenţiale cu 2 stări stabile (distincte),
More informationAsocierea variabilelor discrete
Asocierea variabilelor discrete Asocierea variabilelor nominale Tipuri de teste χ Pearson este cel mai utilizat tip de test de semnificaţie χ (de multe ori lipseşte numele "Pearson") şi priveşte asocierea
More informationPREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI My joy is my sorrow unmasked. 1
PREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI 203 Abstract. Presentation with solutions for the problems given at the Juniors and Seniors Tests, and some selected other problems from the Călăraşi Competition, 203. Data:
More informationOLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA
OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 014/015 RUNDA A DOUA Abstract. Comments on some of the problems presented at the new integrated International Mathematical
More informationAnexa 2. Instrumente informatice pentru statistică
Anexa 2. Instrumente informatice pentru statistică 2.1. Microsoft EXCEL şi rutina HISTO Deoarece Microsoft EXCEL este relativ bine cunoscut, inclusiv cu unele funcţii pentru prelucrări statistice, în acest
More informationClick pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat.
1. Sus în stânga, click pe Audio, apoi pe Audio Connection. 2. Click pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat. 3. 4. Alegeți opțiunea favorită:
More informationDIRECTIVA HABITATE Prezentare generală. Directiva 92/43 a CE din 21 Mai 1992
DIRECTIVA HABITATE Prezentare generală Directiva 92/43 a CE din 21 Mai 1992 Birds Directive Habitats Directive Natura 2000 = SPAs + SACs Special Protection Areas Special Areas of Conservation Arii de Protecţie
More informationDEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1
DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1 Abstract This article is devoted to the study of two fundamental and reciprocal questions: when do
More informationMail Moldtelecom. Microsoft Outlook Google Android Thunderbird Microsoft Outlook
Instrucțiunea privind configurarea clienților e-mail pentru Mail Moldtelecom. Cuprins POP3... 2 Outlook Express... 2 Microsoft Outlook 2010... 7 Google Android Email... 11 Thunderbird 17.0.2... 12 iphone
More informationCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 214 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI Abstract. Comments on some of the problems presented at the 214 District Round of the Romanian National Mathematics Olympiad.
More informationCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2013 ULTIMELE DOUĂ TESTE DE SELECŢIE
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 03 ULTIMELE DOUĂ TESTE DE SELECŢIE Abstract. Comments on some of the problems given at the last two Selection Tests after the National Mathematics Olympiad 03. Data:
More informationMaria plays basketball. We live in Australia.
RECAPITULARE GRAMATICA INCEPATORI I. VERBUL 1. Verb to be (= a fi): I am, you are, he/she/it is, we are, you are, they are Questions and negatives (Intrebari si raspunsuri negative) What s her first name?
More informationCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 TESTE DE SELECŢIE JUNIORI
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 204 TESTE DE SELECŢIE JUNIORI Abstract. Comments on some of the problems asked at the Junior Selection Tests after the National Mathematical Olympiad of 204. Se adresează
More informationExerciţii Capitolul 4
EXERCIŢII CAPITOLUL 4 4.1. Scrieti câte un program Transact-SQL si PL/SQL pentru calculul factorialului unui număr dat. 4.2. Scrieţi şi executaţi cele două programe care folosesc cursoarele prezentate
More informationOLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA ADDENDUM
OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 014/015 RUNDA A DOUA ADDENDUM Abstract. Comments on some additional problems presented at the new integrated International
More informationCurs 10: Analiza seriilor de timp. Data mining - Curs 10 1
Curs 0: Analiza seriilor de timp Data mining - Curs 0 Structura Motivaţie Pre-procesarea seriilor de timp Predicţie Identificare şabloane Grupare şi clasificare Detecţie anomalii Data mining - Curs 0 2
More informationTEOREMA FLUXULUI MAGNETIC
TEOREMA FLUXULUI MAGNETIC EUGENIU POTOLEA 1 Cuvinte cheie: Teoria fizicii, legile electrodinamicii, legea fluxului magnetic. Rezumat. Teoria tradiţională a electrodinamicii consideră că relaţia B = este
More informationAlgoritmică şi programare Laborator 3
Algoritmică şi programare Laborator 3 Următorul algoritm calculează cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun a două numere naturale, nenule, a şi b, citite de la tastatură. Algoritmul are
More informationPREZENTARE INTERFAŢĂ MICROSOFT EXCEL 2007
PREZENTARE INTERFAŢĂ MICROSOFT EXCEL 2007 AGENDĂ Prezentarea aplicaţiei Microsoft Excel Registre şi foi de calcul Funcţia Ajutor (Help) Introducerea, modificarea şi gestionarea datelor în Excel Gestionarea
More informationPREVIZIUNI ÎN ECONOMIE BAZATE PE MODELELE ECONOMETRICE UTILIZÂND EViews 5. ECONOMIC FORECASTS BASED ON ECONOMETRIC MODELS USING EViews 5
PREVIZIUNI ÎN ECONOMIE BAZATE PE MODELELE ECONOMETRICE UTILIZÂND EViews 5 ECONOMIC FORECASTS BASED ON ECONOMETRIC MODELS USING EViews 5 Conf. univ. dr. Cornelia Tomescu- Dumitrescu Universitatea Constantin
More informationRaionul Şoldăneşti la 10 mii locuitori 5,2 4,6 4,4 4,8 4,8 4,6 4,6 Personal medical mediu - abs,
Indicatorii de bază privind sănătatea populaţiei raionului şi rezultatele de activitate a instituţiilor medico - sanitare publice Reţeaua instituţiilor medicale: -spitale republicane 17 - - - - - - -spitale
More informationUniversitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 4) b este: A b 2 a B b a C b+ a D a b
Universitatea din Bucureşti 3.07.06 Facultatea de Matematică şi Informatică Concursul de admitere iulie 06 Domeniul de licenţă Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei Matematică (Varianta 4). Fie hexagonul
More informationUniversitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 1)
Universitatea din Bucureşti 3.07.06 Facultatea de Matematică şi Informatică Concursul de admitere iulie 06 Domeniul de licenţă Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei Matematică (Varianta ). Valoarea numărului
More informationOlimpiada Naţională de Matematică 2015 Testele de Selecţie Juniori IV şi V
Olimpiada Naţională de Matematică 205 Testele de Selecţie Juniori IV şi V Abstract. Comments on several of the problems sat at subsequent Junior Selection Tests 205. Se adresează claselor V, VI, VII, VIII.
More informationMicrosoft Excel partea 1
Microsoft Excel partea 1 În această parte veţi utiliza următoarele funcţionalităţi ale pachetului software: Realizarea şi formatarea unei foi de calcul Adrese absolute şi relative Funcţii: matematice,
More informationFIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program Universitatea Babeș-Bolyai Facultatea de Psihologie și Științele Educației Departamentul Psihologie
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Instituţia de învăţământ superior Universitatea Babeș-Bolyai 1.2 Facultatea Facultatea de Psihologie și Științele Educației 1.3 Departamentul Departamentul Psihologie
More informationANEXA NR. 1. Caracteristicile tehnice ale interfeţelor echipamentelor. Exemplu schema de interconectare TRONSON XX: A A1 A2 A3 - B STM-4 A2 A3 STM-1
SERVIIUL DE TELEOUNIAŢII SPEIALE SEŢIUNEA II AIET DE SARINI ONTRAT DE FURNIZARE EHIPAENTE DE OUNIAŢII PENTRU IPLEENTAREA PROIETULUI REŞTEREA APAITĂŢII DE INTERONETARE A SISTEELOR INFORATIE ŞI BAZELOR DE
More informationREVISTA DE MATEMATICĂ
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Filiala Caraş-Severin REVISTA DE MATEMATICĂ A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN Nr. 4, An XIII 0 Acest număr al revistei are avizul Comisiei
More informationCapitolul 1. Noţiuni de bază
1 Capitolul 1. Noţiuni de bază Capitolul este destinat în principal prezentării unor elemente introductive absolut necesare pentru păstrarea caracterului de sine stătător al lucrării în Liceu anumite noţiuni
More informationCapitolul V MODELAREA SISTEMELOR CU VENSIM
5.1. Introducere Capitolul V MODELAREA SISTEMELOR CU VENSIM VENSIM este un software de modelare vizuală care permite conceptualizarea, implementarea, simularea şi optimizarea modelelor sistemelor dinamice.
More informationPuncte şi drepte izogonale în planul unui trapez
Puncte şi drepte izogonale în planul unui trapez Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this paper, there are presented a number of properties of collinearity and conciclicity of the centers of some circles associated
More informationLaborator 5 - Statistică inferenţială
Laborator 5 - Statistică ifereţială O populaţie statistică este o mulţime de idivizi 1 al căror atribut (greutate, îalţime etc) este supus uor variaţii aleatoare. Statistica ifereţială are drept scop determiarea
More informationLUCRAREA NR. 2 STUDIUL AMPLIFICATORULUI DIFERENŢIAL
LUCRRE NR. STUDIUL MPLIFICTORULUI DIFERENŢIL 1. Scopl lcrării În această lcrare se stdiază amplificatorl diferenţial realizat c tranzistoare bipolare, în care generatorl de crent constant este o srsă de
More informationJOURNAL OF ROMANIAN LITERARY STUDIES DO ASSERTIONS, QUESTIONS OR WISHES MAKE A THICK TRANSLATION?
JOURNAL OF ROMANIAN LITERARY STUDIES Issue no.6/2015 DO ASSERTIONS, QUESTIONS OR WISHES MAKE A THICK TRANSLATION? Anca-Mariana PEGULESCU Romanian Ministry of Education and Scientific Research Abstract:
More informationAlexandrina-Corina Andrei. Everyday English. Elementary. comunicare.ro
Alexandrina-Corina Andrei Everyday English Elementary comunicare.ro Toate drepturile asupra acestei ediţii aparţin Editurii Comunicare.ro, 2004 SNSPA, Facultatea de Comunicare şi Relaţii Publice David
More informationTTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună
Lighting TTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună TTX260 TTX260 este o soluţie de iluminat liniară, economică şi flexibilă, care poate fi folosită cu sau fără reflectoare (cu cost redus), pentru
More informationCu ce se confruntă cancerul de stomac? Să citim despre chirurgia minim invazivă da Vinci
Cu ce se confruntă cancerul de stomac? Să citim despre chirurgia minim invazivă da Vinci Opţiunile chirurgicale Cancerul de stomac, numit şi cancer gastric, apare atunci când celulele normale ies de sub
More informationSORIN CERIN STAREA DE CONCEPŢIUNE ÎN COAXIOLOGIA FENOMENOLOGICĂ
SORIN CERIN STAREA DE CONCEPŢIUNE ÎN COAXIOLOGIA FENOMENOLOGICĂ EDITURA PACO Bucureşti,2007 All right reserved.the distribution of this book without the written permission of SORIN CERIN, is strictly prohibited.
More informationContribuţii la studiul problemelor de coincidenţă pentru operatori univoci si multivoci
Contribuţii la studiul problemelor de coincidenţă pentru operatori univoci si multivoci Rezumatul tezei de doctorat Oana Maria Mleşniţe Departamentul de Matematică Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca
More informationPURPURA TROMBOCITOPENICĂ IDIOPATICĂ LA COPIL
UNIVERSITATEA DE MEDICINǍ ŞI FARMACIE GR.T.POPA -IASI FACULTATEA DE MEDICINǍ GENERALǍ PURPURA TROMBOCITOPENICĂ IDIOPATICĂ LA COPIL Conducǎtor ştiinţific Prof.Dr. IOAN TANSANU Doctorand Dr. LILIANA MARICELA
More informationCOSTUL DE OPORTUNITATE AL UNUI STUDENT ROMÂN OPPORTUNITY COST OF A ROMANIAN STUDENT. Felix-Constantin BURCEA. Felix-Constantin BURCEA
COSTUL DE OPORTUNITATE AL UNUI STUDENT ROMÂN Felix-Constantin BURCEA Abstract A face compromisuri implică întotdeauna a compara costuri şi beneficii. Ce câştigi reprezintă beneficiul, care de obicei depinde
More informationGhid de instalare in limba romana TE100-S16 TE100-S24
Ghid de instalare in limba romana TE100-S16 TE100-S24 Table of of Contents Contents... 1. Inainte de Incepe... 2. Instalare fizicã... 3. Caracteristici tehnice... Rezolvare a problemelor ce ar putea sã
More informationdeclarare var <identif>:array[<tip1>,<tip2>,...] of <tip_e>; var a: array[1..20] of integer; (vector cu 20 elemente)
TITLUL: Tablou unidimensional 1. Teorie Tabloul este o structură de date statică (dimensiunea este fixă) care memoreză o succesiune de elemente de acelaşi tip. Elementele tabloului sunt identificate prin
More informationConf.univ.dr. Lucian CERNUŞCA Universitatea Aurel Vlaicu, Arad Rezumat Există lideri... şi există manageri... dar ce face dintr-un om lider?
LEADERSHIP ARTÃ SAU ŞTIINŢÃ? Conf.univ.dr. Lucian CERNUŞCA Universitatea Aurel Vlaicu, Arad Rezumat Există lideri... şi există manageri... dar ce face dintr-un om lider? Este leadershipul (actul de a conduce)
More informationClasele de asigurare. Legea 237/2015 Anexa nr. 1
Legea 237/2015 Anexa nr. 1 Clasele de asigurare Secţiunea A. Asigurări generale 1. accidente, inclusiv accidente de muncă şi boli profesionale: a) despăgubiri financiare fixe b) despăgubiri financiare
More informationProiect:ID 1005, Coinele, algebre Hopf şi categorii braided monoidale, Director: C. Năstăsescu SINTEZA LUCRĂRII
1 Proiect:ID 1005, Coinele, algebre Hopf şi categorii braided monoidale, Director: C. Năstăsescu SINTEZA LUCRĂRII Cercetarea pe temele propuse în proiect s-a concretizat în următoarele articole: [1] S.
More informationOPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR
OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR OPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE Traian Alexandru BUDA, Magdalena BARBU, Gavrilă CALEFARIU Transilvania University of Brasov,
More informationMarea teoremă a lui Fermat pentru polinoame
Marea teoremă a lui Fermat pentru polinoame Temistocle BÎRSAN 1 1. Odată cucăderea Constantinopolului (1453), mulţi învăţaţi bizantini s-au îndreptat spre Europa de Vest aducând cu ei manuscrise preţioase
More informationRomanian Master of Mathematics and Sciences 2011 Physics Section
1. Suntem în plină eră spańială şi zborul cosmic este la ordinea zilei. Convoaie de nave spańiale brăzdează vidul ce separă Pământul şi coloniile lui. Eşti comandantul unui astfel de convoi, constând din
More informationA s o c i a ţ i a R e c r e a ţ i i M a t e m a t i c e
Anul XVIII, Nr. 1 Ianuarie Iunie 016 R E C R E A Ţ I I M A T E M A T I C E R E V IS T Ă DE MATE MATI C Ă PE N T R U E LE V I Ş I PR O FE S O RI e i 1 A s o c i a ţ i a R e c r e a ţ i i M a t e m a t i
More informationAMINELE BIOGENE-IMPLICATII IN PATOLOGIA UMANA
Raport ştiinţific Grant TD 282/2008 cu tema AMINELE BIOGENE-IMPLICATII IN PATOLOGIA UMANA Director grant Asist.drd.Zamosteanu Nina ANUL 2008 Rezultatele obţinute pe parcursul anului 2008 au avut ca obiectiv
More informationTUTORIAL: EVALUAREA SUSCEPTIBILITĂŢII LA EROZIUNE PRIN ANALIZĂ BIVARIATĂ
UNIVERSITATEA DIN BUCUREŞTI FACULTATEA DE GEOGRAFIE TUTORIAL: EVALUAREA SUSCEPTIBILITĂŢII LA EROZIUNE PRIN ANALIZĂ BIVARIATĂ Masterand: Mădălina Teodor Profesor coordonator: Prof. Univ. dr. Iuliana Armaş
More informationice~felix' COMPUTER S.A.
I ice~felix' COMPUTER S.A. ici:~fl:li. COMPUTER S.A. HC - 2000 MANUAL TEHNIC ŞI DE UTILIZARE ... -------------------------------- CUPRINS CAP. 1. INTRODUCERE Prezentare generală, caracteristici tehnice,
More informationAnexa nr.1. contul 184 Active financiare depreciate la recunoașterea inițială. 1/81
Anexa nr.1 Modificări și completări ale Reglementărilor contabile conforme cu Standardele Internaționale de Raportare Financiară, aplicabile instituțiilor de credit, aprobate prin Ordinul Băncii Naționale
More informationUtilizarea eficientă a factorilor de producţie
Utilizarea eficientă a factorilor de producţie Prof. univ. dr. Alina Costina BĂRBULESCU TUDORACHE Ec. Mădălin BĂRBULESCU TUDORACHE Abstract Economic efficiency expresses the quality of human life concretized
More informationTHE USE OF MOTHER TONGUE IN FOREIGN LANGUAGE TEACHING. Andreea NĂZNEAN 1. Abstract
THE USE OF MOTHER TONGUE IN FOREIGN LANGUAGE TEACHING Andreea NĂZNEAN 1 Abstract In my article I intend to prove that the use of the students mother tongue in teaching a foreign language is essential,
More information