ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE FINANŢE, ASIGURĂRI, BĂNCI şi BURSE de VALORI

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE FACULTATEA DE FINANŢE, ASIGURĂRI, BĂNCI şi BURSE de VALORI LUCRARE DE LICENŢĂ MODELE DE EVALUARE A OPŢIUNILOR (METODE PRACTICE COMPUTAŢIONALE) COORDONATOR: PROF. UNIV. DR. BOGDAN NEGREA ABSOLVENT: TURCOANE H. OVIDIU Bucureşti, 2011

CUPRINS 1. INTRODUCERE... 1 2. OPŢIUNI... 5 2.1. TIPURI DE OPŢIUNI... 5 2.2. PROPRIETĂŢI ALE OPŢIUNILOR... 9 3. METODE DE EVALUARE A OPŢIUNILOR... 12 4. ALGORITM DE MINIMIZARE UNIDIMENSIONALĂ ÎNTR-O SERIE DE DATE MODELATE DE O FUNCŢIE CUNOSCUTĂ... 15 5. METODE COMPUTAŢIONALE FOLOSITE ÎN EVALUAREA OPŢIUNILOR... 21 5.1. MINI-APLICAŢIE PENTRU EVALUAREA PREŢULUI OPŢIUNII CALL (MAPEPOC)... 25 5.2. INSTRUCŢIUNI DE UTILIZARE A MAPEPOC... 27 6. CONCLUZII... 32 BIBLIOGRAFIE... 33 ANEXE... 35

1. INTRODUCERE Criza mondială recentă, care a dus la o recesiune ce nu este încă depăşită de ţările în curs de dezvoltare, îşi are izvorul şi în tranzacţiile cu instrumente derivate. Acestea au un grad de risc extrem de ridicat, comparativ cu instrumentele financiare clasice. Evoluţia cursului unui astfel de instrument financiar derivat conduce uneori la câştiguri foarte mari, aşa cum este şi capabil să genereze pierderi colosale. Instrumentele derivate sunt instrumente financiare a căror valoare derivă din valoarea unor bunuri sau servicii (cunoscute ca underlying asset activ suport). Acestea din urmă pot fi: active (bunuri omogene, acţiuni, ipoteci, împrumuturi), un indice (Indicele Preţurilor de Consum, rata dobânzii), dar şi condiţiile meteorologice şi altele asemenea [11]. Principalele tipuri de instrumente derivate sunt forwards, futures, options şi swaps. Rolul lor este acela de a diminua riscul care decurge din schimbarea valorii bunului din care au fost derivate şi atunci vorbim despre o acţiune de protecţie: hedging. Atunci când se urmăreşte creşterea profitului în urma modificării valorii activului suport în direcţia anticipată, activitatea este una de speculă. Scopul opţiunilor şi al celorlalte instrumente derivate este acela de a se constituie într-o acoperire a riscului activului pe care acestea se bazează. Denumirea de derivat provine de la faptul că aceste instrumente financiare au ca suport evoluţia cursului bursier al unui instrument financiar. Tranzacţionate atât pe piaţa OTC (Over-the-counter, în mod privat) cât şi pe cea ETD (Exchange-Traded, intermediată de o instituţie specializată), opţiunile se împart în două categorii: call option îi conferă dreptul deţinătorului de a cumpăra activul suport la o anume dată şi cu un anume preţ, put option conferă dreptul de a vinde activul la o dată anume şi cu un preţ stabilit. Preţul stipulat în contract este cunoscut ca exercise / strike price preţ de exercitare, iar data din contract ca expiration / maturity date maturitatea contractului. opţiunile americane pot fi exercitate la orice moment de timp până la perioada de maturitate, pe când cele europene doar la data expirării contractului, iar denumirile lor nu trebuie puse pe seama locului de tranzacţionare. De obicei, pe piaţă, un contract conţine 100 de acţiuni suport, fie europene sau americane, în analiza lor plecându-se de la primele, proprietăţile celor americane putând fi deduse din celelelalte. Definit ca un instrument financiar a cărui valoare depinde (derivă) din valoarea altuia, derivatul a ajuns să se poată baza pe aproape orice variabilă: de la preţul porcilor pâna la cantitatea de zăpadă care cade într-o staţiune de schi [11]. În ultimele trei decenii, în special de când formula Black-Scholes [3] a dat o nouă dimensiune pieţei instrumentelor derivate şi influenţa modelelor matematice şi-a făcut serios simţită prezenţa, au apărut o pleiadă de noi tipuri de instrumente de acest gen, de la cele care iau în considerare active de tipul creditelor sau al ratelor de dobândă, până la cele care iau în considerare piaţa electricităţii sau evenimentele meteorologice. Iniţial, ponderea cea mai mare în tranzacţii o aveau instrumentele intermediate, doar că piaţa OTC a cunoscut în ultimul deceniu o dezvoltare care înseamnă, azi, un volum de afaceri cu mult mai mare faţă de piaţa ETD. Este o lume a negocierilor purtate via telefon sau computer între două instituţii financiare sau între una de acest tip şi unul din clienţii săi (de obicei un manager de fond de investiţii sau trezorierul unei corporaţii). Multe instituţii financiare sunt pregătite să acţioneze ca market-maker (formatori de piaţă), cotând atât un preţ de cumpărare 1

Jun/98 Dec/98 Jun/99 Dec/99 Jun/00 Dec/00 Jun/01 Dec/01 Jun/02 Dec/02 Jun/03 Dec/03 Jun/04 Dec/04 Jun/05 Dec/05 Jun/06 Dec/06 Jun/07 BID, cât şi unul de vânzare OFFER. Negocierile purtate sunt de obicei înregistrate, pentru a preîntâmpina viitoarele conflicte sau divergenţe, dar riscul contractelor OTC este evident superior celor ETD, care sunt intermediate de o piaţă bine organizată, tocmai pentru a elimina orice risc virtual. MĂRIMEA PIEŢEI - MII DE MILIARDE DE DOLARI 600 500 400 300 200 100 0 OTC ETD Figura 1. Evoluţia comparată a instrumentelor derivate Doar uitându-ne pe cifrele din Fig. 1 şi realizăm importanţa enormă pe care derivativele o au în economia globală, cu o creştere exponenţială pentru piaţa OTC şi una liniară pentru piaţa ETD, valorile estimate de Bank of International Setllements( BIS) în 2007 pentru activele-suport fiind de 516.4 mii de miliarde de dolari, respectiv de 96.7 mii de miliarde de dolari. Dacă în ceea ce priveşte prima categorie este mai greu de estimat valoarea, comparativ cu cealaltă categorie care este supravegheată instituţional, totuşi diferenţa între cele două este evidentă. Trebuie şi precizat faptul că o tranzacţie OTC nu este una şi aceeaşi cu valoarea suportului, contractul având o valoare de piaţă mai mică, de aceea valoarea brută a tuturor contractelor aflate pe piaţă în 2007, după estimările BIS, era de 11.1 mii de miliarde de dolari. Prima poveste, controversată de către mulţi, dar acceptată ca un punct de plecare în lumea acestor instrumente financiare se regăseşte chiar în Biblie, în Capitolul 29 din Geneză, în care Iacov ia o opţiune de a se căsători cu Rahila, fiica lui Laban, această opţiune costându-l şapte ani de muncă, simbria lui fiind unirea cu femeia iubită. Şi pentru că tradiţia cerea să se căsătorească cu sora ei mai mare înainte, acesta mai ia şi a doua opţiune, pentru încă şapte ani de muncă. Putem privi contractul dintre Iacov şi viitorul socru, Laban, ca pe o opţiune, dar şi ca pe un forward, aşa cum opinează unii, deşi în Biblie nu apare obligativitatea căsătoriei la finalul anilor de muncă. Indiferent de această dezbatere privind tipul de instrument pus în discuţie, un lucru important trebuie remarcat, acela ca instrumentele derivate îşi au rădăcini adânci în istorie, pentru civilizaţia iudeo-creştină fiind o componentă prezentă de la Facerea Lumii. Dacă povestea lui Iacov pare uşor forţată, cea a lui Thales din Miletus, aşa cum o istoriseşte Aristotel, pare cât se poate de veridică, implicând şi o componentă economică. Thales şi-a folosit talentul de a prezice şi a pronosticat că recolta de măsline va fi cu mult peste medie în toamna următoare. Astfel el a negociat un cost scăzut pentru recolta viitoare, pe care apoi a 2

vândut-o după bunul plac, la un preţ care i-a permis un profit substanţial. Asistăm astfel la întâiul instrument financiar de acest tip, în jurul anului 580 î.c. Instrumentele derivate nu au fost doar apanajul civilizaţiilor europene, pentru că prima instituţie de intermediere atestată este cea a pieţei orezului din Dojima anului 1730, când samuraii, care erau platiţi în orez, au dorit o stabilizare a conversiei în monedă, după caţiva ani de recoltă proastă. O altă piaţă de contracte futures incipiente era la Yodoya, în jurul anului 1650, iar ea implica contracte standardizate pentru negoţul cu orez, deşi nu se ştie dacă aceste contracte erau evaluate zilnic sau dacă aveau garanţii. Evenimentul definitoriu pentru piaţa derivatelor este apariţia lui Chicago Board of Trade în 1848. Datorită localizării sale, lângă lacul Michigan, Chicago s-a dezvoltat ca un important centru de stocare, vânzare şi distribuţie de grâne. Datorită sezonalităţii grânelor, se crea o discrepanţă între imposibilitatea de face faţă pe perioada recoltei, pe de o parte, şi inutilizarea instituţiei pe perioada primăverii, pe de altă parte. De aceea, un grup de neguţători au creat un contract de tip to-arrive, la termen, care permitea fermierilor să blocheze preţul grânelor pe moment, dar să le livreze mai târziu. Aceasta le-a permis acestora să stocheze recoltele lângă fermele lor şi să le livreze după câteva luni la Chicago, şi a oferit prilejul apariţiei hedging-ului, dar şi a speculei. Pentru a controla piaţa, au apărut şi primele standardizări de contracte în jur de 1865, cele care stau la apariţia, în 1925, a caselor de intermediere clearing house. Anul 1973 este un an de referinţă pentru că, pe de o parte, se înfiinţează Chicago Board Options Exchange, iar pe de altă parte, este publicată, poate cea mai celebra formulă din finanţe, modelul de evaluare a opţiunilor al lui Black-Scholes [3] şi Merton [16], aceste două evenimente având un rol revoluţionar pe piaţa derivativelor. Anii 80 constituie începutul unei noi ere, a contractelor Swaps si a altor derivative overthe-counter, negociate direct, neintermediate de o instituţie specializată. Deşi aceste instrumente existau şi înainte, acum ele capătă o noua dimensiune, mai toate marile companii şi destule din cele medii, optând pentru această modalitate de acoperire a riscului sau chiar de speculă. Este şi momentul în care Wall Street devine primitor pentru matematicieni şi fizicieni, iar instrumentele devin din ce în ce mai complexe, capătând chiar apelativul de exotic. Deşi scopul iniţial al opţiunilor este acela de a facilita activitatea de hedging (acoperirea în vederea pierderilor la bursă datorate fluctuaţiilor cursului activului suport), în mai toate cazurile tranzacţiile pe opţiuni au scop speculativ. Rareori o opţiune ajunsă la maturitate este şi exercitată, piaţa instrumentelor derivate fiind însă considerată de specialişti ca o sursă puternic generatoare de lichiditate, o componentă principală a fluxurilor economiei moderne. Estimarea opţiunilor are, deci, un rol important în tranzacţiile de pe piaţa de capital, datorită sumelor de bani care sunt implicate şi consecinţelor pe care le au deciziile speculative neîntemeiate. În această lucrare am construit o aplicaţie care, pe baza datelor dintr-un fişier cu câmpuri standard, estimează preţul opţiunilor folosind patru abordări. Mai mult decât atât, am realizat şi implementarea unor algoritmi proprii şi am testat validitatea altor algoritmi utilizaţi în evaluarea instrumentelor financiare derivate. Ca şi contribuţie personală, amintesc metoda de minimizare unidimensională (după o singură variabilă), care are un rol important în aflarea acelei valori care verifică distanţa euclidiană minimă într-o serie de vectori de date care sunt modelate de o funcţie cunoscută. Prin această metodă numerică se calculează volatilitatea implicită prin minimizare a unei opţiuni, această volatilitate fiind utilizată în estimarea preţului opţiunii în lucrarea de faţă (volatilitatea implicită are rol important, printre altele, şi în operaţiunea de hedging, care nu este scopul acestei lucrări). Pe baza acestei metode numerice se calculează şi alţi parametri impliciţi: 3

volatilitate, skewness şi kurtosis, care sunt utilizaţi ca soluţii iniţiale într-o minimizare multidimensională a unei serii de vectori de date modelate de o funcţie cunoscută. Cei trei parametrii impliciţi: volatilitate, skewness şi kurtosis sunt folosiţi pentru estimarea preţului unei opţiuni după utilizarea unei formule ce presupune dezvoltarea în serie statistică Gram-Charlier [18,24]. O altă contribuţie personală este aceea prin care demonstrez superioritatea metodei bisecţiei, în faţa metodei tangentei, în calculul volatilităţii implicite curente obţinute prin rezolvarea unei ecuaţii transcendente, ai cărei parametri aparţin unui singur vector de date. Tot în această lucrare vom aduce un amendament la modul de evaluare a opţiunilor prin faptul că se vor utiliza, pentru calculul parametrilor impliciţi, doar tranzacţiile specifice fiecărei opţiuni în parte. În cercetările anterioare [8-10], parametrii impliciţi sunt calculaţi pe baza tranzacţiilor aparţinând tuturor opţiunilor pe acelaşi activ suport, index bursier în speţă, sau tuturor opţiunilor aparţinând aceleaşi perioade de maturitate. Vom delimita tranzacţiile fiecărei opţiuni de celelalte tranzacţii pe opţiuni de la bursă, considerând că fiecare instrument derivat reprezintă un activ de sine stătător ce se raportează doar la activul suport şi nu şi la celelalte instrumente financiare. 4

2. OPŢIUNI Opţiunile sunt fundamental diferite de forward şi futures, prin faptul că ele conferă deţinătorului unui astfel de instrument financiar dreptul de a face ceva, dar nu şi obligaţia. Dacă în cazul celor două pe participant nu-l costă nimic, cu excepţia necesităţii unei marje, dar îşi asumă o acţiune, în cazul opţiunii trebuie plătită o sumă de bani drept primă. Tranzacţionate atât pe piaţa OTC cât şi pe cea ETD, opţiunile se împart în două categorii: call option îi conferă dreptul deţinătorului de a cumpăra activul suport la o anume dată şi cu un anume preţ, put option conferă dreptul de a vinde activul la o dată anume şi cu un preţ stabilit. Preţul stipulat în contract este cunoscut ca exercise / strike price preţ de exercitare, iar data din contract ca expiration / maturity date maturitatea contractului. opţiunile americane pot fi exercitate la orice moment de timp până la perioada de maturitate, pe când cele europene doar la data expirării contractului, iar denumirile lor nu trebuie puse pe seama locului de tranzacţionare. De obicei, pe piaţă, un contract conţine 100 de acţiuni suport, fie europene sau americane, în analiza lor plecându-se de la primele, proprietăţile celor americane putând fi deduse din celelelalte. Cea mai mare instituţie de tranzacţionare a opţiunilor este Chicago Board Options Exchange CBOE, iar tabelul de mai jos, ce conţine cotaţii ale companiei americane Intel INTC, este extras de pe situl de internet al instituţiei( www.cboe.com): Tabelul 1. Preţurile opţiunilor pentru Intel, sept.2006; Preţul activului=19.56 CALL-uri PUT-uri Preţ de Oct. Ian. Apr. Oct. Ian. Apr. ($) 2006 2007 2007 2006 2007 2007 exercitare 15.00 4.650 4.950 5.150 0.025 0.150 0.275 17.50 2.300 2.775 3.150 0.125 0.475 0.725 20.00 0.575 1.175 1.650 0.875 1.375 1.700 22.50 0.075 0.375 0.725 2.950 3.100 3.300 25.00 0.025 0.125 0.275 5.450 5.450 5.450 Tabelul 1 prezintă media dintre bid şi offer pentru câteva opţiuni americane ale lui Intel, atunci când preţul unei acţiuni a respectivei companii era de 19.56 dolari. Preţurile de exercitare sunt de la 15 la 25 de dolari, iar primele ce trebuie plătite sunt invers proporţionale cu acestea, depinzând şi de maturitate. Ambele tipuri de opţiuni devin mai valoroase cu cât timpul de expirare se apropie mai mult. În ceea ce priveşte put-ul cu preţ de exerciţiu de 25 de dolari şi aceeaşi primă indiferent de maturitate, acesta ar trebui exercitat imediat (fiind o opţiune americană, există această posibilitate). 2.1. TIPURI DE OPŢIUNI Recapitulând, opţiunile sunt fie call-uri, fie put-uri, fie americane, cu exercitare oricând până la maturitate, fie europene, cu exercitare doar la maturitate, numele neavând de a face cu 5

vreo localizare geografică. Majoritatea opţiunilor tranzacţionate sunt americane, dar cele europene sunt mai uşor de analizat, proprietăţile primelor fiind uşor de dedus din ale celorlalte. Opţiuni de tip Call Fie un investitor care cumpără o opţiune call europeană cu preţul de exercitare de 1 000 de ron pentru 100 de acţiuni suport. Presupunem că preţul activelor este 980 de ron, data maturităţii peste 4 luni, iar preţul opţiunii de a cumpăra un contract este de 50 de ron. Investiţia iniţială este de 500 de ron, iar momentul de exercitare este cel al expirării opţiunii. Dacă preţul activelor la exercitare este mai mic decât 1 000, investitorul va alege să nu-şi exercite dreptul de cumpărare, având posibilitatea să le cumpere direct de pe piaţă mai ieftin. În acest caz, investitorul pierde suma iniţială de 500 de ron. În caz invers, pentru un preţ al acţiunilor de 1 100 de ron să zicem, el va exercita opţiunea, cumpărând în fapt acţiunile cu 1 000 de ron, când ele valorează mai mult. Ignorând costurile de tranzacţionare şi prima plătită avans, investitorul ar câştiga 100 de ron, dacă ar vinde imediat acţiunile. Dacă, în schimb preţul acţiunilor la data expirării ar fi de 1 020 de ron, el ar exercita opţiunea, dar datorită primei ar pierde 1 020-1 000 50 = 30 de ron, mai bine decât cei 50 daţi în avans. Reiese că o opţiune de tip call trebuie exercitată la maturitate dacă preţul activului este mai mare decât preţul de exercitare. Opţiuni de tip Put Dacă un deţinător de call speră ca preţul să crească, posesorul unui put aşteaptă contrariul. Să presupunem că un investitor care cumpără o opţiune europeană cu preţul de exercitare de 800 de ron, pentru un pachet de 100 de acţiuni, preţul curent al activelor este de 650 de ron, data maturităţii este peste 3 luni şi prima unei opţiuni de a vinde o acţiune este de 0.50 de ron. Investiţia iniţială este 800 de ron, iar exercitarea se va face dacă preţul acţiunii va fi sub 8 ron, adică 800 de ron pentru întregul pachet. Considerând că preţul la maturitate pentru acţiune este de 6.5 ron şi ignorând costurile tranzacţiei, investitorul va putea cumpăra 100 de acţiuni la preţul total de 650 de ron, le-ar vinde pe ale sale cu 700 de ron şi ar realiza un câştig de 150 de ron, iar profitul va fi de 150 50 = 100 de ron. Dacă preţul pachetului de active este peste 800 de ron, atunci opţiunea va expira, aducând un prejudiciu de 50 de ron, banii plătiţi iniţial de investitor, pentru a avea dreptul de a alege între a vinde sau nu. Figura 2 surprinde reprezentarea grafică a profitului pentru cele două opţiuni: Figura 2. Profitul de pe urma unui pachet de acţiuni în urma cumpărării unui a) call: preţ opţiune=50 de ron, preţ de exercitare=1000; b) put: preţ opţiune=50 de ron, preţ de exercitare=800. 6

Poziţii pe opţiuni Există două părţi pentru fiecare contract, una a investitorului care adoptă o poziţie long, adică cumpără opţiunea şi cealaltă a unui alt investitor, care adoptă o poziţie short, adică vinde sau scrie/semnează opţiunea. Cel care vinde primeşte bani în avans, dar se expune la riscuri ulterioare, iar profitul sau pierderea sa sunt pierderea sau, respectiv, câştigul cumpărătorului. Cele patru tipuri de poziţii pe opţiuni sunt: Tabelul 2. Tabel comparativ al celor 4 poziţii pe opţiuni Poziţie Drept Obligaţie Condiţie de execuţie Risc Payoff Short call Încasează prima Vinde activ S > K infinit K-S+prima Long call Cumpără activ Plăteşte prima S > K prima S-K-prima Short put Încasează prima Cumpără activ S < K 0 S-K+prima Long put Vinde activ Plăteşte prima S < K prima K-S-prima Din perspectiva celui care adoptă poziţie short graficul arată de felul: Figura 3. Profitul de pe urma unui pachet de acţiuni în urma vânzării unui a) call: preţ opţiune=50 de ron, preţ de exercitare=1000; b) put: preţ opţiune=50 de ron, preţ de exercitare=800. De obicei o opţiune europeană se caracterizează prin prisma payoff-ului, costul opţiunii nefiind inclus în calcul, iar ca notaţii se folosesc K = preţ de exercitare şi S T = preţul final al activului suport. Din graficul din Fig. 4 se pot trage următoarele concluzii: un long call se va exercita dacă S T > K şi nu se va exercita dacă S T < K, adică Payoff longcall = max( S T - K, 0 ), La polul opus se află posesorul unei poziţii short pe un call: Payoff shortcall = - max( S T - K, 0 ) = min( K - S T, 0 ), Deţinătorul unei poziţii long pe put va avea: Payoff longput = max( K S T, 0 ), Un beneficiu în oglindă faţă de poziţia long put il are posesorul unui short put: 7

Payoff shortput = - max( K - S T, 0 ) = min( S T - K, 0 ). Figura 4. Payoff pentru poziţii pe opţiunea europeană: a) long call, b) short call, c) long put, d) short put. K = preţ de exercitare, S = preţ activ la maturitate Active suport Cele mai des întâlnite suporturi pentru opţiuni sunt acţiunile cotate la bursă, valutele, indicii bursieri şi contractele futures. Primele sunt tranzacţionate pe mai mult de 1000 de diverse tipuri de acţiuni, un contract garantând dreptul de a cumpăra sau vinde 100 de active la un preţ specificat, asta pentru că şi acţiunile însele se tranzacţionează tot în loturi de câte o sută. Cele mai multe opţiuni pe valute sunt pe piaţa OTC, dar se întâlnesc si pe cea ETD. Acestea sunt fie americane, fie europene şi toate permit utilizarea unei varietăţi de valute, fiecare contract pe valută având o mărime specifică: pentru lira sterlină se cumpără sau vând 31 200 unităţi monetare, pentru yenul japonez 6.25 milioane unităţi monetare. Opţiunile pe indecşi bursieri se regăsesc pe ambele pieţe, iar pe OTC, cele mai populare sunt cele pe S&P 500 Index (SPX), S&P 100 Index (OEX), Nasdaq 100 Index (NDX) şi Dow Jones Industrial Index (DJX) care se tranzacţionează toate la CBOE. Cele mai multe contracte sunt de tip european, excepţie făcând OEX. Mărimea contractului e dată în acest caz de faptul că trebuie tranzacţionat de 100 de ori indexul respectiv la preţul de exerciţiu convenit, iar o specificitate e aceea că se lucrează cu fluxuri monetare şi nu cu active. Atunci când o instituţie specializată tranzacţionează un contract futures scoate pe piaţă şi o opţiune pe acel contract. Opţiunea pe futures expiră, în mod normal, înainte cu ceva timp de data livrării din contractul futures. Când se exercită un call, posesorul primeşte de la semnatarul opţiunii (writer) o poziţie long pe suportul contractului futures plus o sumă egală cu diferenţa dintre preţul contractului futures şi preţul de exercitare. În cazul unui put, posesorul acestuia, aflat pe poziţie short faţă de activul suport al contractului futures, primeşte şi o diferenţă a preţului de exercitare faţă de preţul contractului futures. Revenind la opţiunile pe acţiuni, sunt câteva detalii ale contractului de care se ocupă instituţia specializată în tranzacţii: data maturităţii, preţul de exercitare, implicaţiile dividendelor, maximul de contracte pe care un investitor le poate avea la un moment dat etc. 8

2.2. PROPRIETĂŢI ALE OPŢIUNILOR Proprietăţile opţiunilor depind de activul suport, dar cele care vor fi luate în discuţie vor fi cele bazate pe acţiuni. Elementele care influenţează instrumentul derivat sunt preţurile call şi put şi activul suport, iar dintre relaţiile între acestea cea mai importantă este put-call parity, paritatea put-call. Importantă este şi relaţia dintre opţiunile americane şi cele europene, precum şi momentul optim de exercitare a dreptului asupra instrumentului derivat. Cei 6 factori care influenţează preţul unei opţiuni pe acţiune, stock option, sunt: Tabelul 3. Influenţa creşterii factorului asupra preţului diverselor opţiuni: + indică creşterea preţului derivativului, - indică scăderea,? indică incertitudinea( Error! Reference source not found. [11]). Factor Call Put Call Put european european american american 1. Preţul curent al suportului, S 0 + - + - 2. Preţul de exercitare, K - + - + 3. Timpul până la maturitate, T?? + + 4. Volatilitatea preţului acţiunii, σ + + + + 5. Rata de dobândă fără risc, r + - + - 6. Dividendele plătibile pe durata opţiunii - + - + Ştim că payoff-ul este dat, pentru call, de diferenţa dintre preţul acţiunii şi cel de exercitare, la momentul maturităţii, deci, el devine mai valoros cu cât preţul acţiunii creşte şi cel de exercitare scade, iar pentru put este exact invers. De obicei opţiunile europene devin mai valoroase cu trecerea timpului, dar nu este şi cazul când în perioada respectiva intervine plata dividendelor, când se aşteaptă un declin, aşa că o opţiune pe termen scurt devine mai valoroasă ca una pe termen lung. Volatilitatea preţului acţiunii afectează într-o mare măsură mişcările pe piaţă. Pentru deţinătorul acţiunii, şansa ca aceasta să fluctueze în sus sau în jos este mai mare cu cât volatilitatea este mai mare. Pentru deţinătorul unei opţiuni, cele două deviaţii se anulează, deţinătorul unui call având numai beneficii de pe urma creşterii preţului acţiunii, iar scăderea neaducând decât maxim pierderea primei. Similar, posesorul unui put beneficiază de scăderile de pe piaţă ale activului, fiind limitat în pierdere la creştere. De aceea, atît call-ul cât şi put-ul cresc odată cu creşterea volatilităţii. Rata fără risc afectează într-un mod nu la fel de clar preţul unei opţiuni, iar dacă ceilalţi factori rămân neschimbaţi, posesorul acţiunii aşteaptă o creştere a venitului de pe urma creşterii acesteia. În felul acesta, fluxul financiar actualizat aşteptat de deţinătorul opţiunii scade, şi cei doi factori combinaţi vor duce la o apreciere a call-urilor şi o scădere a put-urilor. Aceasta este perspectiva teoretică, pentru că în practică, creşterea ratei fără risc duce la o scădere a cursului acţiunii. Efectul total al celor două constituie cauza pentru care un valoarea unui call va descreşte iar cea a unui put va creşte. În caz contrar, dacă rata scade şi activul creşte, se va genera o creştere a valorii call-urilor şi o descreştere a put-urilor. Mărimea viitoarelor dividende afectează în mod cert opţiunile, prin faptul că reduc valoarea activului suport după data plăţii acestora. Valoarea unui call va fi influenţată negativ de mărimea anticipată a dividendului, pe când un put va fi pozitiv influenţat de aceeaşi valoare anticipată. 9

Ipotezele de bază pentru a modela piaţa opţiunilor sunt în număr de trei: 1. Nu există costuri de tranzacţie 2. Împrumuturile sunt posibile la rata fără risc. 3. Se poate vinde un activ în lipsă (short-selling). Notaţiile, internaţionale de altfel, sunt următoarele: S 0 : Preţul curent al acţiunii K : Preţul de exercitare al opţiunii T-t : Durata pâna la expirarea opţiunii S T : Preţul acţiunii la maturitatea opţiunii r : Rata fără risc a dobânzii nominală, compusă continuu( r > 0) C : Valoarea unei opţiuni americane de a cumpăra o acţiune P : Valoarea unei opţiuni americane de a vinde o acţiune c : Valoarea unei opţiuni europene de a cumpăra o acţiune p : Valoarea unei opţiuni europene de a vinde o acţiune Limitele superioare şi inferioare ale opţiunii Aceste limite derivă din faptul că altfel ar exista oportunităţi de arbitraj. Limita superioară: c S 0 şi C S 0, arată că indiferent ce s-ar întâmpla o opţiune nu poate valora niciodată mai mult decât activul suport, altfel, un arbitrajist ar cumpăra acţiunea şi ar vinde call-ul. p K şi P K, indică faptul că indiferent de cât de jos poate scădea preţul acţiunii, opţiunea nu poate valora mai mult decât preţul de exercitare, pentru că p Ke -r(t-t), valoarea unui put nu poate fi mai mare decât valoarea prezentă a preţului de exercitare, altfel un arbitrajist ar vinde opţiunea şi ar investi pe piaţă la rata fără risc. Limita inferioară( pentru acţiuni ce nu plătesc dividende): c S 0 Ke -r(t-t), c max( S 0 Ke -r(t-t), 0 ) pentru că o opţiune call poate expira fără valoare dar nu poate fi negativă. În cazul nerespectării inegalităţii, un arbitrajist ar vinde acţiunea pe descoperit (short selling) şi ar cumpăra call-ul, iar diferenţa de bani ar investi-o la rata fără risc, urmând ca la final, în funcţie de preţul acţiunii, să închidă pe descoperit şi să exercite call-ul sau să cumpere mai ieftin acţiunea şi să închidă poziţia short. C c, C S 0 Ke -r(t-t). p Ke -r(t-t) - S 0, p max( Ke -r(t-t) - S 0, 0 ) pentru că un put nu poate fi negativ. Dacă inegalitatea nu se respectă, există posibilitate de arbitraj prin cumpărarea put-ului şi acţiunii pe datorie. La final, dacă preţul activului este sub cel aşteptat, vinde activul, renunţa la put şi după plata datoriilor, rămâne cu profit, iar în caz că preţul este peste aşteptări, exercită opţiunea put, plăteşte împrumutul şi face din nou profit. P K - S 0, altfel s-ar exercita imediat opţiunea. 10

Paritatea put-call Fie două portofolii A şi B: A: un call european şi o sumă de bani egală cu Ke -r(t-t) B: un put european şi o acţiune Ambele au aceaşi valoare: max( S T, K ), la expirarea opţiunilor care, fiind europene, nu pot fi exercitate înainte de maturitate. Valoare prezentă este astfel aceeaşi, adică: c + Ke -r(t-t) = p + S 0. Paritatea put-call indică faptul că valoarea unui call european cu un anume preţ de exercitare şi o dată de maturitate poate fi dedus dintr-un put cu aceeaşi dată de maturitate şi preţ de exercitare, şi reciproca. Nerespectarea acestui deziderat duce la apariţia arbitrajului. Pentru opţiuni americane relaţia este: S 0 K C P S 0 Ke -rt. Dacă aducem în discuţie şi dividendul D, relaţiile devin: c S 0 D Ke -r(t-t) şi p D + Ke -r(t-t) S 0, c + D + Ke -r(t-t) = p + S 0, S 0 D K C P S 0 Ke -rt. 11

3. METODE DE EVALUARE A OPŢIUNILOR Piatra de temelie a estimării valorii unui instrument financiar derivat o constituie articolul lui Fischer Black şi Myron Scholes din 1973 [3]. Formula dezvoltată de cei doi este validată prin cercetarea în paralel a lui Robert C. Merton care ajunge la concluzii similare în articolul publicat în acelaşi an [15]. Cercetările lor nu se opresc doar aici [4-5], [16-17] şi sunt extinse de către alţi oameni de ştiinţă [2,13], prin relaxarea ipotezelor iniţiale ale lui Black, Scholes şi Merton. Formula matematică a lui Black, Scholes şi Merton, ce stă la baza evaluării opţiunilor şi care porneşte de la studiul mişcării browniene cu aplicaţie în finanţe [18-19,24], este următoarea: C t preţul opţiunii de tip call la momentul de timp t S t preţul activului suport (underlying asset) N funcţia de distribuţie normală K preţul de exercitare r rata dobânzii de referinţă (anuală) T-t durata de viaţă a opţiunii σ volatilitatea istorică, o valoare constantă. (1), (2), cu (3), şi (4). Faţă de modelul iniţial (1-4), în care volatilitatea este o valoare constantă, cercetările care au urmat au venit cu o nouă abordare, în care volatilitatea are un comportament stochastic [22-23]. O altă abordare practică, des utilizată de jucătorii de pe piaţa instrumentelor derivate [2], este cea a volatilităţii implicite. Volatilitatea implicită se defineşte ca acea valoare teoretică care verifică la un moment dat preţul real al opţiunii. Ea poate fi obţinută pe baza preţului opţiunii într-un moment anterior sau prin minimizare pe baza unei serii de preţuri ale opţiunii până la un moment dat. Volatilitatea implicită, astfel obţinută, va fi introdusă în formulele (1-4) şi va genera, ca rezultat, preţul estimat al opţiunii: f funcţia care calculează preţul opţiunii, pe baza volatilităţii şi a celorlaţi parametri (1-4) preţul real de pe piaţă al opţiunii (vector de preţuri dacă se foloseşte minimizarea) - volatilitatea implicită a preţului opţiunii (4 ) 12

Din punct de vedere al unei dezvoltări în serie statistică Gram-Charlier, Corrado şi Su [8-10] aduc în prim plan o nouă abordare empirică a estimării preţului opţiunii. Cei doi pornesc de la ipoteza distribuţiei normale a randamentului activului suport şi folosesc, pe lângă medie şi dispersie, alte două momente statistice: skewness şi kurtosis. Formula folosită pentru estimarea preţului opţiunii de tip call în această lucrare este dezvoltată, conform modelului Corrado-Su, de către Negrea [8]. and, momente statistice ale funcţiei de distribuţie normală, i = 2,3,4, e o valoare constantă, valoare corectată a moneyness, este funcţia de densitate este preţul opţiunii Black-Scholes estimat cu în locul lui, i=1,2 (2,3) este preţul opţiunii obţinut cu modelul Corrado-Su Folosind aceeaşi abordare, care determină parametri impliciţi la un moment dat, cu formula (5) se calculează, şi : f funcţia care calculează preţul opţiunii, pe baza, şi şi a celorlaţi parametri (5) vector de preţuri reale de pe piaţă ale opţiunii, minim trei observaţii - volatilitatea implicită a preţurilor ale opţiunii - skewness implicit al preţurilor ale opţiunii - kurtosis implicit al preţurilor ale opţiunii,, Dat fiind faptul că se extrag trei parametri impliciţi cu ajutorul formulei (5) sunt necesare minim trei observaţii ale preţului opţiunii, astfel încât să fie posibilă extragerea variabilelor. (5 ) (5) 13

Modelul de evaluare a opţiunilor (MEO) Mecanismul evaluării opţiunilor este relativ simplu la nivel conceptual, ca organizare şi transfer al datelor. Etapele procesului de evaluare sunt următoarele: 1. Obţinerea tranzacţiilor dintr-o anumită perioadă, pe baza accesării unui fişier de date. 2. Identificarea tranzacţiilor aparţinând unei opţiuni, pe baza analizei câmpurilor din fişier,. 3. Aplicarea formulelor de calcul ce au la bază modelul Black-Scoles-Merton: Evaluarea pe baza volatilităţii implicite 3.1.Evaluare pe baza volatilităţii implicite curente Se obţine volatilitatea implicită prin aplicarea (4 ) pentru ultima tranzacţie cunoscută 3.2.Evaluare pe baza volatilităţii implicite minimizate Se obţine volatilitatea implicită prin aplicarea (4 ) pentru toate tranzacţiile cunoscute 4. Aplicarea formulelor de calcul ce au la bază modelul Corrado-Su Evaluare pe baza volatilităţii, skewness şi kurtosis implicite 4.1. Evaluare pe baza volatilităţii, skweness şi kurtosis implicite curente Se obţin volatilitatea, skweness şi kurtosis implicite prin aplicarea (5 ) pentru ultimele trei tranzacţii cunoscute 4.2.Evaluare pe baza volatilităţii, skweness şi kurtosis implicite minimizate. Se obţin volatilitatea, skweness şi kurtosis implicite prin aplicarea (5 ) pentru toate tranzacţiile cunoscute Pentru determinarea celor trei variabile implicite, volatilitate, skewness şi kurtosis se va folosi un algoritm propriu de minimizarea unidimensională (AMU - prezentat pe larg în capitolul 4), care va fi aplicat succesiv, în cadrul metodei de obţinere a parametrilor Corrado-Su (MOP- CS). Cu ajutorul AMU se calculează o volatilitate implicită, notată σ 0,t-1, bazată pe toate tranzacţiile cunoscute ale unei opţiuni call. Metoda de obţinere a parametrilor impliciţi în formula Corrado-Su (MOP-CS) Pas 1. Se calculează volatilitatea implicită prin miminimizare σ 0,t-1 cu algoritmul AMU. Pas 2. Se introduce σ 0,t-1, calculată al Pasul 1, în formula modificată a lui Corrado-Su, ce ţine cont doar de dezvoltarea în serie statistică după trei momente statistice: medie, sigma şi skewness (6) unde este preţul dat de formula Black-Scoles (1-4) şi este considerat skewness implicit. Se calculează valoarea lui obţinută prin minimizarea cu AMU Pas 3. Se introduc cei doi parametri calculaţi la Pasul 1 şi Pasul 2 în formula (6 ) unde este considerat kurtosis implicit. Se calculează, cu metoda AMU, valoarea lui oţinută prin minimizarea non-liniară. Pas 4. Cele trei variabile implicite, obţinute la Paşii 1-3, sunt soluţii iniţiale pentru minimizarea multidimensională, după trei parametri, folosind fie algoritmul LM al lui Levenberg-Marquardt (echivalent cu backpropagation în reţele neuronale) [24] fie algoritmul NCL al lui Newton modificat (Coleman-Li) [34]. 14

4. ALGORITM DE MINIMIZARE UNIDIMENSIONALĂ ÎNTR-O SERIE DE DATE MODELATE DE O FUNCŢIE CUNOSCUTĂ În această lucrare am utilizat algoritmi cunoscuţi şi consacraţi, dar am şi realizat implementarea unor algoritmi proprii, atât pentru realizarea aplicaţiei care estimează preţurile call, cât şi pentru obţinerea volatilităţii implicite prin minimizare, σ 0,t-1. Rezultatul obţinut la capătul acestui algoritm este volatilitatea implicită minimizată, notată σ 0,t-1, care, introdusă în formula Black-Scholes (1-4), verifică în cel mai bun mod cu putinţă preţurile opţiunii call prin minimizarea după distanţa euclidiană: n numărul tranzacţiilor, de la prima până la penultima C i preţurile reale ale opţiunii în tranzacţia i, valoare dată CE i preţul estimate al tranzacţiei i, o funcţie: CE i = CE i (σ), este minimum. şi luăm Definim: Citim:, deci σ 0,t-1 este acea valoare a σ care face ca să fie Q(σ) minimum. unde şi sunt două valori iniţiale, limitele superioare şi inferioare ale rezultatului, stocate într-un vector σ cu 5 elemente. ε este nivelul de acurateţe, denumit şi toleranţă sau precizie. Pas 1. Pas 2. Pas 3. Sortare ascendentă a vectorului Pas 4.1 Se iau şi se determină poziţiile lor în vectorul astfel ca Pas 4.2 DACĂ NU( ) stop! Algoritmul nu poate găsi un minim global. ALTFEL DACĂ, ATUNCI 15

ALTFEL DACĂ ALTFEL ATUNCI Pas 5. DACĂ, ATUNCI σ STOP! ALTFEL (i.e. ) SARI LA Pas 1. Exemplu numeric: Vectorul σ este iniţializat în Tabelul 4.1: Tabelul 4.1. Prima iteraţie. Pas 1. indici 1 2 3 4 5 σ 0 2.5 5 7.5 10 Valorile elementelor vectorului v sunt calculate în Tabelul 5.2: Tabelul 4.2. Prima iteraţie. Pas 2. indici 1 2 3 4 5 σ 0 2.5 5 7.5 10 v(σ) 100 200 300 400 500 Vectorul v este sortat şi primele trei valori se iau în considerare în Tabelul 5.3: Tabelul 4.3. Prima iteraţie. Pas 3 şi Pas 4 indici 1 2 3 4 5 σ 0 2.5 5 7.5 10 v(σ) 100 200 300 400 500 Se verifică condiţia de atingere a preciziei: Prima iteraţie. Pas 5 σ 1 σ 5 < ε? (i) Dacă inegalitatea (i) este falsă atunci se produce o nouă iteraţie, Tabelul 5.4 Tabelul 4.4. A doua iteraţie. indici 1 2 3 4 5 σ 0 1.25 2.5 3.75 5 v(σ) 100 120 200 280 300 Pasul 4.2, al criteriului de convergenţă ce constă în existenţa a trei valori consecutive minime în vectorul p, este adăugat doar pentru a certifica validitatea rezultatului. Teoretic, nu apare cazul în care metoda nu converge către rezultatul aşteptat. Practic, datorită aproximărilor şi a propagării erorilor, când precizia are o valoare infimă, vectorul p nu mai poate fi sortat corect, datorită diferenţelor mici dintre valorile elementelor vectorului v. Acest caz apare atunci când valorile elementelor lui v sunt foarte greu de obţinut, datorită naturii specifice a setului de date pentru care se face minimizarea. Acest algoritm este important pentru că rezultatul lui este folosit direct în estimarea preţului opţiunii, dar şi pentru faptul că rezultatele obţinute cu el sunt soluţii iniţiale ale calculului parametrilor impliciţi în dezvoltarea în serie statistică a lui Corrado-Su (5). Verificarea rezultatelor ce se obţin cu AMU se face în această lucrare prin comparaţie cu rezultatele obţinute prin utilizarea unor algoritmi consacraţi, implementaţi în mediu de lucru Matlab. 16

Tabelul 5 prezintă extracte dintr-un set de date aparţinând a 62 de tranzacţii ale unei opţiuni, notată O62, împreună cu compararea rezultatelor obţinute cu AMU, prin funcţia sigmaminimizarebisecţie (Anexa 1), şi rezultate obţinute cu funcţia lsqonlin pusă la dispoziţie de Matlab. i. IVIM este volatilitatea implicită σ 0,t-1 obţinută cu AMU ii. IVLM este volatilitatea implicită σ 0,t-1 obţinută cu metoda LM iii. IVTR este volatilitatea implicită σ 0,t-1 obţinută cu metoda NCL Tabelul 5. Extracte volatilităţi implicite σ 0,t-1. No. Zi curentă (t) yyyymmdd Moment tranzacţie hhmm Preţ real (C) Preţ exerciţiu (K) Preţ suport (S) Rata fără risc (r) Zi finală (T) yyyymmdd Durata (T-t) IVIM IVLM IVTR 2 19970108 1623 188 2350 2324.04 3.36 19980930 630 0.102567673 0.102566471 0.102566471 18 19970123 1432 258 2350 2455.13 3.34 19980930 615 0.096840858 0.096842007 0.096842007 31 19970225 1446 377 2350 2610.22 3.32 19980930 582 0.091309547 0.091311419 0.091311419 47 19970530 1445 375 2350 2548.94 3.63 19980930 488 0.093955994 0.093954595 0.093954595 61 19980507 1115 1559 2350 3931.83 3.63 19980930 146 0.094299316 0.094300304 0.094300304 Fie i ϵ{ 2, 18, 31, 47, 61 }. Se observă cu uşurinţă că rezultatele pentru IVLM i şi IVTR i sunt foarte apropiate de IVIM i în Tabelul 6: Aceasta dovedeşte stabilitatea AMU, atunci când se aplică unor seturi de date diferite Diferenţa între procedurile Matlab şi sigmaminimizarebisecţie sunt legate de două aspecte. AMU găseşte întotdeauna un minim global. Metodele care calculează IVTR şi IVLM au nevoie de o soluţie iniţială relativ apropiată de cea finală. AMU în schimb are nevoie de o limită inferioară, care este zero, impusă de constrângerea de non-negativitate a volatilităţii în general, şi o limită superioară. Limita superioară poate fi oricât de mare, astfel încât să încadreze volatilitatea într-un interval de valori chiar aberant de exagerate. Tabelul 6 arată numărul de iteraţii necesar pentru obţinerea IVIM cu AMU: i. LB este limita inferioară (lower bound) ii. UB este limita superioară (upper bound) iii. NI este numărul de iteraţii Tabelul 6. IVIM calculată cu diferite limite inferioare i superioare No. LB = 0 UB = 1 LB = 0 UB = 5 LB = 0 UB = 10 LB = 0 UB = 100 IVIM NI IVIM NI IVIM NI IVIM NI 2 0.102565765380859 18 0.102567672729492 20 0.102567672729492 21 0.102567672729492 25 18 0.096843719482422 18 0.096840858459473 20 0.096840858459473 21 0.096842646598816 25 31 0.091312408447266 18 0.091309547424316 20 0.091309547424316 21 0.091311335563660 25 47 0.093955993652344 18 0.093955993652344 20 0.093955993652344 21 0.093954801559448 25 61 0.094299316406250 18 0.094299316406250 20 0.094299316406250 21 0.094300508499146 25 17

Număr de iteraţii - NI Diferenţele dintre valorile IVIM calculate cu AMU nu sunt semnificative în funcţie de limite, iar valorile pentru limitele superioare de 5 şi 10 sunt identice, pentru că, dat fiind specificul de înjumătăţire a intervalului, iteraţiile converg către acelaşi rezultat. Desigur, valori ca 5, 10 sau 100 pentru volatilitate par aberante, dar scopul AMU este şi acela de a calcula un minim global în orice serie de date. Avantajul lui AMU este ca nu are nevoie să determine valoare derivatei întâi a unei funcţii, ceea ce constiuie un mare avantaj, în special dacă această funcţie nu este cu certitudine continuă. Vom analiza şi erorile pe care această metodă le are, iar în Tabelul 7 este prezentată eroarea maximă absolută pentru datele din Tabelul 7: i. este o matrice cu IVIM determinat cu AMU Table 7. Eroarea absolută pentru IVIM calculată cu diverse limite superioare i pentru numere diferite de observaţii. M EROARE ABSOLUTĂ j 1 2 3 4 LB UB LB UB LB UB LB UB i 0 1 0 5 0 10 0 100 i=1,5; j=1,4 1 0.10256577 0.10256767 0.10256767 0.10256767 0.000001907348632993 2 0.09684372 0.09684086 0.09684086 0.09684265 0.000002861022948997 3 0.09131241 0.09130955 0.09130955 0.09131134 0.000002861022949996 4 0.09395599 0.09395599 0.09395599 0.0939548 0.000001192092895994 5 0.09429932 0.09429932 0.09429932 0.09430051 0.000001192092895994 După cum reiese din datele din Tabelul 7, eroarea absolută este sub 10-5, ceea ce conferă un nivel de încredere ridicat, ţinând cont de faptul că s-a lucrat cu o precizie de 10-5. Un alt aspect important de verificat este acela corelaţiei dintre numărul de iteraţii necesar pentru a converge către rezultat şi limita superioară folosită de AMU. În Figura 3 sunt prezentate aceste corelaţii, care indică o legătură logaritmică, cea ne îndreptăţeşte să credem că limita superioară nu influenţeză, de la un moment dat, numărul de iteraţii într-o proporţie semnificativă. 30 Corelaţie între UB şi NI 25 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 Limită superioară - UB Figure 5. Corelaţie între limita superioară a AMU i numărul de iteraţii necesar pentru obţinerea rezultatului. 18

Calculele pentru determinarea IVIM au fost făcute pentru o precizie de ε = 10-5 = 0.00001. Este important de văzut şi cum această precizie influenţează numărul de iteraţii NI necesare pentru a ajunge la rezultatul scontat. Pentru aflarea legăturii dintre NI şi ε a fost folosită limita superioară de 100, constantă Table 8. Corelaţie între NI i ε Limită Număr de Număr de tranzcţii ε Valoare IVIM superioară iteraţii 100 61 0.00001 25 0.094300508499146 100 61 0.000001 28 0.094300135970116 100 61 0.0000001 31 0.094300275668502 100 61 0.00000001 35 0.094300278578885 100 61 0.000000001 +10000 0.094300280034076 Trebuie menţionat că setul de date O62 este unul special din mai multe puncte de vedere, iar unul dintre acestea este acela că opţiunea nu este foarte lichidă (un alt aspect este acela că este o opţiune de tip LEAP, care se întinde pe o perioadă foarte lungă de timp). De aceea, când o tranzacţie are loc poate fi acompaniată de o fluctuaţie mare a activului suport, iar determinarea distanţei Euclidiene necesită multe calcule şi iteraţii pentru o precizie de ε = 10-9. Pentru alte seturi de date ce au fost testate, rezultate cu timp de răspuns rapid şi numaăr de iteraţii scăzut au fost obţinute şi pentru o precizie de ε = 10-15. Este de presupus ca NI să crească dacă numărul de tranzacţii creşte şi el (seturile de date devin mai mari), de aceea, pentru o precizie de 10-8, se va calcula IVIM pentru diverse serii de date ale unor opţiuni diferite în Tabelul 9. Tot în Tabelul 9 va fi prezentat şi timpul necesar obţinerii rezultatului pentru fiecare set de date de test: Tabelul 9. Număr de iteraţii şi timpul necesare obţinerii IVIM. Limita superioră Număr de tranzacţii Precizie ε Număr de iteraţii Valoare IVIM Timpul în secunde 100 230 0.00000001 35 0.253526121377945 1.13 100 693 0.00000001 35 0.204662009491585 6.26 100 802 0.00000001 35 0.167693538242020 7.30 100 1396 0.00000001 35 0.234531576279551 12.64 100 2331 0.00000001 35 0.163572531891987 21.42 Pentru aceeaşi precizie, opţiuni diferite şi număr de tranzacţii diferite, numărul iteraţiilor necesare pentru a se ajunge la rezultatul scontat este identic, doar timpul de răspuns fiind diferit. Este interesant de văzut şi legătura dintre acest timp de răspuns al AMU implementat prin funcţia sigmaminimizarebisectie şi numărul de tranzacţii al setului de date minimizat unidimensional. Este evident, conform graficului din Figura 6, că există o legătură liniară între timp şi numărul de tranzacţii luat în calcul, ceea ce constituie un punct forte al AMU. Pentru alte serii de date s-au făcut 20 de teste, iar rezultatele sunt prezentate în Anexa 2. 19

No. of transactions 2500 Correlation between no. of transaction and time 2000 1500 1000 500 0 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00 Seconds Figura 6. Dependenţa liniară între numărul de observaţii luate în calcul i timpul de răspuns Ca punct final în prezentarea AMU, se impun câteva concluzii privind utilitatea algoritmului, care, deşi nu la fel de rapid ca alţi algoritmi bazaţi pe derivata întâi a unei funcţii, are punctele sale tari. Cu o precizie decentă: 1. AMU converge întotdeauna către minimum global 2. AMU nu necesită o valoare apropriată de soluţia finală ca soluţie iniţială 3. AMU nu necesită calculul derivatelor de ordin unu sau doi 4. AMU se aplică pentru serii de date modelate de o funcţie continuă, dar şi pentru observaţii în timp discret 5. AMU stă la baza calculului soluţiilor iniţiale pentru minimizarea tridimensională ce conduce la aflarea parametrilor impliciţi: volatilitate, skewness şi kurtosis, folosiţi în modelul de estimare a preţului opţiunii Corrado-Su (5 ). 20

Valori ale preţului opţiunii Valori ale preţului opţiunii 5. METODE COMPUTAŢIONALE FOLOSITE ÎN EVALUAREA OPŢIUNILOR În această lucrare, am stabilit ca obiectiv principal prezentarea modelelor de evaluare a unei opţiuni call (1-4,5, 4,5 ) din perspectiva calculului computaţional şi a problemelor pe care sistemele de calcul le întâmpina în determinarea soluţiilor. Ca ipoteză proprie în evaluarea opţiunilor, consider că estimarea unui instrument derivat trebuie să se facă pe baza tranzacţiilor acestui instrument financiar şi a preţului activului suport, neluând în calcul celelalte instrumente derivate, fie că au aceeaşi clasă de maturitate sau acelaşi activ suport. În sprijinul acestei ipoteze vin graficele din Figura 7 şi Figura 8, care prezintă modalităţi de estimare pe baza volatilităţii implicite curente, notate σ t-1, calculată cu formula (4 ) pe baza primei tranzacţii cunoscute dinaintea momentului curent. 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Preţuri call reale şi estimate 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Tranzacţii Figura 7. Preţuri call: reale-o i estimate-x. Tranzacţii negrupate pe opţiuni. 500 400 300 200 100 0 Preţuri call reale şi estimate 0 5 10 15 20 25 30 35 40 Tranzacţii Figura 8. Preţuri call: reale-o i estimate-x. Tranzacţii grupate pe opţiuni. 21

Caracteristic şi pentru Figura 7 şi Figura 8 este că tranzacţiile fac parte din aceaşi zi, fiind prelucrate în ordinea momentului de tranzacţionare. Diferenţa este dată de faptul că tranzacţiile sunt intercalate în Figura 7, iar în Figura 8 acestea sunt grupate pe opţiuni. Gruparea tranzacţiilor se realizează după două componente ale unui set de date ce conţine tranzacţii: preţ de exerciţiu K şi data exerciţiului T. Pentru fiecare preţ estimat s-a folosit formula (4 ), utilizându-se σ t-1 calculată pentru tranzacţia anterioară. În cazul în care se calculează prima estimare pentru fiecare dintre opţiuni, se foloseşte σ t-1 calculată la cel mai apropiat moment de timp, indiferent de apartenenţa la o opţiune sau alta, pentru că nu se cunoaşte o altă tranzacţie anterioară. Acest lucru este specific doar cazului din Figura 8, pentru că, în lucrarea de faţă, atunci când se estimează preţul call, vor fi folosite tranzacţiile din zilele anterioare specifice unei opţiuni. Datele folosite pentru realizarea estimărilor prezentate în Figura 7 şi Figura 8 se regăsesc în Anexa 3 şi ele sunt tranzacţii reale, care s-au desfăşurat la bursa de opţiuni din Paris MONEP, pe indexul CAC40, în perioada 1.1.1997 30.12.1998 (toate tranzacţiile care stau la baza estimărilor din această lucrare fac parte din această categorie). Conform graficului din Figura 8, estimările pe baza σ t-1 sunt extrem de apropiate de preţul real al opţiunii, însă acest lucru se datorează fluctuaţiilor mici la nivelul parametrilor care stau la baza estimării şi în special a volatilităţii scăzute pe moment a activului suport. Astfel, între o tranzacţie anterioară şi momentul curent, preţul activului se schimbă foarte puţin în cele mai multe din cazuri. De aceea, tendinţa investitorilor pe piaţa opţiunilor este să evalueze în aceeaşi termeni opţiunea, raportându-se la σ t-1, ca măsură a riscului de piaţă. Calculul σ t-1 necesită o atenţie specială, pentru că, datorită obişnuinţei, cel mai adesea e folosită metoda tangentei, pe baza derivatei întâi. Pentru setul de date luat în discuţie în această lucrare trebuie precizat că s-a folosit metoda bisecţiei, care îşi dovedeşte pe deplin superioritatea, prin faptul că are o convergenţă sigură către rezultatul corect. Nu se întâmplă acelaşi lucru şi cu metoda tangentei, care, datorită pasului prea mare pe care derivata îl impune la calcularea rezultatului, sare peste rezultatul corect. Datele de test prezentate mai jos sunt prelucrate în limbajul Matlab: v = [19970102,1039,130,2200,2283.02,3.41,19970327,84] >> [a,b]=raphson(@fcallbs,v,1) ans = numeric... analitic, contor= 101.000000 a = -0.0074 b = -0.0074 >> x = bisection(@calculcallbs,v) ans = Iterative bisection: counter=21 x = 0.1605 >> fcallbs(x,v) ans = 129.9974 >> fcallbs(a,v) ans = -7.1073e-037 Se observă că rezultatul obţinut prin metoda bisecţiei (funcţia bisection) verifică preţul opţiunii (funcţia fcallbs), care este apoximativ egal cu al treilea element din vectorul v (preţul real 22

al opţiunii). Pentru metoda tangentei (funcţia raphson) s-au folosit atât derivata numerică cât şi cea analitică, ambele conducând la acelaşi rezultat total eronat. Vom relua testarea pentru încă un set de date (în speţă, un alt vector), pentru a ne convinge de validitatea ipotezei că rezultatul corect este obţinut doar cu metoda bisecţiei: v2 = [19970102,1032,43,2350,2283.11,3.41,19970327,84] >> [a,b]=raphson(@fcallbs,v2,0.5) ans = numeric... analitic, contor= 95.000000 a = 0.0040 b = 0.0039 >> x = bisection(@calculcallbs,v2) ans = Iterative bisection: counter=21 x = 0.1458 >> fcallbs(a,v2) ans = 4.7836e-029 >> fcallbs(x,v2) ans = 43.0002 Se observă că rezultatul corect este încă odată obţinut doar cu metoda bisecţiei, mai mult, metoda tangentei folosind multiple iteraţii (în ambele cazuri) care conduc la un rezultat complet eronat. Pentru verificarea acurateţei informaţiei referitoare la superioritatea bisecţie în faţa metodei tangentei, în Anexa 4 sunt prezentate funcţiile care calculează volatilitatea curentă. Sunt şi momente în viaţa unei opţiuni când parametrii ce o definesc, prin prisma modelului clasic (4), se schimbă semnificativ, şi aici este vorba, în special de preţul activului, care are salturi bruşte. De aceea se impun şi alte abordări pentru a calcula volatilitatea implicită a activului suport sau chiar de a îmbunătăţi această volatilitatea prin adăugarea unor componente care să o rafineze, cum sunt momentele statistice de ordin 3 şi 4: skewness şi kurtosis. Conform MEO, MOP-CS şi formulelor (1-4, 4, 5, 5, 6, 6 ), avem următoarele preţuri estimate ale unei opţiuni de tip call: n număr total de tranzacţii luate în calcul volatilitatea implicită calculată pentru toate n tranzacţiile unei opţiuni skewness implicit calculat pentru toate n tranzacţiile unei opţiuni - kurtosis implicit calculat pentru toate n tranzacţiile unei opţiuni - volatilitatea implicită calculată pentru ultimele 3 tranzacţii ale unei opţiuni - skewness implicit calculat pentru ultimele 3 tranzacţii ale unei opţiuni - kurtosis implicit calculat pentru ultimele 3 tranzacţii ale unei opţiuni CB - preţuri call estimate cu volatilitatea implicită σ t-1 calculată cu metoda bisecţiei CIM - preţuri call estimate cu volatilitatea implicită σ 0,t-1 - calculată cu AMU. CTR - preţuri call estimate cu - determinate cu NCL. CTRim - preţuri call estimate determinate cu AMU şi NCL CT3lm - preţuri call estimate determinate cu LM. 23

CT3tr - preţuri call estimate determinate cu NCL. C preţuri reale observate. E i - eroarea absolută a celui mai bun estimator pentru tranzacţia i, with i=1,2,,n., j=1,6; CE 1 =CTRim,CE 2 =CTR,CE 3 =CB, I CE 4 =CIM, CE 5 =CT3lm, CE 6 =CT3tr Pentru a verifica fiecare dintre aceste metode de estimare, prezentăm în Tabelul 10 rezultatele obţinute pentru o opţiune, notată O253, cu 253 de tranzacţii observate. Tabelul 10. Extract din estimările cu diverse metode pentru O253 No. CTRim CTR CB CIM CT3lm CT3tr C Aproximarea cea mai bună 3 31.23503 31.24240 32.06597 33.46466 32.08282 28.47791 21.00 CT3tr 7.48 4 32.12003 32.12707 22.69361 18.79348 30.49938 29.41265 35.00 CTR 2.87 5 28.44111 28.44123 35.00001 18.79348 36.94085 36.94062 35.00 CB 0.00 6 30.51123 30.50511 34.35487 32.22584 32.14911 31.09090 35.40 CB 1.05 7 29.31000 29.28037 31.19719 28.75684 38.30589 30.49232 30.00 CT3tr 0.49 89 39.98573 39.98661 49.61491 47.85945 50.51999 50.51835 49.50 CB 0.11 90 40.26415 40.26522 49.45899 47.84313 46.42312 48.67179 50.00 CB 0.54 102 42.18778 42.19056 52.10153 50.83557 53.27301 53.61912 54.50 CT3tr 0.88 103 42.62924 42.63226 54.50000 50.88235 53.67414 52.18936 53.50 CT3lm 0.17 104 43.06983 43.07290 53.42998 50.84697 53.78852 53.17923 52.50 CT3tr 0.68 105 43.51273 43.51616 52.85004 51.21227 49.70802 52.43155 53.00 CB 0.15 106 43.97921 43.98305 52.61257 50.85321 47.08487 52.41635 53.00 CB 0.39 246 0.00036 0.00036 6.11399 3.97552-98.31134 0.60819 4.25 CIM 0.27 247 0.00000 0.00000 4.42852 4.14572-0.14765-0.06389 5.50 CB 1.07 248 0.00000 0.00000 0.43030 0.26067 0.00646 0.12433 1.20 CB 0.77 249 0.00000 0.00000 0.04330 0.00302 2.04003 1.09224 1.90 CT3lm 0.14 250 0.00000 0.00000 3.03375 0.00993 1.17232 1.17232 1.90 CT3tr 0.73 251 0.00000 0.00000 0.70163 0.00107 1.58025 1.57036 1.90 CT3lm 0.32 252 0.00000 0.00000 0.50274 0.00002 0.00000 0.00000 1.00 CB 0.50 253 0.00000 0.00000 2.16930 0.00034 0.00000 0.00000 0.65 CIM 0.65 TOTAL: CTRim-2 CTR-7 CB-110 CIM-27 CT3lm-43 CT3tr-64 Ei După cum se observă, cele mai multe estimări apropiate de preţul real sunt cele care utilizează σ t-1 (110 estimări corecte ale CB). O cotă la fel de importantă o au şi estimările care folosesc (CT3lm şi CT3tr). Aşadar, estimările pe baza ultimelor tranzacţii sunt cele care se apropie de preţul real în majoritatea covârşitoare a cazurilor. În ceea ce priveşte estimările pe baza minimizărilor, acestea au relevanţă în special datorită utilizării σ 0,t-1. În lucrarea de faţă au fost tratate toate minimizările, unidimensionale sau tridimensionale, luând în considerare toate tranzacţiile observate ale unei opţiuni. Aceste minimizări pot fi făcute şi pe grupuri mai restrânse de observaţii, în funcţie de anumite analize tehnice şi grafice ale cursurilor preţurilor call şi ale activului. 24

Interesant de văzut este şi comportamentul metodelor de estimare şi pentru O62, care, reamintesc, este o opţiune nu foarte lichidă. Desigur, în cazul O62 se poate lua în discuţie şi continuitatea spaţiului, datorita tranzacţiilor foarte rare. Tabelul 11. Extract din estimările cu diverse metode pentru O62 No. CTRim CTR CB CIM CT3lm CT3tr C Aproximarea cea mai bună Ei 3 213.62 213.62 189.96 184.48 168.34 147.37 182.00 CIM 2.48 4 225.12 225.12 207.82 209.40 191.29 174.79 215.00 CIM 5.60 5 235.10 235.10 215.00 210.71 196.91 196.91 210.00 CIM 0.71 6 231.24 231.24 229.75 230.30 230.65 190.43 225.00 CB 4.75 10 229.04 229.04 217.25 223.75 229.71 183.73 225.80 CIM 2.05 11 230.90 230.90 220.77 218.89 231.25 187.58 223.00 CB 2.23 12 231.56 231.56 237.01 233.38 189.37 189.37 230.00 CTRim 1.56 32 395.41 395.41 493.93 498.39 395.19 395.19 471.00 CB 22.93 33 365.30 365.30 493.93 498.32 476.86 384.63 471.00 CT3lm 5.86 43 446.25 446.25 354.02 341.64 446.24 446.23 350.00 CB 4.02 44 420.34 420.34 433.12 427.48 420.79 416.28 410.00 CSt3 6.28 45 312.46 312.46 446.23 451.28 310.27 310.27 448.00 CB 1.77 46 367.91 367.91 422.63 426.50 395.39 368.57 428.00 CIM 1.50 47 623.47 623.47 326.91 324.48 0.00 623.61 375.00 CB 48.09 57 1532.52 1532.52 817.06 805.48 0.00 1532.52 799.00 CIM 6.48 58 1581.94 1581.94 1534.01 1534.01 1581.94 1581.94 1457.00 CB 77.01 59 1615.71 1615.71 1532.52 1532.52 1615.71 1615.71 1476.00 CB 56.52 60 1800.10 1800.10 1581.94 1581.94 1800.10 1800.10 1520.00 CB 61.94 61 0.00 0.00 1615.71 1615.71 0.00 0.00 1559.00 CB 56.71 62 0.00 0.00 1800.10 1800.10 0.00 0.00 1758.00 CB 42.10 TOTAL: CTRim-2 CTR-3 CB-37 CIM-17 CT3lm-1 CT3tr-2 Ca şi în cazul O253 şi în cazul O62 metoda care estimează cel mai apropiat de preţul real al call-ului este cea care calculează CB, pe baza σ t-1 (mai mult de jumătate din estimări). De data aceasta, preţul CIM, pe baza σ 0,t-1, este următorul ca pondere în estimările cele mai apropiate de preţul real al opţiunii. Deşi estimările pe baza formulelor (5,5 ) ale modelului Corrado-Su nu au o pondere foarte importantă în cazul lui O62, acest lucru se poate datora caracterului nelichid al opţiunii. Pentru a găsi un şablon care să ofere un punct de reper în alegerea celei mai bune metode de estimare a preţului opţiunii, am realizat, ca obiectiv al aceastei lucrări, şi un model de aplicaţie care să ofere utilizatorului posibilitatea de realiza diverse operaţii legate de analiza preţului unei opţiuni call. 5.1. MINI-APLICAŢIE PENTRU EVALUAREA PREŢULUI OPŢIUNII CALL (MAPEPOC) Obiective principale 1. Sortarea tranzacţiilor dintr-un fişier F pe grupe specifice unei opţiuni call 2. Estimarea preţului unui call pe baza: CB şi σ t-1 CM şi σ 0,t-1 CTRim şi CT3tr şi 25

3. Afişarea tuturor tranzacţiilor unei opţiuni call extrase din fişierul F 4. Realizarea unor estimări pe baza filtrărilor tranzacţiilor 5. Exportarea, sub forma unui fişier CVS, a tranzacţiilor aparţinând unei opţiuni Resurse hardware şi software Din perspectiva eficienţei calculelor ce conduc la estimarea opţiunii, resursele hardware sunt destul de importante, la nivelul procesorului şi memoriei volatile, dar unul din scopurile MAPEPOC este şi acela de a propune o modalitate eficientă şi din perspectiva vitezei de lucru. Resursele minime şi cele optime pentru ca MAPEPOC să ruleze sub sistemul de operare Windows sunt următoarele: COMPONENTĂ CERINŢE MINIME CERINŢE OPTIME procesor: 1600 MHz 2.x GHz, Core2Duo memorie RAM: 1 GB 4 GB monitor: 16 culori 16 000K culori hard-disk: 10 GB, 5600 rpm 7200 rpm mouse: orice model compatibil orice model compatibil imprimantă: opţional opţional Parametrii pentru resursele hardware au fost determinaţi prin extrapolarea rezultatelor rulării unor funcţii de estimare a preţului opţiunii pe 2 sisteme de calcul, cu următoarele specificaţii de importanţă majoră pentru aplicaţia AC: Notebook Asus FS3, Windows 7, 2.4 GHz Intel Core 2 Duo, 3 GB RAM, hard-disk 5600 rpm HP sistem desktop, Windows XP, 3 GHz Intel, 1.5 GB RAM, hard-disk 5600 rpm Per ansamblu, resursele hardware sunt destul de importante în special în ceea ce priveşte procesorul şi destul de importante în ceea ce priveşte memoria RAM, datorită calculelor complexe pe care minimizarea tridimensională le impune. În privinţa resurselor software, MAPEPOC va fi realizată utilizând platforma Matlab, care oferă, pe lângă facilitarea calculelor matriceale şi punerea la dispoziţie a numeroşi algoritmi deja implementaţi, şi posibilitatea realizări unei interfeţe. Pentru ca MAPEPOC să ruleze sub forma unei aplicaţii standalone este necesară instalarea maşinii virtuale Matlab, care ocupă în jur de 430 MB spaţiu pe hard-disk. În cazul instalării mediului de lucru Matlab în întregime (necesită 1 GB spaţiu pe hard-disk), aplicaţia poate fi rulată şi din linia de comandă Matlab şi ca aplicaţie standalone. Formate de intrare-ieşire Din perspectiva datelor de intrare, MAPEPOC este gândită a utiliza un fişier standard care conţine următoarele 8 coloane: data curenta, ora, preţ call, preţ activ, preţ de exerciţiu, rata, data exerciţiu, durata. Pentru a importa datele în aplicaţie, va fi utilizată o fereastră standard care va permite utilizatorului să aleagă fişierul F. În prealabil, este pusă la dispoziţie o 26

fereastră, notată FSELECT, care să ofere utilizatorului posibilitatea de selecta ordinea câmpurilor din fişier. La nivelul datelor de ieşire se impune realizarea unor formate care să fie uşor interpretat de către utilizator şi care trebuie să îndeplinească următoarele cerinţe: 1. Afişarea, într-un tabel T1, a elementelor definitorii pentru ultima tranzacţie a fiecărei opţiuni identificate în fişierul F (câmpurile preţ de exerciţiu şi data exerciţiu sunt cheile de identificare pentru ca o tranzacţie să aparţină unei opţiuni). 2. Afişarea celor patru preţuri call estimate în componente de tip text, notate TEXTESTIM, şi a parametrilor impliciţi, ce stau la baza estimării, în componente de tip text, notate TEXTPARAM: CB şi σ t-1 CM şi σ 0,t-1 CTRim şi CT3tr şi 3. Afişarea, în componente de tip text, a preţului call real, TEXTCALL, şi a preţului activului, TEXTACTIV, pentru fiecare din opţiunile estimate 4. Realizarea unor câmpuri de editare, notate CFILT, prin care să se poată alege tranzacţia de început şi cea de sfârşit, în cazul în care se doreşte realizarea estimării cu o filtrare prealabila a setului de date 5. Realizarea unor câmpuri, notate CESTIM, care să permită selectarea individuală a modalităţii de estimare 6. Afişarea, într-un tabel T2, a tuturor tranzacţiilor unei opţiuni 7. Afişarea informaţiilor suplimentare privitoare la operaţiile pe care utilizatorul le solicită aplicaţiei, într-o componentă text, notată TEXTINFO. 8. Realizarea unui meniu care să permită următoarele operaţii: MENIU1: import fişier MENIU2: selectare coloane în FSELECT MENIU3: copiere în clipboard a datelor ultimei estimări 5.2. INSTRUCŢIUNI DE UTILIZARE A MAPEPOC Plecând de la o abordare minimalistă şi intuitivă, aplicaţia pune utilizatorul în temă de la început cu privire la componentele care urmează să afişeze rezultatele estimării. Fiecare dintre aceste componente sunt iniţializate după cum urmează: 1. TEXTPARAM Black-Scholes V crt - σ t-1 V min - σ 0,t-1 2. TEXTPARAM Corrado-Su V crt - S crt - K crt - V min - S min - 27

K crt - 3. TEXTESTIM Black-Scholes P crt preţ call estimat cu σ t-1 P min preţ call estimat cu σ 0,t-1 4. TEXTESTIM Corrado-Su P crt preţ call estimat cu P min preţ call estimat cu Figura 9. Schema de utilizare a MAPEPOC În prelabil importului fişierului F, se alege ordinea coloanelor prin utilizarea MENIU2 şi modificarea datelor implicite din FSELECT Figura 10. FSELECT 28

Odată cu importul datelor, opţiunile vor fi afişate în T1, de unde, prin accesarea oricăreia dintre primele trei coloane (No. Call, Strike, Data exercitiu) de pe rândul ce conţine ultima tranzacţie a fiecărei opţiuni, se va începe procedura de estimare. Pentru afişarea tuturor tranzacţiilor ce aparţin unei opţiuni din T1, se va accesa coloana a 4-a (No. obs.): Figura 11. Import de fi ier CSV Estimarea preţului call se încheie automat cu afişarea rezultatelor Figura 12. Estimare Figura 13. Afi are rezultate Prin utilizarea componentelor CFILT care permit filtrarea datelor fiecărei opţiuni, prin reducerea setului de tranzacţii la anumite dimensiuni, se pot obţine şi estimări care să ia în considerare fie tranzacţii mai recente celei curente fie tranzacţii mai vechi, în cazul în care se doreşte o analiză comparativă. 29

Figura 14. Afi are rezultate după filtrare Prin accesarea coloanei a patra se obţine T2, care conţine istoricul tranzacţiilor unei opţiuni: Figura 15. Apelare istoric Istoricul se afişează în T2, şi, ca facilitate, utilizatorul poate să exporte într-un fişier cu format CSV datele conţinute de T2, prin accesare meniului Export. 30

Figura 16. Transfer date din T2 în fi ier CSV prin accesarea meniului Export Figura 17. Export date din T2 O altă facilitate este aceea a afişării grafice a oricărei coloane din T2, prin selectarea acelei coloane şi a meniului Grafic. Implicit, dacă nicio coloană nu este selectată, se afişează graficul preţului real call de-a lungul întregii vieţi a opţiunii. Figura 18. Apelare grafic call prin selectarea coloanei Call i accesare meniului Grafic Figura 19. Afi are grafic call 31