1. Istoria matematicii

Transcription

1 Istoria matematicii Este mai importat cum gâdeşti, decât ce gâdeşti J W Goethe Newto versus Leibiz de prof Adria Sta Demostrarea riguroasă a multor descoperiri î matematică, fizică, astroomie are la bază calculul difereţial şi itegral ai căror autori sut cosemaţi astăzi matematicieii Isaac Newto (56 77 ) şi Gottfried Leibiz (666 76) Cu mai mult de trei secole î urmă, lucrurile u stăteau atât de clar, existeţa uui coflict ître cei doi s-a datorat cotroversei asupra îtâietăţii descoperirilor legate de calculul difereţial şi itegral Îcă di 758, cercetările de istorie matematică ale lui E Motucla, s-au aplecat asupra acestui coflict iar mai târziu î 86, matematiciaul eglez Augustus de Morga publica î Philosophical Magazie, u articol ce aaliza cearta ditre Keil şi Leibiz cu privire la recuoaşterea îtâietăţii asupra metodei fluxiuilor aşa cum deumise Newto, calculul itegral, şi cocluzioează că Leibiz are meritul de a sta alături de Newto î istoria matematicii la capitolul itroducerii calculului difereţial şi itegral Era o reparaţie morală târzie, dar astfel Leibiz a fost repus î drepturi şi i s-a recuoscut meritul pe care l-a avut la dezvoltarea matematicii Ca să îţelegem atura eveimetelor ce-au stat la baza coflictului îceput î aul 7, e vom îtoarcem la perioada de îceput a celor doi matematiciei La 9 ai, î 66, Newto se îscria ca elev la Triity College di Cambridge fiid evoit ca petru a- şi plăti studiile să execute diverse muci î favoarea şcolii sau studeţilor Luat sub aripa protectoare a marelui profesor Isaac Barrow, Newto îşi etalează umaidecât propriile poriri de geiu, stabilid o geeralizare asupra formulei biomului (a+b) petru u expoet raţioal, pozitiv sau egativ Deşi formula petru umăr îtreg era cuoscută cu mult timp îaitea sa, astăzi aceasta poartă deumirea lui, biomul lui Newto Tot î acea perioadă s-a ocupat cu studiul proprietăţilor lumiii descoperid teoria corpusculară a lumiii pri explicarea feomeelor lumioase şi dâd modelul de descompuere a lumiii şi cel mai importat lucru, a ituit legea gravitaţiei uiversale comparâd forţa de greutate a Pămâtului cu aceea care ţie Lua pe orbita ei Folosidu-se de Legile lui Kepler a dedus că forţele care ţi plaetele pe orbite trebuie să fie ivers proporţioale cu pătratele distaţelor lor la cetrul î jurul cărora se îvârt Di 669, Newto luă locul lui Barrow la catedra de matematică şi îcepu studiul la seriile ifiite pe care le publică î 7 ca o aexă la lucrarea sa Optiks (Optica) Tot î această perioadă, î 67, a fost umit membru al Societăţii Regale di Lodra îtrucât costruise primul telescop cu reflexie cu care studia sateliţii lui Jupiter petru a-şi verifica legea atracţiei uiversale la care lucra îcă Datorită divergeţelor apărute ître el şi Huyges şi Robert Hooke cu privire la teoria sa corpusculară a lumiii faţă de teoria odulatorie susţiută de cei doi, Newto se hotărî să u mai publice imic, deveid astfel sclavul descoperirilor sale ca să le poată apăra, după cum mărturisea sigur î 676 lui Oldeburg secretarul Societăţii Regale Edmud Halley marele astroom şi matematicia a fost cel care după ai l-a determiat să-şi publice îtreaga teorie legată de mecaica cerească Calculul ifiitezimal sau cum îl umea el, calculul fluxiuilor avea meritul de a lucra cu mărimi ifiit de mici şi cu procesul de trecere la limită Imagiat îcă di 665 de către Newto el a fost cuoscut de către ceilalţi matematiciei doar atuci câd Newto şi-a publicat cartea Philosophiae aturalis pricipia mathematica (Pricipiile matematice de filozofie aturală) î 687, lucrare pri care şi-a câştigat locul pritre cei mai mari matematiciei şi fiziciei di toate timpurile Acesta datorită faptului că î pricipiu, descoperirile sale î matematica costituiau doar fudametul petru cercetarea feomeelor aturii şi u reprezeta u scop î sie Lucrarea era pliă de rigoare şi se arăta cum se calculează masa Soarelui sau a plaetelor, puea bazele teoriei perturbaţiilor produse î mersul plaetelor de atracţia exercitată asupra lor de Soare sau alte plaete, explica feomeul mareelor şi mersul cometelor, toate avâd la bază u calcul difereţial şi itegral descoperite de el îtr-o formă mai greoaie dar care i-au facilitat explicarea descoperirilor sale

2 Gotfried Wilhelm Leibiz ăscut î 66 aşadar cu patru ai mai tâăr decât Newto, după ce a studiat matematica la Jea, îşi dă doctoratul la Uiversitatea di Altdorf obţiâdu-l la vârsta de de ai Di această perioadă datează şi lucrarea sa Dissertatio de Arte Combiatoria (666) Î 67 este ales membru al Societăţii Regale di Lodra î urma costruirii uei maşii de calcul Îtrat î cotact cu scrierile lui Pascal, Leibiz îtrezăreşte coceptul de calcul difereţial, cuvât itrodus de el, alături de otaţiile corespuzătoare acestui terme, dx, df dx, ò petru a ota acele mărimi ifiit de mici precum şi cele de calcul itegral Î 68, publică î revista Acta Eruditorum u articol Nova methodus pro maximis pri care prezeta calculul difereţial iar î 686 pri lucrarea Aalysis ifiitorum prezeta calculul sumatoriu umit mai târziu itegral chiar de către Leibiz la sugestia lui Jacob Beroulli, u matematicia care şi-a adus şi el o cotribuţie foarte mare la dezvoltarea calculului difereţial alături de fratele său Ioa Beroulli Tot î această perioadă şi L Hospital îşi publică o siteză a cuoştiţelor preluate de la Ioa Beroulli şi prelucrate îtr-u mod uşor şi elegat La mometul î care Newto îşi publică studiul de mecaică cerească (687), cuoştiţele de calcul difereţial ale lui Leibiz îcepuseră să fie cuoscute de cât mai mulţi matematiciei, fapt ce u l-a emulţumit pe Newto; di cotră, se ştie că Leibiz a colaborat cu Newto î dezvoltarea cuoştiţelor sale pri itermediul scrisorilor, dar aşa cum se proceda la acea vreme, matematiciei u îşi expueau decât rezultatele u si modul cum se ajugea la ele Newto avea să costate î 76 că descoperirile lui Leibiz u se deosebesc de ale sale decât ca formă u şi ca fod Pâă atuci îsă, î 7 Newto e ales secretarul Societăţii regale di Lodra şi odată cu mutarea la Lodra devie uul di persoajele cele mai importate ale lumii ştiiţifice şi de aici probabil şi orgoliul său cu privire la îtâietatea descoperirii calculului itegral Coflictul care a apărut ître Newto şi Leibiz pe tema îtâietăţii descoperirii calculului difereţial a îceput cu matematiciaul elveţia Fatio de Duillier care a propus o problemă de cercetare a proprietăţilor brahistocroei, problemă de care s-a ocupat si Leibiz cu trei ai îaite După şase lui, primul care a rezolvat-o deoarece a aflat de ea di îtâmplare a fost Newto Faptul acesta l- a determiat pe Fatio să-i atribuie lui Newto descoperirea calculului difereţial iar pe Leibiz să-l acuze de plagiat Deşi a îcercat să se apere de acuzaţii meţioâd că îsuşi Newto îi recuoaşte idepedeţa descoperirii sale, ceea ce s-a îtâmplat este că Newto u a sărit î apărarea lui şi u a cometat î ici u fel ca şi cum -ar fi ştiut de acuzaţiile care i se aduc lui Leibiz deşi î 7, el devie secretarul Societăţii Regale şi u are cum să u fi ştiut de ceea ce se petrecea Bătălia ître cei doi s-a dat pri itermediul discipolilor lor Joh Keil, discipolul lui Newto scria î 7 că toate acestea decurg di metoda fluxiuilor, atât de celebră astăzi, care a fost ivetată petru prima oară, fără îdoială, de Sir Isaac Newto, lucru despre care se poate covige cu uşuriţă orişicie ar citi scrisorile sale, publicate de Wallis Acelaşi calcul a fost dat publicităţii mai târziu de Leibiz î Acta Eruditorum, î care el a modificat umai deumirea, forma şi modul de a îsema Făcâd plâgere către Societatea Regală faţă de cele scrise de Keil, Leibiz primeşte î 7 raportul comisiei de achetă care-i trasmite că există o idetitate ître ambele metode, dar descoperirea lui Newto este aterioară ceea ce îl disculpă pe Keil şi îl edreptăţeşte pe Leibiz care mai suferă şi di pricia cocepţiei geerale care îcepe să apară î lucrările multor matematiciei cum că Newto este fodatorul Aalizei matematice şi că Leibiz a avut la baza cuoştiţelor sale, ideile lui Newto Deşi edreptăţit şi eîţeles, Leibiz a cotiuat să-şi susţiă ideile şi să lucreze eobosit, cotribuid la dezvoltarea aritmeticii biare, fiid uul di precursorii logicii matematice, a itrodus formula de difereţiere sub semul itegralei, a făcut disticţia ditre fucţiile algebrice şi fucţiile trascedete, a propus deumirile de abcisă, coordoată, fucţie, derivată, difereţială, ecuaţie difereţială, a dat legea coservării eergiei cietice Ales preşedite al Academiei de Ştiiţe di Berli lui datorâdu-i-se şi îfiiţarea ei î 7, Leibiz lasă urmaşilor o operă impresioată Bibliografie: [] Florica T Câmpa (97) A doua carte cu probleme celebre Bucureşti: Editura Albatros [] Vasile Bobacu () Caleidoscop Matematic Bucureşti: Editura Niculescu [] Nicolaie Mihăileau (98) Istoria matematicii Bucureşti: Editura Ştiiţifică şi Eciclopedică Prof, Şcoala Potocei

3 Articole şi ote matematice Rezolvarea problemelor de cocureţă şi coliiaritate utilizâd proprietăţile fasciculelor aarmoice ( I ) de Neculai Staciu Abstract This article is devoted to the study of two fudametal ad reciprocal questios: whe do three give poits lie o a sigle lie, ad whe do three give lies pass through a sigle poit? The techiques we describe i this article will be augmeted by more sophisticated approaches, such as the Papus s theorems, the Desargues s theorems, the Pascal s theorem, the Briacho s theorem ad the Newto s theorem The formalism of projective geometry makes a discussio of such properties possible, ad exposes some remarkable facts, such as the duality of poits ad lieswhile techique cross-ratio of four poits, ad i the light of duality the cross-ratio of four lies ca be useful o cotest problems, much of the material here is cosidered too advaced for primary ad secodary school educatiothis is a pity, as some of the most beautiful classical geometry appears oly i the projective geometry Key words: cross-ratio, bivalet rage, harmoic rage, harmoic cojugate, cocurrece ad colliearity AMS Classificatio 5-xx,5Axx, 5A5 Scopul pricipal al rezultatelor de mai jos este familiarizarea cititorilor cu oi metode de rezolvare a problemelor de cocureţă şi coliiaritate şi aume cu tehicile oferite de proprietăţile fasciculelor aarmoice osiderăm fig ude S( a, b, c, d) sau S( A, B, C, D) reprezită u fascicul coverget, cu puctul S propriu de raze a, b, c, d sau SA, SB, SC, SD şi fig î care S ( a, b, c, d) este u fascicul paralel de raze a, b, c, d sau SA, SB, SC, SD cu puctul S impropriu d CA DA Dacă diviziuea ABCD) def : CB DB S(ABCD) se umeşte fascicul armoic Biraportul ataşat uui fascicul coverget Fie fasciculul S (abcd) tăiat de secata d (vezi fig) î puctele ( este diviziue armoică (( ABCD ) - ) atuci fasciculul ataşat A d Ç a, B d Ç b, C d Ç c, D d Ç d Dacă S(XYZ) aria triughiului de vârfuri X, Y şi Z, Ù Ù XY ot CA CA h S( CSA) S( CSA) XSY, h d( S, d ), atuci CB CB h S( CSB) S( CSB) ( ABCD ) Ù CA CB DA S ( CSA ) S ( DSA ) SC SA si( ca) SD SA si( da ) : : Ù DB S ( CSB ) S ( DSB ) SC SB si( cb) SD SB si( db) : Ù Ù Ù si( ca) si( da) ot si( ca) si( da) : Dacă S ( abcd) Ù Ù :, atuci rezultă ( ABCD ) S( abcd) Ù Ù si( cb) si( db) si( cb) si( db) Teoreme de ivariaţă Teorema Fiid date pe dreapta d, puctele fixe A, B, C, D Petru orice S Ïd, otăm a SA, b SB, c SC, d SD Biraportul ataşat fasciculului S (abcd) este ivariat Ù Ù ot Ù

4 DemostraţieFie S, S Ïd, ca î fig Di S ( abcd) ( ABCD) şi S ( a b c d ) ( ABCD) rezultă S ( abcd) S ( a b c d ) (qed) Teorema Fiid dat fasciculul fix de vârf S şi raze a, b, c, d Petru orice secată d care itersectează razele fasciculului î A açd, B bçd, C cçd, şi D dçd, biraportul ataşat diviziuii (ABCD) este ivariat DemostraţieFie d şi d două secate oarecare (fig), care itersectează razele fasciculului î puctele A, B, C, D şi A, B, C, D d ' Avem ( ABCD ) S( abcd) şi ( A B C D ) S( abcd) Rezultă ( ABCD ) ( A B C D ) (qed) Fasciculul tăiat de o secată paralelă cu ua di raze Fie fasciculul S(abcd) şi d a (fig5) C A D A C A SA () S( abcd) ( A BC D ) :,() DC A S»DC BC Þ, C B D B C B CB D A SA SA SA () D D A S»DD BDÞ Di (),() şi () rezultă S ( abcd) : : ( ABC D ) D B DB CB DB CB DB Avem următoarea regulă memotehică petru scrierea valorii biraportului : CB DB Deoarece d a scriem d Ç a A (puctul impropriu pe direcţia paralelelor d a ), i CAi DAi S( abcd) : şi luom CA i : DA i (trecerea la limită A Ai ) S( abcd) : CB DB CB DB CoseciţăFie B, C, D pucte fixe pe dreapta d, ad, SÎ a, SB b, SC c, SD d Atuci " SÎ a, S( abcd) este ivariat CAi DAi DemostraţieFie A i d Ç a S( abcd) ( Ai BCD) : : costat CB DB CB DB Bibliografie [] Nicolescu, L, Boskoff, W, Probleme practice de geometrie, Ed Tehică, Bucureşti, 99 [] Mihăileau, N N, Complemete de geometrie sitetică, EDP, Bucureşti, 965 Profesor, Grup Şcolar Tehic, Sf Mc Sava, Berca, Buzău

5 O metodă de rezolvare a problemelor de programare liiară de Prof Gheorghe Maea Metoda prezetată î cotiuare se îscrie î cadrul problemelor de programare liiară şi foloseşte tehica Solver sub Excel Pri această tehică se pot efectua optimizări şi simulări complexe asupra iformaţiei coţiută î programul liiar (sau eliiar) avâdu-se î vedere restricţiile impuse Ca pricipiu o problemă de optimizare tratată pri tehica Solver vizează automatizarea aplicaţiei de programare liiară (algoritmul Simplex), probleme de extrem eliiar, alte probleme de extrem, petru a obţie soluţia optimă (sau aproape de optim) î sesul maximizării uui profit, miimizării uui efort, atigerea uei valori scop Optimul se realizează pri modificarea automată a uor parametri ce coduc la atigerea scopului î codiţiile precizării uor restricţii impuse modelului, astfel îcât situaţia optimală să ia î cosiderare aceste costrâgeri Petru traspuerea uei probleme de programare liiară îtr-u model apt a fi rezolvat pri tehica Solver-ului se cosideră forma geerală a uui program liiar : a x +a x +a x + +a x <b (sau>,resp > <) a x +a x +a x ++a x <b,(sau >) () a m x +a m x +a m x + +a m x <b m (sau>), iar fucţia de optimizat este: fc x +c x + +x maxim ( resp miim) ude a ij, b i, c i sut umere reale pozitive Î cadrul acestei scurte prezetări luăm u exemplu de optimizare rezolvată pri tehica Solver Problema se află î maualele de liceu rezolvată pri poligoul soluţiilor folosid separarea plaului î regiui EXEMPLU (Costati Udrişte Geometrie aalitică maual clasa a XI a ediţia 99 pag ex ) O itrepridere de costrucţii trebuie să realizeze u complex de locuiţe îsumîd cel puţi 9 garsoiere, apartamete cu camere şi apartamete cu camere Se precoizează tipuri de blocuri : -primul tip cupride apartamete cu camere, de apartamete cu camere şi garsoiere U astfel de bloc costă um - al doilea tip este format di apartamete cu camere, 5 apartamete cu camere şi garsoiere, avîd costul de 5 um Să se stabilească câte blocuri di fiecare tip trebuie costruite astfel îcât cheltuielile să fie miime REZOLVARE Notăm x r blocuri de primul tip; x r blocuri de tipul al doilea Programul liiar(pl) este : f(x,x )*x +5*x mi () *x +*x > (rapartcu camere) () *x +5*x > (rapart cu camere) () *x +*x >9 ; (r garsoiere) () x > ;x > :x x îtregi (5) Petru optimizarea programului liiar (PL) folosid tehica SOLVER parcurgem etapele: Deschidem o foaie de calcul Excel Scriem datele programului astfel : -î celula B scriem x -î celula B scriem x -î B5scriem f(x, x ) x +5 x (coţiutul relaţiei()) -î B6 scriem coţiutul relaţiei() -î B7scriem coţiutul relaţiei () -î B8 scriem coţiutul relaţiei ( -î B9 scriem x, x îtregi Acest pas poate lipsi după mai multe exemple rezolvate Itroducem formulele programului liiar : -î D5 scriem formula de calcul *D+5*D (este formula de calcul petru fucţia obiectiv(), î D,D pot exista valori iiţiale petru x x ) -î D6 itroducem *D+*D (este restricţia di () calculată ) -î D7 itroducem *D+5*D (restricţia () calculată) -î D8 itroducem *D+*D (restricţia () calculată) Di Tools activăm Solver (rezolvitor ) şi apare caseta de dialog Solver Parameters (fig) Dacă sistemul de operare u are istalată tehica Solver, aceasta se istalează di acelaşi meiu activâd Add Is (adăugare istrumete), urmâd calea cerută şi evetual CD de istalare Office 5

6 a) Î rubrica Set Target Cel(setare celula ţită ) trecem celula care coţie formula fucţiei obiectiv D5 pri scriere directă sau pri selectare (de preferat) Scrierea este $D$5 b) Trecem cu Tab sau poziţioâd cursorul î rubrica Equal To (sesul optimizării) şi selectăm î cazul exemplului Mi c) Cu Tab sau pri cursor trecem la By Chagig Cells(celule modificabile) şi scriem Fig $D$;$D$direct sau pri selectarea acestora (î aceste celule se afla x, x iiţiale) d) Trecem la rubrica Subject to Costraits(se supue restricţiilor) care solicită restricţiile programului Pri butoul Add(adăugare) se deschide caseta de dialog di figura Î partea stagă (referiţa celulă ) trecem celula restricţiei () adică D6 de la tastatură sau pri selectare Cu Tab trecem la ceriţa di mijloc di care se selectează sesul restricţiei (<,>,<,>,,it ) Î cazul exemplului selectăm> şi trecem la rubrica restricţie ude se trece partea dreapta di restricţia () adică Se validează îtregistrarea cu butoul Add, trecâd la îregistrarea restricţiilor (), (), (5),urmâd aceleaşi etape Se ichide această casetă Fig pri Ok, reveid automat î Solver Parameters e)avem posibilitatea să alegem scrierea rezultatului de optimizare direct sau să vedem uele soluţii parţiale apropiate de cea optimă Petru aceasta selectăm di caseta deschisă butoul Optiui Î caseta care se deschide selectăm se propue modelul liiar(fig )apoi selectăm toate iterţiile şi validăm cu OK, reveid î Solver Parameters f)pâă acum am dat istrucţiuile de rezolvare ale programului liiar Îchidem caseta selectâd Solve Apare o primâ aproximare a optimizării ca î figura Pri cotiue vedem toate iteraţiile programului (soluţii de îcercare)paă la soluţia optimă Î exemplul rezolvat se obţi: x blocuri,x blocuri Fig Cheltueli miime mil Fig Observaţii : Rezultatul obţiut poate fi îregistrat î Maager Sceario petru a fi comparat cu alte rezultate obţiute pri modificarea fucţiei obiectiv sau restricţiile programului(fig 5,6) Fig6 Această metodă se aplică şi petru programe cu > variabile care depăseste maualul şi programa şcolară, dar metoda arătată odată îţeleasă pri exerciţii poate fi utilizată petru automatizarea oricărui program Exerciţii propuse: Să se rezolve folosid tehica Solver, următoarele programe care provi di modelarea uor probleme ecoomice, tehice ) f,x+,6ymax ) f5x+ymax ) fx-ymi ) fxymax 5) f6x+y+z+t max x/5+y/< x/+y/< x+y-< x-y> x+y+5z+t x/+y/5< x+y/7< x+y-< x-y< 5x+7y+z+t x/5+y/5< x/5+y< x; y > x+y5 ; x,y> x; y; z;t > x; y > x; y > Bibliografie )Bogda Ioescu, Adria Paă; Birotica sub Widows EditSofiteh ASE Bucureşti )Cerchez Micu, Teodor Dăet; Probleme petru aplicarea matematicii î practică )Ştefa Mirică, Ioceţiu Drăghicescu; Matematica M- maual petru clasa a XI a EditAramis Prof,Colegiul Ecoomic Buzău 6

7 Examee şi cocursuri CONCURSUL JUDEŢEAN DE MATEMATICĂ SCLIPIREA MINŢII EDIŢIA a III-a, NOIEMBRIE 8, BERCA a) Calculaţi: Clasa a V-a A [( ) : + ( + + ) : 9 ] : 5 6 termei 8 termei b) Fie şirul de umere:,,7,5,, i) Completaţi şirul cu doi termei; ii) Dacă S este suma primilor 6 termei, aflaţi (S+) : ( -) A [ ( : ) ] : 9 Se dă umărul a) Să se calculeze A; b) Să se determie ultima cifră a umărului 8 A c) Să se scrie umărul 5 A ca suma a trei pătrate perfecte eule Prof Marius Giurgiu, G M r 5-6/8 Prof Adria Sta U buic are doi epoţi Vârsta sa se exprimă pritr-u umăr de două cifre, fiecare cifră exprimâd vârsta uui epot, astfel că vârsta buicului este de şapte ori mai mare decât suma vârstelor celor doi epoţi Să se determie vârsta fiecăruia, dacă peste şapte ai, suma vârstelor celor trei este de 9 de ai Prof Adria Sta Să se determie umărul atural di egalitatea: Clasa a VI-a Prof Neculai Staciu Îtr-o şcoală, î lua mai 8, raportul fete:băieţi era de :Î prezet, raportul este :, umărul băieţilor a rămas eschimbat, iar umărul fetelor este cu mai micsă se afle câte fete şi câţi băieţi erau î şcoală î lua mai 8 Prof Neculai Staciu a) Să se arate că petru orice umere aturale a,b,c, prime şi mai mari ca, care verifică relaţia a + 7b + ( c+ ) 78, umărul a + b + c este divizibil cu 8 ( -)( + ) 8 b)să se afle umărul atural di egalitatea: ( ) Prof Adria Sta Arătaţi că umărul a este divizibil cu 5, petru orice Î N * Prof Lucica Speciac, GMr 9/8 Să se calculeze măsurile ughiurilor triughiului ABC, ştiid că m ( BIC ˆ ) m( Aˆ ) şi m ( AIC ˆ ) m( Bˆ ), ude I este cetrul cercului îscris î triughi Prof Costati Apostol 7

8 Clasa a VII-a a) Să se arate că umărul A ( ) 8 b) Fie x, x,, x R Calculaţi - + este iraţioal Î astfel îcât ( x -) + ( x -) + + ( x - 8) x + x + x + + x Rezolvaţi î mulţimea umerelor îtregi ecuaţia: x + xy- y Să se afle umărul real x di egalitatea: -,,() ( 8 -) : + - x + Prof Adria Sta Teodora Niţă, GMr 5-6/8 + Prof Adria Sta Se dă dreptughiul ABCD şi fie E puctul de itersecţie a perpedicularei di A pe BD cu paralela pri C la BD Să se arate că [BC][BE] Prof Costati Apostol Îţelepciuea u se împrumută cu carul ci se câştigă cu bobul Nicolaie Iorga 8

9 U profesor bu e cel care te face ca lucrurile mai grele să ţi se pară uşoare Grigore C Moisil Probleme rezolvate Clasa a III-a P: Aflaţi suma tuturor umerelor de trei cifre care se pot scrie cu cifrele,, luate o sigură dată Ist Ato Maria Numerele de trei cifre disticte sut: ; ; ; ; ; Atuci P: Completaţi şirul cu îcă trei umere: 8 ; 5 ; 8;;; Îv Lupşa Costati (umerele se obţi pri împărţirea precedetului la ) P:5 Calculează suma umerelor a + b + c ştiid că: a + b + c 5 a + b + c Îv Lupşa Io - aduăm cele relaţii şi obţiem: a + b + c + a + b + c 5 + a + b + c 7 ( a + b + c) 7 Rezultă: a + b + c 7 : a + b + c 86 P:6 Adra scrie î ordie descrescătoare umerele de la la, iclusiv, şi pue ître ele semul + Ea observă că, dacă î locul uui sem + pue semul se stabileşte o egalitate adevărată Ître care umere a pus Adra semul? Ist Lupşa Nicoleta Gabriela Clasa a IV-a P:7 Trei prietei au strâs împreuă 9 de fruze După ce primul copil a folosit petru u colaj de fruze, al doilea 6 de fruze, iar al treilea de fruze, ei au decis să împartă î mod egal fruzele rămase Câte fruze a avut fiecare copil? Ist Ato Maria Câte fruze au folosit copiii petru colaje? (fruze) Câte fruze au rămas? (fruze) Câte fruze a primit fiecare copil? 7 : 9 (fruze) Câte fruze a avut primul copil? + 9 (fruze) 9

10 5 Câte fruze a avut al doilea copil? (fruze) 6 Câte fruze a avut al treilea copil? (fruze) P:8 Trei veveriţe se pregătesc petru iară: Riţa, Miţa şi Codiţa Riţa împreuă cu Miţa au aduat 5 de alue, Miţa împreuă cu Codiţa au aduat de alue, iar Riţa împreuă cu Codiţa au aduat Câte alue a aduat fiecare? Elev Neacşu Teodor, cls a IV-a Îv Avrigeau Felicia Notăm cu: a - umărul de alue aduate de Riţa, cu b - umărul de alue aduate de Miţa, şi cu c- umărul de alue aduate de Codiţa; a + b 5 b + c a + c a 5 - b c - b (5 -b) + ( - b) a 5-7 c b a 7 c b b Rezultă, b7 Răspus: Riţa a aduat 7 de alue, Miţa a cules 7, iar Codiţa 7 de alue P:9 Determiaţi umerele aturale a, b, c ştiid că: a + b b + c c + a 5 Îv Lupşa Io - aduăm cele relaţii şi obţiem: a + b + b + c + c + a a + b + c 5 a + b + c 7 b + c (a + b + c) 7 a + 5 a + b + c 7 : a 5 - a + b + c 5 a 7 a + b + c 5 a + b + c 5 a + b c + a 5 + c b 5 c 5- b 5-5 c 8 b 6 Verificare: P: U umăr format di 5 cifre are suma cifrelor 7 Succesorul său are suma cifrelor Care sut cele umere? Ist Lupşa Nicoleta Gabriela Numărul de 5 cifre care are suma cifrelor 7 este 9999 ( ) astfel îcât succesorul umărului este ( ) Ist LUPŞAN NICOLETA - GABRIELA, Berca - Buzău

11 GIMNAZIU Clasa a V-a G: Să se determie toate perechile de umere aturale, ştiid că împărţidu-l pe primul la al doilea şi apoi pe al doilea la primul, obţiem de fiecare dată, aceeaşi sumă ditre cât şi rest, aceasta fiid egală cu Prof Costati Apostol Fie a şi b cele două umere Putem presupue că añ b Rezultă a b c + r, ráb şi c +r De asemeea, b a + r, ráa şi +r De aici deducem că r şi b Aşadar, a c + r, rá şi c +r Petru r Î{,,} Þ( a, b) Î{ ( 9, )(, 7, )(, 5,) } G: a)să se determie cifra x astfel îcât umărul x 5 să se dividă cu 8 b)să se arate că suma S este divizibilă cu Prof Adria Sta x5 5+ x + x a) 8 5+ xm8û x b) Vom scădea şi adua umărul după cum urmează, la fiecare putere a lui se va scădea umărul iar la vom adăuga u Rezultă S ( + ) 9( ) ( + ) ( + ) ( + ) [ + ( + )] M Petru ca umărul să fie divizibil cu trebuie să fie divizibil cu şi cu î acelaşi timp G: Arătaţi că difereţa aaa- bbb este divizibilă cu Prof Lupşa Rodica aaa- bbb a+ a+ a-b-b- b ( a- b) + ( a- b) + a- b ( a- b) M, deoarece este divizibil cu G:6 Suma a trei umere aturale este 7 Dacă di fiecare se scade acelaşi umăr se obţi umerele, 55 şi respectiv 5 Aflaţi umerele Prof Lupşa Rodica (+x)+(55+x)+( 5+x) 7, rezultă x7-9, x 5, x 7 atuci umerele sut 7, 7, 7 G:7 Să se arate că umărul umerelor aturale mai mici sau egale cu 8 care u sut divizibile cu, ici cu 5, ici cu 7, este multiplu de 7 Prof Neculai Staciu RezolvareFie A - mulţimea umerelor aturale eule mai mici sau egale cu 8 divizibile cu, B - mulţimea umerelor aturale eule mai mici sau egale cu 8 divizibile cu 5, iar C - mulţimea umerelor aturale é8 ù é8 ù eule mai mici sau egale cu 8 divizibile cu 7 Atuci carda ê 669 ë ú, cardb û ê ë 5 ú, û

12 é8 ù é8ù é8ù cardc ê 86 7 ú, card ( AÇ B) ê ë û 5 ú, card ( BÇ C) ê 57 ë û 5 ú, ë û é8ù é8ù card ( AÇC) ê 95 ë ú, card ( AÇ BÇ C) 9 û ê ë 5 ú û Di card ( AÈ BÈ C) carda+ cardb+ cardc- card( AÇ B) - card( BÇ C) - - card( AÇ C) + card( AÇ BÇ C) 9 Acum putem afla umărul umerelor aturale mai mici sau egali cu 8 care u sut divizibile cu, ici cu 5, ici cu 7 Acestea sut î umăr de M 7 G:8 Determiaţi baza de umeraţie x î care are loc egalitatea: x x Prof Aa Paaitescu Obligatoriu, x>, ( x + ) x +, x-x8-, x5 Clasa a VI-a G:9 Se dă proporţia æ x- y+ z ö ç è x- y+ zø x - y + z Ştiid că y ¹ z, să se arate că: x - y + z 7 x- y+ z 7 x- 9 y+ z Di proporţia dată, aplicâd proprietatea fudametală a proporţiilor se obţie: x-6y+9z8x-6y+z 5x5z xz Astfel, 7x- y+ z 7z- y+ z 8z- y 7x- 9y+ z 7z- 9y+ z 8z- 9y æ ö ç 9 è ø æ x- y+ z ö ç è x- y+ zø Prof Costati Apostol G: Să se determie umerele xî Q, yî N, ştiid că x x+ x ñ si y+ Relaţia dată este echivaletă cu x(y-), y atural şi y- diferit de zero Di x Þ yî{,,,,5} Þ x, y y- G: Să se determie mulţimea ì A í ( a, b, c ) Î N î * N * N * ab abc - + ab- SoluţieDi Î N, rezultă ab -³ abc+ Û ab(- c) ³, deci c < abc+ Aalizăm î cotiuare cazurile: x- ) Dacă c, atuci otăm x ab şi obţiem Î N de ude rezultă: x+ Î N ü ý þ Prof Adria Sta Prof Neculai Staciu

13 ïì x+ x- í Þ x+ Î D Þ xî{,} Di x abî N avem soluţiile: ïî x+ x+ Þ x+ x+ ( a, b) Î{ (,),(,),(,) } x- )Dacă c, avem Î N de ude obţiem că x+ ï ìx+ x-þ x+ 6x- í Þ x+ Î D5 Þ xî{ } Þ ( a, b) Î{ (,),(,) } ïî x+ x+ Þ x+ 6x+ A (,,),(,,),(,,),(,,),(,,) Cu cele de mai sus se obţie: { } G: Să se găsească cu cât se modifica produsul a umere dacă primul se măreşte cu jumătatea lui, al doilea se măreşte cu a treia parte di el,al treilea se micşorează cu a patra parte di el,iar al patrulea se micşorează cu a treia parte di el Prof Aa Paaitescut Produsul pri simplificare dă a b c d abcd, aşadar rămâe costat x y y z G:Determiaţi umerele x, y, z ştiid ca :x+y+z5;, 6 8 x y z Relaţia dată este echivaletă cu Rezultă x, y5, z Prof Aa Paaitescu Clasa a VII-a G:5 Să se determie umerele îtregi a, astfel îcât umărul a + 7a+ să fie pătratul uui alt umăr îtreg Prof Adria Sta Fie kî Z, a i, a + 7a+ k Û a + 8a+ k Û a + 8a+ 9-9 k Û (a + 7) - (k) Þ (a+ 7- k) (a+ 7+ k) 9Þ Cum divizorii lui 9 sut { ±, ±, ± 9}Þ a Î - 6, -5,-,- { }

14 G:6 Î triughiul ABC, măsurile ughiurilor A, B şi, respectiv C, sut direct proporţioale cu umerele, 7 şi Să se arate că ughiul ditre AB şi îălţimea di A este cogruet cu ughiul ditre AC şi mediaa di A Di relaţia de proporţioalitate a măsurilor ughiurilor se obţie: ˆ ˆ ) 5 ; ( ) 5 ; ( ˆ m ( A m B m C ) Se costruieşte îălţimea di A: AD ^ BC ( DÎ BC ) Di triughiul dreptughic ADC cu ˆ ˆ ) 9, ( ) ( ˆ m ( ADC si m ACD Þ m DAC) 6 Prof Costati Apostol De aici rezultă, ˆ m ( DAB) () Se costruieşte BE ^ AC ( E Î AC ), şi se ueşte E cu mijlocul M al laturii BC Rezultă, AEBEEMBMMC De asemeea ˆ ˆ ˆ m ( AEM ) m ( AE B ) + m ( B EM ) Cum triughiul AEM este isoscel, rezultă ˆ ˆ m ( E M A ) m ( E A M ) 5 () Di () şi () rezultă ceea ce trebuia demostrat a BM G:8Fie ABCD u pătrat, ABa, MÎ(BC) şi NÎ(CD) astfel ca BMDN şi Calculaţi siusul MC măsurii ughiului MAN Aplicâd Teorema lui Pitagora î triughiurile dreptughice ABM, ADN, MCN, APM se obţie: Prof Tuţă Luca a 7 a 5 AM AN, MN, AP a, după care se exprimă aria triughiului AMN î două 8 5 moduri, rezultâd: ˆ 5a si( M AN) 7a 7 G:9 ABCD este u trapez dreptughic (m( A ) )m( D ) )9 şi DC AB) î care [AD]º [DC] şi [AB]º [AC] Ştiid că [CM este bisectoarea ughiului A C ) D arătaţi că: CM^ CB [CM]º [CB] AD AN - Prof Tuţă Luca MA AB Se arată că ˆ m ( MCB) 9 ; CM bisectoare ˆ ˆ Þ m ( C ) m( C ) ' ; Se costruieşte CN perpediculară pe AB, de ude rezultă că ADCN este pătrat ˆ ˆ Þ m( A ) m( C ) 5 ; Î cotiuare se arată că, m( MCB ˆ ) 9 Þ CM ^ CB deoarece ˆ ˆ ˆ ) ( ˆ m ( MCB) m( C ) + m( C + m C ) 9 ; Rezultă di cogrueţa triughiurilor CDM si CNB; Se aplică teorema bisectoarei î triughiul CAD şi faptul că AC º AB, DC º AN

15

16 G: Măsurile ughiurilor triughiului ABC sut direct proporţioale cu umerele 5, respectiv Îălţimea AD cm şi itersectează bisectoarea CM î puctul N; ( DÎ BC, M Î AB ) Di M ducem perpediculara MP pe latura BC;( PÎ BC ) Aflaţi : a) perimetrul triughiului ABC; b) perimetrul patrulaterului MPDN; c) aria triughiului ANC Prof Aa Paaitescu ˆ m( A) 75 ; ( ˆ m B) 5 ; ( ˆ m C) 6 DDAB dreptughic isoscelþ BD AD, AB 6 PABC (+ 6 + ) cm PMPDN + ( - ) + + (- ) ( + 6) cm P ABC cm Clasa a VIII-a G Să se determie fucţiile cu proprietatea: (x+)f(x-)-xf(x+)-x+ şi să se determie atural astfel îcât f()+f()+f()++f(); Prof Adria Sta Fie f:r R, f(x)ax+b, a, bî R, (x+)(ax-a+b)-x(ax+a+b) -x+ -ax-a+b-x+, de ude rezultă, a; b5, rezultă f(x)x+5 f()+f()+f()++f() Û ( + 7) 8Þ G Pri cetrul triughiului echilateral ABC ducem paralela la BC pe care luăm, î iteriorul triughiului, puctul M Î M ridicăm perpediculara pe plaul (ABC) pe care luăm u puct N şi fie A, B şi C picioarele perpedicularelor di N pe BC, pe AC şi, respectiv pe AB Să se arate că dacă aritmetică a umerelor NB şi NC, atuci M coicide cu cetrul triughiului NA este media Prof Costati Apostol Triughiul AEF echilateral implică MB +MC AO (AO este îălţimea triughiului AEF) AOMA Di faptul că M se află pe paralela EF la BC dusă pri cetrul MB + MC triughiului, rezultă MA () Di DNMA dreptughic i M, se obţie: MN + MB + MN + MC NM + MA MB + MC Þ MA () (media pătratică a umerelor MB şi MC ) Di () şi () rezultă că media aritmetică este egală cu media pătratică a umerelor MB şi MC, rezultă că MA MB MC adică M este cetrul de greutate al triughiului ABC 6

17 G: Ştiid că * x, yîr + şi x< y, să se compare umerele: a O relaţie de comparare ître a şi b (şi fie (aceasta duce la următoarele echivaleţe: y ( y-xx Û xy x x + xy+ y ) xû ìyáx Dacă í Û xñ yñ x, Þ aáb; îxá y y x şi b x + xy+ y Dacă yx, Þab; Dacă yñ x, Þañ b Prof Costati Apostol LICEU Clasa a IX-a L:Demostraţi că volumul uui tetraedru este mai mic sau egal cu a 6-a parte di cubul sumei muchiilor care poresc di acelaşi vârf Prof Costati Apostol Fie VABC u tetraedru cu îălţimea VO S ABC VO AC BC si( ACB ˆ ) AC BC Avem VVABC şi cum S ABC, egalitatea avâd loc AC BC VO petru AC ^ BC Aşadar, V VABC () Cum VO CV Þ 6 AC BC CV V VABC () De asemeea, îtrucât media geometrică este mai mică decât media aritmetică, 6 putem scrie: BC AC CV æ BC+ AC+ CV ö ç, egalitatea avâd loc petru BCACVC è ø ( ) æ AC+ BC+ CV ö AC+ BC+ CV Aşadar, relaţia () devie: V VABC ç, egalitatea are loc dacă : 6è ø 6 AC ^ BC, AC ^ CV, BC ^ CV şi ACBCCV L: Aflaţi umerele reale a şi b astfel îcât ecuaţia: + bx+ a + x - x+ x să aibă u umăr maxim de soluţii Prof Costati Rusu Puem codiţia ca ecuaţia să aibă soluţiile x, x şi obţiem a -5, b L: Ştiid că x,y,z,u reprezită umere îtregi şi pozitive diferite, scrise î ordiea á xá yázáu, să se arate că: xyz + xyu + xzu + yzu xyzu - Prof Daiela Chiricioiu 7

18 Iegalitatea se mai poate scrie: xyz+ xyu+ xzu+ yzu+ xyzu Þ xyzu x y z u Notam f ( x, y, z, u) şi cum á xá yázáu, atuci f are u maxim petru x, y, x y z u xyzu z, u5, adică Þ f ( x, y, z, u) L: Dacă Õ * x i Î R +, i,, cu x, să se arate că: i i å i x ( + ) i + å xi x j ³ i< j Aplicăm iegalitate mediilor de două ori şi obţiem: x + x + + x ³ x x x Ûå xi ³,respectiv, x x j å i i< j ( -) ³ ( -) ( x x x ) - Û i å x x i i< j j ( -) ³ Prof Neculai Staciu Pri aduarea celor două iegalităţi se obţie cocluzia L:5 Să se arate că: a + + b + + c +, " a, b, c Î R, astfel îcât a + b + c si ab + ac + bc Se aplică Iegalitatea Cauchy- Buiakowski Schwarz: ( a + + b + + c + )( + + ) ³ ( a + + b + + c + )," a, b, cî R Cum a +b +c (a+b+c) -(ab+bc+ac), Þ ( a + + b + + L:7 Se dă umărul Î N c + ) 9, " a, b, cî R, Þ c c t d Prof Adria Sta *, care poate fi scris ca produs de k umere aturale cosecutive Să se arate că poate fi scris ca sumă de k umere aturale cosecutive, câd k este impar şi u poate fi scris, câd k este par Prof Costati Apostol Deoarece ditre oricare k umere aturale cosecutive, u ul este divizibil cu k, deducem că este multiplu de k, aşadar k m, mî N * Presupuem că se poate scrie ca sumă de k umere aturale cosecutive de forma: ( k-) k k m y+ ( y+ ) + ( y+ ) + + ( y+ k-) k y+ Mai departe se face discuţie după paritatea lui k 8

19 9

20 L:8 Să se arate că Rezolvare : - k + k k C + k este umăr îtreg Clasa a X-a - k C k (-k) ( + k - )! + k + k k!! ( + k - )! -k ( + k - )! k k C -C - - k!! k!! Prof Răduca Maria şi pri defiiţie- umarul submultimilor de câte k elemete care pot fi formate cu ³k elemete- difereţa acestor combiări este umăr îtreg L:9 Să se afle volumul tetraedrului MABC, ştiid că îălţimea di M este de cm şi are piciorul î mijlocul laturii (BC), proporţioale, respectiv cu,, m ( ÐBAC) 9 şi măsurile ughiurilor AMB, ÐAMC, Ð sut Ð şi BMC Prof Costati Apostol, Rm Sărat Di relaţia de proporţioalitate m( AMB ˆ ) m( AMC ˆ ) m( BMC ˆ ) a Þ m( AMB ˆ ) a, m( AMC ˆ ) a, m( BMˆ C) a Se arată că MAMBMCa, iar cu teorema cosiusului aplicată î triughiurile MAB, MAC, MBC se obţie că AB a (- cos a ), AC a (- cosa ) si BC a (- cos a ) Cum DABC este dreptughicþ BC AB + AC Þ - cos a - cos a + - cosa După îlocuirea formulelor şi rezolvarea ecuaţiei (cos a -)(cosa + )(cosa - )(cosa + ) rezultă sigura valoare acceptată petru a este ˆ ˆ, ( ) 6, ( ) 9, ( ˆ a Þ m AMB m AMC m BMC) Imediat se găsesc lugimile a, AB; ( AC ABC Þ S cm si V cm L: Rezolvaţi iecuaţia: - - x -) + x+ x + + x ( x) -, x ³, Î N, ³ Prof Costati Rusu Petru x, iecuaţia se verifică Î cotiuare se foloseşte iegalitatea a + b a + b, a³, b³ şi se demostrează că "x > este soluţie Rezultă că iecuaţia are soluţia [, ) L: Se cosideră suma: ( + )( + ) Să se arate că S ( + )( + )( + ) S å k( k+ )( k+ ) şi atuci avem: k ( + )( + )( + )( + ) S, care demostrează cocluzia ( + ) S Prof Costati Rusu

21 L:Să se arate că 5 9 lg 6 á lg7 á Prof Daiela Chiricioiu lg log7 6 log7 + log7 Deoarece á7 á si á7 á Þ lg7 8log7 áá9log7 si 5log7 áá6log7 De aici pri aduarea iegalităţilor şi ţiâd cot de 5 mootoia fucţiei logaritmice se obţie ceea ce trebuia demostrat: á log7 + log7 á 9 L: Se cosideră fucţia Calculaţi å k f ( ) {, } R f R- :, Clasa a XI-a f ( x) x - x + ( ) ( k) ude f ( x) semifică derivata de ordiul a fucţiei f (x) Prof Costati Rusu ( ) ( ) f ( x) (-)![ - ] Atuci, ) ( )!( ) + + ( x- ) ( x-) ( å f k ( ) k - L:5 Să se calculeze ( ): ( + ) lim C + Prof Daiela Chiricioiu ( )( ) ( ) ( )( 5) ( + ) ( + ) + å åk k åk k + k k k ( + ) Rezultă că lim C+ L:6 Fie fucţiile f, g, h : R R, derivabile cu f ( x ) a, g( x ) b, h( x ) c şi ( fg ) ( x ) c, gh ) ( x ) a, ( hf ) ( x b Să se calculeze fgh ) ( x ) ( ) ( ( fg) h+ ( gh) f + ( hf ) g Avem ( fgh) f gh + fg h+ fgh aa + bb + cc Deci ( fgh) ( x ) Prof Neculai Staciu L:7 Să se calculeze: p ò p 6 ( x- si x)cos x si x - Clasa a XII-a x dx, Î N Prof Costati Rusu

22 Rezolvare Cu substituţia tgx t, obţiem x I ì ï l ; í - - ï p ( - ïî ( -)(6 ) - - ) ; Î N - {} L:8 Să se arate că fucţia următoare u are primitive pe R: f ( x) ìe ï í ï î x + x-, x, xñ x- Prof Daiela Chiricioiu O primitivă a fucţiei f, dacă există ar fi următoarea, după ce se impue codiţia de cotiuitate: ì x x ïe + - x- e+ + k, x F( x) í, ï î x-+ k, xñ Rezultă că f u este derivabilă pe R, deci u admite primitive pe R L:9 Fie f:r R, o fucţie impară cu proprietatea: f(x)+f(x-)x-; Să se calculeze ò f ( x) dx Notăm f(x)u, f(-x)v,şi f impară, rezultă f(x-)-f(-x+) Rezultă u-vx- După care se face trasformarea x -x, rezultă, f(-x)-f(x)-x- u+vx- 6x u+v-x- Rezultă u, v x Prof Adria Sta 5 L: Fie a, a, a,, a8, coeficieţii poliomului ( x - x + x- ) Să se arate că a + a + a,,a8 este u umăr par Prof Adria Sta Suma coeficieţilor pari ai poliomului f este dată de relaţia f () + f (-) (-) + + (-) + M + + M +, care este u umăr impar, ude 5 s-a scris ca u multiplu de l-a care s-a adăugat L: Fie poliomul ( x 5 + x + ) cu rădăciile x, x,, x8 C; Î Să se calculeze suma + x + 8 Prof Adria Sta x + x Fie y,y,y,y soluţiile ecuaţiei + x + x ; Þå y ( å ) - å i yi yi y å x i 5 ( å yi i i ) - i j -Þ L: Să se calculeze : ò ( x- )(- x ) dx Prof Neculai Staciu

23 Fucţia f ( x) este emărgiită î puctele x şi x ( x- )(- x) Atuci avem ò dx ò dx ò - d -d lim dx lim arcsi( x - ) + ( x- )(- x) e - ( x- ) + + e - ( x- ) + + e e + p d [ -d )- arcsi( e -)] + p lim arcsi( + e + d p d Ceea ce u face iteligeţa va face timpul Talmud

24 Cei mai bui discipoli ai uui profesor u sut cei care repetă lecţiile după el, ci cei cărora el le-a trezit etuziasmul, le-a fertilizat eliiştea, le-a dezvoltat forţele petru a-i face să meargă siguri pe drumul lor Gasto Berger 5 Probleme propuse Clasa a III-a P: Mihai şi Adrei au avut de rezolvat u umăr egal de exerciţii După ce Mihai a rezolvat probleme, iar Adrei de probleme, lui Mihai i-au rămas de rezolvat de ori mai multe probleme decât lui Adrei Câte probleme a avut fiecare copil de rezolvat? Ist Axete Mirela P: O ladă cu portocale este cu 8 kg mai grea decât ua cu baae Cât câtăreşte fiecare ladă, dacă î magazi sut 5 lăzi cu portocale şi cu baae, î greutate totală de 96 kg ÎvEe Rodica P: Îdoitul uui umăr îsumat cu doimea lui reprezită 5 Află umărul ÎvEe Rodica P: Petru de pui şi 6 raţe s-au îcasat 85 de lei Ştiid că pui valorează cât 6 raţe, să se afle cât costă fiecare pasăre Îv Lupşa Costati P:5 Recostituiţi aduarea: MAC + AC + C M I C Prof Lupşa Io P:6 Buicul împarte 5 de lei celor epoţi ai săi După ce primul ar mai primi lei, al doilea ar cheltui lei, cel de-al treilea ar mai primi de la mama aceeaşi sumă pe care o are de la buicul, iar cel de-al patrulea şi-ar cumpăra o carte cu jumătate di suma primită, sumele celor patru copii ar fi egale Câţi lei a primit fiecare de la buicul său? Ist Lupşa Nicoleta Gabriela P:7 Trei silvicultori au împădurit o zoă deluroasă cu 5 de puieţi de plop şi mesteacă Ştiid că s-au sădit de patru ori mai mulţi puieţi de plop decât de mesteacă, câţi puieţi s-au sădit di fiecare specie? Îv Marchidau Florica P:8 La o masă fiecare persoaă cosumă câte două pahare de apă mierală a câte ml Dacă s-a cumpărat o sticlă de litri de apă şi la masă participă 6 persoae, câtă apă mai rămâe î sticlă? Îv Marchidau Florica

25 Clasa a IV-a P:9 Suma a trei umere aturale este 96 Aflaţi umerele ştiid că primul umăr este cât dublul celui de-al doilea umăr, iar al treilea este cât suma primelor două umere Ist Ato Maria P:5 Ce umăr se obţie dacă di cel mai mare umăr de 6 cifre se scade cel mai mic umăr de 5 cifre, ştiid că atât primul cât şi al doilea umăr se scriu mereu cu cifre disticte? Îv Avigeau Felicia P:5 Alex şi-a cheltuit baii de buzuar astfel: cu jumătate di ei a cumpărat rechizite, cu u sfert di suma rămasă dulciuri, cu jumătate di oul rest jucării şi cu restul de lei cărţi Află câţi bai de buzuar a avut Alex Îv Io Daiela P:5 Ştiid că umerele a, b, c satisfac simulta egalităţile a + b b + c 7 să se calculeze difereţa a - c Îv Lupşa Io P:5 Îtr-o cutie sut 5 de bomboae Î prima zi, Maria măâcă o treime di bomboae, iar a doua zi măâcă 6 5 di bomboaele rămase A treia zi împarte bomboaele cu fraţii ei î mod egal Câţi fraţi are Maria? P:5 Suma a trei umere b, aflaţi umerele Ist Lupşa Nicoleta Gabriela a, b, c este 986 Ştiid că b este dublul lui a, iar a este difereţa ditre c şi Îv Marcela Mari Da se gâdeşte la u umăr După ce îl îmulţeşte cu, scade Restul obţiut îl îmulţeşte iarăşi, cu şi di rezultat, scade Di ou, îmulţeşte restul cu, scade şi obţie 8La ce umăr s-a gâdit Da? Îv Marcela Mari Clasa a V - a G: Să se arate că există o ifiitate de perechi de umere aturale cu proprietatea că, împărţidu-l pe primul la al doilea, obţiem u cât şi u rest, iar împărţidu-l pe al doilea la primul, obţiem câtul egal cu primul rest şi restul egal cu primul cât Prof Costati Apostol abc G: Determiaţi umărul abc, ştiid că are loc relaţia: a Prof Adria Sta ( b+ c) G: Determiaţi umerele aturale eule a,b,c,d,e astfel îcât 5 a + b + c + d + e Prof Luca Tuţă G:5 Suma a două umere aturale este 6, iar suma răsturatelor este 5 Determiaţi cele două umere G:6 Să se determie umerele aturale x şi y ştiid că - 5yÎ{,,7,8} x Prof Ştefaa Ispas Prof Neculai Staciu G:7 Găsiţi toate umerele aturale pătrate perfecte mai mici decât 8, care la împărţirea cu 8 dau restul 6 Prof Adria Sta 5

26 a b c G:8 Determiaţi umerele prime a,b,c astfel îcât: Prof Simio Mari 5x- 9 G:9 Determiaţi x ÎN astfel îcât să ia valoarea cea mai mică Prof Lupşa Rodica G: Aflaţi x, dacă fracţia 59 x+ este echiuitară Prof Io Stăescu ( ) Clasa a VI - a G: Determiaţi două fracţii, astfel ca difereţa lor să fie egală cu produsul lor G: Să se afle restul împărţirii lui Prof Luca Tuţă 6 5 la Prof Adria Sta G: Fie a şi b două umere aturale eule a) Să se arate că dacă ( a, b), atuci ( a + b, ab) b) Să se arate că ( a + b, ab), atuci ( a, b) Prof Costati Apostol G: Să se rezolve î Z Z ecuaţia: 9 x + 8 y Prof Neculai Staciu G:5 Se cosideră umere aturale eule şi diferite ître ele, otate o dată cu altă ordie b, b,, b Arataţi că u putem avea: a b a a b b a,,, a a şi apoi, î Prof Ştefaa Ispas G:6 Să se rezolve î N* ecuaţia: Prof Gheorghe Struţu, Prof Ligia Struţu G:7 Să se simplifice raportul aaa - bbb+ ccc ddd Prof Lupşa Rodica G:8 Rezolvaţi î N, ecuaţia: x (Dată la cocursul taberei de matematică de la Poiaa Piului, iulie 8) Prof Simio Mari, k G:9 Stabiliţi paritatea cifrei uităţilor, a zecilor şi a sutelor umărului A , k Î N, k ³ Prof Dumitru Mărgieau (Dată la cocursul taberei de matematică de la Poiaa Piului, iulie 8) G:5 Determiaţi măsurile ughiurilor uui triughi ştiid că sut exprimate pri umere prime Prof Simio Mari G:5 Două ughiuri complemetare au raportul ditre suma şi difereţă măsurilor lor, 5 Aflaţi măsurile ughiurilor Prof Io Stăescu 6

27 Clasa a VII - a G:5 Să se calculeze x+y dacă: x y +8, x +y si xy+ Prof Neculai Staciu a- b G:5 Fie a si b Calculaţi Prof Neculai Staciu G:5 Să se arate că suma pătratelor a trei umere îtregi cosecutive impare, aduată cu dă u umăr divizibil cu Prof Adria Sta G:55 Arataţi că orice umăr di şirul,,,, este divizorul a cel puţi uui umăr di şirul +,+,, G:56 Să se rezolve î Q Q ecuaţia: x y G:57 Să se rezolve ecuaţia: G:58 Să se arate că umărul x este atural + cifre Prof Ştefaa Ispas Prof Costati Apostol 67 x (- x) Prof Gheorghe Struţu Prof Ligia Struţu Prof Gheorghe Dârstaru y G:59 Să se arate că ecuaţia x u are soluţii î NxN Prof Neculai Staciu G:6 Să se arate că îtr-u triughi dreptughic ABC cu m ( Aˆ) 9 şi m ( Cˆ) 5, îălţimea di A este u sfert di lugimea ipoteuzei şi să se determie si5 Prof Gheorghe Dârstaru AM G:6 Fie ABCD u paralelogram Să se arate că, M Î ( AB) dacă si umai dacă AB ude { N} Î ACÇ MD, iar Î N, ³ AN AC + Prof Luca Tuţă G:6 Se dă triughiul ABC cu m ( ÐA) 9 şi m ( ÐC) E, simetricul lui A faţă de mijlocul laturii (BC) Arătaţi că matematică de la Poiaa Piului, iulie 8) Fie D, simetricul lui A faţă de BC şi BC DE (Dată la cocursul taberei de Prof Cătăli Iordache G:6 Fie triughiul ABC cu m( ÐA) 9 Arătaţi că bisectoarea di C şi mediaa di A sut perpediculare, dacă şi umai dacă, m ( ÐC) 6 Piului, iulie 8) (Dată la cocursul taberei de matematică de la Poiaa Prof Grigore Mari 7

28 G:6 Arătaţi că aria uui trapez dreptughic ortodiagoal este egală cu produsul ditre media aritmetică şi media geometrică a lugimilor bazelor Prof Simio Mari G:65 U dreptughi are aria egală cu aria uui pătrat Dacă perimetrele lor sut egale, cum sut dimesiuile dreptughiului, comparative cu latura pătratului? Prof Io Stăescu G:66 Demostraţi că îtr-u triughi ABC, m ( Aˆ) m( Bˆ) Û a b( b+ c) Prof Aa Paaitescu Clasa a VIII - a G:67 Să se arate că umărul G:68 Arătaţi că se poate scrie ca o sumă de cuburi a trei umere aturale cosecutive Prof Adria Sta 9 abcabc Prof Lupşa Rodica G:69 Să se stabilească semul umărului a ( 8-) ( 7- ) ( 6- ) ( - 8) Prof Adria Sta G:7 Determiati patratul umarului A -cifre Prof Ştefaa Ispas G:7 Să se determie valorile reale ale lui x şi y astfel îcât expresia E ( x, y) x + y + x y - 9x - 9y + xy-x-y+ 7 să admită valoare miimă Prof Gheorghe Struţu G:7 a) Să se arate că toate ecuaţiile de gradul II, cu coeficieţi diferiţi, di mulţimea {,, - }, au o rădăciă comuă b) Geeralizare Prof Costati Apostol G:7 Să se arate că oricare ar fi umerele îtregi m şi, de parităţi diferite, există umerele îtregi a şi b, astfel îcât, a ( a+ m) b( b+ ) Prof Costati Apostol G:7Se dă expresia E ( x) X - X -X - a) Descompueţi expresia î factori ireductibili; b) Arătaţi că se divide cu , oricare ar fi, umăr atural (Dată la cocursul taberei de matematică de la Poiaa Piului, iulie 8) Prof Mariaa Apostol x+ G:75 Rezolvaţi i R iecuaţia: Prof Io Stăescu x- G:76 Se cosideră u cub petru care volumul plus perimetrul bazei este egal cu aria laterală Câţi metri are lugimea diagoalei cubului? Prof Neculai Staciu G:77 Se dă triughiul ABC cu m ( ÐA) 9 Să se arate că oricare ar fi puctul M pe (BC), există puctele N pe ( AB ) şi P pe ( AC ), astfel îcât triughiurile MNP şi ABC să aibă acelaşi cetru de greutate (Dată la cocursul taberei de matematică de la Poiaa Piului, iulie 8) Prof Costati Apostol 8

29 G:78 Î vârful A al uui triughi dreptughic ABC cu lugimea catetelor AB cm şi AC cm, se ridică perpediculara SA pe plaul triughiului, astfel îcât SA cm Să se afle: 5 a) distaţa de la S la latura BC; b) măsura ughiului diedru format de plaele (SBC) şi (ABC); c) aria totală şi volumul tetraedrului SABC Prof Luca Tuţă G:79 Pe plaul triughiului ABC avâd m( Cˆ), m( Aˆ) 9 şi perimetrul egal cu + cm, se ridică perpediculara AM de cm Determiaţi măsura ughiului format de plaele (MBC) şi (ABC) Prof Simio Mari Clasa a IX - a L: Să se arate că toate parabolele care sut reprezetările geometrice ale graficelor fucţiilor de gradul II, cu coeficieţi diferiţi di aceeaşi mulţime de trei umere reale eule, au u puct comu Prof Costati Apostol éù éù L: Să se rezolve î R* ecuaţia ê ú + ê ú, ude [a] reprezită partea îtreagă a lui a, adică cel mai ë xû ë xû mare umăr îtreg mai mic sau egal cu a Prof Neculai Staciu L: Se cosideră umerele reale a, a, a, a -, a, Î N *, î această ordie, î progresie aritmetică şi - a + a - a + + a a S a - - Să se arate că S ( a - a ) Prof Costati Diu - L: Fie - a, Î N * a) Să se arate că şirul ( a ) ÎN * este o progresie geometrică; b) Determiaţi Î N * astfel îcât suma L: Să se determie umerele reale x ( y + a + a + + a 95 a Clasa a X - a x, y, zî R di ecuaţia: Prof Costati Diu z y z x z x y x y z + 8 ) + (8 + ) + 8 ( + ) ( ) Prof Adria Sta L:5 Fie a bî R, cu a+b, + a) Să se arate că: 7 a b ; b) Să se determie valoarea maximă a fucţiei f:r R, f ( x) cos x si x Prof Costati Diu 9

30 Clasa a XI - a L:6 a) Să se calculeze lim( x + x+ - x) şi lim( x + x + x+ - x ) x x b) Să se determie parametrii a şi b astfel îcât lim( x + x + x+ - x + x+ + ax+ b) x Prof Costati Diu L:7 Să se arate că ecuaţia + " af,bî R ;c,dî R a x bx + cx+ d are cel mult trei rădăcii reale Prof Neculai Staciu L:8 Să se calculeze matricea: A å k æ k ç è(k-) k(k+ ) ö k ø Prof Gheorghe Struţu æ 8ö ç L:9 Fie matricea ç8 7 A ç7 8 6 Î M ( R 8 ) ç ç ç è ø Calculaţi det A Prof Neculai Staciu L: Fie matricea Calculaţi det A 7 æ ö ç 7 6 ç A ç Î M ç ç ç è ø 8 ( R) Prof Neculai Staciu Clasa a XII - a x arccos( e ) L: Calculaţi I ( x) ò dx, xî (-,) x e x L: Să se arate că ò dx- ò log xdy L: Să se calculeze ò x ( tg x+ 9) dx L: Să se calculeze: a) ò ( - x ) 8 dx ; b) ò dx 9 - x (8+ arcsi x) c) ò dx 9 x (8+ l x) Prof Costati Diu Prof Adria Sta Prof Adria Sta ***

31 Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu 6 Teste pregătitoare petru tezele cu subiect uic Model - Teză cu subiect uic la matematică Clasa a VII-a, semestrul I, 8 Prof Adria Sta, SUBIECTUL I (5 de pucte) Pe foaia de teză se trec umai rezultatele p a) Rezultatul calculului (-6):(+)+6 este 7 p b) Ditre umerele a - şi b - mai mare este umărul 7 6 p c) Valoarea de adevăr a propoziţiei 9-6 este iraţioal este p a) Soluţia ecuaţiei (x-)-8- este p b) Soluţia umăr itreg egativ a ecuaţiei x 8 este p c) Rezultatul calculului [-: (- )-5-: (-) ](-) éæ êç ëè, abcd p a) Rezultatul calculului ö ù - + (-,5)-,(6) -,5 este 5 ø p b) Dacă,atuci produsul abcd este egal cu p c) Media geometrică a umerelor a, b 5 8 este ABCD dreptughi cu ABcm, BC6cm p a) Perimetrul lui ABCD este p b) Aria lui ABCD este p c) Dacă O este itersecţia diagoalelor să se calculeze aria triughiului OAB 5 ABCD este u trapez isoscel cu ABº CD, AD6cm M, N picioarele perpedicularelor duse di A respectiv D pe BC cu BM5 cm şi m ( BAM ˆ ) p a) Lugimea liiei mijlocii este p b) Perimetrul trapezului ABCD este p c) Aria trapezului ABCD este SUBIECTUL II ( de pucte) Pe foaia de teză scrieţi rezolvările complete 5p a) Să se arate că umărul este iraţioal petru orice umăr atural 5p b) Să se calculeze media aritmetică a umerelor a + - ( 5-85), b ( - ) + ( - 5 ) Îtr-u depozit magazioerul dacă arajează 55 de cutii pe u sigur raft îi mai rămâ 5 de cutii earajate, iar dacă pue câte 7 de cutii pe fiecare raft atuci îi mai rămâ trei rafturi goale 5p a) Determiaţi umărul de cutii; 5p b) Determiaţi umărul de rafturi ABCD paralelogram cu AB8cm,, m ( Aˆ), ADcm 5p a) Deseaţi paralelogramul şi duceţi îălţimea DE 5p b) Calculaţi aria paralelogramului 5p c) Dacă M este mijlocul lui DC iar N mijlocul lui BC să se arate că MONC este paralelogram 5p d) Calculaţi aria triughiului CMN ú û

32 Model - Teză cu subiect uic la matematică Clasa a VIII-a, semestrul I, 8 Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu Prof Neculai Staciu, SUBIECTUL I (5 de pucte) Pe foaia de teză se trec umai rezultatele p a) Rezultatul calculului : este p b) Ditre umerele a şi 5 b mai mic este umărul p c) Valoarea de adevăr a propoziţiei este iraţioal este p a) Rezultatul calculului, există umere îtregi p b) Î itervalul [ ] - este p c) Valoarea de adevăr a propoziţiei - - este p a) Scrieţi sub formă de iterval < x p b) Rezultatul calculului x 5x este p c) Valoarea de adevăr a propoziţiei ( x + ) x + este Fie VABCD o piramidă patrulateră regulată cu DB şi VA p a) Măsura ughiului VBD este egală cu p b) Lugimea segmetului VO este egală cu p c) Lugimea segmetului VA este egală cu 5 U cub ABCD A B C D are latura AB p a) Perimetrul bazei este egal cu p b) Diagoala cubului este egală cu p c) Diagoala uei feţe este egală cu SUBIECTUL II ( de pucte) Pe foaia de teză scrieţi rezolvările complete 5p a) Calculaţi - ( + ) + 5p b) Calculaţi ( + ) -( + ) -( - )( + ) + 5p a) Să se rezolve î R ecuaţia x x+ 5p b) Dacă a şi b sut umere reale cu a + b şi ab a + b a + b Fie tetraedrul regulat VABCD cu AB 5p a) Deseaţi tetraedrul şi îălţimea VO 5p b) Calculaţi îălţimea VO 5p c) Arătaţi că VA^ BC 5p d) Calculaţi măsura ughiului format de dreptele VA şi VM, calculaţi

33 7 Caleidoscop matematic,, Îţelepciuea şi iubirea mea e jocul Lucia Blaga Matematica u joc de Prof Aa Paaitescu Să facem matematica atractivă,să atragem copii către aceasta pri oi modalităţi cum ar fi jocul Pri joc sperăm să atragem elevii spre studiul matematicii, să arătăm ca u este o ştiiţă rigidă cum cred ei sau cum au auzit de la cei mai mari ca ei Studiul matematicii este importat u umai petru cei ce vor îmbrăţişa î viitor o profesie cu caracter tehic Sut cuoscute aplicaţiile matematicii î cele mai diverse domeii ca: biologia, ecoomia, ciberetica, medicia, etc Se ştie că matematica are calitatea de a cotribui la formarea gâdirii logice a omului M I Kalii spuea că,,matematica discipliează mitea, e obijuieşte să gâdim logic Nu degeaba se spue că matematica este gimastica miţii Î viaţa de toate zilele, omului îi sut ecesare depriderea de a judeca logic, ituiţia, spiritul de observaţie,perspicacitatea,etc, calităţi care pot fi foarte bie dezvoltate pri rezolvarea de probleme matematice iteresate şi legate de viaţă Acest lucru poate fi făcut u umai la orele de matematică ci î cadrul familiei sau a cercului de prietei şi colegi, î excursii, tabere, ocazii de a petrece timpul î mod plăcut şi util rezolvâd probleme de matematică distractivă Ca pricipală formă de activitate şi ca bază de comuicare şcolară, jocul este prea puţi apreciat şi valorificat Jocul coţie cele mai importate elemete ale îvăţării: iiţiativa şi autoghidarea precum şi posibilitatea de a trăi şi simţi coseciţele propriilor acţiui Orice iterveţie di afară sau impuerea de reguli precise, obligatorii distrug motivaţia iterioară a jocului trasformâd-o îtr-ua exterioară elevul se joacă î acest caz doar petru a place adultului şi este depedet de afecţiuea acestuia sau de teama critici sau pedepsei Jocul implică aumite procese de gâdire şi u aumit fel de a vorbii, multe forme de comuicare liberă ître copii, iar jocul, ca şi discuţiile avute despre el, precum şi toate mometele de desfăşurare pot devei prilejuri deosebit de iteresate de educaţie Pedagogia şcolară cuoaşte multe tipuri de jocuri: jocuri de cuoaştere,jocuri de cercetare şi de ghicit,jocuri ale fateziei, jocul costructiv cofigurativ,etc Cu ajutorul problemelor distractive şi,,jocul matematic putem să atragem spre matematică mai mulţi elevi Propu câteva tipuri de probleme petru u evetual opţioal la matematică GEOMETRIE CU CHIBRITURI PĂTRATE MAGICE, SUME ÎNCRUCISATE PRACTICA ŞI GEOMETRIA CU CREIONUL PE HÂRTIE ŞI CU MINTEA TA ZGLOBIE TRUCURI,, MATEMATICE SI NU NUMAI Cum aflăm vârsta uei persoae?