Análise e algoritmos

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1 Análise e algoritmos

2 I have found that students do not really master the material in it until they have used it to formulate and solve life problems of interest to them Carlos Daganzo

3 Exemplo de motivação

4 O sistema Fabricante de computadores, radios e televisões 3 fábricas Green bay Indianopolis Denver 100 centros de distribuição 1 armazém localizado próximo da fábrica de Indianapolis Componentes são montados antes de serem vendidos nos centros de distribuição ou no armazém 4

5 Dados produto e produção Fábrica Produtos Custo ($) Peso (lbs) Green Bay Computer modules Indianapolis Televisions Monitors/keyboards Denver Consoles Denver Green Bay Indianapolis Produtos comercializados\componentes Console Computer module Monitor\keyboard Television Television 1 Console 1 Computer 1 1 5

6 Dados da procura Denver Green Bay Indianapolis Procura dia ano (250 dias) Console Computer module Monitor\keyboard Television Television Console Computer Totais\fábrica

7 Dados de custos distribuição e inventário Custos distribuição Distâncias tabeladas - Sumário - Distância média = 1000 Km Dados mais precisos na página seguinte Camiões: - Capacidade: lbs - Custo/Km: $1 Custo inventário Taxa0.06% do custo produto/dia de trabalho = 15% em 250 dias de trabalho 7

8 8

9 Problema Problema: Determinar a estratégia de distribuição que minimiza a soma dos custos de transporte e de manutenção de inventários 9

10 Estratégias 1. O armazém não é utilizado e tudo é enviado directamente das fábricas para os centros de distribuição em camiões sem paragens intermédias 2. Todos os componentes são montados no armazém e os camiões viajam sem paragens das fábricas para o armazém e deste para os centros de distribuição Qual parece melhor? Depende de quê? 10

11 Problema complexo...mas Um problema real pode ser ainda mais complicado. Questões pertinentes 1. Os dados são suficientes? 2. Que modelos quantitativos são necessários? 3. Pode-se tirar partido da estrutura do problema para encontrar uma solução? 4. Que técnicas podemos utilizar na sua resolução? 11

12 Organização

13 O quê Dado um sistema produtivo, a projectar ou existente, integrado numa economia como optimizar o seu funcionamento? Problema geral Ferramentas de análise Ferramentas computacionais Heurísticas Como endereçar a complexidade Como integrar técnicas e análises Requer Familiariedade com: - Técnicas e modelos (abstracções) - Viabilidade computacional (complexidade) Engenharia de sistemas (IEEE standard, System s Engineering Handbooks) Bom senso educado (Engenharia) Experiência Recomendação Aprendam sempre!!!! 13

14 Tipos de abordagens Problem-based Case study como exemplo Modelos analíticos simples Agregação de dados e aproximações Enfasenaanálise Method-based Encaixam em problemas conhecidos Formulações semelhantes Análises e algoritmos semelhantes Requermuitosdados Análisedifícil 14

15 Problem-based Exemplo: Case study Abordagem case study 1. Mesmo que haja dados detalhados as principais aproximações são efectuadas à partida 2. Os métodos numéricos são substituídos por modelos analíticos 3. Os modelos analíticos são resolvidos com detalhe 4. É possível identificar propriedades de soluções próximas do óptimo 5. Estas são utilizadas para formular guias para a implementação 6. O passo final de optimização pode ser efectuado com recurso a um algoritmo de optimização computacional 7. Mesmo que os dados mudem os princípios de projecto são os mesmos 15

16 Problem-based Exemplo: Case study Abordagem tradicional da logística 1. Formulação de um problema de programação matemática 2. Grande volume de dados 3. Decisões: 1. não são baseadas em análises sistemáticas 2. Baseadas em heurísticas que não são particularmente insightfull 4. Problemas NP-hard 16

17 Exemplo de comparação de resultados 17

18 Matéria Introdução O quê? Porquê? Como? Parte 1 - Análise com base modelos sucintos e sumários de dados Formulação Método de resolução Parte 2 - Problemas de fluxos em redes Modelos e algoritmos Aplicações Design e análise de algoritmos 18

19 Bibliografia Carlos Daganzo, Logistic Systems Analysis, Springer Verlag, 1998 Carlos Daganzo, A Theory of Supply-chains, Springer Verlag, 2003 R. Ahuja, T. Magnanti and J. Orlin, Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Prentice Hall,

20 Competências Recolha e tratamento de dados Definição de objectivos Selecção de modelos apropriados Simplificações Agregação/hierarquização Relatórios sucintos objectivos formato apropriado Saber o que é um autómato Desenvolvimento de modelos Análise de sistemas Selecção de métodos de solução Analise soluções Métodos não se limitam a sistemas de produção problemas de tráfego aéreo problemas militares etc. 20

21 Parte 1 Modelossucintose sumáriosde dados Caso de uma origem e de um destino Custos Métodos de optimização

22 Custos Caminho de um item da produção para o destino Transportado da produção para o armazenamento Esperaem armazém por transporte Transportado do armazém para o veículo Transportado para o destino Transportado do veiculo, manipulado e armazenado no destino Esperaem armazém por consumo Tipos Motion para ultrapassar distância Holding para ultrapassar tempo 22

23 Tipos de custo Motion Handlingfora do veículos de transporte (inclui packaging) Transportation (inclui loading) Holding (não é uma terminologia universal) Rent Waiting ou inventory Análise Identificar os quais os parâmetros que influenciam que custos Identificar forma matemática das relações Representação Definir como representar os custos 23

24 Holding costs Interpretação geométrica Gráfico i) produção ii) despachos iii) chegadas iv) consumo Contém informação relevante Procura = produção D i) ii) iii) iv) 24

25 Holding costs Interpretação geométrica t, separações verticais entre i e ii) - numero de items à espera de transporte entre iii e iv) - numero de items à espera de serem consumidos entre ii e iii) - numero de items em transporte Consider que os items passam numa order fifo Separação horizontal Tempo passado entre duas estações consecutivas t m tempo de transporte 25

26 Method-based Network flow problems

27 Method-based Ex: Network flow methods Problemas formulados numa rede Problemas típicos Caminho mais curto Máximofluxo Mínimo custo de fluxo Formulação bastante geral Questões Complexidade Não utilização de programação linear 27

28 Method-based Ex: Network flow methods Mínimo custo de fluxo Maisfundamental de todososnetwork flow problems Descrever algumas especializações deste problema Problema Dada uma rede determinar o custo mínimo de transporte de uma mercadoria através da rede a partir de nós de distribuição e com o objectivo de satisfazer a procura em determinados nós Formulação num grafo G=(N,A) N conjunto de n nós A conjunto de arcos (i,j) com custo associado c i,j (linear) 28

29 Method-based Ex: Network flow methods Mínimo custo de fluxo i N b(i) inteiro que representa a procura em i - b(i)> 0 nó fornecedor - b(i)< 0 nó consumidor - b(i)= 0 nó de transferência Variáveis de decisão - Fluxo x i,j nos arcos 29

30 Method-based Ex: Network flow methods Mínimo custo de fluxo Mass balance constraints Flow bound constraints 30

31 Questões em projecto de redes Problemas reais de logística Múltiplos caminhos alternativos Questõesde como e quando despachar Pode ser necessário projectar nova rede de distribuição As economias de escala são traduzidas pelo facto de o custo óptimo por item diminuir com a D Vamos discutir alguns aspectos de problemas com Múltiplos destinos Trajecto de um item não está pré-determinado Custo decresce com o fluxo 31

32 Questões de projecto de redes Exemplo ilustrativo Procura = produção Suponha que fracção x dos items para P 2 são enviados via P 1 x 1 = 4(1+x) x 2 = 4(1-x) x 3 = 4x Custo de transporte Soma dos custos dos arcos - Válido desde que não se pretenda coordenar os horários nos 3 arcos i x i z(x i ) z(x i ) aumenta a uma taxa decrescente (concava) x i linear em x Custo concavo em x Formulação conhecida? E o que se passa para multiplas Commodities? 32

33 Questões de projecto de redes Exemplo ilustrativo Exemplo z 1 = 1/sqrt(x 1 ) z 2 = 3/sqrt(x 2 ) z 3 = 1 x 1 z 1 = sqrt(x 1 ) x 2 z 2 = 3sqrt(x 2 ) x 3 z 3 = x 3 Custo total = 2sqrt(1+x)+6sqrt(1-x)+4x Valor óptimo x*=1 - Custo concavo - Extremo do intervalo 33

34 Questões de Projecto de redes Discussão O mesmo princípio tudo ou nada aplica-se a problemas com múltiplas origens/destinos se função custo concava No caso de uma origem e múltiplos destinos isto implica apenas uma rota Intuição Existe uma partição do fluxo por várias rotas Os flows nas várias rotas são lineares nessa partição O custo total é concavo nessa partição Mas se a função custo for convexa Existe um incentivo para deseconomias e para dividir o fluxo por várias rotas No caso de uma origem e um destino com várias rotas e funções custo iguais para cada rota então prova-se que a solução óptima é dividir o fluxo igualmente por todas as rotas 34

35 Questões de Projecto de redes Métodos de solução Redes com economias versus deseconomias Naturezadasoluçãoé diferente Método de solução tem que ser diferente - deseconomias problema de optimização bem comportado - Economias problema de optimização com mínimos locais que podem não ser globais Métodos de pesquisa local - Utilizados para encontrar soluções quase-óptimas para grandes redes com custos convexos. - No caso das redes de custo concavo estes mesmos métodos podem falhar e como tal só funcionam para redes de dimensões mais baixas 35