8. MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR

Transcription

1 8. MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR 8.. Iroducere O coeiue eseţilǎ îre igierul proiec / lis şi sisemul rel cosǎ î bilie primului de gǎsi meodele şi uelele de descrie sisemul î mod eficie scopului urmǎri. Î orice descriere modelul ese elemeul cheie. Î celşi imp rebuie sublii fpul cǎ cesǎ descriere u ese uicǎ. U rol pre di pucul de vedere l mecroicii îl jocǎ descrire dimicii sisemului. Modelele peru sisemele dimice po fi cosruie î domeiul imp coiuu, discre su mi. O primǎ defiiţie sisemelor ese ce de sisem ermodimic: porţiue di uivers peru cre se poe delimi u ierior şi u eerior, ieriorul coţiâd u umǎr orecre de corpuri mcroscopice, cosidere c vâd o srucurǎ fizicǎ coiuǎ [8.]. Crcerizre cesor siseme se relizezǎ pri sǎrile lor ermodimice, reprezee c o mulţime de prmeri, cre descriu spece iere le sisemului şi relţiile cu mediul îcojurǎor eeriorul sisemului. Trziţi de sre uui sisem ermodimic ese deumiǎ proces fizic. U sisem sric cuzl ese crceriz de rsferul mărimii de irre spre ieşire sisemului coform schemei prezee î figur 8.. irre u sre ieşire y Fig. 8. Trsferul mărimii de ieşire Noţiue sre repreziă o oţiue cre s- dovedi î decursul impului erem de recomdă peru îţelegere urii sisemelor dimice. Apăruă peru prim dă î lucrările memiceului H. Poicré, oţiue de sre fos uiliză peru sudiul comporării dimice sisemelor oscile mecice, descrise c şi modele memice de ordiul doi. Ulerior, cocepul fos geerliz pri lucrările memiceului A. Lepuov peru modele de ordi superior. Ce se îţelege îsă pri sisem dimic, î geerl, şi î ce mod poe fi descrisă comporre dimică cesui cu juorul vribilelor de sre? U sisem dimic poe fi crceriz pri: u su mi mule mărimi de irre vribile î imp cre formeză u i

2 Iroducere irre sisemului; u su mi mule mărimi de ieşire vribile î imp, y j cre formeză ieşire sisemului; o ecuţie difereţilă cre legă vribilele de sre de derivele cesor, de mărimile de irre u i şi perurbţi v ; o ecuţie de ieşire, cre legă mărimile de ieşire y j de vribilele de sre şi de mărimile de irre u i. Î figur 8. se preziă schem bloc uui sisem dimic. Sisemul ese sric cuzl deorece vribil de irre feceză mi îâi vribil de sre, pri ecuţi difereţilă de sre ces defieşe dimic sisemului, ir vribil de sre deermiă, prir-o ecuţie lgebrică ecuţi de ieşire, vribil de ieşire sisemului. v R PERTURBAŢIE COMANDǍ m u R STARE R y R Fig. 8. Sisemul dimic Se defieşe sisemul simplu sric cuzl c şi sisemul de ipul: d f, u, v, y g 8. î cre u eisǎ ici o coeiue de ip recţie iversǎ. L sisemele l limiă cuzle, schem rsferului irre ieşire ese prezeă î figur 8.3. irre u sre ieşire y Fig. 8.3 Trsferul irre - ieşire Pe lâgă rsferul pricipl cuzl irre sre ieşire, eisă şi u rsfer direc irre ieşire, fără dimică l limi cuzl, geer de prezeţ vribilei u î ecuţi de ieşire. d f, u, v, y g, u Ecuţi difereţilă de sre şi ecuţi de ieşire formeză împreuă modelul memic l sisemului dimic. U sfel de model ese cpbil să descrie orice 8.

3 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR sisem dimic cu prmeri cosţi cu codiţi c ecuţi difereţilă propriu zisă să descrie corec legile fizice cre guvereză sisemul. Eemplu Peru u sisem ermic recere dir-o sre de echilibru î lǎ sre de echilibru porǎ deumire de proces. Eemplu de vribile de sre: ms, emperur, volumul, presiue, desie, eropi ec. fig.8.4. Sre iiţilǎ Vribil_ proces Sre filǎ Vribil sre_ Fig. 8.4 Sări le uui proces ermodimic 8.. Vribilele de sre, cocepul de bzǎ 8... Defiiţii şi prezere geerlă Î modul de descriere uui sisem se specificǎ cǎ ces re l bzǎ elemee îre cre eisǎ o serie de relţii de depedeţǎ şi iercţiue. Acese spece su descrise prir-u se de ecuţii bze pe vribilele iere le sisemului. Acese vribile su deumie drep vribile de sre le sisemului. Epresi ese sioimǎ cu ce de sre sisemului. Alegere vribilelor de sre u ese uicǎ. Fie u vecor, de dimesiue cre î priculr descrie sre sisemului şi îl vom deumi vecorul de sre:. [... ] T Vecorul de sre reueşe vribilele de sre i, i,,..., cre crcerizeză dimic sisemului. Ecuţi de sre ecuţii şi ecuţi de ieşire r ecuţii repreziă smblul de ecuţii difereţile le sisemului coform relţiei 8.. Form memicǎ modelului de sre 8. peru sisemele coiue î imp, sric cuzle ese î ces cz: d F y G [, u, ] [, ] 8.4

4 Vribilele de sre, cocepul de bzǎ Îr-o formă compcă modelul de sre sisemului poe fi descris de cele două ecuţii: d A + B u ecui difereil de sre 8.5 y C ecui de iesire ude: A ese mrice coeficieţilor fereǎ celor sǎri le sisemului, B m ese mrice de comdă cu m umǎrul irǎrilor î sisem, C rm mrice de ieşire cu r umǎrul de ieşiri; ese vecorul de sre ir y ese vecorul de ieşire Dcă sisemul ese cu prmeri vribili î imp descriere se poe reliz cu juorul uor ecuţii similre cu 8.5: d A + B u y C ecui difereil de sre ecui de iesire 8.6 ude mricele B, C u compoee depedee de imp ir mrice coeficieţilor A ese compusă pe bz coeficieţilor vribili î imp. Observţie Dcă fucţi de rsfer sisemului ese descrisă sub form G s P s ir grp m, grq, sisemul ese [8.5]: Q s ecuzl dcă < m ; l limiă cuzl dcă m ; sric cuzl dcă > m. Ecuţi difereţilă uui sisem poe fi rsformă pri operţii memice simple sub form: su y y y su + + y y y y b u b y m m b y + m u m m u +... b u b +... m b +... u u Form memică modelului de sre peru sisemul cu ecuţi dă se obţie pri iroducere vribilelor de sre i defiie î urmăorul mod: 8.7

5 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR ' ' ' y si y y y 8.8 sfel că ecuţi 8.7 se poe scrie: u b u b d d d m m Di sisemul de ecuţii 8.9 se deermiă form resrâsă 8.6 pri ideificre ermeilor mricilor A, B, C, D. Ecuţi de sre re form mricelă: + B u d d d d Modelul de sre peru sisemul de ordiul doi 8... Form geerlă Cosiderăm ecuţi dimică uui sisem de ordiul doi: u b y dy y d Coform cu cele prezee erior, vribilele de sre 8.8 po fi descrise sub form: 8. d d 8.3

6 Vribilele de sre, cocepul de bzǎ d d 8.4 Form geerlă 8.9 peru czul liz poe primi form: d + + bu + bu 8.5 d + + bu + bu su sub o formǎ mricelǎ: d d b + b b b u u 8... Eemplu de clcul Fie sisemul di figur 8.5 m kg ; F N F 8.5 Fig. 8.5 Sisem form di ms M sub cţiue uei forţe F Ecuţi dimică corespuzăore modelului memic ese: d m F su d F 8.6 m sfel că vribilele de sre se po sbili sub form C urmre ecuţi 8.6 ecuţi de sre - se deermiă c fiid: d [ F] d m su Ecuţi de ieşire poe ve, opţiol, u di formele: y 8.8 [ ] [ ] C

7 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR [ ] y C 8.9 Ecuţi de sre vri umerică devie: d + [ ] d 8. cu mricile: A 8. B Modelul de sre l uui sisem de ordiul uu Fie circuiul R - L îr-o limere î c.c. cu esiue U şi peru cre ecuţi cre descrie vriţi cureului î imp poe fi scrisǎ sub form: su: di U R i + L 8.3 di R i + U L L Fie: d di i şi şi sfel ecuţi de sre ese: d A + B u ude : R A L, L [] i, B, u [ U ] Ecuţi de ieşire modelului de sre se poe scrie sub form: [][ ] C y 8.7 cu mrice de ieşire de form [ ] C.

8 Mlb / Simulik şi spţiul sărilor 8.3. Mlb / Simulik şi spţiul sărilor Geerliăţi Loclizre fciliǎţii de rezolvre sisemului de ecuţii corespuzăor modelului de sre ese fciliă de mediul Mlb / Simulik. Loclizre blocului fere se găseşe pelâd cle Mlb/Simulik/Coiuou /Se Spce fig.8.6. Fig. 8.6 Spţiul sărilor î Mlb/Simulik Pe bz celor specifice erior, se cosruieşe modelul de sre coform celor specifice erior şi se dermiă mricele A, B, C. Se cosruieşe poi modelul peru simulre î mediul Mlb / Simulik pri selecre modulelor: u modul peru iruducere vribilelor de comdă de eemplu: modulul Cos permie iroducere vecorului de comdǎ u corespuzǎor uei forţe de cţiore F N di eemplul 8... su l uei esiui de limere U V peru eemplul 8..3; modulul Se-Spce peru iroducere mricelor A,B,C,D. modulul Scope - peru vizulizre formei de vriţie mǎrimii de ieşire; Se fiezǎ prmerii de simulre peru pro. 3 4 cose de imp circuiului Simulio / Simulio prmeers / Sop ime şi se ruleză progrmul.

9 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR Eemplu de clcul Peru modelul de sre l uui circui R-L eemplul 8..3 modelul cosrui î Mlb / Simulik ese preze î figur 8.7. b Fig. 8.7 Simulre î Mlb / Simulik modelului de sre: modelul Simulik; b cse dilog peru iroducere mricilor A, B, C Vriţi î imp mărimii de ieşire vlore cureului ese prezeă î figur 8.8. Fig. 8.8 Vriţi î imp cureului

10 Mlb / Simulik şi spţiul sărilor Modelul memic l sărilor di eemplul 8... ese preze î figur 8.9. Î cse de dilog se preziă şi modul de iroducere mricelor A, B, C. S- op peru vri ecuţiei de ieşire cu o sigură vribilă de sre ecuţi 8.8. Fig. 8.9 Modelul de sre eemplul 8... î mediul Mlb / Simulik Fig. 8. Mărime de ieşire deplsre msei m

11 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR Dcă se opeză peru ecuţi de ieşire 8.9, sigur modificre î modelul reliz cosă î iroducere mricei C corespuzăore. Î figur 8. se preziă modelul reliz ir î figur 8. vriţiile mărimilor de ieşire î imp. Fig. 8. Modelul Mlb / Simulik eemplul 8..., vr. b Fig. 8. Mărimile de ieşire: deplsre vribil ; b viez vribil Di grficul viezei fig.8.b se deermiă uşor vlore ccelerţiei m s rporul mǎrime de ieşire / mǎrime de irre viezǎ / imp ccelerţie.

12 Mlb / Simulik şi spţiul sărilor Eemplu de clcul U sisem de ordiul 4 ese descris pri ecuţi difereţilǎ: 4 3 d y d y d y dy y u ude y mǎrime de ieşire sisemului ir u ese mǎrime de irre î sisem. Se cere deermire ecuţiilor de sre sisemului. Se iroduc urmǎorele oţii peru vribilele de sre: 3 dy d d y d d y d y d y d Pe bz cesor oţii şi fpului cǎ 4, ecuţi difereţilǎ 4 eriorǎ 8.8 şi vribilele 8.9 permi scriere: d d d3 4 d u su sub formǎ mricelǎ: d d d d + u 3 34 Ecuţi eriorǎ se poe preze î formǎ compcǎ : d A + Bu ude: T d d d d d

13 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR A ; ; B ; u u Eemplu de clcul Schem pricipilă uui sisem elecromecic ese prezeă î figur 8.3. Roorul l uui moor elecric re momeul de ierţie J. Momeul moor rsmis pri rborele ese M. Pe rborele doi ese moă ro diţă 3 cre greeză cu cremlier 4 de msă m. J M,ω θ 3 θ R m 4, v C C Fig. 8.3 Schem uui sisem elecromecic Forţele / momeele cre cţioeză supr compoeelor sisemului su prezee î figur 8.4. M m dω J K θ θ + C ω K θ θ F R b 3 dv m 4 C v c Fig. 8.4 Forţele şi momeele di sisem Î corespodeţă cu pricipiile de modelre le sisemelor mecice şi modului de ore di figurile , se poe cosrui modelul memic l sisemului.

14 8.4 - Mlb şi modelul de sre 46 θ ω θ + θ θ θ θ ω + + ω R d v d F v C dv m F R K M K C d J m 8.35 Iroducem vribilele de sre î corespodeţă cu prmerii geomerici di figurile : θ,, ω 3, v 4 Sisemul de ecuţii de sre re, după rsformări le relţiilor 8.35, form: ω θ + ω θ ω θ v R K R K F v J M v m C R m K R m K J C R J K J K dv d d d m Mlb şi modelul de sre Geerliăţi Fucţi de rsfer uui sisem poe fi scrisă sub form: de um s U s Y s G 8.37 Reprezere î spţiul sărilor pe bz mediul de lucru Mlb, se poe obţie pe bz comezii fss: [ ] fss um,de D C B A 8.38

15 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR Uilizâd fucţi Mlb ss se obţie modelul de sre, pri uilizre mricelor A, B, C, D, cu o siă de form: sys ssa, B, C, D 8.39 Dcă u sisem ese dej ese defii, fie ces sys, şi se doreşe să se fle prmerii săi mriceli A, B, C, D uci se uilizeză si: [A,B,C,D]ssdsys 8.4 Ale comezi uile peru lucrul î Mlb su prezee î cp. / Ae 8. Peru u sisem descris pri sisemul de ecuţii de sre 8.5 se po uiliz comezi peru geerre grfică răspusului sisemului l diverse semle de irre: Seml de irre de ip repă uiră: [y,,] sepa, B, C, D, iu 8.4 [y,,] sepa, B, C, D, iu, 8.4 Seml de irre de ip impuls [y,,] impulsea, B, C, D 8.43 [y,,] impulsea, B, C, D,iu 8.44 [y,,] impulsea, B, C, D,iu, 8.45 Seml de irre rbirr y lsima, B, C, D,u, 8.46 Răspusul peru codiţii iiţile Sisemul se poe defii î ces cz sub form: d A + B u ; y C 8.47 Peru găsi răspusul sisemului î codiţii iiţile, se uilizeză comd: y iiila, B, C, D,[iiil codiio], Eemplu de clcul Se cosideră u sisem repreze pri fucţi de rsfer: Y s s + 3s + G s 8.49 U s 3 s + 4s + s + 6 Se cere să se scrie fişierele *.m peru coversi formei de de reprezere î

16 Mlb şi modelul de sre spţiul sărilor. Î figur 8.5 se preziă o vriă coversiei pri uilizre fucţiei ss ir î figur 8.6 rezulul obţiu % Coversi fuciei de rsfer poliomile i reprezere % corespuzore spiului de sre % Vri_ um[ 3 ]; de[ 4 6]; sys_ffum,de; sys_sssssys_f Fig. 8.5 Fişier de coversie fucţiei de rsfer di form poliomilă b u 3 c 3 y c d u y d b Fig. 8.6 Rezulul coversiei % Coversi fuciei de rsfer poliomile i reprezere % corespuzore spiului de sre % Vri_ um[ 3 ]; de[ 4 6]; sysfum, de [A B C D]ssdsys Fig. 8.7 Fişier de coversie fucţiei de rsfer di form poliomilă % Coversi fuciei de rsfer poliomile i reprezere % corespuzore spiului de sre % Vri_3 um[ 8 6]; de[ 8 6 6]; [A, B, C, D]fssum,de prisysa,b,c,d Fig. 8.8 Fişier de coversie fucţiei de rsfer di form poliomilă

17 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR Eemplu de clcul Se cosideră sisemul descris pri mricile sisemului de sre: A ; ; [ ]; [ ] 3 B C D 8.5 şi codiţiile iiţile: [ ] 8.5 Se cere să se deermie răspusul sisemului pri uilizre fucţiei lsim. Fişierul uiliz, peru deermire răspusului sisemului, ese preze î figur 8.9 ir răspusul sisemului î figur 8.. % Rspusul i imp sisemului peru codiii iiile eule A[ -; -3]; B[;];C[ ];D[]; sysssa,b,c,d; [ ]; :.:; u*; [y,,]lsimsys,u,,; plo,:,,'.' grid hold plo,:,,'o' lbel'impul [s]',ylbel'x_ / X_' Fig. 8.9 Fişerul uiliz peru deermire răspusului sisemului cu codiţii iiţile Fig. 8. Răspusul sisemului deermi pe bz fucţiei lsim

18 Mlb şi modelul de sre Eemplu de clcul Se cosideră sisemul descris pri fucţi de rsfer: s + 8s + 6 G s s + 8s + 6s + 6 Se cere să se relizeze coversi de reprezere sisemului î spţiul sărilor şi să se deermie răspusul sisemului l u seml de ip repă uiră şi impuls uir. Fişierul uiliz peru simulre sisemului ese preze î figur 8. ir răspusul sisemului î figur 8.. % Rspusul sisemului l u seml rep uir % um[ 8 6]; de[ 8 6 6]; [A, B, C, D]fssum,de [y,,]sepa,b,c,d, plo, Fig. 8. Fişierul uiliz peru deermire răspusului sisemului 3 Fig. 8. Răspusul sisemului l seml de ip repă uiră Fişierul uiliz peru simulre sisemului ese preze î figur 8.3 ir răspusul sisemului î figur 8.4.

19 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR % Rspusul sisemului l u seml impuls uir % um[ 8 6]; de[ 8 6 6]; [A, B, C, D]fssum,de [y,,]impulsea,b,c,d, plo, lbel'timpul [s]';ylbel'_ / _/ _3' Fig. 8.3 Fişierul peru deermire răspusului sisemului 3 Fig. 8.4 Răspusul sisemului l u seml impuls uir 8.5. Observbilie şi corolbilie sării sisemelor liire Corolbilie sării Cosiderăm u sisem dimic repreze pri modelul de sre: d y A + B u C + D u 8.53 Aliz cliivă rsferului irre sre ese posibilă pe bz proprieăţii de corolbilie sării uui sisem dimic liir. Corolbilie sării uui sisem ese propriee cesui pri cre o irre

20 Observbilie şi corolbilie sării sisemelor liire u rsferă sre sisemului orecre f, dir-o sre iiţilă îr-o sre filă, pe u iervl de imp fii. Se po defii şi czurile priculre: sisem cu sre prţil corolbilă evoluţi sării sub iflueţ comezii eere ese posibilă umi porid de l umie sări iiţile spre umie sări file; sisem cu sre ecorolbilă evoluţi sării u ese posibilă idifere de comd plică sisemului. Aliz corolbiliăţii se bzeză pe mrice de corolbilie, cosruiă pe bz mricei coeficieţilor A fereǎ celor sǎri le sisemului şi mricei de comdă B m : [ B AB A B... A B] Γ C 8.54 Sisemul ese: cu sre corolbilă dcă şi umi dcă rgul mricei de corolbilie ese egl cu dimesiue : rg Γ C. Peru rgul uei mrice vezi cp., 7. cu sre prţil corolbilă dcă rg Γ C r < ; cu sre ecorolbilă dcă rg Γ C Observbilie sării Aliz cliivă rsferului sre ieşire, reliz de sisemele dimice liire poe fi liză pe bz proprieăţii de observbilie sării. U sisem dimic liir descris pri modelul de sre 8.53 ese de sre comple observbilă dcă pe bz cuoşerii mărimilor de irre u şi de ieşire y pe u iervl fii de imp, se poe deermi evoluţi sării. Se po defii şi czurile priculre: sre prţil observbilă vor eis sări cre doriă decuplării rsferului sre ieşire, u geereză evoluţii disice le ieşirii sisemului; sre eobservbilă rsferul sre ieşire ese decupl sfel îcâ u se po disige ieşiri le sisemului idifere de vecorul de comdă sisemului. Aliz observbiliăţii sisemului se poe reliz pe bz clculului rgului mricei de observbilie: [ C CA CA... CA ] T Γ O 8.55 Asfel, sisemul ese cu: sre comple observbilă dcă şi umi dcă rgul mricei de observbilie ese egl cu dimesiue, rg Γ O. Peru rgul uei mrice vezi cp., 7. sre prţil observbilă dcă rg Γ O r < ; sre eobservbilă dcă rg Γ O.

21 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR Eemplu de clcul Se cosideră modelul de sre uui sisem: A ; ; [ ] B C 8.56 Se cere să se lizeze corolbilie şi observbilie sisemului. Coform cu cele precize erior 8.5., mrice de corolbilie sisemului ese: [ A,B] [ B AB] Γ C 8.57 Se deermiă di 8.56: AB 8.58 şi sfel: Γ C [ A,B] 8.59 Sisemul ese comple corolbil dcă şi umi dcă mrice de coolbilie re rg de liie comple rgul mricei ese egl cu umărul liiilor. Se observă că : [ A,B] de Γ C 8.6 şi deci rg Γ C. Sisemul ese comple corolbil. Î celşi mod se poe liz observbilie sisemului. Mrice de observbilie ese: C Γ O [ A,C] 8.6 CA Avâd î vedere că: CA [ ] [ 3 ] 8.6 rezulă mrice de observbilie de form: C Γ O [ A,C] 8.63 CA 3 peru cre se deermiă că de [ A,C] Γ O şi deci rg Γ O. Sisemul ese comple observbil rgul mricii ese egl cu umărul coloelor.

22 Observbilie şi corolbilie sării sisemelor liire Eemplu de clcul U sisem de morizre ierţil ese preze î figur 8.5 [8.8]. Mărime de irre î sisem ese reprezeă de forţ creă de elemel elsic ir mărime de ieşire ese reprezeă de deplsre brei. Se cosideră eemplul umeric : L.5 m; L m; M 5 kg; C 5 N/m/s; K 4 N/m; F 5 N. Se cere: să se deermie modelul de sre şi răspusul sisemului l u seml repă uiră; să se lizeze observbilie şi corolbilie sisemului. L K L F C X Fig. 8.5 Sisem de morizre ierţil Ecuţi cre descrie fucţiore sisemului ierţil ese: d d L M + C + K F L 8.64 Modelul de sre se deermiă di ecuţi 8.64 pri sbilire vribilelor de sre: d d 8.65 şi rsformre ecuţiei î sisemul: d 8.66 d K C L F M M LM su sub formă mricelă: d K d M [ y] [ ] + [ ] [ F] C L + M L M [ F] 8.67

23 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR Mricile modelului de sre u form: [ ] [ ] ;..8 D C B A M L L M C M K 8.68 Răspusul sisemului ese preze î figur 8.6. Fig. 8.6 Răspusul sisemului l seml repă uiră b Mrice de corolbilie ese dă de rel Pe bz relţiilor 8.68, se clculeză: M L L C M L L M L L M C M K AB 8.69 sfel că mrice de corolbilie v ve form: [ ] M L L C M L L M L L A,B Γ C 8.7

24 Modelul spţiului sărilor peru siseme iercoece Se observă că de Γ C, rgul mricii ese şi deci sisemul ese corolbil. Mrice de observbilie ese dă de rel Se clculeză, pe bz relţiilor 8.68: CA [ ] K C [ ] 8.7 M M şi sfel mrice de observbilie v fi: Γ O [ A,C] 8.7 Se observă că de Γ O, rgul mricei ese şi deci sisemul ese observbil Modelul spţiului sărilor peru siseme iercoece Cosrucţi modelului de sre peru siseme complee ese uilă şi peru descriere sisemelor complee. Iercoecările su î geerl combiţii le uor srucuri de bză: coeiui serie, coeiui prlele şi coeiui cu recţie. Să cosiderăm două siseme descrise pri modelele de sre: Sisemul : d A + B u y C + D u Sisemul : d A + B u y C + D u Uilizâd modul de oţie clsic, modelul de sre l uei iercoecări relize, re form: d A B u d + y C + D u 8.75 Se impue deermire formei mricelor corespuzăore sisemului reliz.

25 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR Coeiue serie Fie cele două siseme coece î serie fig.8.7. Cosrucţi modelului peru iercoecre reliză re î vedere urmăorele observţii referiore l oţii: u u ; y u ; y y 8.76 u u y y u y Fig. 8.7 Coeiue serie Pe bz relţiilor de defiire şi observţiilor 8.76 se deduc formele mricelor: A A C [ C D C ]; D [ D D ] BC BD ; B A B Coeiue prlelă 8.77 Cosiderăm iercoecre prlelă prezeă î figur 8.8. Î corelţie cu oţiile uilize şi coeiue cosideră, se impu câev cosiderţii priculre. Asfel: u u u y y + y u y u y u + + y Fig. 8.8 Coeiue prlelă 8.78 Pe bz relţiilor de defiire şi observţiilor 8.78 se deduc formele mricelor: A A C [ C C ]; D [ D + D ] B ; B A B 8.79

26 Modelul de sre peru siseme eliire Coeiue cu recţie Modul de iercoecre celor două siseme se iclude î pricipiul clsic l sisemelor cu recţie fig.8.9. Sisemul S ese echivle obiecului regl ir sisemul S ese echivle corolerului. Î mod semăăor czurilor eriore, coeiue impue câev precizări suplimere. Asfel: u u + y y y u y u u y u y y Fig. 8.9 Coeiue cu recţie uiră egivă Pe bz relţiilor de defiire , observţiilor 8.8 şi cosiderâd D, se deduc formele mricelor: A BDC A -BC C [ C ] ; D [ ] BC BD ; B A B Modelul de sre peru siseme eliire Modelul de sre liiriz Să recosiderăm modelul memic l uui sisem ivri î imp: d F y G [, u ] [, u ] peru cre eisă u puc de echilibru {, u y } F y [, u ] G[, u ] 8.8, sfel îcâ eisă egliăţile: 8.83 Liirizre, sisemului dmis peru liză, se relizeză î jurul cesui puc de fucţiore, descris pri rei vecori cosţi. Dezvolâd î serie Tylor sisemul 8.8 şi reţiâd di dezvolre dor ermeii de ordiul, se obţie form liiriză descrisă de ecuţiile:

27 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR d F y G,u u - u,u u - u F G u u u u F u G u u u u u Ecuţiile 8.84 se po scrie î formă coceră: dδ A Δ + B Δu Δy C Δ + D Δu ude: Δ, Δu u u, Δy y y 8.86 F F u G G u A, B, C, D u u 8.87 u u u u u u Eemplu de clcul Recosiderăm sisemul de leviţie preze î cpiolul 3. Modelul dimic l sisemului de leviţie fos repreze pri ecuţiile: d v 8.88 d[ L i] e Ri dv m mg F em 8.9 ude: repreziă poziţi bilei fţă de poziţi de referiţă; v repreziă viez bilei; i repreziă cureul î îfăşurre elecromgeului; e repreziă esiue de limere bobiei; R repreziă reziseţ îfăşurării elecromgeului; L repreziă iducivie îfăşurării; g repreziă ccelerţi grviţiolă cosă; m repreziă ms bilei. O dezvolre modelul memic cosrui se poe reliz pe bz sării sisemului cosiderâd vribilele de sre [ ] T [ ] T 3 v i şi u e. Cosiderăm relţi de clcul iduciviăţii c fiid: μsn L 8.9 l + μ r ude: N repreziă umărul de spire l îfăşurării; S ri secţiuii rsversle pri fluul mgeic; l lugime circuiului feromgeic; mărime îrefierului; μ

28 Modelul de sre peru siseme eliire permibilie mgeică vidului; μ r permibilie mgeică merilului feromgeic. Pe bz relţiilor şi le vribilelor de sre cosidere, se obţie modelul de sre k μ SN : d 8.9 d g d k m 3 l + μr 3 e l r R 3 k + μ + μ l r k + μ r l Modelul eliir obţiu se poe liiriz pe pricipiul clsic de liirizre sisemelor. Pe bz relţiilor se obţi prmerii pucului de echilibru: l e + μ R k mg ; ; 3 r e R 8.95 Liirizâd modelul î cocordţă cu cele prezee erior, se obţie modelul liiriz l sisemului de leviţie liz [8.9]: d Δ d Rg mg gr Δ Δ3 e k e d3 mg e Δ Δ3 + k mgk R e Δe mgk 8.96 Form liiriză modelului de sre ese similră celei descrisă de rel î cre mrice coeficieţilor, mrice de comdă şi mrice de ieşire u formele de defiire: T e B 8.97 R mgk [ ] C 8.98

29 MODELE DE STARE ALE SISTEMELOR Rg mg A e k mg k gr e e mgk Uilizre fucţiilor Mlb peru liz corolbiliăţii şi observbiliăţii sisemelor Mlb dispue de fucţii decve peru clculul mricei de corolbilie crb şi celei de observbilie obsv. Peru clcul rgului mricei, î vedere sbilirii cliăţii sisemului, se peleză l fucţi rk. Î figur 8.3 ese preze fişierul *.m peru clculul mricelor şi rgului cesor ir rezulele î figur 8.3 şi figur 8.3. % Eemplu de clcul l mricei de corolbilie si observbilie % Defiire mricelor modelului de sre A[ ;-5 3 4; - 4 ;-3 - -]; B[ -;-4 4; 5; -]; C[ - 3; -]; % Clculul mricei de corolbilie QcrbA,B % Clculul rgului mricei de corolbilie r rkq % Clculul mricei de observbilie WobsvA,C % Clculul rgului mricei de corolbilie r rkw Fig. 8.3 Fişierul de clcul l mricelor de corolbilie şi observbilie b Fig. 8.3 Mrice de corolbilie şi rgul cesei

30 Bibliogrfie cpiolul 8 r Mrice de corolbilie re umărul de liii egl cu rgul mricei, 4 şi deci sisemul ese corolbil. m r b Fig. 8.3 Mrice de observbilie şi rgul cesei Mrice de observbilie re umărul de coloe m egl cu rgul mricei, 4 şi deci sisemul ese observbil Bibliogrfie cpiolul 8 [8.]Bishop, H. Rober, The Mechroics Hdbook, CRC Press, Lodo-New York- Wshigo, [8.]Dorf, R.C., Bishop, R.H., Moder Corol Sysems, Perso Sudium, ISBN , 6 [8.3]Dolg, V., Dolg, L., Modellig d simulio of mgeic leviio sysems, Als of he Orde Uiversiy, fscicle of Mgeme d Techologicl Egieerig, vol.vv 7, ISSN , p.8-7 [8.4]Dolg, V., Dolg, L., The lysis of mgeic leviio sysem, 8 h Ier. Symp. DAAAM 7, p.47, Zdr Croţi [8.5]Drgomir, T.L., Teori sisemelor, Lio. UPT, Timişor, 98 [8.6]Dukkipi, R.V., Mlb. A iroducio wih pplicios, New Age Ier.,, ISBN [8.7]Slgdo, M.E., Yuz, J.I., Se Spce Alysis d Sysem Properies, i Mechroics iroducio, edior Bishop, R.H., CRC Press, 5, ISBN [8.8]Sigh, K., Agihori, G., Sysem Desig hrough Mlb, Corol Toolbo d Simulik, ISBN: / [8.9]Teodorescu,A., Dolg, V., Abou he observbiliy d corollbiliy of leviio sysems, 8 h Ier. Symp. DAAAM 7, Zdr Croţi [8.]Ţiţeic, Ş., Termodimic, Ed. Acdemiei, 98 [8.]***, Simulik. Simulio d Model-Bsed Desig, V.6, MhWorks, 6