ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007 CLASA A IV-A. Folosind de şapte ori cifra 7, o parte din semnele celor patru operaţii operaţii +; ; ; : eventual şi paranteze rotunde, compuneţi şapte exerciţii, astfel încât unul s¼a aib¼a rezultatul, altul s¼a aib¼a rezultatul 2, altul s¼a aib¼a rezultatul 3 şi aşa mai departe, pân¼a la rezultatul 7. 2. Alina poate mânca singur¼a un tort într-o or¼a, Valentin într-o jum¼atate de or¼a, iar Andreea în 20 minute. În cât timp pot mânca împreun¼a cei 3 copii trei torturi? 3. Anca a comandat de ziua ei de 5 ori mai multe savarine decât negrese. Dup¼a ce s-au consumat 8 savarine şi s-au mai adus 6 negrese, s-a constatat c¼a num¼arul savarinelor este de 2 ori mai mare decât al negreselor. Câte savarine şi câte negrese s-au comandat la început? 4. Într-o urn¼a sunt bile galbene şi bile albastre. O bil¼a galben¼a cânt¼areşte 7 grame, iar una albastr¼a cânt¼areşte8 grame. Dac¼a ar cu 5 bile galbene mai mult, bilele ar cânt¼ari la un loc 402 grame. a) Care este num¼arul minim de bile ce trebuie scoase pentru a avea 4 bile de aceeaşi culoare? b) Care este num¼arul minim de bile ce trebuie scoase pentru a avea cel puţin 2 bile de culori diferite? 5. Marţienii sunt roşii, verzi sau albaştri, au de la dou¼a la cinci mâini şi de la 3 la 20 de antene. a) Câţi marţieni trebuie s¼a punem la un loc pentru a siguri c¼a printre ei exist¼a cel puţin doi identici? b) Câţi marţieni trebuie s¼a punem la un loc pentru a siguri c¼a printre ei exist¼a cel puţin identici? (Subiecte propuse de Înv. Ion Oprea şi Paul Dumitrescu I.Ş.J. Vâlcea, prof. Ştefan Sm¼ar¼andoiu Rm. Vâlcea, Inst. Gheorghe Stoenescu Rm.Vâlcea şi prof. Marius Perianu - I.Ş.J. Olt) NOT ¼A.. Timp de lucru 2 ore. 2. Toate subiectele sunt obligatorii. 3. Fiec¼arui subiect i se acord¼a de la 0 la 7 puncte.
ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007 CLASA A V-A. a) Determinaţi numerele naturale x şi y dac¼a x < y şi 2 x + 2 y = 257: b) Comparaţi numerele a = 2 60 şi b = 3 40 : c) Comparaţi numerele x = 5(2 60 2 59 2 58 ) şi y = 3 44 3 43 3 42 : 2. Fie A = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 şi B = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ::: + 2 2005 : a) Ar¼ataţi c¼a A este cub perfect. b) Demonstraţi c¼a B e p¼atrat perfect. Marius Giurgiu, Rm.Vâlcea c) Demonstraţi c¼a dac¼a un num¼ar natural cu cel puţin 300 de cifre, scris în baza zece, are 300 de cifre de ; iar celelalte cifre sunt zero, atunci num¼arul nu poate un p¼atrat perfect. Florin Smeureanu, Rm. Vâlcea 3. Fie M mulţimea ale c¼arei elemente sunt numerele naturale mai mici decât 0 4 ; care prin împ¼arţire la 2007 dau restul mai mic decât 48: a) Câte elemente are mulţimea M? b) Daţi exemplu de cinci elemente din mulţimea M astfel încât prin împ¼arţirea sumei lor la 2007 s¼a obţineţi restul : c) A aţi restul împ¼arţirii sumei tuturor elementelor mulţimii M la 2007: Gheorghe Radu, Rm.Vâlcea 4. Se considera o tabla p¼atrat¼a n n pe care sunt scrise în cele n 2 patr¼aţele ale sale numerele de la la n 2. Consider¼am operaţie de ordin p colorarea p¼atr¼aţelelor în care sunt scrise numerele de forma kp cu 2 p n 2 şi k 2 N : a) Ar¼ataţi c¼a exist¼a o operaţie dup¼a care suma numerelor înscrise în p¼atr¼aţelele necolorate este p¼atrat perfect. b) Considerând n = 6; efectu¼am dou¼a operaţii astfel încât în urma acestora s¼a e colorate cât mai multe numere. Este suma numerelor r¼amase necolorate un num¼ar care s¼a se împart¼a la 2? Mariana Saraolu, Constantin Saraolu, Rm. Valcea NOT ¼A.. Timp de lucru 3 ore. 2. Toate subiectele sunt obligatorii. 3. Fiec¼arui subiect i se acord¼a de la 0 la 7 puncte.
ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007 CLASA A VI-A. Se consider¼a num¼arul natural n a c¼arui descompunere în factori primi este p a q b ; unde a; b; p; q 2 N ; p şi q sunt numere prime, iar a b: a) Dac¼a b; p; q sunt numere naturale consecutive, în aceast¼a ordine, a aţi num¼arul divizorilor şi suma divizorilor lui n. b) Dac¼a num¼arul divizorilor lui n este de forma 6k + 2; k 2 N; demonstraţi c¼a nu exist¼a k natural pentru care n s¼a e p¼atrat perfect sau cub perfect. c) Dac¼a num¼arul divizorilor lui n este 4; iar suma divizorilor s¼ai este 06; a aţi num¼arul n: Constantin Popescu, Rm. Vâlcea 2. În interiorul unghiului [AOB cu m¼asura de 47 se ia punctul M astfel încât m¼asurile unghiurilor \AOM şi \BOM s¼a e direct proporţionale cu numerele 2; (3) şi ; (6): a) Determinaţi m¼asurile unghiurilor \AOM şi \BOM: b) Ştiind c¼a ON? OB, iar N şi B sunt de o parte şi de alta a dreptei OA, calculaţi m¼asura unghiului format de bisectoarea unghiului \AOM cu semidreapta [ON: c) S¼a se determine cel mai mare num¼ar natural n ştiind c¼a semidreptele (OA ; (OA 2 ; : : : ; (OA n sunt în interiorul unghiului \AON şi m( \AOA ) = ; m( \A OA 2 ) = 2 ; m( \A 2 OA 3 ) = 3 ; : : : ; m( A n \ OA n ) = n : C¼at¼alin Badea, Rm.Vâlcea 3. Fie a; b; c; x 2 N astfel încât a b = 2 3 şi b 3x = c ; unde x este un num¼ar prim. 8 a) S¼a se determine valoarea lui x ştiind c¼a a < x: abc b) Pentru x = 2 şi ab + bc + ca = 2 ; determinaţi numerele a; b; c: 3 c) A aţi numerele abc; ştiind c¼a numerele abc; bca; respectiv cab sunt direct proporţionale cu 38; 47 şi respectiv 26: 4. Fie x = 2345678902 : : : : : : : : : :2006 a) Stabiliţi câte cifre are num¼arul x şi veri caţi dac¼a x e p¼atrat perfect. Florin Smeureanu, Rm. Vâlcea b) Fie A = f6; 2; 36; 5; :::; 986g şi B o submulţime a mulţimii A format¼a din 68 de elemente. Ar¼ataţi c¼a în B exist¼a cu siguranţ¼a dou¼a elemente distincte a c¼aror sum¼a e egal¼a cu 2007: Ştefan Sm¼ar¼andoiu, Rm.Vâlcea
Etapa judeţean¼a 3 martie 2007 BAREM DE CORECTARE CLASA A IV-A. 7 : 7 + (7 7) : (7 + 7 + 7) =.................................................... (7 + 7) : 7 + 7 7 + 7 7 = 2..................................................... (7 + 7 + 7 + 7) : 7 7 : 7 = 3...................................................... 7 7 : 7 7 : 7 7 : 7 = 4......................................................... (7 + 7 + 7 + 7) : 7 + 7 : 7 = 5...................................................... 7 7 : 7 + (7 7) : (7 + 7) = 6.................................................... 7 + 7 + 7 + 7 7 7 7 = 7...................................................... 2. Într-o or¼a cei trei copii pot mânca Ancuţa tort, Valentin 2 torturi, Andreea 3 torturi.......................... 2p În total 6 torturi pot consuma cei 3 copii împreun¼a într-o or¼a...................... 2p Deci 3 torturi le vor consuma într-o jum¼atate de or¼a............................... 3p savarine negrese savarine 6 6 8 negrese 6 savarine negrese 6 6 6 8 3. 30 6 + 6 + 8 = 30 savarine reprezint¼a 3 segmente..................................... 2p segment = 30 : 3 = 0 negrese.................................................... Sunt 0 5 = 50 savarine.........................................................
4. 7g 5 = 85g 402g 85g = 37g cânt¼aresc bilele din urn¼a........................................ Presupunând c¼a toate bilele ar galbene (cele cu greutatea mai mic¼a), atunci num¼arul lor arat¼a de câte ori se cuprinde 7 în 37......................................... 37g : 7g = 8 (rest ); deci sunt 8 bile în total................................. Diferenţa de grame provine din num¼arul de bile albastre, deci sunt bile albastre şi 8 = 7 bile galbene........................................................... a) 3 + 3 + = 7................................................................... b) + = 2..................................................................... 5. Marţienii pot de 3 culori, sunt de 4 tipuri dup¼a num¼arul de mâini şi de 8 tipuri dup¼a num¼arul de antene, deci exist¼a 3 4 8 = 26 tipuri de marţieni diferiţi......... 3p a) 26 + = 27................................................................... 2p b) 26 0 + = 26............................................................ 2p 2
Etapa judeţean¼a 3 martie 2007 BAREM DE CORECTARE CLASA A V-A. a) 2 x şi 2 y sunt de paritate diferit¼a................................................. x = 0 şi y = 8..................................................................... b) a = 8 20 < 9 20 = b............................................................... c) x = 5 2 58 ; y = 5 3 42........................................................... 2 58 < 2 60 < 3 40 < 3 42 ) 2 58 < 3 42 ) x < y......................................... 2p 2. a) A = 64 = 4 3.................................................................... b) B = 4 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ::: + 2 2005 = + 2 + 2 2 + 2 3 + :::: + 2 2005 + = 2 2006...... 2p c) Suma cifrelor este 300........................................................... Atunci num¼arul se divide cu 3..................................................... Dar num¼arul nu se divide cu 3 2, deci nu poate p¼atrat perfect..................... 3. a) Întrucât 0000 = 2007 4 + 972................................................ deducem c¼a mulţimea M conţine elementele: (L) 2007 0 + 0; 2007 0 + ; 2007 0 + 2; :::; 2007 0 + 47 (L2) 2007 + 0; 2007 + ; 2007 + 2; :::; 2007 + 47 ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: (L5) 2007 4 + 0; 2007 4 + ; 2007 4 + 2; :::; 2007 4 + 47 Deci num¼arul elementelor mulţimii M este egal cu 48 5 = 240..................... b) + 2007 + 2007 2 + 2007 3 + 2007 4 = 0 2007 +........................... c) Calcul¼am suma elementelor de pe ecare linie.................................... S = 0 + + 2 + ::: + 47 = 47 24; S 2 = 2007 48 + 47 24; S 3 = 2007 2 48 + 47 24; S 4 = 2007 3 48 + 47 24; S 5 = 2007 4 48 + 47 24; Atunci S = S +S 2 +:::+S 5 = M 2007 +47245 = M 2007 +5640 = M 2007 +22007+626 = M2007 + 626; deci restul c¼autat este 626......................................... 2p 2p
4. a) Operaţia de ordin p = 2 coloreaz¼a numerele de forma 2k: R¼amân necolorate numerele impare, a c¼aror sum¼a este S = + 3 + 5 + : : : + (2n ) = n 2...................... 3p b) Pentru a colora cât mai multe numere, efectu¼am operaţiile de ordin 2 şi 3........ Operaţia de ordin p = 3 coloreaz¼a numerele de forma 3k r¼amase necolorate dup¼a colorarea numerelor de forma 2k: R¼amân necolorate perechile de numere de forma (6k ; 6k + ) cu k 42 şi p¼atr¼aţelul în care este înscris num¼arul........................... 2p În ecare pereche suma se împarte la 2, deci S = 2p +......................... 2
Etapa judeţean¼a 3 martie 2007 BAREM DE CORECTARE CLASA A VI-A. a) a = b = ; p = 2; q = 3 şi n = 2 3 = 6.......................................... (n) = 4 şi (n) = ( + 2) ( + 3) = 2............................................. b) Dac¼a n ar p¼atrat perfect, n = p 2r q 2s ; atunci num¼arul divizorilor este (n) = (2r + ) (2s + ) ; adic¼a este impar, iar 6k + 2 este num¼ar par...................... Dac¼a n ar cub perfect, n = p 3r q 3s ; atunci num¼arul divizorilor este (n) = (3r + ) (3s + ) ; adic¼a este de forma M 3 + ; iar 6k + 2 = este de forma M 3 + 2..................... c) Cum 4 = (a + ) (b + ) şi a b rezult¼a a = ; b = 6........................... Atunci n = pq 6, iar suma divizorilor lui n este: (n) = ( + p) ( + q + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 + q 6 ) = 06 = 2 3 27 Dar q (q + ) este par, iar +(q + q 2 )+(q 3 + q 4 )+(q 5 + q 6 ) = +q (q + )+q 2 q (q + )+ q 4 q (q + ) ; deci este num¼ar impar. Aşadar p + = 8; deci p = 7; de unde q = 2 şi n = 448............................................................................ 2p 2. a) m(\aom) = 98 ; m( \BOM) = 49.............................................. 2p b) Scrie suma m¼asurilor unghiurilor formate în jurul punctului O.................. m(\p ON) = 72.................................................................. c) + 2 + 3 + : : : + n = n (n + ) 2 < 23 ) n = 5................................. 3p 3. a) Relaţiile c = 4a ; a < x şi x prim conduc la c = 2............................... x b) x = 2 ) a = 2k; b = 3k; c = 4k................................................ abc Din ab + bc + ca = 2 ) k = ) a = 2; b = 3; c = 4............................. 3 c) abc 38 = bca 47 = cab abc + bca + cab (a + b + c) = = = a + b + c................ 26 38 + 47 + 26 00a + 0b + c = 38 (a + b + c) ) 62a = 28b + 37c ) 37c = 62a 28b 00b + 0c + a = 47 (a + b + c) ) 53b = 37c + 46a ) 37c = 53b 46a Rezult¼a 4a = 3b; deci b = 4a 3 ; de unde g¼asim şi c = 2a 3............................. 2p Convin doar a = 3 şi a = 6; deci abc 2 f342; 684g.................................
4. a) Num¼arul x s-a format prin al¼aturarea cifrelor numerelor din şirul ; 2; 3; 4; :::; 2006: Fie N(a) num¼arul cifrelor num¼arului a: Atunci N(23456789) = 9; N(023:::99) = 90 2 = 80 N(0000203:::999) = 900 3 = 2700 N(00000002003:::::2006) = 007 4 = 4028 deci N(x) = 9 + 80 + 2700 + 4028 = 697......................................... 2p x nu este p¼atrat perfect, deoarece e divizibil cu 2; dar nu e divizibil cu 4............ b) Elementele din A pot scrise sub forma: 5 0 + 6; 5 + 6; 5 2 + 6; 5 3 + 6; 5 32 + 6; deci card A = 33...................................................... Vom considera urm¼atoarele 67 de submulţimi disjuncte dou¼a câte dou¼a: f6g; f2; 986g; f36; 97g; f5; 956g; ::::; f996; 0g a c¼aror reuniune e A........................ Cu excepţia primei submulţimi, celelalte dou¼a submulţimi au proprietatea c¼a suma celor dou¼a elemente este 2007. Aplicând principiul cutiei, oricum am alege cele 68 de elemente ale submulţimii B, exist¼a cel puţin 2 elemente dintr-o submulţime cu dou¼a elemente de sum¼a 2007......................................................................... 2p 2