Laborator 5 - Statistică ifereţială O populaţie statistică este o mulţime de idivizi 1 al căror atribut (greutate, îalţime etc) este supus uor variaţii aleatoare. Statistica ifereţială are drept scop determiarea cu u aumit grad de acurateţe (aproximarea, î cele mai multe cazuri) a parametrilor uei populaţii statistice (cum ar fi medie sau deviaţie stadard). Ifereţa asupra parametrilor populaţiei se realizează astfel: - se alege u eşatio aleator simplu (alegerea idivizilor se face î mod idepedet şi fiecare idivid are aceeaşi probabilitate de a fi ales); - se calculează ua sau mai multe statistici utilizâd eşatioul; - utilizâd statistica matematică şi teoria probabilităţilor, cu ajutorul statisticilor calculate, se formuleaza o afirmaţie (se iferează) asupra uui parametru al populaţiei. I. Legea ormală, reprezetare grafică RStudio. Nu uitaţi să va setaţi directorul de lucru: Sessio Set Workig Directory Choose Directory. O variabilă aleatoare ormală cu parametrii µ şi σ 2 are următoarea fucţie de desitate f(t) = 1 σ 2π exp [ (t µ)2 2σ 2 ]. Dacă X : N(µ, σ 2 ), atuci M(X) = µ şi D 2 (X) = σ 2 Distribuţia N(0, 1) se umeşte ormală stadard. Valorile uei variabile distribuite ormal au următoarea împrăştiere: %68 se găsesc la cel mult o deviaţie stadard faţă de medie; %95 se găsesc la cel mult două deviaţii stadard faţă de medie; %99.7 se găsesc la cel mult trei deviaţii stadard faţă de medie; Exerciţiu rezolvat. Reprezetarea grafică a fucţiei de desitate ormale stadard (µ = 0, σ = 1) se face di liia de comadă astfel > t = seq(-6, 6, legth = 400) > f = 1/sqrt(2*pi)*exp(-tˆ2/2) > plot(t, f, type = l, lwd = 1) Acest rezultat se poate trasforma îtr-o fucţie care se va scrie îtr-u script R astfel: File New File R Script şi î ferestra de editare se scrie următorul cod ormal desity < fuctio(limit) { t = seq(-limit, limit, legth = 400) f = 1/sqrt(2*pi)*exp(-t 2/2) plot(t, f, type = l, lwd = 1) } ormal desity(6) 1 Î ses larg.
RStudio. După editare, scriptul este salvat (Ctrl+S) cu u ume de tipul my script.r şi este îcărcat cu Code Source File (Ctrl+Shift+O) sau di liia de comadă cu source(script file) RStudio. O dată îcărcat scriptul, o fucţie care face parte di acest script se poate executa di liia de comadă: ormal desity(8) sau di fereastra de editare astfel: se selectează liiile dorite a fi executate şi Ctrl+Eter, iar scriptul î îtregime se execută cu Ctrl+Alt+R. Exerciţiu propus I.1 Scrieţi o fucţie care să reprezite grafic desitatea legii ormale N(µ, σ 2 ). II. Estimarea mediei uei populaţii: Media de selecţie Cosiderăm o populaţie cu media µ şi dispersia σ 2, căreia i se măsoară atributul 2 X. Di această populaţie se extrage u eşatio aleator simplu de dimesiue : X 1, X 2,..., X. Aceste valori pot fi privite şi ca variabile aleatoare idepedete şi idetic repartizate cu variabila X. Media de selecţie se defieşte astfel: x = X 1 + X 2 + + X şi este o statistică, dar î acelaşi timp, petru u eşatio geeric, poate fi văzută ca o variabilă aleatoare. Proprietăţi ale mediei de selecţie: - x este u estimator (edeplasat) al mediei populaţiei, µ, di care provie eşatioul. - privită ca variabilă aleatoare: M(x ) = µ, D 2 (x ) = σ2 - dacă populaţia di care provie eşatioul este distribuită ) ormal N(µ, σ 2 ), atuci media de selecţie urmează o distribuţie ormală N (µ, σ2 ; - dacă dimesiuea eşatioului este suficiet de mare ( ) 30), atuci media de selecţie urmează cu aproximaţie o distribuţie ormală N (µ, σ2. O fucţie petru determiarea mediei de selecţie a uui eşatio dat îtr-u fişier. selectio mea < fuctio(fileame) { x = sca(fileame); m = mea(x) } selectio mea( sample.txt ) RStudio. Fişierul cu umele fileame trebuie să fie î directorul de lucru. Exerciţiu propus II.1 Scrieţi îtr-u script fucţia descrisă mai sus şi aplicaţi-o fişierului history.txt. 2 X este o variabilă aleatoare cu media µ şi dispersia σ 2.
III. Itervale de îcredere petru media uei populaţii cu dispersia cuoscută Se cosideră o populaţie cu dispersia cuoscută σ 2. Se caută u iterval î care media µ, ecuoscută a populaţie să se găsească cu probabilitate mare (0.90, 0.95 sau 0.99). U astfel de iterval este următorul: ( x z σ, x + z ude z, umit valoarea critică, se determiă astfel ) σ z = qorm (α/2, mea = 0, sd = 1) = qorm (1 α/2, mea = 0, sd = 1) iar α este egal cu 1 ivelul de îcredere. Media de selecţie, dacă u este dată, se poate calcula astfel: x = mea(date eşatio) Exerciţiu rezolvat. Durata vieţii uui tip de baterie urmează cu aproximaţie o lege ormală cu dispersia de 9 ore. Petru u eşatio de 100 de baterii se măsoară o medie de viaţa de 20 de ore. Să se determie u iterval de îcredere de 90% petru media de viaţă a îtregii populaţii. Rezultatul este itervalul [19.50654, 20.49346]. > alfa = 0.1 > sample mea = 20 > = 100 > sigma = sqrt(9) > critical z = qorm(1 - alfa/2, 0, 1) > a = sample mea - critical z*sigma/sqrt() > b = sample mea + critical z*sigma/sqrt() > iterval = c(a, b) > iterval Exerciţii propuse (III.1 şi îcă două ditre III.2-III.6) III.1 Scrieţi îtr-u script o fucţie (umită zcofidece iterval) care să calculeze itervalul de îcredere ca mai sus (parametrii fucţiei vor fi:, x, α etc). Fucţia aceasta va fi utilizată la rezolvarea exerciţiilor de mai jos. III.2 Se caută u iterval de îcredere de 90% petru media uei populaţii ormale cu dispersia cuoscută σ 2 = 100. Petru aceasta se utilizează u eşatio aleator simplu de 25 de idivizi a cărui medie de selecţie (calculată) este 67.53. III.3 III.4 Îtr-o istituţie publică există u automat de cafea reglat î aşa fel îcât catitatea de cafea ditr-u pahar urmează o lege ormală cu deviaţia stadard σ = 0.5 oz. Petru u eşatio de = 50 de pahare ales la îtâmplare, se măsoară o medie a greutăţii petru u pahar de 5 oz. Să se determie u iterval de îcredere de 95% petru media de greutate a uui pahar de cafea. Îtr-o îcercare disperată de a cocura Geeral Electric, compaia ACME itroduce u ou tip de becuri. ACME fabrică iiţial 100 de becuri a căror medie de viaţă măsurată este 1280 de ore (deviaţia stadard a populaţiei este 140 de ore). Să se găsească u iterval de îcredere de 99% petru media de viaţă a becurilor.
III.5 Se măsoară greutatea petru u eşatio de 35 de atleţi şi se găseşte o medie de 60 kg. Se presupue că deviaţia stadard a populaţiei este 5 kg. Să se determie itervalele de îcredere de 90%, 95% respectiv 99% petru media populaţiei. Itervalul de 95% îcredere este mai mare sau mai mic decât cel de 99%? De ce? III.6 Modificaţi fucţia de mai sus petru cazul câd eşatioul este dat îtr-u fişier (trebuie calculată media de selecţie şi dimesiuea eşatioului). Aplicaţi fucţia astfel modificată fişierului costruit la exerciţiul II.2 petru a determia u iterval de îcredere de de 95%. IV. Itervale de îcredere petru media uei populaţii cu dispersia ecuoscută Se cosideră o populaţie căreia u i se cuoaşte dispersia. Î acest caz se foloseşte drept estimator al deviaţiei stadard σ, deviaţia stadard a eşatioului s. Î acest caz, scorul t = x µ s/ este distribuit Studet cu 1 grade de libertate: t( 1). Se caută u iterval î care media populaţiei µ, ecuoscută şi ea, să se găsească cu probabilitate prescrisă (0.9, 0.95 sau 0.99). U astfel de iterval este următorul: ( x t s, x + t ude t, umit valoarea critică, se determiă astfel ) s t = qt (α/2, 1) = qt (1 α/2, 1) α este egal cu 1 ivelul de îcredere, iar s este deviaţia stadard a eşatioului. care sut cuoscute valorile di eşatio, x şi s se calculează astfel: Î cazul î x = mea(date-eşatio), s = sd(date-eşatio) Î calculele de mai jos vom folosi u estimator petru eroarea stadard a mediei, aume se = s. Exerciţiu rezolvat. O compaie ce produce jucării doreşte să afle cât de iteresate sut produsele sale. 60 de copiii ditr-u eşatio sut rugaţi să răspudă cu o valoare ître 0 şi 5 şi se determiă o medie egală cu 3.3, cu o deviatie stadard s = 0.4. Cât de iteresate, î medie, sut jucăriile compaiei (95% ivel de îcredere)? Rezultatul este itervalul [3.19667, 3.40333]. > alfa = 0.05 > sample mea = 3.3 > = 60 > s = 0.4 > se = s/sqrt() > critical t = qt(1 - alfa/2, - 1) > a = sample mea - critical t*sigma/sqrt() > b = sample mea + critical t*sigma/sqrt() > iterval = c(a, b) > iterval Exerciţii propuse (IV.1 şi îcă două ditre IV.2-IV.5)
IV.1 Scrieţi îtr-u script o fucţie (umită t cof iterval) care să calculeze itervalul de î credere ca mai sus (parametrii fucţiei vor fi:, x, α etc). Fucţia aceasta va fi utilizată la rezolvarea exerciţiilor de mai jos. IV.2 196 de studeţi aleşi aleator au fost îtrebaţi cât de mulţi bai au ivestit î cumpărături olie săptămâa trecută. Media a fost calculată la 44.65$, cu o dispersie (a eşatioului) egală cu s 2 = 2.25. Calculaţi u iterval de îcredere de 99%petru media populati ei (despre care se presupue că urmează o lege ormală). IV.3 O compaie de dulciuri cosideră că ivelul de zahăr î produsele sale poate avea valori ître 1 şi 20, urmâd o lege ormală. Se cosideră u eşatio de 49 de produse. Media ivelului de zahăr este 12 iar deviaţia stadard a eşatioului este de 1.75. (a) Determiaţi itervalele de îcredere de 99% si 95% petru media ivelului de zahăr. (b) Dupa modificarea reţetei, s-au testat 49 produse şi s-a găsit că media ivelului de zahar este de 13.5 cu o deviaţie stadard de 1.25. Determiaţi u iterval deîicredere de 95% petru media ivelului de zahăr. IV.4 Modificaţi fucţia de mai sus petru cazul câd eşatioul este dat îtr-u fişier (trebuie calculată media de selecţie, deviaţia stadard şi dimesiuea eşatioului). Aplicaţi fucţia astfel modificată petru a rezolva şi următorul exerciţiu. IV.5 Petru u eşatio aleator simplu ditr-o populaţie ormală cu dispersia ecuoscută se măsoară următoarele valori: 12 11 12 10 11 12 13 12 11 11 13 14 10 Să se determie, utilizâd aceste date, itervalele de îcredere de 90%, 95% şi 99% petru media populaţiei. Testarea ipotezelor statistice Avem o populaţie statistică căreia u i se cuoaşte complet distribuţia. U test statistic asupra uor aspecte ale distribuţiei 3 populaţiei urmează următoarea procedură geerală: - se formulează o ipoteză, umită ipoteza ulă H 0, care precizează complet distribuţia populaţiei. - ipoteza ulă este atacată de o ipoteză alterativă H a, care susţie o presupuere diferită asupra distribuţiei populaţiei. - î cazul î care există dovezi suficiete (statistic semificative) ipoteza ulă, H 0, este respisă şi se acceptă ipoteza alterativă H a. - dacă dovezile împotriva ipotezei ule u sut statistic semificative, atuci ipoteza ulă H 0 u poate fi respisă, (u test statistic u se termiă pri acceptarea ipotezei ule). La efectuarea uui test statistic se pot face două tipuri de erori: - eroare de tipul I: rezultatul testului impue respigerea ipotezei ule H 0, deşi, î realitate, ea este adevărată - această eroare este cauzată de o îcredere excesivă. 3 De exemplu asupra mediei sau dispersiei.
- eroare de tipul II: rezultatul testului u cere respigerea ipotezei ule H 0, deşi, î realitate, ea este u adevărată - această eroare este cauzată de u scepticism accetuat. H 0 u este respisă H 0 este respisă H 0 este adevărată corect eroare de tip I H 0 este falsă eroare de tip II corect V. Testul z asupra proporţiilor Se cosideră o variabilă X ce umără succesele di îcercări. X este distribuită biomial - X : B(, p). Testul proporţiilor iferează asupra probabilităţii p. Se otează cu p = X frecveţa dată de eşatio. Deoarece M(X) = p şi D 2 (X) = p(1 p), vom avea M(p ) = p şi D 2 (p ) = p(1 p). Petru suficiet de mare ( 20 şi p 5) p urmează aproximativ o distribuţie ormală. p p Statistica z = este distribuită ormal stadard: N(0, 1). p(1 p)/ Testul asupra proporţiilor decurge astfel: 1. se formulează ipoteza ulă, care susţie că probabilitatea p ia o valoare particulară: H 0 : p = p 0 2. se formulează o ipoteză alterativă care poate fi de trei feluri: H a : p < p 0 H a : p > p 0 (ipoteză asimetrică la stâga) sau (ipoteză asimetrică la dreapta) sau H a : p p 0 (ipoteză simetrică) 3. se fixează ivelul de semificaţie: α (care uzual poate fi 1% sau 5%); 4. se calculează scorul testului: z = p p 0 p0 (1 p 0 )/ 5. se determiă valoarea critică z : z = qorm(α, 0, 1) petru ipoteză H a asimetrică la stâga (z < 0), z = qorm(1 α, 0, 1) petru ipoteză H a asimetrică la dreapta (z > 0), z = qorm(α/2, 0, 1) = qorm(1 α/2, 0, 1) petru ipoteză H a simetrică (z > 0). 6. ipoteza ulă H 0 este respisă dacă z < z z > z petru ipoteză H a asimetrică la stâga sau petru ipoteză H a asimetrică la dreapta sau z > z petru ipoteză H a simetrică, altfel vom spue că u există suficiete dovezi petru a respige ipoteza ulă H 0 şi a accepta ipoteza alterativă H a.
Exerciţiu rezolvat. U politicia susţie ca va primi mai puţi de 60% ditre voturi î colegiul său. U eşatio ditr-o 100 de alegători arată că 63 ditre ei au votat petru acest politicia. Putem respige afirmaţia politiciaului? (1% ivel de semificaţie) > alfa = 0.01 > = 100 > succese = 63 > p prim = succese/ > p0 = 0.6 > z score = (p prim - p0)/sqrt(p0(1 - p0)/) > critical z = qorm(1 - alfa, 0, 1) > z score > critical z Rezultatul este z = 0.61237 < z = 2.32634, deci ipoteza ulă u se poate respige. Exerciţii propuse V.1 Scrieţi îtr-u script o fucţie (umită test proportio) care să calculeze şi să retureze valoarea critică şi scorul testului proporţiilor (parametrii vor fi α,, umărul de succese, p 0 ). Fucţia aceasta va fi utilizată, petru rezolvarea exerciţiilor de mai jos. V.2 Se presupue că ditr-u umăr mare de compoete, 10% sut defecte. Se testează dacă procetul defectelor a crescut. Se testează î acest ses 150 de compoete şi se determiă că 20 ditre ele sut defecte. Se poate afirma cu ivel de semificaţie de 5% că procetul compoetelor defecte este mai mare decât 10%? V.3 Să se testeze o ipoteza adecvată petru datele de mai jos. Proporţia este umărul de purici îlăturaţi (killed fleas) supra umărul total de purici (fleas). My dog has so may fleas, They do ot come off with ease. As for shampoo, I have tried may types Eve oe called Bubble Hype, Which oly killed 25% of the fleas, Ufortuately I was ot pleased. I ve used all kids of soap, Util I had give up hope Util oe day I saw A ad that put me i awe. A shampoo used for dogs Called GOOD ENOUGH to Clea a Hog Guarateed to kill more fleas. I gave Fido a bath Ad after doig the math His umber of fleas Started droppig by 3 s! Before his shampoo I couted 42.
At the ed of his bath, I redid the math Ad the ew shampoo had killed 17 fleas. So ow I was pleased. Now it is time for you to have some fu With the level of sigificace beig 0.01, You must help me figure out Use the ew shampoo or go without? Temă petru acasă. 4 pucte [2p: D1 sau D2] + [2p: D3 sau D4] D1. (2 pucte) Nivelul de potasiu al uei persoae este măsurat idepedet de opt ori (aceste măsurători urmează o distribuţire ormală cu deviaţia stadard σ = 0.5). Media acestor măsurători este 2.75; determiaţi u iterval de î credere de 99% petru ivelul mediu de potasiu. D2. (2 pucte) Determiaţi u iterval de îcredere de 90% petru media uei populaţii distribuite ormal, folosid u eşatio aleator simplu format di 144 de idivizi cu o medie de selecţie egală cu 20 şi cu dispersia s 2 = 18. D3. (2 pucte) O ageţie imobiliară îşi schimbă maagemetul deoarece 10% ditre clieţi declară ca sut emulţumiţi de serviciile oferite. După schimbarea maagemetului, ditr-u eşatio de 112 clieţi, 14 sut emulţumiţi. Se poate trage cocluzia că schimbarea a fost iutilă? (1% şi 5% ivel de semificaţie.) D2. (2 pucte) Datele istorice arată că 2.5% ditre pacieţii care supravieţuiesc uei proceduri pe cord au u IQ sub 70 de pucte. Ditr-u eşatio de 128 de pacieţi care au trecut pri această procedură, 10 au u IQ sub 70. Se poate trage cocluzia că procetul de mai sus a crescut î timp? Rezolvările acestor exerciţii (fucţiile R şi apelurile lor) vor fi redactate îtr-u script R.