1. Istoria Matematicii

Transcription

1

2

3 - ISTORIA MATEMATICII - Orice drum i lege, urmeză-l cu totă iim Cofucius (cc îe) Istori Mtemticii Gheorghe Lzăr şi Gheorghe Aschi, ctitorii îvăţămâtului româesc Adri St, Buzău Gheorghe Lzăr ( cc 978) fiu de ţăr, s- ăscut l Avrig î judeţul Sibiu Studiile licele şi le fce l Sibiu şi Cluj urmâd c poi să i cursuri de drept, teologie, filozofie şi ştiiţe, dovedid de tâăr o pregătire ecepţiolă î multe domeii Di meditţiile pe cre le dă l germă reuşeşte să se îtreţiă Î 86, plecă cu o bursă l Vie petru studi teologi, dr pritre ltele el udiză şi cursuri de drept, filozofie, litertură, mtemtică şi mediciă Di 8, îtors l Sibiu el devie profesor l Semirul Episcopl Ortodo Pe prcursul câtorv i (89-85) re prte de o serie de coflicte cu utorităţile bisericeşti de l cel mi îlt ivel, mitropolit, episcop, cre fie u l-u mi sprijiit să urmeze cursurile l Vie, fie s-u opus c el să obţiă postul de episcop l Ardului, şi o dtă şi cu destituire lui c profesor, se hotărăşte să plece l Bucureşti Aici, pri fucţiile pe cre le vut ve să-şi dedice îtreg viţă îtemeierii şi dezvoltării îvăţămâtului româesc ţiol, dezvoltării culturii şi ştiiţei î limb româă Î 87, i se dtoreză itroducere l şcol româescă de l Sf Gheorghe uui curs de ritmetică şi geometrie urmâd c î 88 să solicite Divului- u fel de guver l vremii, să itroducă predre filozofiei şi mtemticii î limb româă Astfel că, domitorul Io Gh Crge probă l 4 mrtie 88 îfiiţre primei şcoli superiore româeşti ce ve să se deschidă î lu ugust, î loclul de l Sf Sv Gheorghe Lzăr devie director şi lături de lţi colegi profesori pritre cre şi mtemticiul Petrche Poeru u dezvoltt u progrm de studii îdreptte cu prioritte către limb româă, istori ţiolă şi mtemtic El îsuşi pred mtemtic şi susţie prelegeri l filozofie Adept l mişcării ilumiiste şi filozofiei lui Kt, Gheorghe Lzăr s- plect şi supr pregătirii viitorilor profesori şi isistâd pe lâgă Efori Scolelor reuşit să-i trimită pe uii î străiătte cu bursă A publict o serie de cursuri şi mule iclusiv de mtemtică, fiid origil dr preluâd di cultur germă multe cuoştiţe l cre itrodus petru prim dtă termiologiile de specilitte î limb româă Î 8 itroduce î limb româă termiologi de sius şi cosius A prticipt ctiv l revoluţi de l 8 lui Tudor Vldimirescu Visul său de propăşire culturii şi ştiiţei româe cre să îlăture supririle socile şi icultur ţiolă reprezett u îdem petru geerţiile următore, cre pregătite î spirit ilumiist de profesorii formţi de Gh Lzăr, u dus l revoluţi pşoptistă di 848 Î cocluzie, Gheorghe Lzăr c teolog, igier, ortor, scriitor, profesor reprezett îtemeietorul şcolii româeşti superiore şi culturii modere î Ţr Româescă

4 - ISTORIA MATEMATICII - Gheorghe Aschi ( ) ăscut î ţiutul Herţ (cum î Ucri ), er fiu de popă şi beeficit de o educţie î spiritul curetului ilumiist l vremii dtorită ttălui său cre ve preocupări culturle Studiile şcolre iclusiv fcultte î domeiul filozofiei, literturii şi ştiiţelor le- făcut l Lviv (Lwow), stăzi, u orş î Ucri Î 85 plecă l Vie împreuă cu frtele său petru -şi cotiu studiile dr şi petru se îgriji de săătte s Aici studiză mtemtic cu profesorul J T Burg, după cre î loc să se îtorcă csă plecă l Rom ude este trs de rtă î specil de pictură Cotctul cu Itli îi formeză crcterul umist Este iterest de studiul rtelor plstice, de rheologie, de litertură şi poezi europeă, deveid membru l Societăţii literre itliee Cuoşte tumultul vieţii politice itliee şi lupt petru libertte, cee ce îi trezeşte iteresul coştiiţei ţiole şi dezvoltre setimetelor ptriotice Cei câţiv i petrecuţi î Europ l-u jutt să cuoscă itli, lti, germ, polo, eglez, frcez şi rus Î 8 se îtorce î ţră şi prticipă l viţ culturlă fiid promotorul cestei Ître 8-88, îfiiţeză pe lâgă Şcol Domescă de limb grecă, o clsă petru pregătire de igieri Acest er prim clsă î cre se studi mtemtic, geodezi, rhitectur î limb româă, el îsuşi predâd ici disciplie după mule relizte de el Dtorită lui, î 84 se desfăşoră primul curs de drept l Işi Di 8 şi pâă î 849 ocupă fucţii importte î frute îvăţămâtului drept petru cre este procupt de îfiiţre cât mi multor şcoli cu profesori bie pregătiţi şi de itroducere uor progrme de studiu susţiute de mule cât mi bue Î 8 e umit reprezett diplomtic l Vie pâă î 87 cîd se îtorce î ţră şi pri străduiţ s i fiiţă î 8 mrtie 88 Şcol Normlă şi Gimziul î limb româă de l Trei Ierrhi di Işi Îcepâd cu 89, Aschi editeză revist Albi româescă, cre, pritre ltele, promoveză iclusiv ştiiţ Nu este sigur revistă l cre lucreză Codus de spiritul ilumiist, el coduce şi editeză forte multe publicţii cu deschidere către tote spectele vieţii culturl - ştiiţifice: litertură, rtă, rheologie, geogrfie, istorie, ecoomie Fce prte di delegţi cre relizt Regulmetul Orgic şi cre l- prezett î 8 l Petersburg, împărtului rus U rol ecepţiol l- vut î îfiiţre l 6 iuie 85 primei istituţii de îvăţămât superior di Moldov, umită Acdemi Mihăileă O dtă cu dezvoltre culturlă şi ecoomică promoveză îfiiţre cât mi multe şcoli săteşti şi itroduce şcolile de rte şi meşteşuguri, î 84 Î 848, di păcte, ideile pşoptiste le geerţiei mi tiere u le îţelege şi păstreză distţă fţă de itelectulitte gruptă î jurul Dciei literre Uire Priciptelor (859) îl găseşte pe Aschi pe poziţii diferite fţă de cei cre doreu uire După 85, Aschi se dedică î pricipl publicării umeroselor sle opere: poezii, soete, ode, liric filozofică, uvele, sciţe, fbule, drme Trduce forte mult di litertur itliă, germă dr şi rusă Aschi pote fi cosidert pe drept cuvât u spirit eciclopedic l vremii dtorită plecării lui fţă de tote zoele culturii şi ştiiţei, pri relizre uor opere literre şi ştiiţifice, dr petru îfiiţre primelor clse şi şcoli cu predre î limb româă, petru dezvoltre îvăţămâtului puâdu-l pe o bză solidă, orgizt şi oriett către spectele prctice le vieţii, se cosideră că Gheorghe Aschi este ctitorul îvăţămâtului româesc Î memori celor doi, multe şcoli, licee şi fcultăţi di Româi şi Republic Moldov, portă umele lor Pe 5 iuie de ziu de ştere lui Gheorhe Lzăr, c u omgiu dus lui, se sărbătoreşte Ziu Ivăţătorului Bibliogrfie: Dicţiorul Literturii Româe de l origii pâă l 9 Editur Acdemieie Româe Bucureşti 979 Prof Liceul Tehologic Costi Neitescu Buzău

5 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - Sigurul mod de reliz lucruri miute e să iubeşti cee ce fci Steve Jobs (955-) Articole si ote mtemtice Modele plictive petru clculul primitivelor uor fucţii cu jutorul formulei de itegrre pri părţi IV Prof Ele şi Costti Ciobîcă, Fălticei Lucrre cotiuă mterilul publict î umerele trecute privid metode de clcul l primitevelor utilizâd itegrre pri părţi Î cdrul modelului IV) vem câtev tipuri de itegrle: P s s s s, s, i,, s, : Fie i ) log d ;,, P * b) log bd;,, b N, P * c) P log cd;,, c R, c * d) Plog log log d, ;, i N, i, ; e) u ' ' u log u d, D u D u ;,, u : D cotiuă ; u, D ' f) u' v u v' log u vd, D D u fucţie derivbilă cu derivt u ; Ude fucţiile, : derivbile cu derivtele cotiue; v, D;, ' u u g) v v u cotiuă; v cotiuă, u u v D sut ' log d, Du D u,,, u, v : D fucţii derivbile cu derivt, v, D h) ' u ' log u d, Du D u;, ; u : D u, D Eemple: Să se clculeze itegrlele: ) log 5, log fucţie derivbilă cu derivt ; b), ; c) lg 7, 5 ; log ' u' u log u d, Du Du ;,, u : D R fucţie derivbilă cu derivt u, D d) d; ; e) log log log d, f) cotiuă,

6 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - 4 ' u' v u v' log u vd, Du D u ; ude fucţiile u, v : D sut u v, D;, si cos log si d,, j) si log si d; g) rctg log rctg d,, h) derivbile cu derivtele cotiue; i) Rezolvre: ) log I 5 log5 log5 log5 d d d c l 5 9l 5 b) I log d log d log d l 5 log 5 l 5 d l 5 d log c 5 4l5 l5 I d d d l lg 7 d d l 7 c l l 9l l c) lg 7 lg 7 lg 7 I d d c d) log log log 4l I log log log d log log log d g log log log, tuci e) Cum g' l l l l de ori I log log log d l 5 log log log c l l I u u f) u ' u log ud log u u d l u g) u u log log I u u u d u u c l 4l rctg rctg log rctg d rctg log rctg rctg d rctg 4 4 4l I

7 I f rctg rctg rctg 4 h) I - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - I I f rctg rctg d rctg 4 rctg g log rctg g ' rctg l I rctg log rctg rctg c 4 8l u v u v u v d u v u v u v c ; f g ' ' log log l ' ' ' ' u v u v u v f u v ' ' u v log u v g u v l si si cos log si d si log si c l ' f si cos f si cos d i) f cos cos d cos si' d cos si cos si Aplicâd eemplul (g) ude: u, v si ' ' si f g log si g' si l si l j) si log si log si log si si l d u u u c l c ' ude u si u si si cos si ' Profesori, Colegiul Vsile Loviescu, Fălticei Despre Limb româă, Sttistică, şi lte câtev lucruri importte Diel Văcru, Piteşti Motto: Ghicitore populră: Ci' le pşte, le cuoşte! Răspus: Literele I Hideţi să cosiderăm o propoziţie simplă, î limb româă : A re mere Primul lucru l cre e gâdim este să împărţim propoziţi, cre, deşi scurtă, este mre petru oi, fiid l îceput Petru cei mi vsţi ditre voi, este bie să e gâdim l u mesj Vă propu să îcepem cu prte di mesj cre este ce mi mre Evidet, e este cuvâtul Sut dor trei Ce putem ore oi fce cu dor trei cuvite? Să vedem Ce este comu cestor cuvite, si mesjului di ele? Că este scris î limb româă Mrcăm cestă iformtie c fiid u bu câştigt Să trecem l ce le deosebeşte A este ume propriu, de femeie re reprezită o stre, este u verb, ir mere este tot u ume (Substtiv), dr, emiîcepâd cu literă mre, este u Substtiv Comu Au itrt î sceă iste persoe le uei piese de tetru, ume, Substtivul Propriu (Scrlt Popescu), Verbul (Visătorul relist), Substtivul Comu (Săătte (re) Căpăttă)

8 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - Noi, l MATEMATICĂ, umim multime {A, re, mere}, popultie sttistică, cuvitelor mesjului studit, şi chir şi u prim tbel sttistic [i-ş spue tbelş (cci u e împliit, complet)], ume Substtiv Verb Substtiv Comu Propriu A re mere Î cotiure, să detliem spectele mi pe lrg Să e referim mi îtâi l cele două substtive Este clr că le defieşte c părti de vorbire fucţi pe cre o u î propozitie A este scrisă cu literă mre, se v umi Subiect; merele ( părut şi u Articol; cum, desigur, ştiţi, Hotărât, si subliit, dr u vem timp decât de o Notă(e dej ltă poveste; vie Moş Crăciu, iscusit, m uzit!)):cum ştiţi, î umite lăzi, sut mici şi multe, ir î ltele sut mri, frumose, dr puţie Acest e duce mite, ître oi (filosofii) de mtemticiul, pote şi filosof, Guss (KF, pe umele său), cre zice puc, sed mtur, dică putie, dr împliite, bue, mture ; reveid l mere, bue, săătose, zemose Svurâd î gâd merele, şi reveid l fucţii, observăm că legătur ître mere şi A trece pri re, hotărâtor fiid re Este bie cum să-i dăm fucţie lui re Î propoziţie, cele două cuvite A şi re sut lăturte, şi mâdouă priciple Dej vorbim despre Subiect şi Predict Cum merele sut legte de predict (cum, c l-m umit, (defiit, desigur), scos î evideţ, re liter mică), observăm că u putem spue dor A re, că-i puţi, u e împliită propoziţi, mesjul; vom spue cum că vem Complemet direct, căci e şezt, subordot predictului Acum putem împlii tbelul ostru sttistic stfel A re mere Substtiv propriu Verb Substtiv comu Subiect Predict Complemet Direct şi ită, î cest tbel sttistic scurt despre cre vorbim vem, dej, dute, populţi sttistică, mulţime{a, re, mere}, şi două crcteristici, ume fucţi morfologică şi ce sitctică Mărturisesc că mi m dus mite, de curâd, de Jules Vere O crte miută, pe cre v o recomd cu căldură, este 8 de leghe pe Amzo Bogt documettă, re şi o poveste poliţisto - judiciră pri e, di cre persol m remrct cev şi importt, şi iterest Voi îcerc să vă spu câte cev despre cest, împletid (u împleticid) LINGVISTICA cu TEORIA CODURILOR Vom folosi tot propoziţi A re mere Să fcem prezetările Persojele sut literele, vom ve u bl (msct), şi poi vom îcerc să vedem dcă blul se pote îchei cum trebuie (Jos msc) Vom folosi tot tbelul (vedeţi, e tât de importt, şi totuşi, simplu) ă ă b c d e f g h i j k l m o p r s ş t ţ u v w y z Am găsit stfel o corespodeţă (ltfel zis, o fucţie bijectivă) cu surs (izvorul) mulţime literelor di lfbetul româesc şi dres mulţime umerelor turle, cu uele restricţii; sut umerele turle şi 9, descrisă de corespodeţ bijectivă, ilustrtă mi sus, pri tbelul dej dt Regul de mscre este forte simplă, se i liter, se coboră î jos (î tbel), se găseşte poziţi î lfbet, se măreşte cu, poi se revie î mtc iiţilă (î tbel, fireşte!) şi se găseşte ou literă

9 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - Folosid cestă procedură, liter se trsformă î ă (mre su mic), e trece î f Aceste sut voclele di limb româă L cosoe, fiid mi multe, vem corespodeţele m, o, r s Acum o să scriem mesjul despărţit, spicuit, ş A r e m e r e Ă o ă ă s f f s f Mesjul codt r răt stfel Ăoă ăsf fsf Noi, vâd regul, ştim cum să e comportăm, să scotem măştile E uşor, mergeţi ivers, de jos î sus Dr dcă u mi vem puzele di scriere, firesc, e mi greu Asupr uor ieglităţi î triughi Vsile Jiglău, Ard Î triughiul orecre ABC otăm cu R, r rzele cercurilor circumscris, respectiv îscris şi cu m, l lugimile mediei, respectiv bisectorei ferete lturii = BC, etc Să se demostreze că : ) R m mb mc R l lb ; b ) r mb mc m r lb l Soluţie : R m mc mb m mc mb ) Rescriem ieglitte di euţ sub form r mmb mc () R Să demostrăm mi îtâi că r si () ude pri m ott ughiul lui Brocrd l triughiului ABC Utilizâd substituţiile p, y p b, z p c şi formul si S b ( [], 76) () ieglitte () devie : R b ( y) Rp b ( y z) ( y) ( z) r rp 4 yz( y z) y z, ieglitte cre rezultă imedit di ( y) 4y 4 yz ( y) 4 y ( y) şi logele sle c b c Să demostrăm cum că (4) si bc Utilizâd (), (4) devie echivletă cu 4S bc 4S 4RS Dr b c b c R b c (5) c c ( )( c ) coform ieglităţii lui Cuchy-Buikowski, stfel că e suficiet să rătăm că ( )( ) c R b, fpt cre se reduce l biecuoscut ieglitte 9R

10 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - Pe de ltă prte, triughiul formt de m, mb, m c ( fptul că cest triughi eistă este biecuoscut şi se demostreză fără dificultte ) este echibrocrdi cu triughiul ABC ( rezultt cuoscut - se vede de eemplu [] pg 5-6 ; şi cest fpt se pote demostr uşor folosid formul cre dă lugime mediei ferete lturii uui triughi, şi ()) Notâd cu ughiul lui Brocrd feret cestui şi plicâd succesiv m R m mc mb m mc mb (), poi (4 ), vom ve :, de ude rezultă ieglitte r si sim mmb mc di euţ Geerlizre : Fie A BC, A BC două triughiuri echibrocrdiee Atuci, cu otţiile uzule î triughi R b c : Demostrţi urmeză celşi curs c mi sus r b c bcp( p ) b ) Utilizăm formul : l () b c Di () rezultă imedit, coform ieglităţii mediilor, că l p( p ) () Di () rezultă că l l p( p ) p( p b) p( p p b) pc, deci că b l lb l lb pc () l l l l l l b b b pc pc pcb 4rRp R Dr l l b h h b, deci llb hhb 4S 4r p r (4) S S-u utilizt succesiv biecuoscutele formule h, bc 4RS si S rp Di () şi (4) rezultă cocluzi di euţul problemei Referiţe bibliogrfice : [] Miu IC Câtev probleme de mtemtică, Criov, 994 [] Vod V Triughiul rigul cu trei colturi, Ed Albtros, 979 [] Llescu T Geometri triughiului Ştiţi că primul clcultor mecic comple cre făce operţiile de dure şi scădere fost relizt î 64 de către cel cre ve să fie umit copilul miue l mtemticii şi ume, Blise Pscl Îite cu câţiv i, germul Wilhelm Schickrd creeză î 6 u clcultor simplu cre folose roţile diţte şi cre l- jutt pe Johes Kepler l clculele sle stroomice Î 67, Leibiz iveteză u clcultor mecic et superior celui ivett de Pscl, vâd c pricipiu de fucţiore, folosire bzei şi u celei î bz, tehică ce ve să ste l bz costruirii clcultorelor electroice di sec l IX-le Er o mşiă de clcult cre efectu cele ptru operţii şi cre pute să etrgă şi rădăci pătrtă, Chrles Bbbge(79-87) este cosidert păritele computerului progrmbil Mtemtici şi ivettor eglez, Bbbge cret î ul 8, coceptul de motor litic, ivetâd primul clcultor di istorie cre teoretic pute să fie progrmt cu jutorul crtelelor perforte El u şi- termit oper s, dr igierii u costruit î 99 după schiţele sle u clcultor cre făce operţii cu rezultte cu de cifre U rol importt l- vut şi discipol s, Ad Lovelce cre şi- dus o mre cotribuţie l iiţiere î crere primelor progrme de clcultor

11 - ARTICOLE SI NOTE MATEMATICE - Profesorul Dumitru Bătieţu-Giurgiu l 8 de i de Mihály Becze şi Neculi Stciu Dumitru M Bătieţu-Giurgiu se şte l 7 iurie 96, î comu Pietroşi, judeţul Vlşc ude urmeză cursurile Şcolii Geerle; poi pe cele le Colegiului Nţiol Io Miorescu di Giurgiu Î tom ului 96, devie studet l Uiversităţii di Bucureşti, Fcultte de Mtemtică (specilizre liză mtemtică) A fost sistet uiversitr l ctedr de Mtemtică Istitutului Politehic Gheorghe Aschi di Işi ( ); cercetător ştiiţific l Istitutul de Cercetări Forestiere di Bucureşti (968-97); sistet uiversitr l ctedr de mtemtică-fizică Istitutului Agroomic Nicole Bălcescu di Bucureşti (97-97); profesor l Colegiul Nţiol Io Cregă di Bucureşti ( ) şi l Colegiul Nţiol Mtei Bsrb di Bucureşti ( ; 989-) S- ocupt de: şirul lui Llescu, itroducâd diferite etideri şi coceptele de fucţii Llescu şi fucţii Euler-Llescu; şirul lui Iochimescu, itroducâd oţiue de costtă de tip Iochimescu, şirurile de tip Euler-Iochimescu şi geerlizări le şirului Iochimescu; şirul lui Ghermăescu şi costte Euler-Ghermăescu Activitte ştiiţifică domului profesor DM Bătieţu-Giurgiu este etrem de bogtă şi vrită pri lucrări de referiţă, rticole şi studii, cărţi publicte, ote şi mterile didctice A făcut şi fce prte di redcţiile mi multor reviste ţiole şi iterţiole A prticipt şi şi- prezett rezulttele cercetărilor ştiiţifice l Coferiţe, Simpozioe şi Sesiui de comuicări ştiiţifice iterţiole şi ţiole De- lugul crierei sle, fost oort cu umerose medlii şi diplome Nu putem îchei modest prezetre ctivităţii profesorului DM Bătieţu-Giurgiu fără fce o scurtă trimitere l soţi domiei sle, l dom profesor uiversitr Mri Bătieţu-Giurgiu, cre l- susţiut fără codiţii şi limite creîdu-i libertte depliă î ctivitte profesiolă L fil, oi cre m stt î prejm profesorului cev mi mult şi de l cre m vut multe de îvăţt, îi dorim multă săătte, bucurii, e plecăm respectuos, mulţumidu-i şi urîdu-i di suflet L mulţi i şi succes î cotiure!

12 - PROBLEME REZOLVATE - Câd pierzi, i grijă să u pierzi lecţi Dli Lm Tezi Gytso- The 4th Dli Lm Probleme rezolvte Îvăţămât primr P:6 Aflţi umerele turle bb stfel c bb b b 96 Nicole Ivăşchescu, Cd Rezolvre: Eglitte dtă se mi scrie b b ( b ) ( b) 96 su b 96 Sigurile vlori cre se pot d sut = şi poi b = 7 Aşdr, bb 77 P:6 Petru u pi m plătit cu lei mi puţi decât pe u stilou Cât costă u pi şi cât costă o crte dcă pe trei piuri şi două stilouri m plătit 49 lei? Nicole Ivăşchescu, Cd Rezolvre: Notăm cu preţul uui pi, tuci u stilou costă + Î totl, s- plătit ( ) 49 De ici se obţie că 5 5 dică = 5 Aşdr, u pi costă 5 lei, ir o crte costă 7 lei P:6 Două bucăţi de stofă u 54 m şi m Di prim buctă se fc cu 7 costume mi mult decât di dou Câte costume s-u făcut di cele două bucăţi? Vioric Rotărescu, Viorel Rotărescu, Vdu Pşii, Buzău Rezolvre: 54 m - m= m (difereţ ditre cele două bucăţi de stofă), m : 7 = m ( petru u costum) 54 m + m = 87 m (totl stofă), 87 m : m/costum = 9 costume P:64 U triughi echilterl re perimetrul eprimt pritr-u umăr pr cupris ître 6 şi 67 Ce lugime re ltur s, ştiid că cest este eprimtă pritr-u umăr turl? Adri St, Buzău Rezolvre: Fie l ltur triughiului Atuci perimetrul său este l 6 l 67, rezultă l este pr dică l 6,64,66 Rezultă, l trebuie să fie pr c l să fie pr, şdr, l = P:65 Câte umere de ptru cifre u difereţ ditre prim şi ultim cifră eglă cu 6? Nicole Ivăşchescu, Cd Rezolvre: Numerele sut de form bcd cu d 6 (şi vem 4 czuri 9- = 8- = 7- = 6- = 6) şi bc, ;;;;9 Î totl, sut 4 4 de umere P:66 Sum 4 umere turle este 4 Împărţid fiecre ditre ceste umere l umărul turl, obţiem resturi egle cu su Sum tuturor cestor resturi este eglă cu 9 Determiţi cel mi mic umăr cre stisfce codiţiile di euţ DM Bătieţu-Giurgiu, Bucureşti şi Neculi Stciu, Buzău Rezolvre: Scriem prob petru fiecre împărţire cu rest, duăm şi obţiem 4 ( c c c4) 9, de ude 985 ( c c c4) Deorece şi este cel mi mic, rezultă 5

13 - PROBLEME REZOLVATE - Cls V- G:544 Justificţi că 5 + este divizibil cu Rezolvre: Utilizăm pricipiul ultimei cifre, u( ) u( ) u( ) u( 7 ), su 9 ( ) M M Io Stăescu, Buzău G:545 Sum trei umere este 47 Dc împărţim l treile umăr l primul obţiem câtul si restul 8; dcă împărţim l doile umăr l primul, obţiem câtul si restul 6; ir, dcă împărţim l treile umăr l l doile, obţiem câtul si restul Aflţi cele trei umere Cludi Pop, Buzău Rezolvre: +b+c = 47; b=+6; c=+8; c=b+ Deci, 47=+b+c=+4, de ici, = Apoi b=7, c=9 G:546 Arătţi că eistă o ifiitte de umere turle eule pătrte perfecte,, stfel îcât este cub perfect, 4 este putere ptr uui umăr turl ir 5 este putere cice uui umăr turl Crme Terheci, Ali Tige, Criov 6 4 Rezolvre: k 5, k 6 G:547 Fie u umăr cre, împărţit l 8, dă restul 7 şi, împărţit l 5, dă restul Determiţi restul împărţirii umărului l 4 Costti Apostol, Rm Sărt Rezolvre: Utilizâd teorem împărţirii cu rest petru umere turle, obţiem 8c 7, () şi 5c, () ude m ott cu c şi c, câturile celor două împărţiri 5c 4 8c 7c 4 7c 4 Di 8c 7 5c c c c c Dr, c,c, c 4 c {4,,, }, dică, c 4 8k, k 8 Îlocuid c î eglitte (), 5(4 8k) k 7 () Prelucrăm relţi () : 45k 4 4(5k ), cee ce pue î evideţă că împărţid umărul l 4, se obţie câtul 5k şi restul G:548 Ştiid că 4 b =cd, rătţi că umerele de form bcd se divid cu şi cu 8 Mri Simio, Rm Sărt Rezolvre: Numărul bcd se pote scrie : bcd = b +cd ; dr 4 b = cd bcd = b + 4 b =4 b Deorece 4= 8 bcd şi bcd 8, căci şi 8 sut divizorii umărului G:549 Să se demostreze că 7 4, N 4 4 Rezolvre: Avem 7 4 (5 ) Gheorghe Ghiţă, Buzău = M 4 (5 4 6) ( 4 6) M 4 M 4 6 M 4 6 M 4 şi tuci umărul dt se divide l 4 Altfel, se pote utiliz fptul că 96 M(96 ) M4

14 - EXAMENE ŞI CONCURSURI - G:55 Arătţi că eistă o ifiitte de pătrte perfecte cre se pot scrie c sumă de 5 cuburi perfecte şi o ifiitte de cuburi perfecte cre se pot scrie c sumă de 5 pătrte perfecte DM Bătieţu-Giurgiu, Bucureşti şi Neculi Stciu, Buzău Rezolvre Cum , *, tuci, eistă o ifiitte de pătrte perfecte cre se pot scrie c sumă de 5 cuburi perfecte Petru orice umăr turl eul vem , deci eistă o ifiitte de cuburi perfecte cre se pot scrie c sumă de sumă de 5 pătrte perfecte G:55 Arătţi că umărul A ( ) ( ) ( ) se divide cu 5 şi de semee că se pote scrie c difereţă două pătrte perfecte Mri Mite, Cugir, Alb Rezolvre: A ( ) ( ) ( ) 5 5 ; 644 A 5 (8 7 ) 8 7 y z G:55 Aflţi umerele turle, y, z stfel îcât Nicole Ivăşchescu, Cd Rezolvre: Observăm că m pute ve eglitte umi dcă doi termei i sumei sut egli cu dică epoeţii corespuzători sut egli cu z Dcă y 5 65 z 4; Dcă y z 5 65 ; Dcă z 5 y 65 y ; G:55 Determiţi umerele turle, stfel îcât ultim cifră umărului! 96 să fie, ude!, *, şi! Doi şi Mirce Mrio Stoic, Ard Rezolvre: Observăm că dcă luăm ; ; ; ; 4, ultim cifră lui, ( ) u( ) u( 4 5 ) u(96) Aşdr, umerele sut u, ir dcă 5 tuci, 5;6;7; G:554 Să se rezolve ecuţi 4 y, ude idicii reprezită bze de umerţie Costti Diu, Buzău Rezolvre: 4 y y 4 y 6 cu, y,, y 6 Se obţie soluţi 5, y 7 G:555 Să se determie umerele de ptru cifre bc ştiid că se scriu î bz 7 c defg (7) şi că cifrele, b, c, d, e, f, g, lute îtr-o umită ordie, sut cosecutive Titu Zvoru, Comăeşti Rezolvre: Vom folosi de mi multe ori relţiile 4 7 ; ; 4 9 ; ; ; ; ; ; ; Deorece 654 ( 7), rezultă că vem două posibilităţi petru cifr : ) Nu putem ve decât d su d - Petru d deducem uşor că e şi tuci cifrele cosecutive sut,,,,4,5, 6 ; vem posibilităţile: 4 ( 7) 47 ; 5 ( 7) 48 ; 6 ( 7) 49 ; 4 ( 7) 59 ; 45 ( 7) 6 ;

15 - EXAMENE SI CONCURSURI - 46 ( 7) 6, ir îcepâd cu 5 (7) obţiem u umăr mi mre decât 66 Am obţiut soluţi 6 45 (7) - Petru d rezultă e 6 şi f 4 ; u obţiem soluţii ) Nu putem ve decât ( d 6, e ) su ( d 5, e 6) Cum 6 fg ( 7) 58 d 5, e 6 : 56 ( 7) ; 56 ( 7) ; 564 ( 7) ; 56 ( 7) 6 56 ( 7) 9 ; 564 ( 7) ; 56 ( 7) ; 56 ( 7) ; 564 ( 7) 4 ; 564 ( 7) 7 ; 564 ( 7) 8 ; 564 ( 7) 4 şi obţiem soluţi 564 (7 ) Î cocluzie vem soluţiile: 6 45 (7 ) şi 564 (7 ), rămâe dor Cls VI- G:556 Arătţi că sum S = u este pătrt perfect Cludi Pop, Buzău Rezolvre: S = 4 = ( ) De ici, u(s) =, deci S u e pătrt perfect Altfel, S, u este pătrt perfect căci u eistă pătrte perfecte cosecutive, S G:557 Determiţi cel mi mic umăr turl cre re 6 de divizori şi pritre ceşti şi 6 Dârstru Gheorghe, Buzău Rezolvre: k Numărul de divizori i umărului p p p k este N ( ) ( ) ( k ) 6 Cum 6 este u divizor l lui, tuci este de form s, ir u divizor l lui re form,,,, (4+ u divide pe 6) ; Se i fiecre elemet şi obţiem ,,,, 5,, 5, 5 Cel mi mic este 5 5 G:558 Determiţi două umere îtregi direct proporţiole cu şi, ştiid că sum pătrtelor lor este 769 Mirce Mrio Stoic, Ard y Rezolvre: Coform dtelor problemei, k k, y k ir di y 769 4k 44k 769 k 9 k ; y ; ( 6; 6),(6;6) G:559 Aflţi crdilul mulţimii A,, Nicole Ivăşchescu, Cd ( ) ( ) ( )( ) Rezolvre: Cum rezultă că ;;;, 6, 46 Atuci, crd A = G:56 Să se determie umerele bcd ştiid că umerele + b, b + c, c + sut direct proporţiole

16 - EXAMENE ŞI CONCURSURI - cu umerele d, d +, d +,cu d Gheorghe Ghiţă, Buzău b bc c Rezolvre: Di proporţiolitte directă, vem: k Rezultă de ici că, d d d b dk, b c dk k, c dk k () Pe de ltă prte, utilizâd o propriette şirului de rporte egle, vem: b bc bcb c k c, şdr, k este u umăr turl d d d d Di () vem că b c dk k, şi cum b c dk k rezultă că dk k dk k şi de k( d ) k( d ) k( d 4) ici:, b, c k( d ) k( d 4) Cum b este cifră, rezultă d, ir di c 9k( d 4) 8 Dâd vlori lui d obţiem: ) d 6k 8 k, bcd {, 46,69}; ) d k, bcd 57; ) d 4k, bcd {44;684}; 4) d 5 k, bcd 795 ; 5) d 6 k bcd 456; 6) d 8 k bcd 568; 7) d { 7,9} bcd I coluzie bcd {;44;46;456;57;568;69;684;795 } G:56 Bisectorele ughiuri dicete formeză u ughi de Măsur uui ughi este pătrtul măsurii celuillt Aflţi măsurile ughiurilor Io Stăescu, Buzău Rezolvre: Notăm cu măsur primului ughi Atuci, + = 4 (+)=4, = 5 Aşdr primul ughi re măsur de 5 ; Celăllt de 5 u pote fi cosidert ughi căci ughiurile u măsur mi mică de 8 G:56 Să se determie măsurile două ughiuri complemetre, ştiid că sut direct proporţiole respectiv cu măsurile complemetului şi suplemetului lor Mri Simio, Rm Sărt Rezolvre: Fie şi 9 - măsurile două ughiuri complemetre 9 - este complemetul lui şi 8 - (9 -) = 9 este suplemetul ughiului cu măsur 9 Deorece ;9 sut direct proporţiole cu ; Di proporţi 9 obţiem = 9, deci = 9, de ude = Astfel ughiurile căutte u şi respectiv 6 G:56 Î ABC se du AB=5 cm, AC= cm, BC= cm, ir pe ltur BC se iu puctele M, N stfel îcât BM= cm, CN=8 cm Aflţi măsur ughiului MAN Mri Mite, Cugir, Alb Rezolvre: Coform reciprocei Teoremei lui Pitgor, triughiul ABC este dreptughic î A şi deci m( BAC) 9 ir m( B) m( C) 9 Avem MN=BC-BM-NC=--8=4 cm, ir poi BN=BM+MN=+4=5 cm şi MC=MN+CN=4+8= cm Î BAN vem AB=BN=5 cm, tuci triughiul este isoscel şi pri urmre BAN BNA, ir

17 - PROBLEME REZOLVATE - m( B) ( ) 8 m BAN () Î CAM vem AC=MC=cm, tuci triughiul este isoscel şi pri urmre CAM CMA, ir Aduăm relţiile () şi () şi obţiem: m( C) ( ) 8 m CAM () m( B) m( C) m( BAN) m( CAM ) 6 () Îsă m BAN m CAM m BAN m CAN m MAN m BAC m MAN m MAN ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ) şi cum m( B) m( C) 9, îlocuid î relţi () obţiem: 9 +[9 + m( MAN )]=6, de ude m( MAN ) 45 G:564 Determiţi măsur ughiului BAC l triughiului ABC, ştiid că sut îdepliite codiţiile: ) [AB] [AC] ; b) D, E (BC) şi [BD] [DE] [EC] ; c) m(dae) m(bad) m(eac) Costti Apostol, Rm Sărt Rezolvre: Di dtele problemei, rezultă ADB AEC (ULU); [AD] [AE] Fie F, mijlocul lturii [BC]; deducem că [AF] este, şi mediă, şi bisectore î triughiul ABC Deducem că [DF] [FE] şi DAF EAF Dcă G este simetricul lui E, fţă de drept AC, AFE AHE AHG, (ude H este puctul de itersecţie dreptelor AC şi EG), fiid dreptughice şi relizâdu-se czul IU Rezultă că [DF] [FE] [EH] [HG] şi [EC] [GC] ; [DE] [EG] [EC] ; Obţiem că triughiul ECG este echilterl, deci, m(acb), şdr, m(bac) Cls VII- G:565 Rezolvţi î ecuţi yz y z Costti Rusu, Râmicu Sărt Rezolvre: ) Dcă y z, ecuţi devie şi obţiem soluţi (,,) ) Dcă y z vem de rezolvt ecuţi y y, 4 4 k k 4 4 ( k )( k ) 4, de ude obţiem di ou soluţi (,,) ) Fie y z Cosiderăm cele mi mici umere y şi z cre verifică ecuţi, tuci ( )( ), şi se obţie uşor soluţi (,,) 4) Dcă y z, u obţiem soluţii petru că yz y z deorece coform czului ce mi mic vlore lui petru cre vem soluţii este Î cocluzie soluţiile sut (,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,) G:566 Arătţi că dcă sum două umere pozitive este u umăr pr, tuci vlore mimă produsului lor este pătrtul jumătăţii sumei lor Adrei Octvi Dobre, Ploieşti Rezolvre: Fie y k, k Atuci, y k ir y ( k ) k ( k) k, m( y) k y k, G:567 m y k k ) Ştiid că şi m sut umere turle şi că 4() m 4(m) 8, rătţi că

18 - PROBLEME REZOLVATE - b) Arătţi că ecuţiile cu ecuoscut, ude, cre se obţi di eglitte dtă, dcă m su m, sut echivlete Costti Apostol, Rm Sărt Rezolvre: ) Eglitte dtă se scrie, echivlet, stfel : 4 4 m 4m 4 8 m 4( m) ( m)( m) 4( m) ( m)( m 4) Deducem următorele czuri : I) Dcă m, m ; II) Dcă m 4 m 4, rezultă că m Di I) şi II) deducem că m b) Dcă m, obţiem ecuţi : 4() () () ()( ), deci, su şi S { ; } Dcă m, obţiem ceeşi ecuţie 4, deci, S { ; } Dtorită fptului că cele două ecuţii u ceeşi mulţime de eisteţă şi ceeşi mulţime de soluţii, ele sut echivlete G:568 Aflţi umerele turle bc ştiid că bc cb b b c c Nicole Ivăşchescu, Cd Rezolvre: Se costtă că cb, b 6;5;6;49;64;8 Cum ele trebuie să se termie î ceeşi cifră, vom lu covebil cb 6, b 6 c 4, b 6 9 bc 6 G:569 Fie şi b, ; Arătţi că b b b Ile Didu, Cmeli D, Criov Rezolvre: Petru = rezultă b b b ( )( b ) b Fie *, cum, b rezultă,, b b, cctd b b b G:57 Determiţi, y, z stfel îcât y z 5yz Cătăli Pă, Rm Vâlce, Luci Tuţescu, Criov Rezolvre: Ecuţi se scrie ( y z) yz () Cum se divide cu rezultă divide ( y z) Rezultă,, y z () Îlocuid î () se obţie, 67yz yz y su z Di () rezultă y, z sut divizibile cu, şi tuci, y y, z z Aşdr, y z 5y z de ude rezultă că, y y, z z,, y, z,, rezultă, y z ; G:57 Fie umărul umerelor turle 5 stfel îcât se divide cu şi umărul umerelor turle 5 stfel îcât să se dividă cu 9 Determiţi Luci Tuţescu, Criov, Dumitru Săvulescu, Bucureşti Rezolvre: Numerele turle cre verifică fptul că se divide cu sut de form 9 k,9k,9k Numerele divizibile cu 9 mi mici decât 5 sut 9,9, 9,, 9 dică, î totl 4 Numerele de form 9k+ mi mici decât 5 sut 9, 9, 9,, 9 dică, î umăr de

19 - PROBLEME REZOLVATE - Alog, sut umere de form 9k+ Aşdr, 4 67 Cum , umerele turle cre verifică fptul că 7 k,7k,,7k 8 se divide cu cu 9 sut de form Numerele de form 7k5, k sut 7,7,7,,7 74, î totl 75 de umere Numerele de form 7k 5, k sut 7,7,7,,7 74, î totl 74 umere Alog vem 74 de umere turle de form 7k, 7k,, 7k 8 Aşdr, G:57 Determiţi y, ( y)( y ) y 6 ştiid că 6 6y y Gheorghe Struţu, Buzău Rezolvre: Cum 6 y y 6( y), ( y ), pri dure, rezultă c trebuie y6 s vem eglitte Atuci, trebuie c ( y ; ) (;4),(4;) y G:57 Fie bc,, cu propriette 4b 9c 6 6b c Să se determie m(,bc) Adri St, Buzău Rezolvre: Relţi dtă este echivletă cu 6 9 4b 6b 6 9c c 4 49 ( ) (b 4) (c ) 49 De ici, observăm că 7, b 4 7, c 7 Ce mi mre vlore se obţie petru b 4, c ( ) 49 Deci, m( bc,, ) G:574 Dcă A = ir B = +++ +, comprţi cele două umere Mri Mite, Cugir, Alb Rezolvre: Observăm că fiecre terme l sumei A, este de form ( ) ( 8) 6, ir fiecre terme l sumei B, este de form ( ), ude ;;;; Comprâd terme cu terme, deducem că A > B G:575 Se cosideră umărul Să se rte că b, ude b Petre Păuescu, Roşiorii de Vede ( ) 5 7 S- folosit formul ( b c) b c ( b c bc), ude, b 5, c 7 ; Rezolvre: 5 G:576 Dcă * tuci : Rezolvre: Se observă că : Gheorghe Ghiţă, Buzău Petru = vem eglitte Petru, vem relţiile : = ; - =( ) > ; - = ( ) > ; ; Pri dure ieglităţilor obţiem: ,

20 - PROBLEME REZOLVATE - 5 dică Di cele de mi sus, rezultă o ieglitte devărtă Eglitte re 5 4 loc petru = G:577 Determiţi bc stfel îcât [ bc ]=6 şi +b+c=7 Prof Iuli Trşcă, Scoriceşti, Olt Rezolvre: Dcă [ bc ]=6 rezultă că 56 bc <89 Cum +b+c=7 rezultă că bc{69, 78, 87} G:578 Dcă u triughi dreptughic re lugimile ctetelor, respectiv b, şi lugime ipoteuzei c, ir p este semiperimetrul, tuci rătţi că p( p c) ( p )( p b) DM Bătieţu-Giurgiu, Bucureşti şi Neculi Stciu, Buzău Rezolvre Notăm cu A ri triughiului Atuci vem : b c ( b ) b c ( b ) c b c b () A 4 4 b c b c = b ( p )( p b) b b b c ( b) c b c b c () A c p( p c) 4 4 Di () şi () rezultă cocluzi Altfel, (soluţie dtă de dl Zvoru) 4 p( p c) ( b c)( b c) ( b) c ( b) b b ir 4( )( ) ( )( ) ( ) ( ) p p b c b c b c b b b b G:579 Fie P u puct situt pe cercul circumscris triughiului echilterl ABC Arătţi că : ) PA=PB+PC su PB=PA+PC su PC=PA+PB b) Dcă AB =, umăr rel pozitiv, tuci PA + PB + PC = Rezolvre: Io Rdu, Bozioru, Buzău ) Dc P este situt pe rcul mic BC, luăm puctul Q situt pe rcul mic AB stfel îcât PB BQ => m( QCB) m( PCB), AP QC, luăm puctul R pe semidreptă [CP stfel îcât PR BP BPQ este echilterl şi RC=PB+PC Arătăm că triughiul BCQ este cogruet cu triughiul BCR, czul (ULU) (BC=BC, QBA PBC QBC RBC RC QC AP PB PC Asemăător, dcă P este situt pe rcul mic AB Rezultă, PC PA PB b) Î triughiul PAC plicăm teorem lui Pitgor geerliztă şi vem PA PC PAPC cosapc PA PC PA PC, Alog, î triughiul BPA: PA PB PA PB Pri dure relţiilor de mi sus rezultă PA PB PC PA( PC PB) PA PB PC Ştim că PB + PC = PA G:58 Fie ABC u triughi dreptughic î A, ir M mijlocul ipoteuzei Perpediculr î M pe BC itersecteză pe (AC) î N Dcă AN = NM şi AB = 4 cm, determiţi perimetrul şi ri triughiului ABC Mri Simio, Rm Sărt Rezolvre: Deorece AN = NM A M A M4 ( u complemetele cogruete ) BA = BM ; BC dr BM = ; cum AB = 4cm rezultă BC = 8 cm ;

21 - PROBLEME REZOLVATE - plicâd teorem lui Pitgor, obţiem AC = 4 cm P 4 8 ABC 4 4( ) cm A ABC AB AC 44 8 cm Cls VIII- G:58 Arătţi că dcă y 4y tuci y ; Gheorghe Dârstru, Buzău Rezolvre: Ecuţi dtă este echivletă cu () (y ) 4 de ude rezultă respectiv, y Aduâd ultimele două ieglităţi se obţie 4 y 4 6 y : y, cctd G:58 Se cosideră mulţimile : A = { şi 4},B = { yy şi y,, } ) Scrieţi sub formă de itervle mulţimile A şi B b) Determiţi mulţimile : A B, A B şi (A-B), ude reprezită mulţime umerelor turle Mri Simio, Rm Sărt Rezolvre : Deorece 4, rezultă că -4 4, de ude obţiem că - 5 şi deci,5 A ;5 Alog obţiem B = (-,6 ;) Î ceste coditii A B =,6;5 ; Î plus A-B = ;5 ; deci (A-B) ;5 {, 4,5} umere turle di itervlul îchis ;5 ) şi A B = ( deorece,4,5 sut sigurele G:58 Fie P Stbiliţi semul lui P D Luci Grigore, Criov Rezolvre: Se observă că form geerlă termeilor produsului P este 9, *, 9 Petru determi umărul prtezelor egtive di produs se cosideră 9 () 9, 9 ( ) 9 Aşdr, fiid 9 de fctori pozitivi şi 87 de fctori egtivi, îsemă că produsul P este egtiv G:584 Să se rezolve î Rezolvre: Notăm ecuţi ( )( 5) Adri St, Buzău y, tuci, ecuţi dt devie: y 5, y de ude rezultă 5 y 5y cu soluţiile şi 5;4

22 - PROBLEME REZOLVATE - G:585 Determiţi y, dcă y y y y 4 ( ) 9 8 ( ) 6 7 y Gheorghe Struţu, Buzău ( y) y ( Rezolvre:, 4 y ) 4 4 y 4 Pri dure, rezultă că trebuie y să vem eglitte, dică ( y ; ) (; ) 4y4 G:586 Dcă şi umărul se divide cu, demostrţi că umărul este îtreg Iuli Trşcă, Scoriceşti, Olt, Diel Burtoiu, Piteşti, Argeş Rezolvre: se descompue î fctori şi vem: =(-9)(+)(+) Se vede că dcă u fctor l lui se divide cu tuci şi ceillţi se divid cu deorece diferă ître ei pri su multiplu l lui Numărul se divide cu cre este umăr prim umi dcă uul di fctorii săi se divide cu Dr dcă se divide cu tuci se divide şi cu = fiid u produs de fctori divizibili cu Cum se divide cu rezultă că 5 y( ) 7 ( y ) * * G:587 Rezolvţi î sistemul : 8y ; Costti Apostol, Rm Sărt y y y Rezolvre: Sistemul dt se scrie echivlet, stfel: 5 7y 5 7y y y Notăm : ; 8 8 y y y b y y y 5 7b Sistemul se scrie stfel : 8 b 5 5 b 7y 5y 7 y 7 y 7 ( )( ) su = (y 7)(7y ) S ;7 ; ; ; ;7 ; ; 7 7 y 7 su y = 7 G:588 turl Rezolvre: Evidet, Să se rte că umărul este umăr Mirce Mrio Stoic, Ard

23 Rezultă, S- folosit formul, b, - PROBLEME REZOLVATE - b ( b)( b b b b ), Nicole Ivăşchescu, Cd G:589 Aflţi vlorile îtregi le lui petru cre frcţi F, \ Rezolvre: Cu jutorul descompuerilor obţiem 4 ( 4 ) ( 4)( ) 4 F 4(4 4 ) ( ) ( )( ) F 6 ; ;; 4;; 5;4; 8 Sigurele vlori ; 4; 5;4; 8 F 7;4;;; covebile sut G:59 Rezolvţi ecuţi 54 y 54 y Mri Mite, Cugir, Alb Rezolvre: Codiţii de eisteţă: y 8 ; Pri ridicre l pătrt se obţie 54 y 54 y 54 y 54 y, de ude, rezultă că y 5 G:59 Fie, b, b cu b şi b, ude Clculţi: b b Mri Chirciu, Piteşti b b ; Cum b rezultă că b Rezolvre: Scăzâd cele două eglităţi obţiem: Obţiem b b b Deducem: ; b b b b b b G:59 Dcă, b, c R, stfel îcât, rătţi că b bc c b c DM Bătieţu-Giurgiu, Bucureşti şi Neculi Stciu, Buzău b c Rezolvre: Dcă bc,, stisfce ipotez, tuci vem b c Di ieglitte Cuchy-Schwrz rezultă: b c b c b ) c b c b c Deci, ( bc c) b c ( b c) b G:59 Dcă bc,, sut lturile uui triughi, rătţi că re loc următore ieglitte:, ude S ( b ) ( b c ) ( b c ) ( b c ) ( c ) ( c b ) 6S este ri triughiului Flori Stăescu, Găeşti, Dâmboviţ Rezolvre: Se plică ieglitte mediilor: ( b ) ( b c ) b ( b c ) ( b b c )( b b c ) ( c ( b) )(( b) c ) ( c b)( c b)( b c)( b c),, b, c fiid lturile triughiului Alog, 4 4 ( b c ) ( b c ) ( c b)( c b)( b c)( b c), 4 4 ( c ) ( c b ) ( c b)( c b)( b c)( b c)

24 formul - PROBLEME REZOLVATE - Aşdr, sum di stâg este mi mică su eglă cu S- folosit ( p )( p b)( p c) p 6S S p p p b p c ( )( )( ) G:594 Să se rezolve ecuţi: ( )( si cos )(si cos ) si, ude este măsur uui ughi l uui triughi Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre : ) Dcă 9, ecuţi devie ( ) ; ) Dcă 9, îmulţid ecuţi pri cos, şi cum cos si, ecuţi se rescrie: ( cos si )( si cos )(si cos ) si cos Notăm si cos t şi ştiid că si cos ecuţi devie: 4 4 ( t )( t ) t si cos t t si cos t t si 4 si 4si 4si ( si ) t cos, su si 4 si t si t, cos, t,4 si Avem ecuţiile: si cos si si ) si cos cos ; b) si cos si cos cos G:595 Se cosideră trpezul isoscel ABCD cu lturile AB 5 cm, BC DA 7 cm şi CD cm Pe plul ABCD î puctul de itersecţie digolelor ott cu O se ridică o semidreptă 6 perpediculră pe AC Pe cestă semidreptă se i u puct M stfel îcât OM cm Se cere: 4 )Demostrţi că DM AC b)clculţi volumul pirmidei ABCDM ştiid că m( MBD) 6 c)aflţi ri lterl pirmidei ABCDM î czul î cre AMB re ri mimă Costti Rusu, Râmicu Sărt Rezolvre: ) Cu dtele di euţ vem: AB DC CB AD AC BD Deci OC OM ; OC OD OC ( DMB) OC DM b) Notăm DM şi di teorem cosiusului î MDO obţiem DM DB si 6 AMDB cm Pri urmre, VMABCD VMABD VMBDC AMBD AO AMDB OC A AC 6 cm cm MBD OM OD si( DOM ) OM OB si( MOB) OM DB si( DOM ) c) AMDB ADMO AMOB AMDB este mimă dcă si( DOM ) Rezultă MO DO, dr MO AC (ipoteză) MO (ABCD ) Fie P, R, T, Q piciorele perpediculrelor duse di M pe AB, BC, CD şi DA Cu reciproc teoremei celor trei perpediculre obţiem OP AB, OR DC, TO DC şi QO DA Î triughiurile dreptughice AOB, BOC, COD, DOA vem

25 - PROBLEME REZOLVATE OP, OR, OT, OQ 4 4 Cu teorem lui Pitgor î triughiurile MOP, MOR, MOT, MOQ obţiem MP 54, 4 98 MR, MT 4, cum deducem A l cm Cls IX- L:4 Să se determie vlorile turle le prmetrului stfel îcât ecuţi ( ) ( ) 8 să ibă o soluţie îtregă şi să se rezolve ecuţi î cest cz Adri St, Buzău Rezolvre: Ecuţi dtă este echivletă cu ( ) ( 9) ( ) Petru ve rădăcii trebuie pusă codiţi Cum 4( 9) 4( ), deorece 6 4; Cum rezultă ;; îtregi ( ) ( 8), tuci, trebuie c Dor petru 8 dică 5 5 cu rădăciile L:4 ) Arătţi că dcă r este u umăr rţiol pozitiv ce proimeză pri lipsă pe 7 tuci r 7 este u umăr rţiol pozitiv ce proimeză pri dos pe 7 r r 7 b) Petru ce vlori rţiole pozitive le proimării r pri lipsă lui 7 vlore este o r proimre mi buă lui 7 decât r? Io Pătrşcu, Titu Tom, Criov Rezolvre: ) Cum r este o proimţie pri lipsă lui 7, tuci, r 7 Rămâe să rătăm că r 7 r 7 r ( r r 7)( r 7), cee ce este evidet; b) r 7 r 7 r 7 7 ( 7 r)( 7 ) r 7 r 7 r r 7 r r r r Vlorile căutte sut ( 7 ; 7) L:4 Fie ABC u triughi echilterl de ltur şi u puct M î iteriorul triughiului stfel îcât distţ de l M l lturile triughiului este egl cu d Arătţi că d Adrei Octvi Dobre, Ploieşti Rezolvre: AABC AAMB ABMC AAMC ; d d d ( ) 4

26 - PROBLEME REZOLVATE - ( ) 4 dd d d d d d d d d d d d d d (relţie cuoscută, cre se demostreză folosid fptul d că mh m ) Cum d d d d, tuci, d 4 d Observţie: Sigurul puct egl depărtt de lturile triughiului este I cetrul cercului îscris î triughi, ir d este rz L:44 ) Să se rte că,, b) Rezolvţi ecuţi 4 ( ) 496 î Costti Diu, Buzău Rezolvre: ) Îtrucât ( ) ( ), b) Coform ) ecuţi devie 496 L:45 Dcă, b, c stfel îcât Rezolvre: Avem, b, c, şi ( ) ( ) Obţiem: ude reprezită prte îtregă lui ; b c şi, rătţi că: b c Mri Chirciu, Piteşti () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eglitte re loc dcă şi umi dcă b c L:46 Determiţi umerele rele eule,,,,, stfel îcât:, Gheorghe Ghiţă, Buzău 5 Rezolvre: Petru =, eglitte di euţul problemei, se scrie:, cre coduce l = 7 Petru =, obţiem, cre coduce l Vom demostr pri iducţie mtemtică, că =, Evidetă eglitte petru = Presupuem că =, şi demostrăm că = ( + ) ( ) Eglitte dtă petru + umere, se scrie:, şi ţiâd ( ) ( ) sem de ipotez di iducţie, eglitte devie succesiv : ( ) ( )() ( ) + ( + ) + = 6 ( + ) + ( + ) +, + = ( + ), dică + = ( + ) C urmre celor de mi sus, rezultă =,, L:47 Fie m Fie o fucţie f : [,b] R petru cre f() = f(b) = şi petru, [,], f( ) f( ) m Să se rte că eistă, (,), stfel îcât

27 f( ) f( ) - PROBLEME REZOLVATE - m( b ) Chiriţă Mrcel, Bucureşti f ( ) f ( ) m, ; b f ( ) m( ), ; b Rezolvre: Avem Alog, f ( ) f ( b) m b, ; b f ( ) m( b ), ; b Rezultă că f ( ) mi m( ), m( b ), ; b b b b Fie ;, ; b, stfel îcât b b f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) m( ) m( b ) m( b ) m( ) m( b ) m( ) L:48 Rezolvţi î Rezolvre este ce de l G:587 L:49 * ude * * sistemul : 5y 7 y 8y y y y Costti Apostol, Rm Sărt Să se rte că, ( ) este prte îtregă lui Costti şi Ele Ciobic, Fălticei , Rezolvre: Se rtă mi îtâi că di Atuci, Cls X- L:4 Să se rte că lg lg7 lg 7 log Costti Diu, Buzău Rezolvre: Se îmulţeşte ieglitte dtă cu lg 4 dică cu lg rezultâd (*) lg 4lg9 lg 4lg 7 lg 7 deorece lg log Cu ieglitte mediilor se lg 4 lg9 lg6 lg obţie lg 4lg9 lg 4 lg 9 lg 7 lg 97 lg lg 4lg9lg 7

28 - PROBLEME REZOLVATE - Aduâd cele două ieglităţi de mi sus se obţie ieglitte (*) ( p )! 6 L:4 Determiţi umerele prime p şi q stfel îcât q 9 p Cristi Moţă, Luci Tuţescu, Criov 6 Rezolvre: Relţi dtă este echivletă cu ( p )! p( q 9) 6 Petru p ( p )! + este impr, tuci, q 9 este impr Se obţie q= şi ( p)! p Dcă p se obţie cotrdicţi ( p )! ( p )( p ) 8!( p )( p ) p Aşdr, p 7 Se obţie soluţi p=7, q=; L:4 Cre sut codiţiile ce trebuie să le îdepliescă, b, c stfel îcât să vem 7 b c b c b bc c? Costti Rusu, Râmicu Sărt Rezolvre: vem: A Notăm A 7 b c, b c ( b)( b) c b c B b c şi C b bc c cu eglitte dcă b c ; Aplicâd ieglitte mediilor A b c ( b)( bc)( c) b bc c cu eglitte dcă b c Aşdr m obţiut că A B, A C, b, c Rămâe să vedem î ce cz vem B C După evlure B C ( c)( b c) obţiem b c su c b Eglitte se obţie dcă b c L:4 Rezolvţi ecuţi log log (lg ) î * Doi şi Mirce Mrio Stoic, Ard Rezolvre: log log lg log lg 4 lg L:44 Rezolvti i ecuti: 9 4 Mri Chirciu, Piteşti Rezolvre: Domeiul de defiiţie l ecuţiei este D, Cu ieglitte Cuchy-Buikowski- ( CBS ) Schwrz vem: 6 9 4, de ude, cu eglitte dcă si umi dcă: 9 9 ; D,, 6 5 D Deducem că mulţime soluţiilor ecuţiei dte este: S, 6 5, 6 5 ;, 6 5 L:45 Să se rezolve î * ecuţi ( ) ( ) ( ) ( ),, Gigel Buth, Stu Mre Rezolvre: Fie f : (; ) (; ), f ( ) ( ), Se v răt că f este strict crescătore pe (; ) cee ce implică fptul că membrul stâg este o sumă de fucţii strict crescătore pri urmre ecuţi dtă re soluţi uică Fie şi y f ( ) ( ) ir y f ( ) ( ) tuci y, y y y, y Cum, t stfel îcât t tuci t t y y y y de ude rezultă y y t t (*)

29 - PROBLEME REZOLVATE - t Pe de ltă prte, y, y îlocuim î relţi (*) şi obţiem y ( ) y t y y ( ) y y y y f ( ) f ( ) dică f este strict crescătore L:46 Fie, y, z ; Arătţi că: y y yz z z y y y yz z z z Mrcel Chiriţă, Bucureşti Rezolvre: Atuci, ) y ( y) ( y) y y y ( y) y ( y) y y ( y) y ( y) ( y yz) ( z z) y y z z şi logele y y yz z z y y z z y ( y ) ( y) ( y ) ( y) y y logele ( y) y y, şi Notăm cu E(, y, z ) prte stâgă, tuci, ieglitte iiţilă este echivletă cu E(, y, z) y z, y y z z ( y z)( z ) y( z )( y) z( y)( y z) E(, y, z) ( y)( y z)( z ) ( y z) y( z ) z( y) ( z ) ( y) ( y z) ( y)( y z)( z ) 4( y yz z)( y z) yz S- folosit ( y)( y z)( z ) ( y)( y z)( z ) 8 y ieglitte Cuchy- Buikowski- Schwrz şi fptul că y şi logele, cre îmulţite du yz ( y)( y z)( z ) Avem eglitte câd = y = z 8 Observţie: Se pute utiliz şi ieglitte ( y) 4( y y ), după cre e rămâe de demostrt o ieglitte lui Vsile Crtoje, se vede eercitiul 45 di Phm Kim Hug, Secrets i Iequlities, vol, pg 7, Gil 7 L:47 Dcă z, z C, z, stfel îcât 8 z z z z tuci z, ude N Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre: Di relţi dtă obţiem: z z z z z z z z z z z z z z Notăm z r, z şi tuci ieglitte se rescrie:

30 - PROBLEME REZOLVATE - r r r r r r r r r r Dcă r = ceriţ problemei este devărtă, ir dcă r ieglitte dtă devie: r r r r ( ) r ( ) r r r ( r ) r ( ) ( ) r r Cum, membrul drept este egtiv şi cum r r rezultă că r, dică z L:48 Fie triughiul ABC scuţit ughic şi AD, BE, CF îălţimile sle ir H ortocetrul 6 ADAH BE BH CF CH ( b c), ude otţiile sut cele triughiului Arătţi că uzule Î ce cz vem eglitte? Diel Grm, Luci Tuţescu, Criov S bc Rezolvre: Cum AD, S ir AH Rcos A ( ABC este scuţit ughic), rezultă 4R S cos bc cos cos b c AD AH R A R A bc A 4R b c AD AH ( b c ) ( b c) ( b c) S- folosit ieglitte Cuchy- Buikowski Eglitte eistă petru b c, dică triughiul ABC este echilterl Cls XI- L:49 Aflţi mtrice A M ( ) dcă A A Io Stăescu, Buzău b Rezolvre: Fie A c d Atuci, di A A A A b c b d b b c, d Aşdr, A, A c c d c d Îlocuid î b b 5 5 relţi di euţul problemei, obţiem, b 5 L:4 Fie A, B M ( ) Să se rte că dcă BA = şi det(a +AB+B ) = tuci det(a + B) = O, * Mrcel Chiriţă, Bucureşti Rezolvre: Fie f() = det(a+b) = deta + + detb, ude () (det (A+B)) = det (A+B) (det (A+B) = det (A+B)(A+B) = det( A +AB+BA+B ) =det( A +AB +B ) = de ude, det(a+b) = Î () petru = vem det(a+b) = deta + + detb = de ude = deta - detb () Fie f() = det(a+b) = deta ( deta+detb) + detb det( A AB B ) det( AB) det( A B) f ( ) f ( ), ude sut, rădăciile ecuţiei

31 - PROBLEME REZOLVATE - t t Rezultă, f( ), f( ) Obţiem, det A det B () şi det A det B (4) Di () + (4) rezultă: det A ( ) det B( ) Cum şi det A det B de ude = det A det B (5) Di () şi (5) vem deta detb = det A det B şi obţiem deta = şi = det B Deci f() = det(a+b) = detb + detb şi vem f() = det(a + B) = detb + detb = C C C L:4 Să se clculeze: lim Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre Notâd, C C C y, y crescător( y y ) şi emărgiit y, coform lemei Stoltz-Cesro, vem: C C C C C C lim lim y y C C ( C C ) ( C C ) C lim C lim C C C lim k C k k lim k C k lim k C k lim L:4 Să se rezolve î ecuţi (5 5) O Pred, Ro Vsile, Criov Rezolvre: Ecuţi dtă este echivletă cu (5 5) (*) Fie f :, f ( t) t 4t 6 t Cum crescătore, tuci, f eset ijectivă Ecuţi (*) se scrie I f ( t) t 8t 6, t obţie 5 5 de ude, rezultă ( 5)( )( ) ;;5 rezultă f este strict f ( ) f ( 5 5) şi di ijectivitte lui f se f : \ ;, f ( ) ( ) L:4 Se cosideră fucţi f f f lim () () ( ) 5 5 Să se clculeze Costti Diu, Buzău Rezolvre: Îtrucât f( ), \ ; tuci ( ) k ( k ) lim f () f () f ( ) lim ( ) e

32 - PROBLEME REZOLVATE - L:44 Clculţi! 7! (4 )! lim 4!! 8! 6! (4 )! (4 )! Petre Păuescu, Roşiorii de Vede (4 )! (4 )! (4 ) 4 Rezolvre: (4 )! (4)! (4 )! (4)4 4 (4 ) 4 4 4! 7! (4 )!, limit dtă este eglă cu 4!! 8! 6! (4 )! (4 )! L:45 Fie clculeze k u şir de umere rele cu 4 şi, Să se lim l k k y Rezolvre: Căutăm u şir Ovidiu Ţâţ, Râmicu Sărt cu termeul geerl de form y b, cu b, şi y 4 b, y 4 b Îlocuid î relţi de recureţă di euţ y b obţiem: y y y, Di ecuţi crcteristică z z, socită şirului y, ecuţie cu soluţiile,z y A B, z rezultă că termeul geerl l şirului cu y este de form: y b, y b Rezolvâd sistemul corespuzător petru, A b, B 4 şi deci y b petru Aşdr, obţiem b b petru orice Îlocuid î limit cerută vem succesiv: liml k k liml k k lim l k k k k k lim l lim l lim l l L:46 Se cosideră f :,, o fucţie derivbilă de două ori, cu următorele proprietăţi: ) f '',, si mi f f, f b) f f f f, '' '' ' ' i) Găsiţi u eemplu de fucţie cre re propriette di euţ ii) Demostrţi că eistă c, stfel îcât f c f f '' ' ' Flori Stăescu, Găeşti, Dâmboviţ

33 - PROBLEME REZOLVATE Rezolvre: ) f,, b) Di teoremele Weiestrss si Fermt, eistă c, stfel îcât ' Lgrge, eistă c, c, c c,, stfel îcât f ' c f ' cf '' c f ' f ' c c f '' c f ' f ' b c c f '' c f '' c eistă c, stfel îcât f '' c f '' c f '' c Dcă c c Presupuem c c Defiim fucţi :[ c, c], f '' f '' c f '' c f '' c f '' c f '' c f '' c Avem c c, f '' c f '' c f '' c f '' c f '' c f '' c f '',, Cum re propriette lui Drbou, eistă c c, c c f '' c f '' c f '' c Astfel, m obţiut c, b f '' c f '' c f '' c Reveid, vem f ' f ' c b c f '' c f c Aplicâd teorem lui şi Acum vom demostr că cocluzi este imedită deorece stfel îcât, cu propriette că, ir di ieglitte mediilor obţiem c c f ' f ' c c f '' c f '' c f '' c f ' f ' b Di euţ f ' f ' f '' f '' f '' f '' f ' f ' Procedâd l fel c mi devreme, (defiid fucţi :[,], ( ) f f '' f '' ), obţiem că eistă c4, stfel îcât f '' f '' f c4 Am găsit că eist c, c, stfel îcât f '' c4 f ' f f '' c şi cum f '' re 4 propriette lui Drbou, c c, c stfel îcât f c f f 4 '' ' ' Cls XII- L:47 Se cosideră fucţiile ) Arătţi că fucţi g este iversbilă; b) Să se clculeze: 7 5 e g ( ) d ; f, g :, f ( ) e şi g( ) f ( t) dt Dârstru Gheorghe, Buzău t t t Rezolvre: ) g( ) ( t e ) dt e e 5 5 ; Cum I g ( ) f ( ) rezultă că f este strict crescătore pe Cum lim, lim g( ) g( ) Aşdr, f este ijectivă şi surjectivă, deci, bijectivă, dică f este iversbilă; b) Aplicăm schimbre de vribilă I y g ( ) g( y) d g ( y) dy d f ( y) dy

34 - PROBLEME PROPUSE 7 5 e 6 5 y y y y 6 g ( ) d y f ( y) dy y dy y e dy e y e e e 5 L:48 Să se clculeze: si 8 d si 6 d Gheorghe Ghiţă, Buzău Rezolvre: Itegrl dtă pe cre o otăm cu I se scrie: d d I = d d 8 6 si si si si Folosid schimbre de vribilă () = -, : ; ; î prim itegrlă şi vem: I = si 8 d si 6 d d + d 8 6 si si d d 8 6 si si + d d si d = 6 8 si si 6 si d 6 si = si d = l( ) si L:49 Rezolvţi î ecuţi! y y Mri Voie, Floreti Visescu, Bucureşti Rezolvre: Dcă! y y Dcă y!, Presupuem y, Ecuţi dtă este echivletă cu! ( )( y )! Di reciproc teoremei lui Willso ( p ( p )! p prim ) rezultă pşi cum p este prim rezultă ( p )! ( p )! p y y Aşdr, pşi p p ( p)! p y, p prim p 4 L:4 Fie ecuţi 4 6, ) Să se rezolve ecuţi petru = ; b) Să se rezolve ecuţi şi să se discute î fucţie de tur rădăciilor ei Ovidiu Ţâţ, Râmicu Sărt Rezolvre: Petru obţiem succesiv: ,, i,4 i Notăm y, cu y, şi determiăm stfel îcât coeficieţii termeilor cre îi coţi pe şi 4 să fie uli y 4 y y 6 y =

35 - PROBLEME PROPUSE y 4 4 y 6 y y 4 6 Petru, obţiem ecuţi bipătrtă y t t 6t Notâd Dcă,, 4 y y 6 t t t 6 y y, i 6,,,, t 6 7 y y, 6,4,4,4,4 t 6 (7,6] y y, i 6,4,4,4,4 6 t y y Dcă,,,,4,,,4,,,4 L:4 Dcă ecuţi re rădăciile, b şi c determiţi poliomul moic cre re rădăciile 5,b 5 şi 5 c DM Bătieţu-Giurgiu, Bucureşti şi Neculi Stciu, Buzău Rezolvre: Avem b c, b bc c, bc Poliomul cerut este dt de P ( ) ( )( b )( c ) ( b c ) ( b b c c ) ( bc) = S P 4, ude S b c şi P ( b) ( bc) ( c) Avem S, S,, şi di rezultă că S S S, Avem S 5 S P Rezultă că re rădăciile 5,b 5 şi 5 c 5 Prdoul uţului Pe u zid este scris următorul uţ: Vă rugăm să igorţi cest uţ Ce fcem? Îl luăm î cosiderre su îl igorăm? Acest este u prdo, căci dcă îl luăm î cosiderre, coform coţiutului lui, trebuie săl igorăm Dr, dcă îl igorăm tuci îsemă că l-m respectt Muc î echipă presupue î primul râd să-ţi pierzi jumătte di timp eplicâdu-le celorllţi de ce u u dreptte George Woliski (94-5) ucis pe 7 iurie 5 î tettul terorist de l Chrlie - Hebdo

36 - PROBLEME PROPUSE - Lucrurile u sut greu de făcut Greu este să te pui î stre de le fce Costti Brâcuşi ( ) Îvăţămât primr 4 Probleme propuse P:67 Aflţi umerele turle b cre se împrt ect cu umerele b Nicole Ivăşchescu, Cd P:68 Î sertre se distribuie creioe Dcă se distribuie câte creioe îtr-u sertr, rămâ creioe edistribuite, ir dcă se distribuie câte 5 creioe, rămâ 5 sertre eocupte Câte creioe şi câte sertre sut? Vleti Aghel, Buzău P:69 Flori, Mihel şi Gbi u plect l cumpărături, vâd fiecre câte 5 lei Câţi lei cheltuit fiecre, dcă resturile sut respectiv umere cosecutive, cre vloreză împreuă cât sum cheltuită de Gbi? Lur Mri Ilie, Buzău P:7 Io re de rezolvt î vcţ de vră u umăr de probleme E costtă că dcă rezolvă î lu iuie jumătte di umărul totl de probleme plus, î lu iulie jumătte di cele rămse plus, ir î ugust jumătte di cele rămse plus 4, îi mi rămâ petru lu septembrie u umăr de probleme reprezetâd cel mi mic umăr turl de trei cifre disticte Câte probleme vut de rezolvt Io î vcţ de vră? Nicolet Gbriel Lupş, Berc, Buzău P:7 Mr şi Ali u împreuă păpuşi Difereţ ditre păpuşile Mrei şi triplul păpuşilor Aliei este mi mre cu decât umărul păpuşilor Aliei Câte păpuşi re fiecre ftă? Cristi Cosmi Lupş, Buzău P:7 Să se fle două umere cre împărţite du câtul şi restul 4, ir câtul ditre sum şi difereţ cestor reprezită o cicisprezecime di 75 Rezolvţi î două moduri Gbriel- Mri Mriescu, Buzău P:7 L o librărie s-u dus ciete şi cărţi, î totl de bucăţi cre costă 85 lei Numărul cărţilor este de ori mi mre decât umărul cietelor, ir o crte costă de ori mi mult decât u ciet Cât costă u ciet şi cât costă o crte? Vioric Rotărescu, Viorel Rotărescu, Vdu Pşii, Buzău P:74 Petru olimpid de mtemtică u fost propuse mi multe tipuri de probleme Petru fiecre rezultt corect se cordă 5 pucte, ir petru u rezultt greşit se scd de pucte Ştiid că Ştef primit 5 de pucte petru 4 de probleme, flă câte rezolvt corect Iuli St, Buzău P:75 Dublul uui umăr se duă cu 5 Sum obişuită se scde di 4, ir rezulttul este 7 Cre este umărul? Diel Tice, Buzău P:76 Dcă pu pe o tvă căi, rămâ 5 căi fără tvă, ir dcă pu câte 4 căi pe tvă, rămâ tăvi gole Află câte căi şi câte tăvi sut Ele Zie, Buzău

37 - PROBLEME PROPUSE - Cls V- G:596 Determiţi mulţimile X şi Y ştiid că sut îdepliite simult codiţiile: X Y 8;9;;;; ; X Y 8;9 ; ) b) c) X ; ; d) Y ; ; Doi Stoic, Mirce Mrio Stoic, Ard G:597 Comprţi umerele A şi B Nicole Ivăşchescu, Cd G:598 Arătţi că Doi Stoic, Mirce Mrio Stoic, Ard Arătţi că mulţime M se pote împărţi î 8 de G:599 Fie mulţime M ;;5;;5 submulţimi disjucte două câte două, fiecre coţiâd două elemete căror sumă să fie cub perfect Mri Voie, Bucureşti G:6 Fie b, * stfel îcât b 7 Arătţi că b Iouţ Voie Flori, Bucureşti G:6 Să se determie crdilul mulţimii bc/ b c, ştiid că b şi c sut umere prime Gheorghe Ghiţă, Buzău 5 G:6 Arătţi că umărul A 5 este pătrt perfect 4 8 Mri Mite, Cugir, Alb G:6 ) Determiţi umerele prime bc,, ştiid că 78b 86c 5 b) Dcă bb bc cbc c şi, rătţi că umărul este umăr compus Mri Mite, Cugir, Alb 6k G:64 Demostrţi că umărul 7, k * se scrie c o sumă de două pătrte perfecte şi c o difereţă de două cuburi perfecte Iouţ Voie Flori, Bucureşti m m G:65 Arătţi că frcţiile F şi F p q sut echivlete, oricre r fi p4 q , m, p, q Nicole Ivăşchescu, Cd Cls VI- G:66 Arătţi că umărul A!!! 5! u este pătrt perfect, ude! 4, Nicole Ivăşchescu, Cd

38 - PROBLEME PROPUSE - G:67 Cercetţi dcă frcţi 8 este ireductibilă, petru orice umăr turl 5 Io Stăescu, Buzău G:68 Să se rte că petru orice umăr turl, epresi E 4, este divizibilă cu 6 Mri Simio, Rm Sărt G:69 Dcă, y, z y z * şi y z y z tuci z y este u cub perfect Nicole Ivăşchescu, Cd 4 b 5 c 6 G:6 Determiţi umerele turle,b,c ştiid că : şi b = 5c-7 Mri Simo, Rm Sărt b 6 stfel îcât b Arătţi că ( b) ( b ) Î ce cz vem G:6 Fie, ; eglitte? Costti Pruru, Ro Vsile, Criov G:6 Să se fle câte umere de form bcde eistă, ştiid că bc este prim şi că: b( + bd + ce) = 5 Gheorghe Ghiţă, Buzău Cls VII- 4 G:6 Fie umărul A Arătţi că A Mri Mite, Cugir, Alb G:64 Să se demostreze că A ude 8 A :, Nicole Ivăşchescu, Cd 4 6 G:65 Arătţi că ( b c) ( b) ( c) ( b c) G:66 ) Arătţi că b) Folosid evetul ) să se rte că G:67 Fie, y 7 9, stfel îcât ( y) y b bc c,, b, c Nicole Ivăşchescu, Cd A este compus ( )( y y ) Arătţi că Moic Mtei, Crme Terheci, Criov Costti Pruru, Criov G:68 Determiţi umerele bcd formte di cifre prime, ştiid că: + d + b + bd + cd + 4cd + c = d + 7d + 5d + 9 Gheorghe Ghiţă, Buzău G:69 Se cosideră pătrtul ABCD Î eteriorul pătrtului se costruiesc triughiurile ABE, BCF, CDG şi ADH echilterle Arătţi că rportul ditre ri suprfeţei ptrulterului EFGH şi dublul riei suprfeţei CHE este supruitr Sori Văcăre, Cluj-Npoc

39 - PROBLEME PROPUSE - G:6 Demostrţi că î iteriorul uui pătrt de ltură = cm, eistă 8 de pucte disticte stfel îcât distţ ditre oricre două stfel de pucte vecie determite este de cm şi lte 5 pucte disticte stfel îcât distţ ditre ele să fie de cm respectiv cm Dumitru Vieriu, Dorohoi G:6 Se cosideră dreptughiul ABCD, cu AB şi M AB, N BC, P CDşi DA BC Fie Q, clculţi : mi( MN NP PQ QM ), respectiv m( MN NP PQ QM ) DM Bătieţu-Giurgiu, Bucureşti, Neculi Stciu, Buzău G:6 Fie ABCD u trpez cu 5 M, P AD şi AB şi CD stfel îcât CD AB Fie N, Q BC stfel îcât MN PQ AB şi Ari (DCNM) = A(MNQP) + Ari (PQAB) Determiţi lugimile segmetelor MN şi PQ Luci Tuţescu, Ro Vsile, Criov Cls VIII- G:64 Să se demostreze ieglitte: 7 Cristi Isi, Glţi 4 G:65 Să se rte că umărul A este turl impr şi pătrt perfect, ; Vioric Dogru, Giurgiu petru orice G:66 Determiţi umerele îtregi,,,, 5 cre verifică eglitte: Dumitru Săvulescu, Mri Voie, Bucureşti G:67 Fie f :, f (5 ) 9 şi g( ) 5 Arătţi că fucţiile sut egle Cludi Pop, Buzău 48 G:68 Aflţi vlorile îtregi le lui petru cre frcţi F 5 8 4, \ Nicole Ivăşchescu, Criov G:69 Să se rezolve î mulţime * * y z 4 * sistemul y y z 8 ; z y z Mirce Mrio Stoic, Ard G:6 Rezolvţi ecuţi 49, 7 ude, reprezită prte îtregă lui Doi Stoic, Mirce Mrio Stoic, Ard

40 - PROBLEME PROPUSE - G:6 Demostrţi că îtr-u triughi cu mijlocele îălţimilor coliire, sum ditre lugime rzei cercului îscris şi lugime rzei cercului circumscris este eglă cu semisum lugimilor două lturi le triughiului Dumitru Vieriu, Dorohoi b c b c G:6 Dcă, b, c si demostrţi că b c c b Mri Chirciu, Piteşti b b c c G:6 Dcă, b, c să se rte că: b( b) c bc( b c) c( c ) b Mri Chirciu, Piteşti G:64 Î cubul ABCD A BCD se îscrie prism triughiulră regultă CMNC MN, ude M ( AB), N ( AD), M ( AB), N ( AD) Determiţi rportul volumelor celor două V corpuri: V cub prism DM Bătieţu-Giurgiu, Bucureşti, Neculi Stciu, Buzău G:65 Fie ABCD u romb cu AB =, ir AC= 4, ude AC BD O ; î iteriorul BDC se i u puct E stfel îcât CBE CDE ) Arătţi că puctele A, C, E sut coliire; b) Pe plul rombului se ridică perpediculr ME ; dcă CE =, flţi măsur ughiului diedru ditre ( ABC ) şi (MBD), precum şi m( MAC ) c) Dcă N este mijlocul lui AM, ir NE MO P Cls IX-, rătţi că NE MBD Mri Mite, Cugir, Alb L:4 Să se demostreze că ici o putere de umăr prim u pote fi umăr perfect (Numim umăr perfect, cel umăr îtreg cre este egl cu sum divizorilor săi di cre se eclude el îsuşi) Luci D Grigore, Criov L:4 Determiţi umărul şi poziţi soluţiilor rele le ecuţiei f m, m, ude f :, 6 7,, 8,, f,, Sori Văcăre, Cluj-Npoc 5b b 5 b b cu b Să se rte că b Mrcel Chiriţă, Bucureşti L:44 Fie, ; L:45 Fie umerele rele eule şi pozitive, b, c Să se demostreze că ( b b c),( c ),( ) sut lturile uui triughi dcă şi umi dcă bc c b b c m,, Costti Rusu, Râmicu Sărt b c

41 - PROBLEME PROPUSE - L:46 Să se determie y, 5 stfel îcât y y y 5 A Cismru, Mlu Mre, Dolj L:47 Determiţi tote perechile, y de umere îtregi stfel îcât: y y y y DM Bătieţu-Giurgiu, Bucureşti, Neculi Stciu, Buzău L:48 Î triughiul ABC cu otţiile obişuite şi cu ma ( ) 9 se ştie că = b c Să se clculeze si B Adri St, Buzău L:49 Arătţi că î orice triughi re loc ieglitte: A B C A B B C C A si si si ctg ctg ctg ctg ctg ctg Mri Chirciu, Piteşti L:44 Dcă ABCD este u ptrulter cove cre stisfce simult codiţiile: i) AB CD BC AD ; b) Cercurile costruite pe AB şi CD c dimetre sut tgete eteriore Demostrţi că ABCD este trpez, prlelogrm su romb Io Pătrşcu, Criov L:44 Î iteriorul pătrtului ABCD cu ltur de lugime cm se cosideră u puct M stfel îcât MBC MC MDB 5 Să se clculeze lugime segmetului Mrcel Chiriţă, Bucureşti L:44 Determiţi măsurile ughiurilor triughiului ABC, ştiid că îălţime di A este jumătte di îălţime di C şi bisectore di A este jumătte di bisectore di C Costti Apostol, Rm Sărt Cls X- L:44 Să se rezolve î ecuţi Adri St, Buzău ( k )! L:444 Fie, p *, p Arătţi că k, ude reprezită prte frcţioră k p p! lui D Cmeli, Ile Didu, Criov L:445 Fie ; Arătţi că si 4 Luci Tuţescu, Luci D Grigore, Criov L:446 Numerele complee, b, c, vâd modulele egle, sut fiele uui triughi isoscel Arătţi că umerele complee b, bc, c sut de semee fiele vârfurilor uui triughi isoscel A Cismru, Mlu Mre, Dolj 5 L:447 Rezolvţi î ecuţi 4 4 Luci Tuţescu, Criov, Adrei Micu, Melieşti, Dolj L:448 Fie,,,,, umere strict pozitive stfel îcât

42 - PROBLEME PROPUSE - Arătţi că Î cez vem eglitte? Luci Tuţescu, Teodor Rădulescu, Criov 5 i L:449 Clculţi sum S i i ude i, ;;;;5 i i i 5 Cristi Moţă, O Pred, Criov L:45 Dcă,, comprţi umerele: şi ( de eemplu,, u tur de puteri le lui ) Negu Mihi, Rm Sărt L:45 Fie, k, k k k Să se rte că umărul C Ck C k Ck C k pătrt perfect, petru orice umăr turl, este Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu L:45 Să se demostreze ieglitte: C C C, N, Gheorghe Ghiţă, Buzău L:45 Î triughiul ABC, medi AM, ( M BC), re mijlocul D, ir perpediculr pe mijlocul segmetului DM trece pri ortocetrul H l triughiului ABC Să se rte că m( BDC) 9 Mrcel Chiriţă, Bucureşti L:454 Dcă, b, c stfel îcât bc şi 9 4, demostrţi că: 9 b c b bc c Mri Chirciu, Piteşti k Cls XI- L:455 Fie geerl l şirului cu şi ( ) b, *, b Determiţi termeul şi clculţi si lim ( b) Steli Pisc, Giurgiu L:456 Să se clculeze lim k şi lim 4 k k DM Bătieţu-Giurgiu, Bucureşti, Neculi Stciu, Buzău L:457 Să se clculeze: tg 4 tg 4 lim tg tg Adri St, Buzău

43 - PROBLEME PROPUSE - L:458 Clculţi lim i 5k45k i k k k Sori Văcăre, Cluj-Npoc L:459 Determiţi tote tripletele, y, z de umere rele stfel îcât: y z log (4 y) ; log (4 z) ; log (4 ) 4 y y 4 z z 4 Negu Mihi, Rm Sărt L:46 Fie ABC u triughi, ADîălţime di A, E şi F mijlocele lturilor AC, respectiv AB Petru u puct orecre P di plul triughiului ABC, fie Y şi Z simetricele cestui fţă de puctele E, respectiv F Dcă P este mijlocul lui DP şi M BY CZ, rătţi că drept MP trece pritr-u puct fi Neculi Stciu, Buzău, şi Titu Zvoru, Comăeşti b L:46 Se cosideră fucţi f :, f ( ) ( b) ( b) b cu b b, b Să se rte că f u este ijectivă şi să se rezolve ecuţiile: ( b) ( b) b ( b) ( b) î şi b b î ( b) ( b) Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu L:46 U determit de ordiul trei re vlore d Să se clculeze semul lui d ştiid că elemetele de pe digol priciplă sut egle cu, ir sum elemetelor de pe fiecre liie şi fiecre coloă este eglă cu L:46 Să se determie tote mtricele X M, de form eglitte 4 X X I Costti Diu, Buzău X y y, cre verifică Costti Diu, Buzău det( A I ) Tr( A) Tr ( A) det( A) L:464 Dcă AM (R) să se rte că: lim e, det( A I ) ude Tr(A) reprezită sum elemetelor de pe digol priciplă mtricei A, det(a), determitul mtricei A Gheorghe Ghiţă, Buzău L:465 Se cosideră f :, b o fucţie derivbilă cu propriette că dcă eist, b stfel îcât f f ' f ; f b, tuci l f ' f f l f ' f f b b Demostrţi că eistă c, b stfel îcât f ' c Flori Stăescu, Găeşti, Dâmboviţ

44 - PROBLEME PROPUSE - Cls XII- L:466 Să se rezolve î ecuţiile: ) L:467 Fie f, g X ; b) 5 Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu poliome ecostte cre verifică eglitte: 6 f ( ) f ( ) g( ), Arătţi că grdul poliomului f este pr Dumitru Săvulescu, Bucureşti L:468 ) Să se rezolve î ecuţi, * b) Arătţi că petru * eistă eglităţile: 5 ( ) 4 6 si si si si si si si si, 5 ( ) 4 cos cos cos cos cos cos cos L:469 Fie F : ; o primitivă fucţiei : ; ) Ştiid că F(), să se rte că b) Să se rte că L:47 Clculţi e F( ) d ; f, Ioel Tudor, Călugărei, Giurgiu f () e f ( ) d Adri St, Buzău 4 t 4 I l ( t)( t ) dt t Răzv Drîceu, Gbriel Drîceu, Criov d L:47 Clculţi: d, ude b b *,, br (I legătură cu problem 54/GM//5, Alfred Eckstei şi Viorel Tudor, Ard} Ghorghe Ghiţă, Buzău L:47 Dcă f, f, f şi f sut fucţii cotiue pe,4 stfel îcât 4 f ( 4), f (4), f (4) şi f ( ) d 5, clculţi: f ( ) d 4 DM Bătieţu-Giurgiu, Bucureşti şi Neculi Stciu, Buzău L:47 Fie bc,, şi lege de compoziţie * y y b by c, defiită pe, petru orice, y ) Determiţi b şi c î fucţie de stfel îcât - 4 să fie elemet eutru; b) Cu b şi c stfel determiţi, rătţi că lege este socitivă Aflţi poi, ştiid că simetricul lui 6 este -6; c) Petru, b, c determiţi terior, clculţi ****, Costti Diu, Buzău

45 - QUICKIES - God used beutiful mthemtics i cretig the world Pul Dirc (9-984) 5 QUICKIES A Quickie should hve uepected, succict solutio Submitted quickies should ot be uder cosidertio for publictio elsewhere We ivite reders to submit solutios-quickies d ew proposls-quickies, ccompied by solutios miled electroiclly (idelly MS Word or PDF file) to stciueculi@yhoocom All commuictios should iclude the reder s me, full ddress, d e-mil ddress Submited solutios should rrive before September, 6 PROPOSALS QUICKIES Q5 Proposed by Titu Zvoru, Comăeşti, Romi Prove tht: if, b, c, d re positive rel umbers such tht b c d, the bcd b cd c db d bc 4bcd Q6 Proposed by Mihály Becze, Brşov, Romi I ll trigle ABC holds m m 7s R b c r Q7 Proposed by DM Bătieţu-Giurgiu, Buchrest, Romi ( )( ) * Compute I d, ude N ( ) Q8 Proposed by DM Bătieţu-Giurgiu, Buchrest, Romi t t t If B ( t) t t, with t, the compute lim B ( t)!! SOLUTIONS QUICKIES Q Proposed by Titu Zvoru, Comăeşti, Romi Let ABC be trigle with circumceter O d iceter I Prove tht the lie OI d the iterl bisector of AB AC gle CAB re perpediculr if d oly if BC Solutio by uthor With usul ottios we hve A A bccos bccos b c w ; AI w ; OI R Rr; AO R b c b c s By Pitgor s theorem we hve A b c cos OI AI OI AI AO R Rr R p b c p p( p ) bc( p ) bc Rr bc p 4S S p

46 - QUICKIES - ) ( ) ( c b c b p p bc p p bc Q Proposed by Mihály Becze, Brşov, Romi I ll trigle ABC holds C tg C tg B tg B tg A tg Solutio by Mrius Drăg, Buchrest Usig the iequlity ) ( 4 y y y d the idetity A tg C tg C tg B tg B tg A tg, we obti: C tg B tg A tg C tg C tg B tg B tg A tg B tg A tg C tg A tg B tg A tg Q Proposed by DM Bătieţu-Giurgiu, Buchrest, Romi Show tht i y trigle ABC with usul ottios holds 6 c b R h h h c b Solutio by Diel Văcru, Piteşti, Romi By AM-GM iequlity d well-kow formuls yields tht c b R R bc bc S bc bc S h h h h h h c b c b, qed The equlity occurs iff trigle ABC is equilterl Also solved by Mrius Drăg, Buchrest Q4 Proposed by Mrius Drăg, Buchrest, Romi If, the show tht ) ; b) Solutio by uthor )We hve ) ( ) ( ) 4( ) ( ) ( ) ( 4 ) 4( 6 ) 4( ) ( 4, true b)we hve ) ( ) ( , true Also solved by Ágel Plz, Uiversidd de Ls Plms de Gr Cri, Spi

47 - CALEIDOSCOP MATEMATIC - Cel mi importt lucru e să vrei cee ce poţi Adre Mlru (9-976) 6 Cleidoscop mtemtic Numere triughiulre Numărul de bile cu cre putem lcătui u triughi echilterl îl umim umăr triughiulr De eemplu,,, 6, 5,, Puteţi spue cre este l zecele umăr triughiulr? O problemă cu u testmet U geerl rom, îite de plec l război, lăst u testmet petru soţi s cre ştept u copil Astfel, î testmet se meţio că dcă e v şte u băit tuci să-i de lui două treimi di vere ir e să i o treime di vere Dcă îsă, v şte o ftă, să i se de fetei o treime di vere ir mm să i două treimi Cum geerlul muri î scurt timp ir soţi ăscu doi gemei, u băit şi o ftă, cum credeţi că r trebui să se împrtă vere cât mi prope de doriţ geerlului? Cum este mi bie să plătiţi? Dcă vi se oferă modlitte de vă chiziţio u produs î vlore de 5 de euro, cum credeţi că este mi covebil, să plătiţi csh su să plătiţi zi euro şi poi timp de de lui să plătiţi î fiecre luă dublul sumei plătită î lu precedetă? 4 Porid de l o problemă propusă de DM Bătieţu-Giurgiu şi Neculi Stciu î GM-B, r /, prezetăm soluţiile (obţiute cu jutorul clcultorului) petru următorele două probleme: )Să se determie cifrele, b, c, d, e, f, g, h, i, j, disticte două câte două, stfel îcât bcde f ghij : b)să se determie cifrele, b, c, d, e, f, g, h, i, j, disticte două câte două, stfel îcât bcde fg hij : Titu Zvoru, Comăeşti

48 - CALEIDOSCOP MATEMATIC - 5 Î GM-B, r /, DM Bătieţu-Giurgiu şi Neculi Stciu u propus următore problemă: Determiţi două umere turle bcde şi fghij stfel îcât bcde fghij şi î scriere celor două umere să se utilizeze tote cifrele de l l 9 Î umărul 6-7-8/4 l celeişi reviste părut soluţi cestei probleme, obţiâdu-se eemplul Î SM, r 4 di 4, Ro Mihel Stciu şi Nel Ciceu u prezett tote soluţiile Deorece eistă trei omisiui, reveim cu soluţiile obţiute de dt st cu jutorul clcultorului Acelşi progrm e permite obţiere tuturor soluţiilor petru problemele îrudite, îlocuid fctorul cu, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Titu Zvoru, Comăeşti Pe u eroport este depistt u om de ştiiţă vâd supr lui o bombă cre vroi să se îmbrce îtr-u vio petru juge l o coferiţă Lut l îtrebări de securitte eroportului, de ce re supr lui bomb, cest răspude - Stţi să vedeţi Ştiţi că probbilitte c ciev să se urce îtr-u vio cu o bombă este de l? - Ei bie, şi? Vroiţi să urcţi îtr-u vio şi să-l rucţi î er? - Nicidecum Nu ţi îţeles Petru sigurţ me şi celorllţi m-m gâdit să urc eu cu o bombă căci sttistic vorbid cum, probbilitte c două persoe să urce cu bombe î celşi vio este de l, şdr sutem mult mi î sigurţă cum căci, probbilitte c ciev să urce cu o bombă este cum de l

49 - POŞTA REDACŢIEI - Nu rosti cuvite spre căci se vor îdrept împotriv t Cuvitele spuse l mâie răesc, ir răul se îtorce Buddh(cc 6-54 îe) 7 Poşt redcţiei Drgi cititori, elevi şi profesori, părut umărul 7 l revistei de mtemtică SCLIPIREA MINTII, o revistă cre promoveză studiul mtemticii î râdul elevilor oştri, şi cre, sperăm oi, v du tot mi mulţi elevi şi profesori împreuă, petru fce di obiectul mtemticii o ctivitte trctivă şi performtă Profesorii şi elevii cre doresc să trimită mterile petru revistă, costâd î rticole, eerciţii şi probleme cu euţ şi rezolvre completă, mterile petru cleidoscop mtemtic, su orice lte sugestii petru îmbuătăţii clitte cestei reviste, o pot fce trimiţâd mterilele membrilor colectivului de redcţie su pe dres de e_mil: dy_st5@yhoocom, fie mterile tehoredctte( slvte î Word ), fie scrise de mâă şi scte Mterilele primite trebuie să fie origile şi să u mi fi fost trimise su să mi fie trimise şi către lte reviste Dreptul de utor l mterilelor trimise spre publicre, prţie redcţiei Dt filă pâă câd profesorii pot trimite mterilele, rezolvările şi comezile petru umărul 8 l revistei SCLIPIREA MINTII v fi Octombrie 6 Vă urăm succes şi vă şteptăm RĂSPUNSURI CALEIDOSCOP MATEMATIC NR 7: ( ) Observăm că u umăr triughiulr re form Petru = se obţie primul umăr Petru = se obţie l doile umăr, Petru = se obţie l treile umăr triughiulr şi ume 6 Aşdr, petru = se obţie l zecele umăr cre este 55 Di testmet reiese clr doriţ geerlului c băitul să primescă de două ori mi mult decât mm, ir mm de două ori mi mult decât fiic Atuci, vere se pote împărţi î şpte părţi Astfel, băitul primeşte ptru părţi, mm două părţi ir ft o prte O soluţie cre r pute să o vtjeze pe mmă r fi c e să primescă ect o treime di moşteire (căci o treime este mi mult decât două părţi di şpte) şi tuci copii primesc restul de două treimi di vere îtr-o cotă de 4 l, stfel, 8 di vere primeşte băitul ir ft 5 5 8, căci Clculâd sum dtă petru dou vrită se obţie = - sumă ce depăşeşte euro, mi precis 47 euro Pri urmre, este covebilă prim vrită de plăti cu 5 de euro csh

50 Ce mi îverşută luptă este cu tie îsuţi Te fli î mbele tbere Voltire( ) Liceul Teoretic Pogoele, Buzău Cls V-: 5p Codruz Adree, Tudorică Aledru ; 9p Trif Cătăli; Brcoveu Ştef, Mihlşcu Cătăli, Stirbu Deis, Vsile Adi; Cls VI-: p Me Petroel; 6p Costti Iouţ, Filip Mihel, Trif Cătăli; Cls XI- : 6p Velicu Adree; p Ee Bogd; Lupu Nicole; Prof Stăescu Io Scol Gimzilă cu clsele I-VIII, r Cugir, Alb Cls V-: p Adreiuc Răzv, Neg Răzv, Negre Cipri; Prof Călugăr Moic; Cls VI-: 6p Ferdes Dri, Ilc Georgi, Roşu Iuli, Vetiş Aledru, Schdi Adres, Isrie Di, Căprriu Ad; Prof Ţârle Ac Stel; Cls VII-: 8p Dicu Adrei, Dîşore Deis; Cls VIII-: 67p Bel Lu, 4p Lzăr Ari; Prof Mri Mite Colegiul Vsile Loviescu, Fălticei, Sucev Cls XI-: 4p Geoşu Neculi, Tăbârce Costti; Boicu Răzv; Cls XII-: 5p Mogrz Elisbeth, Nistor Vd; Prof Ele Ciobîcă Colegiul Ecoomic Buzău Cls X-: 7p Alde Aurel; Cls XI-: 4p Stere Ele; Cls XII- : 4p Dod Mrius; Prof Costti Diu; Şcol Şerb Cioculescu, Găeşti, Dâmboviţ Cls VI-: p Gir Mri, Ioiţă Aledr, Ioiţă Adri, Olteu Adri, Ne Ves, Diu Lidi, Popescu Rdu ; Prof Flori Stăescu Şcol Mihi Vitezu, Târgovişte, Dâmboviţ Cls VI- : p Pleş Ştef, Prof Gbriel Stăescu; Şcol cu clsele I-VIII Gh Popescu Mărgiei Slobozi, Olt Cls VII-: 47p Ducu Sbi, Tro AdriProf Iuli Trşcă Liceul Tehologic Costi Neiţescu, Buzău Cls X-: 8p Că Corel, Grigore Diel, Toboş Vleti Cls XI-: 4p Pred Mădăli, Diu Cristi Bic Cls XII- :46p Ilie Ştefi, Mri Vleti, Io Mihel,Costche Adri, Rom Cori, Stupiru Cosmi, Zică Adree Prof St Adri Liceul Tehologic Sfâtul Muceic Sv, Berc, Buzău Cls IV-: 4p Ilie Adrei, Dur Bic, Bde Rreş, Tudor Iri, Păpătoiu Pul, Hocă Ştef ; Prof Gbriel- Nicolet Lupş; Scol Gimzilă Căpit Avitor M T Bădulescu, Buzău Cls IV-: p Petrişor Aledr, Răpiţeu Crol, Băl Aledru, Păuescu Adrei, Zevedei Ari, Com Căli Prof Cristi Cosmi Lupş Colegiul Nţiol Frţii Buzeşti, Criov, Dolj Cls VIII- : p : Vsilescu Adrei, Prof Ioescu Mri Colegiul Ntiol Vsile Alecsdri Glti Cls VI- : 9p Buleti Dri Aledr, Prof Romeo Zfir