DUMITRU BUŞNEAG ( COORDONATOR )

Transcription

1 DUMITRU BUŞNEAG COORDONATOR FLORENTINA BOBOC DANA PICIU EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 999

2 Refereţi ştiiţifici : Prof. uiv. r. Aleru Dică Uiversitte i Criov. Prof. uiv. r. Frçois Grmi Uiversité Je Moet, Sit -Étiee, Frce. Dumitru Buseg, Floreti Boboc, D Piciu: Arithmetic umber theory 999 EUC CRAIOVA All rights reserve. No rt of this ublictio my be rerouce, store i retrievl system, or trsmitte, i y form or by y mes, electroic, mechicl, hotocoyig, recorig, or other wise, without the rior writte ermissio of the ublisher. Tehorectre comuteriztă: Floreti Boboc, D Piciu Bu e tir: Tiogrfi Uiversităţii i Criov Str. Al. I. Cuz Criov, Româi. Publishe i Romi by Eitur Uiversitri Criov ISBN:

3 CUVÂNT ÎNAINTE Acestă lucrre este o eiţie revizuită şi îmbuătăţită lucrării Elemete e ritmetică şi teori umerelor, vâ ceişi utori, şi cre fost ublictă î ul 998, l eitur Ricl i Criov I.S.B.N Fţă e veche eiţie, e lâgă îretre uor mici erori tât e rectre cât şi e tehorectre, m us îmbuătăţiri rgrfelor 4 şi 7 e l Citolul 7, c şi rgrfului 3 e l Citolul. Î filul Citolului m itrous u ou rgrf rgrful 6 î cre se rezită rezolvre î umere îtregi sistemelor e ecuţii liire cu coeficieţi îtregi. Petru fiecre citol s-u itrous eerciţii sulimetre cu soluţii comlete. Î filul lucrării s-u tşt următorele ee: Ae : Tbelul cu umerele rime evieţii umerele rime gemee e l l.. Ae : Fucţi π şi estimările sle. Ae 3: Numerele lui Fermt, umerele lui Mersee şi umere erfecte. Dcă lucrre iiţilă ve 54 gii formt A 5, rezet eiţie re 88 gii celşi formt. Criov, rilie 999. Autorii. 3

4 L. Kroecer : Dumezeu cret umerele turle restul este muc omului. CAPITOLUL : MULŢIMEA NUMERELOR NATURALE N. Trilete Peo DEFINIŢIA.. Numim trilet Peo u trilet N,, s ue N este o mulţime eviă, N ir s:n N este o fucţie stfel îcât sut verificte iomele : P : s N P : s este o fucţie ijectivă P 3 : că P N este o submulţime stfel îcât P şi P s P, tuci PN. Î cele ce urmeză, ccetăm c iomă eisteţ uui trilet Peo cititorului oric e rofure cestei chestiui îi recomăm lucrările [7] şi [9]. N{} sn. LEMA.. Dcă N,, s este u trilet Peo, tuci Demostrţie Dcă otăm P{} s N, tuci P N şi cum P verifică P 3, eucem că PN. TEOREMA.3. Fie N,, s u trilet Peo ir Nʹ, ʹ, s ʹ u lt trilet formt itr-o mulţime eviă Nʹ, u elemet ʹ Nʹ şi o fucţie sʹ:nʹ Nʹ. Atuci : Eistă o uică fucţie f:n Nʹ stfel îcât f ʹ, ir igrm N f Nʹ s sʹ N f Nʹ 4

5 este comuttivă ică f s sʹ f. Dcă Nʹ, ʹ, sʹ este u trilet Peo, tuci f este bijecţie. Demostrţie Petru rob eisteţ lui f, vom cosier tote relţiile R N Nʹ.î. : r :, ʹ R r : Dcă, ʹ R, tuci s, sʹʹ R ir ri R vom ot itersecţi cestor relţii. Vom emostr că R este o relţie fucţiolă şi stfel f v fi fucţi ce v ve ret grfic e R stfel, i, ʹ R vom euce că f ʹ ir că N şi f ʹ Nʹ,, ʹ R, eci s, sʹʹ R, ică, fssʹʹsʹf. Petru emostr că R este o relţie fucţiolă, vom emostr că etru orice N, eistă ʹ Nʹ. î., ʹ R ir că etru N şi ʹ, ʹʹ Nʹ vem, ʹ R şi, ʹʹ R, tuci ʹ ʹʹ. Petru rim rte, fie P{ N : eistă ʹ Nʹ. î., ʹ R } N. Cum, ʹ R eucem că P. Fie cum P şi ʹ Nʹ.î., ʹ R. Di efiiţi lui R eucem că s, sʹʹ R ; obţiem că s P şi cum N,, s este trilet Peo, eucem că PN. Petru ou rte, fie Q{ N : că ʹ, ʹʹ N ʹ şi, ʹ,, ʹʹ R ʹ ʹʹ} N şi să emostrăm l îceut că Q. Î cest ses, vom emostr că că, ʹ R tuci ʹʹ. Dcă ri bsur, ʹ ʹ, tuci vom cosier relţi R R {, ʹ} N Nʹ. Di ʹ ʹ eucem că, ʹ R ir că etru m Nʹ vem, m R, tuci, m R şi, m, ʹ. Astfel s, sʹm R şi cum s, sʹm, ʹ căci s coform cu P, eucem că s, sʹm R. Cum R verifică r şi r r trebui c R R bsur căci R este iclusă strict î R. Petru rob că Q, fie ʹ, ʹʹ Nʹ. î., ʹ,, ʹʹ R. Atuci, ţiâ cot e cele stbilite mi sus, eucem că ʹʹʹʹ, eci Q. Fie cum Q şi ʹ N ʹ. î., ʹ R ; vom emostr că că s, ʹʹ R, tuci ʹʹsʹʹ. Să resuuem ri bsur că ʹʹ sʹʹ şi să cosierăm relţi R R {s, ʹʹ}. Vom emostr că R verifică r şi r. 5

6 Îtr evăr,, ʹ R căci s ir că, ʹ R, tuci, ʹ R şi, ʹ s, ʹʹ. Deucem că s, sʹʹ R şi că resuuem s, sʹʹ s, ʹʹ, tuci s s, eci. De semee, sʹʹʹʹ. Atuci, ʹ R şi, ʹ R ir cum Q ʹʹ, eci ʹʹsʹʹsʹʹ, cee ce cotrzice ftul că ʹʹ sʹ. Pri urmre, s, sʹʹ s, ʹʹ, cee ce e rtă că s, sʹʹ R, ică R stisfce r şi r. Di ou r trebui c R R bsur!. Deci s, ʹʹ R ʹʹsʹʹ stfel că că r, s N ʹ şi s, r, s, s R, tuci r s sʹ, ică s Q, eci QN. Petru rob uicitte lui f, să resuuem că mi eistă fʹ:n Nʹ.î. fʹʹ şi sʹfʹfʹs etru orice N. Cosierâ P{ N : ffʹ} N, tuci P ir că P ică ffʹ, tuci sʹfsʹfʹ fsfʹs s P şi tuci PN, ică ffʹ. Să rătăm l îceut că f este ijectivă. Petru cest vom cosier P{ N : că m N şi fmf m} N şi să emostrăm l îceut că P. Petru cest fie m N. î. ffm şi să emostrăm că m. Dcă ri bsur m, tuci ms cu N ir eglitte fmf evie fsf ʹ, e ue sʹfʹ, cee ce este bsur eorece ri ioteză Nʹ, ʹ, sʹ este u trilet Peo. Fie cum P; etru emostr că s P, fie m N.î. fmfs. Atuci m căci î cz cotrr r rezult că ʹffssʹf, bsur!, eci coform Lemei.., ms cu N ir eglitte fmfs evie fsfs sʹfsʹf, ică ff şi cum P, tuci şi stfel mss. Petru emostr surjectivitte lui f să cosierăm Pʹ{ʹ Nʹ:eistă N. î. ʹf } Nʹ. Cum fʹ eucem că ʹ Pʹ. Fie cum ʹ Pʹ ; tuci eistă N.î. ʹf. Deorece sʹʹsʹffs, eucem că sʹʹ Pʹ şi cum 6

7 triletul Nʹ, ʹ, sʹ este u trilet Peo, eucem că PʹNʹ, ică f este şi surjectivă, eci bijectivă. Observţie Coform Teoremei.3. cuoscută şi sub umele e teorem e recureţă u trilet Peo este uic âă l o bijecţie. Î cele ce urmeză vom lege u trilet Peo orecre N,, s şi e cre îl vom fi ; elemetele lui N le vom umi umere turle. Elemetul v urt umele e zero. Notăm N* N \ {}. Vom ot s, s, 3s, e.t.c., stfel că N{,,, }. Fucţi s ortă umele e fucţi succesor. Aiomele P P 3 sut cuoscute sub umele e iomele lui Peo. Aiom P 3 ortă umele e iom iucţiei mtemtice. Aure umerelor turle TEOREMA.. Eistă o uică oerţie lgebrică e N e cre o vom ot ri şi o vom umi ure umerelor turle stfel îcât etru orice m, N să vem : A : mm A : smsm. Demostrţie Să robăm l îceut uicitte şi etru cest să resuuem că mi eistă o oerţie lgebrică e N.î. sut verificte A şi A. Fie P{ N m m, etru orice m N} N. Di A eucem că P ir i A eucem că că P, tuci sms m sms m, cee ce este evărt eorece s este ijectivă şi m resuus că P. Deci PN, ică cele ouă oerţii coici. Cosierăm u elemet m N e cre îl fiăm şi triletul N, m, s ; coform Teoremei.3. eistă o uică fucţie f m :N N. î. f m şi sf m f m s etru orice N. Petru N efiim mf m. Atuci mf m m ir sm f m ss f m s m. Observţie Aiomele A A ortă umele e iomele uării umerelor turle. 7

8 PROPOZIŢIA.. Petru orice m, N vem A : Demostrţie A : s m sm. Fie P{m N: mm } N. Dcă î A fcem e m, eucem că, ică P. Dcă m P, ică mm, tuci smsmsm, ică sm P, eci PN. Alog se robeză şi ou relţie. PROPOZIŢIA.3. Dubletul N, este mooi comuttiv cu roriette e simlificre. Demostrţie Di cele stbilite terior, eucem că este elemet eutru etru ure umerelor turle. Petru rob comuttivitte uării să cosierăm P{ N : mm etru orice m N} N. Eviet P. Dcă P, ică mm etru orice m N, tuci smms smsm mm, cee ce este evărt. Deucem că PN, ică ure umerelor turle este comuttivă. Petru emostr socitivitte uării umerelor turle, să cosierăm P { N: mm etru orice m, N} N. Eviet P. Fie cum P. Atuci smsm sm ir smsm şi cum mm eucem că s P, ică PN. Petru rte filă fie P{ N : că m m} N. Eviet P şi să resuuem că P. Atuci mss sms m m căci P, ică s P şi stfel i ou PN. Observţie Dcă N, tuci sss. PROPOZIŢIA.4. Dcă m, N şi m, tuci m. 8

9 Demostrţie Dcă m su, tuci eistă, N. î. m s su s. Î rimul cz, obţiem că m s s bsur! şi log î l oile cz. Deci m. 3 Îmulţire umerelor turle PROPOZIŢIA 3.. Eistă o uică oerţie lgebrică e N ottă şi umită îmulţire umerelor turle.î. etru orice m, N să vem : I : m I : m smm. Demostrţie Fie m N fit ; cosierâ triletul N,, f m, ue f m :N N este efiită ri f m m etru orice N, tuci coform Teoremei.3. eistă o uică fucţie g m :N N.î. g m şi f m g m g m s. Defiim m g m şi stfel m g m ir m sg m s f m g m f m m m m. Uicitte oerţiei e îmulţire cu rorietăţile I şi I se robeză c î czul uării. Observţie I şi I ortă umele e iomele îmulţirii umerelor turle. Î cele ce urmeză, că u este ericol e cofuzie, vom scrie m m etru m, N. Alog c î czul uării umerelor turle, se emostreză că etru oricre umere turle m, vem : I : m I : s mmm. LEMA 3.. Îmulţire umerelor turle este istributivă l stâg fţă e ure umerelor turle. N} N. Demostrţie Fie P{ N : mmm etru oricre m, Ţiâ cot e I eucem că P. Să resuuem cum că P şi fie m, N. Avem msmsmmmmmmms, ică s P şi stfel PN. 9

10 PROPOZIŢIA Dubletul N, este mooi comuttiv. Demostrţie Petru rob socitivitte îmulţirii fie P{ N : mm etru oricre m, N} N. Î mo eviet, P. Să resuuem cum că P şi să emostrăm că s P. Avem ms mm ir msmmm coform Lemei 3.., e ue eglitte msms, ică s P, eci PN. Deorece etru orice N vem s ir s eucem că este elemetul eutru l îmulţirii umerelor turle. Petru rob comuttivitte îmulţirii umerelor turle fie P{ N : mm etru orice m N} N. Î mo eviet P şi să resuuem că N. Atuci etru orice m N, s m mm ir m smm, e ue s mm s, ică s P, eci PN. 4 Relţi turlă e orie e e N. DEFINIŢIA 4.. Petru m, N vom scrie m şi vom sue că m este mi mic su egl ecât su că este mi mre su egl ecât m că eistă N.î. m ; coveim î cest cz să otăm -m. Dcă N*, tuci m şi m ; î cest cz vom scrie m< şi vom sue că m este strict mi mic ecât. LEMA 4.. Dcă m, N şi m<, tuci sm. Demostrţie Deorece m<, eistă N*.î. m. Cum N*, eistă N. î. s coform Lemei... Atuci i m eucem că ms sm sm sm. COROLAR 4.3. Petru orice N, <s. PROPOZIŢIA 4.4. Dubletul N, este o mulţime totl orotă. Demostrţie Deorece etru orice N, eucem că, ică relţi este refleivă. Fie cum m, N. î. m şi m. Atuci eistă, N.î. m şi m. Deucem că, e ue coform

11 Prooziţiei.3., ir e ici coform Prooziţiei.4., ică m, eci relţi este tisimetrică. Fie cum m,, N. î. m şi. Atuci eistă r, s N. î. mr şi s. Deucem imeit că mrs, ică m, eci relţi este şi trzitivă, ică este o relţie e orie e N. Petru rob că orie e e N este totlă, fie m N fit ir P m { N: m su m } N. Î mo eviet P m şi fie P m. Dcă m, tuci cum <s vem m<s, ică s P m. Dcă <m, tuci coform Lemei 4.. vem s m şi i ou s P m. Dcă m<, cum <s vem că m<s şi i ou s P m. Rezultă că P m N şi cum m este orecre eucem că orie e e N este totlă. Observţie e orie turlă e e N. Relţi e orie efiită terior e N ortă umele TEOREMA 4.5. Dubletul N, este o mulţime bie orotă. Demostrţie Trebuie să emostrăm că orice submulţime eviă A N re u cel mi mic elemet. Petru cest fie: P{ N: etru orice A} N. Eviet P. Dcă etru orice P r rezult s P, tuci m euce că PN. Astfel că legâ u A tuci P, eci s P. Î rticulr r rezult că s bsur!. Deucem că P N, ică eistă P.î. s P. Vom emostr că A şi că este cel mi mic elemet l lui A. Dcă A, tuci etru orice A vem <, e ue s coform Lemei 4.., ică s P bsur!, eci A şi cum P eucem că etru orice A, ică este cel mi mic elemet l lui A. COROLAR 4.6. stţior. Orice şir escrescător e umere turle este Demostrţie Fie N u şir escrescător e umere turle ir

12 A{ : N} N. Coform Teoremei 4.5 mulţime A re u cel mi mic elemet ; tuci etru orice m vem m şi cum m eucem că m, ică şirul N este stţior. COROLAR 4.7. Î N u utem găsi u şir strict escrescător şi ifiit e umere turle. COROLAR 4.8. Fie P N.î. etru orice N < P P. Atuci PN. Demostrţie Fie AN\P N şi să resuuem ri bsur că A. Coform Teoremei 4.5. mulţime A v ve u cel mi mic elemet A. Cum etru N, < A P, coform iotezei PN, ică P şi stfel A bsur!. Deci A, e ue PN. COROLAR Teorem îmărţirii cu rest î N. Petru oricre ouă umere turle m, cu, eistă şi sut uice ouă umere turle c şi r.î. m cr şi r<. Demostrţie Fie A{s N: eistă N.î. ms} N. Deorece m mm eucem că m A, ică A. Coform Teoremei 4.5. mulţime A oseă u elemet miiml r A. Atuci eistă c N.î. mc r şi să emostrăm că r<. Dcă ri bsur r, tuci coform Prooziţiei 4.4., r, ică eistă u N.î. ru. Deucem că mcrcucu, ică u A, eci r u şi cum u r eucem că ur, ică bsur!. Petru emostr uicitte lui c şi r să resuuem că mcr cʹrʹ, cu r, rʹ< şi să rătăm că ccʹ şi rrʹ. Să resuuem e eemlu că c<cʹ, ică cucʹ cu u N*. Atuci mcʹrʹcurʹcurʹ, eci rurʹ > bsur!. Deci ccʹ şi eucem imeit că şi rrʹ. Observţie Numărul c ortă umele e câtul îmărţirii lui m l ir r se zice restul cestei îmărţiri. TEOREMA 4.. Fie m,, m,, N.î. m şi m. Atuci:

13 i mm şi mm ii m şi m. Demostrţie i Putem scrie mr şi m r, cu r, r N. Di mm rr eucem că mm. De semee mrm r mm mr r m r r şi cum m r r m r r N eucem că mm. ii Se euce c şi i ţiâ cot e i recum şi e regulile e clcul i N stbilite mi îite. 5. Rerezetre umerelor turle îtr-o bză tă Di cele mi vechi timuri s- imus găsire uor roceee e scriere umerelor turle cre să ermită o riă estimre oriului lor e mărime, recum şi elborre uor reguli simle e efectu ricilele oerţii cu ceste ure, îmulţire. Acestei robleme i s-u t rezolvări secifice iferitelor ete e ezvoltre mtemticilor tre sistemului e umerţie zeciml cu cre sutem obişuiţi zi s- îcheit bi î secolele XVI- XVII câ cest cuoscut o lrgă răsâire î Euro. Î cele ce urmeză vom fumet cee ce îsemă scriere umerelor turle î bz u, ue u N, u. LEMA 5.. Fie u u umăr turl >. Oricre r fi umărul turl >, eistă umerele turle,,,, -,,,,. î.: u, <u u, <u - u - -, - <u -, <u Demostrţie. Dcă <u, luăm, şi lem este evărtă. Dcă u, fie, N stfel îcât u, <u. Cum u, vem >. Eistă, N stfel îcât u, <u şi ş mi erte. Dcă i, tuci i <u rezultă i <u i u i i i-, e ue: > > > > i- > i >. Este clr că eistă stfel îcât - şi. Rezultă că < - <u şi lem este emostrtă. 3

14 LEMA 5.. Fie u,,,, N stfel îcât u>, i <u etru i< şi < <u. Atuci: i i i u < u. Demostrţie Cum i u- etru i,,,, tuci: i iu i i i u u u < u, e ue rezultă lem. TEOREMA 5.3. Fie u u umăr turl >. Oricre r fi umărul >, eistă umerele turle,, -,, uic etermite stfel îcât: u - u - u, ue < <u şi i <u etru orice i -. Demostrţie Coform Lemei 5.., eistă,,, - şi,,,.î.: u, <u u, <u - u - -, - <u -, <u. Îmulţim ceste eglităţi resectiv cu, u, u,,u. Auâ oi terme cu terme eglităţile ce se obţi, rezultă: u - u - u. Rămâe să oveim uicitte umerelor,,,,. Fie e semee umerele turle,,,...,,.î. u u... u cu < < u şi i < u etru i <. Dcă <, tuci şi i Lem 5.. rezultă: i iu < u u i i i i u, eci < cotricţie. Alog se rtă că u este osibil c <, e ue. Să emostrăm cum că i i, i. Dcă, tuci. Presuuem că > şi că firmţi este evărtă etru -. Di eglităţile: u u... u u..., ue < u şi < u rezultă, folosi uicitte câtului îmărţirii lui ri u că şi u... u u... u. Folosi iotez e iucţie, i ultim eglitte eucem că i,,,., i i 4

15 Teorem este stfel comlet emostrtă. Sutem cum î măsură să efiim cee ce este cuoscut sub umele e sistem e umerţie î bz u, ue u este u umăr turl >. L fiecre umăr turl > fcem să coresuă secveţ fiită e umere turle -, ue i <u, i, şi i u ef Aşr, - u - u - u. Di Teorem 5.3. rezultă că se stbileşte stfel o coresoeţă biuivocă ître umerele turle > şi secveţele fiite - e umere turle i <u, cu. Câ se imue să trgem teţi sur bzei sistemului e umerţie, se obişuieşte să se scrie - ou su - ou. Dcă bz sistemului e umerţie este zece ottă el este umit sistemul zeciml. Cifrele sistemului e umerţie se umesc cifre zecimle. Ele sut umerele mi mici c zece şi se oteză î orie cu,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Secveţ e cifre zecimle 7538 su mi recis 7538 rerezită, şr, umărul turl: Dcă u, tuci vem sistemul e umerţie bir, cifrele bire fii şi. Astfel: Pritre sistemele e umerţie mi es folosite se umără şi cel e bză u6 umit sistemul e umerţie hezeciml, cifrele hezecimle fii,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, F. Astfel, vem 7 A 6. Ită o listă e robleme cre se u î mo turl î legătură cu rerezetre umerelor îtr-o bză: I Stbilire rortului e mărime ître ouă umere rerezette î ceeşi bză. II Stbilire uor reguli lgoritmi e efecture sumei, rousului etc. ouă umere rerezette î ceeşi bză. III Elborre uor lgoritmi etru rerezetre uui umăr îtr-o bză tă. Î cotiure se v răt cum ot fi soluţiote ceste robleme etru umere turle. Să îceem cu roblem I. Î teorem următore se ă u criteriu forte como e stbili rortul e mărime ître ouă umere turle rerezette î ceeşi bză. i i. TEOREMA 5.4. Fie şi b ouă umere turle, m m- u şi bb b - b b u. Atuci <b că şi umi că m< şi <b, ue este cel mi mre i stfel îcât i b i. 5

16 Demostrţie Dcă m<, i Lem 5.. rezultă < u m u b, eci <b. Dcă m şi <b, ue m{i i b i }, tuci b-b - u b - u - b - u - > b - u b - u - b - u u b - u - b - u, e ue b->, eci <b. Reciroc, resuuem că <b. Atuci m, eorece m> imlică b<. Dcă m<, u mi vem imic e emostrt. Dcă m, fie m{i i b i }. Avem <b, îtrucât >b imlică, coform rimei ărţi emostrţiei, b<. Teorem este emostrtă. Astfel etru umerele 53 şi 9534 te î bz zece vem 53>9534. L fel, etru umerele şi te î bz oi vem >. Referitor l roblem II se v răt cum se fce ure şi îmulţire umerelor turle rerezette îtr-o bză u. Î rticulr, că u, se regăsesc cuoscutele roceee e ure şi îmultire umerelor turle. Fie şi b ouă umere turle, m m- u, bb b - b b u. Trebuie să găsim cifrele c, c, le umărului b î bz u. Putem scrie u u şi bb b ub u. Cum <u şi b <u, rezultă că b <u, eci b uε c, c <u, ε su ε ; mi recis, vem ε şi c b că b <u ir ε şi c b -u că u b <u. Rezultă bc b ε u b u. Eviet, b ε <u, e ue b ε uε c, c <u, ue ε su ε. Avem bc c u b ε u, ş..m.. Se euce că cifrele c, c, c, le sumei b sut c i i b i ε i mo u, i,,,, ue ε, şi etru i>: ε i i- b i- ε i- <u şi tuci c i- i- b i- ε i-, ε i i- b i- ε i- u şi tuci c i- i- b i- ε i- -u. Câ m, umărul b re: m cifre că b ε <u, m cifre că b ε u, cifr e rg m fii î cest cz c m. Dcă m, e eemlu m>, tuci cele e mi sus rămâ evărte luâ b b m. Se observă că etru efectu b î bz u mi trebuie să cuoştem, su să vem osibilitte să cosultăm, tbl uării umerelor turle <u. De eemlu, că u5, tbl uării umerelor turle <5, cu rezulttele erimte î bz 5, este ce i tbelul. Î cest tbel l itersecţi liiei umărului i cu colo umărului j este us ij rerezett î bz 5. 6

17 Tbelul. Tbl uării î bz 5 Cititorul ote sigur cum să recteze u lgoritm l uării umerelor turle î bz u, luâ c motivţie teoretică cestui cosierţiile e mi sus. Observăm că î cest lgoritm re vribil ε cre re vlore iiţilă ε ir vlorile ε i, i, sut egle cu câ i- b i- ε i- u, resectiv câ i- b i- ε i- <u. Se sue că vribil ε relizeză trsortul uităţii e l cifrele e rg i l cele e rg i, i,,. Î clculul cu creioul şi hârti l sumei ouă umere turle, oerţiile i lgoritmul uării î bz u se sistemtizeză stfel: m m- b m b m- b b c m c m c m- c c ε m ε m- ε ε ultim liie, cre escrie trsortul uităţii, e regulă se omite. Astfel, că u,, b, tuci b se fce uă cum urmeză: eci b. S- folosit şi tbl uării umerelor turle <, cre este: rezulttele fii rerezette î bz. Î cotiure se v răt că îmulţire ouă umere turle î bz u se reuce l următorele tiuri e oerţii: îmulţire uui umăr turl cu o utere u j bzei u; 7

18 îmulţire uui umăr turl cu o cifră sistemului e umerţie eci cu u umăr turl j, j<u; 3 bz u. Fie m m- u m u m m- u m- u. Atuci u j m u mj m- u m-j u j u j m m şi cum este clr cum se fce î bz u o îmulţire e tiul. 8 u j Dcă i şi j sut ouă umere turle <u, tuci ij<u, e ue, folosi teorem îmărţirii cu rest etru umerele turle, vem: ijui, jri, j, ri, j<u, i, j<u * câtul i, j şi restul ri, j îmărţirii umărului ij ri u eizâ e i şi j. Fie cum u umăr turl t î bz u m mm... u i i şi j o cifră sistemului e umerţie e bză u, eci j<u. Avem: j m i i ju i m i u u, j r, j u i i i i i r i, j u i i, j u eci efecture rousului j î bz u revie l fce sum î bz u umerelor şi rerezette î bz u: şi r, j r, ju r, ju, j, ju Aşr, s- lămurit cum se fce î bz u şi o îmulţire e tiul. Î sfârşit, că b b b u j j j... bb b u, tuci i b b j u eci rousul b se ote efectu făcâ sum î bz u umerelor b j u j, j,,,,. Dr b j u j b j u j. Aşr b j este o oerţie e tiul şi î sfârşit b j u j e o oerţie e tiul. Cititorul se ote covige uşor că regul e îmulţire umerelor turle î bz zece se motiveză i uct e veere teoretic ri cosierţiile e mi sus, luâ u. U istrumet imortt l îmulţirii umerelor î bz zece este tbl îmulţirii umerelor <. Pe e ltă rte, se observă că î regul e îmulţire umerelor î bz u trebuie să cuoştem umerele i, j şi ri, j, i, j<u,i relţi *. Di relţi * rezultă că i, j şi ri, j sut cifrele umărului ij, i, j<u, rerezett î bz u [că ij<u, vem i, j]. Aşr, roceeul e îmulţire eus uzeză e tbl îmulţirii umerelor turle <u, cu rezulttele rerezette î bz u. j i j,,

19 Î tbelele şi 3 sut te tblele îmulţirii î bz u5, resectiv u Tbelul : Tbl îmulţirii î bz 5 Tbelul 3: Tbl îmulţirii î bz Petru clculul cu creioul şi hârti clculele ot fi sistemtizte figur următore: u u u - - u - u Să e ocuăm cum roblem III. 9

20 Trebuie observt că umărul turl ce urmeză să fie rerezett îtr-o bză u este t, e regulă, îtr-o bză v şi e ft se fce trecere lui i bz v î bz u. Se ot istige 3 vrite: Trecere lui i bz v î bz u cu efecture clculelor î bz v; Trecere lui i bz v î bz u cu efecture clculelor î bz u; 3Trecere lui i bz v î bz u cu efecture clculelor îtr-o bză itermeiră w; Petru trece e i bz v î bz u cu meto se rerezită mi îtâi u î bz v şi oi se lică lgoritmul sistemelor e umerţie etru şi u cu efecture clculelor î bz v. Cum î clcultore umerele sut, e regulă, rerezette î bz v, meto se lică tuci câ se livreză rezulttele umerice e regulă î bz u, eecuţi lgoritmului sistemelor e umerţie utâ fi stfel îcreiţtă clcultorului clculele se fc î bz v. Aceeşi metoă se lică şi câ se trece cu hârti şi creioul u umăr i bz v, îtr-o ltă bză u, referâu-se clculele î bz v i motive lese e îţeles. Petru eemlificre, să trecem umărul 34 t î bz v î bz u7. Algoritmul sistemelor e umerţie este î cest cz: e ue Petru trece e - v i bz v î bz u cu meto se rerezită mi îtâi,,, şi v î bz u cu jutorul lgoritmului sistemelor e umerţie. Se itrouce,,, şi v stfel rerezetţi î eresi v - v - v şi se fce clculul cestei folosi lgoritmului uării şi lgoritmul îmulţirii î bz u. Se obţie, î fil, rerezetre lui î clcultor. Numerele te e

21 regulă î bz u; efecture clculelor î bz u ote fi îcreiţtă clcultorului. Meto 3 este eviet o combitie rimelor ouă. Astfel, că orim să trecem u umăr itr-o bză v, îtr-o bză u, folosi u clcultor cre lucreză cu umere rerezette î bz, tuci trecem e î bz cu meto şi oi îl trecem î bz u cu meto. Proceâ stfel, tote clculele ot fi îcreiţte clcultorului. Câ v şi u, ir trecere e l bz b l bz u vrem să o fcem cu creioul şi hârti, referăm bz itermeiră w etru ute eecut tote clculele î bz, cu cre sutem obişuiţi. Observţii. Trecere uui umăr turl i bz v î bz u se simlifică cosierbil c` vu r, r umăr turl >. Meto se justifică ri ftul că u umăr turl b<u r ote fi scris î mo uic sub form bc r- u r- c uc, c i <u, i<r. ** De ici, rezultă că etru rerezet umărul - v v - v - v î bz u, ue vu r cu r >, fiecre cifră i se scrie c î **, ume i c ir- u r- c i uc i şi se îlocuieşte fiecre i cu secveţ, c ir- c i c i, eci obţiem secveţ c r- c c c -,r- c -, c -, c c. Îlăturâ cifrele egle cu e l îceutul secveţei e mi sus se obţie rererezetre lui î bz u. Astfel, etru reret umărul î bz u eci vu 3, scriem mi îtâi: 5 c c c 7 c c c, 3 3 c c c, şr secveţ e mi sus este î cest cz:.. Câ v r u, r>, trecere uui umăr i bz v î bz u se fce ritr-o metoă cre urmeză cle iversă metoei e l observţi. Î cest cz, etru trece î bz u umărul - v se seră e l ret l stâg grue e câte r cifre ultim gruă vâ cel mult r cifre şi fiecre gruă v rerezet o cifră î bz u, cu cre vom îlocui gru resectivă. Se obţie stfel rerezetre lui î bz u. Astfel, că u8 şi v, eci v 3 u, umărul re î bz 8 rerezetre etru că cifrele lui î bz ot fi grute stfel: { { { şi gruele obţiute rerezită î bz resectiv cifrele 3, 7 şi 5 le bzei 8.

22 3Icoveietul sistemului bir e umerţie costă î ftul că rerezetre umerelor mri ecesită secveţe e cifre bire egert e lugi. Acest comlică mult lectur umerelor recum şi reciere oriului lor e mărime. O metoă e teu ceste icoveiete este e folosi sisteme e umerţie cu bze mite. U eemlu este sistemul e umerţie zeciml cot î bir, rezervâu-se câte tru oziţii bire fiecărei cifre zecimle. Astfel, umărul 793 se rerezită î sistemul zeciml cot î bir uă cum urmeză: { { { Î rctică se foloseşte curet sistemul e umerţie cu bză mită. Astfel eresi: 8 i, 3 lui, sătămâi, 5 ore şi 35 miute este u moel e rerezetre timului îtr-u sistem e umerţie cu şse bze. Observţie Acest rgrf fost rectt î ce mi mre rte uă lucrre [4]. CAPITOLUL : INELUL NUMERELOR ÎNTREGI Z Costrucţi lui Z Î veere costruirii mulţimii umerelor îtregi Z, vom rezet l îceut Teorem lui Mlţev e scufure uui mooi comuttiv cu roriette e simlificre îtr-u gru comuttiv urmâ c ri rticulrizre l czul mooiului N, să obţiem gruul itiv Z,. TEOREMA.. Mlţev Fie M, u mooi comuttiv cu roriette e simlificre. Atuci eistă u gru comuttiv GM şi u morfism ijectiv e mooizi i M :M GM ce verifică următore roriette e uiverslitte : Petru orice gru comuttiv G şi orice morfism e mooizi f:m G eistă u uic morfism e gruuri fʹ:gm G.î. igrm M f i M G GM fʹ

23 este comuttivă ică fʹ i M f. Demostrţie Pe mulţime MʹM M efiim relţi, y ʹ, yʹ ef yʹyʹ şi să robăm că este o echivleţă e Mʹ comtibilă cu structur e mooi lui Mʹ ică este o cogrueţă e mooiul rous MʹM M. Î mo eviet, relţi este refleivă şi simetrică. Dcă, y ʹ, yʹ şi ʹ, yʹ ʹʹ, yʹʹ tuci yʹyʹ şi ʹyʹʹʹʹyʹ, e ue ʹyʹyʹʹʹʹʹyyʹ, eci yʹʹ yʹʹ m simlifict ri ʹyʹ, ică, y ʹʹ, yʹʹ, eci relţi este şi trzitivă, e ue cocluzi că este o echivleţă e Mʹ. Fie cum, y, ʹ, yʹ,, b, ʹ, bʹ Mʹ.î., y, b şi ʹ, yʹ ʹ, bʹ şi să robăm că şi ʹ, yyʹ ʹ, bbʹ. Avem eci by şi ʹbʹyʹʹ, e ue ʹbbʹyyʹʹ, ică ʹ, yyʹ ʹ, bbʹ, ică relţi este o cogrueţă e mooiul rous Mʹ î cre remitim că oerţi e comuere se efieşte ri, y ʹ, yʹ ʹ,yyʹ. Vom cosier mooiul cât GMMʹ/ ir etru, y Mʹ vom ot ri [, y] cls s e echivleţă î GM. Dtorită ftului că relţi este o cogrueţă e Mʹ eucem imeit că GM evie î mo coic mooi comuttiv, efii etru [, y], [ʹ, yʹ] GM, [, y] [ʹ, yʹ][ʹ, yyʹ] elemetul eutru l lui GM v fi [e, e], e fii elemetul eutru l lui M. Deorece etru [, y] GM, [, y] [y, ][y, y][e, e] eucem că [y, ][, y], ică GM este gru comuttiv. Defiim i M :M GM ri i M [, e] etru orice M. Petru, y M vem i M i M y[, e] [y, e][y, e]i M y ică i M este morfism e mooizi. Dcă i M i M y, tuci [, e][y, e] eye y, ică i M este chir morfism ijectiv e mooizi. Să rătăm cum că ubletul GM, i M verifică roriette e uiverslitte i euţ. Petru cest fie G u gru comuttiv orecre şi f: M G u morfism e mooizi. Petru [, y] GM, efiim fʹ[, y] f fy. Observăm că că [, y][ʹ, yʹ], tuci yʹʹy, eci f fyʹfʹ fy f fy fʹ fyʹ -, ică fʹ este corect efiită. 3

24 Să robăm cum că fʹ este morfism e gruuri. Avem fʹ[, y] [ʹ, yʹ]fʹ[ʹ, yyʹ]f ʹ[ fyyʹ] - ffʹ[fy fyʹ] - f[fy] fʹ[fyʹ] - fʹ[, y]fʹ[ʹ, yʹ]. Petru M vem fʹ i M fʹi M fʹ[, e]f[fe] - f, e ue cocluzi că fʹ i M f. Petru rob uicitte lui fʹ cu roriette i euţ să resuuem că mi eistă u morfism e gruuri fʹʹ:gm G.î. fʹʹ i M f. Atuci, etru [, y] GM vem [, y][, e] [e, y][, e] [y, e] -, e ue fʹʹ[, y]fʹʹ[, e] [y, e] fʹʹi M i M y - fʹʹi M fʹʹi M y - f fy fʹ[, y], ică fʹʹfʹ. Observţii. Dcă f este u morfism ijectiv e gruuri, tuci şi fʹ este morfism ijectiv e gruuri. Îtr-evăr, că [, y] GM şi fʹ[, y]e, tuci ffy e, eci ffy, e ue y, ică [, y][, ]e.. Dcă e mulţime ubletelor G, f cu G gru beli şi f:m G morfism ijectiv e mooizi efiim relţi G, f Gʹ, fʹ eistă h:g Gʹ.î. h este morfism ijectiv e gruuri şi h ffʹ, tuci se verifică imeit că relţi e mi sus este o relţie e orie ir ubletul GM, i M i Teorem lui Mlţev este cel mi mic elemet fţă e cestă relţie e orie. DEFINIŢIA.. Cosierăm mooiul N, ce re roriette e simlificre coform Prooziţiei.3. e l Citolul şi urmâ tehic tă e Teorem lui Mlţev, mulţime subicetă gruului itiv GN, se oteză ri Z şi ortă umele e mulţime umerelor îtregi. Ţiâ cot e ftul că i N:N Z, i N[, ] etru orice N este morfism ijectiv e mooizi, vom ietific fiecre umăr turl N ri elemetul îtreg [, ] stfel că N v fi rivită î cotiure c submulţime lui Z. Fie cum z[m, ] Z. Dcă m, tuci z. Dcă m<, tuci eistă N*.î. m î cest cz coveim să otăm -m şi stfel m-m ir z[, ]-[, ] se ietifică cu umărul îtreg ir că 4

25 <m, tuci eistă N*.î. m şi stfel z[, ] ietificâu-se cu umărul turl. Ţiâ cot e ceste utem scrie e Z sub form Z-N* N ue -N*{- N*} su Z{, ±, ±,.}. Vom ot Z* Z \ {}. Îmulţire umerelor îtregi LEMA.. Fie, y, z, t, ʹ, yʹ, zʹ, tʹ N.î. [, y][ʹ, yʹ] şi [z, t][zʹ, tʹ]. Atuci [zyt, tyz][ʹzʹyʹtʹ, ʹtʹyʹzʹ]. Demostrţie Di ioteză vem yʹyʹ şi ztʹzʹt stfel că [zyt, tyz][ʹzʹyʹtʹ, ʹtʹyʹzʹ] zytʹtʹyʹzʹtyzʹzʹyʹtʹ z-tyt-zʹzʹ-tʹyʹtʹ-zʹ -yz-tʹ-yʹzʹ-tʹ cee ce este evărt eorece -yʹ-yʹ şi z-tzʹ-tʹ. Fie cum α[, y] şi β[z, t] ouă umere îtregi. Defii α β[zyt, tyz], coform Lemei.. eucem că cestă efiiţie este corectă. PROPOZIŢIA.. Z,, este omeiu e itegritte. Demostrţie Coform celor e mi îite Z, este gru comuttiv. Să emostrăm cum că Z, este mooi comuttiv ir etru cest fie α[, y], αʹ[ʹ, yʹ], αʹʹ[ʹʹ, yʹʹ] trei elemete orecre i Z. Atuci : ααʹαʹʹ[,y][ʹʹʹyʹyʹʹ,ʹyʹʹyʹʹʹ] [ʹʹʹyʹyʹʹyʹyʹʹyʹʹʹ, ʹyʹʹyʹʹʹyʹʹʹyʹyʹʹ] [ʹʹʹyʹyʹʹʹyyʹʹʹʹyyʹ, ʹyʹʹʹʹyʹʹʹʹyyyʹyʹʹ] ir ααʹαʹʹ[ʹyyʹ, yʹʹy][ʹʹ, yʹʹ] [ʹyyʹʹʹyʹʹyyʹʹ, ʹyyʹyʹʹyʹʹyʹʹ] [ʹʹʹyʹyʹʹʹyyʹʹʹʹyyʹ, ʹyʹʹʹʹyʹʹʹʹyyyʹyʹʹ], e ue eucem că ααʹαʹʹααʹαʹʹ ică îmulţire umerelor îtregi este socitivă. Î mo eviet, ααʹαʹα eorece îmulţire umerelor turle este comuttivă, ică îmulţire umerelor îtregi este comuttivă. 5

26 Deorece α[, ][, y][, ][, y]α, eucem că elemetul eutru etru îmulţire umerelor îtregi este [, ]. Să rătăm cum că îmulţire umerelor îtregi este istributivă fţă e ure umerelor îtregi. Îtr evăr, ααʹαʹʹ[, y][ʹʹʹ, yʹyʹʹ] [ ʹʹʹyyʹyʹʹ, yʹyʹʹy ʹʹʹ] [ʹʹʹyyʹyyʹʹ, yʹyʹʹyʹyʹʹ] ir ααʹααʹʹ[, y][ʹ,yʹ][, y] [ʹʹ, yʹʹ] [ʹyyʹ, yʹyʹ][ʹʹyyʹʹ, yʹʹyʹʹ] [ʹyyʹʹʹyyʹʹ, yʹyʹyʹʹyʹʹ] e ue se observă că ααʹαʹʹααʹααʹʹ. Am robt âă cum că Z,, este u iel comuttiv uitr. Petru răt că ielul Z u re ivizori i lui zero, fie ααʹ[, ] cu α. Atuci ʹyyʹyʹʹy, e ue -yʹ-yʹ. Cum α ică -y rezută că ʹ-yʹ ʹyʹ αʹ. 3 Relţi e orie turlă e e Z. DEFINIŢIA 3.. Petru, y Z efiim relţi y ri y y- N. TEOREMA 3.. Dubletul Z, este mulţime totl orotă. Demostrţie Fie, y, z Z ; eorece - N eucem că. Dcă y şi y tuci eistă m, N.î. y-m şi -y, e ue m şi eci m, ică y. Dcă y şi y z, tuci eistă m, N.î. my şi yz. Cum mz eucem că z, ică Z, este o mulţime orotă. Ftul că orore e e Z este totlă rezultă i cee că Z-N* N ir -N* N. Observţie Di felul î cre m efiit relţi e orie e Z eucem că N{ Z : } ir -N{ Z : }. PROPOZIŢIA 3.3. Fie, y, z Z.î. y. 6

27 y -. Atuci i -y - ii că z tuci z yz iii că z tuci z yz. Demostrţie i Di y eucem că y- N şi cum -yy- N rezultă că ii Cum y- N şi z N vem y-z N ică yz-z N, eci z yz. iii Cum z N şi y- N eucem că şi y--z N ir cum y--zz-yz N rezultă că z yz. CAPITOLUL 3: CORPUL NUMERELOR RAŢIONALE Q. Costrucţi corului Q l umerelor rţiole Şi î czul costrucţiei corului Q l umerelor rţiole vom ot tehic folosită î czul costrucţiei ielului Z l umerelor îtregi. î sesul că vom rezet chestiue îtr-u cotet mi geerl, urmâ c ritr-o rticulrizre l czul omeiului e itegritte Z,, să obţiem corul Q. Fie A,, u omeiu e itegritte ică u iel uitr şi comuttiv fără ivizori i lui zero. DEFINIŢIA.. Numim sistem multilictiv î A, orice submulţime S A.î. S, S, ir că, y S tuci şi y S. Eemle. SA*A\{} este u sistem multilictiv l lui A.. Dcă A este u iel rim, tuci S A\ este e semee u sistem multilictiv l lui A. 3. Dcă A,,, tuci S { : Z} este u sistem multilictiv l lui A. Petru u sistem multilictiv S A să cosierăm mulţime A S{, s A, s S} ir e cest relţi biră efiită ri,s ʹ,sʹ ef sʹʹs. Alog c î czul Teoremei lui Mlţev se emostreză fcil că este o echivleţă e A S. 7

28 Să otăm A[S - ] A S / ir etru, s A S vom ot ri s cls s e echivleţă î A[S - ]. LEMA.. Fie, b, ʹ, bʹ A şi s, t, sʹ, tʹ S.î. s s bt b t Atuci şi ss tt bb. ss tt b b şi. s t s t Demostrţie Avem că tbs şi ʹtʹbʹsʹ stfel că s s bt b t ss tt sʹsʹttʹbtʹbʹtssʹ sʹttʹsʹttʹ btʹssʹbʹtssʹ tsʹtʹ- bssʹtʹtsbʹsʹ- -tsʹtʹ t-bssʹtʹbʹsʹ-ʹtʹts, cee ce este evărt căci t-bsbʹsʹ-ʹtʹ. Îmulţi membru cu membru eglităţile tbs şi ʹtʹbʹsʹ obţiem că bb tʹtʹbsbʹsʹ. ss tt C u corolr l Lemei.. e mi îite eucem că că etru b, A[S - b t bs b b ] efiim şi, tuci cele ouă oerţii s t s t st s t st sut corect efiite. PROPOZIŢIA.3. A[S - ],, este iel comuttiv uitr î cre { s, s S} UA[S - ] ir i S :A A[S - ], i S etru orice A este u morfism ijectiv e iele ce verifică următore roriette e uiverslitte : Petru orice iel comuttiv uitr B şi orice morfism e iele f:a B.î. fs UB, eistă u uic morfism e iele fʹ:a[s - ] B.î. fʹ i S f, ue ri UB m ott mulţime elemetelor iversbile le lui B. Demostrţie Deorece sut simle clcule îtr-u iel comuttiv, lăsăm e sem cititorului verificre ftului că A[S - ],, este iel comuttiv uitr. 8

29 Dcă s S, tuci elemetul eutru l lui A[S - ] fţă e oerţi e s îmulţire este stfel că că, s S, tuci UA[S ] ir s s s s s s eorece. s s Fie cum B u iel comuttiv uitr şi f:a B u morfism e iele etru cre fs UB. Petru A[S - ], s cu A şi s S, scrii s s i s s f o, se s i S S, efii f f s verifică imeit că fʹ re rorietăţile i euţ. Observţie Di Prooziţi.3. e mi îite eucem că că A este u omeiu e itegritte şi SA*A\{}, tuci A[S - ] este u cor comuttiv, umit corul totl e frcţii l lui A. DEFINIŢIA.4. Corul totl e frcţii l ielului Z,, se oteză ri Q şi ortă umele e corul umerelor rţiole. Elemetele lui Q se mi umesc şi frcţii. Dcă Q tuci se umeşte umărătorul frcţiei ir umitorul său. Deorece i Z:Z Q, i Z, etru orice Z este î rticulr fucţie ijectivă, utem să îl rivim e Z c o submulţime lui Q, ică Z Q. Pri urmre, N Z Q. Relţi e orie turlă e e Q Fie Q, ică cu Z ir Z*. Dcă <, tuci > şi cum umăr Q se scrie sub form, cu > ică N*. utem resuue că orice 9

30 DEFINIŢIA.. Fie, y Q,, y s r cu, s N*. Vom efii e Q relţi ri y s-r. PROPOZIŢIA.. Q, este o mulţime totl orotă. Demostrţie Refleivitte este imeită. Petru tisimetrie, să resuuem că y şi y. Atuci s-r şi r-s, e ue s-r, ică sr eci y. Petru trzitivitte, să mi legem z u t cu u N*.î. y şi y z, ică s-r şi ur-st. Cum, s, u N* eucem că s-ru şi ur-st, ică us-ru şi ru-st, e ue us-st su-t, ică u - t, eci z. Ftul că orie e e Q este totlă rezultă i cee că orie turlă e e Z este totlă. Observţie umele e orie turlă e e Q. Relţi e orie e e Q efiită mi îite ortă Î cotiure vom ot Q { Q } ir ri Q *{ Q >}. 3

31 CAPITOLUL 4: CORPUL NUMERELOR REALE R.Iele orote Relţiile e orie e e ielul Z şi corul Q se îscriu îtr-u cotet mi geerl e cre îl vom rezet î cele ce urmeză şi cre e v fi e folos şi etru orie turlă e e mulţime umerelor rele R. DEFINIŢIA.. Dcă A este u omeiu e itegritte ică u iel comuttiv uitr fără ivizori i lui zero, ri orore e A îţelegem o submulţime eviă P A.î. : - P. Or : Petru orice A vem î mo eclusiv P su su Or : Dcă, y P tuci y, y P. Î cest cz vom sue că ielul A este orot e P ir P este mulţime elemetelor ozitive le lui A. Să resuuem cum că A este orot e P. Cum şi - eucem că P ică este ozitiv. Ţiâ cot e Or eucem iuctiv că etru orice N*, este ozitiv. e ori U elemet A,, P ică - P se zice egtiv. Dcă, y A sut egtive, tuci y este ozitiv căci, -y P ir -yy P. Alog eucem că că este egtiv ir y este ozitiv, tuci y este egtiv şi că etru orice i A, este ozitiv. Dcă A este cor, cum etru ozitiv vem - eucem că şi - este ozitiv. Fie cum Aʹ A u subiel ir PʹP Aʹ. Se verifică imeit că Aʹ este orot e Pʹ Pʹse v umi orore iusă e P e Aʹ. Mi geerl, fie Aʹ, A ouă iele orote ir Pʹ, P resectiv mulţimile elemetelor ozitive i Aʹ şi A. 3

32 Dcă f:aʹ A este u morfism ijectiv e iele, vom sue că f ăstreză orie că etru orice Pʹ eucem că f P echivlet cu zice că Pʹ f - P. Fie cum, y A. Defiim <y su y > ri y- P. Astfel > îsemă P ir < îsemă că P suem tuci că este egtiv. Se verifică imeit că că, y, z A, tuci : IN : Dcă <y şi y<z, tuci <z. IN : Dcă <y şi z >, tuci z<yz. IN 3 : Dcă <y tuci z<yz. IN 4 : Dcă A este cor, >, y > şi <y tuci y - <. Dcă, y A efiim y ri <y su y. Fie cum A u omeiu e itegritte orot e P ir K corul său totl e frcţii. Dcă P K { b K, b> }, tuci PK efieşte o orore e K. Îtr-evăr, că K,, b tuci utem resuue că b> eorece. Dcă >, tuci P K. Dcă > tuci - PK. b b b Nu utem ve simult,- P K căci scrii b şi - c, cu, b, c, A şi, b, c, >, tuci c eci bc, bsur căci bc P şi b P. Deci P K stisfce Or. c bc Cum y ir c, b > şi y b bc eucem că P K stisfce şi Or. ir bc, bc> Observţie Alicâ cele e mi sus lui Q cre este corul totl e frcţii l omeiului e itegritte Z obţiem e ft cee ce m stbilit î legătură cu orore turlă e e Q e l Citolul 3 eviet N* este o orore e Z. Fie cum A u iel orot. Petru A efiim : 3

33 , că -, că < ortă umele e vlore bsolută su moulul lui. z şi z. LEMA.. Petru orice A, este uicul elemet z A.î. Demostrţie Să observăm că şi etru orice A. Pe e ltă rte, că A şi > tuci eistă cel mult ouă elemete z A.î. z căci oliomul t A[X] re cel mult ouă răăcii. Dcă w, tuci w şi w w, eci eistă cel mult u z A ozitiv.î. z şi cu cest lem este robtă. DEFINIŢIA.3. Petru, efiim elemetul elemet z.î. z eviet, că u stfel e z eistă!. b eistă şi Se verifică cum uşor că că etru, b, b b. Eviet, etru orice A,. LEMA.4. Dcă A este u iel orot, tuci VA : Petru orice A,, ir > că VA : Petru orice, y A, y y c fii cel, b eistă, tuci VA 3 : Petru orice, y A, y y. Demostrţie Cum VA şi VA sut imeite, să robăm e VA 3 : y y yy y y y y y, e ue y y. Fie cum K u cor comuttiv orot etru cre eistă u morfism ijectiv e coruri f :Q K eci K v fi e crcteristică. Se rtă imeit că că Z, tuci 33

34 443 K... K, că e ori f, că 4K K, că < e ori Mi mult, că Z*, cum î Q vem eucem că K f f f f, e ue f m m Q vem f f f m m f f î K. Atuci că m K. Rezultă că f este uic etermit ; vom ietific tuci e Q cu u subcor l lui K f se v umi scufure coică lui Q î K. m m Dcă, y Q cu, ʹ> şi y, tuci mʹ-mʹ, eci mʹ-mʹ, ir fm K -, fymʹʹ K -. Di mʹ-mʹ şi K eucem că mʹ-mʹ K mʹ K -mʹ K mʹ K mʹ K, e ue mʹʹ K - m K - fy f. Obţiem stfel următorul rezultt : TEOREMA.5. Dcă K este u cor orot e crcteristică, m tuci scufure coică lui Q î K, f :Q K, f m K, cu > ăstreză orie. Î cotiure ri K vom esem u cor comuttiv orot e crcteristică ir u elemet Z îl vom ietific cu f K. 34

35 DEFINIŢIA.6. U şir e elemete i K se zice şir Cuchy că etru orice ɛ K, ɛ>, eistă ɛ N.î. etru orice m, N, m, ɛ să vem m <ɛ. Vom sue esre şirul că este coverget l u elemet K, că etru orice ɛ K, ɛ>, eistă ɛ N.î. etru orice ɛ să vem <ɛ. Observţii.Să resuuem că şirul este coverget l ouă elemete,y K. Atuci etru ɛ K, ɛ> şi N* suficiet e mre vem : -y - -y - y ɛ ir cum ɛ este orecre eucem că -y căci că -y, tuci -y > şi m ve -y < -y, bsur!. Dcă este coverget l u elemet K, vom scrie lim.. Orice şir coverget este şir Cuchy. DEFINIŢIA.7. Corul orot K î cre orice şir Cuchy este coverget se zice comlet. DEFINIŢIA.8. etru orice K, eistă N.î. K. Corul orot K se umeşte rhimee că TEOREMA.9. Corul Q l umerelor rţiole u este comlet. Demostrţie Îtr-evăr, să cosierăm şirul e umere 4 3 rţiole t ri şi etru orice. Pri iucţie 3 mtemtică reltivă l se robeză că <, şi că este crescător căci > ir e ici că el este şir Cuchy. Dcă cest şir r ve limit l Q, tuci cu ecesitte 4 3l l, e 3 l ue l, bsur căci l Q. Deci u re limită î Q, ică corul Q u este comlet.

36 Petru K cor orot şi S K, ri mjort l lui S î K îţelegem u elemet z K.î. z, etru orice S. Pri mrgie suerioră lui S, ottă ri sus îţelegem cel mi mic mjort l lui S i K eviet că cest eistă. TEOREMA.. Fie K u cor rhimee comlet. Atuci orice submulţime eviă S lui K ce mite u mjort re mrgie suerioră. Demostrţie Petru N, fie T {y Z y etru orice S }. Atuci T este mărgiită e orice elemet e form cu S şi este eviă eorece că b este u mjort l lui S, tuci orice îtreg y.î. b y este î T eorece K este rhimee. Fie y cel mi mic elemet l lui T.Atuci eistă S.î. y y y -< y, e ue <. y Să otăm z şi să emostrăm că şirul z N este Cuchy. y y Petru cest fie m, N.î. m m tuci ym y < m m y m m y ym y căci î cz cotrr,, eci m este mjort etru S, cee ce m m m este bsur căci m este mi mre. y y Atuci m e ue eucem că z N este Cuchy. m etru S. Fie w lim z şi să emostrăm l îceut că w este u mjort Să resuuem ri bsur că eistă S.î. w<. Eistă tuci N w.î. z w stfel că -z -ww-z -w- w-z w w -w- > eci >z cotrzicâ ftul că z este mjort l lui S. Să emostrăm cum că wsu S. 36

37 w u Fie u<w; tuci eistă N suficiet e mre.î. z <. 4 4 w u Putem lege suficiet e mre.î. z w căci lim z w. 4 Astfel, u w-u -z z -w w-u- z - z -w w u w u w u w u >, eci u< ică u u este mjort bsur!. Costrucţi corului R l umerelor rele Vom rezet costrucţi corului umerelor rele cu jutorul şirurilor Cuchy e umere rţiole efiite mi îite îtr-u cotet mi geerl. DEFINIŢIA.. U şir e umere rţiole γc se zice şir ul că etru orice ɛ Q, ɛ>, eistă N.î. etru orice, c ɛ Dcă α şi βb sut ouă şiruri e umere rţiole, efiim sum şi rousul lor ri αβ b şi resectiv αβ b LEMA.. mărgiit. Orice şir Cuchy α e umere rţiole este Demostrţie Eistă N.î. etru orice,, e ue. Alegâ Mm,..., -, eucem că M etru orice N. Î cele ce urmeză ri CQ vom ot mulţime şirurilor Cuchy e umere rţiole. PROPOZIŢIA.3. CQ,, este iel uitr comuttiv. Demostrţie Fie α, β y,,, şi,,. Să emostrăm l îceut că αβ şi αβ sut i CQ. Petru ɛ Q *, eistă ɛʹ, ɛʹʹ N.î. etru orice m, ɛʹ să vem ε ε m - < şi etru orice m, ɛʹʹ, y m -y <. Alegâ ɛm ɛʹ, ɛʹʹ, 37

38 eucem că etru orice m, ɛ, m -, y m -y < ε, stfel că ε ε m y m y m - y m -y m - y m -y < ε, ică αβ CQ. Petru czul rousului αβ vom ţie cot e Prooziţi.. Coform cestei, eistă M, M Q *.î. M şi y M etru orice N. Notâ Mm M, M şi legâ ɛ Q *, eistă ɛʹ, ɛʹʹ N.î. ε m, etru m, ɛʹ şi M ε y m -y, etru m, ɛʹʹ. M Astfel, etru m, ɛ m ɛʹ, ɛʹʹ, vem m y m y m y m -y y m - m y m -y y m - ε ε M M ɛ, ică şi αβ CQ. M M Î mo eviet, -α- CQ c şi, CQ. Deucem cum imeit că CQ,, este iel comuttiv şi uitr. Î cotiure, vom ot ri NQ{ CQ 38 lim }. coveim să umim elemetele lui NQ şiruri ule. LEMA.4 NQ este iel l ielului CQ. Demostrţie Alog c î czul sumei i rooziţi receetă, se emostreză imeit că că α, β NQ, tuci α-β NQ. Fie cum α CQ şi βb NQ. Coform Lemei.. eistă M Q *.î. M etru orice N. Deorece βb NQ etru ɛ Q *, eistă ɛ N.î. etru orice ɛ să vem b M ε. ε Atuci etru ɛ, b b M ɛ, stfel că M αβ NQ, ică NQ este iel l ielului comuttiv CQ.

39 LEMA.5. Fie α CQ.î. α NQ, α. Atuci eistă c Q * şi N.î. etru orice, c. Demostrţie Dcă ri bsur lem u r fi evărtă, tuci etru ɛ Q * eistă o ifiitte e umere turle < <....î. i < 3 ε etru orice i. Cum α CQ, eistă N.î. etru orice m, să vem ε ε m. Fie i ; tuci etru orice m, m m - i i şi 3 3 etru orice m,, m m bsur!. ε ε ɛ, ică α NQ, 3 3 TEOREMA.5. CQ / NQ,, este cor comuttiv. Demostrţie Ftul că CQ / NQ este iel comuttiv rezultă i cee că CQ este iel comuttiv ir NQ este iel î CQ. Fie cum α CQ.î. α NQ şi α α NQ CQ / NQ. Vom emostr că eistă β CQ/NQ.î. α β, ue NQ remitim că,,... CQ. Cum α NQ, coform Lemei.4. eistă ɛ Q * şi N.î. etru orice, ɛ. Î rticulr, eucem că etru,. Fie βb cu b că - că Să rătăm că β CQ şi că α β. Putem lege eci c Q * şi N.î. etru orice, c> ; e ue v rezult că. c Petru ɛ Q * eistă.î. etru orice m, să vem m ɛc. 39

40 Atuci etru orice m, vem m m m ε c c ică β CQ. Cum αβ iferă e umi îtr-u umăr fiit e termei evetul etru eucem că αβ- NQ, ică β CQ / NQ este cor. α, eci β α ε,, ică DEFINIŢIA.6. Mulţime CQ / NQ se oteză ri R şi ortă umele e mulţime umerelor rele. Corul R,, ortă umele e corul umerelor rele. Observţie Deorece se robeză imeit că fucţi i Q:Q R, i Q,,... etru orice Q este morfism e coruri eci î rticulr fucţie ijectivă utem rivi e Q c subcor l lui R. Elemetele i IR\Q se zic umere irţiole. LEMA.7. Petru α CQ este verifictă or u i coiţiile : α NQ Eistă c Q *.î. etru suficiet e mre să vem c 3 Eistă c Q *.î. etru suficiet e mre să vem - c Demostrţie Eviet şi 3 se eclu reciroc. Să resuuem cum că α NQ. Coform Lemei.5. eistă N şi c Q *.î. etru orice, c stfel că c că > şi -c că <. Să resuuem cum că > etru suficiet e mulţi şi m < etru suficiet e mulţi m. Petru stfel e şi m vem m c> cee ce cotrzice ftul că α CQ. Deci su 3 î ses isjuctiv trebuie să ibă loc. 3 Orore lui R Fie P{α α CQ şi verifică i Lem.7.} R 4

41 b c. LEMA 3.. P este o orore e R. Demostrţie Coform Lemei.7. eucem că P stisfce Or. Fie cum α şi βb CQ.î. α, β P. Eistă c, c Q * şi, N.î. etru, c şi etru, Petru m,, b c c > şi b c c > stfel că αβ, αβ verifică i Lem.7.,ică α β, α β P, eci P stisfce şi Or. Observţii. Di cele e mi sus eucem că că α, β R, α, βy, tuci α β este echivlet cu cee că β -α P, ică β α P, eci cu eisteţ lui N şi c Q *.î. y - c etru orice. Coveim să umim orie e mi îite orore turlă e e R.. Petru Q coveim să otăm e i Q ri, ică,,.... TEOREMA 3.. rhimeeeă. Orore turlă e e R tă e P este Demostrţie Coform Defiiţiei.8., etru α CQ v trebui să emostrăm că eistă m α N.î. α m. Coform Lemei.. eistă M Q *.î. M etru orice N. Alegâ m α N.î. M m α eucem că m α etru orice N, ică α. Următorul rezultt este imeit. LEMA 3.3. etru orice, c, tuci α mα Dcă α CQ şi eistă c Q * şi N.î. α c. Observţie Coform Teoremei 3.., fii t ɛ R, ɛ>, eistă ɛ Q *.î. ɛ<ɛ stfel că î efiiţi limitei uui şir i R u coteză că ɛ este rel su rţiol. LEMA 3.4. Fie α CQ. Atuci α lim ică orice şir Cuchy e umere rţiole coverge î R. Demostrţie Fie ɛ Q *. Eistă N.î. etru orice m,, 4

42 m ɛ. Atuci etru m vem α m α m ε căci α- m m, ică α lim. TEOREMA 3.5. Corul R este comlet. Demostrţie Fie u şir Cuchy e umere rele. Coform Lemei 3.4., etru orice N găsim Q.î. - î rte retă este vorb e ft e -! < Cum este Cuchy, eucem că fii t ɛ> e eemlu ɛ Q eistă N.î. etru orice m, să vem m 3 ε. m Fie N,.î. ε ε ε ε Lemei 3.4. eistă m. Aică m ε. Atuci etru orice m, vem 3 m m m este şir Cuchy e umere rţiole. Coform lim î R. Deorece etru suficiet e mre eucem că lim, ică R este comlet. DEFINIŢIA 3.6. U cor orot K se zice comlet orot că orice rte eviă miortă s re o mrgie iferioră. Observţie Fie K u cor comlet orot şi A K, A, A mjortă. Atuci A este miortă, su A eistă şi su A- if A. LEMA 3.7. Dcă, y Q, tuci : i y i Q i Q y ; ii <y i Q <i Qy ; iii etru orice α R eistă, y Z.î. i Q α i Q y. Demostrţie i Să resuuem că y, ică y-. Cum i Qy-i Qi Qy- eucem că i Q y i Q i Q i Q y. 4

43 Reciroc, să resuuem că i Q i Q y, ică i Q y- y- P, eci etru ɛ> y->ɛ> y y. ii Rezultă i ijectivitte lui i Q. iii Fie α R şi α. Atuci CQ, eci etru ɛ Q * eistă ɛ N.î. ε <ɛ etru orice ɛ su ε - ɛ< < ε ɛ etru orice ɛ. Luâ, y Z.î. < y > etru orice ɛ eci ε -ɛ şi,,.... P şi y,y,.... y- P, ică i Q α i Q y. ε ɛ<y eucem că > şi LEMA 3.8. Fie α, β R şi u, v CQ.î. i Q u m α β i Q v m etru orice m N şi u m m v m m NQ. Atuci αβ. ε Demostrţie Fie ɛ>. Eistă m N.î. v u <. Fie cum 3 m m α şi y β. Di coiţi eucem că i Qu m α, eci etru ε mm vem u P ri urmre eistă ɛʹ N.î. u > etru 3 ɛʹ. m Tot i rezultă că β i Q v m eci etru mm vem v ică eistă ɛʹʹ N.î. < v m urmre, ε u 3 m ε v m m -y P, ε v m y >, etru orice ɛʹʹ, e ue y < 3 u m m 3 ε ε ε ε vm u m 3 ε, ri y <ɛ etru orice m ɛʹ, ɛʹʹ. Dr α β. Atuci y P, eci eistă ɛʹʹʹ N.î. y - >-ɛ, etru orice ɛ ʹʹʹ. Atuci y <ɛ etru orice m ɛʹ, ɛʹʹ, ɛʹʹʹ, e ue αβ. TEOREMA 3.9. Corul R, este comlet orot. 43

44 Demostrţie Fie A R eviă şi miortă ir A mulţime miorţilor lui A. Cum A, eistă β A.î. β α etru orice α A. Di Lem 3.8., iii rezultă eisteţ uui z Z.î. i Q z β, ică i Q z A. Fie m{z Z i Q z A } ; tuci i Q A şi i Q A. Presuuem că m obţiut u Q.î. i Q A şi i Q A Notâ m{ 9 i Q A } şi se obţie, ri iucţie, u şir Q.î. i Q A etru orice N ; i Q A etru orice N ; 3. Di 3 şi i efiiţi lui rezultă, e ue etru > obţiem < 9 < eci CQ. Fie α R şi să emostrăm că αif A. Petru cest vom emostr că i Q α i Q etru orice N. Di 3 eucem că......, eci - P etru α etru orice N. orice N, ică i Q 44

45 Am emostrt mi îite că <, etru >, ică > etru >, eci α i Q etru orice N. Am rătt stfel ieglităţile. Să emostrăm cum că α este miort l lui A. Să resuuem că eistă γ A.î. γ<α. Atuci i Q γ α i Q etru orice N. Dr lim lim, e ue ţiâ cot e Lem 3.9. eucem că γα, bsur, eci α A. Să rătăm cum că α este cel mi mre miort l lui A. Presuuem că eistă β A.î. α<β. Di 3 eucem că etru fiecre N eistă α A.î. α <i Q. Cum β este miort l lui A şi α A eucem că β α e ue i Q α β i Q e ue eucem coform Lemei 3.9. că αβ, bsur!. Deci αifa. CAPITOLUL 5 : CORPUL NUMERELOR COMPLEXE Costrucţi corului umerelor comlee C Scoul cestui rgrf este e ietific corul R l umerelor rele cu u subcor l uui cor comuttiv C î cre ecuţi - re soluţie. Petru cest vom cosier CR R ir etru, y, z, t C efiim :, yz, tz, yt, y z, t z-yt, tyz. TEOREMA.. C,, este cor comuttiv î cre ecuţi - re soluţie. 45

46 Demostrţie Ftul că C, este gru beli se robeză imeit elemetul eutru este,, ir etru, y C, -, y-, -y. Î mo eviet îmulţire este comuttivă. Petru rob că C*, este gru, fie, y, z, t, r, s C. Deorece, y[z, t r, s][, yz, t] r, szr-ts-yzs-ytr, zstryzr-yts eucem că îmulţire este socitivă. Cum, y,,, y, y eucem că elemetul eutru fţă e îmulţire este,. Fie cum, y C* ică su y. Eglitte, y ʹ, yʹ, este echivletă cu ʹ-yyʹ şi yʹyʹ, e ue ʹ şi y y yʹ, ică, y - y y, y y Cum etru, y, z, t, r, s C,, y [z, tr, s], y z, t, y r, szr-yt-ys, tsyzyr eucem că îmulţire este istributivă fţă e ure, ică C,, este cor comuttiv. Să otăm i,. Cum i,, -, -, eucem că ecuţi - re soluţie î C. Observţie Se robeză imeit că i R:R C, i R, etru orice R, este morfism e coruri eci fucţie ijectivă. Î felul cest R ote fi rivit c subcor l lui C. Am costruit stfel şirul e mulţimi N Z Q R C. Deorece etru z, y C utem scrie z, y,,, ţiâ cot e ietificările teriore eucem că z se ote scrie forml sub form ziy cu i, ir i -. Mulţime C ortă umele e mulţime umerelor comlee, C,, corul umerelor comlee. Elemetele i C\R se zic ur imgire. Dcă ziy C cu, y R, tuci se zice rte relă lui z ir yi rte imgiră lui z y se umeşte coeficietul ărţii imgire. Petru z C, ziy, efiim z iy ce se v umi cojugtul lui z. ir şi z y z ortă umele e moulul lui z. PROPOZIŢIA.. Fie z, z, z C. Atuci 46

47 47 z R z z, z z z z z 3,, z z z z z z z z z z z z ± ± cu z 4 z z, z z z z, z z z z, z z z z cu z. Demostrţie Fie zib. Dcă z R, tuci b, eci z z ir că z z tuci b -b ică b, eci z R. Să mi robăm ieglitte z z z z celellte robâu-se imeit. Alegem z iy şi z iy cu,, y, y R şi stfel z z z z y y y y y y y y y y y y y y y y y y cee ce este eviet. Eglitte vem că λ y y cu λ R, ică z z λ. Observţie Asocii fiecărui umăr comle zib mtrice b b se robeză imeit că corul C,, este izomorf cu corul b b b, R, oerţiile e ure şi îmulţire fii cele obişuite i M R. Teorem fumetlă lgebrei Dcă L şi K sut ouă coruri.î. K este subcor l lui L, suem esre L că este o etiere lui K. Remitim u rezultt clsic i lgebră :

48 LEMA.. Dcă K este u cor comuttiv ir f K[X], grf, tuci eistă o etiere L lui K î cre f re tote răăciile. Utilizâ teorem fumetlă oliomelor simetrice obţiem imeit : LEMA.. Fie f K[X], cu grf ir K este cor comuttiv. Dcă L este o etesie lui K î cre f re tote răăciile, ir g K[X, X ] este u oliom simetric, tuci g, K. Teorem următore ce se bzeză e cele ouă rezultte teriore este cuoscută sub umele e teorem fumetlă lgebrei su teorem DʹAlembert-Guss : TEOREMA.3.D Alembert-Guss Orice oliom f C[X] cu grf re cel uţi o răăciă î C. Demostrţie Fie f X X C[X] şi f X... X ue etru orice i, i este cojugtul lui i. Atuci f f c X, ue c, şi cum c c 48 i i j etru orice, eucem că f f R[X]. Să resuuem că teorem este emostrtă etru oliomele i R[X]. Atuci eistă C.î. f f f f f f. j su Deci este suficiet să resuuem că f R[X]. Dcă grul lui f este imr, cum fucţi oliomilă lui f este cotiuă ir l ± i vlori e seme cotrre eucem că eistă R.î. f. Fie cum grf,, cu N şi imr ; fcem iucţie mtemtică uă. Petru totul rezultă i cele e mi îite grul lui f fii imr î cestă situţie. Să resuuem firmţi evărtă etru tote oliomele f R[X] l căror gr se ivie ri - şi u se ivie ri. Coform Lemei.. eistă o etiere L lui C î cre f re tote răăciile,. î umăr e Petru R cosierăm elemetele z C. i j, i<j i j i j