Introducere. "Vor trece cel puţin un milion de ani până când vom înţelege numerele prime". Paul Erdös

Transcription

1 Itroducere "Vor trece cel uţi u milio de ai âă câd vom îţelege umerele rime". Paul Erdös Gauss sue că matematica este regia ştiiţelor, iar teoria umerelor regia matematicii. Acest adevăr, î tim, s-a dovedit a fi uşor de accetat şi greu de cotestat. Teoria umerelor are ca obiect studiul umerelor, al rorietăţilor lor şi al relaţiilor ditre ele. Ea îşi trage izvoarele di robleme de aritmetică, şi se cosolidează odată cu cristalizarea oţiuii de umăr, fiid ua ditre cele mai vechi şi mai frumoase ramuri ale matematicii, î care alte oi ramuri îşi au obârşia. Există o iterfereţă ître metodele ei şi metodele altor discilie matematice. Pe de o arte metodele ei au cotribuit la formarea metodelor rorii ale acestor discilie. Pe de altă arte soluţioarea uor robleme ale ei u oate fi obţiută ri mijloace rorii, ci ecesită aelarea la alte discilie: aaliza matematică, fucţiile comlexe, etc. Caracteristic etru teoria umerelor este fatul că formularea roblemelor ei este deosebit de simlă şi u face ael decât la cuoştiţele matematice extrem de reduse, dar deseori rezolvarea acestor robleme, este dificilă, iar î aumite cazuri cu toate eforturile uor matematiciei de reume modial uele ditre ele rămâ multă vreme erezolvate, fiid, se are, domeiul matematic cu cele mai multe robleme erezolvate, umite ioteze, sau cojecturi. De aceea ea atrage şi e ematematiciei, dar iubitori de ştiiţe exacte, şi are u rol deosebit etru formarea la tieri a gustului etru matematică, etru ştiiţe exacte. La îceut multe oţiui abia se coturau e baza activităţii ractice şi erau amestecate cu ideile de formă şi îtidere. A urmat rocesul lug de adâcire şi searare a oţiuilor. O rimă searare, ître oţiuile de geometrie şi cele de aritmetică, s-a făcut î atichitate. Aritmetica, domeiu mai abstract, se ocuă cu robleme care ecesită oeraţii şi rorietăţi ale umerelor; evaluâd se ramifică şi, î liii mari, găsim î ea origiea a trei oi domeii fudametale: teoria umerelor, algebra, aaliza matematică, duă cele trei feluri de umere (aturale, îtregi şi raţioale, iraţioale) şi duă metodele îtrebuiţate. Î secolele XVII - XVIII, teoria umerelor era deja searată de aritmetică şi de celelalte ramuri izvorâte tot di aritmetică şi obiectul ei se cotura î studiul roblemelor care riveau îdeosebi umerele aturale cu imlicaţii î ielul umerelor îtregi raţioale. Astfel, cum se îtâmlă î rocesul dezvoltării, î secolul al XIX lea, teoria umerelor, îmrumutâd metode de cercetare şi reluâd aumite robleme de algebră şi aaliză, îşi lărgeşte câmul de activitate. Preia, e de o arte, robleme di structuri algebrice abstracte, aaloage cu ielul îtregilor raţioali, aoi ri metode luate di teoria umerelor îşi oate rezolva aumite robleme rorii, rămase erezolvate cu mijloace aritmetice roriu-zise. Teoria umerelor a evoluat ri îmbiarea a două tediţe: cea a creării de cocete şi teorii geerale, ca de exemlu oţiuea de ideal sau teoria corului claselor, şi cea a reducerii la situaţii umerice cocrete. Iflueţa sa este ilustrată şi de multilele rezultate care au fost refigurate şi stimulate de observaţii emirice, di studiul tabelelor. Tocmai uificarea a celor două ucte de vedere determiă oziţia e care ea o are î matematică: lumea umerelor şi lumea fizică este tereul e care au aărut majoritatea teoriilor matematice. Distigem atru etae de dezvoltare a teoriei umerelor: [28] a) etaa atichităţii, câd roblemele de teoria umerelor erau curise î aritmetică şi chiar u erau searate total de celelalte ramuri ale matematicii elemetare; b) etaa desriderii teoriei umerelor de aritmetică, ca ramură aarte sau etaa aritmeticii suerioare, îceâd di Reaştere âă î secolul al XIX lea; c) etaa moderă a teoriei umerelor, di secolul al XIX lea şi rima jumătatea a secolului al XX lea câd î teoria umerelor îşi fac loc metodele modere de cercetare di teoria fucţiilor de variabilă comlexă şi de aaliză matematică, di acest uct de vedere ia aştere o subramură a teoriei umerelor: teoria aalitică a umerelor, rămââd ca, roblemele care u folosesc teoria fucţiilor şi aaliza, să costituie teoria elemetară a umerelor. Î această etaă se lărgeşte şi domeiul de cercetare asura îtregilor di corurile de umerele algebrice şi teoria idealelor; 3

2 d) etaa de cosacrare a teoriei umerelor ca ramură de bază a matematicii. Acum se defiesc multe rorietăţi ale şirurilor de umere aturale, iclusiv şirul umerelor rime, aar rezolvări a multor ecuaţii diofatice şi se defiitivează cocetele acestei ramuri a matematicii. Î rima etaă, rimele documete scrise care se ocuă cu robleme de aritmetică î secial cu scrierea umerelor aturale şi cu rorietăţile ditre ele sut Pairusul de la Moscova, scris cam cu 2200 de ai î.hr., studiat de B.A. Turaiev şi V.V. Struve, care curide 25 de robleme, şi Pairusul di Lodra (ăstrat la Brirish Museum), scris cam cu 2000 ai î.hr., de scribul Ahmes, cuoscut şi sub umele de Rhid Paitus, duă umele rimului rorietar; el coţie 85 de robleme. [28] Ua ditre cele mai vechi şcoli ude s-au desris et robleme de teoria umerelor a fost şcoala itagoreică, care îcee cu Pitagora ( î.hr.). De la această şcoală au rămas oţiuile de umăr ar şi imar, de umăr rim şi de umăr comus, oţiuea de umere relativ rime, de umere erfecte, de umere rietee ( a, b Ν * sut rietee dacă d d = a + b, adică suma divizorilor lui a este egală cu suma d a = d b divizorilor lui b), teoria roorţiilor şi a rogresiilor aritmetice şi geometrice. Î teorema lui Pitagora di geometrie găsim germeele marii teoreme a lui Fermat: rezolvarea î umere îtregi a ecuaţiei x + y = z ; recum şi îceuturile frămâtărilor asura umerelor iraţioale. Petru = 2, această teoremă a fost rezolvată ozitiv, iar umerele care o satisfac se umesc umere itagoreice. Mai târziu, î secolul al IV lea î.hr., Eudoxios di Cidos ( î.hr.) desăvârşeşte teoria raoartelor şi a roorţiilor. Duă moartea lui Pitagora, cocetul de demostraţie matematică s-a răsâdit raid î lumea civilizată, iar la două secole duă ce şcoala lui a fost arsă di temelii, cetrul studiilor matematice s-a mutat di Crotoa la Alexadria. Aici Ptolemeu I, fratele vitreg al lui Alexadru Macedo, deveit îmărat al Egitului, a făurit rima uiversitate di lume. Î vremea sa s-au aduat la u loc toate marile cărţile di Egit, Grecia, Euroa şi Asia Mică formâdu-se astfel rima bibliotecă di lume, cu este de exemlare. Primul şef al deartametului de matematică al bibilotecii a fost Euclid. O altă şcoală îsemată, îceâd cu mijlocul secolului al IV lea î.hr., este şcoala di Alexadria. Ea a fost ilustrată de Euclid (300 î.hr.). Î Elemetele lui Euclid, cărţile VII, VIII, IX sut destiate aritmeticii, iar cartea a X a teoriei umerelor iraţioale. Î aceste cărţi se găsesc rezultatele gâdirii matematicii atice di Egit şi Grecia. Pritre teoremele imortate rămase î Elemetele lui Euclid cităm teorema asura ifiităţii, cu umăr rim, dacă umerelor rime şi teorema asura umerelor erfecte de forma 2 ( 2 ) 2 este umăr rim, umite î matematică umerele lui Euclid. Î oerele lui Arhimede ( î.hr.) găsim elemete care stau la baza teoriei umerelor, cum este de exemlu ostulatul lui Arhimede (dacă a, b Ν *, şi a < b, ( ) Ν * a.î. b < a, de la care a rămas deumirea de iele arhimedice. Î teoria umerelor Eratostee ( î.hr.) a rămas legat de rocedeul ciurului etru discerarea umerelor rime. Mai îaite, Diofat di Alexadria ( î.hr.) se ocuă, î oerele sale (Aritmetica, Porisma, Moriastica, recostiruite sub titlul Oera omia) de ecuaţii şi sisteme de ecuaţii algebrice, cu soluţii î mulţimea umerelor raţioale ozitive. Î secial de acelea î care soluţiile se cer î umere aturale, şi e care le umim astăzi ecuaţii diofatice şi care se tratează î teoria umerelor. El este şi iiţiatorul studiului formelor ătratice aritmetice şi al roblemei rerezetării umerelor rime ri sume de ătrate. Diofat a comilat rimul text echivalet etru teoria umerelor: Dumezeu i-a îgăduit să fie coil o şesime di viaţa sa şi, adăugâd la aceasta a douăsrezecea arte, i-a acoerit obrazul cu uf gigaş, i-a îmărtăşit lumia sfâtă a căsiciei duă a şatea arte a vieţii, iar duă cici ai de căsătorie i-a oferit u fiu. Dar vai! Nefericitul coil ăscut târziu, duă ce a atic o jumătate di îtreaga viaţă a tatălui, coilul a fost răit de soarta ecruţătoare. Duă ce şi-a aliat suferiţa, adâciu-se î ştiiţa umerelor vreme de 4 ai, şi-a dat sufletul. Asftfel, aare roblema durate vieţii lui Diofat (84 de ai). Î mileiul I î.hr., î Chia se cuoştea ceea ce î 263, autor Li Huei, devie Matematica î ouă cărţi î care se găsesc multe robleme de aritmetică şi îceuturi de metode algebrice, cum ar fi itroducerea umerelor egative, sau ecuaţii edetermiate (de ti diofatic), se tratează extragerea rădăciii ătratice şi cubice. Î aroximarea lui π, chiezii dau valoarea π , mai buă decât cea a lui Arhimede π. 4

3 Mai târziu aar la chiezi ătratele magice şi robleme care ţi de teoria cogrueţelor, folosite la îtocmirea caledarului, cuoscute astăzi sub umele de roblema chieză a resturilor. Matematicieii idiei di atichitate au itrodus sitemul de umeraţie î baza zece şi sistemul oziţioal de scriere a umerelor, ri care se u bazele schemelor de calcul ale oeraţiilor aritmetice. Mai târziu Bhaskara (sec XII), dă o rezolvare a ecuaţiei diofatice ritr-u rocedeu aroiat fracţiilor cotiue. Tot atuci (Brahmaguta, Bhaskara) aalizează roblema rezolvării î umere îtregi a ecuaţiei de gradul al doilea, cu coeficieţi îtregi de forma: 2 2 y = ax + b 2 2 XIX acestă ecuaţie iau forma: x dy =, umită ecuaţia lui Pell., iiţiid metoda ciclică de rezolvare. Î secolele XVIII- Î limba arabă Al-Horezmi a scris u tratat de aritmetică î care se exue scrierea oziţioală zecimală a umerelor şi tratează oeraţii cu umerele bazate e această scriere. Abu Kamil î Cartea rarităţilor di aritmetică tratează sisteme lieare diofatice, chiar şi o îcercare de a demostra imosibilitatea rezolvării î umere îtregi a ecuaţiei x = y z. De asemeea Tabit ib Korra arată că umerele M q = 2 şi N = 2 r, ude = 3 2, q =, r = 9 2 şi, q, r umere rime, sut umere rietee. Legea geerală de formare a umerelor rietee u este ici acum cuoscută. Î Euroa flacăra ştiiţei matematice este reluată la sfârşitul secolului al XII lea de Fiboacci, de la care a rămas celebrul său şir: ( f ) 0, f 0 = f =, şi f = + f f 2, ( ) 2. Etaa a doua este etaa desărţirii teoriei umerelor de aritmetică şi algebră. Ea îcee cu secolul al XVI lea şi ţie âă la îceutul secolului al XIX lea, câd Gauss dă coţiut comlet acestei discilie. Lucrarea sa Disquisitio arithmeticae, ublicată î 80, la doar 24 de ai, costituie actul de aştere a teoriei modere a umerelor. Î această erioadă mari matematiciei ca: Fr. Viéte ( ), Bachet de Mériziac (58-638), Mari Mersee ( ), ri oerele lor, au cotribuit al rogresul algebrei şi teoriei umerelor. Magistratul fracez Pierre de Férmat (60-665) a lăsat rezultate di cele mai regate î teoria umerelor, ca orice umăr a care u se divide cu umărul rim, a se divide cu ; umerele de A forma 2 +, A = 2, e care le cosidera a fi rime şi care-i oartă umele; marea sau ultima sa x + y = z, etru > 2 ; etc. Această teoremă, imosibilitatea rezolvării î umere îtregi a ecuaţiei teoremă a iiţiat eumărate scrieri şi direcţii de cercetare oi, cum ar fi teoria umerelor ideale a lui Kummer, trasformată aoi î teoria idealelor a lui Dedekid. Î secolul al XVIII lea uul ditre matematicieii cei mai de seamă a fost Leoard Euler ( ), de la care e-au rămas eumărate rezultate î teoria umerelor. Amitim umai idicatoarea lui Euler, geeralizarea micii teoreme a lui Fermat ( = s = s ( ) ( ) ϕ a mod, etru s > 2, criteriul etru resturile ătratice, etc., demostrarea divergeţei seriei umerelor rime Matematicieii fracezi Lagrage (736-83) şi Legedre ( ) au cultivat teoria umerelor. Lagrage a dat teorema asura cogrueţelor algebrice faţă de u modul rim, s-a acuat de fracţiile cotiue şi de ecuaţia lui Pell, iar Legedre a studiat resturile ătratice itroducâd simbolul care-i oartă umele şi a dat exresia de aroximare a fucţiei ( x) π, care rerezită umărul umerelor rime mai mici sau egale cu x. Karl Friedrich Gauss ( ) a us bazele teoriei modere a umerelor, dâd saltul calitativ ecesar, duă acumularea catitativă a multor rezultate. El a dat teorema de recirocitate a resturilor ătratice; ue bazele sistematice ale teoriei cogrueţelor şi dă u studiu desăvârşit al formelor ătrate aritmetice; mod şi a idicilor; extide teoria umerelor la câmul elaboreză teoria comletă a rădăciilor rimitive ( ) comlex (itroducâd oţiuea de îtregii lui Gauss: a + ib, a, b Ζ şi i = ) iiţiid studiul ielelor corurilor ătratice; arată că sigurele umere care coresud roblemei îmărţirii cercului î ărţi egale sut umerele lui Fermat; etc. Î etaa moderă, reocuări î domeiul teoriei umerelor atreează e uii ditre cei mai de seamă matematiciei: K.G. Jacobi (804-85), Lejeue P.G. Dirichlet (805-89), P.L. Cebîşev (82-894), E.E. Kummer (80-893), L. Kroecker (823-89), J.W.R. Dedekid (83-96), Ch. Hermite (822-90), J. 5

4 Liouville ( ), G.F.B. Riema ( ), F. Lidema ( ), Felix Klei ( ), Herma Mikowski ( ), E.I. Zolotarev ( ), G.F. Vorooi ( ), A.A. Markov ( ), David Hilbert ( ), J. Hadamard ( ), Ch. De La Vallé Poussi ( ), E. Ladau ( ), G. Cator (845-98), G.S. Hardy, J. Littlewood, Wright, L.E. Dickso, ş.a. Î secolul al XIX lea teoria umerelor se dezvoltă î mai multe direcţii, urmărid adâcirea şi rezolvarea roblemelor use î secolul recedet. Astfel demostraţia marii teoreme a lui Fermat costituie o reocuare de seamă şi dă aştere itroducerii teoriei umerelor ideale a lui Kummer, dă imuls cercetărilor corurilor de umere algebrice ri lucrările lui Zolotarev şi geerează, ri lucrările lui Dedekid, teoria idealelor. Celelalte ramuri ale matematicii, ritr-o dezvoltare imetuoasă, cotribuie la îmbogăţirea metodelor î teoria umerelor, mai ales aaliza matematică şi teoria fucţiilor de o variabilă comlexă, aoi teoria geometrică a umerelor, teoria umerelor iraţioale şi arofudarea claselor de iraţioale şi desărţirea umerelor iraţioale î umere algebrice şi trascedete faţă de corul raţioal, etc. Problema răsâdirii umerelor rime î mulţimea umerelor aturale rimeşte u rim răsus atuci câd Dirichlet dă teorema ifiităţii umerelor rime care se găsesc îtr-o rogresie aritmetică, ce are ca raţia relativ rimă cu u terme al ei, recum şi iiţierea studiului seriilor: = a, cu s s C. Cartea sa Vorlesuge über zohletheorie, aărută î 859 este cosiderată rima carte moderă de teoria umerelor î care se foloseşte sistematic metode de aaliză. Berhard Riema itroduce şi studiază fucţia zeta ζ, cu s = σ + it, ri care iiţiază metoda aalitică de studiu î teoria umerelor şi desride s ( ) s = = ramura teoriei aalitice a umerelor. Tot î această erioadă, ri studiul fucţiei π ( x) = rezultate remarcabile: π ( x) (Legedre 880); ( x) log x,08366 (Cebîşev, care itroduce fucţiile auxiliare θ ( x) şi Ψ ( x) formulei lui Legedre ( ) x x, ude este umăr rim, se dau uele x dt l t 2 π (Gauss); ( x) π x lim = x l x ). Valoarea maximă a lui r, etru satisfacerea π = l r, este r =, 963, la al lea umăr rim = Alte căi de dezvoltare a teoriei umerelor au fost roblemele aditive ale lui Ch. Goldbach ( ) şi E. Warig ( ), care au codus la teoria aditivă a umerelor, bazată e aaliza matematică şi teoria fucţiilor. U elemet imortat a fost oţiuea de desitate a uui şir de umere aturale a lui Şirelma ( ) cu ajutorul căreia s-a dovedit că orice umăr atural oate fi scris ca sumă fiită de umere rime. Problema lui Goldbac (îcă edemostrată), trimisă ritr-o scrisoare lui Euler, cosistă că orice umăr ar 6, este o sumă de două umere rime imare, a dat aştere la oi metode de cercetare, cum ar fi metoda sumelor trigoometrice a lui I.M. Viogradov, care a reuşit să demostreze că orice umăr imar, mai mare decât o aumită costată, se oate ue sub forma uei sume de trei umere rime imare. Problema lui Warig, aflată îtr-o scrisoare di 770: orice umăr atural oate fi rerezetat ca o sumă de uteri a -a de umere ozitive, umărul s al termeilor sumei deide umai de exoetul, a fost rezolvată de D. Hilbert abia î 909, iar Liik (942) a dat o demostraţie elemetară bazată e oţiuea de desitate a lui Şirelma. Etaa de cosacrare a teoriei umerelor ca ramură de bază a matematicii se bazează e lucrărilor uor matematiciei de reume modial ca: I.M. Viogradov, A.O. Ghelfod, I.V. Liik, I.P. Kubilius, H. Hasse, W. Sieriski, V. Bru, B. Segre, A. Châtelet, J. Mordell, J.W.S. Cassels, K. Mahler, H. Daveort, R.A. Raki, I. Nive, J. Le Veque, G.I. Rieger, D.H. Lehmer, A. Reyi, P. Erdös, A. Selberg, P. Tura, ş.a. Î ţara oastră au existat reocuări de aritmetică şi teoria umerelor îcă di secolul a XIX lea. Aroae toţi matematicieii oştri de seamă au fost atraşi de frumuseţea roblemelor de teoria umerelor, aducâd cotribuţii îsemate î acest domeiu: D. Pomeiu, Gh. Ţiţeica, T. Lalescu, D. Barbilia, S. Saielevici, S. Stoilov, M. Ghermăescu, Th. Agheluţă, Vera Myller-Lebedev, Gr. C. Moisil, T. Poovici, M. 6

5 Nicolescu, G. Vrâceau, Gh. Călugăreau, O. Oicescu, D. V. Ioescu, Al. Froda, Gh. Galbură, E. Rusu, I. Creagă, I. Cucurezeau, C. P. Poovici, L. Pârşa, G. Suda, N. Negoescu, ş.a. Ditre matematicieii româi cu reocuări de teoria umerelor, î ordiea istorică mai meţioăm e: G. Asachi, D. Asachi, N. Şt. Botez, S. Haret, I. Ioescu, C. Miclescu, I. Moscua, A. G. Ioachimescu, A. Davidoglu, A. Simoov, C. Nicolau, V. Alaci, F. Vasilescu, P. Sergescu, N. Ciorăescu, M. Beato, M. Ghircoiaşu, I. V. Mătieşu, V. Claudia, O. N. Ţio, Şt. Berli, E. Dai, M. Ţea, D. M. Bătieţu-Giurgiu, ş.a. Î cea de a atra etaă se defiesc multe rorietăţi ale şirurilor de umere aturale, iclusiv şirul umerelor rime, aar rezolvări a multor ecuaţii diofatice cum ar fi cea ecuaţiei lui Catala x u y v =, de către Preda Mihăilescu, sau diverse variate ale ecuaţiei lui Pell, recum şi rezolvarea marii teoreme al lui Férmat, de către Adrew Wiles î 993, duă o mucă de 7 ai, rezolvâd cojectura lui Taiyama care se 2 referă la curba elitică y = x ( x a ) ( x + b ), şi se defiitivează cocetele acestei ramuri a matematicii. Numerele rime şi rorietăţile lor au fost studiate îcă di atichitate de către matematicieii greci. Primul rezultat cocret aare î cartea a IX a, a lui Euclid care a demostrat că există o ifiitate de umere rime. Î această demostraţie se foloseşte etru rima dată î istoria matematicii metoda reducerii la absurd. Distigerea umerelor rime, di mulţimea umerelor aturale, şi descomuerea umerele comuse î facrori rimi, sut uele di cele mai imortate robleme ale Aritmeticii, care au agajat foarte mulţi matematiciei îcă di atichitate şi vor agaja şi î viitor. Î aul 230 î.hr. se cocee u algoritm etru descoerirea umerelor rime, umit ciurul lui Eratostee, care este îcă cel mai eficiet mod de a găsi umerele rime mici (mai mici de u milio). Petru umerele mari sut folosite cazurile seciale ale teoremei lui Lagrage di teoria gruurilor, recum şi o serie de rograme secializate etru calculator. Aoi, î istoria umerelor rime u mai aar rezultate imortate âă la îceutul secolului al XVII - lea câd Fermat dovedeşte afirmaţia lui Albert Girard că fiecare umăr rim de forma: 4 + oate fi scris, î mod uic, ca sumă de două ătrate, şi arată modul î care orice umăr rim oate fi scris ca sumă de atru ătrate erfecte. Porid de la descomuerea î factori rimi a umărului = , a ajus la mica sa teoremă: dacă este rim şi ( a, ) =, atuci: a ( mod ), ( ) a Ζ. Acest rezultat arată ceea ce chiezii cuoşteau cu cca ai îaite (teorema chiezească a resturilor) că u umăr atual este rim dacă ( 2 2). Reciroca acestei teoreme u este adevărată. Mica teoremă lui Fermat a dus la descoerirea multor rezultate di teoria umerelor şi e ea se bazează metodele şi rogramele de verificare a rimabilităţii umerelor aturale, utilizate e comuterele electroice de astăzi. Fermat a coresodat cu alţi matematiciei cotemorai lui, î secial cu călugărul Mari Mersee. Îtr-ua di scrisorile sale Mersee a cojecturat că umerele 2 + sut îtotdeaua rime dacă este o utere a lui 2. Fermat a verificat afirmaţia etru {,2,4,8,6} lui 2 atuci 2 + şi a arătat că umai dacă este o utere a este rim. Numere de această formă sut umite umerele lui Fermat ( F ). Abia este 00 de ai Euler a arătat că: = = , ( = 32 ) u este rim. Numerele de forma 2, î cazul î care u este rim, sut comuse. Petru umăr rim aceste umere se umesc umerele lui Mersee ( M ), cel care le-a studiat îtâi. Nu toate umerele Mersee su rime. Î 536, se arată că: 2 = 2047 = Tim de mulţi ai umerele de acest ti au fost cele mai mari umere rime cuoscute. Astfel M 9 a fost descoerit de Cataldi î 588 şi a rămas cel mai mare umăr rim cuoscut tim de aroae 200 de ai âă câd Euler a descoerit că umărul M 3 este rim. Acesta a stabilit recordul etru u secol âă câd Lucas a arătat că M 27 (care are 39 cifre) este rim, şi a rămas cel mai mare umăr rim cuoscut âă î era calculatoarelor electroice = 2 27 = 2 ^ (2 ^ (2 ^ (2 ^ 2-) -) -) -, este umăr rim Mersee M 27, e care Édouard Lucas l-a verificat tim de 9 ai, âă î 876, ri calcule făcute maual. Este cel mai mare umăr rim descoerit fără ajutorul calculatorului. 7

6 Lucrările lui Euler au avut u mare imact asura teoriei umerelor, şi î secial asura umerelor rime. El a extis mica teoremă lui Fermat şi a itrodus fucţia idicatoare ϕ şi fucţia π. Tot el a arătat că , este comus, şi a găsit 60 de erechi de umere amiabile, duă care a cojecturat legea recirocităţii ătratice. Euler a fost rimul matematicia care a utilizat istrumete di aaliza matematică etru studierea roblemelor de teoria umerelor, fodâd astfel teoria aalitică a umerelor. El a demostrat şi că u doar seria armoică = = cu, creşte aroximativ ca şi mai let decât l(l ). [72] Ρ =, este divergetă, ci şi seria, este divergetă. Suma seriei armoice, î raort l, î tim ce suma seriei iverselor umerelor rime, î raort cu, creşte Uul ditre cele mai remarcabile rezultate rivid umerele rime a fost ublicarea, î 776 la Viea, de către Ato Felkel (740,?), u îvăţător vieez, a tabelului umerelor rime curise ître şi (Tassel aller Eifache Factore der durch 2, 3, 5 icht theilbare Zahle vo bis ). Felkel a scris mai multe tabele cu umere rime (otate ueori cu litere), î limbile germaă şi latiă, aflate astăzi, î origial sau coie, la Trezorerie imerială de la Viea, la Royal Society, la Biblioteca Graves de la Uiversitatea College, la New York Public Library, etc. Duă 776 mulţi autori care au ublicat astfel de tabele au cosultat tabelul lui Felkel, sau chiar au îtocmit aceste tabele duă cel al lui Felkel. Astfel, î aul 909 D.N. Lehmer a editat tabele î care se dau cei mai mici divizori rimi etru fiecare umăr atural , care u se divid la 2, 3, 5, 7, şi care curid şi umerele rime < , iar î 95 J.P. Kulik ( ), duă o mucă de 20 de ai, a scris tabele cu umerele rime < (î 8 volume, di care liseşte volumul 2), a căror mauscrise se ăstrează şi astăzi la Academia Austriacă de Ştiiţe di Viea, iar duă verificarea lor a alcătuit tabele de umere rime di al lea milio. C.L. Backer şi F.J. Grueberger au îtocmit, î 959, u microfilm care coţie toate umerele rime = Duă aariţia calculatoarelor electroice au fost stocate tabele cu umerele rime cosecutive âă la valoarea la care au fost cuoscute, îceâd cu rimele umere rime, ditre care rimele se găsesc şi e lik-ul: htt://rimes.utm.edu/lists/small/millios/ [06] Î 95 Miller şi Wheeler au îceut era calculatorului electroic, ri descoerirea următoarelor umere rime: M + 27, recum şi k, etru: k { 4,24,388,408,498,696,738,774,780,934,978} ( ) + = 80 ( 2 ) 80 M. Aoi, î 952, Robiso arată că umerele 52 M 2203, M, M 607, M 279, M sut rime folosid calculatoarele electroice ale vremii SWAC, cu care a descoerit rimele două umere rime î acea zi (30 iauarie). De observat fatul că î 949 O. Newma a folosit u calculator electroic, rototiul Machester (cu.024 biţi de stocare), etru a face rima îcercare de a găsi umere rime Mersee de calculator, duă u rogram a lui Ala Turig. [06] Progresele îregistrate î următorii ai au fost e măsura creşterii vitezei de lucru a calculatoarelor. M - folosid u Astfel au descoerit: Riesel M folosid aaratul suedez besk; Hurwitz M 4253 şi 4423 IBM 7090; Gillies M 9689, M 994 şi M 23 ; Tuckerma M folosid u IBM 360. [06] Cel mai mare umăr rim cuoscut a fost, aroae îtotdeaua, u umăr rim Mersee. Programul Great Iteret Mersee Prime Search (GIMPS), cu care se verifică aceste umere, a fost lasat î 996 de George Woltma. Toate recordurile obţiute cu el au ecesitat u volum eorm de lucru, deus de către rogramatori, directori de roiect (GIMPS), şi zeci de mii de volutari!. [06] Numărul umerelor rime cuoscute a crescut mereu. Pâă la îceutul secolului al XX lea acest umăr era relativ mic faţă de cel cuoscut astăzi. Astfel, duă 909 se cuoşteau umerele rime <0^7, î 95 se cuoşteau umerele rime âă la al milio, î 985 H. C. Wiliams şi H. Dumbar arată că umărul 03 este rim, iar î 2000 N. Hayratwala, lucrâd simulta cu mai mult de de calculatoare, de e îtreg globul, a obţiut umărul rim de este cifre , fiid cel mai mare umăr rim cuoscut la acea dată. Actualmete se cuosc mai mult de 0 2 de umerele rime, âă la cele de 26 de cifre. Câd vom avea u umăr rim de u miliard de cifre? Duă estimările GIMP: u umăr rim de de cifre vom cuoaşte âă î aul 205, iar uul de de cifre âă î

7 Pâă î 2005 au fost descoerite 42 de umere rime Mersee. Cel mai mare era M , care are cifre, iar acum cuoaştem 48 umere rime Mersee, cel mai mare umăr rim cuoscut fiid: = de de cifre, aoi de , de cifre. [06] La rima vedere umerele rime ar a fi distribuite, ître umerele aturale, îtr-u mod haotic. De exemlu î rimele 00 de umere aturale, imediat îaite de 7 0, sut 9 umere rime, î tim ce î 7 0, există doar 2 umere rime. Cu toate acestea, e o scară largă, rimele 00 de umere aturale de duă modul î care sut distribuite umerele rime este foarte regulat. Legedre şi Gauss, au lăsat lucrări rivid desitatea umerelor rime, ajugâd la cocluzia că, etru suficiet de mare, desitatea umerelor rime, î aroierea lui, are robabilitatea de aroximativ umerelor rime ) este: ( ) = l, Legedre a dat o estimare că ( ) l π, iar estimarea lui Gauss este π ( ) = π (umărul dt t 2 l. Gauss a utilizat tabelul Vega a umerelor rime âă la etru a se covige că distribuţia acestora ritre umerele aturale este ivers roorţioală cu logaritmul lor atural. Afirmaţia că desitatea umerelor rime este:, este cuoscută ca teorema distribuţiei umerelor rime. Îcercările de a o dovedi au cotiuat de-a lugul secolului al XIX lea. Progrese otabile fiid realizate de Chebyshev şi Riema, care a emis ioteza desre zerourile di laul comlex a fucţiei zeta. Rezultatul a fost demostrat (folosid metode di aaliza comlexă), de către Hadamard şi De la Vallee Poussi î 896. Î 984 Samuel Yates a defiit ca fiid u umere rime titaice (mari) e acelea care au cel uţi.000 de cifre. Câd a itrodus acest terme au existat doar 0 astfel de umere rime cuoscute, iar acum există de cel uţi 000 de ori mai multe, şi umărul lor va cotiua să crească e măsura creşterii erformaţelor tehicii de calcul. Î curâd vom avea rimele 0 30 umere rime. Mai sut îcă multe îtrebări deschise (uele ditre ele datâd de sute de ai), referitoare la umerele rime. Uele ditre acestea sut: există o ifiitate de umere rime gemee?; fiecare umăr atural mai mare decât 2 oate fi scris ca sumă a două umere rime?; există o ifiitate de umere rime de forma 2 ±?; există o ifiitate de umere rime rimoriale?; există o ifiitate de umere rime factoriale?; există şiruri, cum ar fi şirurile lui Fiboacci şi Lucas, coţie o ifiitate de umere rime?; etc. Cel mai mare umăr rim cuoscut a fost aroae îtotdeaua u umăr rim Mersee. Ele sut date M, care are acum de către GIMPS, care î lua august 2008 da al 45-lea umăr rim Mersee: de cifre, duă care, î setembrie 2008 e cel de al 46-lea umă rim Mesee: M Ditre cele mai remarcabile rezultate, rivid umerele rime, ale matematicieilor româi, amitim: A. G. Ioachimescu o regulă de formare a resturilor uterilor lui A Ν ri umăr rim şi uele rorietăţi ale acestor resturi; A. Simioov o demostraţie simlă a fatului că ître x şi există cel uţi u umăr rim, o ouă demostraţie etru seria iverselor umerelor rime, geeralizarea teoremei lui Wilso stabilid relaţia ( m )! ( m)! ( ) m ( mod ) etru orice rim şi m ; Gr. Zaa idicatoarea lui Euler; I. Liteş asuta idicatoarei lui Euler şi a legăturii ei cu umărul divizorilor uui umăr, idicatoare de ordi suerior; S. Saielevici o geeralizare a teoremei lui Wilso; D. Barbilia o demostraţie a ifiităţii umerelor rime; T. Poovici idicatoare de ti suerior găsid umărul idicatoarelor uui umăr, distribuţia umerelor rime; Gh. Călugăreau uele rorietăţi ale umerelor rime; E. Rusu umere rime î coruri ătratice; M. Ţea - cojecturi rivid umerele rime; D. Adrica ioteza, ( ) Ν * + < Studiul umerelor rime, ca şi arte a studiului teoriei umerelor, s-a făcut îcă di atichitate, datorită rorietăţile acestor umere. Dezvoltarea acestui caitol al teoriei umerelor a evoluat odată cu dezvoltarea disciliei aarţiătoare, şi a fost, î mare, exusă mai sus. Neavâd o istorie a reocuărilor matematicieilor l e 2 x 9

8 româi î ceea ce riveşte teoria umerelor şi umerele rime, am îcercat, di bibliografia cosultată, să redau foarte e scurt, uele rezultate cuoscute. Î rocuările sale, marele matematicia româ Jaós Bolyai ( ), s-a alecat şi asura multor robleme legate de teoria umerelor, şi de umerele rime. Astfel, el este uul ditre rimii matematiciei care a îcercat să demostreze reciroca micii teoreme a lui Fermat, ajugâd la cocluzia că u este adevărată, costruid mai multe cotra exemle, ca ( mod34) q oare u există o cogrueţă de forma 2 ( mod q) 2 q ( modq) şi 2 ( mod ) q umere ca 34. Relaţia 2 ( mod q) 2 340, ude 34 = 3. Bolyai şi-a us îtrebarea:, ude şi q sut umere rime?. Obţie că dacă, atuci are loc rima cogrueţă, duă care ri îcercări ajuge la a fost aoi descoerită şi de J.H. Jeas ( ). Tot el a demostrat teorema lui Fermat: umerele rime de forma = 4 k + se ot rezeta ca sumă de două ătrate. Prima demostraţie a teoremei a dat-o Euler, dar Bolyai foloseşte îtregii lui Gauss, scurtâd foarte mult demostraţia. Preocuări îsemate au avut I. Creagă, C. P. Poovici, E. Rusu şi alţii care e-au lăsat lucrări de o deosebită valoare, recum şi I. Cucurezeau care e-a dat rima culegere de robleme de teoria umerelor, bazată î mare arte e reocuările rorii, recum şi teorema că ître 2 şi 3 există cel uţi u umăr rim, şi uele geeralizări ale teoremelor lui Liouville, Clemet, Pomeiu, robleme de cogrueţă şi divizibilitate, rodusul şi umărul umerelor rime mai mici sau egale cu u umăr atural, etc. Traia Lalescu, care s-a ocuat de rerezetarea umerelor ri forme ătratice de determiat dat, robleme de divizibilitate, sumarea factorialelor, etc., a codiderat că teoria umerelor are atru etae: âă la Diofat; de la Diofat la Fermat; de la Fermat la Gauss; duă Gauss. Da Barbilia s-a ocuat de teorema lui Euclid cu rivire la ifiitatea umerelor rime, Tiberiu Poovici de distribuţia umerelor rime, iar Euge Rusu s-a ocuat de roblema umerelor rime şi edecomozabile î coruri ătratice. Alţi autori româi e-au lăsat uele culegeri de robleme de teoria umerelor şi umere rime, ca: T. Adreescu şi D. Adrica; P. Asaftei; I. Cucurezeau; C. Ioescu-Ţiu; R. P. Mărculescu; L. Paaitool; etc. Tot aici trebuie amitiţi şi colaboratorii uor ublicaţii ca Gazeta Matematică, Revista de matematică di Timişoara, Revista de matematică etru elevi, Galaţi, etc., recum şi toţi autorii de robleme şi studii rivid teoria umerelor şi a umerele rime, aărute î diverse ublicaţii. 0