CRIZA, CONFLICTUL, RĂZBOIUL

UNIVERSITATEA NAŢIONALĂ DE APĂRARE CAROL I Cetrul de Studii Strategice de Apărare şi Securitate ACADEMIA TEHNICĂ MILITARĂ ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE DIN SUCEAVA CIP ISBN CRIZA, CONFLICTUL, RĂZBOIUL Volumul II I. INSTABILITATEA SISTEMELOR NELINEARE, PUNCTE CRITICE, EVOLUŢII IMPREVIZIBILE ŞI HAOTICE; II. ABORDĂRI MANAGERIALE ALE CRIZELOR PORNIND DE LA ELEMENTE ECONOMICE ŞI POLITICE DE RISC; III. STUDII TEORETICE ŞI ANALIZE EMPIRICE ÎN DOMENIUL MANAGEMENTULUI CRIZELOR LA NIVEL ECONOMICO-FINANCIAR Coordoatori: Prof. uiv. dr. ALEXANDRU ŞERBĂNESCU Prof. uiv. dr. STELIAN STANCU Prof. uiv. dr. GABRIELA PRELIPCEAN Lucrare realizată î cadrul proiectului: CEEX-M-444 SECURITATEA SISTEMELOR ŞI ACŢIUNILOR MILITARE ŞI CIVIL-MILITARE ÎN GESTIONAREA CRIZELOR ŞI CONFLICTELOR ARMATE de către echipele de cercetători de la Academia Tehică Militară (resposabil de proiect: locoteet-coloel dr. Euge BOAMBĂ), Academia de Studii Ecoomice (resposabil de proiect: prof. uiv. dr. Stelia STANCU) şi Uiversitatea Ştefa cel Mare di Suceava (resposabil de proiect: prof. uiv. dr. Gabriela PRLIPCEAN) EDITURA UNIVERSITĂŢII NAŢIONALE DE APĂRARE CAROL I Bucureşti, 7

CUPRINS INSTABILITATEA SISTEMELOR NELINEARE, PUNCTE CRITICE, EVOLUŢII IMPREVIZIBILE ŞI HAOTICE... 7 Capitolul Surse ale tesiuilor şi coflictelor î sisteme... 8 Capitolul ModelArea matematică a proceselor departe de echilibru... Capitolul 3 Itroducere î sisteme diamice elieare... 5 3.. Noţiuea de sistem diamic (eliear)... 5 3.. Spaţiul stărilor (fazelor) asociat uui sistem diamic... 3.3. Clasificarea comportărilor sistemelor diamice... 5 3.3.. Puctul de echilibru... 7 3.3. Regimul permaet periodic... 8 3.3.3. U regim permaet periodic de tip subarmoic... 3 3.3.4. Regimul permaet cvasiperiodic... 3 3.3.5. Regimul (permaet) haotic... 33 3.4. Metode î studiul comportărilor sistemelor diamice (electice). 34 3.4.. Liiarizarea modelelor matematice ale sistemelor diamice (eliiare)... 35 3.4.. Stabilitatea mulţimilor limită... 37 3.4.3. Secţiuea Poicaré... 4 3.4.4. Expoeţii Liapuov... 44 3.4.5 Etropia... 5 3.5. Stabilitatea structurală şi bifurcaţii... 5 3.5.. Diagrame de bifurcaţie... 59 3.5.. Tipuri de bifurcaţii... 64 3.5.3. Drumurile către haos... 66 3.6. Asupra teoriei catastrofelor... 76 3.6.. Itroducere... 76 3.6.. Noţiui de bază... 77 3.6.3. Teorema lui Morse... 8 3.6.4. Teorema de bifurcaţie... 84 3.6.5. Teorema de clasificare a lui Thom... 85 3.7. Fractalii î caracterizarea (atractorilor) sistemelor diamice.. 87 3.7.. Noţiuea de dimesiue... 87 3.7.. Mulţimea Cator... 93 3.7.3. Curba lui Koch... 94 3.7.4. Triughiul lui Sierpischi... 96 3.8. Asupra aplicaţiilor teoriei sistemelor diamice... 3.8.. Haos î atmosfera terestră... 3.8.. Haos î oceaul terestru... 3.8.3. Haos î diamica plăcilor tectoice... 3.8.4. Modelarea ecosistemelor cu haos... 3 3.8.5. Teoria haosului şi diamica ecoomică... 4 Rezumat şi Recomadări (prelimiare)... 5 Bibliografie... 7 ABORDĂRI MANAGERIALE ALE CRIZELOR PORNIND DE LA ELEMENTE ECONOMICE ŞI POLITICI DE RISC... Capitolul Abordări maageriale ale crizelor, porid de la elemete ecoomice şi politice de risc..... Semificaţia ecoomică a termeului de maagemet al riscului..... Acţiui de maagemet al crizei sub protecţia Naţiuilor Uite...... Metode de gestioarea crizelor... 3... Diferedul ca momet distict al crizei... 4..3. Ceriţe şi etape ale gestioării stărilor de criză... 5.3. Pricipiile de gestioare a situaţiilor de criză....4. Exerciţiul de maagemet al crizelor CMX 5... 5 Capitolul Descriere algoritmi şi metodologie de aaliză statistică a datelor privid crizele şi coflictele armate... 9.. Itroducere... 9.. Metode şi tehici de aaliză multidimesioală a datelor... 3... Prezetare geerală... 3... Aaliza compoetelor pricipale... 33..3. Aaliza factorială... 47..4. Aaliza caoică... 55 Capitolul 3 Aplicare algoritmi şi metodologii pe setul de date stocat, privid crizele şi coflictele armate... 6 Capitolul 4 Formulare de ipoteze statistice pe baza idicatorilor de stare şi de diamică privid crizele şi coflictele armate... 8 4.. Pricipiul geeral de costruire a uui test statistic... 8 4.. Metoda Bayes... 8 4.3. Metoda Neyma-Pearso... 83 4.3.. Pricipiul regulii Neyma-Pearso... 83 4.3.. Ipoteze simple... 83 4.3.3. Ipoteze multiple... 84 Capitolul 5 Testarea ipotezelor statistice pri metode specifice... 86 5.. Itroducere î testarea ipotezelor statistice... 86 5.. Teste referitoare la parametri repartiţiei ormale... 87 5.3. Testele χ... 5.3.. Testul de idepedeţă (de omogeitate)... 5.3.. Testul de ajustare... 5.4. Cocluzii... 4

Capitolul 6 Elaborare documetaţie aferetă modelării matematice a situaţiilor de criză (I)... 3 6.. Itroducere î teoria jocurilor... 3 6.. Elemetele compoete ale uui joc... 5 6.3. Jocuri î formă ormală (jocuri strategice) şi jocuri î formă extisă... 5 6.4. Clasificarea jocurilor... 9 Capitolul 7 Elaborare documetaţie aferetă modelării matematice a situaţiilor de criză (II)... 7.. Strategii pure domiate şi posibilităţi de elimiare a acestora 7.. Echilibrul Nash î cazul strategiilor pure... 7 7.3. Strategii mixte domiate şi echilibrul Nash... 36 7.4. Pucte focale... 4 Bibliografie... 43 STUDII TEORETICE ŞI ANALIZE EMPIRICE ÎN DOMENIUL MANAGEMENTULUI CRIZELOR LA NIVEL ECONOMICO- FINANCIAR... 45 Capitolul Stadiul actual al cercetării teoretice î domeiul maagemetului crizelor ecoomico-fiaciare... 46.. Itroducere... 46.. Clasificarea crizelor... 47.3. Creşterea mobilităţii capitalului şi pieţele emergete... 58.4. Speculaţia şi efectele asupra ipotezelor pieţelor eficiete... 6.4..Aşteptările raţioale ale pieţei î medii turbulete... 6.4.. Piaţa - câmp de bătălie a ivestitorilor. Logica crizei-u model simplu... 63.5. Modele de geeraţia îtâi... 65.6. Modele de criză de geeraţia a doua... 69.7. Aaliza proceselor turbulete di pieţele fiaciar valutare. Amorsarea şi declaşarea crizelor. Efectul de turmă. Efectul prezeţei marilor ivestitori î pieţele fiaciar valutare. Efectul de egalizare şi efectul de cotagiue... 74.8. O aaliză a sectorului bacar; implicaţiile isuficietei dezvoltări a sistemului bacar di ţările emergete... 8.9. Segmetarea pieţelor emergete... 84.. Maipularea pieţei de către marii speculatori... 87.. Studii de caz... 88... Criza europeaă 99-93 sau criza SME (Sistemul Moetar Europea)... 88... Criza latiă 994-995 şi efectul tequila... 9..3. Criza asiatică ( gripa asiatică )... 9 5 6..4. Criza rusă ( frigul siberia )... 94..5. Criza argetiiaă ()... 99.. 6. Coseciţe ale crizelor de a treia geeraţie petru traziţia di Româia:... 3.. Probleme de ordi macroecoomic... 3.3. Aspecte privid previzioarea crizelor actuale... 3.4. Cosideraţii privid maagemetul crizelor fiaciare şi valutare î pieţele emergete... 33.4..Maagemetul crizelor î cotextul istoric al evoluţiei filozofiei FMI... 33.4.. Aspecte privid oile crize apărute la sfârşitul ailor 99. Difereţe î răspusul FMI... 34.4.3. Reveirea di criză şi aaliza accesului la pieţele iteraţioale de capital... 36.4.4.Eficieţa implemetării reformelor structurale impuse... 39.4.5. Efectul crizelor asupra aversiuii faţă de risc... 3.4.6. Coseciţele politice ale crizei şi politicile care au urmat... 3 Capitolul Cadru itegrat de aaliză a efectelor crizelor ecoomicofiaciare... 33.. Regimuri ale ratelor de schimb... 33.. Modelul de bază petru determiarea ratei de schimb... 34... Cazul pieţelor complete... 36... Extiderea specificaţiei pri geeralizarea fucţiei de utilitate... 38.3. Pieţe icomplete şi distribuţia locală... 39.4. Modelul static... 33.5. Modelul diamic... 36.6. Cocluzii... 338 Capitolul 3 Maagemetul crizelor fiaciare-valutare... 339 3.. Prezetarea modelului... 339 3... Structura geerală a modelului. Ipoteze simplificatoare... 339 3... Procesul de împrumut exter... 34 3..3. Aaliza comportametului guverului... 34 3..4. Nivelul prag al rezervelor... 343 3..5. Strategii de acţiue î cazul icluderii efectului Obstfeld-Rogoff, al resurselor speculative limitate... 347 3.. Extiderea modelului de bază. Evideţierea echilibrelor multiple... 349 3... Frotiera guverametală de idifereţă... 349 3... Frotiera deciziei ageţilor privaţi [fdap]... 35 3..3. Determiarea echilibrului... 353 3..4. Aaliza efectelor rezultate î urma cotrolului capitalului... 356 3.3. Cocluzii... 358 Bibliografie... 359

ACADEMIA TEHNICĂ MILITARĂ CAPITOLUL SURSE ALE TENSIUNILOR ŞI CONFLICTELOR ÎN SISTEME Iată câteva domeii care pot geera surse ale tesiuilor şi coflictelor î sisteme: INSTABILITATEA SISTEMELOR NELINEARE, PUNCTE CRITICE, EVOLUŢII IMPREVIZIBILE ŞI HAOTICE Studiu realizat de u colectiv coordoat de profesor uiv. dr. Alaxadru Şerbăescu di Academia Tehică Militară î cadrul etapei a I-a, 6, a proiectului CEEX, Modulul I, ititulat SECURITATEA SISTEMELOR ŞI ACŢIUNILOR MILITARE ŞI CIVIL-MILITARE ÎN GESTIONAREA CRIZELOR ŞI CONFLICTELOR ARMATE Prof. uiv. dr. ALEXANDRU ŞERBĂNESCU Domeiul securităţii Forţele de securitate au capacităţi limitate şi/sau sut coduse ecorespuzător Abuzuri împotriva drepturilor omului di partea forţelor de securitate/grupărilor armate Niveluri mari privid cheltuielile militare Prezeţa actorilor militari eguverametali Graiţe slab cotrolate sau cotestate Cotextul regioal/iteraţioal istabil (de ex., schimbări politice majore î statele vecie) Moşteirea vechilor coflicte Proliferarea armelor de foc uşoare Domeiul politic Sistem politic slab istituţioalizat/ereprezetativ Lipsa idepedeţei judiciare Lipsa idepedeţei presei şi societăţii civile Corupţia Partide politice slabe Lipsa implicării populaţiei, iegalitate ître sexe î cadrul procesului politic şi de guverare Proces electoral defectuos Exploatare politică a difereţelor etice/religioase Sistem de maagemet al coflictelor slab dezvoltat Implicare iteraţioală slabă sau ecoordoată Rol destabilizator al populaţiei di diaspora 7 Peace Processes i Commuity Coflicts: From Uderstadig the Roots of Coflicts to Coflict Resolutio 8

Domeiul ecoomic Decli ecoomic: tediţă spre sărăcie, şomaj, iflaţie, protecţia cosumatorului, accesul la buăstare socială Amplificarea disproporţiilor ecoomice creşterea coeficietului Gii bazat pe separarea etică sau regioală Istabilitate macroecoomică Mutarea spre modelele ivestiţioale extere precare sau politici ecoomice iteraţioale destabilizatoare Creşterea competiţiei asupra resurselor comue Creştere îregistrată î ecoomia eagră sau paralelă Dezvoltarea ecoomiei de război Domeiul social Excludere socială Moşteirea coflictelor etice erezolvate Abseţa orgaizaţiilor societăţii civile Tesiui legate de limbă, religie, etie Eşecul mecaismelor decizioale,scăderea legitimităţii autorităţilor. Se poate observa că uele di aceste dimesiui pot fi mult mai uşor traspuse î idicatori stadard decât altele. Acest set de idicatori este compus ditr-o colecţie largă de proporţii care arată origialitatea şi iteţia de a acoperi toatele aspectele uei situaţii demostrate de către autorii SCA (Strategic Coflict Assessmet - Evaluarea Coflictelor Strategice). Totuşi, dezavatajul acestei strategii este acela că este dificil a alege ître idicatorii-cheie şi cei mai puţi importaţi. U aspect importat al studiului idicatorilor este acela că şi î cadrul uor aalize calitative ar trebui să fie mai beefică reducerea umărului acestor idicatori la câteva variabile idepedete. Câd idicatorii sut umeroşi trebuie oferită şi o modalitate de a-i evalua petru a-i face mai uşor de îţeles de exemplu, folosirea uui sistem de clasificare î fucţie de tipicul acestora. Actorii Odată stabilită o listă completă de actori implicaţi î coflict, trebuie cercetate petru fiecare ditre ei următoarele pucte: Iterese: ce iterese au ei legate de acest coflict şi cum iflueţează coflictul aceste iterese? 9 Relaţii: care sut relaţiile ître diferiţii actori? Capacităţi: ce capacităţi au aceştia, î măsură să iflueţeze coflictul pozitiv sau egativ? Ageda de pace: au ei vreu iteres î a obţie pacea? Ce fel de pace îşi doresc ei? Stimulete: ce fel de stimulete le pot fi oferite petru a alege pacea? Sau, di cotra, petru a trece la violeţă? Lista actorilor pricipali iclude grupări de elită ai fostei armate sovietice, traficaţi de droguri, fudametalişti religioşi, armata, poliţia şi publicul larg. Această listă ilustrează cum idetificarea persoajelor-cheie este strâs legată de abordarea globală cetrată pe iteresul idividual şi stimulete, î care persoajele sut cel mai des descrise drept persoae care au pierdut sau câştigat avataje materiale. Este greu de văzut cum o defiire a publicului larg drept persoaj poate fi operaţioalizată. Diamica U alt pas î aaliza coflictului este cetrat pe aprecierea probabilităţii coflictului de a creşte, scădea sau de a rămâe stabil. De aceea, chiar dacă coceptul cauze de bază a fost dat la o parte î SCA, câteva difereţe ître tediţele pe terme lug şi obiectivele pe terme scurt sut aici reitroduse, astfel îcât să se poată progostica sceariile uui viitor coflict. Petru a determia direcţiile posibile pe care coflictul le poate avea, trebuie aalizate următoarele pucte: Aalizarea tediţelor pe terme lug: tesiuile sut î creştere sau î descreştere? Evaluarea obiectivelor pe terme scurt care ar putea coduce la o izbucire sau o creştere a coflictului Evaluarea acelor factori care pot duce la accelerarea sau îcetiirea diamicii coflictului: aceasta iclude şi idetificarea acelor istituţii sau procese care pot ateua sau coduce tesiuile şi coflictele idetificate pâă acum. Trei dimesiui cheie vor fi î cotiuare aalizate:. Vulerabilitatea structurală a uei societăţi faţă de u coflict violet: aşa cum se exemplifică î aaliza structurală.

. Oportuitatea uor grupuri elitiste de a beeficia de pe urma istabilităţii şi a violeţei: aceasta iclude atât beeficii politice, cât şi umărirea uor agede ecoomice. 3. Capacitatea uei societăţi de a coduce sau cotrola u coflict. Statele mai slabe u au resursele ecesare petru a putea cotrola u coflict şi este mai puţi probabil să gestioeze sau să adreseze vreo revedicare grupurilor iamice. Istituţiile care ar putea juca u rol de mediator fie u au capacitatea, fie margializează deliberat aumite grupuri. Îcă o dată, u este clar cum aceste dimesiui ar trebui operaţioalizate, î special î cazul statelor slabe. Sitagma gestioarea coflictului este oricum î cetrul perspectivei epistemologice a SCA: Noi u e asumăm modelul uei fucţioări armoioase, ude coflictul reprezită îtr-u fel o îdepărtare de la ormă. Este recuoscut că u coflict are o dimesiue pozitivă şi reprezită o parte eseţială a procesului de schimbare politică şi socială. Gestioarea coflictului u reprezită preveirea coflictului, ci sprijiirea istituţiilor abilitate să-l gestioeze îtr-u mod paşic. Această abordare este coeretă cu studiul dimesiuilor exterioare ale coflictului la fel ca şi cu descoperirea iterveţiei actorilor pricipali iteraţioali. CAPITOLUL MODELAREA MATEMATICĂ A PROCESELOR DEPARTE DE ECHILIBRU Modelarea matematică este procesul cogitiv pri care uui obiect (î ses filozofic) real (fapt, feome, realitate fizică) i se asociază u obiect matematic, umit model matematic al obiectului real. Pri modelare matematică, o realitate fizică este tradusă î termei matematici, rezultatul modelării fiid modelul matematic. Modelarea matematică formează obiectul fudametelor sau bazelor diferitelor ştiiţe fizice şi aparţie matematicii aplicate (îţeleasă ca domeiu de iteracţiue ditre matematica pură şi u alt domeiu de cuoaştere). Atributul fizic este folosit aici î ses geeric şi poate desema proprietăţile chimice, fizice, biologice, sociale etc. Modelele matematice servesc la stăpâirea şi cotrolul mediului ambiat şi fac obiectul diferitelor domeii ale matematicii aplicate ca: matematica aplicată î ecoomie, î mecaică, î fizică etc. Majoritatea modelelor matematice existete la u momet dat reprezită cazuri cocrete de obiecte matematice ale căror caracteristici geerale au fost deja studiate de matematica pură. Î acest caz studiul detaliat al modelului este stadard, tipic, algoritmizat, chiar daca rezolvarea problemelor matematice implicate este aevoioasa si ecesita multa igeiozitate. Acestea sut puzzle problems ale lui Th. Kuh şi ele se rezolvă î cadrul paradigmei existete. Petru deducerea, ca şi petru studiul modelelor matematice, este ecesară î primul râd cuoaşterea fodului de obiecte şi rezultate matematice de care se dispue la acel momet. Sut îsă şi cazuri câd aumite obiecte reale (de ex., feomee reale, experimetale, reprezetări) u pot fi bie modelate î cadrul vechii paradigme, ecesitâd defiirea uor oi axiome fizice sau reformularea altora (de ex., pricipiul etropiei petru sisteme deschise, departe de echilibru) şi/sau a uor oi obiecte matematice (de ex, distribuţia delta a lui Dirac, mulţimile fractale ale lui Madelbrot). Crearea, î procesul modelării, de oi oţiui matematice, precum şi avasarea de oi ipoteze fizice caracterizează perioadele de revoluţie ştiiţifică de trecere spre o ouă paradigmă. O astfel de oua paradigmă a îceput să-şi croiască drum după descoperirea î 963 a haosului determiist. Cu această ocazie s-a revizuit oţiuea de model matematic î fizicile cotiuumurilor şi s-au stabilit oi compoete ale studiului său. Adelia GEORGESCU, Strat Limită - Turbuleţă, Ed. Gh. Asachi, Iaşi, 997.

Studiul uui model matematic comportă o compoetă catitativă (metode aalitice sau umerice de determiare a soluţiei sau a uei aproximaţii a sa) şi o compoetă calitativă (referitoare la depedeţa soluţiei de date şi comportametul asimptotic al soluţiei î jurul puctelor limită ale domeiului de existeţă a tuturor mărimilor ce itră î defiirea modelului). Neliiaritatea modelelor matematice de perturbaţie care descriu feomee, de iteres î ultimele două deceii, implică o complexitate deosebită a structurii mulţimii soluţiilor problemelor matematice ataşate acelor modele: petru aumite valori ale datelor pot exista mai multe soluţii î timp ce petru altele u exista icio soluţie. O problemă formulată îtr-u aumit cadru poate să u aibă soluţie, î schimb pot exista soluţii ale uei probleme obţiută di cea dată pritr-o geeralizare. Î plus, făcâd abstracţie de câteva situaţii particulare, forma explicită a soluţiilor u se cuoaşte. De aceea, de pri aul 97, paralel cu domeiile teoretice s-au dezvoltat aşa-umitele ştiiţe computaţioale (mecaica fluidelor computaţioală, geometria computaţioală, mecaica cuatică computaţioală), iar aaliza calitativă care studiază structura mulţimii soluţiilor a îceput să prevaleze asupra celei catitative. Î particular, modelele de aproximaţie asimptotică au proliferat, ele fiid î multe cazuri (de ex., î meteorologie, lubrificaţie, mecaica fluidelor vâscoase şi termic coductoare) sigurele î măsură să furizeze vreo iformaţie asupra modelului dat. Dacă aumite iformaţii asupra soluţiei si derivatelor sale s-ar cuoaşte diaite, atuci cel puţi o formă aproximativă grosieră ar putea fi obţiută relativ uşor di modelele date. Cum deseori aceste iformaţii u se cuosc, trebuie făcută ipoteza că modelul cosiderat descrie bie feomeul real şi, ca atare, petru deducerea modelelor aproximative vor trebui folosite iformaţii date de observaţii directe şi experimete fizice sau umerice. Aceasta este situaţia î aproape toată matematica aplicată. De aceea, î aaliza diferitelor modele ale uui feome, va trebui să e referim mereu la legătura ditre modelul matematic şi corespodetul său real (obiectul, feomeul) pri itermediul modelului fizic corespuzător. O primă descriere a uui obiect real este cea euristică, ituitivă, o a doua este descrierea fizică, cea de a treia fiid descrierea matematică. Î aceste descrieri vor apare, corespuzător, cocepte euristice, fizice şi matematice. De exemplu, rapiditatea, viteza şi derivata uei fucţii etede sut astfel de cocepte asociate. De multe ori ele sut desemate pritr-u ume comu (de ex., viteza) deşi ele u sut echivalete si u sut legate biuivoc (de ex., coceptul fizic de viteza poate fi modelat şi pritr-o fucţioală sau pritr-o fucţie aleatoare). Specialiştii (experimetatorul, fiziciaul teoreticia şi matematiciaul) vor folosi acest ume comu, dar 3 vor subîţelege sesul di domeiul propriu. Aalog, ştiiţa fizică şi matematica aplicată, care descriu u acelaşi feome, vor purta u acelaşi ume, deşi vor avea obiecte de studiu diferite: modelul fizic şi, respectiv, matematic al acelui feome. De exemplu, pri mecaică u fizicia va îţelege disciplia care studiază modelele fizice ale mişcării mecaice, legile fizice după care aceasta are loc şi experimetele care le pu î evideţă, pe câd specialistul î matematica aplicată î mecaică (mecaiciaul) se va gâdi la problemele iiţiale şi la limită petru ecuaţiile ce modelează acele legi. Petru ca studiul matematic să poată fi efectuat sut ecesare iformaţii asupra modelului fizic şi experimetului sau observaţiei (care coduce la coceptele euristice corespuzătoare). Pe de altă parte, petru a-şi putea catitativa afirmaţiile euristice sau fizice, fiziciaul are evoie de modelul matematic. Mai geeral, fiecare elemet al mulţimii {experimet, model fizic, model matematic} iteracţioează cu celelalte două; de aici diamica modelelor fizice, matematice şi ideilor experimetale şi deci euristice. Drept urmare se formulează modelele di ce î ce mai adecvate. Di puct de vedere al cuoaşterii, iciu model u se va putea idetifica cu realitatea; iciodată u va exista u cel mai bu model, ci modele di ce î ce mai bue. De-a lugul timpului, mulţimea modelelor care descriu u acelaşi feome s-a îmbogăţit. Se pue, deci, problema legăturii ditre diferitele modele matematice ale uui aceluiaşi obiect real şi a domeiului lor de valabilitate matematică şi fizică. Orice model matematic are limitări matematice şi fizice. Teoreticieii trebuie să stabilească şi să le idice pe cele matematice, iar practicieii să aleagă di mai multe posibile, modelul cel mai potrivit şi să-l utilizeze î limitele lui de valabilitate fizică. Clasa soluţiei modelului este specificată de către experimetator împreuă cu matematiciaul (sau de către o sigură persoaă, dacă aceasta are cele două calităţi). Procesele (diamice), departe de echilibru, îşi găsesc o buă modelare matematică î teoria sistemelor diamice, care este u cadru matematic atural, î care se pue sub forma cea mai geerală problema studiului calitativ al ecuaţiilor de evoluţie. Î paragraful următor sut prezetate, pe scurt, pricipalele aspecte teoretice ale teoriei sistemelor diamice. 4

CAPITOLUL 3 INTRODUCERE ÎN SISTEME DINAMICE NELINEARE 3.. Noţiuea de sistem diamic (eliear) Sistemele fizice, biologice, sociale, ecoomice şi chiar cele politice evoluează î timp, adică sut procese caracterizate de stări care se schimbă î timp. Această observaţie a dus la coceptul de sistem diamic, care se modifică î timp sau, cu alte cuvite, îşi modifică starea cu timpul [3], [4]. Teoria sistemelor diamice se ocupă cu evoluţia uui sistem, adică cu schimbarea stării sale î timp. Dezvoltarea teoriei sistemelor diamice a evideţiat existeţa uor sisteme la care u se putea prevedea comportarea lor î timp, deşi erau cuoscute legile ce guverau feomeele respective, precum şi codiţiile iiţiale ale evoluţiei lor. De exemplu, este cuoscută imposibilitatea precizării evoluţiei parametrilor meteorologici petru itervale mari de timp, cu toate că aerul, orii, temperatura etc. evoluează după legi cuoscute ale mecaicii fluidelor şi termodiamicii şi se dispue de ecuaţiile ce descriu feomeele respective, precum şi de mijloace de calcul puterice [5], [6]. Di puct de vedere matematic, u sistem diamic costă ditr-u spaţiu al stărilor, umit şi spaţiu al fazelor, şi o regulă (sau o lege), umită ueori diamică, ce va preciza starea care va corespude, î viitor, uei stări prezete a sistemului. Este adevărat că elaborarea uui model teoretic duce, î geeral, la o îdepărtare de sistemul real, ceea ce poate explica, î aumite situaţii, isuccesul descrierii uor feomee. U model poate descrie u feome atural, complex, caracterizat de u umăr foarte mare de parametri, umai dacă modelul este bie ales, şi aume dacă cupride parametrii eseţiali î evoluţia sistemului diamic. U sistem diamic determiist este complet caracterizat de starea sa iiţială şi de diamica sa. U astfel de sistem poate avea spaţiul stărilor cotiuu sau discret şi o diamică defiită î timp cotiuu sau discret. U sistem diamic î timp cotiuu este modelat de u sistem de ecuaţii difereţiale, iar evoluţia uui sistem diamic î timp discret este descrisă de u sistem de ecuaţii iterative [4], [5], [8]. 5 Uui sistem diamic î timp cotiuu i se poate asocia sistemul de ecuaţii difereţiale ordiare de forma: care are soluţie uică şi care poate fi rescris sub forma: x f x, t, (.) ude x t x t, xt,..., x t (.3) reprezită vectorul de stare al sistemului î timp cotiuu la mometul t, astfel îcât xt x caracterizează starea iiţială a sistemului şi: 6 x f x, x,..., x ; t x f x, x,..., x ; t x f x, x,..., x ; t t t t t d x d x d x d x x t,,..., (.4) d t d t d t d t reprezită vectorul derivate parţiale, iar f f, f,..., f (.5) reprezită u câmp vectorial ce defieşte diamica sistemului: (.6) şi care este cotiuu î. Î codiţiile de valabilitate a teoremei de existeţă şi uicitate a soluţiei problemei (.), petru fiecare pereche x, t există o uică fucţie cotiuă: ; x, t :, (.7) astfel îcât: iar t ; x, t x (.8) t; x, t f t; x, t, t (.9) este umită, î aplicaţiile igiereşti, flux sau sistem diamic.,

Câmpul vectorial f al uui sistem diamic, caracterizat de u sistem de ecuaţii difereţiale ordiare, geerează u flux, astfel îcât uei stări iiţiale x îi va corespude î spaţiul stărilor, după timpul t imagiea sa x, aşa cum se ilustrează î fig... t Fig... Câmpul geerat de u sistem diamic Câd câmpul vectorial f, asociat sistemului diamic î timp cotiuu, depide doar de vectorul variabilei de stare x t şi u depide explicit de t (ca î relaţia (.)), se spue că sistemul diamic î timp cotiuu este (de tip) autoom, caz î care este caracterizat de sistemul de ecuaţii difereţiale de forma: t t x f x. (.) U sistem diamic î timp discret poate fi caracterizat de sistemul de ecuaţii cu difereţe (fiite) sau de tip iterativ de forma: ude x k g x k, k,.) kx k, x k,..., x k x (.3) 7 reprezită vectorul de stare petru sistemul diamic la mometul de timp discret k, astfel îcât xk x caracterizează starea iiţială a sistemului, iar: g g, g,..., g (.4) reprezită o aplicaţie care defieşte diamica sistemului (î timp) discret: g :. (.5) Petru fiecare pereche x, k există o uică fucţie cotiuă î timp discret di : ; x, k :, (.6) care defieşte traiectoria sistemului diamic pri x,k, astfel îcât: iar 8 k ; x, k x, 7) Î acest caz, aplicaţia se umeşte sistem diamic î timp discret geerat de g. Dacă îsă aplicaţia g depide doar de variabila x k şi u depide explicit de k, se spue că sistemul diamic î timp discret este autoom, caz î care acesta este caracterizat de sistemul de ecuaţii iterative de forma: sau k ; x, k g k; x, k, k. (.8) k k x g x (.9) k k U exemplu tipic de sistem diamic î timp discret este cel geerat de ecuaţia logistică: xk axk xk. (.) x g x. (.)

Petru a descrie procesul iterativ caracterizat de relaţia (.), vom reprezeta grafic parabola y ax x y x, ca î fig..3. şi prima bisectoare.8.6.4 Reprezetarea temporala a semalului haotic. 3 4 5 6 7 8 9 6 Reprezetarea spectrului semalului haotic 5 4 3 3 4 5 6 Fig..4. Variaţia î timp (a) şi spectrul (b) uui semal haotic Fig..3. Procesul iterativ caracteristic ecuaţiei logistice Îcepâd cu o soluţie iiţială x, vom determia grafic valoarea lui y ax x, care, pri reflectare faţă de prima bisectoare, va determia valoarea x y, cu care se cotiuă procesul, aşa cum este prezetat î fig..3. Î fig..4 a) se dă reprezetarea grafică (cotiuă) a evoluţiei semalului x k, corespuzător relaţiei (.), petru a 4 şi k,56, iar î fig..4 b) este reprezetat modulul spectrului acestui semal, evaluat cu ajutorul trasformatei Fourier discrete. Şi forma semalului (fig..4 a)) şi spectrul acestuia (fig..4 b)) idică o evoluţie de tip aleator a sistemului caracterizat de relaţia (.), petru a 4. Meţioăm că această costată este otată foarte divers î literatura de specialitate, ueori cu r, alteori cu k, etc. U alt exemplu tipic de sistem diamic este descris de ecuaţia liiară pe porţiui de tip cort: xk xk. (.) x, ecuaţia de mai sus se reduce la x x Petru k / k k. Î acest caz, soluţiile (iiţiale) care sut egative rămâ egative, tid spre şi îşi dublează distaţa faţă de origie la fiecare iteraţie. 9

x Petru xk /, ecuaţia de tip cort se reduce la: xk. Î acest caz, dacă x, rezultă că x şi, î k coseciţă, puctele orbitei tid di ou către. Petru x k î itervalul,, va rezulta că: x /, astfel îcât valorile succesive ale iteraţiilor ulterioare vor rămâe î itervalul,. Î fig..5 sut reprezetate câteva iteraţii petru u sistem diamic de tip cort. Î aplicaţii, fucţia de tip cort descrisă mai sus este folosită şi îtr-o maieră compusă, aşa cum este sugerat î fig..5 b). U alt exemplu de sistem diamic (î timp) discret este sistemul (de ecuaţii iterative) Héo, caracterizat de relaţiile: x a x bx xk xk k k k. (.4) Î fig..7 este reprezetat atractorul Héo petru a, 4 şi 4 b,3 şi iteraţii. Pe figură sut marcate cu asterisc iteraţiile 3, 4 şi 5, plecâd de la soluţia iiţială ; şi aceleaşi iteraţii, 3, 4 şi 5, plecâd de la soluţia iiţială,;,, sugerâdu-se puterica depedeţă de soluţia iiţială a acestui sistem diamic. a) b) Fig..5. Sistem diamic descris de ecuaţia iterativă de tip cort a) câteva iteraţii petru fucţia cort simplă; b) câteva iteraţii petru fucţia cort dublă O altă fucţie eliiară simplă, liiară pe porţiui şi îrudită cu cea de tip cort este descrisă de relaţia: x k x k modulo. (.3) Î fig..6 este prezetat graficul ei şi iteraţia de ordiul m, aşa cum este deseori utilizată î aplicaţii. Fig..6 U (alt) exemplu de fucţie lieară pe porţiui Fig..7. Atractorul sistemului diamic Héo 3.. Spaţiul stărilor (fazelor) asociat uui sistem diamic Sistemele diamice î timp cotiuu şi î timp discret, caracterizate de relaţiile (.), respectiv (.), pot fi descrise de soluţiile (.7), respectiv (.6), care pot fi reprezetate uitar de familia ifiită de fucţii: t, cu t : M M, (.5) parametrizată după timpul otat cu t sau, cu valori t sau. Mulţimea M di relaţia (.3) se umeşte spaţiul stărilor şi este alcătuită di mulţimea tuturor stărilor (sau fazelor) posibile ale sistemului diamic.

x M şi O fază sau o stare la u momet dat t este u puct reprezită totalitatea caracteristicilor procesului la acel momet. Spaţiul stărilor (sau fazelor) uui sistem diamic este u spaţiu matematic, cu axe de coordoate ortogoale petru fiecare variabilă ecesară petru a caracteriza starea istataee a sistemului. De exemplu, starea uei particule materiale î mişcare uidimesioală este caracterizată pri poziţia sa (x) şi viteza v x. Î coseciţă, spaţiul fazelor este u pla: M. Pe de altă parte, o particulă î mişcare, îtr-u spaţiu tridimesioal, va fi caracterizată de u spaţiu al fazelor cu şase dimesiui 6 x, yzxyz,,,,, adică, î acest caz, M. Spaţiul, î care se cosideră şi o axă a timpului (care este ortogoală î raport cu toate axele variabilelor de stare), se umeşte spaţiul stărilor (sau fazelor) extis [3], [4]. Imagiea timpului (t sau ) pri t se umeşte traiectorie de fază sau, simplu, traiectoria sistemului diamic. Traiectoria se obţie pri elimiarea timpului t ître variabilele de stare x, ceea ce revie la proiecţia curbei itegrale, otată cu ABCD î fig..5, pe spaţiul fazelor M (plaul x, x î acest caz), care este ortogoal pe axa timpului. Fig..8. Traiectorii de fază ale uui sistem diamic Pri fiecare puct x M di spaţiul fazelor trece o sigură traiectorie de fază, iar pri fiecare puct t, x M trece o sigură curbă itegrală (fig..8). Totalitatea traiectoriilor de fază ale uui sistem diamic (care evoluează î timp) se umeşte portret de fază. Obiectul teoriei sistemelor 3 diamice îl costituie studiul portretelor de fază ataşate acestora [3], [4], [], [], [4]. Di puct de vedere matematic, u sistem diamic este o fucţie M : sau M, t t, ude, petru orice t fixat, t : M M este u homeomorfism şi: () idm (aplicaţia idetică a lui M); 4 () ts t s, t, s sau. Sistemul diamic este o familie uiparametrică t sau de aplicaţii, structurată ca grup uiparametric de trasformări ale lui M, parametrul t fiid umit timp (cotiuu sau discret). Mulţimea M se umeşte spaţiul fazelor sistemului diamic, iar puctele x M se umesc stări sau faze [3], [4]. Aşa cum am precizat, dacă domeiul de variaţie al parametrului t este, sistemul diamic este (deumit î timp) cotiuu, iar dacă parametrul timp este discret (şi otat adesea cu k,, ji, etc. ), iar de exemplu, atuci sistemul diamic este (deumit î timp) discret. Dimesiuea spaţiului fazelor M determiă şi dimesiuea dim M, sistemul diamic sistemului diamic. Astfel, dacă corespuzător este fiit dimesioal, iar dacă dimm, sistemul diamic este ifiit dimesioal. U sistem diamic, fiit dimesioal, asociat sistemului de ecuaţii difereţiale x f x, x şi f f, f,..., f este coservativ dacă divergeţa câmpului f este ulă, adică divf f x. De exemplu, sistemul diamic asociat i i i sistemului de ecuaţii difereţiale (.6) este coservativ x x x x (.6)

f Dacă fucţiile f i sut cotiuu difereţiabile pe D, adică, iar divergeţa câmpului de vectori f u este ulă şi păstrează u i sem costat pe D, atuci u există icio traiectorie de fază îchisă, complet coţiută î D. Această formulare este criteriul lui Bedixso, care reprezită o codiţie suficietă ca, îtr-o aumită regiue di plaul fazelor, să u existe soluţii periodice ale sistemului diamic, adică să u existe cicluri limită. De exemplu, sistemul diamic eliiar: 3 ; x x 3 x x x x 3x x x x x x x u are soluţii periodice î, deoarece divergeţa u este idetic egală cu zero î şi păstrează u sem costat. O mulţime coexă di spaţiul fazelor (fiit sau ifiit dimesioal) este u domeiu absorbat dacă pe frotiera sa câmpul de vectori este orietat spre iteriorul domeiului. Sistemele diamice care posedă domeii absorbate se umesc sisteme disipative. Sistemul diamic (fiit dimesioal) petru care câmpul vectorial f provie ditr-u gradiet se umeşte sistem diamic-gradiet. Î acest caz, există F :, astfel îcât F F F. De exemplu, sistemul f grad F,,..., x x x diamic asociat sistemului de ecuaţii difereţiale: x x x x si x x si x x x x x este u sistem-gradiet, ude x, x x x cos x x F. 3.3. Clasificarea comportărilor sistemelor diamice (.7) Î spaţiul stărilor, î cele di urmă, după u regim trazitoriu, traiectoria uui sistem diamic ce pleacă di starea iiţială x se istalează pe o mulţime limită de pucte. Această mulţime limită de pucte otată î cotiuare cu corespude comportării asimptotice a sistemului 5 diamic petru t şi defieşte regimul permaet al sistemului diamic. 6 U puct există şirul k x este u puct limită a lui x dacă şi umai dacă t k, astfel îcât petru tk rezultă: lim t x k x.mulţimea L x a puctelor limită formează k o mulţime limită corespuzătoare lui x. O mulţime limită A este atractivă petru o mulţime B di spaţiul fazelor dacă L x A, petru toate puctele x B. Î coseciţă mulţimea traiectoriilor vecie coverge, petru t, către o mulţime atractoare A. O mulţime atractivă A este atractor dacă este atractivă petru o îtreagă veciătate a sa. De exemplu, o mulţime limită A care coţie cel puţi o orbită şi care se apropie oricât de mult de fiecare puct di A se umeşte atractor. Î geeral, u atractor este format ditr-o ifiitate de orbite, parţial atractive, parţial repulsive. Di această cauză, evoluţia sistemului diamic di spaţiul fazelor, de lâgă atractor, este atât de complicată şi de eregulată îcât este greu de urmărit, deşi ea este complet determiistă! U puct di spaţiul fazelor rătăceşte aparet haotic di apropierea uei orbite a atractorului spre alta, mişcâdu-se pe traiectorii atât de cotorsioate îcât reprezetarea la o scară oricât de mare u le poate evideţia cu claritate. U atractor se umeşte global dacă captează toate traiectoriile de fază. U astfel de atractor poate fi format ditr-o sigură orbită, mai multe sau ditr-u umăr ifiit de orbite di spaţiul fazelor. Deoarece u atractor determiă comportarea fială petru t a traiectoriilor de fază, spuem că atractorii guverează portretul de fază al uui sistem diamic. Petru u sistem liiar care este asimptotic stabil, mulţimea limită este idepedetă de codiţia iiţială, x, şi este uică, astfel îcât are ses să se vorbească despre o sigură comportare de regim permaet. Dimpotrivă, î cazul sistemelor diamice eliiare, pot exista o varietate de regimuri permaete, î fucţie de diferite codiţii iiţiale. Mulţimea tuturor puctelor di spaţiul stărilor care coverge către o mulţime limită particulară L se umeşte baziul de atracţie B(L) al

mulţimii L. Orice traiectorie care poreşte di B(L) tide către L, petru t. Studiul sau simularea sistemelor fizice (iclusiv cele electrice) arată că, î regim permaet, sistemele sut caracterizate doar de mulţimi limită atractoare. Noţiuea de mulţime limită atractoare serveşte petru clasificarea comportărilor clasice, de regim permaet, ale sistemelor diamice, cum ar fi: puctele de echilibru şi ciclurile limită. Se pot face următoarele observaţii: a) cu toate că aceste defiiţii au fost date petru sisteme diamice î timp cotiuu, autoome, ele se aplică atât sistemelor diamice î timp cotiuu eautoome, cât şi celor î timp discret; b) se pot defii şi comportări asimptotice limită ale sistemului diamic, petru t, care au fost deumite î literatura de specialitate mulţimi limită de tip sau mulţimi limită, î opoziţie faţă de comportările asimptotice către t, care au fost deumite mulţimi limită de tip sau mulţimi limită. Petru u sistem diamic liiar şi asimptotic stabil există o sigură mulţime limită, iar baziul ei de atracţie este îtregul spaţiu al stărilor. Î acest caz, regimul permaet este idepedet de codiţia iiţial aleasă. Îsă, u sistem diamic eliiar poate avea mai multe mulţimi limită, fiecare cu diferite bazie de atracţie. Î acest caz, alegerea codiţiei iiţiale va determia, îtr-u mod foarte sezitiv, care mulţime limită va fi atisă de sistemul diamic. 3.3.. Puctul de echilibru Cea mai simplă comportare a uui sistem diamic, î regim permaet, este cea corespuzătoare uei stări umite puct de echilibru sau u puct staţioar, otat cu x Q şi care, î spaţiul stărilor, satisface codiţiile: f x Q (.8a) şi t xq x Q. (.8b) Relaţia (.8b) arată că traiectoria care pleacă ditr-u puct de echilibru rămâe mereu î acel puct. 7 Cum u puct are dimesiuea topologică zero, îseamă că u puct de echilibru are dimesiuea topologică zero. Î domeiul timp, u puct de echilibru al uui circuit electroic este soluţia de curet cotiuu sau puctul de fucţioare al acelui circuit. U exemplu simplu al uui sistem diamic eliiar, care are mai multe pucte de echilibru este descris de sistemul de ecuaţii: x x (.9) x,4x si x 8 Acest sistem diamic de ordiul doi are ca pucte de echilibru valorile x, x k,, petru k,,,... Puctele de echilibru de ordi k par sut atractoare. Petru u sistem diamic (î timp) discret, u puct de echilibru sau u puct fix este u puct x di spaţiul stărilor, care satisface relaţia: (.3) Q g Q x x, deci este u puct fix al aplicaţiei g care geerează acel sistem. 3.3. Regimul permaet periodic O stare x a uui sistem diamic se umeşte periodică dacă există o valoare T, astfel îcât: T x x. (.3) O orbită periodică ce u este u puct staţioar se umeşte ciclu limită. Restricţia T previe clasificarea uui puct de echilibru ca o soluţie periodică. Mai exact, u ciclu limită este o orbită periodică izolată a uui sistem diamic. Traiectoria ciclului limită vizitează fiecare puct al uei curbe îchise, cu o perioadă T, astfel că: t Q x x x. (.3) tt Î coseciţă, fiecare puct al uui ciclu limită este u puct ohaotic. Se spue că u ciclu limită are dimesiuea topologică

uu, deoarece fiecare porţiue di el arată ca u obiect de dimesiuea topologică uu, deci ca o curbă. Cele compoete xi t ale ciclului limită: T x t x t, x t,..., x t, (.33) di, sut fucţii periodice, cu perioada T. Dacă x t este periodic, cu perioada T, rezultă că spectrul său de putere este cocetrat îtr-o compoetă de curet cotiuu, ua de frecveţă fudametală /T, şi armoice ale acesteia. U exemplu clasic de ciclu limită poate fi remarcat î comportarea sistemului diamic Va der Pol, descris de ecuaţiile: x x x x x x (.34) Î figurile de mai jos sut reprezetate: ciclul limită di plaul fazelor x, x petru sistemul diamic de mai sus (fig..9 a)) şi forma de udă a variabilei x t (fig..9 b)). x x x x x x t 3 cos Fig... Soluţia sistemului Duffig petru,5;,3 şi (.35) Fig..9. Comportări ale sistemului diamic Va der Pol a) ciclul limită î plaul fazelor; b) forma de udă a variabilei ( ) x t Î fig.. şi. sut reprezetate ciclurile limită (fudametal şi de ordiul trei) şi formele de udă corespuzătoare petru diferite valori ale parametrilor uui sistem de tip Duffig, care este descris de ecuaţiile: 9 Fig... Soluţia sistemului Duffig petru,;,3 şi a) o traiectorie de perioadă T=3; b) forma de udă a variabilei x( t ) 3.3.3. U regim permaet periodic de tip subarmoic O orbită k-periodică a uui sistem diamic î timp discret este caracterizată de mulţimea de k pucte x, x,... x k,, care satisfac relaţiile recurete: 3

iar x g x, x3 g x,..., xk g x k, (.44) x g x k (.45) sau, mai compact: k i i k x g x ; (.46) k g g g... g..., (.47) ude fucţia g a fost aplicată iterativ de k ori argumetului său. Soluţiile periodice de tip subarmoic apar î cazul sistemelor diamice care coţi mai multe frecveţe competitive, cum ar fi oscilatoarele forţate. Soluţii de tip subarmoic pot apărea ca urmare a bifurcaţiilor [3], [4]. 3.3.4. Regimul permaet cvasiperiodic Această comportare a uui sistem diamic este ilustrată î spaţiul 3 stărilor de u tor. Deoarece o porţiue mică ditr-u tor, î, este homeomorfă cu o suprafaţă plaă, se spue că acest tor are dimesiuea topologică doi. O stare cvasiperiodică poate fi exprimată pritr-o sumă fiită de fucţii periodice, cu frecveţe ale căror rapoarte u sut umere raţioale, cum ar fi starea x t si t si t. Î domeiul timp, forma de udă a uui semal cvasiperiodic arată ca u semal modulat î amplitudie sau î fază. Î domeiul frecveţă, spectrul uui semal cvasiperiodic este format tot ditr-o ifiitate de compoete spectrale, care îsă u sut localizate la multiplii (îtregi) doar ai uei frecveţe fudametale 3 Aşa cum s-a prezetat aterior, î spaţiul stărilor, regimul cvasiperiodic de ordi al uui sistem diamic are aspectul uui tor de ordi. Regimul cvasiperiodic de ordi k este caracterizat î spaţiul stărilor de u tor de ordi k, ce este greu de vizualizat î acest spaţiu, îsă compoetele sale spectrale sut caracteristice acestui regim şi sut 3 localizate discret î domeiul frecveţă, fiid dispuse la frecveţe ale căror rapoarte u sut umere raţioale. Petru a ilustra modul î care poate apărea u regim permaet cvasiperiodic î comportarea uui sistem diamic, cosiderăm sistemul (diamic) de tip Va der Pol, descris de ecuaţiile: 3 x x cos / x x x x A t T (.48) Se observă că î ecuaţia a doua a fost itrodus u terme cosiusoidal de comadă (sau de cotrol) al sistemului diamic. Î abseţa acestui terme, sistemul diamic are u ciclu limită cu perioada (aturală) T. Soluţia (limită) a sistemului diamic cu termeul cosiusoidal de comadă va tide să sicroizeze cele două oscilaţii caracterizate de perioadele T şi T. Este posibil ca di acest coflict ditre perioadele T şi T să u câştige iciua şi, î coseciţă, di această competiţie să se istaleze u regim de tip cvasiperiodic. O astfel de situaţie este ilustrată î fig..3, î care s-au ales valorile: A,5; T /,, ilustrâdu-se atât traiectoria sistemului î spaţiul fazelor, cât şi variaţia î timp a variabilei x t. Fig..3. Comportări ale sistemului Va der Pol a) Traiectoria sistemului î spaţiul fazelor; b) Variaţia variabilei ( ) x t

Tabelul. 3.3.5. Regimul (permaet) haotic Di puct de vedere experimetal, comportarea haotică a uui sistem diamic poate fi defiită ca o comportare limită, care u este staţioară, i.e. corespuzătoare uui puct de echilibru, u este periodică şi ici cvasiperiodică. Î spaţiul stărilor, două traiectorii ale uui regim haotic care îcep aproape di acelaşi puct diverg şi devi ecorelate, ilustrâd sesibilitatea mare faţă de codiţiile iiţiale şi imposibilitatea de a face o predicţie pe terme lug a stării sistemului. Î domeiul timp, o traiectorie haotică u este ici periodică, ici cvasiperiodică, rezultâd că variaţia sa are u aspect aleator. Î domeiul frecveţă, comportarea haotică este caracterizată de u spectru de putere de tip zgomot de badă largă. Trecerea de la u portret de fază simplu la uul complicat are loc, î majoritatea cazurilor, odată cu modificarea parametrilor de cotrol ai uui sistem diamic. Drept coseciţă, de la mişcări regulate î spaţiul fazelor se ajuge la cele eregulate de tip haotic, care tid către u atractor straiu, format ditr-o ifiitate de orbite, dar care formează u obiect matematic distict. Comportametul de fază guverat de atractorii complicaţi posedă aumite proprietăţi statistice care, pe măsură ce parametrul de cotrol creşte, devi tot mai importate, apoi prepoderete, ca î fial, la o aumită valoare a parametrului de cotrol, atractorii straii să fie formaţi di mulţimi de orbite care pot fi caracterizate relevat doar probabilistic. U puct limită, u ciclu limită sau chiar u k-tor di spaţiul stărilor au o dimesiue topologică (îtreagă), pe câd regimul haotic este descris de o mulţime care are o dimesiue Hausdorff fracţioară, ce este specifică uui fractal. Acest lucru este rezumat î tabelul.. Regim curet cotiuu periodic cvasiperiodic haotic Mulţime limită puct fix curbă îchisă u tor (k-tor) fractal Spectrul (de putere) o sigură compoetă spectrală la o frecveţă fudametală f plus armoice la f u umăr icomesurabil de frecveţe, ale căror rapoarte sut umere iraţioale spectru larg (de tip zgomot) Dimesiuea k fracţioară Petru u sistem diamic Duffig, î fig..5 se reprezită: a) comportarea haotică î spaţiul fazelor, b) variaţia î timp a variabilei x t. Rezultatele sut evaluate petru,5;,3 şi. Fig..5. Comportarea sistemului diamic Duffig petru,5;,3 ş i a) comportarea haotică î spaţiul fazelor; b) variaţia î timp a variabilei x( t ) 3.4. Metode î studiul comportărilor sistemelor diamice (electice) 33 34

3.4.. Liiarizarea modelelor matematice ale sistemelor diamice (eliiare) Sistemele diamice electrice reale sut caracterizate de sisteme de ecuaţii difereţiale eliiare. Multe ditre comportările lor caracteristice, cum ar fi: stabilitatea, atractivitatea sau bifurcaţia, pot fi studiate, mai simplu, ca proprietăţi locale, î veciătatea uui puct di spaţiul fazelor, pri liiarizarea sistemului de ecuaţii difereţiale. Trebuie meţioat îsă că u îtotdeaua pri liiarizare se obţie o comportare echivaletă cu cea a sistemului iiţial eliiar [3] [6]. Să cosiderăm u sistem diamic î timp cotiuu, caracterizat de sistemul de ecuaţii difereţiale, scris sub formă vectorială: ceea ce este echivalet cu: t t x f x, (.5). (.5) d x dt f x, x,..., x d x dt f x, x,..., x d x dt f x, x,..., x Liiarizarea sistemului de ecuaţii (.5) sau (.5) poate fi făcută pri dezvoltarea (parţială) î serie Taylor, î jurul uui puct x di spaţiul fazelor şi reţierea primilor doi termei. Fie u puct x di spaţiul fazelor, î jurul căruia se va face liiarizarea sistemului de ecuaţii devie x f x. Să cosiderăm x x= x, x f x, care, petru variaţiile icremetale ale variabilelor de stare, astfel îcât î jurul puctului x putem scrie x x x. (.5) x f x, iar x x x, rezultă că: Cum x x f x x. (.53) 35 Dezvoltâd î serie Taylor fucţia f x, î jurul puctului x, şi reţiâd doar primii doi termei rezultă că: x x f x D x f x x, (.54) ude cu Dx s-a otat matricea Jacobi (sau Jacobiaul) fucţiei f x, adică: sau D f f f x x x f f f x x x x. (.55) f x Cum f f f x x x x f x, di relaţia (.54) rezultă că: f x x f x D x f x x (.56) (deoarece x este costat î raport cu timpul), astfel îcât relaţia (.57) devie: x Dx f x x - x. (.58) 36 x D x f x x. (.57) Ecuaţia (.57) este liiară î raport cu coordoatele locale x= x x x, î jurul puctului,,..., x x, x,..., x,, adică î raport cu u ou sistem local de coordoate, cu origiea î puctul x di spaţiul fazelor. Cosiderâd x=x-x, coform relaţiei (.5), atuci x=x

Există umeroase alte metode, descrise î literatura de specialitate 5, 6, care permit liiarizarea uui sistem de ecuaţii difereţiale ce poate fi scris sub forma: x =Ax+b. (.59) 3.4.. Stabilitatea mulţimilor limită Stabilitatea uui sistem diamic caracterizează portretul de fază î veciătatea uei mulţimi ivariate M, la perturbaţii mici ale uora sau ale tuturor parametrilor sistemului de care depide fucţia de sistem (î afara variabilei idepedete timp) [3], [4], []. Dacă x Q este u puct (limită) de echilibru, stabilitatea sistemului diamic este dată de valorile proprii ale liiarizării sistemului de ecuaţii î jurul puctului x Q, adică de rădăciile i ale ecuaţiei caracteristice: det I D x f x Q. (.6) Dacă părţile reale ale tuturor valorilor proprii sut strict egative, atuci puctul de echilibru x Q este asimptotic stabil, astfel îcât toate traiectoriile (di veciătatea sa) vor coverge către el. Dacă ua ditre valorile proprii are partea reală pozitivă, puctul de echilibru x Q este istabil, iar dacă toate valorile proprii au partea reală pozitivă, atuci puctul x Q este u puct de tip sursă. Să reformulăm aceste afirmaţii. Fie x u puct de echilibru petru sistemul diamic asociat sistemului de ecuaţii difereţiale x f x, x, f f, f,..., f. Spuem că puctul de echilibru x este Liapuov-stabil dacă,, astfel îcât orice x care verifică codiţia x x implică x ξ, t. t Spuem că puctul de echilibru este atractiv dacă există o veciătate U a lui x şi u T cu proprietatea că x U şi t T rezultă: U t x şi t lim x x. Dacă t lim x x, spuem că puctul de echilibru este repulsiv. t t U puct de echilibru, x, care este stabil şi atractiv se umeşte asimptotic stabil 4. Defiiţia uui puct de echilibru stabil poate fi reformulată, î termei de diamică de fază, astfel: x este Liapuov stabil dacă,, astfel îcât orice orbită di spaţiul fazelor care poreşte di regiuea B x va rămâe î regiuea B x, la ; ; orice momet ulterior t (fig..6). Î mod asemăător cu stabilitatea puctului de echilibru se poate defii stabilitatea ciclului limită şi a altor mulţimi ivariate. Stabilitatea puctelor de echilibru ale uui sistem diamic liiar este complet caracterizată pe baza teoremei de mai jos 4. Fie sistemul diamic liiar asociat ecuaţiei vectoriale - x Ax. dimesioale: a) Dacă toate valorile proprii k ale matricei A au partea reală Re k, k,, atuci există costatele C,, x au loc relaţiile: egativă, astfel îcât petru orice t xt; C e, t x şi xt x lim ;, ceea ce t îseamă că origiea este u puct asimptotic stabil petru sistemul diamic liiar. a matricei A cu partea reală pozitivă, b) Dacă există o valoare proprie j Re, atuci, x, cu x adică j, astfel 37 38

îcât lim xt ; x, adică origiea este u puct de echilibru t istabil. Teoremele di cazul sistemelor diamice liiare au stat la baza formulării şi demostrării pricipiului de liiarizare Liapuov-Pero [4]. Fie sistemul diamic eliiar asociat ecuaţiei difereţiale: x f x, cu f f, f,..., f, cu f cel puţi de clasă şi fie x u puct de echilibru al sistemului, petru care f x şi J f x matricea Jacobi a lui f î x, care x şi defieşte sistemul liiarizat Jy. ale lui J au Re, - Dacă toate valorile proprii k k atuci x este u puct de echilibru eliiar asimptotic stabil; - Dacă cel puţi o valoare proprie j a matricei J are Re, atuci j x este u puct de echilibru eliiar istabil. Să cosiderăm, de exemplu, sistemul diamic descris de ecuaţiile: x x f x, x. (.6) 3 x xx x fx, x Puctele de echilibru rezultă di sistemul algebric: f x, x x ; (.6a) 3 f x, x x x x. (.6b) Di rezolvarea sistemului (.6) rezultă puctele sigulare (,), (,), (,). Matricea Jacobi ataşată sistemului (.6) este: 39 4 f f x x. (.63) J f f 3x x x Petru puctele sigulare, rezultă că: J x, x,, (.64) astfel îcât se deduce ecuaţia caracteristică:, (.65) cu rădăciile:, j 7, iar 7. (.66) Aşadar, puctele sigulare, sut (asimptotic) stabile, deoarece Re,. Puctele sigulare, sut atractori. Petru puctul de echilibru,, matricea Jacobi devie: iar ecuaţia caracteristică: cu rădăciile: x, x, J, (.67), (.68) 5 3,4, cu 5. (.69)

Puctul de echilibru Re 3,4, dar, astfel că este u puct de tip şa. Portretul de fază petru sistemul (.6) este reprezetat î fig..6., are Fig..7. Defiiţia secţiuii Poicaré Fig..6. Portretul de fază petru sistemul caracterizat de relaţia (.6) Î timp ce stabilitatea uui puct de echilibru poate fi determiată cosiderâd valorile proprii ale liiarizării câmpului vectorial al sistemului diamic, cum putem studia stabilitatea uei mulţimi limită de tip ciclu limită, tor sau traiectorie haotică? Ideea de bază petru acest studiu a fost itrodusă de Poicaré şi costă î coversia sistemului diamic î timp cotiuu îtr-u sistem echivalet, î timp discret, cosiderâd o secţiue trasversală faţă de liiile de câmp ale sistemului diamic cotiuu. Itersecţiile traiectoriilor cu această secţiue umită secţiue Poicaré defiesc o hartă de tip Poicaré. Şi cum u ciclu limită va determia u puct fix x Q pe secţiuea Poicaré, rezultă că stabilitatea ciclului limită poate fi judecată ca stabilitatea puctului limită x Q. 4 4 3.4.3. Secţiuea Poicaré O secţiue Poicaré a uui sistem diamic autoom -dimesioal este u hiperpla, de dimesiue î spaţiul stărilor, care este itersectat trasversal de fluxul câmpului vectorial f determiat de evoluţia sistemului diamic, aşa cum este ilustrat î fig..7. Fie o orbită îchisă î spaţiul stărilor uui câmp vectorial f, iar x puctul de itersecţie al orbitei cu plaul (fig..7). Dacă T Q este perioada de repetiţie a lui şi x este suficiet de apropiat de atuci traiectoria t x T, î puctul x Q, x pri x va itersecta plaul, după u timp x x, aşa cum se arată î fig..7. Î coseciţă, fucţia sau corespodeţa de tip Poicaré este descrisă de aplicaţia: g : U, (.7) astfel că ude sistemul î timp discret: U este o veciătate a lui x Q, iar g x x, (.7) k x k g caracterizează x g x. (.7)

Î acest ses se spue că aplicaţia Poicaré asociază sistemelor diamice cotiue şi fiit dimesioale sisteme diamice discrete, care au aceleaşi mulţimi limită ca şi cele cotiue. Stabilitatea ciclului limită este determiată de valorile proprii x. Dacă toate valorile ale liiarizării fucţiei g x î jurul puctului Q D x g x Q au modulul mai mic decât uitatea, proprii i ale lui atuci ciclul limită este asimptotic stabil, iar dacă u modul este mai mare decât uitatea, atuci ciclul limită va fi istabil. Dacă îsă există i, cu i, iar toţi ceilalţi multiplicatori verifică relaţia k, k i, atuci u se poate preciza doar di această aaliză tipul ciclului limită, fiid ecesare difereţialele de ordi superior ale aplicaţiei Poicaré. De otat că stabilitatea ciclului limită este idepedetă de poziţia şi orietarea secţiuii Poicaré, cu codiţia ca fluxul sistemului diamic să itersecteze secţiuea Poicaré. Se poate formula şi următoarea teoremă: Valorile proprii i ale matricei Jacobi a aplicaţiei Poicaré asociată ciclului limită sut idepedete de puctul x Q de pe i, de secţiuea trasversală şi de coordoatele locale alese pe aceasta. Îtr-o secţiue Poicaré, u ciclu limită arată ca u puct fix. Secţiuea Poicaré a uui atractor cvasiperiodic va arăta, î fial, ca o curbă îchisă (fig..8). Secţiuea Poicaré a uui atractor haotic va avea o structură fractală (de pucte). Fig..8. Secţiuea Poicaré a uui atractor cvasiperiodic 3.4.4. Expoeţii Liapuov Expoeţii Liapuov pot fi cosideraţi ca o geeralizare a valorilor proprii petru u puct de echilibru. Ei sut utilizaţi petru a determia stabilitatea oricărui tip de comportare de regim permaet, iclusiv petru comportările cvasiperiodice şi de tip haotic []. Să cosiderăm u sistem diamic î timp discret, descris de setul de ecuaţii (eliiare): x k g x k, (.73) ude x k reprezită vectorul de stare -dimesioal. Fie x k perturbaţia icremetală a uui vector de stare x k, astfel îcât xk xk x k. Rezultă că: ude Dx x k Dx g x k x k, (.74) g x este o matrice Jacobi, de dimesiue, g x î raport avâd drept compoete derivatele parţiale ale fucţiilor cu cele x. compoete ale vectorului x x x,,..., y x x vectorul taget, care determiă u Fie k k spaţiu taget. Ecuaţia de evoluţie a sistemului diamic î acest spaţiu va fi: k x k k Evidet, evoluţia vectorului taget y k depide de orbita x k care, la râdul ei, este determiată de soluţia iiţială x şi de orietarea iiţială a vectorului taget y. Sutem iteresaţi de rata expoeţială, î care amplitudiea lui y creşte sau scade o dată cu fiecare iteraţie. Î acest scop vom defii mărimile: ude y D g x y. (.75), lim,, k x y x y, (.76) k 43 44

ot x, y, k = k l y k. (.77) k Mărimea, ot x y se umeşte expoet (de tip) Liapuov, iar x, y, k = k se umeşte expoet Liapuov î timp discret. Î mod echivalet, putem vorbi despre umărul Liapuov L, care poate fi defiit î fucţie de expoetul Liapuov pri relaţia L e. Numărul Liapuov L reprezită factorul mediu î care amplitudiea vectorului perturbaţie icremetală xk este multiplicat la fiecare iteraţie. Di ecuaţiile (.75) şi (.76) rezultă că: k x, y, k l D x k g x y (.78) l Dx k-... Dx, k g x g x y k ude am otat pri g x iterarea de k ori a fucţiei g, adică: k, (.79) g x g g g... g x k iar D x trasformarea de k ori g x este matricea Jacobi de ordiul, relativă la k k g. Produsul ditre matricea D x g x şi vectorul taget uitar y poate fi iterpretat, î spaţiul stărilor, ca u elipsoid ale cărui raze pricipale sut chiar umerele Liapuov Li x, k, defiite î timp discret petru i,,...,. Direcţiile pricipale ale elipsoidului sut cei vectori proprii perpediculari ai T matricei simetrice reale: k k D x g x D x g x. 45 Razele pricipale ale elipsoidului sut rădăciile pătratice ale celor valori proprii, care, ueori, sut deumite valori sigulare ale lui k D x g x. 46 Petru k, ecuaţia (.76) poate avea valori posibile ale x, care depid de orietarea vectorului y. Fie expoeţilor i ordoarea lor astfel îcât:... Mulţimea valorilor x x x. (.8) x formează i, i,,..., spectrul Liapuov. Petru a rezuma itroducerea teoretică a expoeţilor Liapuov, să e imagiăm î spaţiul -dimesioal o sferă cu cetrul î x care evoluează o dată cu sistemul diamic. După k iteraţii, sfera poate evolua îtr-u elipsoid, caracterizat de raze pricipale, aşa cum este ilustrat î fig..9, petru cazul particular. Raportul razelor pricipale (fig..9) este de ordiul e k i, adică expoeţii Liapuov i califică rata de tip expoeţial a traiectoriilor sistemului diamic î evoluţia sa. Î veciătatea uei traiectorii asimptotic stabile, fluxul se cotractă, astfel că expoetul Liapuov va fi zero sau egativ. Fig..9. Iterpretarea geometrică a expoeţilor Liapuov

Calculul expoetului Liapuov petru ecuaţia (eliiară) x f x După cum s-a arătat, expoeţii Liapuov caracterizează sezitivitatea evoluţiei uui sistem diamic î timp, la variaţia icremetală a codiţiilor iiţiale. Dacă aalizăm evoluţia sistemului diamic di puctul x î locul evoluţiei acestuia di puctul x, după iteraţii abaterea ditre cele două evoluţii poate fi caracterizată de ecuaţia: e, (.8) ude expoetul Liapuov caracterizează rata medie a covergeţei sau divergeţei procesului. Dacă este egativ, procesul coverge, iar dacă este pozitiv, procesul diverge. Dacă sistemul diamic este caracterizat de ecuaţia: x f x, (.8) rezultă că difereţa ditre evoluţiile faţă de o soluţie iiţială x şi o alta (perturbată) x, după iteraţii, va fi: f x f x e (.83) sau f x f x. (.84) sau l Petru mic, această expresie devie: d f l d x lim (.85) l f xi. (.86) i De exemplu, î [] se arată că petru ecuaţia logistică: x x x (.87) valoarea expoetului Liapuov, î fucţie de parametrul, este reprezetată grafic ca î fig... Semul (egativ sau pozitiv) al coeficietului Liapuov coicide cu mometele de bifurcaţie ale ecuaţiei logistice. De exemplu, peste valoarea de 3,56 cu itervalele î care. Lyapuov expoet. -. -. -.3 -.4 -.5, regiuile de comportare periodică coicid Logistic map.5.5.5 3 3.5 4 Parameter of Logistic map Fig... Variaţia coeficietului Liapuov petru ecuaţia logistică Î tabelul. se prezită o clasificare a comportărilor de regim permaet ale uui sistem diamic, î fucţie de mulţimile lor limită şi de valorile expoeţilor Liapuov [4]. Aşa cum este prezetat şi î tabelul., toate valorile proprii i, i,, specifice uui puct de echilibru stabil, au partea reală egativă, iar cel mai mare expoet al uui puct atractor este egativ. Traiectoriile vecie uui ciclu limită coverg către ciclul limită dacă cel mai mare expoet Liapuov corespuzător ciclului limită este zero, iar ceilalţi expoeţi sut egativi. 47 48

Tabelul. Valori specifice petru coeficieţii Regim de fucţioare Liapuov curet cotiuu... periodic, 3... cvasiperiodic... k (k-tor) k k... haotic, dar i i U k-tor este caracterizat de k expoeţi Liapuov uli, deoarece fluxul local u este ici cotractiv, ici expasiv. Restul de k expoeţi Liapuov sut egativi. Î medie, o traiectorie haotică este istabilă şi, î coseciţă, are u expoet Liapuov pozitiv. Aceasta coduce la o depedeţă sezitivă de codiţiile iiţiale. Cu toate acestea, u atractor haotic este caracterizat de o mulţime limită atractoare spre care coverg toate traiectoriile, astfel că suma expoeţilor Liapuov este egativă. Î acest paragraf, pâă acum, e-am referit î mod particular la defiirea expoeţilor Liapuov doar petru sistemele diamice î timp discret. Petru sistemele diamice î timp cotiuu, aceste oţiui se defiesc î mod similar. De exemplu, petru u sistem diamic dimesioal, î timp cotiuu, caracterizat de sistemul de ecuaţii: x f x, (.88) fazelor cu vom cosidera o orbită x t, astfel îcât: t x deplasată ifiitezimal î spaţiul t t t x x x, (.89) şi că vectorul taget la această orbită este defiit de: t t t y x x. (.9) Î spaţiul vectorial taget, sistemul diamic este caracterizat de: t y f x y. (.9) D x 49 5 Î acest caz, expoeţii Liapuov sut defiiţi de: x y y (.9) t t, lim l t şi coduc, similar ca î relaţia (.8), la obţierea a expoeţi Liapuov petru valoarea iiţială x di baziul atractorului sistemului diamic descris de relaţia (.88). 3.4.5 Etropia Să cosiderăm că u experimet poate avea valori posibile, cu probabilităţile p, p,..., p. Shao a itrodus oţiuea de etropie, care descrie icertiduea experimetului pri relaţia: H s pi l. (.93) p i De exemplu, î cazul î care p i este egal cu uu, iar restul sut ule, rezultă că Hs, cofirmâd faptul că u există ici o icertitudie î realizarea experimetului. Pe de altă parte, icertitudiea are o valoare maximă câd toate valorile experimetului au probabilităţile egale. Î acest caz, p p... p şi etropia va avea l. Kolmogorov a aplicat oţiuea itrodusă de Shao î cadrul valoarea maximă posibilă egală cu teoriei ergodice. Fie o măsură ivariată de probabilitate ergotică, ataşată uui sistem diamic, caracterizat de fucţia f. Î cazul cel mai iteresat petru studiul ostru poate fi iterpretat ca măsura aturală a uui atractor haotic corespuzător sistemului. Fie R o regiue îchisă di spaţiul fazelor sistemului diamic, care coţie măsura. Să împărţim regiuea R îtr-u umăr fiit de subregiui R i, astfel îcât R RR... R. i

Î acest caz, putem defii fucţia de etropie corespuzătoare uei partiţii R i pri relaţia: i i i, (.94) i l H R R R care e dă iformaţia medie dobâdită câd ştim că o orbită se află îtr-ua ditre partiţiile R i. Î cotiuare, Kolmogorov cosideră valorile f R i corespuzătoare partiţiilor R i şi examiează cele itersecţii: R i f Rj (.95) petru fiecare pereche i, j, cu i, j. Alegâd toate itersecţiile eule, se realizează u ou set de () partiţii R i, cu i, ude reprezită umărul de itersecţii eule. Î cotiuare, procedeul se repetă petru cel de-al treilea 3 set de partiţii R i format di cele 3 itersecţii eule de tipul: i i k, petru,,,,..., Î mod similar se formează partiţiile de ordi superior. Mărimea: R f R f R i j k (.96) h, Ri lim Ri lim H Ri H R i (.97) poate fi iterpretată ca fiid iformaţia medie câştigată trecâd de la partiţia de ordi la partiţia mai fiă de ordi, câd. Etropia metrică a măsurii, deumită şi etropia Kolmogorov-Siai, este, pri defiiţie: h sup h, R. (.98) i R i 5 Există şi alte defiiţii ale etropiei ataşate uui sistem diamic. De exemplu, etropia topologică a uui sistem diamic, defiit de câmpul vectorial f, coduce la o caracterizare a complexităţii diamicii sistemului idepedet de măsura ivariată sau de măsurile pe care acest câmp le poate admite 4. Etropiile metrice şi topologice permit moduri diferite de a caracteriza haosul. De exemplu, se afirmă că diamica pe o mulţime ivariată, care admite o măsură ivariată este haotică petru orice codiţie iiţială î raport cu măsura dacă h. Pe de altă parte, se spue că diamica uui sistem eliiar, caracterizat de fucţia f, admite orbite haotice dacă ht. 5 3.5. Stabilitatea structurală şi bifurcaţii Stabilitatea structurală se referă la sezitivitatea uui sistem diamic la modificări mici ale parametrilor săi. Î coseciţă, u câmp vectorial f structural stabil este acela petru care u câmp vectorial f', foarte aproape de f, va avea o diamică echivaletă î spaţiul fazelor [3], [4], []. Noţiuea matematică de stabilitate structurală este foarte importată şi petru sistemele diamice electrice. De exemplu, u circuit fizic depide, î geeral, de u set de parametri, ditre care uul sau mai mulţi trebuie modificaţi petru a optimiza u criteriu de performaţă. Î acest ses, este ecesar să ştim dacă comportările î spaţiul fazelor vor fi echivalete sau (mult) diferite odată cu modificarea acestor parametri. Să cosiderăm u sistem diamic cu u sigur parametru, descris de setul de ecuaţii: t t x f x, (.99) petru care câmpul vectorial este parametrizat de valoarea lui. O valoare particulară, petru care fluxul câmpului vectorial corespuzător ecuaţiei (.99) u este structural stabil, adică este puteric sezitiv la mici variaţii ale parametrului, costituie u puct de bifurcaţie. Să cosiderăm exemplul comportării î spaţiul fazelor a uei diode Chua, petru diferite valori ale eliiarităţii rezisteţei egative G a, aşa cum este ilustrat î fig... Aşa cum rezultă di fig.., sistemul Chua

evoluează de la regimul periodic stabil, caracterizat pritr-o sigură curbă î spaţiul fazelor v, i3, v, pri bifurcaţii succesive, la u regim periodic cu două, patru dublări de perioadă, pâă la o mulţime caracterizată de o spirală atractoare [4]. U alt exemplu îl poate costitui comportarea sistemului diamic î timp discret, caracterizat de ecuaţia logistică: xk xk xk. (.) Această relaţie poate fi cosiderată ca fiid discretizarea ecuaţiei logistice î timp cotiuu: f x x x, x. (.) Petru sistemul diamic descris de ecuaţia iterativă pătratică (.), valoarea de echilibru sau valoarea puctului atractor x q satisface codiţia: adică Rezultă: x q f x x q, (.a) x x x. (.b) q q q ş i x. (.3) q q adică şi Valorile de echilibru x şi x vor satisface şi codiţia: q q f x x, (.4) q f x f (.5) f xq f. (.6) 53 54 Fig... Regimuri specifice uui sistem diamic

Î coseciţă, codiţia de stabilitate petru, iar codiţia de stabilitate petru x devie q x este, adică 3. Aceste rezultate sut ilustrate î fig... q Să cosiderăm, î cotiuare, u al doilea ciclu al comportării sistemului diamic, caracterizat de operatorul: ot = 3 x x x x. f f x f x x x x x (.7) Î acest caz, codiţia de echilibru q f x x q devie: sau 3 xq xq xq xq xq (.8a) 3 4 3 3 xq xq xq xq. (.8b) Rădăciile sut: x şi x q q, iar di ecuaţia Fig... Descrierea stabilităţii/istabilităţii atractorilor specifici ecuaţiei logistice Deci, sistemul diamic caracterizat de fucţia logistică (de gradul doi) (.) are următoarea comportare î raport cu : x q - dacă, rezultă x q este istabil; - dacă 3, rezultă este stabil; - dacă 3, atât x este stabil, iar q x este istabil, iar q x q, cât şi x q sut istabile. 55 56 xq x q 3 rezultă şi x q, care sut reale doar 3,4 dacă 3. Î cotiuare, petru compoziţia de ordiul trei a fucţiei iterative logistice: ot 3 f f f x f x, (.9) 3 soluţiile de echilibru se obţi di ecuaţia q f x x q, care vor fi î 3 umăr de opt, evideţiid apariţia î spaţiul stărilor a 8 pucte fixe, ditre care patru vor fi stabile şi patru vor fi istabile. Aceste bifurcaţii apar petru 3 6 3,44949....

Similar se poate costata că, petru compoziţia de ordiul patru a fucţiei logistice, soluţiile de echilibru ale ecuaţiei: ot 4 f f f f x f x x q q q (.) pu î evideţă o ouă bifurcaţie petru 4 3,544..., rezultâd 6 pucte fixe, ditre care opt stabile şi opt estabile ş.a.m.d. Valorile petru care au loc bifurcări, cu pucte fixe, ditre care sut stabile şi 5 sut estabile, sut date mai jos: 6 3,568759... 3 7 3,56996... 3 3,44949... 8 3,56989... 4 3,5459... 9 3,569934... 3,56447...... Feigebaum [] a arătat că aceste pucte de bifurcaţie pot fi obţiute di ecuaţia:, (.) c F ude 3,5699456..., c,637..., iar F 4,669..., care se umeşte costata (uiversală) Feigebaum, deoarece caracterizează puctele de bifurcaţie ale oricărei fucţii iterative (eliiare) de ordiul doi. Ecuaţia uui sistem diamic parametrizat poate fi rescrisă sub forma: avâd ca soluţie perechea de valori x S este defiită de S R valoare. x f x,, f :, (.), S, ude mulţimea soluţiilor x f x,, cel puţi petru o 57 Di exemplele precedete s-a văzut că, petru aumite valori ale parametrului, se pot obţie diverse comportări ale sistemului diamic î spaţiul fazelor. U puct x, S se umeşte puct regulat al ecuaţiei 58 f x, dacă: şi puct sigular dacă: f x x x f x x x (.3). (.4) Ditre puctele sigulare, o importaţă deosebită o au puctele de bifurcaţie, defiite ca acele pucte î veciătatea cărora ecuaţia (.4) are, cel puţi petru u dat, mai multe soluţii. Teoria bifurcaţiei este o discipliă matematică care studiază schimbările topologice şi difereţiale, umite bifurcaţii, ale aplicaţiilor eliiare î aumite pucte sigulare, umite pucte de bifurcaţie 4. Obiectul teoriei bifurcaţiei depide de cotext, adică de spaţiile î care se cosideră aplicaţiile. Astfel, câd aplicaţia defieşte o ecuaţie eliiară, staţioară, ce depide de u parametru, studiul de bifurcaţie revie la determiarea aumitor caracteristici geometrice şi algebrice ale varietăţilor ce alcătuiesc mulţimea soluţiilor acelei ecuaţii. Î acest caz, teoria bifurcaţiei se ocupă, î pricipal, de găsirea puctelor de bifurcaţie, a umărului varietăţilor ce trec pri aceste pucte, a sesului lor de apariţie î aceste pucte, a stabilităţii puctelor varietăţilor, ca soluţii ale uor ecuaţii de evoluţie ataşate uor familii de câmpuri vectoriale. Dacă aplicaţia defieşte u sistem diamic, atuci teoria bifurcaţiei se referă la schimbările topologice eechivalete ale spaţiului fazelor. Î cadrul sistemelor diamice, teoria bifurcaţiei se umeşte teoria bifurcaţiei diamice (şi aparţie topologiei difereţiale). Î cazul problemelor staţioare, defiite de câmpuri vectoriale, ea se umeşte teoria bifurcaţiei statice (şi aparţie aalizei fucţioale eliiare). Datorită legăturii ditre ecuaţiile difereţiale, sistemele diamice şi câmpurile

vectoriale, bifurcaţia diamică şi cea statică a ecuaţiilor sut legate corespuzător [3], [4]. Ca şi stabilitatea, bifurcaţia este o proprietate a soluţiei uei ecuaţii ce depide de u parametru, legată de variaţia acestei soluţii cu acel parametru. Cum, î geeral, ecuaţia este eliiară, î cazul staţioar, această variaţie u este descrisă de o fucţie, ci de o fucţie multiformă. De aceea, teoria bifurcaţiei apare ca u studiu al multiformităţii fucţiilor. Fiid u studiu de atură calitativă, ivestigarea bifurcaţiei trebuie efectuată îaitea abordării umerice sau a celei catitativ teoretice a uei ecuaţii, deoarece, î fucţie de umărul şi de atura soluţiilor, trebuie alese metodele aalitice şi umerice specifice petru determiarea acelor soluţii. De altfel, teoria bifurcaţiei s-a impus î urma costatării că, datorită eliiarităţii modelelor matematice ale ştiiţelor particulare, prezeţa bifurcaţiei este regula şi u excepţia! Pe de altă parte, existeţa mai multor atractori petru o aceeaşi valoare a parametrului a dus la explicarea multor paradoxuri ale ştiiţelor particulare, impuâd u alt ses oţiuilor de rezolvare şi de soluţie a uei ecuaţii [4]. 3.5.. Diagrame de bifurcaţie Portretele de fază, secţiuile Poicaré, seriile de timp sau spectrele de putere evideţiază iformaţii asupra diamicii uui sistem. Îsă, diamica uui sistem poate fi evideţiată şi îtr-o maieră globală, î raport cu variaţia valorilor parametrilor săi, permiţâdu-e compararea simultaă a comportărilor periodice şi haotice. Să cosiderăm, di ou, sistemul diamic î timp cotiuu de ordiul, descris de ecuaţia: x f x,, cu parametrul. Pe măsură ce parametrul se modifică, mulţimile limită ale sistemului diamic se vor schimba. Î mod tipic, o variaţie mică a parametrului va produce o variaţie catitativă mică a mulţimilor limită ale sistemului. Dar există şi posibilitatea ca o variaţie mică a parametrului, î jurul aumitor valori, să producă schimbări calitative importate ale sistemului diamic. Aceste schimbări calitative se umesc bifurcaţii, iar valorile parametrului la care apar se umesc valori ale bifurcaţiilor. Trebuie meţioat că o schimbare calitativă a mulţimii limită poate să apară umai dacă sistemul diamic este structural istabil. Astfel, mulţimea valorilor de bifurcaţie este mulţimea valorilor parametrului petru care sistemul diamic este structural istabil. Î acest ses, se spue că o diagramă de bifurcaţie este o reprezetare a mulţimilor atractoare ale uui sistem diamic î raport cu valorile uui 59 parametru de cotrol [], [3], [4]. Î mod tipic, se reprezită fie spaţiul stărilor, fie se alege o variabilă de stare a sistemului diamic, care se reprezită grafic î raport cu variaţia parametrului de cotrol. Diagrama de bifurcaţie este forma sitetică, geometrică de prezetare a rezultatelor uui studiu de bifurcaţie. Exemple de bifurcaţii sut: dispariţia sau apariţia uor mulţimi limită sau o modificare î tipul de stabilitate a uei mulţimi limită. Să cosiderăm, petru îceput, exemplul uui sistem diamic de ordiul uu, descris de ecuaţia: x x, x. (.5) 6 Puctele critice sut date de ecuaţia: x. Petru x. Rezultă,, sistemul diamic u are ici u puct de echilibru; petru, există u puct de echilibru î origie x, cu valoarea proprie egală cu zero, iar petru, există u puct de echilibru stabil, la x, cu valoarea proprie, şi u puct de echilibru istabil, la x, cu valoarea proprie. Deoarece la trecerea pri zero a parametrului se creează două pucte de echilibru petru sistemul diamic, se spue că este o valoare de bifurcaţie petru acest sistem. Portretul de fază petru acest tip de bifurcaţie este dat î fig..3. ; b) Fig..3. Portretul de fază petru bifurcaţia de tip şa : a) Diagrama de bifurcaţie petru acest sistem este ilustrată î fig..4, ude sut idicate şi mulţimile limită stabile (liie cotiuă) şi istabile (liie puctată).

O bifurcaţie apare la, deoarece la această valoare puctul de echilibru di origie îşi schimbă tipul de stabilitate şi, î plus, sut create două oi pucte de echilibru. Diagrama de bifurcaţie este reprezetată î fig..6. Fig..4. Diagrama de bifurcaţie petru sistemul diamic (.5) Să cosiderăm exemplul uui sistem diamic de ordiul uu, descris de ecuaţia: x xx 3, x (.6) Petru orice valoare a lui, există u puct de echilibru î origie. Valoarea proprie corespuzătoare lui este egală cu, astfel că acest puct de echilibru este stabil dacă şi istabil petru. Petru, există, î plus, îcă două pucte de echilibru, la. Ambele pucte de echilibru au valorile proprii corespuzătoare egale cu, astfel că acestea sut stabile. Poziţia şi stabilitatea puctelor de echilibru sut reprezetate î fig..5: Fig..5. Portretele de fază ale bifurcaţiei de tip pitchfork a) cazul ; b) cazul 6 6 Fig..6. Diagrama de bifurcaţie petru sistemul diamic (.6) Î cele două exemple precedete, o bifurcaţie a creat o pereche de pucte de echilibru şi, î plus, î cazul exemplului precedet, a modificat şi stabilitatea uui puct de echilibru existet. Î următorul exemplu, bifurcaţia va crea u ciclu limită. Să cosiderăm sistemul diamic de ordiul doi, descris de ecuaţiile: x x x x x (.7) x x x x x Acest sistem diamic are u puct de echilibru î origie, cu valoarea proprie j, ude j. Petru echilibru este stabil. Câd este mărit către valoarea, puctul de, puctul de echilibru devie ohiperbolic (avâd valori pur imagiare petru valorile

proprii corespuzătoare), iar petru, puctul de echilibru devie istabil. Mai mult, petru, există u ciclu limită stabil, dat de soluţia ecuaţiei x x. Deoarece puctul de echilibru al sistemului diamic îşi schimbă stabilitatea la şi este creată o ouă mulţime limită, vom cocluzioa că este o valoare de bifurcaţie petru sistemul diamic cosiderat. Această bifurcaţie este deumită bifurcaţie de tip Hopf. Diagrama de bifurcaţie petru exemplul de mai sus, reprezetată î spaţiul de coordoate (, x, x), este dată î fig..7. Fig..8. Diagrama de bifurcaţie corespuzătoare ecuaţiei logistice Fig..7. Diagrama de bifurcaţie petru sistemul diamic (.7) Î fig..8 se prezită diagrama de bifurcaţie corespuzătoare uui sistem diamic, î timp discret, caracterizat de ecuaţia logistică: xk xk( xk). Aşa cum rezultă di fig..8, petru valorile,,... ale parametrului de cotrol rezultă apariţia dublării de perioadă. 63 64 3.5.. Tipuri de bifurcaţii Teoria matematică a bifurcaţiei a studiat aproape complet tipurile de bifurcaţii petru sistemele diamice depedete de u sigur parametru sau, cel mult, de câţiva parametri. Se admite faptul că u studiu geeral, petru u umăr de parametri, este imposibil (şi poate ici u este iteresat di puctul de vedere al aplicaţiilor practice) [3], [4]. Î cotiuare e vom referi succit la trei tipuri de bifurcaţii.. Bifurcaţia de tip Hopf apare î cazul sistemelor diamice î timp cotiuu, câd o pereche complex-cojugată de valori proprii ale liiarizării D x Q f x a câmpului vectorial î jurul uui puct de echilibru x Q, traversează axa imagiară. Î mod tipic, puctul de echilibru stabil devie istabil şi se aşte u ciclu limită stabil. Similar, câd u ciclu limită traversează o bifurcaţie de tip Hopf, va rezulta o mişcare pe u tor î spaţiul fazelor sistemului diamic.. O bifurcaţie de tip şa (saddle-od) apare câd u puct de echilibru stabil şi uul istabil fuzioează şi apoi dispar brusc ditr-u atractor. U exemplu tipic de bifurcaţie de tip şa î circuitele electroice o costituie comutarea ître cele două stări ale uui circuit trigger Schmitt: la u aumit prag de comutare, puctul de echilibru, care corespude stării de saturaţie high, se ueşte cu puctul de