Lección inaugural curso académico 2010_2011 A Coruña, 20 de setembro de 2010
Prof. Ana Dorotea Tarrío Tobar 6 Catedrática de Escola Universitaria da área de Matemática Aplicada da Universidade da Coruña Unha aproximación á xeometría
4
Prof. Ana Dorotea Tarrío Tobar Catedrática de Escola Universitaria da área de Matemática Aplicada da Universidade da Coruña Unha aproximación á xeometría
Sr. Reitor Magnífico da Universidade da Coruña, Sr. Presidente do Consello Social, autoridades, membros da comunidade universitaria, señores e señoras: É unha honra para min poder impartir a lección inaugural do curso 2010/2011 en representación da Escola Universitaria de Arquitectura Técnica. Xa vai facer un cuarto de século que empecei a miña carreira profesional neste centro e desde entón non deixei de lles ensinar matemáticas aos futuros arquitectos técnicos; non sei se é o que mellor sei facer, pero si o que máis me gusta. Os matemáticos e matemáticas que estamos explicando esta ciencia en titulacións alleas á nosa temos certo sentimento de culpa, de incomprensión, e sentimos a necesidade de xustificar por que as matemáticas son imprescindibles. Lembro as palabras do medalla Fields David Mumford 1 : Estou afeito, como matemático profesional, a vivir nunha sorte de baleiro, rodeado de xente que se declara, con orgullo, analfabeta en matemáticas. Ou do etólogo, zoólogo e escritor Richard Dawkins: Converteuse case nun comentario clixé, que ninguén hoxe en día alardea de ser un ignorante en literatura, mais é aceptable socialmente alardear de ignorar a ciencia e afirmar orgulloso que se é un incompetente en matemáticas. 1 A Medalla Internacional para Descubrimentos Sobresalientes en Matemáticas (coñecida como Medalla Fields) é unha distinción que concede a Unión Matemática Internacional cada catro anos. Ante a carencia dun Premio Nobel de Matemáticas, o matemático John Charles Fields sentou as bases para instaurar este galardón aos mellores matemáticos en tempos anteriores á segunda guerra mundial. O matemático David Munford recibiu a Medalla Fields en 1974. 7
Como a Mundford e a Dawkins, certamente en ocasións invádenos este sentimento pesimista; tamén é verdade que moitas veces ao longo da historia os matemáticos foron autocompracentes e presuntuosos ao creren que non había nada que xustificar nin que explicar, senón que as matemáticas se defenden por si mesmas, pola súa estética intrínseca e a súa beleza; co que contribuíron, ao meu entender, a crear esa imaxe ás veces negativa que cómpre desterrarmos. Mais existen, así mesmo, os que animan a coñecelas e aseguran a cambio un mundo paradisíaco. Un exemplo témolo nas palabras do matemático americano Donal O Shea: 8 A maioría da xente, traumatizada polas malas experiencias escolares desta materia, sabe moi ben que as matemáticas son a disciplina máis meticulosa e esixente, pero poucos chegan a apreciar que é a máis liberadora e imaxinativa das actividades humanas. A precisión absoluta é o prezo que hai que pagar pola liberdade de soñar con sentido. Despois desta afirmación tan rotunda, quizais debamos ser máis comprensivos con eses matemáticos que semellan absortos, idos, noutro mundo; non é que sexan raros, non, sinxelamente son felices. Con todo, como a virtude está no termo medio, a definición máis adecuada, na miña opinión, é a que faría cada un da súa profesión: a matemática é unha actividade creadora, realizada por seres humanos comúns, que senten unha particular atracción por ese tipo de manifestación cultural. Cando me informaron de que me correspondía dar esta lección inaugural, pensei que era unha boa ocasión para divulgar o papel das matemáticas no mundo que nos rodea, en especial o necesarias que son nas carreiras técnicas; os múltiples, e ás veces descoñecidos, usos desta ciencia en cada proceso
de construción, mecánico, de deseño ou de control de calidade. Seguro que aos meus colegas matemáticos lles gustaría que aproveitase para isto esta ocasión. Podería centrarme unicamente nas matemáticas na arquitectura e na construción e expoñer moitos exemplos do imprescindibles que resultan ao longo da historia. Poderiamos falar dos exipcios, eles non construíron a gran pirámide de Gizeh dándolle unhas medidas ao azar, senón que as súas proporcións manteñen unhas relacións matemáticas moi interesantes: o cociente entre o lado e a altura é π/2, e a área de cada unha das caras triangulares laterais coincide coa dun cadrado de lado igual á altura. Existen aínda grandes debates sobre outras relacións matemáticas na construción desta pirámide, en que non vou entrar. A antítese da arquitectura exipcia ou da mesopotámica, caracterizada pola colosalidade e a desproporción, encontrámola nos gregos. Para eles a beleza é, ante todo, proporción e medida. Sérvense como ninguén do número de ouro, un número nada fácil de imaxinarmos, que convive coa humanidade porque aparece na natureza. Podémolo atopar, por exemplo, nas cunchas dos caracois mariños que medran en función das relacións áureas, ou mesmo nas piñas ou nas follas que se distribúen no talo dunha planta. As falanxes da nosa man gardan esa relación, o mesmo que a lonxitude da cabeza e a súa anchura. Desde a época grega até os nosos días este número aparece sistematicamente na arquitectura, na arte e no deseño. O número de ouro represéntase coa letra grega en honor a Fidias, o arquitecto que o usou na construción do Partenón. Poderiámonos introducir tamén na arquitectura dos árabes, no deseño das columnas, os arcos e cúpulas que son os tres elementos que a caracterizan e que lle dan esa peculiar beleza e 9
orixinalidade. Teriamos que falar de Leonardo da Vinci e a presenza das matemáticas en toda a súa obra; ou das escolas de enxeñaría e as escolas militares en España, onde o prestixio social dos mestres de obra aumentaba en función dos seus coñecementos matemáticos. Incluír Gaudí 2 sería obrigado. Un dos elementos empregados profusamente por el é a curva catenaria. Foi o primeiro en utilizala na arquitectura común; cando era novo estudara as propiedades desta curva como elemento mecánico, algo que era ben coñecido polos enxeñeiros na construción de pontes. A procura de novas solucións estruturais tivo a súa culminación cando Gaudí aplicou todas as súas investigacións na súa obra máis famosa, a Sagrada Familia, utilizando unha estrutura que agora denominamos fractal e usando bóvedas baseadas en paraboloides e hiperboloides entrelazados e columnas helicoidais. Podería chegar até Le Corbusier 3, coñecido arquitecto francés que no seu libro Cara a unha nova arquitectura, verdadeiro manifesto para moitas xeracións de arquitectos, fai constantes referencias á importancia das matemáticas, mostra unha fe total na orde que esta ciencia impón, declara a súa fascinación polo número de ouro ou pola serie de Fibonacci 4 e afirma tallantemente o seguinte: 2 Antoni Gaudí Cornet (Reus 1852; Barcelona 1926). Pódese dicir que foi un dos máis importantes e orixinais arquitectos da historia. O seu estilo é unha mestura entre o art nouveau (modernismo) e o neogótico, aínda que nalgunhas das súas obras poden atoparse elementos cubistas e surrealistas. Finou o 10 de xuño de 1926 despois de ser atropelado por un tranvía na cidade de Barcelona, onde estaba a traballar na súa derradeira obra, o Templo Expiatorio da Sagrada Familia. 3 Charles Édouard Jeanneret-Gris, coñecido como Le Corbusier (La Chaux de Fonds 1887; Cap Martin 1965), arquitecto, deseñador e pintor suízo nacionalizado francés. É considerado un dos máis claros expoñentes do urbanismo e da arquitectura do século XX, e unha das súas figuras máis influentes. 4 En matemáticas coñécese como sucesión de Fibonacci a seguinte sucesión infinita de números naturais: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 10
A xeometría solucionará os problemas da arquitectura. Se Le Corbusier pensaba isto e eu escollese este tema quizais os meus compañeiros de centro se sentirían máis identificados coa miña exposición. Seguín cavilando sobre que temas podería tratar e daquela indaguei na listaxe de profesores que me precederon impartindo a lección inaugural na Universidade da Coruña. Decateime de que entre todos, vinte en total, non había ningunha profesora E entón pensei que este momento supón unha gran responsabilidade precisamente por este feito e porque sinto que aquí poderían estar outras moitas mulleres, con moitos máis méritos ca min, profesoras dedicadas á docencia e á investigación nas distintas ramas do coñecemento. Sen dúbida, gustaríame que elas sentisen que tamén están aquí falando para todos vostedes e desexo que esta nesgada estatística cambie de tendencia. De elixir o tema da muller na universidade sería obrigado cando menos citar as mulleres matemáticas que até hai moi poucos anos eran descoñecidas e que tiveron que pasar verdadeiras dificultades non só para alcanzaren este recoñecemento, que non era o seu obxectivo, senón para poder dedicarse a ensinar ou investigar nesta ciencia, considerada, até hai poucos anos, impropia do sexo feminino. Poderiamos dar unha listaxe moi numerosa, desde Téano, que no século VI a. C. dirixiu a escola pitagórica; Hypatia, científica grega considerada a primeira muller dedicada á ciencia, cuxa 144,... Nela, cada elemento, que recibe a denominación de «número de Fibonacci», é a suma dos dous anteriores. Foi descrita por Leonardo de Pisa, matemático italiano do século XIII tamén coñecido como Fibonacci, e ten numerosas aplicacións nos ámbitos das ciencias da computación, as matemáticas e a teoría de xogos. 11
vida está ben documentada; María Gaetana Agnesi, matemática, lingüista, humanista do século XVIII; Sophie Germain, muller destacada no Século das Luces, que fixo importantes contribucións á teoría de números e á teoría da elasticidade; Mary Sommerville, que popularizou no século XIX a astronomía e escribiu multitude de ensaios; Emmy Noether, a prestixiosa alxebrista que a principios do século XX non se lle permitía habilitarse por ser muller; ou a coruñesa María Wonenburger, a primeira española que obtivo unha bolsa Fullbright para realizar a tese de doutoramento nos Estados Unidos de América. Créanme que tardei anos desde que rematei a miña carreira en saber que conceptos fundamentais como a famosa cúbica de Agnesi, os aneis noetherianos ou a teoría de Kac-Moody foran descubertos e estudados por mulleres. Podería falar das vicisitudes persoais e dos descubrimentos destas científicas, e de seguro resultaría sorprendente e enriquecedor. Despois de todas estas elucubracións sobre que tema elixir, cando xa non podía esperar máis para escoller o núcleo central desta lección, pensei que desde a primeira vez que asistira a unha apertura de curso, sendo estudante de primeiro, o que máis me sorprendía, e debo confesar que admiraba, era a parte sistemática e tradicional do acto; non só nos aspectos formais: procesión, indumentaria e himnos, senón que, curso tras curso, un profesor expuña unha longa lección de algo moi especializado que el dominaba e que a maioría do público escoitaba cun estoicismo sorprendente. A miña atracción por este acto, sentimento que entendo que é difícil de compartir, fixo que me decantase pola tradición e elixise como tema central algo que me resulta próximo, unha parcela da xeometría que é a xeometría integral e que enmarcarei no contexto español. 12
Despois de comezar a traballar no ámbito da xeometría riemanniana dediquei varios anos do meu traballo investigador á xeometría integral, moi satisfactorios no persoal e profesional. Historia da xeometría É razoable pensarmos que as orixes da xeometría xorden cos primeiros pictogramas que traza o ser humano, pois seguramente clasificaba o que o rodeaba segundo a súa forma. Na abstracción destas formas comeza o primeiro acercamento á xeometría. Logo dos primeiros documentos gráficos da época prehistórica virá a xeometría no antigo Exipto, que estaba moi desenvolvida, como admitiron Heródoto, Estrabón e Diodoro, que aceptaban que os exipcios «inventaran» a xeometría e llela ensinaran aos gregos. Aínda así, o único que perdurou foron algunhas fórmulas para calcular volumes, áreas e lonxitudes, cuxa finalidade era práctica. Con elas pretendíase, por exemplo, calcular as dimensións das parcelas, para reconstruílas despois das inundacións anuais, e de aí o nome de μ ί («xeometría, medición da terra»), de ῆ («terra») e máis μ ί («medición»). Temos despois a xeometría grega antes de Euclides, onde destacan Tales e Pitágoras 5 e a súa escola. Nesta época é 5 Pitágoras (Samos, 582 a. C.; Metaponto 496 a. C.) foi o primeiro pensador que intentou conciliar as matemáticas coa filosofía, unha das maiores achegas realizadas á civilización ao longo de toda a historia. Pasa por ser o introdutor de pesos e medidas, descubridor da teoría musical, inventor da xeometría e da aritmética teórica; o primeiro en soster a forma esférica da terra ou en postular o baleiro. Creou a Escola Pitagórica, de grande influencia social e política. O resultado polo que é mais coñecido é o famoso teorema de Pitágoras. 13
medido o raio da Terra por Eratóstenes 6, así como a distancia á Lúa 7. Xorde entón un pequeno problema que consiste no seguinte: unha demostración parte dunha ou varias hipóteses para obter un resultado denominado tese. A veracidade da tese dependerá da veracidade das hipóteses e da validez do razoamento con que se obtivo (isto será estudado por Aristóteles ao crear a lóxica), polo que debemos partir de hipóteses certas para poder afirmar con rotundidade a tese. Éntrase aparentemente nun proceso sen fin en que as hipóteses se converten indefinidamente en teses que deben ser probadas. Euclides 8, vinculado ao Museo de Alexandría e á súa Biblioteca, resolve a cuestión ao propoñer un sistema de estudo en 6 Eratóstenes (Cirene, 284 a. C.; Alexandría 194 a. C.) foi director da Biblioteca de Alexandría. Após recordar que no solsticio de verán os raios solares caían verticalmente na cidade de Asuán, situada no mesmo meridiano que Alexandría, mediu a sombra producida por unha estaca vertical en Alexandría e, ao coñecer a lonxitude desta, achou o ángulo do arco de meridiano entre as dúas cidades. Faltaba coñecer a distancia entre elas, que Eratóstenes estimou, pola duración da viaxe, duns 5000 estadios, que equivalerían hoxe a uns 800 km. Con estes datos o cálculo do raio xa é inmediato. 7 Aristarco (310 a. C. - 230 a. C.) determinou por primeira vez a distancia á Lúa baseándose nunha eclipse lunar de máxima duración, co fin de que a Lúa pasase polo centro da sombra da Terra. Calculou que o tempo que tardaba a Lúa en ser ocultada pola sombra da Terra era aproximadamente o dobre do que duraba a eclipse total de Lúa, polo que o diámetro da sombra era unhas dúas veces o tamaño do diámetro lunar. Ademais o tempo que tardaba a Lúa en ocultarse era aproximadamente dunha hora, é dicir, que a Lúa avanzaba no ceo nunha hora o seu propio diámetro. Como se sabía que a Lúa tardaba 29,5 días en dar a volta á Terra, resultaba que facían falta 708 diámetros lunares para formar o círculo completo, así que a distancia á Lúa era de 225,4 veces o raio lunar. Por semellanza de triángulos dedúcese que esa distancia son 79 radios terrestres (en realidade son 60). 8 Euclides de Alexandría (360 a. C - 295 a. C.) foi un profesor, matemático e escritor educado en Atenas que frecuentou a Academia de Platón 14
que se dá por sentada a veracidade de certas proposicións por seren intuitivamente claras, e deducir delas todos os demais resultados. O seu método sintetízase na súa obra cume, os Elementos, modelo de sistema axiomático-dedutivo. Sobre tan só cinco postulados e as definicións que precisa constrúe toda a xeometría e a aritmética coñecidas até o momento. A súa obra, en trece volumes, perdurará como única verdade xeométrica até entrado o século XIX. Durante a Idade Media, a matemática comeza novos camiños coa álxebra. Ademais, o occidente latino familiarízase coa trigonometría árabe a través de traducións de libros de astronomía que comezaron a aparecer no século XII. A influencia hindú e árabe é moi importante neste momento; mais a xeometría apenas ten novas achegas, agás algúns teoremas sobre a disputa do quinto postulado de Euclides. E iso que en Occidente a xeometría é unha das sete artes liberais (encadrada concretamente no quadrivium 9 ), mais as escolas e universidades limítanse a ensinar os Elementos. No Renacemento xorden novas necesidades de representación da arte e da técnica que empuxan certos humanistas a estudaren propiedades xeométricas para obteren novos instrumentos que lles permitan representar a realidade. Aquí enmárcanse as figuras do matemático e arquitecto Luca Pacioli; de Leonardo da Vinci, de Alberto Durero, de Leone Battista Alberti, de Piena etapa de máximo esplendor da cultura helenística. Trátase do creador da famosa xeometría euclidiana: o espazo euclidiano, inmutable, simétrico e xeométrico, metáfora do saber na antigüidade clásica, que se mantivo incólume no pensamento matemático medieval e renacentista, pois só nos tempos modernos puideron ser construídos modelos de xeometrías non-euclidianas. 9 O quadrivium comprendía as catro materias ensinadas nas universidades medievais despois do trivium. En latín quadrivium significa «as catro vías», «os catro camiños». Nas teorías educativas da Idade Media, o quadrivium abranguía aritmética, xeometría, música e astronomía. 15
ro della Francesca, por citar só algúns nomes. Todos eles, ao descubriren a perspectiva e a sección, crean a necesidade de sentar as bases formais en que alicerzar as novas formas de xeometría: a xeometría proxectiva, cuxos principios fundamentais aparecen da man de Desargues no século XVII e que foi estudada en profundidade por Pascal, Monge e Poncelet. Sen dúbida, a xeometría na Idade Moderna está marcada pola xeometría cartesiana. René Descartes, filósofo e matemático francés precursor do racionalismo, no seu apéndice ao Discurso do método propón unha nova forma de resolver problemas xeométricos e, por tanto, de investigar. Aparecen os conceptos que hoxe manexamos asiduamente: os eixes cartesianos ou as coordenadas dos puntos nun plano. O novidoso desta técnica, denominada tamén xeometría analítica, é que permite representar figuras xeométricas mediante fórmulas. Así as rectas pódense expresar como ecuacións polinómicas de grao 1 e as cónicas como ecuacións polinómicas de grao 2. Descartes só considera valores positivos das cantidades x e y, dado que nesa época aínda non eran ben aceptados os números negativos. Co tempo incluíronse as modificacións que mostran o método tal e como o coñecemos hoxe. A xeometría na Idade Contemporánea non se entende sen as achegas dese xenio chamado Gauss, o «príncipe das matemáticas» 10. A principal contribución de Gauss á xeometría 10 Johann Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777; Göttingen 1855), foi un matemático, astrónomo e físico considerado un dos matemáticos que más influencia tivo na historia: unha opinión compartida pola maioría dos historiadores da ciencia é que Gauss, Arquímedes e Newton son os tres grandes xenios das matemáticas. Non se pode entender o avance e a revolución das matemáticas do século XIX sen a figura de Gauss. As súas achegas prodúcense en todos os campos das matemáticas: teoría de números, análise, xeometría, astronomía, xeodesia, teoría de erros; e da física: magnetismo, óptica, teoría do potencial. 16
é a creación da xeometría diferencial, ao retomar as ideas que sobre as relacións entre a análise matemática e a xeometría había até entón e desenvolvelas amplamente. Partindo da base de que a xeometría estuda o espazo, as curvas e as superficies, establece a noción fundamental de curvatura dunha superficie, dá a definición de curva xeodésica e demostra que se consideramos que unha xeodésica é unha curva que minimiza a distancia entre dous puntos sobre unha superficie, daquela existen superficies en que os triángulos formados polas xeodésicas miden máis que a medida de dous ángulos rectos e outras en que miden menos. Isto, esencialmente, é contradicir o quinto postulado de Euclides e introducir a idea moderna de que tal postulado está relacionado coa curvatura. Estes argumentos levaron a Gauss a considerar a posibilidade de crear xeometrías non-euclidianas; no entanto, aínda que a esas alturas xa era o matemático máis prestixioso de Europa, xulgou que a mentalidade da época non estaba preparada para tal novidade e nunca publicou eses resultados. Entre os matemáticos que viviron na mesma época que Gauss e que fixeron contribucións moi notables á xeometría debe salientarse o matemático ruso Nicolái Lobachevski 11, que foi duramente criticado polos matemáticos destacados do momento até que obtivo o apoio público de Gauss. Na actualidade, Lobachevski comparte, xunto co matemático húngaro János Bolyai, o recoñecemento de ser os creadores da xeometría hiperbólica. 11 Lobachevski (Nizhni Nóvgorod 1792; Kazán 1856) foi un destacadísimo matemático ruso do século XIX, creador dunha das xeometrías non-euclidianas, a xeometría hiperbólica, xunto ao húngaro J. Bolyai e o matemático alemán C. F. Gauss. Foi reitor da Universidade de Kazán durante dúas décadas e un traballador infatigable. En palabras de Clifford, Lobachevski era bastante máis que un matemático, e cualificouno como «o Copérnico da xeometría». 17
Deste último sábese que Gauss comentaba en privado 12 que era un xenio, mais fíxolle ver que el xa chegara aos mesmos resultados, o que o prexudicou a Bolyai persoal e profesionalmente; en toda a súa vida publicou unicamente vinte e catro páxinas recollidas nun tratado que fixo historia: un apéndice a un libro de texto do seu pai, tamén matemático. O matemático alemán Felix Klein 13 é unha persoa clave da xeometría no século XIX. O seu traballo supuxo a consagración da xeometría proxectiva. En 1872 Klein presentou unha clasificación da xeometría, o chamado Programa de Erlangen, que puxo fin á escisión entre xeometría pura e xeometría analítica. Nesta clasificación o concepto de grupo desempeña un papel 12 Gauss a Farkas Bolyai, o pai de János: Agora, algúns comentarios sobre o traballo do teu fillo. Se comezo dicindo «non podo encomialo», daquela o máis probable é que esteas sorprendido, mais non podo facer outra cousa, pois enxalzalo sería eloxiarme a min mesmo. Todo o contido da obra, o camiño que o teu fillo tomou e os resultados a que conduce están case perfectamente de acordo coas miñas propias meditacións, algunhas desde fai 30 ou 35 anos. En verdade, sorpréndeme. A miña intención era non dar a coñecer nada do meu propio traballo en vida. A maioría de persoas non teñen un verdadeiro sentido do que está en xogo, e atopei moi poucas que teñan especial interese. Para apreciar o que está pasando débese en primeiro lugar ter un coñecemento real do que falta, e neste punto a maioría están na escuridade. Doutra banda, foi a miña intención escribir todo para que non se perda comigo. Así que estou realmente sorprendido de que eu sexa agora librado deste esforzo, e é a maior alegría para min que precisamente o fillo do meu vello amigo sexa quen me preceda, dun xeito tan notable. 13 Felix Klein (Düsseldorf 1849; Göttingen 1925) foi un matemático alemán cuxo traballo incidiu na xeometría non-euclideana e nas interrelacións entre a teoría de grupos e a xeometría. A partir de 1886 establécese na Universidade de Göttingen e fai dela o centro mundial da investigación matemática. En 1893 recibe a Medalla Morgan da London Mathematical Society e en 1912 a Medalla Copley da Royal Society. En 1895 admite no seu equipo a Hilbert, quen continúa o seu traballo. En 1908 creou a Comisión Internacional de Instrución Matemática (ICMI), e traballou de 1908 até os anos vinte nunha investigación cuxo obxecto era a evolución da educación matemática en diversos países do mundo. Foi editor da revista Mathematische Annalen e conseguiu que fose a principal publicación da época. 18
fundamental, xa que o obxecto de cada xeometría se converte no estudo do grupo de transformacións que a caracteriza. Se Klein é importante, o matemático alemán Berhand Riemann resulta crucial no desenvolvemento da xeometría desde a súa época até a actualidade. O 10 de xuño de 1854 Riemann dá unha conferencia na Universidade de Göttingen para completar a súa habilitación (grao que lle permitiría optar a unha praza de profesor universitario) que levaba por título Sobre as hipóteses que están nos fundamentos da xeometría; o tema foi elixido por Gauss, o seu protector e antigo profesor durante a licenciatura e o doutoramento. Esta conferencia pasa por ser unha das máis celebradas na historia da matemática. De entre as persoas que estaban presentes, dise que só Gauss foi capaz de comprender o seu contido, e que se mostrou verdadeiramente entusiasmado coa exposición. Riemann definiu as agora chamadas «variedades riemannianas» que son unha variedade diferenciable (obxecto xeométrico n-dimensional que xeneraliza a noción de superficie) e que están dotadas dunha métrica. Riemann utiliza as curvas xeodésicas e define as curvaturas seccionais, que estenden a definición de curvatura dada por Gauss. Este instrumento permite «medir a curvatura» dunha variedade; a explicación deste resultado foi o momento culminante da súa exposición. Na segunda parte da conferencia, Riemann pregúntase polo modelo que debe de seguir o espazo físico, o espazo en que vivimos, cal é a súa dimensión, cal é a súa curvatura, en resumo, cal é a súa xeometría. De 1854 a 1900 comezan a desenvolverse as ideas de Riemann con traballos dedicados esencialmente á linguaxe e as ferramentas necesarias para encaixar as teorías xeométricas no novo contexto. Cómpre subliñar o fundamental que resul- 19
ta o nacemento do cálculo tensorial, debido a Gregorio Ricci e o seu discípulo Tullio Levi-Civita. Posteriormente, en 1905, Albert Einstein publica o seu tratado sobre a relatividade especial, que tamén é estudado desde un enfoque diferente polo matemático Henri Poincaré. O xeómetra Hermann Minkowski, profesor de Einstein, dá unha nova visión da teoría da relatividade especial en 1908, ao reformulala naturalmente nun espazo de catro dimensións, tres espaciais e unha temporal. Este enfoque matemático, que non gustou a Einstein, foi crucial para o desenvolvemento posterior da teoría da relatividade xeral. En 1907 Einstein redacta o seu famoso principio de equivalencia e traballa duramente para tratar de enunciar unha lei de campo para a gravitación, mais atópase con graves problemas matemáticos. Para concluír o seu estudo busca o apoio do seu amigo matemático Marcel Grossmann. Entre ambos ven a necesidade de usar as teorías de Riemann. Como froito deste estudo e o uso dos traballos de Christoffel, Ricci e Levi-Civita, en novembro de 1915 Einstein presenta ante a Academia Prusiana das Ciencias a formulación definitiva da teoría da relatividade xeral. Vinte e un días antes lera na sesión plenaria da Academia unha versión previa e manifestara alí, como volvería facer en moitas outras ocasións posteriores, a importancia das teorías matemáticas creadas por destacados xeómetras para acadar os seus resultados. Dixo Einstein ante a Academia referíndose á relatividade xeral: 20 Ninguén que a entendeu realmente pode escapar á súa beleza, porque significa o verdadeiro triunfo do cálculo diferencial absoluto tal e como foi fundado por Gauss, Riemann, Christoffel, Ricci e Levi-Civita. Un dos primeiros que introduciron en España a teoría da relatividade foi o matemático e físico catalán José M.ª Plans y
Freire 14. Outro destacado matemático catalán, Esteban Terradas 15, foi o artífice da visita a España de Einstein en 1923, axudado por Ramón y Cajal e Rey Pastor; moi interesado pola mecánica cuántica e a relatividade, invitou a profesores como Jacques Hadamard, Hermann Weyl, Arnold Sommerfeld ou Levi-Civita. Terradas figurou como director da tese do prestixioso astrónomo galego Ramón María Aller 16, que á súa vez dirixiu a tese do insigne xeómetra Enrique Vidal Abascal. 14 José M.ª Plans y Freire (Barcelona 1878; Madrid 1934), físico e matemático que realizou asemade os estudos de ciencias fisico-matemáticas, enxeñaría industrial e arquitectura. fundamentales de mecánica relativista e Proceso histórico e importancia actual del cálculo diferencial absoluto, galardoadas ambas pola Real Academia de Ciencias de Madrid, desenvolveu a «xeometrización da física», unha idea de gran modernidade na altura. Foi académico das Academias de Ciencias de Zaragoza, Barcelona e Madrid; académico correspondente da Pontificia Academia Romana dei Nuovi Lincei e da Academia de Ciencias de Lisboa e membro correspondente do Instituto de Coímbra. 15 Esteban Terradas i Illa (Barcelona 1883; Madrid 1950), doutor en Ciencias Exactas e en Ciencias Físicas, enxeñeiro de Camiños, Canais e Portos e enxeñeiro industrial, foi catedrático de Física Matemática despois de selo de Análise Matemática na Universidade Central de Madrid e, por oposición, de Acústica e Óptica, Electricidade e Magnetismo e Mecánica Racional na Universidade de Barcelona, así como da última materia na Universidade de Zaragoza e das Universidades de Bos Aires e A Prata (Arxentina) e Montevideo (Uruguai). En 1914 gañou a cátedra de Automobilismo da Escola do Traballo. Foi membro da Real Academia da Lingua Española; individuo de número da Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas e Naturais, da Real Academia de Ciencias e Artes de Barcelona, e honorario da de Medicina da mesma capital. Tamén foi distinguido como doutor honoris causa das universidades de Bos Aires, de Santiago de Chile e de Toulouse (Francia); membro honorario da Asociación de Enxeñeiros Arxentinos, e da Sociedade de Enxeñeiros de Perú entre moitas outras distincións. Especializouse en ciencias físicomatemáticas e publicou numerosos artigos sobre estes temas. 16 Ramón M.ª Aller Ulloa (Lalín, 1878-1966), sacerdote, políglota, matemático e astrónomo galego. A súa obra abrangue máis de setenta e oito artigos, catro libros, cinco teses doutorais dirixidas, catro estrelas descubertas e numerosos planos e deseños de instrumentos de observación e medición, algúns dos cales foron adoptados polo Observato- 21
A visita de Einstein foi considerada como unha especie de broche dourado ao pulo científico do momento, algo así como unha forma adecuada de estar no mundo, de se igualar con outras potencias. O soño durou pouco, pois non moitos anos máis tarde a guerra civil paralizaría o desenvolvemento dunha verdadeira infraestrutura e política científica e frearía o auxe que estaba a atinxir a matemática en España. Volvendo á teoría da relatividade cómpre dicir que desde a súa aparición as ideas de Riemann, moi avanzadas para a súa época, callaron definitivamente e veñen chamando a atención, entre outros, de gran cantidade de filósofos, físicos e matemáticos. A xeometría pasou a ser desde entón o estudo das variedades, e deixou de ser únicamente o estudo de triángulos, circunferencias e polígonos. A visión de Riemann permite estudar todas as novas xeometrías, así como a xeometría euclidiana, baixo unha mesma óptica: a xeometría riemanniana. A escola de Vidal Abascal Os meus primeiros contactos coa xeometría de Riemann tiveron lugar cando comecei os estudos de doutoramento no Departamento de Xeometría e Topoloxía da Facultade de Matemáticas da Universidade de Santiago. Nese momento a figura de D. Enrique Vidal Abascal, xubilado había moi poucos anos, impregnaba cada recanto do Departamento. Vidal foi un dos impulsores da creación da Facultade de Matemáticas. Matemático, pintor, divulgador da ciencia, membro da Real Academia Galega, excelente docente e investigador, foi un gran xeómetra con visión de futuro. Mantiña relación con inrio de París, así como moitos outros materiais de diferentes temas. Foi membro da Academia das Ciencias Exactas de Madrid, da Comisión Nacional de Astronomía e doutras institucións mundiais. Un cráter da Lúa leva o seu nome. 22
vestigadores estranxeiros de gran prestixio na altura como eran René Deheuvels, da Universidade de París VII; André Lichnerowicz, membro do Collège de France e da Academia de Ciencias de París, autoridade na xeometría e na física teórica; ou Luis Santaló 17, un dos máis importantes matemáticos españois, exiliado na Arxentina, que publicou un resumo dos traballos de Vidal no ámbito da xeometría integral e que Vidal coñecía desde os difíciles anos corenta, cando Santaló estaba en Princeton. Vidal Abascal foi o primeiro matemático español en organizar aquí un coloquio internacional, en 1963, algo moi difícil naquel momento. Conseguiu crear unha importante escola de xeometría diferencial en España, con discípulos en moitas universidades, e introduciu os temas máis vangardistas en investigación. Polo seu labor obtivo destacados premios dentro e fóra das nosas fronteiras. Naquel meu primeiro departamento existían varias liñas de investigación dentro da xeometría riemanniana e da teoría de foliacións, ambas introducidas por Vidal. Unha das súas discípulas, a profesora Regina Castro, foi a miña directora de tese, un traballo que leva por título -para-variedades métricas e se encadra dentro da xeometría riemanniana. O estudo de estruturas diferenciables sobre variedades inflúe de forma decisiva na investigación das súas propiedades xeométricas e topolóxicas. Poden ver na 17 Luis Antonio Santaló Sors (Xirona 1911; Bos Aires 2001), excelente investigador e gran docente preocupado pola difusión e educación matemática, Premio Príncipe de Asturias de Investigación Científica e Técnica, foi un matemático español de fama internacional que se exiliou na Arxentina en 1939 ao iniciarse a segunda guerra mundial e ser partidario do derrotado bando republicano en España. Desenvolveu un fecundo labor na Arxentina, onde se lle outorgou o título de profesor emérito da Universidade de Bos Aires. Publicou más de cen traballos de investigación fundamental e de divulgación, así como varios libros, en especial sobre xeometría integral, tema de que se considera un dos fundadores e en que se iniciou da man do seu mestre, o profesor Wilhelm Blaschke durante unha estadía en Hamburgo. 23
bibliografía os principais resultados que publicamos relacionados con este tema [CTa1, CTa2, Ta1, Ta2, Ta3, Ta4]. Na última parte da realización da miña tese de doutoramento o profesor Luis Hervella, que colaborou estreitamente connosco, xunto co profesor Agustín Bonome, púxome en contacto cun profesor de Valencia. Eu coñecía algúns dos seus traballos por estaren directamente relacionados co que estaba a facer; falo do profesor Antonio Martínez Naveira. A súa tese de doutoramento, dirixida por Vidal Abascal, foi a primeira en Matemáticas que se presentou en Santiago allea ao ámbito da astronomía. Nese momento, os anos sesenta, existía dentro e fóra da facultade moita hostilidade cara ás actividades investigadoras que principiaban a realizar de forma autónoma algúns investigadores afastados da capital, polo que foi complicado conseguir ler esa tese. Naveira é na actualidade catedrático de Xeometría e Topoloxía na Universidade de Valencia e académico correspondente da Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas e Naturais. É un distinguido matemático con discípulos en varias universidades españolas; e os seus traballos en diferentes liñas de investigación dentro dos campos da xeometría diferencial e a xeometría integral están publicados en revistas de moito prestixio. As persoas que o coñecemos comprendemos perfectamente a frase do escritor mexicano Jorge Volpi: 24 O poder das matemáticas é só comparable ao da paixón e ao da insania, de aí que un as ame ou as aborreza coa intensidade reservada ao divino. Antonio M. Naveira atópase no primeiro grupo. Os meus primeiros traballos con Naveira encádranse dentro do campo da xeometría integral, unha disciplina que descu-
brín grazas a el. O interese de Naveira pola xeometría integral remontábase aos seus anos de doutoramento, cando Vidal Abascal lle falaba con admiración do matemático español Luis Santaló e logo cando coñeceu a este nun congreso organizado por Vidal en Santiago. En anos posteriores Santaló e Naveira chegaron a ter unha estreita relación persoal e profesional. A admiración e o coñecemento exhaustivo que ten Naveira dos traballos de Santaló vese culminada nunha extensa e profunda publicación recente, xunto con Agustí Reventós, que é a Selecta de Luis Santaló [NR]. A xeometría integral Afondemos un pouco no mundo da xeometría integral. A xeometría integral provén das probabilidades xeométricas. Ten as súas raíces no famoso «problema da agulla» de Georges Louis Leclerc, conde de Buffon, recollido nos seus Essais d arithmétique morale de 1777; nas fórmulas de Morgan Crofton publicadas en On the Theory of Local Probability, en 1868, e nos estudos de Blaschke e a súa escola. A agulla de Buffon é un clásico problema de probabilidade xeométrica, de inmediata realización práctica e cuxo interese radica en que é un método sinxelo para ir aproximando o valor do número π a partir de sucesivos intentos. Trátase de lanzar unha agulla sobre un taboleiro en que previamente se trazaron rectas paralelas distanciadas entre si de maneira uniforme. Pódese demostrar que se a distancia entre as rectas é igual á lonxitude da agulla, a probabilidade de que a agulla cruce algunha das liñas é de 2/π. Co problema da agulla de Buffon xorde a necesidade de medir conxuntos de segmentos congruentes ou, de se preferir, conxuntos de posicións dunha mesma agulla. Até mediados 25
do século XIX avanzouse pouco neste sentido e mantívose a imprecisión na medida das posicións dos elementos xeométricos a excepción do punto. O primeiro en se formular o problema foi Crofton, que pretendeu revisar e formalizar os conceptos e resultados relacionados con esta teoría [Cr], definindo o que debe entenderse por rectas no plano dadas ao azar e por medidas de conxuntos de rectas. A fórmula de Crofton relaciona a lonxitude dunha curva co número esperado de veces que a corta unha recta trazada aleatoriamente. Se en lugar de no plano o problema se desenvolve no espazo, pódese dar a medida do conxunto de planos que cortan unha superficie. Con estas primeiras fórmulas integrais é posible resolvermos problemas de probabilidades xeométricas, pero o seu carácter era máis teórico que práctico e interesaron ao principio aos xeómetras máis que aos probabilistas. En 1912, Poincaré 18, considerado un dos últimos matemáticos universais, aclarou explicitamente unha medida para conxuntos de elementos tales como puntos, liñas, xeodésicas, conxuntos congruentes, movementos e afinidades no seu libro Calcul des probabilités [P]. Estes resultados relacionáronse coa teoría de grupos de Lie para fundamentaren a invariancia das medidas dos elementos considerados e coa teoría de formas diferenciais exteriores como ferramenta para o seu cálculo. Obtívose unha proba ele- 18 Jules Henri Poincaré (Nancy 1854; París 1912) foi un importantísimo matemático francés, científico teórico e filósofo da ciencia. En 1894 definiu o grupo fundamental dun espazo topolóxico. A conxectura de Poincaré é un dos problemas máis desafiantes da topoloxía alxébrica, recentemente resolto por Perelmann. No campo da mecánica elaborou diversos traballos sobre as teorías da luz e as ondas electromagnéticas, e desenvolveu pola súa conta algúns dos conceptos básicos da teoría da relatividade especial. No ámbito da mecánica celeste foi o primeiro en considerar a posibilidade de caos nun sistema determinista, no seu traballo sobre órbitas planetarias. Tamén escribiu numerosas obras de epistemoloxía, propedéutica, metodoloxía e divulgación científica que alcanzaron unha gran popularidade. 26
gante da clásica desigualdade isoperimétrica, quizais o teorema global máis antigo en xeometría diferencial, que no plano pode enunciarse da seguinte forma: De todas as curvas pechadas e simples cunha lonxitude dada, cal é a que limita o dominio de maior área? Os gregos xa sabían que a resposta era a circunferencia, mais a demostración non é nada sinxela. O primeiro paso cara á solución foi dado polo xeómetra suízo Jakob Steiner en 1838. A súa proba foi completada máis tarde por outros matemáticos. As xeneralizacións destes resultados a outros espazos e dimensións foron estudados amplamente por moitos autores durante o século XX 19. De todo isto naceu a xeometría integral, nome que foi dado por Blaschke [Bl]. As aplicacións de gran relevancia da xeometría integral xurdiron máis adiante, por exemplo coa estereoloxía ou coa tomografía computarizada por raios X (TAC), coñecida vulgarmente por escáner. Estudaremos estas aplicacións máis adiante. Na década dos setenta do pasado século a xeometría integral interesou de novo aos probabilistas, xa que se volveu ás probabilidades xeométricas no marco dos modernos desenvolvementos da teoría de probabilidades, sobre todo en procesos estocásticos. Deste xeito naceu a xeometría estocástica. Existen varias tendencias diferenciadas na xeometría integral. Destacan os estudos en relación cos problemas clásicos de invariantes xeométricas desde o punto de vista de Blaschke e Santaló, en que se utilizan promedios estatísticos e se enfoca a investigación ás aplicacións. 19 As desigualdades isoperimétricas clásicas poden verse recollidas por Osserman [Os] ou na obra de Burago e Zalgaller [BZ]. 27
Como liñas de traballo salientables que xurdiron citarei a extensión dos resultados de Santaló a espazos de maior dimensión e a espazos noneuclidianos usando medidas invariantes por grupos diferentes ao grupo de movementos e buscando novas aplicacións. Santaló, bo coñecedor da xeometría hiperbólica, abordou problemas de xeometría integral neste marco [S1, S2] e é considerado xunto ao seu condiscípulo en Hamburgo, S. S. Chern, o fundador da xeometría integral hiperbólica. Non vou entrar con detalle na xeometría hiperbólica, mais como di o profesor Naveira na súa lección de ingreso na Real Academia de Ciencias, é posible definila como aquela que satisfai todas as fórmulas trigonométricas dunha xeometría esférica en que o raio fose un número imaxinario puro. Esta xeometría ten implicacións en case todos os campos das matemáticas: xeometría alxébrica, teoría de números, variable complexa, sistemas dinámicos e física matemática. Con Naveira publiquei tres traballos [NT1, NT2, NT3] encadrados dentro da xeometría integral no espazo hiperbólico. Outros artigos son en colaboración co profesor Ximo Gual, catedrático da Universidade Jaume I de Castellón, sobre propiedades de xeometría integral no espazo cuaterniónico e no espazo proxectivo cuaterniónico [GNT1, GNT2]. Doutra parte, a xeometría integral pode ser estudada nun sentido en aparencia distinto ao da obra de Santaló [S2], na liña dos traballos de Johann Radon [R], Gelfand e Graev [GG] e posteriormente Sigurdun Helgason [H], quen puxo de manifesto a conexión entre a transformada de Radon e a xeometría integral. O problema ao principio non era máis que unha simple curiosidade e logo converteuse nunha rama moi importante da xeometría integral. O que formulou Radon en 1917 [R] foi ver até 28
que punto unha función definida no plano queda determinada polos valores das súas integrais, é dicir, dos seus valores medios ao longo de rectas do devandito plano. Demostra a fórmula pola cal se determina a función cos datos das integrais, e neste proceso aparece o que se chama a transformada de Radon. A partir dos anos cincuenta do século XX esta rama da xeometría integral foi desenvolvida extensamente; os seus principais resultados atópanse no libro [GGV] de Gelfand, Graev e Vilenkin e no de Helgason [H2]. Aplicacións da xeometría integral Vou afondar un pouco nas aplicacións da xeometría integral que citaba antes: a estereoloxía e a tomografía axial computarizada. A primeira definición máis ou menos formal da estereoloxía remóntase a 1961, ano en que se constituíu a Sociedade Internacional de Estereoloxía, segundo a cal esta materia se define por un conxunto de métodos para explorar o espazo tridimensional a partir do coñecemento de seccións bidimensionais ou de proxeccións sobre planos. O obxectivo da estereoloxía é a obtención de propiedades cuantitativas de obxectos xeométricos, exemplos das cales poderían ser o cálculo do volume dun dominio, a área ou a curvatura total dunha superficie, a lonxitude dunha curva ou o número de partículas nun corpo. A esteroloxía ten unha aplicación directa sobre outras disciplinas científicas. En anatomía, por exemplo, os métodos consisten na determinación das propiedades das estruturas tridimensionais a partir doutras bidimensionais obtidas a través de seccións ou proxeccións 20. En xeriatría estímanse o volume 20 Para unha idea clarificadora das técnicas máis utilizadas en esteroloxía e das súas aplicacións no campo da medicina véxase o traballo de Gundersen e outros [Gu]. 29
cerebral e a área superficial da cortiza cerebral de persoas anciás con vistas a facilitar a avaliación, a diagnose, a evolución e o prognóstico de pacientes con demencia. O problema preséntase igual en mineraloxía ou metalurxia, ao querer pescudar a composición de aliaxes, rochas ou minerais a partir de seccións planas; en botánica, no estudo de tecidos de madeiras a partir de cortes planos ou na distribución de cultivos en áreas grandes a partir de seccións lonxitudinais. En palabras de Gual: 30 Nun momento como o actual, en que todos nos felicitamos polo espectacular avance da investigación matemática en España, os matemáticos dedicados á estereoloxía móstranse moi satisfeitos polo avance que esta supón na interacción entre a matemática e outras ciencias e na transferencia de coñecemento matemático a outros sectores. Os centros españois máis destacados onde actualmente se pode desenvolver e investigar a estereoloxía son o Grupo de Estereoloxía dirixido polo profesor Luis M. Cruz-Orive, da Universidade de Cantabria, centro idóneo para aquelas persoas interesadas na mostraxe xeométrica e a probabilidade dentro da estereoloxía; e o Grupo de Estereoloxía e Análise de Imaxe da Universidade Jaume I, dirixido polo profesor Gual. Neste centro desenvolvense aspectos teóricos relacionados coa xeometría diferencial e integral e tamén aplicacións biomédicas en que se combinan técnicas estereolóxicas e análise da imaxe. Os profesores Cruz-Orive e Gual Arnau estiveron en varias ocasións convidados pola nosa universidade desde principios dos anos noventa e impartiron seminarios sobre esta disciplina a que acudiron non só os xeómetras da UDC, senón médicos e outros investigadores. Lémbrome de que nas primeiras
ocasións en que nos visitaron sempre me preguntaban, porque lles resultaba inexplicable, por que non existía a área de xeometría e topoloxía na nosa universidade, ao contrario das demais universidades, incluso as de máis recente creación. Máis inverosímil resultaba explicarlles as razóns, que non vale a pena relatar neste momento. Os xeómetras da UDC é verdade que tivemos que facer algún esforzo engadido para conseguir promovernos, mais co paso do tempo non é que superásemos ese atranco, pero si observamos que desde entón até a actualidade, sexa por razóns académicas, económicas ou de sentido común, estase esquecendo esa idea pechada das áreas, ás veces utilizadas con fins pouco claros. No aspecto docente, polo propio feito de sermos universitarios supónsenos a capacidade de adaptación e de formación para impartirmos diferentes materias; e no aspecto investigador a propia dinámica imponnos estudar e coñecer conceptos novos, teorías que descoñecemos, dificilmente encadrables nunha soa área. A xeometría integral ou a estereoloxía son un claro exemplo, pois para afondarmos nelas necesítase unha boa formación en diversos campos: xeometría diferencial, análise matemática, teoría de grupos, teoría da medida e probabilidade ou mostraxe xeométrica. Na actualidade os xeómetras da UDC, alén de traballaren nos temas que se mencionaron, fano noutros temas de investigación de primeira fila e con aplicacións en física ou enxeñaría, como poden ser o estudo de modelos xeométricos aplicables á cosmoloxía (espazo-tempo relativista), á mecánica (elasticidade, electromagnetismo, formalismo lagranxiano e formalismo hamiltoniano) ou á enxeñaría (teoría de control). Os traballos dos profesores Eugenio Merino e Miguel Brozos, do campus de Ferrol, denotan a relevancia da súa traxectoria neste terreo; e a incorporación recente doutros profesores e profesoras es- 31
pecialistas nestes campos demostra que existe na UDC un potencial importante no ámbito da xeometría e topoloxía. Ademais da estereoloxía, unha das aplicacións máis relevantes da xeometría integral é o TAC (tomografía axial computarizada). Tomografía vén do grego tomos que significa «corte ou sección» e de grafía, «representación gráfica»; a palabra axial significa «relativo ao eixe». Plano axial é aquel que é perpendicular ao eixe lonxitudinal dun corpo; e computarizar é someter datos ao tratamento dun ordenador. O aparato de TAC emite un feixe de raios X. Este feixe incide sobre o obxecto que se estuda e parte da radiación atravésao. A radiación que non é absorbida polo obxecto é recollida polos detectores. Logo, o emisor do feixe, que tiña unha orientación determinada cambia a súa orientación. Este espectro tamén é recollido polos detectores, e deste xeito o ordenador «suma» as imaxes, das que fai o promedio. Isto repítese até que o tubo de raios e os detectores dan unha volta completa, momento en que se dispón dunha imaxe tomográfica definitiva e fiable. Unha vez que é reconstruído o primeiro corte con fórmulas de xeometría integral, a mesa onde o obxecto repousa avanza (ou retrocede) unha unidade de medida (até menos dun milímetro) e o ciclo volve empezar. Así, obtense un segundo corte. A partir de todas esas imaxes transversais (axiais) un computador reconstrúe unha imaxe bidimensional que permite ver seccións do obxecto de estudo desde calquera ángulo. Agora mesmo tamén hai técnicas para facer reconstrucións tridimensionais a partir desas seccións, mais aínda que isto é rechamante, ás veces é máis útil o estudo da sección bidimensional. O uso do TAC serve para detectar, por exemplo, o nivel de extensión dun tumor e é especialmente útil en determinados órganos como o cerebro, o pulmón ou a zona nasal. 32