INTRODUCERE : Ce este econometria?. Scurt istoric privind apariţia econometriei. Definiţia econometriei
3. Noţiuni şi concepte fundamentale ale econometriei
modelul econometric Sursa de date Teste statistice 4. Introducerea unui model economic în modelul econometric 3
4
5. Locul şi rolul econometriei în sistemul ştiinţelor economice Referitor la legăturile econometriei cu disciplinele economice trebuie subliniată corespondenţa dintre modelarea econometrică şi previziune. Previziunea macro sau microeconomică reprezintă un domeniu care utilizează în mare măsură rezultatele predicţiei econometrice Modelarea econometrică Elaborarea modelului Experimentarea modelului econometric pentru a obţine variante economice în scopul : oferirii de informaţii cu privire la comportamentul variabilelor endogene în diverse alternative de acţionare a pârghiilor economice oferă toate aceste noi informaţii previziunii economice. Legătura Previziunea economică Previziunea oferă : elementele elaborări modelului defineşte variabilele endogene (rezultative) defineşte variabilele exogene corespunzătoarea obiectivele urmărite în funcţie de existenţa datelor statistice Previziunea economică, pe baza noilor informaţii primite îşi va crea o perspectivă în legătură cu ceea ce s-ar putea întâmpla în viitor, fie şi în linii mari, în raport cu diferite variante ale politicii economice care ar putea fi aplicate TIPURI DE MODELE ECONOMETRICE UTILIZATE ÎN ECONOMIE. Descrierea econometrică a interdependenţelor dintre fenomenele economice 5
Fig. Schema de modelare a unui sistem - modele deterministe, - modele econometrice (aleatoare). Y = f(x) + U 6
Spre deosebire de modelul determinist se introduce în descrierea fenomenului economic studiat şi o variabilă aleatoare (U) deoarece :. Principalele tipuri de modele econometrice utilizate în economie Tipologia modelelor econometrice este foarte variată, ele se pot, totuşi, încadra în câteva tipuri şi clase : Modele unifactoriale şi modele multifactoriale, Modele liniare şi modele neliniare, Modele parţiale şi modele agregate Modele statice şi modele dinamice, Modele cu o singură ecuaţie şi modele cu ecuaţii multiple, Modele euristice şi modele operaţionale a) Modele unifactoriale şi modele multifactoriale 7
b) Modele liniare şi modele neliniare c) Modele parţiale şi modele agregate d) Modele statice şi modele dinamice Un model econometric dinamic este acela în care variabila factorială x exercită influenţa asupra variabilei y pe mai multe perioade de timp : yt = f(xt,,xt-,,xt-k ) + ut ; t=,n j=,k k< unde > k = lungimea perioadei de decalaj (LAG). Exemplu : e) Modele cu o singură ecuaţie şi modele cu ecuaţii multiple, 8
f) Modele euristice şi modele operaţionale MODELUL ECONOMETRIC UNIFACTORIAL. Definirea modelului unifactorial y = f(x) + u unde : y = (y, y,,yn) - variabilă endogenă sau rezultativă; x = (x, x,,xn) variabilă exogenă sau factorială sau cauzală; 9
u = (u, u,,un) variabila reziduală, aleatoare sau eroare. Modelul de mai sus reprezintă o ipoteză construită pe baza teoriei economice... Identificarea modelului unifactorial Funcţia liniară y = a+ bx+u Funcţia semilogaritmică y = a+b log x + u Funcţia putere 0
y =a xb + u Funcţia inversă (hiperbolă) y = a + b + u x Funcţia parabolă Y = a + bx + cx + u
Funcţia logistică y= c +u + e a + bx sau y= c + e a + b log x +u 3. Modelul econometric unifactorial liniar yt = a +bxt + ut
3. Determinarea parametrilor prin - Metoda Celor Mai Mici Pătrate M. C. M. M. P. Utilizarea acestei metode porneşte de la relaţiile : 3
Condiţia de minim a funcţiei rezultă din : de unde rezultă sistemul de ecuaţii : naˆ + bˆ xt = y t aˆ xt + bˆ xt = xt y t Acest sistem se mai numeşte şi sistem de ecuaţii normale, care are următoarele proprietăţi : 3. Verificarea modelului econometric Acceptarea econometrică a modelului teoretic ca model, ca aproximaţie statistică echivalentă cu modelul real studiat, presupune : - verificarea ipotezelor pe care se fundamentează estimarea parametrilor modelului econometric; - verificarea semnificaţiei estimatorilor parametrilor modelului econometric; 4
- verificarea similitudinii modelului econometric. 3..Verificarea ipotezelor pe care se fundamentează estimarea parametrilor unui model econometric. Contrar homoscedasticităţii este heteroscedastitatea care înseamnă că erorile nu au dispersiile egale ci diferite : M (u ) ( Mu )... ( Mu n ) σ u. Depistarea heterodascebilităţii se poate realiza prin mai multe procedeele : a) Procedeul grafic 5
Procedeul grafic constă în construirea graficului privind valorile variabilei factoriale x şi ale variabilei reziduale u. Dacă, pe măsura creşterii (scăderii) valorilor variabilei factoriale x, se observă o creştere (scădere) a valorii variabilei reziduale u, înseamnă că cele două variabile x şi u sunt corelate şi nu independente. Fig. Corelare pozitiva Corelare negativa b)procedeul dispersiilor variabile 6 Fig.
I3 Valorile variabilei reziduale u sunt necorelate, respectiv nu există fenomenul de autocorelare a erorilor. Cov(ut, uk) = M(ut, uk) = 0 ( )t, k =, n, t k Depistarea autocorelării valorilor variabilei ut se poate face prin mai multe procedee : 7
Această valoare empirică d, se compară cu două valori teoretice, d şi d, preluate din tabelul distribuţiei Durbin-Watson, în funcţie de pragul de α, de numărul de variabile exogene k şi de numărul n al valorilor observate (n 5 ). semnificaţie stabilit I4 Legea de probabilitate a variabilei reziduale ut este legea normală, de medie nulă şi abatere medie pătratică σ u, ut N(0, σ u ). Se ştie că dacă erorile urmează o lege normală de medie zero şi abatere medie pătratică suˆ consecinţă a ipotezelor I, I şi I3, atunci are loc relaţia : P ( uˆ t tα su ) = - α Pe baza acestei relaţii, în funcţie de diferite praguri de semnificaţie α din tabela distribuţiei normale sau a distribuţiei Student se vor prelua valorile corespunzătoare lui tα. 8
3.. Verificarea semnificaţiei estimatorilor parametrilor modelului econometric Dacă cele patru ipoteze pot fi acceptate, şi deci, estimatorii obţinuţi sunt nedeplasaţi, convergenţi şi eficienţi. Cei doi estimatori obţinuţi a şi b sunt variabile aleatoare repartizate normal, unde : s aˆ = sbˆ = su + n = abaterea medie pătratică a estimatorului a ( xt x ) x s u ( xt x ) = abaterea medie pătratică a estimatorului b s = (uˆt ) = n u ( yt yt ) n Verificarea estimatorilor a şi = dispersia variabilei reziduale b 9
Estimatorii a şi b fiind variabile normale, se va aplica testul t. Prin centrarea şi normarea estimatorilor a şi b se obţin valorile calculate : t cal = aˆ bˆ şi t cal =. Aceste valori calculate se compară cu valoarea teoretică : s aˆ sbˆ tα = variabila normală, dacă t=, n, n n>30, preluată din tabele distribuţiei normale, în funcţie de valoarea p, sau a pragului de semnificaţie α, p+α=. - tα; n-k+ = variabilă Student, dacă t =,n şi n 30, preluată din tabela Student, în funcţie de valoare stabilită pentru α şi de numărul de grade de libertate n-k+; n= numărul observaţiilor; k= numărul variabilelor exogene xj j=, k ( k+ = numărul parametrilor modelului). 0
3..3 Verificarea similitudinii modelului econometric Modelul econometric yˆ t = aˆ + bˆxt, este expresia formală a modelului economic real, y t = a + bxt + u t, conceput de teoriei economice. Modelul econometric este obţinut pe baza unui singur sondaj statistic. Va trebui urmărit să verificăm dacă : - dacă variabila x este principalul factor de influenţă a fenomenului y, aşa cum am făcut ipoteza; - dacă legitatea dintre cele două variabile este de forma : y t = a + bxt + u t ; - dacă rezultatele obţinute pot fi sistemice, adică dacă se vor obţine rezultate diferite pentru sondaje diferite. a Metoda analizei variaţiei
În general, scopurile urmărite în această etapă se rezolvă cu ajutorul Metodei analizei variaţiei, cunoscută şi sub denumirea de metoda ANOVA. Metoda analizei variaţiei porneşte de la ecuaţia : şi se ajunge la ecuaţia analizei variaţiei : Vu V0 = Vx + unde : n V0 = ( y t y ) = variaţia totală a variabilei y provocată de toţi factorii t= săi de influenţă ; Vx = n t= ( yˆ t y ) = variaţia fenomenului y provocată numai de variaţia factorului x, considerat factorul principal al variaţiei y, adică variaţia lui y explicată de modelul econometric; Vu = n t= ( y t yˆ t ) = variaţia reziduală, sau variaţia fenomenului y generată de factorii nespecificaţi în model, aceşti factori fiind consideraţi în etapa de specificare drept factori cu influenţă întâmplătoare, neesenţiali pentru a explica variaţia fenomenului y. De regulă, rezultatele aplicării metodei ANOVA se prezintă într-un tabel de forma : a Testarea semnificaţiei dintre două dispersii : testul F"
a3 Testarea semnificaţiei modelului a3.: Coeficientul de determinare Coeficientul de determinare se calculează astfel : R y / x = următoarele semnificaţii : 3 V x, el are V0
Pe baza acestor informaţii se deduce uşor că un modele econometric este cu atât mai performant cu cât valoarea lui R y / x se apropie mai mult de unu, respectiv cu cât se apropie mai mult de 00%. c3. Raportul de corelaţie ajutorul OBS. În cazul unei legăturii liniare, estimatorii parametrilor sunt obţinuţi cu MCMMP, raportul de corelaţie Ry/x este egal cu coeficientul de corelaţie ry/x. c4: Testarea semnificaţiei modelului econometric : testul F Astfel : 4
dacă Fcal n k R = Fα ;ν = k ;ν = n k, atunci Ry/x = 0 k R se renunţă la modelul econometric; dacă Fcal = n k R > Fα ;ν = k ;ν = n k k R, atunci Ry/x 0 se acceptă modelul econometric şi se trece la discuţia econometrică a ecuaţiei analizei variaţiei : V0 = V x + Vu.. UTILIZAREA MODELULUI ECONOMETRIC UNIFACTORIAL PENTRU PROGNOZE Pentru putea verifica performanţele unui model econometric obţinut, acesta trebuie prezentat cu următoarele informaţii : yˆ t = aˆ + bˆx t ( s aˆ ) ( sbˆ ) R d s uˆ Dispunând de aceste informaţii putem testa : independenţa erorilor testul d Durbin-Watson; semnificaţia estimatorilor testul t ; similitudinea (veridicitatea ) modelului testul F. 4. În cazul seriilor statistice teritoriale 5
4. Tipuri de prognoze estimărilor punctuale ale prognozei : yˆ = aˆ + bˆt dacă modelul econometric este : yˆ = aˆ + bˆt +ut, atunci prognoza se face pe baza unui interval de încredere de forma : P( yˆt tα s yˆ t yt yˆt + tα s yˆ t ) = p = α dacă modelul econometric este : yˆ t = aˆ + bˆxt + ut şi dacă pentru prognoza fenomenului y se cunosc valorile variabilei x la momentul (n+v) prognoza se realizează tot pe baza unui interval de încredere : P ( yˆ n + v tα s yˆ n+ v yn + v yˆ n + v + tα s yˆ n+ v ) = p = α unde : y n + v = valoarea reală a variabilei y în momentul de prognoză (n+v); yˆ n+ v = estimarea punctuală a valorii de prognoză pentru variabila y, care se calculează cu ajutorul relaţiei : s yˆ n+ ν = cu relaţia yˆ n+ v = aˆ + bxn+ v abaterea medie pătratică a erorii de previziune, calculată : 6
4.3 Eroarea de previziune ea = y n+ v yˆ n+ v = tα s yˆ n+ v = eroarea absolută ; tα s yˆ v+ v ea er = 00 = 00 yˆ n + v yˆ n + v = eroarea relativă. Dacă p rezultă că siguranţa prognozei creşte, iar dacă pragul de semnificaţia α creşte atunci precizia prognozei se diminuează. Se poate preciza că prognozele sunt acceptate cu o probabilitate dată de p = 0,95, aceasta α = 0,05 iar eroarea de prognoză er = 5%. MODELE DETERMINISTE DE PROGNOZĂ Majoritatea seriilor de timp, cu conţinut economic, posedă o tendinţă de lungă durată, peste care se suprapun celelalte componente. Pentru determinarea intuitivă a tendinţei, analiza începe prin reprezentarea grafică a seriei de timp, metodă prin care se aproximează trendul acesteia. 7
. Funcţia liniară (dreapta de regresie) Variabila independentă este timpul yt yt b>0 t b<0 t yt Fie seria de timp X= {x, x,,xn ; n=,,,n}. Dacă în urma t Reprezentării grafice, valorileb=0 seriei reprezentate în sistemul cartezian urmează aproximativ o dreaptă ca în fig. Atunci funcţia liniară va avea forma : Yt = a + b t. Parametrii a şi b se calculează prin M.C.M.M.P. prin minimizarea funcţiei: min F(a,b) = min[ y t ( a + bt ) ] Prin minimizarea funcţiei de mai sus, care are două variabile a şi b, se obţine sistemul de ecuaţii normale: na + b t = b t + b t = yt ty t unde: n reprezintă numărul termenilor seriei. Prin rezolvarea sistemului aflăm parametri a şi b, cu ajutorul lor putem scrie modelul matematic de evoluţie liniară a fenomenului studiat :Yt = a + b t. Variabila independentă : variabila x Avem două serii de date : {Xi} şi {Yi}, i=,,n pe care reprezentăm grafic 8
Fig. Funcţia liniară Dacă între cele două serii de date există o legătură liniară de forma fig. atunci ecuaţia liniară va fi de forma : Yi = a + b x Parametrii a şi b se află tot prin M.C.M.M.P., şi anume minimizăm funcţia: min F(a,b) = min[ y t ( a + bx ) ] După efectuarea derivatelor parţiale în funcţie de aşi b, obţinem sistemul de ecuaţii normale : na + b xi = yi a xi + b x = xi y i APLICAŢIA La o fabrică care produce articole din masă plastică, în perioada 004 008, s-a înregistrat următoarea serie de date (tabelul ), cu privire la valoarea producţiei acesteia. : Tabelul. Anii t Valoarea Producţiei (Q) 004 8 -mii.lei - 005 56 006 3 60 007 4 40 008 5 48 Să se prognozeze cu ajutorul funcţiei liniare, valoare producţiei pentru anul următor.. Rezolvare. Pe baza sistemului de ecuaţii normale na + b t = b t + b t = yt ty t se construieşte tabelul : 9
Tabelul Anul t 3 4 5 5 yt t t yt Yt 3 4 5 8 56 60 40 48.3 4 9 6 5 55 8 5 780 960.40 3.70 4 44 46 49 5.3. Se scrie sistemul de ecuaţii pe baza tabelului. 5a + 5 b = 3 5 a + 55 b = 3.70 Prin rezolvarea acestui sistem se determină parametrii : a = 39, şi b =,4. 4.Am obţinut modelul funcţiei liniare de prognoză : Yt = 39, +,4 t Rezultatele calculelor vor fi prezentate în tabelul, coloana 5. Reamintim că trebuie să urmărim respectarea egalităţii: Σyt = ΣYt.. Prin reprezentarea grafică a celor două serii de timp vom obţine un graficul din figura Evolutia valorii productiei 70 60 60 56 50 40 4 30 8 5 48 49 46 44 40 0 0 3 Fig.. Funcţia liniară APLICAŢIA 30 4 5
Avem două serii : X reprezentând cheltuieli cu publicitatea şi Y reprezentând cifra de afaceri. Aceste serii de date în ultimii şase trimestre au avut valorile : X={4, 6, 3, 5, 8, 7}şi Y={30, 45, 5, 30, 50, 45} Se cere prognoza lui Y pentru trimestrul următor, cunoscând că se vor face cheltuieli cu publicitatea de um. Rezolvare y 60 50 40 Series 30 0 0 x 0 0 5 0 Din reprezentarea grafică rezultă că putem folosi funcţia liniară : Y= a+ bx Pentru a calcula parametrii aşi b folosim sistemul de ecuaţii normale : na + b xt = y t a xt + b xt = xt y t Construim tabelul : xt x yt xtyt 4 6 3 5 8 7 30 45 5 30 50 45 6 36 9 5 64 49 0 70 75 50 400 35 33 5 99,330 Obţinem sistemul : 6a + 33b = 5 33a + 99b = 330 De unde a = 8,43 şi b= 5,9 Deci modelul ecuaţiei liniare este Y = 8,43 + 5,9 x. Elaborarea prognozei 3
Dacă pentru variabila factorială x se prognozează valoarea x= atunci cifra de afaceri va avea valoarea prognozată de 65 u.m. Y = 8,43 + 5,9 = 67 u.m.. FUNCŢIA PARABOLĂ Variabila independentă este timpul Se foloseşte pentru ajustarea unei seriei de timp care în urma reprezentării grafice în planul cartezian are o evoluţie de forma unei parabole. Funcţia parabolă este descrisă de ecuaţia : Yt = a + bt + ct. Estimarea parametrilor a, b, c se face prin metoda M.C.M.M.P. minimizând expresia: yt t n min Yt a + bt + ct t= ( ) În urma efectuării derivatelor parţiale în raport cu parametrii a, b şi c se obţine următorul sistemul de ecuaţii normale: na + b t + c t = a t + b t + c t 3 = a t + b t 3 + c t 4 yt ty = t t yt Prin rezolvarea sistemului obţinem valorile parametrilor care vor fi trecute în modelul matematic de previziune a fenomenului utilizat. Exemplu: dacă a = ; b = 3 şi c =,5 atunci modelul de ajustare a trendului va fi: Yt = + 3t +,5t. Într-o formă generală trendul seriei poate fi aproximat prin modelul funcţiei polinomiale: Yt = n a i ti. i= Notă.. Modelul matematic este cu atât mai avantajos cu cât este mai simplu, altfel spus, cu cât are mai puţini parametrii cu atât este mai eficient şi uşor de aplicat.. Dintre funcţiile polinomiale se folosesc cel mai des funcţiile liniare, polinomiale şi foarte rar cele cu gradul mai mari decât 3. Variabila independentă este X 3
Parcurgând aceleaşi etape ca mai sus, se ajunge la următorul sistem de ecuaţii normale : na + b x + c x = y 3 a x + x + x = xy a x + b x3 + x4 = x y APLICAŢIE Să se ajusteze şi prognozeze cu ajutorul funcţiei parabolă, seria de date prezentată în tabelul.. Rezolvare. Pe baza sistemului de ecuaţii normale se construieşte tabelul 3 t - - 0 Total yt t 3 8 56 60 40 48.3 t4 4 4 0 4 0 6 0 6 34 Tabelul 3 Yt t yt t y 5 6 7 9 56 0 40 99.400 3 49 56 53 4.3-456 -56 0 40 496 4 Se scrie sistemul concret de ecuaţii pe baza tabelului 3, col. la col.4 5a + 0 c =.3 0 b = 9 0 a + 34 c =.400 Prin rezolvarea acestui sistem se determină parametrii a = 55,54, b =,4 şi c=-4,57 Se calculează valorile ajustate şi prognoza fenomenului analizat cu ajutorul modelului: Yt = 55,54 +,4 t - 4,57 t. Rezultatele calculelor vor fi prezentate în tabelul 3, coloana 7. Menţionăm că trebuie respectată egalitatea : Σyt= ΣYt.. Prin reprezentarea grafică a celor două serii de timp vom obţine un graficul din figura.4 33
70 60 60 56 50 48 Serie primară Trend 40 40 30 8 0 0 3 4 5 Fig. 4 Parabola FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ Alegerea funcţiei exponenţiale pentru ajustarea unei serii de timp se face pornind de la considerentul că termenii seriei sunt dispuşi în planul cartezian după o curbă exponenţială. Funcţia exponenţială este de forma:. y t = ab Fie seria de timp y t, t =, n, pe care o reprezentăm grafic astfel : t { } Pentru calcularea parametrilor a şi b se foloseşte metoda M.C.M.M.P: yn y 3 4 5 (y n t= t t ab 34 t ) min
Deoarece funcţia y t = ab t este neliniară, pentru calcularea parametrilor a şi b se va face liniarizarea acestei ecuaţii prin logaritmare, astfel: ln yt = ln Yt = ln a + t ln b gt = Gt = A + t B În urma acestor notaţii sistemul de ecuaţii normale va fi : n A + B Σt = Σgt = Σln yt A Σt + B Σt = Σ t gt = Σt ln yt APLICAŢIE Să se ajusteze cu ajutorul funcţiei exponenţiale, seria de date prezentată în tabelul şi apoi, pe baza modelului găsit să se prognozeze producţia pentru anul următor. Rezolvare.Pe baza sistemului de ecuaţii normale se construieşte tabelul 6. Tabelul.6 yt gt= ln yt t t t* ln yt Gt Yt 8 5,49 56 5,545 60 5,56 40 5,48 48 5,53 3 7,59 3 - - 0 0 4 5 6 7 4,0-0,859 5,99 4,0-5,545 4,40 44 0,0 0,000 5,506 46,0 5,48 5,609 49 4,0,07 5,73 5 0,0 0,04 7,59 3.Se scrie sistemul concret de ecuaţii pe baza tabelului 4 col. la col.4 5 A + 0 B = 7,58 A = 5,5 0 A + 0 B = 0, B = 0,0 Modelul de ajustare liniarizat va fi: Gt = 5,5 +0,0 t Folosind notaţiile: A = ln a a = EXP(A) a = EXP(5,5) = 46,3 B = ln b b = EXP(B) b = EXP(0,0) =,0 Rezultă că putem scrie funcţia exponenţială : Yt = a bt = 46,0t 35
Primul termen al seriei ajustate se calculează astfel: 4 = 46 EXP(- LN(,0)), iar prognoza pentru anul următor : Y5+ = 46,03 = 37 Rezultatele calculelor sunt prezentate în tabelul.6, coloana 7. Prin reprezentarea grafică a celor două serii de timp vom obţine un graficul din figura 330 30 35 30 30 300 90 80 30 34 30 3 308 305 300 Serie primară 85 Trend 70 60 3 4 5 Fig.. FUNCŢIA LOGISTICĂ Utilizarea ajustării unei serii de timp printr-o funcţie logistică este una dintre cele mai realiste metode folosite pentru ajustarea unui fenomen economic. Funcţia logistică reprezintă la începutul intervalului o creştere accentuată, urmată de o perioadă de încetinire a creşterii până la atingerea unui prag de saturaţie care nu poate fi depăşit. yt Prag de saturaţie t Funcţia logistică este descrisă de ecuaţia : f(t) = Yt = c sau + e a bt 36 f(t) = Yt = c, + ae bt
unde c reprezintă pragul de saturaţie. În cadrul unui fenomen economic care evoluează după o curbă logistică, dacă t aparţine intervalului [0, c/] viteza de evoluţie a fenomenului analizat este crescătoare, iar pentru t aparţinând intervalului [c/, ] viteza de evoluţie este descrescătoare, determinând apariţia saturaţiei. Punctul de inflexiune are coordonatele (ln a/b, c/). Calcul parametrilor pentru funcţia logistică se face, în principal, prin două metode: a. Metoda punctelor alese Se aleg trei momente pe axa timpului, astfel încât t se va afla la începutul seriei; t la mijlocul seriei, iar t3 se află spre sfârşitul seriei astfel încât să fie echidistanţi. Se aleg apoi valorile din seria de date corespunzătoare celor trei momente. Parametrii a, b şi c se vor calcula cu relaţiile : c= c y y y y 3 y ( y + y ) a = log ; ; y y y 3 y y ( c y ) b = log n y ( c y ) Pentru ca ajustarea să fie de calitate este necesar ca seria de date analizată să aibă un număr mare de termeni. b. Metoda liniarizării Această metodă se aplică atunci când se cunoaşte pragul de saturaţie : c = c *, iar funcţia logistică este de forma: Yt = c* + ae bt În acest caz seria de timpe se reprezintă grafic sub forma următoare: yt c* t Această funcţie evident este neliniară. Pentru aflarea parametrilor se procedează la liniarizarea funcţiei prin logaritmare: Yt = Scriem ecuaţia sub forma: logaritmăm această ecuaţie c*. + ae bt c* = + ae bt, rezultă că: Yt c* = ae bt ; Yt c* ln = ln a b t, apoi facem notaţiile : Yt 37
Gt A În urma acestor notaţii se obţine o ecuaţie de forma: Gt = A b t adică un model liniar pe care ştim să îl rezolvăm. APLICAŢIE Vânzările unei firme specializată în desfacerea produselor electronice, în primele 0 luni de funcţionare sunt prezentate în tabelul. Se cere să se ajusteze seria de timp pe baza funcţiei logistice şi să se previzioneze vânzările pentru următoarele două luni. Tabelul. Luna 3 4 5 6 7 8 9 0 - mii.lei - Vânzări yt 0 8 85 68 80 85 9 94 96 97 Puncte alese X X X3 Rezolvare În urma reprezentării grafice a seriei de timp obţinem graficul din figura.6 350 300 50 00 Date prim are 50 Trend 00 50 9 7 5 3 0 Fig..6 Funcţia logistică Considerăm că seria de timp urmează o funcţie logistică de forma: yt = f (t ) = Yt = c + ae bt Estimarea parametrilor a, b, c se va face prin metoda punctelor alese. Conform acestei metode alegem următoarele valori ale seriei corespunzătoare celor trei momente : x = 0 începutul seriei ( t); x = 80 centrul seriei (t); x3 = 96 către sfârşitul seriei (t3). 38
Formulele de calcul ale celor trei parametrii sun următoarele : c= c x x x x3 x ( x + x3 ) ; a = ln ; x x x3 x b= x (c x ) ln n x x ) În urma efectuării calculelor am obţinut valorile : c = 96,7; a =,47; b = 0,3 Rezultă că funcţia logistică este : Yt = 96,7. +,47 e 0,3 t Rezultatele calculelor vor fi trecute în tabelul.8. Tabelul 8 Luna 3 4 5 6 7 8 9 0 Prognoza Prognoza t 0 3 4 5 6 7 8 9 0 yt 0 8 85 68 80 85 9 94 96 97 - EXP(-0,3*t) 0,73 0,53 0,38 0,8 0,0 0,5 0, 0,08 0,06 0,04 0,03 Yt 0,00 43,43 67,0 89,84 0,65 8,86 44,7 56,64 66,5 74,6 80,00 84,39 UTILIZAREA COEFICIENTUL DE ELASTICITATE PENTRU PREVIZIUNE. FUNCŢIA DE PRODUCŢIE.. Coeficientul de elasticitate Forma cea mai utilizată a coeficientului de elasticitate cererii este : Calculul elasticităţii cererii in raport cu factorul x presupune ca toţi ceilalţi factori neincluşi in calcul să prezinte o evoluţie normală, eventual să rămână la acelaşi nivel neperturbând semnificativ influenţa exercitată de factorul x. Coeficientul de elasticitate poate fi utilizat pentru obţinerea de previziuni pe termen scurt. Astfel, in relaţia de mai sus în situaţia în care nivelul viitor al factorului (x ) este cunoscut iar coeficientul de elasticitate se va menţine neschimbat, singura necunoscută rămâne nivelul viitor al cererii (C ). 39
APLICAŢIE Se cunoaşte evoluţia vânzărilor pentru produsul A, pe trimestrele I,II,şi III. Modificarea preţului precum şi evoluţia venitului mediu sunt prezentate mai jos : Trim. II Trim. III C-cantităţi vândute (mii buc.) 5 40 P preţul produsului 500 500 V- venitul mediu 7000 9000 Să se prognozeze cererea pentru trimestrul IV în ipoteza că venitul va fi de 0.000 um. Rezolvare - Calculăm pentru trimestrul III : EC/V EC / V = 40 5 9000 7000 : =, 5 7000 La o creştere de % a venitului îi corespunde o creştere a cererii de,%, deci cererea este elastică în raport cu venitul. - presupunem că EC/V va rămâne constant, - calculăm prognoza pentru necunoscuta C =Ctrim IV C trimiv =, 0000 7000 5 + 5 = 47,5 um. 7000 A. Calculul analitic al coeficientului de elasticitate Formula analitică de calcul a coeficientului de elasticitate : 40
în această relaţie putem introduce valorile medii pentru x şi pentru y, obţinem Un demers similar conduce la obţinerea elasticităţii unor funcţii frecvent utilizate în studiul cererii : - funcţia semilogaritmică y = a0 + b log x + u E = 0,4 b y funcţia exponenţială de elasticitate constantă y = ax b E=b - funcţia parabolei y = a + bx + cx + u - E = (b + cx) x. y. Funcţia de producţie Pentru determinarea corelaţiei dintre rezultatul unei activităţi economice, de exemplu PIB =(y) şi factorii si principali de producţie : capitalul (K) şi forţa de muncă (L) îl reprezintă funcţia de producţie de tip Cobb Douglas, scrisă sub forma: y = A Kα Lβ, în care: α şi β = coeficienţi de elasticitate; A = factor de proporţionalitate, constant. Această funcţie de producţie neliniară poate fi liniarizată prin logaritmare şi soluţionată pentru necunoscutele A, α şi β dacă se cunosc seriile de date statistice pe o perioadă de 5 ani, pentru variabilele y, K şi L. Coeficienţii A, K şi L se pot determina prin M.C.M.M.P.- metoda celor mai mici pătrate pe baza liniarizării prin logaritmare : log y = log A + log K + log L OBS :Când α + β =, avem o funcţie de tip Cobb-Douglas homotetică. Coeficienţii α şi β ne arată contribuţia factorilor de producţie, capital şi respectiv muncă, la realizarea producţiei. Dacă se explicitează coeficientul constant A, atunci va rezulta: A= y K Lβ α Această relaţie are forma clasică a unui indicator de eficienţă care raportează efectele (y) la cheltuieli cu capitalul (K) şi munca (L). Coeficientul A mai poartă şi denumirea de coeficient al eficienţei integrale, întrucât raportează efectul la mai mulţi factori principali de influenţă. 4
O formă mai extinsă a funcţiei Cobb-Douglas se poate obţine atunci când, în loc de doi factori de influenţă, vom lua un număr n de factori F,, F,... Fn. Astfel, vom avea: y = AF x F x x Fn Din această relaţie, se pot deduce mărimile coeficientului eficienţei integrale care, de ceastă dată, are un fundament mai extins al integralităţii sale, fiind luai în considerare n factori de influenţă. AJUSTAREA ŞI PROGNOZAREA CU FUNCŢII 4
MICROSOFT EXCEL Funcţia TREND Syntax TREND(known_y's, known_x's, new_x's, const) known_y's known_x's new_x's const setul valorilor variabilei DEPENDENTE Y setul valorilor variabilei INDEPENDENTE X este valoarea cunoscută a lui X pentru care dorim prognoza este o constantă logică - dacă estetrue sau omisă, atunci b se calculează normal - dacă este FALSE atunci b=0 ŞI y=mx 43
Se cunosc valorile celor două serii de date X= cheltuieli cu publicitatea şi Y = Volumul desfacerilor pe lunile ian-sept. Se cerea să se prognozeze volumul desfacerilor dacă se va face cheluiieli cu publicitatea în lunile următoare de,750 şi respectiv,900 B C Nr.crt 6 7 8 9 30 3 3 33 34 35 36 3 4 5 6 7 8 9 0 Luna Ian. Feb Mar Apr Mai Iun Iul Aug Sept Oct Nov D E Cheltuieli cu Volum publicitatea desfacere,50 3,750,30 5,480,0,0,375 6,940,4 7,90,400 7,00,530 9,87,60 30,00,690 3,540,750,900 F Rezolvare. Reprezentăm grafic seria de date şi adăugăm trendul Rezolvare Să se prognozeze desfacerile pentru lunile octombrie şi noiembrie, prognoza se face cu funcţia TREND 44
3. Prognoza Octombrie Noiembrie 33,03 35,886 BIBLIOGRAFIE. Eugen Ştefan Pecican, Econometrie, Editura All, 994. Ioan Deac, Previziunea economică, Editura Star Soft, Alba Iulia. 00, 45
3. Tudorel Andrei, Econometrie, Editura Economică, 008 4. Ioan Deac, Introducere în econometrie- Note de curs, Biblioteca FFB Blaj, 009 46