5 Numere zecimale Observaţi tabelul. Noţiunea de număr zecimal. Ce este un număr zecimal Cercet=m [i descoperim Temperatura normală ( C) 6,6 8 8, 4,5 Numărul 8 este natural. Dar numerele 6,6; 8,; 4,5? Pentru a răspunde la întrebare, vom cerceta următorul exemplu. Exprimaţi 6 m 7 mm în metri. Rezolvare: mm = m, 00 (0 00 00 mm = m = 00 ( 70 70 mm = m = 00 7 0 m, m. 6 m 7 mm = 6 m + 00 mm + 70 mm + mm = 7 = 6 m + m + m + m. 0 00 Suma obţinută poate fi scrisă astfel: 6,7. Citim: 6 întregi şi 7 de miimi. 7 Astfel, 6 m 7 mm = 6 m = 6,7 m. 00 Numărul 6,7 este un număr zecimal. m = 00 mm Numerele 6,6; 8,; 4,5 de asemenea sînt numere zecimale. o zecime 0 o sutime 00 o miime etc.
. Scrierea şi citirea numerelor zecimale De la fracţii la numere zecimale. Observ=m [i complet=m Fracţia Numărul zecimal Citim : = 0, o zecime : = două zecimi :0 = 0 0,0 o sutime 4 4 :0 = 0 sutimi :00 = 00 0,00 o miime 9 :00 = miimi Scrieţi fracţia sub formă de număr zecimal: a) 45 5 = 4 = 4, 5 0 0 partea întreagă Re\ine\i! partea fracţionară Orice număr zecimal este format din două părţi, separate prin virgulă: partea întreagă, partea zecimală. partea întreagă 6, 6 partea întreagă partea zecimală partea zecimală b) 6 = =, partea întreagă partea întreagă partea fracţionară, 5 partea întreagă partea zecimală partea zecimală Cifrele părţii zecimale se numesc zecimale: prima cifră reprezintă cifra zecimilor; a doua cifra sutimilor; zecimi sutimi miimi zecimi de miimi a treia cifra miimilor; 5,6 a patra cifra zecimilor de miimi; a cincea cifra sutimilor de miimi ş.a.m.d. sute zeci unităţi zecimale Numărul 8,07 se citeşte opt întregi şi douăzeci şi şapte miimi sau opt virgulă zero douăzeci şi şapte.
Exers=m Reproduceţi şi completaţi tabelul după modelul prezentat în linia întîi. Citiţi numerele scrise în tabel. Numărul zecimal 0,5 67,08 04,5 4,7 78,5 Re\ine\i! a Fracţiile de forma, n ca numere zecimale. Scrieţi sub formă de număr zecimal fracţia: 5 a) ; Partea întreagă Partea zecimală Virgula zecimi mii sute zeci unităţi zecimi sutimi miimi de miimi 0, 5 4 0. Scrierea sub formă zecimală a fracţiilor de forma 7 b) ; 0 0 5 0 unde n este număr natural nenul, pot fi scrise În scrierea fracţiei de forma a, n n N, sub formă de număr zecimal, după virgulă se scriu atîtea zecimale cîte zerouri sînt la numitorul fracţiei. 45 7 = 4,5 0 = 0,7 = 0,00 00 zecimale 000 zecimale zerouri 4 zecimale zerouri 4 zerouri Observa\i 9 c). 000 sutimi de miimi Rezolvare: 5 5 a) = =,5 ; b) 7 = 0,07 ; 0 c) 9 = 0,009 000. un zero o zecimală zerouri zecimale zerouri zecimale,,, 7 0 9 8 4 5 a n, n N Am observat că fracţiile cu numitorul putere a numărului pot fi reprezentate uşor utilizînd virgula. Din aceste considerente, numerele scrise cu virgulă (adică numerele zecimale) se mai numesc fracţii zecimale.
Observ=m 0 4 5 6 7 8 9 Re\ine\i! 0 0, 0, 0, 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0 00 = = = =... =,0 =,00 =,000 =...; 0 00 0, = 0,0 = 0,00 = 0,000 =...; 6 = 6,0 = 6,00 = 6,000...0. Orice număr natural poate fi scris sub formă de număr zecimal 7 = 7,0. După ultima zecimală a numărului zecimal cu un număr finit de zecimale putem scrie oricîte zerouri dorim, =,...0... O unitate conţine zece zecimi =. = O zecime conţine zece sutimi. 0 O sutime conţine zece miimi = etc. 0 00 Exerciţii şi probleme. Care dintre următoarele numere sînt numere zecimale: 5 5 ; 7,5; ; 0,05; ; 5,; ; 0,0? 0 60 00. Selectaţi fracţiile de forma a n, unde n N : 7 8 7 85 ; ; ; ; ; 5 ;. 0 0 0 00. Citiţi şi scrieţi cu litere: a) 0,7; b) 0,9; c) 5,6; d) 7,; e),0; f) 5,07. 4. Completaţi astfel încît propoziţia obţinută să fie adevărată. Numărul zecimal 5,06 are: a) cifra unităţilor ; b) cifra zecimilor ; c) cifra miimilor ; d) cifra sutimilor ; e) cifra sutelor ; f) cifra zecilor. 4
5. Scrieţi cu cifre numărul: a) zero întregi şi opt zecimi; b) zero întregi şi nouă zecimi; c) 7 întregi şi sutimi; d) 5 întregi şi 4 sutimi; e) 65 întregi şi 5 miimi; f ) 4 întregi şi 46 miimi. 6. Copiaţi şi subliniaţi cu o linie partea întreagă şi cu două linii partea zecimală a numărului: a),7; b),9; c) 0,8; d) 0,7; e) 45,07; f ),0; g) 4,008. 7. Reproduceţi şi completaţi tabelul: a) b) Cifra Numărul zecimal,8 0,0 7, 0,0785 50,7 7,5 zecimilor sutimilor miimilor zecimilor de miimi Numărul zecimal,9 0,08,87 0,05 6, 5,0 Cifra zecimilor sutimilor miimilor zecimilor de miimi 8. Scrieţi cu virgulă numărul: a) 7; b) ; c) ; d) ; e) 5; f ) 6; g) 05. 9. Scrieţi ca număr zecimal fracţia: 8 8 77 5 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; Verificaţi rezultatul utilizînd calculatorul de buzunar. 70 f) ;. Scrieţi ca număr zecimal fracţia: 6 9 79 7 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; 0 0 0 0 0 540 5 4 05 g) ; h) ; i) ; j) ; k) ; 0 00 00 00 0 Verificaţi rezultatul utilizînd calculatorul de buzunar. 05 g). 79 f ) ; 0 05 l). 00. Cel mai înalt vîrf al planetei este vîrful Everest (Chomolungma) din Munţii Himalaya. El are înălţimea de 8,848 km. Cîţi metri are vîrful Everest? 5
. Cel mai înalt vîrf din Europa este vîrful Mont Blanc, din Munţii Alpi. El are înălţimea de 4,807 km. a) Cîţi metri are vîrful Mont Blanc? b) Cu cîţi metri este mai înalt vîrful Everest decît vîrful Mont Blanc?. Scrieţi sub formă de fracţie: a) 5 unităţi şi 4 de sutimi; b) 64 unităţi şi 6 sutimi; c) 4 unităţi şi miimi; d) 8 unităţi şi 8 miimi; e) 9 de sutimi; f) de sutimi; g) 784 de miimi; h) 8 de miimi; i) 98 de zecimi; j) 6 de zecimi. 4. Completaţi: a),6 = = ; b) 7, = = 7 ; c) 0,0 = ; 7 5 708 d) 0,07 = ; e),5 = ; f ) 7,08 = ; g),8 = ; h) 6,5 = ; i),05 =. 00 00 00 5. Substituiţi cu unul dintre semnele = sau : a),7,70; b) 7,50 7,05; c) 6,0 6,00; d) 9 9,00; e) 9,70 0,97; f) 7,0 07,; 0 g) 5 j) 0 0,; 70 h),50; 05 k) 0 6 0,7; i) 0 0,5; 70 l) 0 6. Scrieţi sub formă de număr zecimal, transformînd în metri: a) m 6 mm; b) m mm; c) 5 m cm; d) m 7 cm; e) mm; f) 8 mm; g) 78 cm; h) 4 cm. 7. Scrieţi sub formă de număr zecimal, transformînd în grame: a) 45 mg; b) 8 mg; c) 5 g 5 mg; d) 8 g 0 mg; e) 5 kg 5 g; f) kg g 5 mg. 8. Scrieţi ca număr zecimal fracţia: 5 a) ; b) ; c) ; 4 8 5 7 f) ; g) ; h) ; 0 5 5 9 d) ; 4 8 i) ; 60 ; 0,7. m = 0 cm cm = mm g = 00 mg 5 e) ; 0 j). 50
9. Transformaţi în lei şi bani conform modelului. 5 5 Model: 6,5 lei = 6 lei = 6 lei + lei = 6 lei 5 bani. 0 0 a),5 lei; b) 8,6 lei; c) 54,8 lei; d) 8,55 lei. 0. Desenaţi în caiet un pătrat similar cu cel din imagine şi coloraţi 5 porţiuni ale acestuia, fiecare reprezentînd: a) 0,0 din pătrat; b) 0, din pătrat; c) 0,07 din pătrat; d) 0, din pătrat; e) 0,5 din pătrat; f) 0,5 din pătrat.. Transformaţi în euro conform modelului. EUR = 0 cenţi Model: 5 EUR 5 cenţi = 5 = 5 EUR + 5 cenţi = 5 EUR + EUR = 0 5 5 = ( 5 + ) EUR = 5 EUR = 5,5 EUR. 0 0 cent = EUR 0 a) 7 EUR 5 cenţi; b) EUR 4 cenţi; c) 0 EUR 68 cenţi; d) 48 EUR 9 cenţi.. Scrieţi numărul zecimal sub formă de sumă. a) 5,7; b) 5,070; c) 5,008; d) 7,0075.. Scrieţi un număr zecimal: a) mai mare decît 7 şi mai mic decît 8; b) mai mare decît şi mai mic decît ; c) mai mare decît şi mai mic decît,5; d) mai mare decît 7,6 şi mai mic decît 8,. 75 Model:,75 = = 0 7 5 = + + = + 0,7 + 0,05. 0 4. Exprimaţi, scriind rezultatul sub formă de număr zecimal, în: a) kilograme: 5 kg mg; 70 g; 85 mg; b) metri: 5 km cm; 8 cm; 7 m 8 dm; c) litri: 7 l 9 dl; 8 l 6 dl; 8 ml. 7
Compararea numerelor zecimale. Compararea numerelor zecimale prin compararea cifrelor Cercet=m [i descoperim Mihai a procurat kg şi jumătate de mere şi kg 750 g de bomboane. Care dintre aceste cantităţi este mai mare? kg şi jumătate kg 750 g Re\ine\i! Pentru a compara două numere zecimale: Comparăm mai întîi întregii: a) dacă întregii nu sînt egali, atunci mai mare este numărul zecimal al cărui întreg este mai mare; b) dacă întregii sînt egali, atunci comparăm zecimile: a) dacă zecimile nu sînt egale, atunci mai mare este numărul zecimal a cărui zecime este mai mare; b) dacă zecimile sînt egale, atunci comparăm sutimile ş.a.m.d. Exers=m 5, < 5, 7 < 7 7,4 5 > 7,4 5 >. Compararea numerelor zecimale utilizînd reprezentarea lor pe axa numerelor A B. Cîte kilograme cîntăreşte marfa, dacă acul cîntarului indică punctul: a) A; b) B; c) C? În ce caz marfa cîntăreşte mai mult? Rezolvare: a) În cazul punctului A marfa cîntăreşte 0,4 kg. b) În cazul punctului B kg. c) În cazul punctului C kg.,5,75 Deci,,5,75. Comparaţi numerele zecimale: a) 7,5,5; b),80,8. Cercet=m [i descoperim 0 0,,7 >,5 > 0,0, 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 C kg 8
Observăm că 0,4 < <.. Să reprezentăm numerele zecimale 0,5;,8; 5, pe axa numerelor. A B C 0 4 5 6 Aşadar, A(0,5), B(,8), C(5,). Obţinem 0,5 <,8 < 5,, deoarece punctul B se află pe axă la dreapta punctului A, iar punctul C se află la dreapta punctului B. Concluzie: Din trei numere zecimale, mai mare este numărul reprezentat pe axă la dreapta celorlalte. Dar cum vom reprezenta pe axă numerele zecimale ce conţin sutimi, miimi etc.? De exemplu:,4 şi,05. Pentru a reprezenta numărul,4 pe axă, vom cerceta porţiuni ale axei numerelor folosind lupa: 0 4 5 6 Deci, D(,4). Exers=m,,,,4,5,6,7,8,9,4,4,4,4,44,45,46,47,48,49,5 Reprezentaţi numărul,05 pe axa numerelor folosind procedura aplicată anterior. Verificaţi, folosind rigla gradată, dacă numerele sînt ordonate corect crescător: 0,7;,8; 5,9; 6; 4,; 8,; 8; 7. Re\ine\i! D 0 4 5 6 7 8 9 Dintre numerele zecimale date, mai mare este numărul situat pe axă la dreapta celorlalte. 9
. Compararea numerelor zecimale prin reprezentarea lor sub formă de fracţie Cercet=m [i descoperim Comparaţi: a),6 şi,05; b) 5,75 şi 6,. Rezolvare: a) 6 6,6 = = ; 0 0 5 05,05 = =. 0 0 6 05 Dar >, deci,6 >,05. 0 0 Deja ştim cum se compară fracţiile cu acelaşi numitor. 75 b) 5,75 = 5 =. 0 6, = 6 = ) 6 = Dar >, deci >.. Exerciţii şi probleme. Comparaţi: a) cu 7; b) 5 cu 4; c), cu,7; d),5 cu,; e), cu,7; f),5 cu 4,; g) 0,6 cu 0,; h),7 cu,7; i) 6,5 cu 6,8; j) 5,07 cu 5,0.. Comparaţi: a) 6,5 5,5; b) 4,8,8; c) 7,9 7,; d) 6,07 6,05; e) 5,007 5,009; f) 5,89 4,89; g),0; h) 99,99 99,990; i),000,00; j) 5,0009 5,0.. Nicu a cumpărat un album de,5 lei, o carte de, lei şi un atlas de,5 lei. a) Care dintre aceste cumpărături este cea mai ieftină? Dar cea mai scumpă? b) Ordonaţi crescător preţurile cumpărăturilor. 4. Reprezentaţi pe axă numerele: a) 0,; b) 0,8; c),; d),7; e) 4,5; f) 6,8; g),4; h),5. 5. Scrieţi în ordine crescătoare numerele: a) ;,; 7,; 0,4; 6,; 7,;,; 0,40. b) 5;,; 8,5; 0,7; 9,9; 8,5; 5,0; 8,50.
6. Radu a scris în ordine descrescătoare numerele,0;,5; ; 7,8;,6; 7,5; 0,8; 0,80 astfel: a) 7,8; 7,5;,5;,6;,0; ; 0,8; 0,80. b) 7,5; 7,8;,6;,5; ;,0; 0,80; 0,8. Ajutaţi-l pe Radu să corecteze greşelile. 7. Ce semn trebuie să punem între numerele: a) 5 şi 6, pentru a obţine un număr mai mare decît 5, dar mai mic decît 6? b) şi, pentru a obţine un număr mai mare decît, dar mai mic decît? 8. Adevărat sau Fals? a),05 >,04; b) 6,07 > 6,09; c),6<,6; d),54 <,540; e) 0,5 >,5; f) 0,999 >,999; g) 6,00= 6,0; h) 6,00 = 6,0. 9. Scrieţi două numere zecimale cuprinse între numerele: a) şi 4; b) 8 şi 9; c) 7, şi 8; d) 6, şi 7; e), şi,4; f) 8,6 şi 8,7; g),5 şi,; h), şi,7.. Completaţi cu două numere naturale consecutive astfel încît să obţineţi o propoziţie adevărată: a) <, < ; b) < 7, < ; c) <,5 < ; d) < 8, < ; e) <,75 < ; f) <,8 <.. Comparaţi numerele zecimale reprezentîndu-le mai întîi sub formă de fracţii: a),7 şi,68; b),5 şi,54; c), şi 5,; d) 7, şi 6,; e) 4, şi 4,; f) 6, şi 6,0.. Care dintre numerele 4,08; 5,0; 7,56; 7,49;,;,; 9,0; 0,00;,7 este mai aproape pe axa numerelor de: a) 6; b) 7; c) ; d) 0.. Completaţi cu cifre astfel încît să obţineţi o propoziţie adevărată: a) 6, 5 < 6, 4 < 6,5 < 6,6 8; b) 9, 6 < 9, 5 < 9,4 < 9,7 8. 4. Alex a cumpărat,5 kg de mere şi,45 kg de portocale. Care dintre cele două cantităţi este mai mare? 5. La prima încercare Nicu a aruncat mingea la distanţa de,5 m, iar la încercarea a doua la, m. Care încercare a lui Nicu a fost mai reuşită?
6. Completaţi cu cifre astfel încît propoziţia obţinută să fie adevărată: a) 0, > 0,5; b) 4, < 4,7; c) 7,89 > 7, 9; d) 9,7 < 9,7; e) 7,79 < 7,7 5; f),69 > 9, 8. 7. Vrabia se ridică în zbor pînă la o înălţime de 5,5 km, porumbelul pînă la,7 km, iar unele specii de vulturi pînă la înălţimea de,5 km. Scrieţi păsările în ordinea crescătoare a înălţimii de zbor. 8. Reprezentaţi pe axa numerelor: a),6; b),; c) 4,08; d) 5,06; e) 7,80; f) 9,90. 9. Comparaţi numerele: a),75 ; b) 4,5 4 ; 4 4 c) 6,08 6 ; d) 7,07 7. 5 0. Radu afirmă că: a) 5,8 este mai mic decît 5,75, deoarece al doilea număr este format din mai multe cifre; b),57 este egal cu,57, deoarece ambele numere sînt formate din aceleaşi cifre scrise în aceeaşi ordine. Are dreptate Radu? Argumentaţi răspunsul.. Scrieţi un număr natural format din 4 cifre distincte. Folosind virgula şi încă un zero, formaţi din numărul iniţial numere zecimale. Cine a scris cele mai multe numere zecimale? Scrieţi numerele obţinute în ordine descrescătoare. Înălţimea (m) Masa (kg). Scrieţi prenumele copiilor în ordinea crescătoare: a) a înălţimii lor; b) a masei lor corporale. Elena Maria Dragoş Ion Rodica,5,4,4,67,56 4,6,8 45, 4,8 5. Completaţi cu numere astfel încît să obţineţi o propoziţie adevărată: a) 5,605 < < < < < 5,6; b) 0,00 < < < < < 0,004. 4. Folosind cifrele, 6,, 5, fără a le repeta, şi virgula, scrieţi cel mai mic şi cel mai mare numere zecimale formate cu toate aceste cifre.
Rotunjiri ale numerelor zecimale Cercet=m [i descoperim Tata a adus un pepene verde de 7,6 kg. Fiind întrebat cît cîntăreşte pepenele, el a răspuns: Aproximativ 8 kg. Are oare dreptate tata? Rezolvare: Pentru numărul zecimal 7,6 avem următoarea încadrare: 7 < 7,6 < 8 5 kg kg kg 5 kg kg Spunem că 7 este aproximarea prin lipsă cu o unitate a numărului zecimal 7,6. Spunem că 8 este aproximarea prin adaos cu o unitate a numărului zecimal 7,6. Aşadar, tata a aproximat prin adaos cu o unitate masa pepenelui verde. Deci, el are dreptate. Dacă nu contează valoarea exactă a unei mărimi, ea poate fi aproximată utilizînd rotunjiri prin lipsă sau prin adaos. Exers=m Reproduceţi şi completaţi tabelul după model: Numărul zecimal,756 0,805,48 0,004 74, 9,0 45,607,789 Valori aproximative prin lipsă cu: prin adaos cu: o unitate o zecime o sutime o unitate o zecime o sutime,7,75,8,76 0 0,8 0,80 0,9 0,8
Orice număr zecimal poate fi rotunjit. Analizaţi exemplele: a),4 rotunjirea la unităţi; b) 0,57 0, 6 rotunjirea la zecimi; c),8, 8 rotunjirea la sutimi; d) 68,74 70 rotunjirea la zeci. Ce aţi observat? Formulaţi regulile de rotunjire a numerelor zecimale. Re\ine\i! Semnul se citeşte aproximativ egal. Regulile de efectuare a rotunjirilor: ) dacă cifra din dreapta cifrei ce indică ordinul la care se efectuează rotunjirea este mai mare sau egală cu 5, atunci rotunjirea este aproximarea prin adaos a acestui număr; ) dacă cifra din dreapta cifrei ce indică ordinul la care se efectuează rotunjirea este mai mică decît 5, atunci rotunjirea este aproximarea prin lipsă a acestui număr. Exemple: 74,7 6 74,8;, 99 5 4; 7 8,5 80. 8, 8,; 0,78 0,78; 6,8 60. Exerciţii şi probleme. Rotunjiţi pînă la unităţi: a) 7,; b) 4,5; c),705; d),80; e) 6,; f) 0,45; g) 004,7; h) 005,8.. Rotunjiţi pînă la zecimi: a) 0,7; b) 0,84; c),54; d),67; e) 4,9; f) 4,8; g) 0,88; h) 0,77.. Rotunjiţi pînă la sutimi: a) 0,8; b) 0,74; c) 4,85; d) 5,7; e) 5,08; f) 4,049; g),99; h),998. 4. Rotunjiţi pînă la zeci: a) 0,; b) 4,; c) 65,7; d) 87,; e) 7,4; f) 8,; g) 04,9; h) 06,8. 4
5. Sergiu a cumpărat un album de 54,5 lei şi cîteva cărţi, pentru care a plătit 46,05 lei. Cîţi lei a cheltuit Sergiu aproximativ? 6. Între care două numere naturale consecutive se află pe axă numărul: a) 6,5; b) 5,4; c) 4,58; d) 7,6; e) 8,8; f) 7,9? 7. Reproduceţi şi completaţi tabelul: Numărul zecimal, 5,685 4,5 7,78 64,085 7,807 Aproximarea cu o unitate prin lipsă prin adaos Aproximarea cu o zecime Aproximarea cu o sutime prin lipsă prin adaos prin lipsă prin adaos 8. Construiţi un dreptunghi ABCD cu dimensiunile de 5,4 cm şi,8 cm. Măsuraţi, rotunjind pînă la zecimi, lungimile segmentelor AC şi BD. 9. Măsuraţi dimensiunile (lungimea, lăţimea, înălţimea) în centimetri ale manualului de matematică, rotunjind pînă la zecimi.. Care sînt coordonatele punctelor A, B, C, D? a) b) A B C D 6, 6, A B C D 5,5 5,6 ) Precizaţi aproximările prin lipsă şi prin adaos cu o unitate ale coordonatelor punctelor A, B, C, D. ) Precizaţi aproximările prin lipsă şi prin adaos cu o zecime ale coordonatelor punctelor A, B, C, D. 5
. Rotunjiţi pînă la: a) zeci: 78,5; 4,7; 475,0; 408,0; b) zecimi; 8,5; 6,708; 04,09; 55,999; c) sutimi:,78;,77; 68,8; 99,999. d) sute: 78,; 98,5; 6 998,; 005,6.. Danu trebuie să plătească pentru kg de cartofi,5 lei, pentru kg de ceapă 6,8 lei şi pentru,5 kg de castraveţi 4, lei. El are 40 lei. Determinaţi dacă această sumă este suficientă, rotunjind fiecare preţ pînă la unităţi şi adunînd rotunjirile obţinute.. Depistaţi greşelile: a) 7, 7,; b) 7,54 7,6; c),4,5; d),55,6; e) 8,098 8, ; f) 7,85 70; g) 85, 90; h) 005,66 005,67. 4. a) Scrieţi, rotunjind pînă la zecimi, prenumele copiilor din tabel în ordinea crescătoare a înălţimii, apoi în ordinea descrescătoare a masei lor corporale. b) Determinaţi care dintre copii este cel mai înalt şi care are cea mai mare masă corporală. Prenume Sergiu Maxim Alisia Amelia Dana Damian Înălţimea (m),,8,7,,,7 Masa (kg) 6,48 5,0 6,8 4,5 0,96 6,55 5. Scrieţi ca număr zecimal, rotunjind pînă la zecimi, numărul: 5 a) 5 ; b) 7 ; 4 8 c) 8 ; d) 77. 9 6. Schimbînd ordinea cifrelor numărului 5,7, scrieţi toate numerele posibile cu două zecimale. Rotunjiţi apoi toate numerele obţinute pînă la zecimi. 6
4 Adunarea şi scăderea numerelor zecimale. Adunarea numerelor zecimale Cercet=m [i descoperim Pentru a ajunge la şcoală, Radu parcurge traseul indicat în desen. Ce distanţă parcurge Radu de acasă pînă la şcoală? Rezolvare: km 50 m =,5 km, km 0 m =, km,,5 km +, km =? km. ) 5 5 5 Efectuăm:,5 +, = + = + = =,5. 0 0 0 0 Astfel,,5 km +, km =,5 km. Răspuns:,5 km. Observăm:,5 +, =,5 +, 0 =,5. Scriem altfel:, 5 +, 0, 5 km 50 m km 0 m Re\ine\i! Pentru a aduna două numere zecimale: scriem numerele unul sub altul astfel: partea întreagă sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi şi aşa mai departe; completăm partea zecimală cu zerouri, pentru ca ambele numere să aibă acelaşi număr de zecimale; efectuăm adunarea fără a ţine cont de virgulă; scriem virgula la rezultat sub virgulile termenilor (spunem că se coboară virgula ). Exemple: a),5 + 9,7 =?, 5 + 9, 7 0, 0 5 b) 0,54 + 6,0 =? 6, 0 0 + 0, 54 6, 84 7
Comparaţi: a),7 + (4,05 + 0,44) (,7 + 4,05) + 0,44. b),5 + 6, 4 6,4 +,5. c) 6,08 + 0 0 + 6,08. Ce aţi observat? Proprietăţi ale adunării numerelor zecimale Exemple: comutativitatea: a + b = b + a; asociativitatea: ( a + b) + c = a + ( b + c); 0 este element neutru: 0 + a = a + 0 = a. Observaţi cum a fost descompus numărul,54. 0 5 4,54 = + + 0, + 0,05 + 0, 004 = + + + + = 0 00 0 5 4 = + + + +. Re\ine\i! Scrierea 0 5 4 + + + + este descompunerea zecimală a numărului,54.. Scăderea numerelor zecimale Cercet=m [i descoperim Pentru a confecţiona o rochiţă pentru păpuşa sa, Dana a procurat,45 m de panglică. Ea a folosit o bucată din panglică cu lungimea de, m. Ce lungime are panglica rămasă? Rezolvare: 45,45, = 0 Răspuns:,5 m. Exemple: ) 45 45 5 = = = =,5. 0 0 0 0 a) 6,5 4,8 =? b) 5,40 0, =? 6, 5 0 4, 8, Verificare:, + 4, 8 6, 50 5, 40 0, 0 5, 7 0, + 6, = 6, + 0,; (, +,) + 0,8 =, + (, + 0,8); 8, + 0 = 0 + 8, = 8,. Verificare: 5, 7 + 0, 5, 40 Răspuns: 6,5 4,8 =,. Răspuns: 5,40 0, = 5,7. Scriem:, 4 5, 0, 5 8
Re\ine\i! Pentru a scădea două numere zecimale: scriem numerele unul sub altul astfel: partea întreagă sub partea întreagă, virgula sub virgulă, zecimile sub zecimi, sutimile sub sutimi şi aşa mai departe; completăm partea zecimală cu zerouri, pentru ca ambele numere să aibă acelaşi număr de zecimale; efectuăm scăderea fără a ţine cont de virgulă; coborîm virgula la rezultat. Exemplu:, 5 0 6, 0 8 6, 4 Exerciţii şi probleme. Calculaţi: a),5 +,5; b) 7,+ 5,09; c) 6,08 +, ; d) 7,9 +,7 ; e) 0,5 +,4 ; f) 0,7 + 44,7; g) + 7,8; h) + 8,; i) 6,5 + 0,8.. Pentru a confecţiona un palton, s-au folosit 4,5 m de stofă, iar pentru a confecţiona un costum,8 m de stofă. Cîtă stofă s-a folosit în total?. De pe un lot s-au colectat 4,5 t de grîu, iar de pe altul cu 8,08 t mai mult. Cîte tone de grîu s-au colectat în total de pe ambele loturi? 4. Calculaţi: a) 6,5,4; b) 8,6 6,; c),8 0,7; d) 4,7 0,5; e),4; f) 5,8; g) 6,99 8,5; h) 45,888 7,08. 5. Două tractoare arau pămîntul. Primul tractor a arat 8,4 ha. Cîte hectare de pămînt au arat în total ambele tractoare, dacă primul a arat cu,7 ha mai puţin decît al doilea? 6. Calculaţi cît mai simplu, aplicînd asociativitatea adunării: a) 6, + (0,8 +,7 ); b) 5,8 + (0, + 6,5); c) 4, + ( 5, 7+ 7, 9); d) ( 7, 94 + 6, 8) +, 8; e) ( 7,88 +,5) 5,88; f) ( 7,85 + 8,68) 4,68. 7. Scrieţi descompunerea numărului zecimal. Model: 5,8 = 0 + 5 + 0, + 0,08 + 0,00. a) 0,4; b),; c),8; d) 74,; e) 8,0; f) 65,0; g) 04,5; h) 9,9999. 8. Un pepene verde costă 5,4 lei şi încă cît o jumătate de pepene verde. Cît costă pepenele verde? 9. Laturile unui triunghi sînt de 6,5 cm,, cm şi 8,4 cm. Aflaţi perimetrul triunghiului. 9
. Ştiind că 645 4,8 = 0,, determinaţi fără a calcula: a) 0, + 4,8 ; b) 645 0,.. Completaţi cu un număr astfel încît să obţineţi o propoziţie adevărată: a) 5,4 + = 84,75; b) 8,08 + = 99,99; c) 68,05 = 54,0; d) 8,4 = 98,6; e) 54,6 + 5, 008 = ; f) 708,08 + 5, =.. Calculaţi: a) 48,5 + 68,0 + 54,004; b) 64, + 5,4 + 68,; c) 0,008 +,9 + 405,0; d) 0, + 68,077 + 7408,09.. Reconstituiţi:, 6, 7 5 7, 5 6,, 9, 9 5 4. Scrieţi numărul omis: a) 7,6,5,8 8, 5,7? 8,,7,8 7,4 b) 4,4 5,4 8, 5,6,8? 6,08 7,5 5, 8,6 5. Cine calculează mai repede?? +5,,+ 8, 7,9 +,9 8,9+ 7,8,5 40
6. Calculaţi pentru: a) x =,5; b) x =,04; c) x =,8. + 4 4,6 + 7 4 +5,07 = x dacă < > 7. Una dintre laturile unui triunghi este de 8,5 cm, a doua este cu 7, cm mai lungă decît prima, iar a treia cu 4, mai lungă decît a doua. Calculaţi perimetrul triunghiului. 8. Aflaţi aria pustiurilor de pe glob, dacă aria pustiurilor din Australia este de 0,4 milioane km, a celor din America cu, milioane km mai mare decît a celor din Australia, a celor din Asia cu,4 milioane km mai mare decît a celor din America, iar a celor din Africa cu,8 milioane km mai mare decît a celor din America. 9. Plasaţi virgule astfel încît egalitatea să devină adevărată: a) 45 + 65 + 5 = 4,9; b) 8 + 5 + 64 = 5,4. 0. Completaţi bonul de plată: a) Biscuiţi 5,50 lei b) Pîine 7,0 lei Ceai 4,5 lei Caşcaval,0 lei Total lei + 8, 0 Cămaşă,50 lei Sacou,00 lei Palton 65,5 lei Pantofi 48,5 lei Total lei. Cea mai mare adîncime a Oceanului Pacific este de,0 km, cea a Oceanului Atlantic este cu,594 km mai mică decît cea a Oceanului Pacific, a Oceanului Indian cu 0,978 km mai mică decît cea a Oceanului Atlantic, iar a Oceanului Arctic cu,00 km mai mică decît cea a Oceanului Indian. Care este cea mai mare adîncime a Oceanului Arctic?. Scrieţi numărul: a) 8,7 ca sumă a două numere; b) 8,7 ca diferenţă a două numere; c) 46, ca sumă a două numere; d) 46, ca diferenţă a două numere.. Calculaţi şi rotunjiţi rezultatul pînă la: ) zecimi; ) sutimi: a) 44,5 + 7,008 5,; b) 48,04 78,00 0,5 ; c) 754,84 + 8,00 4,; d) 008,5,07 58,899. 4. Suma a trei numere este egală cu 88,44. Se ştie că unul este 4,6. Aflaţi celelalte două numere, dacă ele sînt egale între ele. 4
5. Efectuaţi: a) a 8, b7 + aa,0b; b) 6x, y x, yy, unde a, b, x, y sînt cifre. 6. Determinaţi cifrele necunoscute: a) a, b + b, a = 9,9; b) a, a + aa, a =, ; c) x, y + x, y = 7,6; d) x0, y + y, x = 5,7. 5 Înmulţirea, împărţirea şi ridicarea la putere a numerelor zecimale. Înmulţirea unui număr zecimal cu un număr natural Cercet=m [i descoperim Trei prietene, Veronica, Liliana şi Nicoleta, au cumpărat cîte o îngheţată la preţul de,5 lei. Cîţi bani au plătit prietenele? Rezolvare:,5 =,5 +,5 +,5 =,5 (lei) sau Răspuns: lei 50 bani. Completaţi şi observaţi. a) 4,4 6 = b) 0,5 4 = 4, 4 6 6, 4, 4 o zecimală o zecimală, 5, 5 Re\ine\i! Pentru a înmulţi un număr zecimal cu un număr natural: scriem numerele unul sub altul şi le înmulţim fără a ţine cont de virgulă (ca la înmulţirea a două numere naturale); punem virgula la rezultat peste atîtea cifre, numărate de la dreapta spre stînga, cîte zecimale are factorul zecimal al produsului. 0, 5 4 6 0, o zecimală o zecimală două zecimale două zecimale Exemplu:, 5 =?, 5 zecimale 96 660 zecimale 69,96 Exers=m Completaţi: 7,8 = ; 7,8 0 = ; 7,8 5 = 7,8 7,8 7,8 7,8 7,8. 7, 8 5, o cifră o cifră 4
. Înmulţirea a două numere zecimale Cercet=m [i descoperim Aflaţi aria unui dreptunghi cu lungimea a = 0,8 cm şi lăţimea b = 0, cm. 0,8 cm Rezolvare: Aria dreptunghiului A = a b = 0,8 cm 0, cm = (0,8 0,) cm. este A = a b. Dar care este rezultatul înmulţirii 0,8 0,? Aflăm rezultatul înmulţirii folosind desene: 0, cm 0,8 8 zecimi 0, zecimi 0,8 0, = 0,4. 4 sutimi Obţinem 0,8 0, = 0,4. Răspuns: 0,4 cm. Ce observăm? 0, 8 0, 0, 4 o zecimală o zecimală Completaţi:,5 0, 4 =. zecimale Re\ine\i! Pentru a înmulţi două numere zecimale: scriem numerele unul sub altul şi le înmulţim fără a ţine cont de virgule (ca la înmulţirea a două numere naturale); punem virgula la rezultat peste atîtea cifre, numărate de la dreapta spre stînga, cîte zecimale au împreună cei doi factori. Exemple: a) 0,,4 =?, 4 0,, 7 b) 4,5 5 =? 4, 5 5 5 45 6, 75 o zecimală o zecimală două zecimale două zecimale două zecimale 4
Exers=m Efectuaţi înmulţirea: a),5 0,4 =? b), 0,054 =?,5 0,4 9 40 4 7 0 0, 5640 0, 054, 5 4 54 0, 0594 Observaţie: Dacă este nevoie, partea zecimală se completează cu zerouri. Răspuns:,5 0,4 = 0,564 Răspuns:, 0,054 = 0,054, = 0,0594 Proprietăţi ale înmulţirii numerelor zecimale Exemple: comutativitatea: a b = b a; 4, 0,5 = 0,5 4,; asociativitatea: ( a b) c = a ( b c); (,5,5),4 =,5 (,5,4); este element neutru la înmulţire: 4,8 = 4,8 = 4,8; a = a = a; 4 distributivitatea faţă de adunare şi 6, (,6 ±,) = 6,,6 ± 6,,. scădere a ( b ± c) = a b ± a c. Verificaţi!. Înmulţirea unui număr zecimal la, 0, 00 etc. Cercet=m [i descoperim Într-un sac sînt 5,4 kg de cartofi. Cîte kilograme sînt în saci? Dar în 0 de saci? În 00 de saci? Rezolvare: În saci sînt: 5,4 0 5 4,0 5,4 = 54 (kg). În 0 de saci sînt: 5,4 0 0 5 4 0,0 5,4 0 = 5 40 (kg). În 00 de saci sînt: 5,4 0 0 0 5 4 0 0,0 5,4 00 = 5 400 (kg). Răspuns: 54 kg; 5 40 kg; 5400 kg. 44
Ce aţi observat? Formulaţi regula! 5, 4 0 = 54 peste o cifră zero virgula spre dreapta 5,4 00 = 5, 400 00 = 5 400 peste cifre zerouri Re\ine\i! virgula spre dreapta 5,4 0 = 5, 40 00 = 5 40 peste cifre zerouri virgula spre dreapta Observaţie: Dacă este nevoie, adăugăm zerouri la partea zecimală înainte de efectuarea înmulţirii. Pentru a înmulţi un număr zecimal cu, 0, 00 etc., deplasăm virgula spre dreapta respectiv peste o cifră, două cifre, trei cifre etc. Exers=m 6,8 = 6,8; 0,54 =,54; 6,8 0 = 68; 0,54 0 =,4; 6,8 00 = ; 0,54 00 =. Re\ine\i! n Pentru a înmulţi un număr zecimal cu, n N, dreapta peste n cifre. Deplasăm virgula spre dreapta. deplasăm virgula spre 4. Împărţirea unui număr zecimal la, 0, 000 etc. Cercet=m [i descoperim Calculaţi: 9 :, 9 :0, 9 :00. Rezolvare: 9 9 9 9 : = = 0, 9 9 :0 = = 0, 09 9 :00 = = 0, 009 0 00 000 zerou cifră cifre cifre zerouri zerouri Ce observăm? La împărţirea numărului zecimal la, 0, 00 etc. virgula se deplasează spre stînga respectiv peste o cifră, două cifre, trei cifre etc. Exemple: a) 7 5, 8 : 0 = 7,58 b) 54, : 00 =,54 o cifră zerou cifre zerouri virgula spre stînga virgula spre stînga 45
Ne amintim că la înmulţirea unui număr zecimal cu, 0, 000 etc. am deplasat virgula spre dreapta respectiv cu o cifră, două cifre, trei cifre etc. Re\ine\i! Pentru a împărţi un număr zecimal la, 0, 000 etc., deplasăm virgula spre stînga respectiv cu o cifră, două cifre, trei cifre etc. 5. Ridicarea unui număr zecimal la o putere cu exponent natural Cercet=m [i descoperim Aflaţi aria unui lot de forma unui pătrat cu latura de,5 m. Rezolvare: A =,5 =,5 44,5 =,5 (m factori Răspuns:,5 m. ). A aria = a pătratului, unde a latura pătratului. Ce observăm? Pătratul numărului zecimal,5 este numărul zecimal,5 obţinut prin înmulţirea lui,5 cu el însuşi. Deci, 0, = 0, 44 0, 0, = 0,00. Exemple: factori 4 a) 0, = 0, 4 0, 4 0, 44 0, = 0, 006; b) 7,8 0 = ; 4 factori E asemănător cu puterea unui număr natural! c) 5,8 = 5,8. Exers=m a) 0,5 0 = ; b) 0,5 = ; c) 0,5 = = ; d) 0,5 = =. Re\ine\i! Puterea cu exponentul doi, trei, patru etc. a unui număr zecimal este produsul respectiv a doi, trei, patru etc. factori egali cu numărul dat. Orice număr zecimal ridicat la puterea este egal cu numărul iniţial. Orice număr zecimal nenul ridicat la puterea 0 este egal cu. 46
6. Ordinea efectuării operaţiilor Cercet=m [i observ=m Efectuaţi:,8 : (6,8 +, 0,5 ). 5 6 4,8 : (6,8 +, 0,5) = 0,8 ), =,, =,44; ),44 0,5 = 0,7; ) 6,8 + 0,7 = 7; 4) 7 = ; 5),8 : =,8; 6),8 = 0,8. Determinăm întîi ordinea efectuării operaţiilor. Răspuns: 0,8. Ne amintim adunarea şi scăderea operaţii de ordinul I; înmulţirea şi împărţirea operaţii de ordinul al II-lea; ridicarea la putere operaţie de ordinul al III-lea. Re\ine\i! Dacă într-o expresie matematică fără paranteze sînt operaţii de acelaşi ordin, ele se efectuează în ordinea în care sînt scrise. Dacă într-o expresie matematică fără paranteze sînt operaţii de diferite ordine, se efectuează întîi cele de ordinul al III-lea, apoi cele de ordinul al II-lea şi, la sfîrşit, cele de ordinul I. Dacă într-o expresie matematică sînt paranteze, atunci se efectuează întîi operaţiile din paranteze conform regulii sau. a),7 4,5 + 0,7; b) 7,5 4,7 : 0; 4 c) 4 : 5, ; 4 d) 7 + 5, (6,8 + 5,4 ) 47
Completaţi: a) (4,4,5 6 ) : + 0,5 = = ( 4,4, 5 ) : + 0,5 = = ( ) : + 0,5 = = : + 0,5 = = + 0,5 = = + = = 7 6 8 5 4 b) = (7,5 0,4) [8, 4 (5 : )] ) 5 = 5 5 = 5; ) 5 : =,5 ; ),5 =,5 ; 4) 4,5 = ; 5) 8, = 8, ; 6) 7,5 0,4 = 7, ; 7) 7, = 4,; 8) 4, 8, = 6,. Exerciţii şi probleme. Calculaţi: a) 0,5 0,7 ; b) 0,6 0,9 ; c),8 ; d),5 6; e) 4,,5 ; f) 6,, ; g),4 0,; h) 6,05 0,4.. Un sac cu zahăr cîntăreşte 50,4 kg. Cît vor cîntări 5 saci? Dar saci?. Efectuaţi: a) 5,4 6,8; b) 8, 7,; c) 5 0,; d) 54 0,7; e) 0,05,4; f) 0,04 7,; g) 45 0,04; h) 6 0,06. 4. Camera în care locuieşte Nicu are forma unui cuboid baza căruia este un dreptunghi cu dimensiunile de,5 m şi 5, m. Aflaţi aria suprafeţei camerei (a bazei cuboidului). A = a b 5. Pagina manualului de matematică are dimensiunile de 6,5 cm şi 4 cm. Aflaţi aria suprafeţei paginii. 6. Ştefan a înmulţit numerele: a) 6, şi 0,0; b) 0,5 şi,4; c) 6 şi, şi a obţinut respectiv un număr zecimal cu: a) două zecimale; b) trei zecimale; c) două zecimale. Are dreptate Ştefan? Argumentaţi? 7. Calculaţi folosind proprietăţile înmulţirii: a),5; b) 6,08 0,0; c) 5 7,89 ; d) 5,6 4; e) 50 6,4 ; f) 5 0,44 8. 48
8. Calculaţi utilizînd proprietăţile înmulţirii: a) 7, (,4 + 0,7 ); b) 5,4 (,8 +, ); c) 0,0 (,84 0,7 ); d),05 (,6,9 ); e) 70 7,54 + 70,46; f) 04,8 + 04,8; g) 58 6,7 58 5,7; h) 64 4,7 64,7. 9. Bambusul este planta care creşte cel mai rapid: circa 0,75 m în 4 de ore. Ce înălţime va avea bambusul peste: a) 5 zile; b) zile; c) 5 de zile, dacă la moment el are 0,65 m?. Calculaţi: a) 5,48 ; 5,48 0; 5,48 00; 5,48 000; b) 6,46 ; 6,46 0; 6,46 00; 6,46 000.. Efectuaţi: a) 0,08 :; b) 0,07 :; c),08 :0; d),07 :0; e) 6,04 :00; f) 7, :00.. Aflaţi aria pătratului cu latura de: a),5 m; b), cm; c) 0,8 mm; d), dm.. Calculaţi: a), ; b), ; c),5 ; d),5 ; e) 0, ; f) 0,. 4. Completaţi cu unul dintre semnele <, =, > astfel încît să obţineţi o propoziţie adevărată: a) 6,,4 ; b) d) 0, 04 0, ; e),8, ; c) 0,0 0,0;,5 6, ; f) 5,,. 5. Determinaţi ordinea efectuării operaţiilor: a) 6 0,0 +,5 :; b) 5,7 :0 +,4 ; c) 6,5 (4, 8,4) + 7, ; d) (,8,06) 47,5 :. 6. Calculaţi valorile expresiilor din exerciţiul 5. 7. Scrieţi produsul ca putere: a),,,,,, ; b) 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4 0,4. 8. Completaţi şirul de numere: a) ; 4; 8; 6; ; ; b) 5; 5; 5; 65; ; ; c) ; 9; 7; 8; ; ; d) 96; 48; 4; ; ;. 9. Efectuaţi operaţiile şi verificaţi rezultatul cu ajutorul calculatorului de buzunar: a) 68,5,4 + 54,4; b), (6, + 4,5) 99,8; c) 4 5 7,8; d) 4,5 (7,8 + 44,) +,6. 0. Masa pietrelor preţioase se măsoară în carate. carat = 0, g. Un geolog a găsit două pietre preţioase: prima avea 5 de carate, iar a doua avea masa de, g. Care dintre pietre este mai grea? 49
. Un autoturism s-a deplasat h cu viteza de 99,5 km/h şi 5 h cu viteza de 84, km/h. Ce distanţă a parcurs autoturismul în această perioadă?. Calculaţi valoarea expresiei: a) 6,4x; b) 54,x, pentru x {5; 4; 0; 45,}.. Scrieţi suma ca produs şi calculaţi: a) 5, + 5, + 5, + 5, + 5, ; b) 68,5 + 68,5 + 68,5 + 68,5 + 68,5. 4. S-au procurat 4 kg de mere la preţul de,6 lei kilogramul şi kg de pere la preţul de, lei kilogramul. Cît s-a plătit pentru toate fructele? Cu cît sînt mai scumpe kg de mere decît kg de pere? 5. Calculaţi valoarea expresiei: a),7 x,5 y, pentru x {, 4, 5}, y {0,, }; b) 6, x +, y, pentru x { 0,, 5}, y {, 7, }. 6. Doina a plecat în vacanţă la bunici. Ea a mers 4 h cu trenul şi h cu autobuzul. Ce distanţă a parcurs Doina, dacă viteza trenului a fost de 56,8 km/h, iar a autobuzului de 65,8 km/h? a), b),8 7. Cine calculează mai repede? + 45,8 6, + 7,9 4,7 0,5 8,5 =? =? 8. Scrieţi numărul omis: a) 7,84 78,4 8,5? 0 b) 0,45 4,5 0 4,7? 9. Viteza medie de rotaţie a Pămîntului în jurul Soarelui este de 9,76 km/s. Ce distanţă va parcurge Pămîntul: a) în decursul lecţiei de matematică; b) în 4 de ore? 50
0. Reconstituiţi: a), 5 b) 4,, 8,. Ce distanţă ar parcurge o persoană dacă ar face milion de paşi, considerînd că lungimea medie a pasului este de 0,75 m?. Efectuaţi: a) 8,4 : + [6,8 (400 :0 4)]; b) 4,5 (7,8 : 0,54),4.. Cine calculează mai repede? =?,4,6 : : 6,45 6, 4. Calculaţi: a) (,8,75 : +,0) :0 + 0,4,6 0, ; 4 b) 0, (,8 +,4 :0,55) : + 0,6 0,. 5. Aflaţi cardinalul mulţimii: n a) A = { n n N,, 84}; n b) B = { n n N,,5 5, n număr par}. 6. Calculaţi: a),8 4x 444 +,8 x 4 +... 4444 +,8 x, dacă x = 00; termeni b) 0,8 4t 444 + 0,8 t + 4... 444 + 0,8 t, dacă t = 0. termeni 7. Compuneţi o problemă a cărei rezolvare să se reducă la calculul expresiei: a) 6,8,5 ; b) 8 (5,7 + 9,4); c) 5 (44,5 0, ). 8. Întrebat cîţi elevi are, ilustrul matematician grec Pitagora a răspuns: Jumătate dintre ei studiază matematica, un sfert studiază natura, a şaptea parte meditează în tăcere, iar restul sînt oratori. Cîţi elevi avea Pitagora? 9. Aflaţi cel mai mare număr natural n pentru care: n a) 4 5,5; b) 6,5 <. 5 n 5
6 Rapoarte. Raportul a două mărimi de acelaşi fel Cercet=m [i descoperim. Primăvara, Mihai şi Petru au semănat pe două parcele de aceeaşi suprafaţă pepeni galbeni. Vara, Mihai a cules în total cu 0 de pepeni mai mult decît Petru. Putem afirma oare că Mihai a strîns o roadă mult mai mare decît Petru? Explicăm Pentru a răspunde cu certitudine la întrebare, nu sînt date suficiente. Să examinăm două cazuri: Cazul I Mihai Petru 45 de pepeni 5 pepeni 45 = 5 Mihai a cules de ori mai mulţi pepeni decît Petru, deci Mihai a strîns o roadă mult mai mare decît Petru. Cazul II Mihai Petru de pepeni 0 de pepeni =, 0 Mihai a cules de, ori mai mulţi pepeni decît Petru, deci Mihai nu a strîns o roadă mult mai mare decît Petru. Deseori, pentru a determina cît de mare este un număr faţă de alt număr, folosim împărţirea.. De cîte ori lungimea dreptunghiului din imagine este mai mare decît lăţimea lui? Rezolvare: Calculăm şi scriem: 6 cm : cm =,6 sau Răspuns: de,6 ori. 6 cm =,6 cm 0,6 m = 6 cm 0,6 m cm 5
a Scrierea, unde a şi b sînt numere, b 0, se numeşte raport. b Ea indică împărţirea a : b. Numărătorul raportului Numitorul raportului a Valoarea raportului este rezultatul împărţirii a : b. b Două rapoarte sînt egale dacă valorile lor sînt egale. Raportul b a se mai notează a : b. a b termenii raportului Prin urmare, sînt rapoarte. 45, 5, 0 6, 4,5, 6,,5 sînt rapoarte. Fracţiile de asemenea. Cum se va schimba valoarea raportului 450, dacă fiecare termen: 50 se înmulţeşte cu ; se împarte la? Rezolvare: Amplificăm cu 900 00 = 900 : 00 = 450 50 = : Simplificăm cu 50 50 = 50 : 50 = A amplifica un raport cu un număr nenul înseamnă a înmulţi fiecare termen al raportului cu acest număr., amplificăm 5,,5 =,4 cu 5 5,4 7 A simplifica un raport cu un număr nenul înseamnă a împărţi fiecare termen al raportului la acest număr. 0, simplificăm 0, : 0,0 = cu :, Amplificarea, simplificarea raportului nu schimbă valoarea lui. 5
. Raportul a două mărimi diferite Cercet=m [i descoperim. kg de miere costă 5 lei. Cît costă 5 kg de miere? Rezolvare: Calculăm preţul mierii: kg 5 kg Costul Masa Costul a 5 kg de miere: Răspuns: 5 lei. 5 lei 45 lei = = 45 lei kg = kg kg 45 5 = 5 ( lei). Preţul Notaţia 45 lei/kg se citeşte 45 lei kilogramul. Raportul a două mărimi diferite este o nouă mărime. Valoarea lui este numită raport unitar. Raportul dintre costul mierii şi masa ei este o nouă mărime preţul mierii.. Un avion a parcurs distanţa de la Budapesta la Chişinău (70 km) într-o oră şi 40 de minute. Cu ce viteză medie a zburat avionul? Rezolvare: Viteza (v) = d Distanţa ( ) Timpul (t) h 40 min. = 0 min. = 6 000 s 70 km = 70 000 m 70 000 m Deci, v = = m/s. 6 000 s Răspuns: m/s. (Citim: de metri pe secundă.) 54
Exerciţii şi probleme. Formaţi rapoartele ai căror termeni sînt numere din mulţimea: a) {,, 4}; c) {0,; 4; 6}; b) { 5,, 8}; d) {9;,5; ; }. Model: 4 4 a),,,,,,. 4 4 4 4 9,5 0,. a) Selectaţi fracţiile dintre rapoartele: ; ; ; ; ; ;. 5, 6,7 0,4 b) Care este deosebirea dintre un raport şi o fracţie? 8. Calculaţi valoarea raportului: a) ;, 4. a) Amplificaţi raportul 7 4, b) Simplificaţi raportul cu 0,. 5. Restabiliţi şirul de rapoarte egale: 50 b) ; 0 c) ; 00 c) Amplificaţi raportul,6,8 4, d). cu. 5 cu. d) Simplificaţi raportul cu 5. 6 8 9 8 6 a) = = = = ; 5 5 b) = = = =. 8 0 6. Calculaţi valoarea raportului dintre aria părţii colorate şi a celei necolorate: a) b) c) d) 7. Comparaţi x şi y, dacă: x x a) = ; b) = 0,9; y 6 y c) y 7 = x ; d) x =, y. 8 8. Calculaţi valoarea raportului dintre: a) m şi 5 cm; b) h şi 45 min.; c) 7,5 kg şi 50 g; d) numărul de zile ale lunilor mai şi august; e) cel mai mare număr natural de cifre şi cel mai mic număr natural de cifre. 55
9. Care este raportul dintre numărul fetelor şi numărul băieţilor din clasa voastră?. Comparaţi rapoartele: a), b) 7,8 ; 4 ; 9 c) d) 6,6 5,5 0,5 0,66 ; 0,55 5. 0,. Într-o cratiţă cu 4 l de apă o gospodină a pus linguri de sare, iar în altă cratiţă cu l de apă linguri de sare. Care soluţie este mai sărată?. Cine are o productivitate mai mare? Productivitatea muncii este cantitatea de muncă efectuată într-o unitate de timp. a) Anuţa culege 5 de panere cu struguri în 4 h, iar Petruţ 9 de panere cu struguri în 5 h. b) Meşterul Ciocănel bate 5 de cuie în 8 h, iar meşterul Cuişor 6 de cuie în 7 h. d) Gură-Spartă rosteşte 4 de cuvinte în min., iar Limbă-Lungă 4 de cuvinte în min. c) Ştietot rezolvă corect 44 de exerciţii în 400 min., iar Ştiemult rezolvă corect 00 de exerciţii în h. e) Papăbine mănîncă kg de tort în 7 min. 0 s, iar Papămult 5 kg 00 g de tort în 5 min. 5 s.. Perimetrul unui dreptunghi este de 8 cm. Raportul dintre lungimile laturilor lui este. Calculaţi lungimile laturilor şi 4 aria dreptunghiului. 4. Valoarea raportului dintre ariile a două pătrate este egală cu 5. Care este valoarea raportului dintre: a) lungimile laturilor pătratului; b) perimetrele pătratelor? 56
5. Stelele au luminozităţi diferite. Cele mai luminoase sînt stelele de gradul, iar cele mai puţin luminoase stelele de gradul 6. Luminozitatea stelelor se micşorează de,5 ori odată cu trecerea de la un grad la altul. De cîte ori sînt mai luminoase stelele de gradul decît stelele de gradul 6? 6. Scrieţi trei rapoarte a căror valoare este egală cu: a) ; b) ; c) ; d) 0,5. 4 5 7. Construiţi un dreptunghi pentru care valoarea raportului dintre lungimile laturilor lui este egală cu: a) ; b) ; c),8; d) 0,5. 8. Pentru a obţine mortar de calitate, se recomandă a amesteca părţi de ciment şi 5 părţi de nisip. De cît nisip este nevoie pentru 00 kg de ciment? 9. O sfoară are lungimea de 7,5 m. Se taie din ea o bucată de,75 m şi alta cu 5 cm mai mică decît prima. a) Aflaţi lungimea sforii rămase. b) Calculaţi valoarea raportului dintre lungimea întregii sfori şi lungimea sforii rămase. a + b a 0. Aflaţi, dacă = 0,9. b b x 8y 5x 7. Calculaţi valoarea raportului, dacă =. y 5y x. Vindetot are două feluri de smîntînă: de 0 lei/kg şi de lei/kg. El a hotărît să obţină, amestecînd ambele feluri de smîntînă, un al treilea fel la preţul de 4 lei/kg. În ce raport trebuie să amestece Vindetot cele două feluri de smîntînă?. Businessmanul Aurică a adus din Grecia banane de două feluri: de lei/kg şi de 4 lei/kg. Deoarece bananele la preţul mai mare de lei/kg se vînd rău, el a hotărît să amestece cele două feluri pentru a obţine un al treilea fel la preţul de lei/kg. În ce raport trebuie să amestece el cele două feluri de banane? 57
S= recapitul=m. Din cîte părţi este format numărul zecimal?. Ce semnificaţie are virgula în scrierea numărului zecimal?. Ce indică fiecare dintre cifrele scrise în partea zecimală a numărului zecimal? Dar în partea întreagă? 4. Ce metode de comparare a două numere zecimale cunoaşteţi? Explicaţi aceste metode. 5. Cum se aproximează numărul zecimal prin lipsă şi prin adaos? 6. Care este regula de rotunjire a numărului zecimal? 7. Daţi exemple din viaţa cotidiană de utilizare a numerelor zecimale. 8. Formulaţi exemple din viaţa cotidiană de rotunjire a numerelor. 9. Daţi exemple din alte discipline şcolare de aplicare a numerelor zecimale.. Ce operaţii cu numere zecimale aţi studiat?. Cum se efectuează adunarea a două numere zecimale? Dar a trei numere zecimale? A patru numere zecimale?. Ce proprietăţi posedă adunarea numerelor zecimale?. Este adevărat că scăderea este operaţia inversă adunării? 4. Cum se scad două numere zecimale? 5. În cîte moduri poate fi efectuată verificarea adunării a două numere zecimale? Dar verificarea scăderii? 6. Formulaţi exemple de aplicare a adunării şi scăderii numerelor zecimale în viaţa de zi cu zi. 7. Formulaţi regula înmulţirii unui număr zecimal cu un număr natural. 8. Cum se înmulţesc două numere zecimale? 9. Care sînt proprietăţile înmulţirii numerelor zecimale? 0. Formulaţi regula înmulţirii unui număr zecimal cu, 0, 00 etc.. Cum se împarte un număr zecimal la, 0, 00 etc.?. Explicaţi noţiunea puterea unui număr zecimal.. Care este algoritmul de efectuare a calculelor cu numere zecimale utilizînd calculatorul de buzunar? 4. Care este ordinea efectuării operaţiilor inclusiv cu numere zecimale? 5. Care este deosebirea dintre o fracţie şi un raport? 6. Formulaţi exemple de rapoarte a două mărimi: a) de acelaşi fel; b) diferite. 58
Exerciţii şi probleme recapitulative. Efectuaţi operaţiile şi verificaţi rezultatul cu ajutorul calculatorului de buzunar: a),75 + 8,4 0; b) 4,4 5 7,6 0, ; c),0 5 0,745 0; d) 54, : + 5 0,04.. Calculaţi: a),6 (0,5) + 44 :; b) 0,5 (6 + 4,4),5 :.. Calculaţi şi faceţi proba prin două moduri: a) 4,07 + 6,7; b) 70,5 + 5,05; c) 785,8 7,08; d) 0,5 8,65. 4. Completaţi astfel încît propoziţia obţinută să fie adevărată: a) 9 + < 9,; b) 48 > 47; c) 40,5 + 404; d) 6,8 < 6. 5. Scrieţi elementele mulţimii: A 4x B x x multiplu al lui 8 şi }. a) = {, x N şi x este divizor al lui 8}. b) = {,5 x N, x 40 6. Dintr-un depozit în care erau 445,6 t de mere s-au vîndut în prima săptămînă 04,4 t de mere, iar în săptămîna a doua cu 5 t mai mult. Cîte tone de mere au rămas în depozit? 7. Un kilogram de bomboane costă 4,5 lei, iar un kilogram de banane 6,5 lei. Au fost procurate cîte kg de fiecare fel. Cît a costat toată cumpărătura? Rezolvaţi problema prin două metode. 8. O familie tînără a procurat o masă şi scaune, plătind în total 000 lei. Cît costă un scaun, dacă masa costă 45,5 lei? 9. Mama avea 5,8 lei. Ea a cumpărat kg de cartofi la preţul de 4,5 lei/kg, kg de mere la preţul de 8,5 lei/kg şi o păpuşă Barbie pentru Dănuţa cu lei. Cîţi lei i-au rămas mamei după efectuarea cumpărăturilor?. Pentru 6 manuale şi caiete s-au plătit 05,5 lei, iar pentru 8 manuale şi 5 caiete s-au plătit 9,5 lei. Cît costă un manual şi cît costă un caiet?. Nicu are 8,5 lei, Danu de 4 ori mai mult decît Nicu, iar Victor cît au Nicu şi Danu împreună. Cîţi lei au în total cei trei prieteni? 59
. Tata, mama şi fiul au împreună la bancă 65,4 euro. Suma mamei şi a tatei este de 008,8 euro, iar a mamei şi a fiului este de 500, euro. Ce sumă are la bancă fiecare membru al familiei?. Nelu, copiind exerciţiul 4 0,4 + 6,4 : 4, a uitat să pună parantezele. Ajutaţi-l pe Nelu să pună parantezele astfel încît rezultatul să fie: a) 6; b) 4,8; c) 0. 4. Calculaţi valoarea raportului dintre: a),6 m şi,5 cm; b) 5,5 h şi 0 min.; c) 9,9 kg şi 0, kg. 5. Perimetrul unui dreptunghi este de 40 cm. Raportul dintre lungimile laturilor lui este. Aflaţi lungimile laturilor şi aria dreptunghiului. 5 4 6. Un ţăran a vîndut la piaţă 94,5 kg de fructe. Din toată cantitatea erau 9 mere, 9 erau caise, iar restul erau piersici. Cîte kilograme de piersici erau? Rezolvaţi problema prin două metode. 7. Suma a două numere este 4,, iar diferenţa lor este 5,8. Aflaţi numerele. 8. Compuneţi o problemă a cărei rezolvare să se reducă la calculul expresiei: a),,4 ; b) 0 (64, 59,8 ). 9. Compuneţi o problemă utilizînd raportul :. Problemă pentru campioni 0. Trei lucrători au cules împreună 06 kg de mere. Al doilea a cules cu 5 kg mai mult decît jumătate din ce a cules primul, iar al treilea a cules cu kg mai puţin decît dublul cantităţii culese de al doilea. a) Aflaţi ce cantitate de mere a cules fiecare. b) Determinaţi ce cantitate de mere mai trebuiau să culeagă pentru a cîştiga 00 lei, dacă kg de mere se vinde cu 5,5 lei. c) Aflaţi de cîte lăzi e nevoie pentru a ambala toate merele strînse pentru a cîştiga 00 lei, dacă într-o ladă se pun 8 kg de mere. 60
Varianta I. Se ştie ca în timpul călătoriilor Dinu a parcurs 400,5 km cu trenul şi cu 0 km mai puţin cu autobuzul, iar Irina 00 km cu trenul şi cu 50,5 km mai mult cu autobuzul. a) Completaţi caseta cu cîte un număr zecimal, astfel încît propoziţiile obţinute să fie adevărate: 400,5 <. 00 + > 450,5. b) Aflaţi cît măsoară drumul parcurs de Dinu. c) Aflaţi cît măsoară drumul parcurs de Irina. d) Determinaţi cine a realizat o călătorie mai lungă şi cu cît.. Pentru luna decembrie familia Prunici trebuie să achite facturile pentru: - telefoniei fixă,98 lei; - Internet 5 lei; - TV 60 lei; - energia termică 480,5 lei; - apă rece 0,89 lei; - gaz natural 9,66 lei. a) Scrieţi în casetă litera A, dacă propoziţia este adevărată, sau litera F, dacă propoziţia este falsă: Toate numerele indicate în facturi sînt numere zecimale. b) Aflaţi cîţi metri cubi de gaz a consumat familia dacă m de gaz costă 6 lei. c) Aflaţi cîţi metri cubi de apă rece au fost consumaţi în decembrie dacă m de apă rece costă 9 lei. d) Calculaţi suma totală pe care trebuie s-o achite familia Prunici pentru luna decembrie.. Compuneţi o problemă în baza expresiei numerice:,5 + 5,4 :. Nota Nr. puncte 9 9 8 6 Test sumativ Baremul de notare 8 7 6 5 5 9 8 4 6 4 Varianta II. Pentru produsele alimentare procurate dna Volontir a achitat 00,5 lei şi pentru cele igienice cu 5 lei mai mult, iar dna Stavilă a achitat 50 lei pentru produsele alimentare şi cu,5 lei mai puţin pentru cele igienice. a) Completaţi caseta cu cîte un număr zecimal, astfel încît propoziţiile obţinute să fie adevărate. 00,5 + < 5. 50 >,5. b) Aflaţi cît a achitat în total dna Volontir pentru produsele procurate. c) Aflaţi cît a achitat în total dna Stavilă pentru produsele procurate. d) Determinaţi cine a plătit mai mult şi cu cît.. Un turist a parcurs cu maşina: - în prima zi 80,5 km; - în ziua a doua 00,4 km; - în ziua a treia km; - în ziua a patra 40, km; - în ziua a cincea 98 km. a) Scrieţi în casetă litera A, dacă propoziţia este adevărată, sau litera F, dacă propoziţia este falsă: Toate numerele care indică distanţele parcurse de turist sînt numere zecimale. b) Aflaţi în cîte ore a parcurs turistul distanţa în ziua a treia, dacă el se deplasa cu viteza de 60 km/h. c) Determinaţi cu cîţi kilometri mai mult a parcurs turistul în ziua a patra decît în prima zi. d) Calculaţi distanţa totală parcursă de turist în cele cinci zile.. Compuneţi o problemă în baza expresiei numerice: 74,8 :,. 4 9 7 Timp efectiv de lucru: 45 de minute 6 4 0 6