O VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE

Size: px
Start display at page:

Download "O VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE"

Transcription

1 O VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE de Andrei ECKSTEIN, Timişoara Numeroase noţiuni din analiza matematică au un analog discret. De exemplu, analogul discret al derivatei este diferenţa finită; o metodă de a rezolva ecuaţii diferenţiale este de a le asocia analogul lor discret, o ecuaţie cu diferenţe finite care, odată rezolvată, oferă o soluţie aproximativă a ecuaţiei iniţiale. Şi transformatele Fourier şi Laplace au câte un analog discret: transformata Fourier discretă, respectiv transformata Z. În această scurtă notă vom enunţa o variantă discretă a teoremei valorii intermediare şi vom prezenta câteva aplicaţii ale acesteia. Teorema valorii intermediare pentru funcţii continue (TVIC) este binecunoscută: Teoremă (TVIC). Dacă f : [a, b] R este o funcţie continuă iar u este un număr real aflat între f(a) şi f(b), atunci există c [a, b] astfel încât f(c) = u. Cu alte cuvinte, TVIC spune că,,orice funcţie continuă are proprietatea lui Darboux. Un analog discret al acestei teoreme, TVID, este: Teoremă (TVID). Fie a, b Z, a < b şi I = [a, b] Z. Dacă f : I Z este o funcţie cu proprietatea că f(n + 1) f(n) 1 pentru orice n Z cu a n < b, iar u este un număr întreg aflat între f(a) şi f(b), atunci există c I astfel încât f(c) = u. Demonstraţie: Dacă u = f(a) sau u = f(b) putem lua c = a, respectiv c = b. I. Dacă f(a) = f(b) atunci u = f(a) şi putem lua c = a. II. Dacă f(a) < u < f(b) atunci considerăm mulţimea A = {m I f(m) u}. Cum b A, A este nevidă, finită, deci are un cel mai mic element m 0 > a. Atunci f(m 0 ) u. Pe de altă parte, m 0 1 I \ A, deci f(m 0 1) u 1. Obţinem că f(m 0 ) f(m 0 1) 1. Din ipoteză avem şi f(m 0 ) f(m 0 1) 1, de unde f(m 0 ) = f(m 0 1)+1 u, ceea ce coroborat cu f(m 0 ) u, conduce la f(m 0 ) = u. III. Dacă f(a) > u > f(b) atunci considerăm mulţimea A = {m I f(m) u}. Cum a A, A este nevidă, finită, deci are un cel mai mare element m 0 < b. Atunci f(m 0 ) u. Pe de altă parte, m I \ A, deci f(m 0 + 1) u 1. Obţinem că f(m 0 + 1) f(m 0 ) 1. Din ipoteză avem şi f(m 0 + 1) f(m 0 ) 1, de unde f(m 0 ) = f(m 0 +1)+1 u, ceea ce coroborat cu f(m 0 ) u, conduce la f(m 0 ) = u. 1

2 Observaţie: Condiţia f(n + 1) f(n) 1 pentru orice n Z cu a n < b se traduce prin,,funcţia f nu sare valori. Ea înlocuieşte noţiunea de continuitate din cazul continuu. Astfel teorema se poate reformula după cum urmează: Dacă un şir de numere întregi care,,nu sare valori (modulul diferenţei oricăror doi termeni consecutivi este cel mult 1) ia valorile m şi n, atunci şirul ia toate valorile întregi situate între m şi n. Aplicaţii: 1. Pentru fiecare număr natural k 2, notăm M k = {a Z a este produs de k numere întregi consecutive}. a) Să se arate că, dacă a M 2, atunci 4a + 1 este pătrat perfect. b) Aflaţi numerele x pentru care x şi 4x sunt în M 2. c) Demonstraţi că, dacă numărul k este par, atunci M k N. Dorel Miheţ, Concursul,,Grigore Moisil, 2007 Soluţie: a) a M 2 x Z : a = x(x + 1) 4a + 1 = 4x 2 + 4x + 1 = (2x + 1) 2 b) x M 2 a) y Z : 4x + 1 = y 2 4x = (y 1)(y + 1). Dar (y 1)y < (y 1)(y+1) < y(y+1), y 2 şi (y 1)y > (y 1)(y+1) > y(y+1), y 2, deci 4x / M 2. Pentru y { 1, 0, 1} obţinem singura soluţie, x = 0. c) Fie a M k. Atunci există x Z astfel încât a = (x + 1)(x + 2)... (x + k). Dacă numerele x + 1 şi x + k au acelaşi semn atunci, din regula semnelor, avem că a > 0. Dacă x x + k, deoarece secvenţa x + 1, x + 2,..., x + k nu sare valori, conform TVID, numărul 0 se află printre cei k termeni ai secvenţei, deci în acest caz a = 0. De aici rezultă că, în fiecare caz, a N. 2. Determinaţi funcţiile injective f : N N pentru care avem f(n + 1) f(n) 1, n N. Marius Crainic 1 [1] Soluţie: Fie f o funcţie cu proprietăţile cerute în enunţ. Presupunem că există m N 1 Enunţ modificat. Problema originală cerea funcţiile bijective care satisfac relaţia dată. 2

3 astfel ca f(m + 1) f(m) < 1. Din injectivitatea lui f rezultă f(m + 1) < f(m). Pe de altă parte, există k > m + 1 astfel ca f(k) > f(m), în caz contrar funcţia f ar duce mulţimea infinită {m+2, m+3,...} în mulţimea finită {1, 2,..., f(m)}, ceea ce ar contrazice injectivitatea lui f. Deşi funcţia f : {m + 1, m + 2,..., k} Z, f(n) = f(n) nu satisface întocmai ipotezele TVID (ea poate sări valori dar numai atunci când descreşte), din demonstraţia TVID se vede că în cazul II. nu se foloseşte că f(n + 1) f(n) 1 n ci doar că f(n + 1) f(n) 1, n. Putem aşadar deduce că există j N, m + 1 < j < k, astfel ca f(j) = f(m), adică f(j) = f(m). Cum m < j, acest lucru contrazice injectivitatea lui f, deci presupunerea făcută este falsă. Prin urmare f(m + 1) f(m) = 1, m N. Notând f(1) = a N, se arată uşor prin inducţie că f(n) = n + a 1, n N. Se verifică apoi imediat că toate aceste funcţii satisfac proprietăţile din enunţ. 3. Exact 4n numere din mulţimea de numere naturale A = {1, 2, 3,..., 6n} sunt vopsite în roşu, toate celelalte în albastru. Arătaţi că există 3n numere naturale consecutive din A cu proprietatea că printre ele se află exact 2n numere roşii. Olimpiadă Kazahstan, 2010 Soluţie: Pentru k = 0, 1,..., 3n notăm cu M k mulţimea M k = {k+1, k+2,..., k+3n}. Vom demonstra că cel puţin una din mulţimile M k conţine exact 2n numere roşii. Avem M 0 M 3n = A. Dacă M 0 şi M 3n conţin câte 2n numere roşii, atunci am găsit mulţimea dorită. Dacă nu, atunci una din mulţimile M 0 şi M 3n conţine mai mult de 2n numere roşii, iar cealaltă mai puţin de 2n numere roşii. Definim funcţia f : {0, 1,..., 3n} N, f(k) = numărul de numere roşii din mulţimea M k. Să comparăm f(k + 1) şi f(k). Deoarece M k+1 = (M k {k n}) \ {k + 1}, avem că 1, dacă k + 1 e albastru, iar k n e roșu f(k + 1) f(k) = 0, dacă k + 1 și k n au acceași culoare 1, dacă k + 1 e roșu, iar k n e albastru deci f(n + 1) f(n) 1. Aşadar f satisface ipotezele TVID. Cum 2n este cuprins între f(0) şi f(3n), există un k astfel încât f(k) = 2n, adică astfel încât M k să conţină 3n numere consecutive dintre care exact 2n roşii. 4. Fiecare număr întreg este colorat roşu sau albastru. Se ştie că, în orice mulţime finită de numere întregi consecutive, numărul numerelor roşii diferă de numărul numerelor albastre, în valoare absolută, prin cel mult Demonstraţi că există o mulţime de 2000 de numere întregi consecutive care conţine exact 1000 de numere roşii şi 1000 de numere albastre. Olimpiadă Italia, 2013 Soluţie: Considerăm 1001 grupuri contigue de câte 2000 de numere consecutive. Dacă în niciunul din aceste grupuri numărul numerelor roşii nu este egal cu numărul 3

4 numerelor albastre, atunci printre aceste 1001 grupuri trebuie să existe două, unul în care avem mai multe numere roşii decât albastre şi altul în care avem mai multe numere albastre decât roşii. Într-adevăr, în caz contrar, în fiecare din cele 1001 grupuri o anumită culoare ar fi majoritară măcar cu 1 (de fapt, din paritate, măcar cu 2), deci în grupul mare de numere am avea cu cel puţin 1001 mai multe numere din culoarea majoritară, ceea ce contrazice ipoteza. Aşadar trebuie să existe un grup,,majoritar roşu şi un grup,,majoritar albastru. În grupul majoritar roşu avem cel puţin 1001 numere roşii, iar în grupul majoritar albastru vom avea cel mult 999 de numere roşii. Să presupunem că grupul majoritar roşu este {k, k + 1,..., k + 999}, iar cel majoritar albastru {n, n + 1,..., n + 999}, cu k < n. Dacă notăm cu a j numărul de numere roşii din mulţimea {j, j + 1,..., l + 999}, avem a k 1001, a n 999 şi a j+1 a j { 1, 0, 1} (este 1 dacă j + 1 e roşu şi j e albastru, este 1 dacă j + 1 este albastru şi j este roşu şi, în fine, este 0 dacă j şi j +1 au aceeaşi culoare). Aşadar şirul (a j ) nu sare valori, deci pentru a putea trece de la o valoare 1001 la una 999 trebuie să treacă şi prin valoarea intermediară Aşadar există un grup format din 2000 de numere consecutive care conţine 1000 de numere roşii, deci 1000 de numere albastre. 5. Se consideră 1200 de puncte pe un cerc. Arătaţi că există un arc AB de măsură 30 care conţine în interiorul său exact 100 dintre cele 1200 de puncte. Baraj O.B.J., 2001 [3] Soluţie: Împărţim cercul în 12 arce egale (având măsura de 30 ) prin 6 diametre. Capetele acestor diametre sunt vârfurile unui dodecagon regulat. Afirmăm că există o configuraţie în care aceste vârfuri nu sunt în niciunul din cele 1200 de puncte date. Într-adevăr, numărul dodecagoanelor regulate înscrise în cercul dat este infinit, în timp ce numărul celor care au cel puţin un vârf în mulţimea celor 1200 de puncte date este finit. Cele 1200 de puncte date se află, deci, în interiorul celor 12 arce de măsură 30. Dacă unul dintre acestea conţine 100 de puncte, problema este rezolvată. În caz contrar, există un arc având mai puţin de 100 de puncte şi unul având mai mult de 100 de puncte. Vom roti arcul având mai puţin de 100 de puncte către cel având mai mult de 100 de puncte. În timpul rotaţiei, arcul întâlneşte unele dintre punctele date iniţial şi,,pierde unele dintre cele aflate în interior. Să observăm că numărul de puncte interioare se modifică astfel: creşte cu 1 dacă întâlneşte unul dintre punctele date scade cu 1 dacă un punct interior,,iese din interiorul arcului rămâne nemodificat atunci când, simultan, un punct,,intră şi altul,,iese din interiorul arcului. (Această situaţie apare atunci când cele două puncte determină un arc de măsură 30.) Deoarece numărul de puncte interioare la începutul rotaţiei este mai mic decât 100, iar la sfârşit este mai mare ca 100, iar variaţia numărului de puncte este de 1 punct, rezultă că la un moment dat a existat o poziţie în care arcul conţine exact 100 de puncte, ceea ce trebuia demonstrat. 4

5 Observaţie: Aici s-a folosit o altă variantă a TVID, una în care domeniul de definiţie al funcţiei este un interval, iar codomeniul o mulţime de numere întregi. De fapt putem adapta demonstraţia de mai sus (cea din [2]) astfel încât să putem aplica TVID sub forma enunţată la început. Considerăm MN arcul măturat de arcul de 30 în drumul său de la poziţia iniţială până la cea finală. Fie m N astfel ca m(mn) = m 30. Împărţim fiecare din cele m arce de măsură 30 ce formează arcul MN în n arce egale (cu n suficient de mare), de măsură mai mică decât cel mai mic dintre arcele determinate de două din cele 1200 de puncte. Notăm capetele acestor arce, în ordinea de pe cerc, cu M 0 = M, M 1,..., M mn = N. Dacă definim f : {0, 1, 2,..., mn n} N, f(k) = numărul de puncte situate în interiorul arcului M k M k+n, avem f(0) < 100, f(mn n) > 100 şi f(k + 1) f(k) 1, k {0, 1, 2,..., mn n 1}, deci, conform TVID există k {0, 1, 2,..., mn n 1} astfel încât f(k) = 100, ceea ce trebuia demonstrat. 6. Fie L mulţimea cuvintelor formate cu literele a şi b care pot fi formate pornind de la cuvântul vid după o succesiune finită de aplicări ale următoarelor reguli: a) dacă x L atunci axb L şi bxa L; b) dacă x L şi y L atunci xy L. Arătaţi că un cuvânt aparţine lui L dacă şi numai dacă acesta conţine un număr egal de litere a şi litere b. The College Mathematics Journal [2] Soluţie: Vom demonstra prin inducţie după numărul de litere al cuvintelor că orice cuvânt din L care are n litere conţine un număr egal de litere a şi b. Pentru n = 0 afirmaţia este evidentă. Fie n N arbitrar fixat. Presupunem proprietatea adevărată pentru orice cuvânt de cel mult n litere şi o demonstrăm pentru cuvintele cu n + 1 litere. Urmărind regulile de formare a cuvintelor, vedem că orice cuvânt cu n + 1 litere provine fie dintr-un cuvânt x cu n 1 litere căruia i s-au adăugat, de o parte şi de alta a lui, literele a şi b, fie din juxtapunerea a două cuvinte mai scurte, x şi y. În primul caz, din ipoteza de inducţie, x conţine un număr egal de a-uri şi b-uri, deci şi noul cuvânt, axb sau bxa, conţine un număr egal de a-uri şi b-uri. În al doilea caz, din ipoteza de inducţie, cuvintele x şi y conţin un număr egal de a-uri şi b-uri, deci şi cuvântul nou, xy, va conţine tot un număr egal de a-uri şi b-uri. Vom demonstra prin inducţie după numărul de litere a al cuvintelor că orice cuvânt care are n litere a şi n litere b aparţine lui L. Pentru n = 0 afirmaţia este evidentă. Fie n N arbitrar fixat. Presupunem proprietatea adevărată pentru orice cuvânt cu k n litere a şi k litere b şi o demonstrăm pentru cuvintele cu n + 1 litere a şi n + 1 litere b. Dacă prima şi ultima literă sunt diferite, atunci cuvântul este axb sau bxa unde x conţine n de a şi n de b. Din ipoteza de inducţie, x L, apoi din prima regulă de 5

6 formare a cuvintelor avem că axb, bxa L. Să considerăm acum cazul în care prima şi ultima literă a cuvântului sunt identice, de exemplu ambele sunt a. Definim funcţia f : {1, 2,..., 2n + 1} Z prin f(k) = diferenţa dintre numărul de litere a aflate printre primele k litere şi numărul de litere b aflate printre primele k litere. Avem f(1) = 1 0 = 1 şi f(2n+1) = n (n+1) = 1. De asemenea, în mod evident, avem f(k+1) f(k) 1, k = 1, 2,..., 2n, deci, conform TVID, există m {2, 3,..., 2n} astfel ca f(m) = 0. Atunci cuvintele formate cu primele m litere şi respectiv cu ultimele 2n + 2 m litere conţin la fel de multe a-uri ca şi b-uri. Din ipoteza de inducţie, aceste două cuvinte aparţin lui L, deci şi cuvântul nostru, obţinut cu regula b) prin juxtapunerea a două cuvinte din L, aparţine lui L. Cu aceasta inducţia este încheiată. 7. Sunt date 25 de bucăţi de caşcaval având greutăţi diferite două câte două. Stabiliţi dacă este întotdeuna posibil să tăiem una din bucăţi în două şi să aşezăm cele 26 de bucăţi de caşcaval pe două talere ale unei balanţe astfel încât: balanţa să stea în echilibru pe fiecare taler să fie câte 13 bucăţi de caşcaval cele două bucăţi care provin din împărţirea aceleaşi bucăţi să fie pe talere diferite. V.L. Dolnikov, Turneul Oraşelor, 1997 Soluţie: Notăm cele 25 de bucăţi de caşcaval cu a 1, a 2,..., a 25. Aşezăm momentan primele 12 bucăţi pe primul taler, celelalte 13 pe cel de-al doilea taler. Mutăm bucata a 25 pe primul taler, apoi bucata a 1 pe al doilea taler, apoi a 24 pe primul taler şi aşa mai departe până când, după 25 de mutări, conţinuturile celor două talere se vor fi interschimbat faţă de aşezarea iniţială. Înseamnă că a existat la un moment dat (cel puţin) o mutare care a făcut ca balanţa să se încline invers. Cum orice mutare se face muând o bucată din talerul cu 13 bucăţi în cel cu 12 bucăţi, înseamnă că la acest moment s-ar fi putut muta o parte doar din bucata care a schimbat înclinarea balanţei astfel încât acea bucată să echilibreze balanţa. PROBLEME PROPUSE; 1. Pe un raft sunt 30 de cizme, 15 pentru piciorul drept şi 15 pentru piciorul stâng. Arătaţi că există un grup format din 10 cizme consecutive printre care există exact 5 cizme pentru piciorul drept şi 5 cizme pentru piciorul stâng. Olimpiadă Moldova, 1991 Soluţie: Problema este similară cu problema 3. Fie f(k) numărul de cizme pentru piciorul drept aflate printre cele 10 cizme consecutive începând cu cizma a k-a de la stânga. Atunci f(1) + f(11) + f(21) = 15, deci fie unul dintre numerele f(1), f(11) şi f(21) este egal cu 5, caz în care problema este rezolvată, fie printre cele 3 numere există unul mai mic decât 5 şi un altul mai mare decât 5. Cu argumentul 6

7 de la problema 3, cu TVID, între aceste două poziţii eistă una în care f(a) = 5 şi problema este rezolvată. 2. Un şirag de 15 mărgele, 5 roşii şi 10 negre, sunt înşirate pe un cerc. Arătaţi că pentru orice aranjare a mărgelelor există 6 mărgele consecutive pe cerc dintre care două sunt roşii şi 4 sunt negre. Generalizare: Vasile Pop - Geometrie combinatorică, pag.142 (enunţ parţial) Un şirag de mărgele este format din n mărgele negre şi n mărgele roşii aşezate pe un cerc. Arătaţi că pentru orice număr k n există 2k mărgele consecutive dintre care k sunt roşii şi k sunt negre. Vasile Pop - Geometrie combinatorică, pb Plecând de la ecuaţia x 2 + 7x + 2 = 0, fiecare elev dintr-o clasă modifică pe rând coeficientul lui x şi termenul liber cu o unitate. Ultimul elev a scris ecuaţia x 2 + 2x + 7 = 0. Arătaţi că cel puţin un elev a scris o ecuaţie care are rădăcini întregi. Traian Covaciu, Baia Mare (RMT) Soluţie: Notând cu f(x) = x 2 + ax + b funcţia de gradul doi scrisă pe tablă, observăm că fiecare elev modifică f( 1) = 1 + b a crescându-l cu 2, micşorându-l cu 2, sau nu îl modifică. Îniţial f( 1) = 4, la final f( 1) = 6. Cum f( 1) este mereu par, nu sare valori întregi pare, între 4 şi 6 va lua şi valoarea 0. Deci 1 este una din rădăcini şi, cum produsul rădăcinilor este un întreg, şi cealaltă rădăcină va fi întreagă de studenţi stau într-un cerc. Demonstraţi că există un număr întreg k cu 100 k 300 astfel încât în acest cerc există un grup de 2k studenţi vecini pentru care prima jumătate conţine la fel de multe fete ca şi a doua jumătate. (Gerhard Wöginger, Austria, Short List IMO, 2011, C2) BIBLIOGRAFIE [1] M.O. DRIMBE 200 de ecuaţii funcţionale pe N, Z, Q, Ed. GIL, 2003, pb.59, pag.14 [2] R. JOHNSONBAUGH A Discrete Intermediate Value Theorem, The College Mathematics Journal, Vol.29, No.01 7

8 [3] L. PANAITOPOL, D. ŞERBĂNESCU Probleme de teoria numerelor şi combinatorică pentru juniori, Ed. GIL, 2003, pb.23, pag.24 Is it possible to find 1000 consecutive numbers among which there are exactly 5 primes? Solution Clearly there is nothing special about 1000 or 5. What can be said in general about the amount of primes among consecutive numbers? One fact comes to mind: there are runs of successive composite numbers of any length. May this be used? Well, yes, through this insight: shifting (up or down) a prime-free run by 1 may add at most one prime. So it is likely that there are long runs with exactly one prime; and then also two primes - but then it becomes trickier: while shifting the sequence, we can gain a prime at one end and lose one at the other. So caution needs to be exercised. But which direction we should go. Certainly up as at the beginning the run contained no primes at all. How far? There are 168 primes among the first 1000 integers. So, moving towards this sequence from a far away run with no primes and adding (or not) a prime at a time, we are bound to reach 168 primes at the end. Since the amount of primes in a run grows by at most 1, we shall eventually encounter all numbers from 0 to 168 in a nondecreasing sequence with no gaps; sooner or later wel get a 5. 8

GRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat

GRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat GRAFURI NEORIENTATE 1. Notiunea de graf neorientat Se numeşte graf neorientat o pereche ordonată de multimi notată G=(V, M) unde: V : este o multime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc noduri

More information

Teoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1

Teoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1 Educaţia Matematică Vol. 4, Nr. 1 (2008), 33-38 Teoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1 Silviu Crăciunaş Abstract In this article we propose a demonstration of Borel - Lebesgue

More information

PROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE

PROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE PROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE Corneliu Mănescu-Avram Nicuşor Zlota Lucrarea prezentata la Conferinta Anuala a SSMR din Romania, Ploiesti, 19-21 octombrie 2012 Abstract. This paper

More information

Parcurgerea arborilor binari şi aplicaţii

Parcurgerea arborilor binari şi aplicaţii Parcurgerea arborilor binari şi aplicaţii Un arbore binar este un arbore în care fiecare nod are gradul cel mult 2, adică fiecare nod are cel mult 2 fii. Arborii binari au şi o definiţie recursivă : -

More information

VISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE. Se deschide proiectul Documents->Forms->Form Wizard->One-to-many Form Wizard

VISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE. Se deschide proiectul Documents->Forms->Form Wizard->One-to-many Form Wizard VISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE Fie tabele: create table emitenti(; simbol char(10),; denumire char(32) not null,; cf char(8) not null,; data_l date,; activ logical,; piata char(12),; cap_soc number(10),;

More information

22METS. 2. In the pattern below, which number belongs in the box? 0,5,4,9,8,13,12,17,16, A 15 B 19 C 20 D 21

22METS. 2. In the pattern below, which number belongs in the box? 0,5,4,9,8,13,12,17,16, A 15 B 19 C 20 D 21 22METS CLASA a IV-a 1. Four people can sit at a square table. For the school party the students put together 7 square tables in order to make one long rectangular table. How many people can sit at this

More information

PREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI My joy is my sorrow unmasked. 1

PREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI My joy is my sorrow unmasked. 1 PREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI 203 Abstract. Presentation with solutions for the problems given at the Juniors and Seniors Tests, and some selected other problems from the Călăraşi Competition, 203. Data:

More information

SUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1

SUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1 008 SUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1 1. Dacă expresiile de sub radical sunt pozitive să se găsească soluţia corectă a expresiei x x x 3 a) x

More information

Biraportul în geometria triunghiului 1

Biraportul în geometria triunghiului 1 Educaţia Matematică Vol. 2, Nr. 1-2 (2006), 3-10 Biraportul în geometria triunghiului 1 Vasile Berghea Abstract In this paper we present an interesting theorem of triangle geometry which has applications

More information

Rigla şi compasul. Gabriel POPA 1

Rigla şi compasul. Gabriel POPA 1 Rigla şi compasul Gabriel POPA 1 Abstract. The two instruments accepted by the ancient Greeks for performing geometric constructions, if separately used, are not equally powerful. The compasses alone can

More information

Pasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I

Pasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I 4.19 Cum se transformă o faţă în piatră? Pasul 1. Deschideţi imaginea pe care doriţi să o modificaţi. Pasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I Pasul 3. Deschideţi şi

More information

Cum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară

Cum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară Cum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară Marian TETIVA 1 Abstract. The paper brings some tools from advanced algebra (namely algebraic integers) in attention of those interested in

More information

Paradoxuri matematice 1

Paradoxuri matematice 1 Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 51-56 Paradoxuri matematice 1 Ileana Buzatu Abstract In this paper we present some interesting paradoxical results that take place when we use in demonstration

More information

1. Funcţii speciale. 1.1 Introducere

1. Funcţii speciale. 1.1 Introducere 1. 1.1 Introducere Dacă o anumită ecuaţie diferenţială (reprezentând de obicei un sistem liniar cu coeficienţi variabili) şi soluţie sa sub formă de serie de puteri apare frecvent în practică, atunci i

More information

10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere

10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere 10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere Intervalele de încredere pentru un parametru necunoscut al unei distribuţii (spre exemplu pentru media unei populaţii) sunt intervale ( 1 ) ce conţin parametrul,

More information

COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 TESTE DE SELECŢIE JUNIORI

COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 TESTE DE SELECŢIE JUNIORI COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 204 TESTE DE SELECŢIE JUNIORI Abstract. Comments on some of the problems asked at the Junior Selection Tests after the National Mathematical Olympiad of 204. Se adresează

More information

Split Screen Specifications

Split Screen Specifications Reference for picture-in-picture split-screen Split Screen-ul trebuie sa fie full background. The split-screen has to be full background The file must be exported as HD, following Adstream Romania technical

More information

4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia

4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia 4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia Media (sau ) a unei variabile aleatoare caracterizează tendinţa centrală a valorilor acesteia, iar dispersia 2 ( 2 ) caracterizează

More information

COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI

COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 214 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI Abstract. Comments on some of the problems presented at the 214 District Round of the Romanian National Mathematics Olympiad.

More information

OLIMPIADA DE MATEMATIC ¼A ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007

OLIMPIADA DE MATEMATIC ¼A ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007 ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007 CLASA A IV-A. Folosind de şapte ori cifra 7, o parte din semnele celor patru operaţii operaţii +; ; ; : eventual şi paranteze rotunde, compuneţi şapte exerciţii, astfel

More information

Universitatea din Bucureşti. Facultatea de Matematică şi Informatică. Şcoala Doctorală de Matematică. Teză de Doctorat

Universitatea din Bucureşti. Facultatea de Matematică şi Informatică. Şcoala Doctorală de Matematică. Teză de Doctorat Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Şcoala Doctorală de Matematică Teză de Doctorat Proprietăţi topologice ale atractorilor sistemelor iterative de funcţii (Rezumat) Îndrumător

More information

Aplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ

Aplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ Aplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ Autori: - Ionuț LUCA - Mircea MIHALEA - Răzvan ARDELEAN Coordonator științific: Prof. TITU MASTAN ARGUMENT 1. Profilul colegiului nostru este

More information

Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic

Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiect nr. 154/323 cod SMIS 4428 cofinanțat de prin Fondul European de Dezvoltare Regională Investiții pentru viitorul

More information

Aspecte geometrice ale unei rozete asociate unui triunghi

Aspecte geometrice ale unei rozete asociate unui triunghi Aspecte geometrice ale unei rozete asociate unui triunghi Vlad TUCHILUŞ, Răzvan Andrei MORARIU, Robert ANTOHI 1 Abstract. In this Note, a rosette is associated to an arbitrary triangle and the triangles

More information

COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2013 ULTIMELE DOUĂ TESTE DE SELECŢIE

COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2013 ULTIMELE DOUĂ TESTE DE SELECŢIE COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 03 ULTIMELE DOUĂ TESTE DE SELECŢIE Abstract. Comments on some of the problems given at the last two Selection Tests after the National Mathematics Olympiad 03. Data:

More information

DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1

DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1 DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1 Abstract This article is devoted to the study of two fundamental and reciprocal questions: when do

More information

REVISTA DE MATEMATICĂ

REVISTA DE MATEMATICĂ Societatea de Ştiinţe Matematice din România Filiala Caraş-Severin REVISTA DE MATEMATICĂ A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN Nr. 4, An XIII 0 Acest număr al revistei are avizul Comisiei

More information

OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA

OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 014/015 RUNDA A DOUA Abstract. Comments on some of the problems presented at the new integrated International Mathematical

More information

Application form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO)

Application form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO) Application form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO) Open to all born between 1 January 1990 and 31 December 2000 Surname Nationality Date of birth Forename Instrument

More information

Modalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ:

Modalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ: Modalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ: Proiectorul BenQ acceptă redarea conţinutului tridimensional (3D) transferat prin D-Sub, Compus, HDMI, Video şi S-Video. Cu

More information

OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA ADDENDUM

OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA ADDENDUM OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 014/015 RUNDA A DOUA ADDENDUM Abstract. Comments on some additional problems presented at the new integrated International

More information

Olimpiada Naţională de Matematică 2015 Testele de Selecţie Juniori IV şi V

Olimpiada Naţională de Matematică 2015 Testele de Selecţie Juniori IV şi V Olimpiada Naţională de Matematică 205 Testele de Selecţie Juniori IV şi V Abstract. Comments on several of the problems sat at subsequent Junior Selection Tests 205. Se adresează claselor V, VI, VII, VIII.

More information

Page 1 of 6 Motor - 1.8 l Duratorq-TDCi (74kW/100CP) - Lynx/1.8 l Duratorq-TDCi (92kW/125CP) - Lynx - Curea distribuţie S-MAX/Galaxy 2006.5 (02/2006-) Tipăriţi Demontarea şi montarea Unelte speciale /

More information

Mail Moldtelecom. Microsoft Outlook Google Android Thunderbird Microsoft Outlook

Mail Moldtelecom. Microsoft Outlook Google Android Thunderbird Microsoft Outlook Instrucțiunea privind configurarea clienților e-mail pentru Mail Moldtelecom. Cuprins POP3... 2 Outlook Express... 2 Microsoft Outlook 2010... 7 Google Android Email... 11 Thunderbird 17.0.2... 12 iphone

More information

Split Screen Specifications

Split Screen Specifications Reference for picture-in-picture split-screen Cuvantul PUBLICITATE trebuie sa fie afisat pe toată durata difuzării split screen-ului, cu o dimensiune de 60 de puncte in format HD, scris cu alb, ca in exemplul

More information

Algoritmică şi programare Laborator 3

Algoritmică şi programare Laborator 3 Algoritmică şi programare Laborator 3 Următorul algoritm calculează cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun a două numere naturale, nenule, a şi b, citite de la tastatură. Algoritmul are

More information

LESSON FOURTEEN

LESSON FOURTEEN LESSON FOURTEEN lesson (lesn) = lecţie fourteen ( fǥ: ti:n) = patrusprezece fourteenth ( fǥ: ti:nθ) = a patrasprezecea, al patrusprezecilea morning (mǥ:niŋ) = dimineaţă evening (i:vniŋ) = seară Morning

More information

Press review. Monitorizare presa. Programul de responsabilitate sociala. Lumea ta? Curata! TIMISOARA Page1

Press review. Monitorizare presa. Programul de responsabilitate sociala. Lumea ta? Curata! TIMISOARA Page1 Page1 Monitorizare presa Programul de responsabilitate sociala Lumea ta? Curata! TIMISOARA 03.06.2010 Page2 ZIUA DE VEST 03.06.2010 Page3 BURSA.RO 02.06.2010 Page4 NEWSTIMISOARA.RO 02.06.2010 Cu ocazia

More information

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 16 - Criptografia asimetrică Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Limitările criptografiei

More information

Comentarii la a 18-a Balcaniadă de Matematică Juniori jbmo 2014, Ohrid Macedonia

Comentarii la a 18-a Balcaniadă de Matematică Juniori jbmo 2014, Ohrid Macedonia Comentarii la a 18-a Balcaniadă de Matematică Juniori jbmo 2014, Ohrid Macedonia Abstract. Comments on the problems of the 18 th jbmo (the Junior Balkan Mathematical Olympiad), Ohrid Republic of Macedonia,

More information

SORIN CERIN STAREA DE CONCEPŢIUNE ÎN COAXIOLOGIA FENOMENOLOGICĂ

SORIN CERIN STAREA DE CONCEPŢIUNE ÎN COAXIOLOGIA FENOMENOLOGICĂ SORIN CERIN STAREA DE CONCEPŢIUNE ÎN COAXIOLOGIA FENOMENOLOGICĂ EDITURA PACO Bucureşti,2007 All right reserved.the distribution of this book without the written permission of SORIN CERIN, is strictly prohibited.

More information

Geometrie euclidian¼a în plan şi în spaţiu. Petru Sorin Botezat

Geometrie euclidian¼a în plan şi în spaţiu. Petru Sorin Botezat Geometrie euclidian¼a în plan şi în spaţiu Petru Sorin Botezat aprilie-mai 2009 Capitolul 1 Noţiuni de logic¼a 1.1 Propoziţii Unitatea discursului logic este propoziţia. Not¼am propoziţiile cu p; q; r;...

More information

declarare var <identif>:array[<tip1>,<tip2>,...] of <tip_e>; var a: array[1..20] of integer; (vector cu 20 elemente)

declarare var <identif>:array[<tip1>,<tip2>,...] of <tip_e>; var a: array[1..20] of integer; (vector cu 20 elemente) TITLUL: Tablou unidimensional 1. Teorie Tabloul este o structură de date statică (dimensiunea este fixă) care memoreză o succesiune de elemente de acelaşi tip. Elementele tabloului sunt identificate prin

More information

Ghid de instalare pentru program NPD RO

Ghid de instalare pentru program NPD RO Ghid de instalare pentru program NPD4758-00 RO Instalarea programului Notă pentru conexiunea USB: Nu conectaţi cablul USB până nu vi se indică să procedaţi astfel. Dacă se afişează acest ecran, faceţi

More information

Maria plays basketball. We live in Australia.

Maria plays basketball. We live in Australia. RECAPITULARE GRAMATICA INCEPATORI I. VERBUL 1. Verb to be (= a fi): I am, you are, he/she/it is, we are, you are, they are Questions and negatives (Intrebari si raspunsuri negative) What s her first name?

More information

Puncte şi drepte izogonale în planul unui trapez

Puncte şi drepte izogonale în planul unui trapez Puncte şi drepte izogonale în planul unui trapez Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this paper, there are presented a number of properties of collinearity and conciclicity of the centers of some circles associated

More information

Biostatistică Medicină Generală. Lucrarea de laborator Nr Intervale de încredere. Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti:

Biostatistică Medicină Generală. Lucrarea de laborator Nr Intervale de încredere. Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti: Biostatistică Medicină Generală Lucrarea de laborator Nr.5 Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti: Să folosiţi foaia de calcul Excel pentru a executa calculele necesare găsirii intervalelor de încredere

More information

1. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi

1. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 1. 1.1 Introducere Scopul acestui curs este de a furniza celor interesaţi în primul rând o bază solidă asupra problemelor matematice care apar în inginerie şi în al doilea rând un set de instrumente practice

More information

Alexandrina-Corina Andrei. Everyday English. Elementary. comunicare.ro

Alexandrina-Corina Andrei. Everyday English. Elementary. comunicare.ro Alexandrina-Corina Andrei Everyday English Elementary comunicare.ro Toate drepturile asupra acestei ediţii aparţin Editurii Comunicare.ro, 2004 SNSPA, Facultatea de Comunicare şi Relaţii Publice David

More information

Reprezentări grafice

Reprezentări grafice Reprezentări grafice Obiective: - realizarea graficelor pentru reprezentarea datelor; Problema 1: S-a realizat un studiu pe un lot format din 19 nou născuţi pentru care se urmăresc parametrii biomedicali:

More information

GREUTATE INALTIME IMC TAS TAD GLICEMIE

GREUTATE INALTIME IMC TAS TAD GLICEMIE Corelaţii Obiective: - Coeficientul de corelaţie Pearson - Graficul de corelaţie (XY Scatter) - Regresia liniară Problema 1. Introduceţi în Excel următorul tabel cu datele a 30 de pacienţi aflaţi în atenţia

More information

Consideraţii statistice Software statistic

Consideraţii statistice Software statistic Consideraţii statistice Software statistic 2014 Tipuri de date medicale Scala de raţii: se măsoară în funcţie de un punct zero absolut Scale de interval: intervalul (sau distanţa) dintre două puncte pe

More information

Capitolul 1. Noţiuni de bază

Capitolul 1. Noţiuni de bază 1 Capitolul 1. Noţiuni de bază Capitolul este destinat în principal prezentării unor elemente introductive absolut necesare pentru păstrarea caracterului de sine stătător al lucrării în Liceu anumite noţiuni

More information

ZOOLOGY AND IDIOMATIC EXPRESSIONS

ZOOLOGY AND IDIOMATIC EXPRESSIONS ZOOLOGY AND IDIOMATIC EXPRESSIONS ZOOLOGIA ŞI EXPRESIILE IDIOMATICE 163 OANA BOLDEA Banat s University of Agricultural Sciences and Veterinary Medicine, Timişoara, România Abstract: An expression is an

More information

2. PORŢI LOGICE ( )

2. PORŢI LOGICE ( ) 2. PORŢI LOGICE (9.4.24) 2.. INTRODUCERE 2.. CONSTANTE ŞI VARIAILE OOLEENE. TAELE DE ADEVĂR În algebra booleană sunt două constante: şi. În funcţie de tipul de logică folosit, de tehnologia utilizată,

More information

Marea teoremă a lui Fermat pentru polinoame

Marea teoremă a lui Fermat pentru polinoame Marea teoremă a lui Fermat pentru polinoame Temistocle BÎRSAN 1 1. Odată cucăderea Constantinopolului (1453), mulţi învăţaţi bizantini s-au îndreptat spre Europa de Vest aducând cu ei manuscrise preţioase

More information

Click pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat.

Click pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat. 1. Sus în stânga, click pe Audio, apoi pe Audio Connection. 2. Click pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat. 3. 4. Alegeți opțiunea favorită:

More information

REVISTĂ DE M ATEMATI CĂ P ENTRU ELEVI ŞI P ROFESO RI IAŞI 201 5

REVISTĂ DE M ATEMATI CĂ P ENTRU ELEVI ŞI P ROFESO RI IAŞI 201 5 Anul XVII, Nr. 1 Ianuarie Iunie 2015 R E C R E A Ţ I I M A T E M A T I C E REVISTĂ DE M ATEMATI CĂ P ENTRU ELEVI ŞI P ROFESO RI e i 1 A s o c i a ţ i a R e c r e a ţ i i M a t e m a t i c e IAŞI 201 5

More information

Hama Telecomanda Universala l in l

Hama Telecomanda Universala l in l H O M E E N T E R T A I N M E N T Hama Telecomanda Universala l in l 00040081 2 6 5 3 12 1 14 13 4 8 7 9 17 4 10 16 15 Manual de utilizare Funcţia Tastelor 1. TV: Selectati aparatul pe care doriţi să-l

More information

ARHITECTURA SISTEMELOR DE CALCUL ŞI SISTEME DE OPERARE. LUCRĂRILE DE LABORATOR Nr. 12, 13 şi 14

ARHITECTURA SISTEMELOR DE CALCUL ŞI SISTEME DE OPERARE. LUCRĂRILE DE LABORATOR Nr. 12, 13 şi 14 ARHITECTURA SISTEMELOR DE CALCUL ŞI SISTEME DE OPERARE LUCRĂRILE DE LABORATOR Nr. 12, 13 şi 14 ELEMENTE DE LOGICĂ NUMERICĂ. REDUCEREA EXPRESIILOR LOGICE. I. SCOPUL LUCRĂRILOR Lucrările prezintă câteva

More information

TTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună

TTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună Lighting TTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună TTX260 TTX260 este o soluţie de iluminat liniară, economică şi flexibilă, care poate fi folosită cu sau fără reflectoare (cu cost redus), pentru

More information

Proiect:ID 1005, Coinele, algebre Hopf şi categorii braided monoidale, Director: C. Năstăsescu SINTEZA LUCRĂRII

Proiect:ID 1005, Coinele, algebre Hopf şi categorii braided monoidale, Director: C. Năstăsescu SINTEZA LUCRĂRII 1 Proiect:ID 1005, Coinele, algebre Hopf şi categorii braided monoidale, Director: C. Năstăsescu SINTEZA LUCRĂRII Cercetarea pe temele propuse în proiect s-a concretizat în următoarele articole: [1] S.

More information

Contribuţii la studiul problemelor de coincidenţă pentru operatori univoci si multivoci

Contribuţii la studiul problemelor de coincidenţă pentru operatori univoci si multivoci Contribuţii la studiul problemelor de coincidenţă pentru operatori univoci si multivoci Rezumatul tezei de doctorat Oana Maria Mleşniţe Departamentul de Matematică Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca

More information

Anexa 2. Instrumente informatice pentru statistică

Anexa 2. Instrumente informatice pentru statistică Anexa 2. Instrumente informatice pentru statistică 2.1. Microsoft EXCEL şi rutina HISTO Deoarece Microsoft EXCEL este relativ bine cunoscut, inclusiv cu unele funcţii pentru prelucrări statistice, în acest

More information

6. MPEG2. Prezentare. Cerinţe principale:

6. MPEG2. Prezentare. Cerinţe principale: 6. MPEG2 Prezentare Standardul MPEG2 VIDEO (ISO/IEC 13818-2) a fost realizat pentru codarea - în transmisiuni TV prin cablu/satelit. - în televiziunea de înaltă definiţie (HDTV). - în servicii video prin

More information

PREZENTARE INTERFAŢĂ MICROSOFT EXCEL 2007

PREZENTARE INTERFAŢĂ MICROSOFT EXCEL 2007 PREZENTARE INTERFAŢĂ MICROSOFT EXCEL 2007 AGENDĂ Prezentarea aplicaţiei Microsoft Excel Registre şi foi de calcul Funcţia Ajutor (Help) Introducerea, modificarea şi gestionarea datelor în Excel Gestionarea

More information

DIRECTIVA HABITATE Prezentare generală. Directiva 92/43 a CE din 21 Mai 1992

DIRECTIVA HABITATE Prezentare generală. Directiva 92/43 a CE din 21 Mai 1992 DIRECTIVA HABITATE Prezentare generală Directiva 92/43 a CE din 21 Mai 1992 Birds Directive Habitats Directive Natura 2000 = SPAs + SACs Special Protection Areas Special Areas of Conservation Arii de Protecţie

More information

VERBUL. Are 3 categorii: A. Auxiliare B. Modale C. Restul. A. Verbele auxiliare (to be si to have)

VERBUL. Are 3 categorii: A. Auxiliare B. Modale C. Restul. A. Verbele auxiliare (to be si to have) VERBUL Are 3 categorii: A. Auxiliare B. Modale C. Restul A. Verbele auxiliare (to be si to have) 1. Sunt verbe deosebit de puternice 2. Au forme distincte pt. prezent si trecut 3. Intra in alcatuirea altor

More information

JOURNAL OF ROMANIAN LITERARY STUDIES DO ASSERTIONS, QUESTIONS OR WISHES MAKE A THICK TRANSLATION?

JOURNAL OF ROMANIAN LITERARY STUDIES DO ASSERTIONS, QUESTIONS OR WISHES MAKE A THICK TRANSLATION? JOURNAL OF ROMANIAN LITERARY STUDIES Issue no.6/2015 DO ASSERTIONS, QUESTIONS OR WISHES MAKE A THICK TRANSLATION? Anca-Mariana PEGULESCU Romanian Ministry of Education and Scientific Research Abstract:

More information

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ANUL ŞCOLAR

PROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ANUL ŞCOLAR Clasa a IX-a 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică : mulţimea numerelor reale; propoziţie, predicat, cuantificatori; operaţii logice elementare; inducţia matematică; probleme de numărare. 2. Şiruri:

More information

OPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR

OPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR OPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE Traian Alexandru BUDA, Magdalena BARBU, Gavrilă CALEFARIU Transilvania University of Brasov,

More information

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a IV-a, Graph Magics. Dumitru Ciubatîi Universitatea din Bucureşti,

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a IV-a, Graph Magics. Dumitru Ciubatîi Universitatea din Bucureşti, Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a IV-a, 2006 133 Graph Magics Dumitru Ciubatîi Universitatea din Bucureşti, workusmd@yahoo.com 1. Introducere Graph Magics este un program destinat construcţiei

More information

CE LIMBAJ DE PROGRAMARE SĂ ÎNVĂŢ? PHP vs. C# vs. Java vs. JavaScript

CE LIMBAJ DE PROGRAMARE SĂ ÎNVĂŢ? PHP vs. C# vs. Java vs. JavaScript Vizitaţi: CE LIMBAJ DE PROGRAMARE SĂ ÎNVĂŢ? PHP vs. C# vs. Java vs. JavaScript Dacă v-aţi gândit să vă ocupaţi de programare şi aţi început să analizaţi acest domeniu, cu siguranţă v-aţi întrebat ce limbaj

More information

Circuite Basculante Bistabile

Circuite Basculante Bistabile Circuite Basculante Bistabile Lucrarea are drept obiectiv studiul bistabilelor de tip D, Latch, JK şi T. Circuitele basculante bistabile (CBB) sunt circuite logice secvenţiale cu 2 stări stabile (distincte),

More information

Capitolul 5. Elemente de teoria probabilităţilor

Capitolul 5. Elemente de teoria probabilităţilor Capitolul 5. Elemente de teoria probabilităţilor Acest capitol este preluat din Dragomirescu (1998), cu unele corecţii şi cu o piesă originală: aplicaţia ecologică sau biomedicală la regula adunării şi

More information

A s o c i a ţ i a R e c r e a ţ i i M a t e m a t i c e

A s o c i a ţ i a R e c r e a ţ i i M a t e m a t i c e Anul XVIII, Nr. 1 Ianuarie Iunie 016 R E C R E A Ţ I I M A T E M A T I C E R E V IS T Ă DE MATE MATI C Ă PE N T R U E LE V I Ş I PR O FE S O RI e i 1 A s o c i a ţ i a R e c r e a ţ i i M a t e m a t i

More information

Metode de căutare neinformată şi informată

Metode de căutare neinformată şi informată ezolvarea problemelor cu ajutorul metodelor de căutare neinformate şi informate Obiective Formularea problemelor ca probleme de căutare şi identificarea modalităţilor de rezolvare a lor. Specificarea,

More information

Clasele de asigurare. Legea 237/2015 Anexa nr. 1

Clasele de asigurare. Legea 237/2015 Anexa nr. 1 Legea 237/2015 Anexa nr. 1 Clasele de asigurare Secţiunea A. Asigurări generale 1. accidente, inclusiv accidente de muncă şi boli profesionale: a) despăgubiri financiare fixe b) despăgubiri financiare

More information

Defuzzificarea într-un sistem cu logică fuzzy. Aplicaţie: maşina de spălat cu reguli fuzzy. A. Obiective. B. Concepte teoretice ilustrate

Defuzzificarea într-un sistem cu logică fuzzy. Aplicaţie: maşina de spălat cu reguli fuzzy. A. Obiective. B. Concepte teoretice ilustrate Defuzzificarea într-un sistem cu logică fuzzy. Aplicaţie: maşina de spălat cu reguli fuzzy A. Obiective 1) Vizualizarea procesului de selecţie a valorii tranşante de ieşire din mulţimea fuzzy de ieşire

More information

Radu Lucian Alexandru

Radu Lucian Alexandru 1 Radu Lucian Alexandru Deschiderea Universului 2001 Copyright deţinut de Radu Lucian Alexandru Toate drepturile rezervate. E-mail: radu.lucian.alexandru@gmail.com Id Messenger: radu_lucian_alexandru@yahoo.com

More information

TEOREMA FLUXULUI MAGNETIC

TEOREMA FLUXULUI MAGNETIC TEOREMA FLUXULUI MAGNETIC EUGENIU POTOLEA 1 Cuvinte cheie: Teoria fizicii, legile electrodinamicii, legea fluxului magnetic. Rezumat. Teoria tradiţională a electrodinamicii consideră că relaţia B = este

More information

Curs 3 Word 2007 Cuprins

Curs 3 Word 2007 Cuprins Curs 3 Word 2007 Cuprins Stiluri... 2 Tipuri de stiluri... 2 Stilurile predefinite ale programului Word... 2 Stilul Normal... 3 Stilurile Heading (Titlu)... 3 Cum aplicati un stil unui text... 3 Crearea

More information

Laboratorul 1. MS Word

Laboratorul 1. MS Word Laboratorul 1. MS Word Câmpurile se pot introduce astfel: prin intermediul meniului Insert/Field cu ajutorul combinaţiei de taste Ctrl+F9, după care se scriu codul câmpului şi comutatorii Comutarea între

More information

Limba Engleză. clasa a XI-a - frecvenţă redusă - prof. Zigoli Dragoş

Limba Engleză. clasa a XI-a - frecvenţă redusă - prof. Zigoli Dragoş Limba Engleză clasa a XI-a - frecvenţă redusă - prof. Zigoli Dragoş I. Seasons In the UK we have four seasons:- Winter Spring Summer Autumn December January February March April May June July August September

More information

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 4) b este: A b 2 a B b a C b+ a D a b

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 4) b este: A b 2 a B b a C b+ a D a b Universitatea din Bucureşti 3.07.06 Facultatea de Matematică şi Informatică Concursul de admitere iulie 06 Domeniul de licenţă Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei Matematică (Varianta 4). Fie hexagonul

More information

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 1)

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică. Matematică (Varianta 1) Universitatea din Bucureşti 3.07.06 Facultatea de Matematică şi Informatică Concursul de admitere iulie 06 Domeniul de licenţă Calculatoare şi Tehnologia Informaţiei Matematică (Varianta ). Valoarea numărului

More information

FINANCIAL DIAGNOSIS THE WAY TO GET FINANCIAL PERFORMANCES BY THE COMPANY

FINANCIAL DIAGNOSIS THE WAY TO GET FINANCIAL PERFORMANCES BY THE COMPANY DIAGNOSTICUL FINANCIAR MODALITATE DE OBŢINERE A PERFORMANŢELOR FINANCIARE ALE FIRMEI PROF.UNIV.DR. CĂRUNTU CONSTANTIN LECT.UNIV.DR. LĂPĂDUŞI MIHAELA LOREDANA UNIVERSITATEA CONSTANTIN BRÂNCUŞI FINANCIAL

More information

Romanian Master of Mathematics and Sciences 2011 Physics Section

Romanian Master of Mathematics and Sciences 2011 Physics Section 1. Suntem în plină eră spańială şi zborul cosmic este la ordinea zilei. Convoaie de nave spańiale brăzdează vidul ce separă Pământul şi coloniile lui. Eşti comandantul unui astfel de convoi, constând din

More information

THE USE OF MOTHER TONGUE IN FOREIGN LANGUAGE TEACHING. Andreea NĂZNEAN 1. Abstract

THE USE OF MOTHER TONGUE IN FOREIGN LANGUAGE TEACHING. Andreea NĂZNEAN 1. Abstract THE USE OF MOTHER TONGUE IN FOREIGN LANGUAGE TEACHING Andreea NĂZNEAN 1 Abstract In my article I intend to prove that the use of the students mother tongue in teaching a foreign language is essential,

More information

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE FINANŢE, ASIGURĂRI, BĂNCI şi BURSE de VALORI

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE FINANŢE, ASIGURĂRI, BĂNCI şi BURSE de VALORI ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE FINANŢE, ASIGURĂRI, BĂNCI şi BURSE de VALORI LUCRARE DE LICENŢĂ MODELE DE EVALUARE A OPŢIUNILOR (METODE PRACTICE COMPUTAŢIONALE) COORDONATOR: PROF. UNIV. DR.

More information

Exerciţii Capitolul 4

Exerciţii Capitolul 4 EXERCIŢII CAPITOLUL 4 4.1. Scrieti câte un program Transact-SQL si PL/SQL pentru calculul factorialului unui număr dat. 4.2. Scrieţi şi executaţi cele două programe care folosesc cursoarele prezentate

More information

Analele Universităţii Constantin Brâncuşi din Târgu Jiu, Seria Economie, Nr. 1/2010

Analele Universităţii Constantin Brâncuşi din Târgu Jiu, Seria Economie, Nr. 1/2010 DIAGNOSTICUL FINANCIAR MODALITATE DE OBŢINERE A PERFORMANŢELOR FINANCIARE ALE FIRMEI Prof. Univ. Dr. Constantin CARUNTU Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu - Jiu Lect.univ.dr. Mihaela Loredana

More information

Evaluation in E-Advertisements: Appraisal across Cultures

Evaluation in E-Advertisements: Appraisal across Cultures Buletinul Ştiinţific al Universităţii Politehnica din Timişoara Seria Limbi moderne Scientific Bulletin of the Politehnica University of Timişoara Transactions on Modern Languages Vol. 11, No. 1-2 / 2012

More information

Sistemul de operare Windows (95, 98) Componenta My Computer

Sistemul de operare Windows (95, 98) Componenta My Computer Laborator 9 Sistemul de operare Windows (95, 98) Componenta My Computer My Computer este o componentă ce permite crearea şi organizarea fişierelor şi directoarelor şi gestionarea discurilor. My Computer

More information

9.1. Structura unităţii de I/E. În Figura 9.1 se prezintă structura unui sistem de calcul împreună cu unitatea

9.1. Structura unităţii de I/E. În Figura 9.1 se prezintă structura unui sistem de calcul împreună cu unitatea 9. UNITATEA DE I/E Pe lângă unitatea centrală şi un set de module de memorie, un alt element important al unui sistem de calcul este sistemul de I/E. O unitate de I/E (UIE) este componenta sistemului de

More information

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Examenul de bacalaureat naţional 2014 Proba C de evaluare a competenţelor lingvistice într-o limbă de circulaţie internaţională studiată pe parcursul învăţământului liceal Proba scrisă la Limba engleză

More information

SOCIOLOGIE ORGANIZATIONALA

SOCIOLOGIE ORGANIZATIONALA SOCIOLOGIE ORGANIZATIONALA UNITATEA I... 2 1. ORGANIZATIA: DEFINITII, TEORII SI MODELE... 2 1.1.DEFINIŢIA ORGANIZAŢIEI... 3 1. 2. TEORIA CICLULUI VIEŢII... 12 4.3. STRUCTURA ORGANIZATIONALA... 18 1. Complexitatea....

More information

Transforma -te! Steve Andreas. Editura EXCALIBUR Bucureşti Traducere: Carmen Ciocoiu

Transforma -te! Steve Andreas. Editura EXCALIBUR Bucureşti Traducere: Carmen Ciocoiu Transforma -te! ) Cum să devii ceea ce îţi doreşti! Steve Andreas Traducere: Carmen Ciocoiu Editura EXCALIBUR Bucureşti 2008 CUPRINS Mulţumiri... Introducere... Elemente de bază 1 Concepţia despre sine,

More information

Anexa nr.1. contul 184 Active financiare depreciate la recunoașterea inițială. 1/81

Anexa nr.1. contul 184 Active financiare depreciate la recunoașterea inițială. 1/81 Anexa nr.1 Modificări și completări ale Reglementărilor contabile conforme cu Standardele Internaționale de Raportare Financiară, aplicabile instituțiilor de credit, aprobate prin Ordinul Băncii Naționale

More information

Teologie öi limbä. Înnoire, consecvenæä, conservatorism

Teologie öi limbä. Înnoire, consecvenæä, conservatorism Teologie öi limbä. Înnoire, consecvenæä, conservatorism Astăzi se vorbeşte tot mai des cu ceva întârziere, bineînţeles, la noi de contextualizare culturală şi de erori de judecată în teologia istorică.

More information