4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia

Size: px

Start display at page:

Download "4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia"

Jayson Dennis
6 years ago
Views:

1 4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia Media (sau ) a unei variabile aleatoare caracterizează tendinţa centrală a valorilor acesteia, iar dispersia 2 ( 2 ) caracterizează împrăştierea valorilor lui. Media a variabilei aleatoare se defineşte prin ½ P ( ) dacă este o v.a. discretă (32) () dacă este o v.a. continuă iar dispersia 2 a variabilei aleatoare se defineşte prin ( P 2 ( ) 2 ( ) dacă este o v.a. discretă ( )2 () dacă este o v.a. continuă (33) unde prin am notat funcţia de probabilitate a lui în cazul în care este o variabilă aleatoare discretă, respectiv funcţia de densitate a lui în cazul în care este o variabilă aleatoare continuă. Abaterea pătratică medie a variabilei aleatoare se defineşte ca fiind radicalul dispersiei, adică 2. Media a unei variabile aleatoare se mai notează () (sau ())şi se mai numeşte valoarea aşteptată /aşteptarea lui, deoarece ea este egală cu valoarea medie a lui atunci când se efectuează multeîncercări. Cantităţi precum (media) sau 2 (dispersia) care indică anumiteproprietăţi ale distribuţiei în cauză senumesc parametrii ai distribuţiei. Media şi dispersia sunt cei mai importanţi parametrii ai unei distribuţii. Observăm că în general (cu excepţia cazului unei variabile aleatoare discrete având o singură valoare posibilă), avem 2. În continuare vom presupune că şi 2 există (şi sunt finite), ca în majoritatea cazurilor ce apar în probleme practice. Exemplul 4. Fie variabila aleatoare reprezentând numărul de feţe stemă obţinut la aruncarea unei monede. În acest caz variabila aleatoare este dată de şi deci obţinem media şi dispersia Exemplul 4.2 (Distribuţia uniformă peintervalul( )) Distribuţia având funcţia de densitate () ½ se numeşte distribuţie uniformă pe intervalul ( ). Media şi dispersia sunt date în acest caz de respectiv 2 + () 2 () Z Z ( ) în rest 2 2( ) 2 2 2( ) ( ) 2 ( )2 2 Figura 5 indică graficele funcţiei de densitate şi a funcţiei de distribuţie corespunzătoare distribuţiei uniforme pe intervalul ( ). Dacă o distribuţie este simetrică (adicăgraficul funcţiei de probabilitate/densitate este simetruic faţă deo dreaptă ), atunci putem calcula media a distribuţiei folosind următoarea. 22

2 b a f(x) F (x) a b a b Figure 5: Graficul funcţiilor de densitate şi de distribuţie în cazul distribuţiei uniforme pe intervalul ( ). Teorema 4.3 Dacă funcţia (de probabilitate sau de densitate) a unei distribuţii este simetrică faţă dedreapta, atunci media distribuţiei este. Demonstraţie. În cazul unei distribuţii continue având densitatea, conformdefiniţiei mediei avem: () Z () + () Folosind substituţia în prima integrală, respectiv substituţia + în a doua integrală, şi faptul că funcţia este simetrică faţă dedreapta (adică ( ) ( + )), obţinem: 2 2 ( ) ( ) + ( + + ) ( + ) ( + ) () ( + ) ( + ) deoarece şi deci R 2 (funcţia fiind simetrică faţă de ). Demonstraţia este similară în cazul unei distribuţii discrete. 4. Transformarea mediei şi dispersiei În practică, deseori cunoaştem media şi dispersia 2 a variabilei aleatoare, şi dorim să calculăm media şi dispersia unei variabile aleatoare +, unde R sunt constante. Răspunsul este dat de următoarea. Teorema 4.4 (Transformarea mediei şi dispersiei) Dacă ovariabilăaleatoare are medie şi dispersie 2, atunci variabila aleatoare + (, R) are medie şi dispersie 2 date de + şi (34) În particular, variabila aleatoare standardizată corespunzătoare lui, datăde are medie şi dispersie. (35) 23

3 Demonstraţie. Vom da demonstraţia numai în cazul unei variabile aleatoare discrete. Să arătăm mai întâi că dacă densitatea variabilei aleatoare este, atunci densitatea variabilei aleatoare este +. Reamintim că densitatea a variabilei aleatoare afostdefinită cafuncţia cu proprietatea că sau echivalent () Z ( ) Z () () Pentru a determina densitatea a variabilei aleatoare,încercăm să scriem probabilitatea ( ) ca o integrală dela la (densitatea este atunci funcţia care apare sub integrală). Folosind faptul că şi faptul că este densitatea variabilei aleatoare, avem: ( ) ( + ) Folosind substituţia,obţinem: ( ) şi deci funcţia de densitate a variabilei aleatoare este Z () Z () Putem deci calcula media variabilei aleatoare conform definiţiei Folosind substituţia () (sau echivalent + ), obţinem + ( + ) () ( + ) () () + () conform definiţiei medie alui şi deoarece (funcţia fiind o funcţie de densitate). În mod similar putem calcula dispersia variabilei aleatoare conform definiţiei dispersie 2 alui. 2 ( ) 2 () ( ) 2 ( + ) 2 () 2 ( ) 2 ()

4 Pentruademonstraultimaparteademonstraţiei, considerând şi în demonstraţia anterioară, obţinem că variabila aleatoare standardizată are medie şi dispersie încheiând demonstraţia Medie şi momente Media (sau aşteptarea) a unei variabile aleatoare reprezintă valoarea medie aşteptată alui,şi se mai notează () sau (). Mai general, dacă : R R este o funcţie continuă, atunci () este de asemenea o variabilă aleatoare. Media (sau aşteptarea) ( ()) reprezintă valoarea medie aşteptată a variabilei () şi se defineşte în mod similar formulei (32) prin ½ P ( ()) ( ) ( ) dacă este o v.a. discretă (36) () () dacă este o v.a. continuă unde reprezintă funcţia de probabilitate a lui (în cazul unei variabile discrete) sau funcţia de densitate a lui (în cazul unei variabile aleatoare continue). Încazulparticularalalegeriifuncţiei () se obţine momentul de ordin al variabilei aleatoare X ( ) sau () (37) iar în cazul alegerii funcţiei () ( ) se obţine momentul centrat de ordin al variabilei aleatoare ³( ) X ( ) ( ) sau ( ) () (38) Observăm că momentuldeordin ( în formula (37)) coincide cu media variabilei aleatoare () şi că momentul centrat de ordin 2 ( 2în formula (38)) coincide cu dispersia variabilei aleatoare 2 ³( 2 ). Exerciţii Să se determine media şi dispersia variabilei aleatoare în următoarele cazuri ( reprezintă funcţia de probabilitate sau de densitate a variabilei aleatoare ). Exerciţiul 4. () 3, { 2 3} şi în rest. Exerciţiul 4.2 reprezintă rezultatul aruncării unui zar. Exerciţiul 4.3 () 2 pentru şi în rest. Exerciţiul 4.4 () pentru şi în rest. Exerciţiul , unde este variabila aleatoare din anterior. Exerciţiul 4.6 este variabila aleatoare uniformă pe[ ]. Exerciţiul 4.7 Dacă diametrul (în centimetri) al unor şuruburi are densitatea () ( 9) ( ) pentru 9 şi în rest, să sedetermine şi 2.Să se reprezinte grafic densitatea. 25

5 Exerciţiul 4.8 Dacă în exerciţiul anterior un şurub este considerat defect atunci când diametrul său diferă cu mai mult de 6 cm faţă de cm,careesteprobabilitateacaunşurub să fie defect? Exerciţiul 4.9 În exerciţiul anterior, care este valoarea maximă posibilă a deviaţiei faţă de cm pentru care probabilitatea ca un şurub să fie defect este de %? Exerciţiul 4. Care este valoarea aşteptată a sumei la aruncarea de 2 de ori a unui zar? Comparaţi valoarea obţinută cu valoarea experimentală(efectuaţi experimentul de un număr de ori şi înregistraţi valorile obţinute). Exerciţiul 4. Ostaţiedebenzinăestealimentatăînfiecare Sâmbătă. Presupunem că volumul de benzină vândută (în zeci de mii de litri) este o variabilă aleatoare având densitatea () 6 ( ) pentru şi în rest. Să se determine media, dispersia şi variabila aleatoare standardizată corespunzătoare lui. Exerciţiul 4.2 Ce capacitate trebuie să aibă rezervorul din problema anterioară, dacă probabilitatea ca rezervorul să fie golit într-o anumită săptămână este de 5%? Exerciţiul 4.3 Dacă duratadeviaţă a unor cauciucuri (în mii de kilometri) are densitatea () pentru şi în rest, ce kilometraj sunteţi aşteptat să obţineţi cu acest tip de cauciucuri? Pentru 5, determinaţi probabilitatea ca un cauciuc va avea o durată de viaţă mai de cel puţin 3 km. Exerciţiul 4.4 La aruncarea unui zar, o persoană câştigă atâţia lei câţi indică zarul. Cât ar trebui să plătească persoana pentru un joc, pentru ca jocul să fie cinstit (echitabil)? Exerciţiul 4.5 Care este valoarea aşteptată aprofitului zilnic al unui magazin care vinde curcanipezicu probabilităţile (5), (6) 3, (7) 4 şi (8) 2, dacăprofitul pentru un curcan vândut este de 35 lei? 26

10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere

10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere Intervalele de încredere pentru un parametru necunoscut al unei distribuţii (spre exemplu pentru media unei populaţii) sunt intervale ( 1 ) ce conţin parametrul,