1. INTRODUCERE Obiectul mecanicii Noţiunile fundamentale ale mecanicii Modele folosite in mecanică. 1.

Size: px

Start display at page:

Download "1. INTRODUCERE Obiectul mecanicii Noţiunile fundamentale ale mecanicii Modele folosite in mecanică. 1."

Flora Rodgers
5 years ago
Views:

1 1. Introducere 1. INTRODUCERE 1.1. Obiectul mecanicii Mecanica clasică (raţională, teoretică, tehnică) studiază deplasarea relativă a corpurilor materiale macroscopice cu viteze neglijabile faţă de aceea de propagare a undelor electromagnetice în vid, sau altfel spus Mecanica studiază mişcarea mecanică a sistemelor materiale Noţiunile fundamentale ale mecanicii În mecanică se utilizează următoarele noţiuni cu caracter general numite noţiuni fundamentale: spaţiul, timpul, masa şi forţa. Spaţiul este o reprezentare generalizată a dimensiunilor corpurilor, a distanţelor dintre ele. În Mecanica clasică este adoptat spaţiul Euclidian (Euclid din Alexandria, cca î.h.) cu trei dimensiuni, omogen, izotrop şi infinit. Ca sisteme de referinţă, considerate fixe, pentru mişcările curente din tehnică, se pot folosi repere solidare cu Pământul. Timpul reprezintă o generalizare a duratei evenimentelor şi intervalelor dintre ele. Timpul este considerat unidimensional şi infinit. Noţiunea de masă reflectă proprietatea de inerţie a corpurilor şi de a produce câmp gravific. În cadrul aproximaţiilor Mecanicii clasice masa este o mărime scalară constantă, pozitivă, deci independentă de viteză. Forţa este o mărime care măsoară interacţiunea mecanică dintre corpurile materiale. Forţa are un caracter vectorial deoarece efectul forţei depinde de punctul de aplicaţie, de intensitate, de direcţia şi sensul ei Modele folosite in mecanică Pentru a putea utiliza calculul matematic corpurile materiale se schematizează sub forma unor modele teoretice cum ar fi: punctul material, sistemul de puncte materiale, linia materială, suprafaţa materială, corpul material, mediul continuu, solidul rigid. Punctul material reprezintă modelul unui corp de dimensiuni neglijabile în raport cu alte corpuri sau cu distanţele dintre ele şi are ca elemente: punctul geometric pentru reprezentarea poziţiei corpului şi masa ca măsură a inerţiei corpului. O mulţime finită de puncte materiale aflate în interacţiune mecanică formează un sistem de puncte materiale. 13

2 Mecanica Linia materială este modelul unui corp la care două dimensiuni, care determină secţiunea transversală, pot fi neglijate (sunt relativ mici) în raport cua treia, numită lungime. Are ca elemente o linie geometrică, dreaptă sau curbă, reprezentând axa geometrică a corpului şi o masă distribuită de-a lungul ei, ca mărime ce măsoară inerţia corpului. Liniile materiale se numesc bare, dacă prezintă rigiditate la schimbarea formei, sau fire, dacă această rigiditate este neglijabilă, respectiv dacă sunt foarte flexibile dar inextensibile. Suprafaţa materială reprezintă modelul unui corp la care o dimensiune (grosimea) este neglijabilă (relativ mică) în raport cu celelalte două (lungimea şi lăţimea), fiind caracterizată de o suprafaţă geometrică, plană sau curbă, reprezentând suprafaţa mediană a corpului şi o masă distribuită pe suprafaţa mediană, ca mărime ce măsoară inerţia corpului. Suprafeţele materiale se numesc plăci dacă prezintă rigiditate la schimbarea formei sau membrane în caz contrar, adică atunci când sunt foarte flexibile dar inextensibile. Corpul material modelează un corp la care cele trei dimensiuni sunt aproximativ de acelaşi ordin de mărime şi are ca elemente corpul geometric căruia i se ataşează o masă distribuită în volumul corpului. Mediul continuu reprezintă modelul unui corp al cărui volum este ocupat integral de substanţă deşi în realitate structura atomică este discontinuă. Solidul rigid (rigidul) este un mediu continuu indeformabil. Rigidul poate fi considerat ca un sistem alcătuit dintr-un număr infinit de puncte materiale având distanţele dintre ele invariabile (indiferent de forţele care acţionează asupra corpului) şi ocupând acelaşi domeniu ca şi corpul Legile de bază ale mecanicii Isaac Newton (Newton, Isaac, ) a enunţat în celebra lucrare Principiile matematice ale filozofiei naturale (1686) principiile mecanicii pe care le-a denumit axiomele sau legile mişcării. Legea I-a (Principiul inerţiei): Un corp îşi păstrează starea de repaus sau de mişcare rectilinie şi uniformă atâta timp cât nu intervin forţe care să-i modifice această stare. Legea a II-a (Principiul forţei): Variaţia mişcării este proporţională cu forţa imprimată şi este dirijată după linia dreaptă în lungul căreia este imprimată forţa. Legea a III-a (Principiul acţiunii şi reacţiunii): Reacţiunea este totdeauna egală şi contrară cu acţiunea sau, acţiunile reciproce a două corpuri sunt totdeauna egale şi dirijate în sensuri contrarii. Corolarul I (Principiul paralelogramului): Un corp sub acţiunile a două forţe unite descrie diagonala paralelogramului, construit pe cele două forţe, în acelaşi timp în care ar descrie laturile sub acţiunile separate ale forţelor. 14

3 1. Introducere Observaţii: 1) Prin denumirea de corp folosită de Newton se înţelege de fapt punct material iar mişcarea la care se referă legile mecanicii este raportată la un reper absolut şi imobil. 2) Legea a II-a a mecanicii: (m v) d = F dt, (1.1) ţinând seama că masa este constantă, poate fi pusă sub formă: m a = F (1.2) S-au făcut notaţiile: m - masa punctului; v - viteza punctului; a - acceleraţia punctului. 3) Este impropriu să se considere ca forţele reprezentând acţiunea şi reacţiunea din legea a III-a is fac echilibru, ele acţionând, în general, asupra a două puncte diferite. 4) Prin principiul paralelogramului se confirmă faptul ca regulă paralelogramului care stă la baza calculului vectorial se aplică şi forţelor. Acest principiu nu este o consecinţă logică a primelor trei, corectitudinea lui fiind confirmată din experienţa Diviziunile mecanicii Potrivit unei împărţiri devenite clasice, Mecanica se compune din trei părţi: statica, cinematica şi dinamica. Statica studiază condiţiile de echilibru şi de echivalenţă a sistemelor de forţe care acţionează asupra corpurilor materiale. Cinematica se ocupă cu studiul geometric al mişcării corpurilor fără să ia în considerare forţele aplicate corpurilor şi masele lor. Dinamica tratează mişcarea corpurilor sub acţiunea forţelor, ţinând seama şi de masele lor Scurtă privire asupra dezvoltării Mecanicii Conceptual, Mecanica a apărut o dată cu crearea primelor mijloace de producţie şi a evoluat împreună cu dezvoltarea economică a societăţii omeneşti. Necesităţile impuse de arta construcţiilor au făcut ca, încă din antichitate, să apară primele elemente de Statică. Mecanica nu exista ca ştiintă ci doar ca aplicare a unor dispozitive mecanice simple, precum pârghia, şurubul, scripetele, planul înclinat. Dezvoltarea Mecanicii a fost impulsionată, şi de căutările legate de nevoile omului de a-şi explica universul în care trăieşte. Istoria mecanicii este marcată de realizările unor savanţi de geniu. 15

4 Mecanica Filozofului Arhitas din Trent ( î.c) i se aribuie descoperirea scipetelui şi şurubului. Aristotel ( î.c) s-a preocupat de problema echilibrului, a căderii corpurilor şi a abordat pentru prima dată problema relativităţii mişcării. Arhimede ( î.c), mare geometru, este considerat adevăratul părinte al Staticii. De el se leagă teoria pârghiilor, teoria compunerii şi descompunerii forţelor paralele, definirea centrului de greutate, unele legi ale hidrostaticii. Pappus din Alexandria ( ) s-a preocupat de probleme legate de centrul de greutate şi de planul înclinat. Cunoştintele de Mecanică au stagnat în prima parte a Evului Mediu. Abia în timpul Renaşterii, o dată cu înflorirea artelor şi celorlalte ştiinţe, în Mecanica au fost aduse contribuţii remarcabile, făcându-se saltul de la Statică la Dinamică. Leonardo da Vinci ( ), mare artist şi învăţat, a făcut cercetări privind căderea liberă a corpurilor, a introdus noţiunea de moment, a sudiat ciocnirile şi a stabilit unele reguli ale frecărilor. Lui Nicolaus Copernicus ( ) i se datorează teoria heliocentrică a sistemului solar, eveniment considerat revoluţionar. Johann Kepler ( ) stabileşte celebrele trei legi ale mişcării planetelor care îi poarta numele. Figura cea mai proeminentă a acestei epoci este fără îndoială Galileo Galilei ( ) de care se leagă formularea noţiunilor principale ale Cinematicii şi stabilirea formulei căderii corpurilor. Se consideră că istoria Dinamicii începe cu el prin formularea: legii inerţiei, teoriei mişcării pe planul înclinat, legilor mişcării unui corp lansat sub un anumit unghi, regulii de aur a Mecanicii, cât se câstigă în forţă se pierde în viteză. Au urmat: Gilles de Roberval ( ) cu preocupări privind compunerea forţelor, Evangelista Torricelli ( ), ucenicul lui Galilei, care dezvoltă teoria mişcării corpurilor grele, stabilitatea echilibrului şi rezolvă unele probleme de hidrostatică, Simon Stevin ( ) cu principiul compunerii forţelor şi calculul presiunii apei, René Descartes ( ) care emite, deşi cu erori, noţiunea de cantitate de mişcare, se preocupă de teoria ciocnirilor etc., Blaise Pascal ( ) cu contribuţii în Hidrostatică şi Teoria probabilităţilor, Christiaan Huygens ( ) care a studiat mişcarea pendulului şi emis teoria naturii ondulatorii a luminii. Alături de Galilei, Isaac Newton ( ) este considerat părintele Mecanicii clasice sau Mecanicii care îi poartă numele. El a formulat cele trei principii fundamentale ale Mecanicii, al patrulea fiind considerat corolar. A aprofundat studiul forţelor, a descoperit legile fundamentale ale opticii, a pus bazele calculului infinitezimal. Ideile lui Newton s-au răspândit cu rapiditate datorită "iluminismului. Pierre Varignon ( ) a avut preocupări în Statică definind complet noţiunea de moment al forţei şi enunţând cunoscuta teoremă care îi poartă numele despre momentul rezultantei unui sistem de forţe. Robert Hooke ( ) a determinat experimental relaţiile dintre eforturi şi deformaţii în cazul corpurilor elastice. Daniel Bernoulli ( ) a dat ecuaţiile fundamentale ale hidrodinamicii. Leonhard Euler ( ) a studiat dinamica punctului material cu utilizarea calculului diferenţial. A 16

5 17 1. Introducere elaborat Mecanica solidului rigid cu introducerea unghiurilor care îi poartă numele. Este fondatorul Hidrodinamicii şi al teoriei stabilităţii barelor drepte. Are importante realizări în domeniul Rezistenţei materialelor şi Mecanicii cereşti. Charles de Coulomb ( ) a stabilit experimental legile frecării uscate şi legea lui Coulomb în Electrostatică. Pierre-Simon Laplace ( ) s-a ocupat îndeosebi de mecanica cerească. Principiile variaţionale ale Mecanicii sunt formulate spre mijlocul secolului XVIII. Pierre Maupertuis ( ) enunţă principiul lui Maupertuis sau al minimei acţiuni. Jean le Rond D Alembert ( ) formulează metoda cinetostatică în Dinamică. O contribuţie deosebită în dezvoltarea Mecanicii a avut-o Joseph Louis Lagrange ( ). A fondat Mecanica analitică pe baza principiului deplasărilor virtuale. Louis Poinsot ( ) studiază mişcarea corpului rigid şi sistemele de forţe dând o formă definitivă mecanicii corpului solid. Siméon Denis Poisson ( ) se preocupă de dezvoltarea metodelor generale de integrare a ecuaţiilor diferenţiale ale Dinamicii. Gaspar-Gustave de Coriolis ( ) a analizat influenţa rotaţiei Pământului asupra proceselor ce se desfăşoară pe el. Studii decisive de Statică, Rezistenţa materialelor şi de Elasticitate au avut: Claude-Louis Navier ( ), Barré de Saint-Venant ( ), Gabriel Jean Baptiste Lamé ( ). Ultimul a devenit cunoscut pentru teoria sa generală a coordonatelor curbilinii. William Rowan Hamilton ( ) a aplicat calculul variaţional în Mecanică şi a formulat principiul care îi poartă numele. Carl Gustav Jacob Jacobi ( ) a introdus ecuaţiile cu derivate parţiale pentru formularea ecuaţiilor mişcării. Mikhail Ostrogradski ( ) a studiat legăturile reonome şi cele exprimate analitic prin inegalităţi şi a aplicat principiul luvrului mecanic virtual pentru asfel de lagături. A dat o nouă formă ecuaţiei generale a Dinamicii care prin integrare conduce la principiul lui Hamilton Ostrogradski. Merită amintiţi şi alti savanţi care au contribuit esenţial la dezvoltarea Mecanicii: Jean-Bernard-Léon Foucault ( ) a demonstrat făra observaţii astronomice că Pământul se roteşte în jurul axei sale, Sofia Kovalevskaia ( ) a cercetat integrabilitatea ecuaţiilor de mişcare a corpului rigid, Alexander Mikhaylovich Liapunov ( ) - a demonstrat că cele trei cazuri de integrabilitate ale rigidului cu punc fix sunt unice. Studiile începute de Lagrange privind stabilitatea echilibrului şi mişcării au fost continuate de: Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ), E. I. Routh, N. E. Jukovski ( ), A. M. Liapunov ( ). Fundamentele dinamicii corpului cu masă variabilă au fost puse de V. I. Mescerski ( ) ale cărui studii au stat la baza teoriei mişcării reactive aprofundate de K. E. Ţiolkovski ( ). Nevoia de a explica anumite fenomene la care Mecanica clasică nu putea da răspuns a făcut să apară în secolul XX alte ramuri ale Mecanicii: Mecanica relativistă, Mecanica cuantică, Mecanica ondulatorie, Mecanica

6 Mecanica statistică, Mecanica Roboţilor etc. Numele unor savanţi ca Max Planck ( ) şi Albert Einstein ( ) sun bine cunoscute. Dintre corifeii şcolii româneşti de Mecanică merită amintiţi: Elie Angelescu ( ) primul professor de Mecanică raţională la Universitatea Bucureşti; Simion Sanielevici ( ) în 1929 şi 1931 publică primul curs de mecanică raţională tipărit in limba română care utilizează calculul vectorial şi se preocupă de studiul corzilor vibrante; Traian Lalescu ( ) are rezultate notabile în domeniul ecuaţiilor integrale, teoria matematică a aeroplanelor şi pendulului lui Foucault. Victor Vâlcovici ( ) - creatorul hidrodinamicii şi aerodinamicii româneşti. A studiat mişcare lichidelor, mişcarea solidului cu masă variabilă. A avut rezultate meritorii în domeniul Elasticităţii şi Teoriei relativităţii Octav Onicescu ( ) are realizări deosebite în domeniile: Mecanică statistică, Teoria relativităţii, Mecanica invariantă a mjediilor continue, Mecanica ondulatorie; Dumitru Ioan Mangeron ( ) cu contribuţii mai ales în Mecanica analitică. Caius Iacob ( ) considerat părintele şcolii româneşti de Mecanică şi Mecanica fluidelor. Radu Voinea (n. 1923) - dintre contribuţiile originale ale căruia se pot menţiona: suficienţa principiului lucrului mecanic virtual, introducerea conceptului de sistem critic alături de sistemele olonome şi neonolome, distribuţia acceleraţiilor în mişcarea relativă a rigidului, metoda ciclurilor independente, analiza poziţională a mecanismelor, sinteza cuplelor cinematice, efectul cuplării unor structuri de rigidităţi foarte diferite, dinamica suspensiei autovehiculelor, vibraţiile rotorilor situaţi în sisteme neinertiale etc. În cadrul activităţii de cercetare ştiinţifică a abordat probleme de mecanică teoretică, de teoria mecanismelor, de stabilitate elastică şi de dinamica autovehiculelor şi maşinilor. În cadrul Universităţilor din marile centre universitare din România s-au format colective puternice de cercetare în domeniul Mecanicii raţionale şi aplicative cu rezultate recunoscute inclusiv pe plan internaţional. 18

GRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat

GRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat GRAFURI NEORIENTATE 1. Notiunea de graf neorientat Se numeşte graf neorientat o pereche ordonată de multimi notată G=(V, M) unde: V : este o multime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc noduri