Universitatea din Bucureşti. Facultatea de Matematică şi Informatică. Şcoala Doctorală de Matematică. Teză de Doctorat

Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Şcoala Doctorală de Matematică Teză de Doctorat Proprietăţi topologice ale atractorilor sistemelor iterative de funcţii (Rezumat) Îndrumător Ştiinţific: Prof. Dr. Ion CHIŢESCU Doctorand: Dan DUMITRU 2014

Prefaţă În anul 1975, Benoît Mandelbrot a introdus termenul de fractal. O mulţime fractală prezintă mai multe neregularităţi decât mulţimile clasice, care sunt, în general, considerate netede. Există, însă, o definiţie matematică precisă a unui fractal. Astfel, în 1982, acelaşi Benoît Mandelbrot publica lucrarea " The Fractal Geometry of Nature", unde propunea pentru prima dată definiţia riguroasă a unui fractal şi anume: " Un fractal este, prin definiţie, o mulţime pentru care dimensiunea Hausdorff-Besicovitch este strict mai mare decât dimensiunea topologică" ([59]). Din păcate, deşi această definiţie înglobează cele mai multe dintre mulţimile fractale, există şi alţi fractali care nu se încadrează în termenii definiţiei lui Mandelbrot. Unii dintre aceştia apar ca mulţimi "puncte fixe" ale unor contracţii definite pe un spaţiu metric complet şi pot fi determinate printr-un proces iterativ. Istoric vorbind, matematicienii s-au întâlnit cu mulţimile fractale începând chiar cu secolul al XIX-lea, dar acestea fiind atât de diferite de formele geometriei clasice, au fost considerate excepţii. Un astfel de exemplu este funcţia lui Karl Weierstrass care este continuă, dar nicăieri derivabilă şi al cărei grafic reprezintă astăzi unul dintre primii fractali studiaţi. Au urmat apoi exemplele lui Giuseppe Peano şi David Hilbert de curbe în plan care au ca imagine pătratul unitate, curba lui Helge von Koch de lungime infinită sau triunghiul lui Waclaw Sierpinski de arie nulă. Pe de altă parte, matematicianul francez Gaston Julia, studiind la începutul secolului al XX-lea bazinele de atracţie ale funcţiilor raţionale în plan, a descoperit o clasă largă de mulţimi fractale care astăzi îi poartă numele. Lucrările sale, precum şi cele ale lui Pièrre Fatou, constituie, de fapt, începutul teoriei fractalilor. În zilele noastre, teoria fractalilor este considerată o ramură de sine stătătoare a matematicii, iar aceştia nu mai apar doar ca exemple singulare. Aplicabilitatea fractalilor nu a putut fi evidenţiată decât odată cu apariţia calculatorului, care a permis înţelegerea completă a lucrărilor lui Julia şi Fatou. Benoît Mandelbrot susţine că mulţimile geometrice de acest fel pot descrie mai bine fenomenele naturale decât curbele şi suprafeţele regulate ale geometriei clasice. Astfel, preponderenţa fenomenelor haotice în natură face din fractal un concept universal care nu se restrânge doar la domeniul geometriei sau al graficii ci apare şi în diverse alte domenii, cum ar fi biologia, fizica, meteorologia sau arta. ii

Mulţumiri Aş dori să mulţumesc domnului profesor Alexandru Mihail de la Facultatea de Matematică şi Informatică din Bucureşti care mi-a deschis drumul în studierea teoriei matematice a fractalilor prin intermediul unui curs opţional din anul al 3-lea de facultate. De acolo, au urmat o lucrare de licenţă sub îndrumarea dânsului despre măsura şi dimensiunea Hasudorff şi primul meu articol ştiinţific în domeniu, publicat la Analele Universităţii din Bucureşti în anul 2008, în colaborare cu acesta. După perioada masteratului, am continuat cu studiile doctorale sub îndrumarea domnului profesor Ion Chiţescu, căruia aş dori să-i mulţumesc, în primul rând pentru amabilitatea de a mă accepta ca doctorand şi în al doilea rând pentru sugerarea direcţiilor asupra cărora să-mi orientez cercetarea ştiinţifică pentru a-mi putea finaliza teza. Susţinerile din partea dânsului au venit întotdeauna la momentul oportun, iar ideile dumnealui de cercetarea s-au dovedit a fi foarte eficiente şi productive. De asemenea, aş dori să mulţumesc domnilor profesori Radu Miculescu şi Daniel Stănică pentru sprijinul acordat în finalizarea prezentei lucrări. În final, aş dori să mulţumesc părinţilor mei pentru sprijinul moral acordat pe întreaga perioadă a doctoratului. iii

Cuprins Introducere 5 1 Noţiuni preliminare 7 1.1 Elemente de topologie şi spaţii metrice 7 1.2 Principiul contracţiei şi spaţiul fractalilor 12 2 Sisteme iterative de funcţii finite 14 2.1 Atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit 14 2.2 Spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii finit 15 2.3 Conexiunea atractorului unui sistem iterativ de funcţii finit 18 2.4 Atractori cu mai multe componente conexe 23 2.5 Dendrite 25 3 Sisteme iterative de funcţii infinite 34 3.1 Atractorul unui sistem iterativ de funcţii infinit 34 3.2 Spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii infinit 35 3.3 Conexiunea atractorului unui sistem iterativ de funcţii infinit 37 3.4 Dendrite în cazul infinit 43 4 Generalizari ale sistemelor iterative de funcţii 47 4.1 Sisteme iterative de funcţii topologice 47 4.2 Sisteme iterative de funcţii care conţin alte tipuri de contracţii 50 Bibliografie 62 iv

Introducere Sistemele iterative de funcţii sunt adesea folosite pentru a genera fractali, mulţimile rezultate fiind autosimilare sau autoasemenea. Ele au fost introduse de către John Hutchinson ([44]), generalizate la sistemele iterative de funcţii infinite ([62], [93]) şi popularizate de către Michael Barnsley ([7]). Folosirea calculatorului în studiul proceselor iterative a fost încă un motiv pentru care acest domeniu să se dezvolte foarte mult în ultimele două decenii. Fractalii construiţi ca atractori ai unor sisteme iterative de funcţii pot avea orice număr de dimensiuni, dar sunt, de obicei, desenaţi în două dimensiuni. O descriere "populară" a fractalului generat ca mai sus ar putea fi următoarea: fractalul este alcătuit din unirea mai multor copii, fiecare exemplar fiind transformat de către o anumită funcţie, de unde şi denumirea de "sistem iterativ de funcţii". Prin urmare, forma unui fractal poate fi alcătuită din mai multe copii mai mici care se suprapun, fiecare dintre acestea fiind, de asemenea, formată din suprapunerea unor copii şi mai mici, procesul efectuându-se la infinit. Un astfel de exemplu este triunghiul lui Sierpinski. Funcţiile care alcătuiesc un sisteme iterativ de funcţii sunt, de obicei, contracţii şi spaţiul pe care sunt definite este metric şi complet. Atractorul unui sistem iterativ de funcţii apare ca fiind unicul punct fix al operatorului fractal şi este, de regulă, o mulţime compactă. Lucrare de faţă conţine un studiu al proprietăţilor topologice ale atractorilor sistemelor iterative de funcţii şi este structurată pe patru capitole. Capitolul 1 are un caracter pregătitor, rolul acestuia fiind acela de a prezenta anumite noţiuni preliminare referitoare la topologie, spaţii metrice, principiul contracţiei şi spaţiul fractalilor. Se prezintă, aşadar, rezultatele necesare definirii teoriei sistemelor iterative de funcţii. Capitolul 2 studiază atractorii sistemelor iterative de funcţii finite şi anumite proprietăţi topologice ale acestora (conex, conex prin arce, local conex, semi-local conex, total disconex, componentă conexă, dendrită). În secţiunea 2.1 se introduce atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit şi se dă ca exemplu mulţimea lui Cantor. În secţiunea 2.2 se introduce spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii finit şi se stabileşte legătura cu atractorul. În secţiunea 2.3 se dau caracterizările atractorilor de a fi mulţimi total disconexe, conexe, local conex sau semi-local conex. În secţiunea 2.4 sunt studiaţi atractorii cu mai multe componente conexe, iar în secţiunea 2.5 se studiază atractorii care sunt dendrite şi se introduce noţiunea de graf asociat unui atractor. Pentru o mare clasă de atractori se demonstrează că aceştia devin dendrite dacă grafurile asociate sunt arbori. Ca exemple se consideră arborele lui Hata şi mulţimea de tip cruce. Rezultatele originale principale ale acestui capitol sunt date de teoremele 2.4.1, 2.4.3, 2.5.1, 2.5.2. Capitolul 3 studiază atractorii sistemelor iterative de funcţii infinite şi anumite proprietăţi topologice legate de conexiunea acestora. În secţiunea 3.1 se introduce noţiunea de atractor pentru un sistem iterativ de funcţii infinit şi în secţiunea 3.2 se stabilieşte legătura acestuia cu spaţiul codurilor. În secţiunea 3.3 sunt date condiţii necesare şi suficiente pentru 5

ca atractorul să fie total disconex, conex şi conex prin arce. În secţiunea 3.4 se studiază atractorii de tip dendrită în cazul infinit şi se deduc rezultate similare cu cele din cazul finit. Rezultatele originale principale ale acestui capitol sunt teoremele 3.3.2, 3.3.3, 3.3.4, 3.4.1, 3.4.2. Capitolul 4 studiază unele generalizări ale sistemelor iterative de funcţii. În secţiunea 4.1 se consideră sistemele iterative de funcţii topologice şi se arată că reuniunea nevidă dintre un spaţiu Peano şi un segment poate fi privită ca atractorul unui sistem iterativ topologic format din trei funcţii. În secţiunea 4.2 se consideră sistemele iterative de funcţii infinite care conţin alte tipuri de contracţii şi se stabilesc anumite condiţii suficiente ca atractorii să fie conecşi. Rezultatele originale principale ale acestui capitol sunt reprezentate de lemele 4.2.1, 4.2.2 şi teoremele 4.1.2, 4.2.2, 4.2.8, 4.2.9, 4.2.12. Activitatea de cercetare din timpul doctoratului s-a concretizat prin publicarea sau acceptarea spre publicare a cinci articole ştiinţifice după cum urmează: un articol în reviste din străinătate ([28]) şi patru articole în reviste CNCSIS A (ISI) ([24], [25], [26], [27]). 6

Capitolul 1 Noţiuni preliminare În cele ce urmează vom prezenta cadrul matematic necesar definirii atât a sistemelor iterative de funcţii, cât şi a atractorilor acestora. Pentru un mai bun conţinut al lucrării, unele rezultate cunoscute vor avea pe lângă citarea aferentă şi demonstraţia corespunzătoare. 1.1 Elemente de topologie şi spaţii metrice Fie o mulţime nevidă, () mulțimea submulțimilor lui şi () mulţimea submulţimilor nevide ale lui. Definiţia 1.1.1. Se numeşte topologie pe o familie () cu următoarele proprietăţi: a).,. b). Dacă ( ),, atunci. c). Dacă ( ), atunci. În aceste condiţii perechea (, ) se va numi spaţiu topologic, iar elementele lui se vor numi mulţimi deschise. O mulţime se va numi închisă în situaţia în care complementara sa aparţine lui. Definiţia 1.1.2. Fie (, ) un spaţiu topologic şi. Atunci se numeşte vecinătate a lui dacă există o mulţime deschisă astfel încât. În continuare vom nota cu () familia tuturor vecinătăţilor lui. Definiţia 1.1.3. Fie (, ) un spaţiu topologic şi. Atunci: a). Un element se numeşte punct interior al lui dacă există () astfel încât. Vom nota cu () mulţimea tuturor punctelor interiore ale lui. b). Un element se numeşte punct aderent (respectiv de acumulare) al lui dacă pentru orice () avem (respectiv ( \{}) ). Mulţimea punctelor aderente se numeşte aderenţa lui şi se notează cu, iar mulţimea punctelor de acumulare se notează cu. Din definiţie avem că. 7

c). Dacă =, atunci se numeşte perfectă, iar dacă =, atunci se numeşte densă în. d). se numeşte separabil dacă există o submulţime a sa densă şi cel mult numărabilă. Definiţia 1.1.4. Fie două spaţii topologice (₁, ₁) şi (₂, ₂). O funcţie : ₁ ₂ se numeşte continuă în ₁ dacă pentru orice (()) există () astfel încât (). De asemenea, funcţia se numeşte continuă dacă este continuă în toate punctele lui ₁. Următoarea teoremă reprezintă o caracterizare a funcţiilor continue: Teorema 1.1.1. ([32], [52], [76]) Fie două spaţii topologice (₁, ₁), (₂, ₂) şi o funcţie : ₁ ₂. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: a). este continuă. b). Pentru orice ₁ avem ( ) (). c). Pentru orice ₂ închisă, avem ¹() ₁ închisă. d). Pentru orice ₂ deschisă, avem ¹() ₁ deschisă. Definiţia 1.1.5. Un spaţiu topologic (, ) se numeşte separat sau Hausdorff dacă pentru orice,, există ₁, ₂ astfel încât ₁, ₂ şi ₁ ₂ =. Definiţia 1.1.6. Fie (, ) un spaţiu topologic şi. Atunci: a). se numeşte compactă dacă pentru orice familie de mulţimi deschise ( ) astfel încât (o astfel de familie se numeşte o acoperire a lui ), există ₁,..., astfel încât. De asemenea, spunem că (, ) este un spaţiu compact dacă mulţimea este compactă. b). se numeşte relativ compactă dacă este compactă. c). Un spaţiu topologic (, ) se numeşte local compact dacă orice punct din posedă o vecinătate compactă. O mulţime se numeşte local compactă dacă privită ca subspaţiu al lui, este spaţiu local compact. 8

Teorema 1.1.2. ([32], [52], [76]) Fie două spaţii topologice (₁, ₁) şi (₂, ₂), o funcţie continuă : ₁ ₂ şi, ₁. Atunci: a). Presupunem, în plus, că (₁, ₁) este separat. Dacă este compactă, atunci este închisă. b). Dacă este închisă şi este compactă astfel încât, atunci este compactă. c). Dacă este compactă, atunci () ₂ este compactă. Definiţia 1.1.7. Fie (, ) un spaţiu topologic şi,. Atunci: a). se numeşte conexă dacă nu există nicio separare a lui de forma =, unde, sunt mulţimi nevide astfel încât = =. b). se numeşte conexă prin arce dacă pentru orice, există o funcţie continuă, : [0,1] astfel încât, (0) = şi, (1) =. c). Pe mulţimea considerăm relaţia definită prin: dacă şi numai dacă există conexă astfel încât,. Rezultă uşor că relaţia este o relaţie de echivalenţă. Atunci clasele de echivalenţă ale lui se numesc componentele conexe ale lui. d). A se numeşte local conexӑ (respectiv local conexӑ prin arce) dacă orice punct al său admite o vecinătate conexă (respectiv conexă prin arce). e). A se numeşte total disconexă dacă fiecare componentă conexă a sa se reduce la un singur punct. Propoziţia 1.1.1. ([32], [52], [76]) Fie (, ) un spaţiu topologic şi,, submulţimi ale lui, cu. Atunci: a). Dacă este o mulţime conexă pentru orice şi pentru orice, atunci este o mulţime conexă. b). Dacă şi este conexă, atunci este conexă. Propoziţia 1.1.2. ([32], [52], [76]) a). O mulţime R este conexă dacă şi numai dacă este un interval. b). Fie (, ) şi (, ) două spaţii topologice şi : o funcţie continuă. Dacă mulţimea este conexă atunci mulţimea () este conexă. c). Dacă spaţiul topologic (, ) este conex prin arce, atunci el este conex. 9

Remarca 1.1.1. Fie (, ) un spaţiu metric conex şi local conex prin arce. Atunci (, ) este conex prin arce. Remarca 1.1.2. Fie (, ) un spaţiu metric conex care, în plus, este sau local conex sau local conex prin arce. Atunci pentru orice şi orice (), există () deschisă, conexă sau local conexă prin arce astfel încât. Vom discuta în continuare despre spaţiile metrice. Definiţia 1.1.8. Fie o mulţime nevidă. O aplicaţie : [0, ) se numeşte semimetrică dacă sunt îndeplinite următoarele condiţii: a). (, ) = 0 pentru orice. b). (, ) = (, ) pentru orice,. c). (, ) (, ) + (, ) pentru orice,,. În aceste condiţii perechea (, ) se va numi spaţiu semimetric. Definiţia 1.1.9. Fie o mulţime nevidă. O aplicaţie : [0, ) se numeşte metrică dacă este o semimetrică şi, în plus, satisface condiţia (, ) = 0 =. În aceste condiţii perechea (, ) se va numi spaţiu metric. Definitia 1.1.10. Fie (, ) un spaţiu metric şi. Atunci: a). Bila deschisă de centru şi rază > 0 este (, ) = { (, ) < }. b). Bila închisă de centru şi rază > 0 este (, ) = { (, ) }. c). Bila deschisă de centru şi rază > 0 este: (, ) = { există astfel încât (, ) < }. Definiţia 1.1.11. Fie (, ) un spaţiu metric şi ( ) un şir de elemente din. Atunci: a). Spunem că ( ) este convergent la sau ( ) are limita dacă pentru orice ɛ > 0 există N astfel încât (, ) < ɛ pentru orice. b). Spunem că ( ) este un şir Cauchy dacă pentru orice ɛ > 0 există N astfel încât (, ) < ɛ pentru orice,. 10

Remarca 1.1.3. Orice şir convergent este şir Cauchy. Definiţia 1.1.12. Un spaţiu metric (, ) se numeşte complet dacă orice şir Cauchy este convergent. Definiţia 1.1.13. Fie (, ) un spaţiu metric şi. Prin diametrul lui se înţelege () = sup, (, ). Dacă =, atunci () = 0 (prin definiţie). Totodată, dacă,, atunci pentru orice, distanţa de la la este (, ) = inf (, ). Lema 1.1.1. ([32], [52]) Fie (, ) un spaţiu metric şi. Atunci () = ( ). Definiţia 1.1.14. Fie (, ) un spaţiu metric şi. Atunci: a). se numeşte mărginită dacă () <, b). se numeşte total mărginită dacă pentru orice ɛ > 0 există,, astfel încât, Remarca 1.1.4. Orice mulţime total mărginită este mărginită. Teorema 1.1.3. ([32], [52], [76]) Fie (, ) un spaţiu metric şi. Dacă este relativ compactă, atunci este total mărginită. Reciproc, dacă este total mărginită şi este completă, atunci este relativ compactă. 11

1.2 Principiul contracţiei şi spaţiul fractalilor Fie (, ) un spaţiu metric şi : o funcţie. (),() Definiţia 1.2.1. Constanta () = sup,, [0, ] se numeşte constanta (,) Lipschitz asociată lui. Dacă () <, atunci se numeşte funcţie Lipschitz, iar dacă () < 1, atunci se numeşte contracţie. Remarca 1.2.1. O funcţie Lipschitz este uniform continuă. Definiţia 1.2.2. Un element se numeşte punct fix pentru funcţia dacă () =. Se notează cu () = { este punct fix pentru }. În continuare vom folosi următoarele notaţii: ⁰ = şi =... pentru orice 1. Teorema 1.2.1. (Principiul contracţiei) ([84] )Fie (, ) un spaţiu metric complet şi : o contracţie. Atunci există un unic punct astfel încât () =. Mai mult, pentru orice, şirul ( ()) este convergent la. Teorema 1.2.2. ([84]) Fie (, ) un spaţiu metric complet şi : o funcţie continuă. Presupunem că există N astfel încât să fie contracţie. Atunci există un unic astfel încât () =. Pentru un spaţiu metric complet (, ), vom nota cu () şi B() spaţiul părţilor nevide şi compacte, respectiv spaţiul părţilor nevide, închise şi mărginite ale lui (, ). Se ştie că, dacă definim h : () () [0, + ) (respectiv h : B() B() [0, + )) prin h (, ) = {(, ), (, )}, unde (, ) = sup (, ) = sup inf (, ) atunci h este o metrică (metrica Hausdorff-Pompeiu). Vom folosi, însă, notaţia h şi într-un context mai general şi anume definim h : () () [0, ] prin aceleaşi relaţii ca mai sus. 12

Propoziţia 1.2.1. ([84]) Fie (, ) şi (, ) două spaţii metrice. Atunci: 1). Dacă şi sunt două submulţimi nevide şi mărginite ale lui, atunci h (, ) = h (, ). 2). Dacă ( ) şi ( ) sunt două familii de submulţimi nevide ale lui, atunci h, = h, sup h (, ) 3). Dacă şi sunt două submulţimi nevide ale lui şi : o funcţie atunci h ((), ()) () h (, ) 4). Dacă ( ) () este un şir de mulţimi nevide şi () este o mulţime nevidă astfel încât h (, ) 0, atunci un element este în dacă şi numai dacă există pentru orice 1 astfel încât, 5). Dacă ( ) () este un şir de mulţimi nevide şi relativ compacte şi () este o mulţime nevidă astfel încât h (, ) 0, atunci este o mulţime relativ compactă. 6). Dacă ( ) () este un şir de mulţimi nevide, compacte şi conexe şi () este o mulţime nevidă şi închisă astfel încât h (, ) 0, atunci este o mulţime compactă şi conexă. Teorema 1.2.3. ([84]) Dacă (, ) este un spaţiu metric complet, atunci (B(), h) şi ((), h) sunt spaţii metrice complete. Definiţia 1.2.3. Spaţiul complet ((), h) se numeşte spaţiul fractalilor. 13

Capitolul 2 Sisteme iterative de funcţii finite Sistemele iterative de funcţii au fost introduse de John Hutchinson ([44]) şi apoi popularizate de către Michael Barnsley ([7]). Ele reprezintă una dintre cele mai generale metode de construcţie ale fractalilor. Se consideră un spaţiu metric complet (, ) şi o familie finită de contracţii pe acel spaţiu. Perechea astfel obţinută se numeşte sistem iterativ de funcţii. În situaţia în care spaţiul submulţimilor compacte şi nevide ale lui este înzestrat cu metrica Hausdorff-Pompeiu se demonstrează existenţa şi unicitatea atractorului unui sistem iterativ de funcţii. Dintre exemple, mulţimea lui Cantor, triunghiul lui Sierpinski sau curba lui Koch pot fi văzute ca atractori ai sistemelor iterative de funcţii finite. 2.1 Atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit Fie (, ) un spaţiu metric complet. Vom considera pe () metrica h (notată uneori h). Definiţia 2.1.1. Un sistem iterativ de funcţii (finit) pe spaţiul complet (, ) constă dintr-o familie finită de contracţii { }, pe şi este notat cu = (, { }, ). Definiţia 2.1.2. Operatorul fractal asociat unui sistem iterativ de funcţii finit = (, { }, ) se defineşte prin : () (), () = () pentru orice (). Propoziţia 2.1.1. ([44]) Fie (, ) un spaţiu metric şi = (, { }, ) un sistem iterativ de funcţii finit cu =, ( ) < 1. Atunci ( ) < 1. Teorema 2.1.1. ([33], [44], [84]) Fie (, ) un spaţiu metric complet şi = (, { }, ) un sistem iterativ de funcţii finit cu = max, ( ) < 1. Atunci există o unică mulţime (), care se numeşte atractorul lui, astfel încât () = şi, totodată, pentru fiecare ₀ () şirul ( ) definit prin = ( ) converge la. Pentru viteza de convergenţă avem estimarea: h(, ) ⁿ h(₀, ₁) pentru orice N. 14

Lema 2.1.1. ([84]) Fie (, ) un spaţiu metric complet şi = (, { }, ) un sistem iterativ de funcţii finit cu = max, ( ) < 1. Fie atractorul lui, ₀ (), ₀ (), = [] (₀) şi = [] (₀) astfel încât ( ) = şi ( ) = ₀. Atunci,, = şi = de m ori. [], unde = 2.2 Spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii finit În continuare vom descrie spaţiul codurilor asociat unui sistem iterativ de funcţii şi vom studia legătura dintre acesta şi atractorul asociat. Pentru două mulţimi nevide şi, reprezintă mulţimea funcţiilor din în. Vom nota cu N = {0,1,, } şi N = {1,2,, } pentru orice 1. Fie o mulţime nevidă fixată. Prin Λ = Λ() vom întelege mulţimea N şi prin Λ = Λ () vom întelege mulţimea N. Elementele mulţimii Λ = Λ() pot fi scrise sub forma unor cuvinte infinite = unde, iar elementele mulţimii Λ = Λ () pot fi scrise sub forma unor cuvinte finite =. Vom spune că Λ() este mulţimea cuvintelor infinite cu litere din alfabetul, iar Λ () este mulţimea cuvintelor finite de lungime cu litere din alfabetul. Prin Λ = Λ () vom înţelege mulţimea tuturor cuvintelor finite cu litere din alfabetul, adică: Λ = Λ () = ( Λ ()) {}, unde este cuvântul vid. Dacă = sau = şi, atunci [] =. Dacă = sau = şi >, atunci [] =. Deci [] = []. Pentru Λ, reprezintă lumgimea cuvântului, deci =. Observăm că = 0. Prin definiţie, dacă Λ, atunci =. Pentru două cuvinte Λ () şi Λ () sau Λ () şi Λ() prin vom înţelege concatenarea cuvintelor şi, mai precis, = sau respectiv =. Pentru Λ şi Λ sau Λ, spunem că prelungeşte pe şi notăm dacă şi [] =. Prin convenţie = şi [] = pentru orice Λ () Λ(). Pe Λ = Λ(N ) = (N ) N (, ) = 1 3 considerăm distanţa: unde = 1, dacă = 0, dacă. Atunci perechea ( (N ), ) devine un spaţiu metric compact ([51]). 15

Definiţia 2.2.1. a). Spaţiul metric ( (N ), ) se numeşte spaţiul codurilor sau spaţiul de ridicare (de shift) asociat unui sistem iterativ de funcţii format din funcţii. b). Funcţiile : Λ(N ) Λ(N ) definite prin () = pentru orice {1,2,.., } se numesc funcţiile de shift la dreapta. c). Funcţia : Λ(N ) Λ(N ) definită prin ( ) = se numeşte funcţia de shift la stânga. Vom face în continuare câteva notaţii: a). Fie (, ) un spaţiu metric şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit. Pentru = Λ (N ), notăm cu =, = şi = (), unde. De asemenea, şi reprezintă funcţia identică, iar =. b). Fie (, ) un spaţiu metric şi : o contracţie. Atunci notăm cu punctul fix al lui şi cu = punctul fix al lui, unde Λ (N ). Remarca 2.2.1. a). Funcţiile sunt contracţii pentru orice {1,2,, }. Mai mult, avem că (), () = (,) pentru orice, Λ(N ). b). Funcţia : Λ(N ) Λ(N ) este Lipschitz, deci continuă. Într-adevăr: pentru orice, Λ(N ). (), () = 3 (, ) 1 3 (, ) c). Avem că ( )() = şi ( )() = pentru orice {1,2,, } şi Λ(N ). d). Avem că Λ(N ) = Λ(N ). Cu alte cuvinte Λ(N ) este atractorul sistemului iterativ de funcţii finit = Λ(N ), { },. Mai general, Λ(N ) = Λ(N (N ) ). Definiţia 2.2.2. Fie un sistem iterativ de funcţii finit =, { }, definit pe un spaţiu metric complet (, ), atractorul lui, = () pentru orice {1,2,, } şi = () pentru orice Λ (N ). Atunci se numeşte disconex dacă = pentru orice, {1,2,, } diferiţi şi total disconex dacă = pentru orice, Λ (N ) diferiţi şi orice N. Rezultatele principale privind relaţia dintre un sistem iterativ de funcţii finit şi spaţiul codurilor asociat sunt cuprinse în următoarea teoremă: 16

Teorema 2.2.1. ([51], [84]) Dacă (, ) este un spaţiu metric complet, =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit cu =, ( ) < 1 şi atractorul lui, atunci: 1). Pentru (N ), [] [] şi [] 0 când. Mai precis, [] (). 2). Dacă este definit prin { } = [], atunci [], 0 când. 3). = { } (N ) şi = (N ) pentru orice (N ). 4). Mulţimea [] (N ) și N este densă în. 5). Proiecţia canonică : (N ) dată de () = este continuă şi surjectivă. În cazul în care sistemul iterativ de funcţii finit este disconex şi sunt injective pentru orice {1,2,, }, atunci este injectivă, deci este un homeomorfism. 6). =, unde :, () = () pentru orice şi {1,2, }. Λ(N ) Λ(N ) Remarca 2.2.2. Referitor la punctul 5), subliniem că pentru injectivitatea lui este necesar ca funcţiile să fie injective pentru orice {1,2,, }. De exemplu, dacă toate funcţiile sunt constante, () = pentru orice {1,2,, }, atunci pentru orice =. Λ(N ) avem () =. În ([7]) se afirmă, în mod eronat, că simplul fapt că este disconex, asigură injectivitatea lui. De asemenea, în cazul de injectivitate, rezultă ca toţi atractorii sunt mulţimi homeomorfe cu spaţiul Λ(N ) care este un spaţiu compact, metrizabil şi total disconex. 17

2.3 Conexiunea atractorului unui sistem iterativ de funcţii finit Următoarea teoremă reprezintă o caracterizare a atractorilor total disconecşi. Caracterizări ale atractorilor total disconecşi au fost studiate pentru prima dată de către R.F. Williams în ([94]). Teorema 2.3.1. ([44], [82], [94]) Fie (, ) un spaţiu metric complet şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit cu ( ) < 1 (deci =, ( ) < 1). Fie atractorul lui. Atunci este total disconexă. Remarca 2.3.1. În cazul în care ( ) 1, atractorul poate avea orice fel de structură: poate fi conex (v. teorema 2.3.3 şi remarca 2.3.2) sau poate fi total disconex (v. remarca 2.3.2). Definiţia 2.3.1. a). Fie o mulţime nevidă şi ( ) o familie de submulţimi nevide ale lui. Atunci familia ( ) se numeşte conexă dacă pentru orice,,, există { }, astfel încât =, = şi pentru orice {1,2,, 1}. De asemenea, mulţimile de mai sus se vor numi lanţ de la la ). Dacă o familie ( ) nu este conexă, atunci aceasta se numeşte disconexă. b). Considerăm pe o familie de mulţimi ( ) următoarea relaţie: dacă şi numai dacă există { }, astfel încât =, = şi pentru orice {1,2,, 1}. Se observă cu uşurinţă că relaţia este una de echivalenţă. Atunci o componentă conexă a familiei ( ) este o clasă de echivalenţă a relaţiei de mai sus. Referitor la conexiunea atractorului unui sistem iterativ de funcţii avem următoarea teoremă: Teorema 2.3.2. ([42], [51]) Fie (, ) un spaţiu metric complet şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit cu =, ( ) < 1. De asemenea, considerăm atractorul lui şi notăm cu = () pentru orice {1,2,.., }. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1). Familia de mulţimi ( ), este conexă. 2). este conexă prin arce. 3). este conexă. 18

În cazul în care sistemul iterativ de funcţii este format din doar două funcţii injective, atunci atractorul său nu poate fi decât conex sau total disconex, după cum rezultă din următoarea teoremă. Teorema 2.3.3. ([42], [82]) Fie (, ) un spaţiu metric complet şi = (, {, }) un sistem iterativ de funcţii finit cu = {( ), ( )} < 1 şi, injective. Notăm cu atractorul lui şi cu = () pentru orice {1,2}. Atunci avem următoarele proprietăţi: a). Dacă, atunci este conexă. b). Dacă =, atunci este total disconexă. Remarca 2.3.2. Referitor la afirmaţia din teorema 2.3.1, observăm că în cazul în care ( ) 1 putem avea orice situaţie: a). Luăm = [0,1] şi, : definite prin () = şi () =. Atunci ( ) = ( ) = şi atractorul este = = [0,1] o mulţime conexă. b). Putem construi atractori total disconecşi pentru care suma constantelor Lipschitz să fie mai mare sau egală cu 1: 1). Considerăm funcţiile : [0,1] R de forma () = pentru orice [0,1], unde, > 0. Atunci sau este o constantă sau este strict monotonă, depinzând de cum 0 sau nu, deoarece () = (). 2). Avem că ([0,1]) =, dacă este strict crescătoare sau ([0,1]) =, dacă este strict descrescătoare. 3). Fie = ([0,1]). Dorim ca [0,1]. Să presupunem varianta când =,. Atunci trebuie îndeplinite următoarele condiţii: + + 0 < < Acest sistem de inecuaţii admite soluţii. Spre exemplu, putem considera = 1, = 0, = 2, = 2. 4). Aşadar, cu cele de mai sus, putem considera o funcţie : [0,1] [0,1] de forma () =. 19

5). Alegem acum funcţia : [0,1] 0,, () = şi obţinem că () =. Prin urmare, considerând sistemul iterativ de funcţii injective = ([0,1], {, h}), unde h: [0,1], 1, h() =, obţinem că () + (h) = 1, dar atractorul al lui verifică () ([0,1]) = 0, şi h() h([0,1]) =, 1. Aşadar () h() = şi din teorema 2.3.3, punctul b), rezultă că este total disconexă. 6). În acelaşi mod se poate construi un sistem iterativ de funcţii finit în care suma constantelor Lipschitz să fie strict mai mare decât 1, dar atractorul să fie în continuare total disconex. Spre exemplu, putem lua () = şi () =, ambele definite pe intervalul [0,1]. Avem că () + () = + = > 1, iar () () ([0,1]) ([0,1]) = 0,, 1 =. Deci total disconexă. Definiţia 2.3.2. O mulţime conexă se numeşte semi-local conexă în dacă pentru orice > 0 există o vecinătate () astfel încât \ are un număr finit de componente conexe. Dacă o mulţime este semi-local conexă în orice punct, atunci se numeşte semilocal conexă. Teorema 2.3.4. ([42], [51], [82]) Fie (, ) un spaţiu metric complet şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit cu =, ( ) < 1 şi atractorul lui. Dacă este conexă, atunci: 1). este local conexă. 2). este semi-local conexă. 3). Există o funcţie continuă şi surjectivă : [0,1]. Remarca 2.3.3. a). Dacă atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit este conex, atunci acesta devine un spaţiu Peano, adică este compact, conex şi local conex. b). În ([42]) M. Hata ridică următoarea întrebare care se dovedeşte a avea un răspuns negativ: "Este orice mulţime compactă, conexă şi local conexă atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit?". Cu alte cuvinte, se pot caracteriza spaţiile Peano cu ajutorul sistemelor iterative de funcţii finite? Răspunsul la această întrebare este negativ, existând cel puţin o mulţime compactă, conexă şi local conexă în plan, care nu este atractorul niciunui sistem iterativ de funcţii finit. Spre exemplu, fie > 0, N şi (, ) = [0, ]. De asemenea, considerăm mulţimea translatată = (, ) +, 0, unde = 2 şi = 2. Fie = ([0,1] {0}) ( ). Atunci este compactă, conexă, local conexă dar nu 20

este atractorul niciunui sistem iterativ de funcţii finit, după cum se arată în ([53]). Prin urmare, mulţimile compacte, conexe şi local conexe nu pot fi caracterizate prin intermediul sistemelor iterative de funcţii finite. Alte exemple de mulţimi care nu sunt atractorii niciunui sistem iterativ de funcţii finit se pot găsi în ([80], [81]). Definiţia 2.3.3. Fie (, ) un spaţiu metric şi : o funcţie. Atunci se numeşte asemănare dacă există > 0 astfel încât (), () = (, ) pentru orice,. Observăm că în acest caz () =. Următorul rezultat reprezintă o caracterizare a segmentelor din spaţiul R. Teorema 2.3.5. ([44]) Fie R o mulţime compactă şi conexă. Atunci este un segment dacă şi numai dacă este atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit =, { }, unde funcţiile sunt asemănări pentru orice {1,2,, } şi ( ) = 1., Vom aplica rezultatele deomonstrate până acum pentru a determina conexitatea unor atractori cunoscuţi. Exemplul 2.3.1. ([7], [33], [51]) Considerăm mulţimea R dotată cu distanţa dată de modul şi funcţiile, : R R definite prin () = şi () =. Fie, de asemenea, sistemul iterativ de funcţii = (R, {, }). Atunci atractorul lui va fi = [0,1]. Într-adevăr ([0,1]) = ([0,1]) ([0,1]) = 0,, 1 = [0,1]. Avem = ([0,1]) = 0,, = ([0,1]) =, 1 şi =. Remarcăm că este conexă şi familia de mulţimi (, ) este conexă. Exemplul 2.3.2. ([7], [33], [51]) Considerăm mulţimea R dotată cu distanţa dată de modul şi funcţiile, : R R definite prin () = şi () =. Fie, de asemenea, sistemul iterativ de funcţii = (R, {, }). Atunci atractorul al lui va fi mulţimea lui Cantor = [0,1]. În ceea ce priveşte conexiunea mulţimii lui Cantor avem că 0,,, 1 şi =. Remarcăm că este total disconexă şi familia de mulţimi (, ) este disconexă. Reamintim, totodată, modul de construire a mulţimii lui Cantor: considerăm intervalul [0,1] R. Din acest interval excludem treimea din mijloc, adică intervalul, rămânând reuniunea intervalelor 0,, 1 =. Mai departe vom exclude treimea din mijlocul fiecărui interval rămânând reuniunea 0,,, 21

, 1 =, etc. În acest mod definim mulţimile [0,1] pentru orice 1, iar mulţimea "triadică" a lui Cantor va fi =. Exemplul 2.3.3. ([51]) Fie = [0,1] şi, > 0 astfel încât + < 1. Considerăm următorul sistem iterativ de funcţii = ( = [0,1], {, }), unde, : sunt definite prin () = şi () = ( 1) + 1. Fie atractorul sistemului iterativ de funcţii şi = () pentru orice {1,2}. Observăm că [0, ] şi [1, 1]. Deci =. Prin urmare sistemul iterativ de funcţii este disconex şi conform teoremei 2.2.1, punctul 5), rezultă că proiecţia canonică : (N ) este injectivă. Cum este continuă şi surjectivă, rezultă că : (N ) este un homeomorfism. În cazul particular în care = =, regăsim mulţimea lui Cantor din exemplul 2.3.2. Exemplul 2.3.4. ([84]) Fie = [0,1] [0,1] R. Considerăm următorul sistem iterativ de funcţii = (, {,,, }), unde,,, : sunt definite prin (, ) =,, (, ) = +, +, (, ) = + +, + şi (, ) =,. Atunci atractorul al sistemului iterativ de funcţii, se numeşte curba lui Von Koch. Notăm cu = () pentru orice {1,2,3,4} şi observăm că =, 0, =, şi =, 0, adică familia de mulţimi (,,, ) este conexă. Prin urmare este conexă prin arce. În continuare vom prezenta o schiţa a curbei lui Koch. Exemplul 2.3.5. ([84]) Considerăm mulţimea R dotată cu distanţa euclidiană şi funcţiile,, : R R definite prin (, ) =,, (, ) =, şi (, ) =,. Funcţiile,, sunt asemănări ale planului de raţie. Fie acum sistemul iterativ de funcţii = (R, {,, }). Atunci atractorul al lui se numeşte triunghiul lui Sierpinski. Avem (0,0) = (0,0), (1,0) = (1,0) şi (0,1) = (0,1). Deci (0,0), (1,0), (0,1). De asemenea, (1,0) = (0,0) =, 0, (0,1) = (0,0) = 0,, (0,1) = (1,0) =,. Rezultă că familia de mulţimi (,, ) este conexă şi deci este conexă prin arce. În continuare vom prezenta o schiţa a triunghiului lui Sierpinski. 22

2.4 Atractori cu mai multe componente conexe Vom da în continuare o condiţie suficientă ca atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit să aibă mai multe componente conexe. Mai întâi însă, vom arăta un rezultat de echivalenţă în ceea ce priveşte mulţimile = () pentru Λ (N ). Teorema 2.4.1. Fie (, ) un spaţiu metric complet şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit cu =, ( ) < 1. Notăm cu atractorul lui, cu = () pentru orice {1,2,, } şi cu = () pentru orice (N ), N. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1). Mulţimea este conexă prin arce pentru orice {1,2,, }. 2). Mulţimea este conexă pentru orice {1,2,, }. 3). Mulţimea este conexă prin arce pentru orice (N ) şi N. 4). Mulţimea este conexă pentru orice (N ) şi N. Următorul rezultat reprezintă o condiţie suficientă pentru ca atractorul unui sistem iterativ de funcţii finit să aibă un număr finit de componente conexe. Teorema 2.4.2. ([72]) Fie (, ) un spaţiu metric complet şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit cu =, ( ) < 1. Notăm cu atractorul lui şi cu = () pentru orice {1,2,, }. Dacă mulţimea este conexă pentru orice {1,2,, } atunci: a). are un număr finit de componente conexe. b). este local conexă prin arce. Atractorii cu un număr finit de componente conexe se dovedesc a avea o proprietate interesantă şi anume componentele lor devin conexe prin arce. Acest rezultat nu este valabil în situaţia unui atractor cu un număr infinit de componente. Teorema 2.4.3. Fie (, ) un spaţiu metric complet şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit cu =, ( ) < 1 şi atractorul lui. Dacă are un număr finit de componente conexe, atunci fiecare componentă conexă a sa este conexă prin arce. 23

Exemplul 2.4.1. Fie N, 3. Considerăm funcţia : [0,1] [0,1] definită prin: 2, dacă 0, 1 1 () = 2, dacă 1, 1 + 2, dacă 1 2, 1 Atunci () =. Fie funcţia : [0,1] [0,1] definită prin () = 1 (1 ). Atunci () =. Considerăm acum următorul sistem iterativ de funcţii = ([0,1], {, }). Avem că atractorul lui este = 0,, 1. Într-adevăr () = 0,, 1 = 0,, 1 = 0,, = 0, şi () = 0,, 1 = 0,, 1 = 1, 1 1 0, = 1, 1 0, =,, 1 =, 1. Deci () =. Aşadar atractorul lui este = 0,, 1. Deoarece 3 rezultă că nu este conexă, dar conţine două componente conexe prin arce. Exemplul 2.4.2. Considerăm spaţiul R înzestrat cu metrica euclidiană şi sistemul iterativ de funcţii finit = R, { },, unde (, ) =, pentru orice {0,, 1}. Atunci se obţine că atractorul lui este = orice {0,, 1} avem că:, {} () =, + 1 {} =, + 1, = + Aşadar =, {} = care sunt toate conexe prin arce. + 1 +, {} =, + 1 {}. Într-adevăr, pentru (). Remarcăm că A are componente conexe Remarca 2.4.1. Teorema 2.4.3 nu este valabilă în cazul atractorilor cu o infinitate de componente conexe. Următorul exemplu reprezintă un atractor cu o infinitate de componente conexe dintre care una nu este conexă prin arce. 24

Exemplul 2.4.3. Considerăm următoarea mulţime din planul R înzestrat cu metrica euclidiană: = ({0} [0,1]) 1 2 [0,1] = unde = {0} [0,1] şi = [0,1] pentru orice N. Atunci este atractorul sistemului iterativ de funcţii = (, {,,, }), unde : R sunt definite pentru orice {0,1,2,3} prin (, ) =,, (, ) =,, (, ) = 1, şi (, ) = 1,. Remarcăm că are o infinitate de componente conexe. Considerăm acum funcţia : R definită prin: 2 (, ) = 4 + 0, 2 + 3, 2, 2 + 3, dacă (, ) pentru orice N 2, 2 + 3, dacă (, ) pentru orice N dacă (, ) Atunci este o contracţie şi = () este o mulţime conexă care nu este conexă prin arce. De fapt transformă orice linie verticală a lui într-o linie oblică a lui astfel încât segmentul determinat de (1,0) şi (1,1) se duce în segmentul determinat de, 3 şi,, segmentul determinat de, 0 şi, 1 se duce în segmentul determinat de, = şi, 3, segmentul determinat de, 0 şi, 1 se duce în segmentul determinat de, 3 = şi,, etc. La sfârşit, segmentul determinat de (0,0) şi (0,1) se va duce în segmentul determinat de (0,3) şi 0,. Fie,,,, : funcţiile definite prin = pentru orice {0,1,2,3,4}, () = {(0,0)}, () = {(0,1)}, () = {(1,0)}, () = {(1,1)} şi () = {(0,3)}, unde : R sunt definite anterior pentru orice {0,,4}. Atunci = va fi atractorul sistemului iterativ de funcţii = (, {,,,, }). Remarcăm că are o infinitate de componente conexe, dar nu toate dintre acestea sunt conexe prin arce. Mai exact nu este conexă prin arce. 2.5 Dendrite În linii mari, dendritele reprezintă un analog topologic al arborilor din teoria grafurilor. Asocierea dintre un atractor al unui sistem iterativ de funcţii finit şi o dendrită a fost făcută pentru prima dată în ([42]) de către M. Hata, unele rezultate fiind apoi generalizate în ([48]) de către A. Kameyama. Scopul acestui subcapitol este de a studia atractorii sistemelor 25

iterative de funcţii finite prin intermediul grafurilor asociate şi de a deduce situaţii în care aceştia devin dendrite. Fie (, ) un spaţiu topologic nevid. Spunem că două drumuri şi în, : [, ], : [, ] sunt echivalente dacă există h: [, ] [, ] homeomorfism strict crescător astfel încât h =. Remarcăm că echivalenţa de drumuri în este întradevăr o relaţie de echivalenţă (reflexivitatea: dacă h = atunci h = ; simetria: dacă h = atunci = h ; tranzitivitatea: dacă h = şi h = atunci (h h ) = ( h) h = h = ). În aceste condiţii, o clasă de echivalenţă de drumuri se numeşte curbă. Definiţia 2.5.1. Numim dendrită un spaţiu topologic (, ) compact, conex şi local conex care are următoarea proprietate: pentru orice,,, există : [0,1] continuă şi injectivă astfel încât (0) = şi (1) = şi, în plus, dacă mai există : [0,1] continuă şi injectivă astfel încât (0) = şi (1) =, atunci este echivalent cu. Definiţia 2.5.2. 1). Printr-un graf (finit) înţelegem o pereche (, ), unde este o mulţime finită de vârfuri şi este o submulţime a lui = {(, ), }. Un element (, ) se va numi muchie. 2). Un graf (, ) se numeşte simetric dacă pentru orice (, ) avem (, ). De acum înainte, vom lucra numai cu grafuri simetrice. 3). Fie (, ) un graf şi, oarecare. Un drum de la la este o familie de vârfuri (,,, ) cu =, = şi pentru orice {1,2,, } avem (, ). Prin lungimea unui drum vom înţelege numărul muchiilor care intră în componenţa acestuia. 4). Fie (, ) un graf. Un drum (,,, ) se numeşte ciclu dacă: 3, = şi,,, sunt diferite. 5). Un graf (, ) se numeşte conex dacă pentru orice,, există un drum de la la. 6). Un graf (, ) se numeşte un arbore dacă este conex şi nu are cicluri. Definiţia 2.5.3. Fie o mulţime nevidă şi ( ) o familie de submulţimi nevide ale lui. Atunci: 1). Graful (, ), unde = (, ), astfel încât și se numeşte graful intersecţiilor asociat familiei ( ). În mod clar, graful intersecţiilor este simetric, pentru a ne încadra în condiţia menţionată anterior. 26

2). Familia ( ) se numeşte arbore de mulţimi dacă pentru orice, astfel încât există un unic şir ( ),, cu,, diferiţi, astfel încât =, = şi pentru orice {1,2,, 1}. În situaţia în care nu există nicio confuzie asupra mulţimii vârfurilor, pentru uşurinţa notaţiei, graful intersecţiilor asociat unei familii de mulţimi va fi notat doar prin. Remarca 2.5.1. a). Familia ( ) este un arbore de mulţimi dacă şi numai dacă graful intersecţiilor asociat este un arbore. Într-adevăr, să presupunem că familia ( ) este un arbore de mulţimi. Atunci graful (, ) este în mod clar conex. Să presupunem acum că există ciclul,,,, =, în. Atunci există muchiile (, ),,,,, în. În aceste condiţii să considerăm indicii şi. Pentru aceştia găsim două şiruri de indici,, şi, care unesc şi. Contradicţie cu faptul că ( ) este un arbore de mulţimi. Pentru reciprocă, să presupunem că familia ( ) nu este un arbore de mulţimi. Atunci sau i) sau ii), unde: i). Există, şi cel puţin două şiruri de indici ( ),, cu,, diferiţi şi,, cu,, diferiţi, astfel încât =, = şi pentru orice {1,2,, 1} şi =, = şi pentru orice {1,2,, 1}. Remarcăm, mai întâi, că = = şi = =. Atunci există în următorul ciclu (,,,, =,,,, ). Contradicţie cu faptul că este un arbore. ii). Există, pentru care nu există niciun şir de indici ( ),, cu,, diferiţi, astfel încât =, = şi pentru orice {1,2,, 1}. Atunci nu există niciun drum în de la la, cu alte cuvinte, graful nu este conex. b). Familia ( ) este conexă dacă şi numai dacă graful intersecţiilor asociat este conex. c). Dacă familia ( ) este un arbore de mulţimi, atunci intersecţia a trei mulţimi diferite din familie este vidă. Într-adevăr, dacă am presupune că există trei mulţimi,, ( ) pentru care, atunci cu necesitate, şi. Aceasta înseamnă că există muchiile (, ), (, ) şi (, ) în graful intersecţiilor asociat familiei de mulţimi ( ). Cu alte cuvinte, (,,, ) formează un ciclu în, deci familia ( ) nu este un arbore de mulţimi. Contradicţie cu punctul a). 27

Lema 2.5.1. Fie (, ) o dendrită şi,, submulţimi ale lui, N, cu proprietatea că şi este o dendrită pentru orice {1,2,, }. Atunci mulţimea =... este o dendrită. Corolarul 2.5.1. Fie (, ) un spaţiu metric complet şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit cu =, ( ) < 1. Notăm cu atractorul lui si cu = () pentru orice {1,2,, }. Presupunem că este injectivă pe pentru orice {1,2,, } şi că este o dendrită. Atunci... este o dendrită pentru orice,, {1,2,, }, N, astfel încât. Lema 2.5.2. Fie [, ] şi [, ] două intervale reale, [, ] şi [, ] două mulţimi dense în [, ] respectiv în [, ] şi : o funcţie bijectivă şi crescătoare. Atunci există o unică funcţie continuă, bijectivă şi crescătoare : [, ] [, ] astfel încât () = () pentru orice. În continuare, vom nota cu ([0,1]) mulţimea diviziunilor intervalului [0,1]. Lema 2.5.3. Fie (, ) un spaţiu metric şi, : [0,1] două funcţii continue şi injective astfel încât există două şiruri de diviziuni ale intervalului [0,1], ( ) N ([0,1]) şi ( ) N ([0,1]) cu următoarele proprietăţi: a). şi pentru orice N. b). = 0 = < < < = 1 şi = 0 = < < < număr de elemente pentru orice N. = 1 au acelaşi c). 0 şi 0 când, unde =, dacă = ( = < < < = ) este o diviziune oarecare a unui interval [, ] R, <, d). = pentru orice N şi {0,1,, }. Atunci există o unică funcţie continuă, bijectivă şi crescătoare : [0,1] [0,1] astfel încât =, adică şi sunt echivalente. Lema 2.5.4. Fie (, ) un spaţiu metric şi, : [0,1] două funcţii continue şi injective astfel încât există două şiruri de diviziuni ale intervalului [0,1], ( ) N ([0,1]) şi ( ) N ([0,1]) cu următoarele proprietăţi: 28

a). = 0 = < < < = 1 şi = 0 = < < < număr de elemente pentru orice N. = 1 au acelaşi b). 0 şi 0 când. c).,, 0 când. Atunci există o unică funcţie continuă, bijectivă şi crescătoare : [0,1] [0,1] astfel încât =, adică şi sunt echivalente. Lema 2.5.5. Fie (, ) un spaţiu metric complet astfel încât =, unde este o mulţime compactă pentru orice {1,, } şi {0,1} pentru orice, {1,, } diferiţi. Presupunem că, graful intersecţiilor asociat familiei de mulţimi ( ),, este un arbore. Atunci pentru orice funcţie continuă şi injectivă : [0,1] astfel încât (0) şi (1) avem că ([0,1]) unde {1,, }. Lema 2.5.6. Fie (, ) un spaţiu metric complet astfel încât =, unde este o mulţime compactă pentru orice {1,, }. Presupunem că, graful intersecţiilor asociat familiei de mulţimi ( ),, este un arbore. Fie,, şi astfel, încât,, {1,, } diferiţi,,,, şi pentru orice {0,, 1}, N, 2. Atunci pentru orice funcţie continuă şi injectivă : [0,1] astfel încât (0) = şi (1) = există o diviziune = (0 < < < < < 1) a intervalului [0,1] astfel încât pentru orice {0,, 1}. Vom da acum două caracterizari ale dendritelor ca atractori ai unor sisteme iterative de funcţii finite. Teorema 2.5.1. Fie (, ) un spaţiu metric complet şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit cu =, ( ) < 1. Notăm cu atractorul lui, cu = () pentru orice {1,, } şi cu graful intersecţiilor asociat familiei de mulţimi ( ),. Presupunem că următoarele condiţii sunt îndeplinite: a). este total disconexă sau vidă pentru orice, {1,.., } diferiţi. b). = pentru orice,, {1,, } diferiţi. c). este injectivă pe pentru orice {1,, }. Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente: 29

1). este o dendrită. 2). este un arbore şi {0,1} pentru orice, {1,, } diferiţi. Teorema 2.5.2. Fie (, ) un spaţiu metric complet şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit cu =, ( ) < 1. Notăm cu atractorul lui şi cu graful intersecţiilor asociat familiei de mulţimi ( ) (N ) pentru orice N. Dacă graful este un arbore pentru orice N, atunci este o dendrită. Notaţia 2.5.1. Fie (, ) un spaţiu metric complet şi =, { }, un sistem iterativ de funcţii finit şi graful intersecţiilor asociat familiei de mulţimi ( ) (N ) pentru orice N. Prin ( ) vom înţelege graful: ( ) = ({ Λ (N )}, {(, ) (, ) }) pentru orice {1,2,, }. Cu alte cuvinte vârfurile din ( ) vor fi vârfurile din, rescrise primind în faţă litera, iar muchiile din ( ) vor corespunde cu cele din. Exemplul 2.5.1. (Arborele lui Hata) Definim arborele lui Hata conform ([51]). Fie = C. Considerăm funcţiile, : C C, () = şi () = (1 ) +, unde C astfel încât, 1 (0,1). Atractorul sistemului iterativ de funcţii = (, {, }) se numeşte "Arborele lui Hata" şi se va nota cu. Fie, de asemenea, = { [0,1]} { [0,1]}. Atunci () () = () şi, prin urmare, conform lemei 2.1.1, atractorul = [] (). Considerăm acum = (), = () şi avem, conform ([51]), că = { }. Mai mult, observăm că = pentru orice,, {1,2} diferiţi, pentru că, de fapt, nu putem alege asemenea indici şi, sunt funcţii injective. Deci, sunt îndeplinite ipotezele teoremei 2.5.1. Totodată, graful intersecţiilor = = {(1,2)} este un arbore şi ( ) = 1. Prin urmare, conform teoremei 2.5.1, este o dendrită. Calculăm acum grafurile asociate familiei de mulţimi = () (N ) pentru orice N. Avem: i). = { } implică = {(1,2)}. ii). Prin aplicarea funcţiilor şi relaţiei din i), obţinem că = { ( )} = { } şi = { ( )} = {(2 ) }. Totodată, observăm că (1) = şi (0) =. Prin urmare, = { }. 30

Mai mult, = = =. Într-adevăr, să presupunem, spre exemplu, că. Cum şi urmează că = { }. Deci = { } =. Aşadar = { }. Dar = {(2 ) } şi, prin urmare (2 ) = 2 = 1 = 1 = 1 ceea ce reprezintă o contradicţie. Acum, celelalte cazuri se pot trata analog. Aşadar, am obţinut că = {(11,12), (11,21), (21,22)}. iii). Raţionamentul se poate continua similar cazului ii) şi se obţin, astfel, grafurile pentru orice 1. Sintetizând, avem următoarele grafuri: : (1,2). : (11,12), (11,21), (21,22). : (111,121), (121,122), (111,112), (112,211), (211,212), (211,221), (221,222). : (1111,112), (1112,1211), (1211,1212), (1211,1221), (1221,1222), (1111,1121), (1121,1122), (1122,2111), (2111,2121), (2121,2122), (2111,2112), (2112,2211), (2211,2212), (2211,2221), (2221,2222). În general: : ( ),(1122 2,211 1), ( ). Obţinem, astfel, că sunt arbori cu 2 1 muchii pentru orice N. Prin urmare, conform teoremei 2.5.2, este o dendrită. Exemplul 2.5.2. (Mulţime de tip cruce ) Fie = C. Considerăm funcţiile : C C, {0,,4}, definite prin () =, () =, () =, () = şi () =. Atractorul sistemului iterativ de funcţii = (C, {,,,, }) este o mulţime de tip cruce şi se va nota cu (). Fie, de asemenea mulţimea = { = + + 1}. Atunci, remarcăm că: 3 () = () () () () () = + 2 3 + 2 2 2 3 3 3 Aşadar, conform lemei 2.1.1, atractorul () = [] (). Punctele fixe ale contracţiilor,,,, sunt 0,1,, 1 respectiv şi, prin urmare, 0,1,, 1, (). Considerăm acum = () pentru orice {0,,4} şi avem următoarele: 31

a). Pe de o parte, = () () () () = = şi pe de altă parte (1) = ( 1) =. Aşadar =. Similar se obţine că =, = şi =. De asemenea =, =, =, =, = şi =. b). = pentru orice,, {0,,4} diferiţi. Într-adevăr, deoarece,, sunt diferiţi, rezultă că există doi indici, să zicem, astfel încât, {1,2,3,4}. Atunci, conform punctului a), = şi, prin urmare, = pentru orice,, {0,,4} diferiţi. c). Funcţiile,,,, sunt injective. Deci, sunt îndeplinite ipotezele teoremei 2.5.1. De asemenea, graful intersecţiilor = = {(0,1), (0,2), (0,3), (0,4)} este un arbore şi {0,1} pentru orice, {0,,4} diferiţi. Prin urmare, conform teoremei 2.5.1, () este o dendrită. Calculăm acum grafurile asociate familiei de mulţimi = () (N ) pentru orice N. Avem următoarele: i).,,, şi = pentru orice, {1,2,3,4} diferiţi. Deci = {(0,1), (0,2), (0,3), (0,4)}. ii). Prin aplicarea funcţiilor,,,, relaţiilor din i), obţinem că:,, şi, deci muchiile (00,01), (00,02), (00,03) şi (00,04) sunt în.,, şi, deci muchiile (10,11), (10,12), (10,13) şi (10,14) sunt în.,, şi, deci muchiile (20,21), (20,22), (20,23) şi (20,24) sunt în.,, şi, deci muchiile (30,31), (30,32), (30,33) şi (30,34) sunt în.,, şi, deci muchiile (40,41), (40,42), (40,43) şi (40,44) sunt în. Mai mult, deoarece (1) = ( 1) =, () = ( ) =, ( 1) = (1) = şi ( ) = () =, rezultă că, 32