5. STATICA RIGIDULUI Echilibrul solidului rigid liber. 5. Statica rigidului
|
|
- Andrew Smith
- 5 years ago
- Views:
Transcription
1 5. Statica rigidului 5. STATICA RIGIDULUI 5.. Echilibrul solidului rigid liber 5... Parametrii geometrici care defiesc poziţia uui corp rigid i spaţiu. Grade de libertate Pri solid liber rigid se îţelege u corp rigid care poate ocupa orice poziţie î spaţiu, fară ici o restricţie de atură geometrică, poziţia lui fiid determiată umai de către forţele care acţioează asupra sa. Numărul gradelor de libertate ale uui rigid este dat de umărul parametrilor idepedeţi care îi defiesc poziţia la u momet dat. Fig. 5. Î figura 5. este reprezetat u corp rigid (C) situat îtr-u sistem de referiţă fix O x y z. Corpului i se ataşează u reper propriu Oxyz, legat de corp. Poziţia rigidului este cuoscută dacă se dau poziţiile, faţă de reperul fix, a trei pucte A, A, A 3, aparţiâd acestuia. La râdul lui fiecare puct este defiit pri trei coordoate carteziee. Î total sut ouă parametri, dar umai şase sut idepedeţi, deoarece distaţele ditre pucte rămâ costate: ( x x) ( y y) ( z z) = d ( x 3 x ) ( y3 y ) ( z3 z ) = d ( x x ) ( y y ) ( z z ) = (5.) d3 8 3
2 Statica Rezultă că umărul gradelor de libertate ale uui solod rigid liber este şase. Î practică u se lucrează cu cele ouă coordoate, ître care există relaţiile (5.), ci se aleg coveabil cei şase parametri geometrici idepedeţi şi aume: - coordoatele x 0, y 0, z 0, ale uui puct O al rigidului şi - ughiurile lui Euler (Euler, Leohard, ) ψ, θ, φ sau cosiusurile directoare ale axelor reperului mobil Oxyz faţă de axele reperului fix O x y z. Ughiul ψ, umit ughi de precesie, este ughiul pe care axa odurilor ON îl face cu axa Ox, paralelă cu O x. Axa odurilor rezultă di itersecţia plaului mobil Oxyz cu plaul O x y, paralel cu plaul fix O x y. Ughiul θ, umit ughi de utaţie, este ughiul ditre axa Oz şi Oz, paralelă cu O z. Ughiul φ, umit ughi de rotaţie proprie, este ughiul ditre axa Ox şi axa odurilor ON. Cosiderâd că î poziţia iiţială reperul Oxyz este suprapus peste O x y z, poziţia fială di figură este atisă dâd corpului următoarele şase deplasări (mişcări simple): - trei deplasări liiare succesive î lugul axelor reperului fix, respectiv cu x 0, y 0, z 0, altfel spus obligâd corpul sa execute o mişcare de traslaţie petru ca puctul O sa ajugă î poziţia prescrisă; - o rotaţie cu ughiul ψ î jurul axei O z, paralelă cu O z ; - o rotaţie cu ughiul θ î jurul axei odurilor ON; - o rotaţie cu ughiul φ î jurul axei Oz. Notăm cu α,β,γ cosiusurile directoare ale axei Ox, cu α,β,γ cosiusurile directoare ale axei Oy şi cu α 3,β 3,γ 3, cosiusurile directoare ale axei Oz, î reperul fix. Ître aceastea subzistă relaţiile: daca i = j; i, j =,,3 αi α j + βi β j + γ i γ j = δij = (5.) 0 daca i j i, j =,,3 Cosiusurile directoare ale axelor reperului Oxyz î reperul fix O x y z se pot exprima î fucţie de ughiurile Euler: α = cψ cφ-sψ sφ cθ; α =-cψ sφ-sψ cφ cθ; α 3 = sψ sθ; β = sψ cφ+cψ sφ cθ; β =-sψ sφ+cψ cφ cθ; β 3 =-cψ sθ; (5.3) γ = sφ sθ; γ = cφ sθ; γ 3 = cθ; Fucţiile trigoometrice sius şi cosius au fost otate prescurtat cu s, respectiv c. Î cazul uei plăci aflate îtr-u pla (fig. 5.), poziţia sa faţă de u reper fix legat de pla este detremiată dacă se cuosc poziţiile a două pucte 8
3 5. Statica rigidului A si A, care la râdul lor sut caracterizate de patru coordoate carteziee ce respecta codiţia: ( x x ) ( y y ) ( z z ) = d (5.4) Fig. 5. Pri urmare o placă liberă aflată îtr-u pla are trei grade de libertate. Cei trei parametri idepedeţi care defiesc gradele de libertate ale plăcii pot fi: - coorodoatele x 0 şi y 0, ale uui puct O al plăcii î reperul fix şi - ughiul de rotaţie φ ditre axa Ox a reperului Oxy legat ivariabil de placă şi axa O x paralelă cu O x Ecuaţiile de echilibru ale solidului rigid liber Codiţia ecesară şi suficietă petru ca u solid rigid liber, asupra căruia acţioează u sistem de forţe oarecare (fig. 5.3), să fie î echilibru este ca torsorul sistemului de forţe î raport cu u puct O arbitrar ales să fie ul: R = 0; M O = 0 (5.5) Această afirmaţie este o coseciţă a aplicării teoremei de echivaleţă a două sisteme de forţe şi a pricipiului ierţiei. U sistem de forţe care îdeplieşte codiţiile (5.5) se umeşte vid. Î orice alt puct se face reducerea, aplicâd legea de variaţie a mometului rezultat la schimbarea polului de reducere, se ajuge tot la u torsor ul. Coform pricipiului ierţiei u torsor ul u are ici u efect asupra puctului î care este aplicat, deci toate puctele rigidului rămâ î echilibru şi evidet şi rigidul. 83
4 Statica Proiectâd ecuaţiile vectoriale (5.5) pe axele uui sistem de referiţă Oxyz se obţi ecuaţiile de echilibru scalare ale rigidului liber: Fig. 5.3 R x Fix = 0; R y Fiy = 0; R z Fiz = 0; M ( y F z F ) 0 x i iz i iy = ; My ( zifix xifiz ) = 0 ; M ( x F y F ) 0 z i iy i ix = (5.6) Cu ajutorul ecuaţiilor (5.6) pot fi rezolvate trei categorii de probleme: a) Se cuosc forţele care acţioează asupra rigidului şi se cere determiarea poziţiei de echilibru pri coordoatele geeralizate x 0, y 0, z 0, ψ, θ, φ; b) Se dă poziţia de echilibru şi se cer forţele care asigură această poziţie; c) Se cuoaşte parţial poziţia de echilibru şi parţial sistemul de forţe şi se cere determiarea completă a poziţiei de echilibru şi a sistemului de forţe. Daca umărul ecuoscutelor este şase atuci, î geeral, se obţi soluţii bie determiate. Î cazul forţelor paralele (fig. 5.4) şi coplaare (fig. 5.5) umărul ecuaţiilor scalare de echilibru este trei, celelalte trei fiid satisfăcute idetic: - petru figura 5.4, R x Fix = 0; - petru figura 5.5, M ( zifix ) 0 ; M z ( yifix ) = 0 y = 84 (5.7)
5 5. Statica rigidului R x Fix = 0; R y Fiy = 0; M ( x F y F ) 0 z i iy i ix = (5.8) Fig. 5.4 Fig Echilibrul solidului rigid supus la legături fară frecare Legăturile cu mediul îcojurător ale uui corp, î ses fizic, sut reprezetate de cotacte puctuale, liiare sau superficiale cu alte corpuri di mediul îcojurător. Ca urmare, corpul î cauză este supus aumitor restricţii de atură geometrică. Axioma legăturilor rămâe valabilă şi î cazul rigidului supus la legături, coform căreia: Orice legatură poate fi ilocuită cu forţe şi/sau cupluri de legatură (reacţiui) care reprezită echivaletul mecaic al legăturii. Sub acţiuea forţelor date şi a celor de legătură rigidul poate fi cosiderat liber şi tratat ca atare. Fie R şi M elemetele torsorului forţelor date care acţioează asupra rigidului şi R l şi O M lo elemetele torsorului de reducere, î acelaşi puct, al forţelor de legatură. Ecuaţiile vectoriale de echilibru ale rigidului supus la legături fără frecare, ţiâd seama de axioma legăturilor, sut: R + R = 0; M + M 0 (5.9) O O = la râdul lor echivalete cu şase ecuaţii de echilibru scalare: R M + R 0 ; R + R 0 ; R + R 0 x lx = x Mx = y ly = z lz = + 0 ; M + M 0 ; M + M 0 (5.0) y y = z z = 85
6 Statica Dacă îtr-o problemă de echilibru a uui rigid supus la legături fără frecare umărul total de ecuoscute scalare (reacţiui plus parametrii geometrici idepedeţi care determiă poziţia de echilibru) este şase atuci, î geeral, sistemul (5.0) are soluţie bie determiată. Cele mai îtâlite legături fără frecare ale solidului rigid sut: reazemul simplu, cupla sferă-curbă, cupla cilidru-pla, cupla pla-pla, articulaţia sferică, cupla cilidrică, cupla de rotaţie, cupla prismatică, îcastrarea, legătura pri fir şi pri bară articulată la amâdouă capetele Legăturile fără frecare ale rigidului Reazemul simplu Dacă u puct al uui corp (C) este obligat să rămâă pe o suprafaţă fixă îi ideformabilă, legătura se umeşte reazem simplu sau simplă rezemare. Fig. 5.6 Î figura 5.6 este reprezetat u corp (C) al cărui puct O rămâe pe suprafaţa de ecuaţie: f (x, y, z ) = 0 (5.a) Legătura suprimă rigidului u grad de libertate petru că, di cei şase parametri care determiă poziţia rigidului, trei (şi aume coordoatele puctului O) trebuie să verifice ecuaţia suprafeţei: 86
7 f 0 5. Statica rigidului (x0, y0,z ) = 0 (5.b) Cei cici parametri idepedeţi care defiesc gradele de libertate ale rigidului vor fi coordoatele curbiliii u 0 şi w 0 ale puctului O pe suprafaţă şi ughiurile lui Euler ψ, θ, φ. Legătura u permite deplasarea rigidului de-a lugul ormalei la suprafaţă î puctul de cotact, forţa de legătură fiid plasată pe această ormală: f f f R = N = λ f = λ i + j + k (5.) x y z Deci legătura itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare o sigură ecuoscută: valoarea reacţiuii ormale sau parametrului λ. I figura 5.7 este prezetat u caz cocret de legatură de acest ge, umită cuplă sferă-suprafaţă, la care o sferă aparţiâd corpului (C) se sprijiă pe o suprafaţă fixă. Legatura fucţioează umai îtr-u ses şi de aceea se umeşte uilaterală. O legatură bilaterală sferă-suprafaţă este prezetată î figura 5.8. Fig. 5.7 Fig Cupla sferă-curbă Cupla sau legătura sferă-curbă este costituită ditr-o sferă care aparţie rigidului obligată să rămâă î iteriorul uui tub rectiliiu sau curbiliiu de acelaşi diametru (fig 5.9). Cetru sferei O se află î permaeţă pe axa tubului, adică pe o curbă de ecuaţii: f = (x, y,z ) = 0; f (x, y,z ) 0 (5.3) 87
8 Statica Legătura suprimă corpului două grade de libertate îtrucât coordoatele puctului O trebuie sa verifice ecuaţiile curbei: f (x0, y0,z0 ) = 0; f (x 0, y0, z 0 ) = 0 (5.4) (Γ) Fig. 5.9 Pri urmare rigidul (C) are patru grade de libertate, poziţia sa fiid defiită de patru parametri geometrici idepedeţi: coordoata curbiliie u a puctului O pe curba fixă (Γ) şi ughiurile lui Euler ψ, θ, φ. Această legatură u permite deplasarea rigidului i plaul ormal la curbă. Ca urmare reacţiuea este coţiută î plaul ormal şi petru a fi determiată trebuie cuoscute proiecţiile sale pe doua direcţii di plaul ormal, defiit de ormala pricipală şi biormală sau de cei doi vectori ormali la cele două suprafeţe di itersecţia cărora rezultă curba. Legatura sfera-curbă itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare două ecuoscute: proiecţiile N ν şi N β ale reacţiuii pe ormala pricipală şi pe biormală, sau parametrii λ si λ di expresia: R = N = λ f f = λ i x + λ f f + y Cupla cilidru-pla j = f + z k + λ f x i f + y j f + z k (5.5) Acest tip de legatură este prezetat î figurile 5.0 (legatură uilaterală) şi 5. (legatură bilaterală). Cotactul ditre corpul (C) şi plaul de spriji se 88
9 5. Statica rigidului realizează după u segmet de dreaptă reprezetat î acest caz de geeratoarea cilidrului. Fig. 5.0 Fig. 5. Forţele de legatură distribuite pe geeratoarea de cotact, ormale pe pla şi pe clilidru, se reduc îtr-u puct O al axei cilidrului (cetrul cuplei) la u torsor format di doi vectori perpediculari: R = Rz = N = k dx ; M O = My = xi k dx (5.6) A Î raport cu puctele axei cetrale, situată la distaţa d = M ly / R lz faţă de O, forţele de legatură se reduc la o rezultată uică R =R z. Legătura itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare două ecuoscute: R z şi M y sau R z şi d. Ea u permite deplasarea rigidului de-a lugul ormalei la pla (axa Oz) şi rotaţia î jurul axei Oy (perpediculara pe axa cilidrului şi pe ormala la pla). Deci, cupla clilidru-pla suprimă rigidului două grade de libertate corespuzatoare mişcărilor simple iterzise, rigidului rămââdu-i patru grade de libertate corespuzatoare celor patru mişcări simple permise, două deplasări liiare î plaul xoy şi două deplasări ughiulare î jurul axelor Ox şi Oz Cupla pla-pla Acest tip de legătură obligă u pla al rigidului să rămâa î cotact cu u alt pla. Schiţa uei legături pla-pla uilaterale este redată î figura 5., iar a ueia bilaterale î figura 5.3. Legătura suprimă rigidului deplasarea î lugul ormalei comue Oz la cele două plae şi rotaţiile î jurul celorlalte două axe Ox şi Oy di plaul paralel cu plaul fix, ceea ce justifica plasarea î schiţe a vectorului rezultat şi a compoetelor mometului rezultat ale forţelor de legătură. Deci, legatura pla-pla suprimă rigidului trei grade de libertate şi îi permite tot trei grade de libertate: doua traslaţii liiare î plaul xoy şi o rotatie î jurul axei Oz. A 89
10 Statica Fig. 5. Fig. 5.3 Îtrucât vectorii: R = R z şi M O = Mx + My, reprezetâd elemetele torsorului de reducere al forţelor de legatură, sut perpediculari, aceste forţe se reduc î raport cu axa cetrală la o rezultată uică R = R z. Axa cetrala itersectează plaul xoy î puctul P 0 de coordoate x 0 = a = -M y / R z şi y 0 = b = M x / R z. O cupla pla-pla itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare trei ecuoscute: R z, M x şi M y, sau R z, a şi b Articulaţia sferică Fig
11 5. Statica rigidului Articulaţia (cupla) sferică (fig. 5.4) obligă u puct O al rigidului să rămâa îtr-o poziţie dată (fixă). Alegâd coveabil sistemele de referiţă, coordoatele puctului O vor fi: x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0. Legătura suprimă corpului trei grade de libertate, iterzicâd deplasările liiare î lugul celor trei axe de coordoate şi permite rotaţiile î jurul aceloraşi axe. Poziţia rigidului este determiată de ughiurile lui Euler ψ, θ, φ. Î ecuaţiile de echilibru scalare sut itroduse ca ecuoscute proiecţiile reacţiuii pe axele reperului Oxyz: R x =H, R y =V, R z =W. Deoarece forţele de legatură distribuite pe suprafaţa sferei sut ormale pe aceasta şi cocurete î O, mometul lor faţa de acest puct este ul Cupla cilidrică u φ φ Fig. 5.5 Această legatura umită şi cuplă de rototraslaţie (fig. 5.5) obligă u segmet de dreaptă al rigidului să-şi păstreze suprotul fix. Alegâd sistemele de referiţă ca î figură, cupla permite rigidului deplasările liiară u şi ughiulară φ î lugul şi î jurul axei Oz, umită şi axa cuplei. Ca urmare rigidul are două grade de libertate. Corpului îi sut iterzise traslaţiile liiare şi rotaţiile î lugul, respectiv î jurul axelor Ox şi Oy. Poziţia rigidului este defiita de deplasarile liiară (u) şi ughiulară φ. Cupla itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare patru ecuoscute: proiecţiile pe axele Ox şi Oy ale vectorului rezultat şi ale mometului rezultat: R x, R y, M x, M y Cupla de rotaţie Cupla de rotaţie obligă două pucte ale rigidului să-şi păstreze poziţia fixă. Cele două pucte determiă o axă umită axă de rotaţie. O astfel de legatură este prezetată î figura 5.6. Ea permite rigidului o sigură mişcare, 9
12 Statica cea de rotaţie î jurul axei fixe Oz, coferidu-i acestuia u sigur grad de libertate. Poziţia corpului este defiită de ughiul de rotaţie φ. φ Fig. 5.6 Sut iterzise deplasările liiare î lugul celor trei axe ale sistemului de referiţă şi rotatiile î jurul axelor Ox şi Oy, perpediculare pe axa de roataţie, fapt ce justifică plasarea compoetelor carteziee ale torsorului de reducere al forţelor de legatură R x, R y, R z, M x, M y, compoete ce urmează a fi determiate di ecuaţiile de echilibru scalare. (C) Fig. 5.7 Daca forţele exterioare date sut toate situate î plaul xoy, ormal pe axa cuplei î cetrul cuplei, legătura se umeşte articulaţie plaă (fig. 5.7). Fortele F i, (,,, ), tid să deplaseze bara (C) î lugul axelor Ox şi Oy şi s-o rotească î jurul axei Oz. Articulaţia O se opue deplasării barei î lugul celor două axe pri compoetele R x şi R ly ale reacţiuii dar u iflueţează cu imic, î ipoteza eglijării frecării, rotaţia î jurul axei cuplei (Oz). O articulaţie plaă itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare două ecuoscute R x =H şi 9
13 5. Statica rigidului R y =V, sau valoarea R a reacţiuii şi ughiul α pe care reacţiuea îl face cu o direcţie fixă (de exemplu Ox ) Cupla prismatică (C) Fig. 5.8 Modelul fizic al uei cuple prismatice sau de traslaţie este redat î figura 5.8. Teoretic, două drepte paralele ale corpului îşi păstrează suporturile fixe. Legătura suprimă corpului cici grade de libertate, fiid posibilă doar deplasarea liiară î lugul axei Oz a cuplei. Ca urmare rigidul are u sigur grad de libertate defiit de deplasarea axială u. Cupla de traslaţie iterzice deplasările corpului î lugul axelor Ox şi Oy precum şi rotaţiile î jurul celor trei axe ceea ce justifică plasarea celor cici compoete carteziee ale reacţiuii: R x, R y, M x, M y, M z, compoete ce urmează a fi obţiute di ecuaţiile de echilibru. (C) Fig
14 Statica Daca forţele exterioare date sut situate î plaul xoy, ca î figura 5.9, legatura se umeşte cuplă de traslaţie plaă. Şi î acest caz bara (C) are u sigur grad de libertate defiit pri deplasarea axiala u. Legătura, de data aceasta, itroduce î ecuaţiile de echilibru umai două ecuoscute R y şi M lx. Deoarece triomul ivariat este ul, sistemul forţelor de legătură se reduce î raport cu puctele axei cetrale la o rezultată uică. Axa cetrala este paralelă cu axa Oy şi itersectează axa Oz î puctul P O de coordoate x O =0, y O =0, z O = -M lx / R y Icastrarea Dacă u capat al uei bare este fixat îtr-u zid sau î alt corp pri sudură, betoare, şuruburi, sau alt sistem de fixare, legătura la care este supusă bara î capătul respectiv se umeşte îcastrare (fig. 5.0). O îcastrare suprimă corpului toate posibilităţile de mişcare (umărul gradelor de libertate este zero). Legătura se opue deplasărilor liiare şi rotaţiilor î lugul şi î jurul celor trei axe ale sistemului de coordoate Oxyz pri compoetele carteziee ale elemetelor torsorului de reducere al forţelor de legatură: R x, R y, R z, M x, M y, M z, compoete ce se determiă di cele şase ecuaţii de echilibru scalare. (C) Fig. 5.0 Î figura 5. este prezetată o îcastrare plaă a barei (C), solicitată de u sistem de forţe exterioare date situate î plaul xoy. Îcastrarea plaa se opue deplasărilor barei î lugul axelor Ox şi Oy pri compoetele carteziee R x =H, R y =V ale vectorului rezultat al forţelor de legatură şi rotaţiei barei î jurul axei Oz pri mometul M O =M z al aceloraşi forţe. Î cele trei ecuaţii de echilibru scalare specifice sistemelor de forte coplaare apar cele trei ecuoscute: R x, R y, M z. 94
15 5. Statica rigidului Fig Legătura pri fir şi pri bară dublu articulată Legătura pri fir (fig. 5.), cosiderat perfect flexibil şi iextesibil, sau bară cu greutate eglijabilă articulată la ambele capete (fig. 5.3), iterzice corpului deplasarea pe direcţia firului itis, respectiv pe directia barei. Ca si simpla rezemare, acest tip de legatură, suprimă corpului u sigur grad de libertate. Fig. 5. Fig. 5.3 Î fir ia aştere o forţă de legatură deumită tesiue avâd puctul de aplicaţie î puctul î care este legat firul de rigid şi suportul dreapta după care este itis firul, sesul fiid de la rigid către puctul de acorare al firului. Legătura pri fir este o legătură uilaterală deoarece fucţioează umai dacă firul este itis. Forţa de legătură corespuzatoare barei articulate la amâdouă capetele, deumită efort, are direcţia barei iar sesul depide de acţiuea forţelor exterioare. Legătura pri bară dublu articulată este bilaterală deoarece bara poate fi atât itisă cât şi comprimată. 95
16 Statica 5.4. ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID SUPUS LA LEGĂTURI CU FRECARE Geeralităţi privid frecările. Codiţii de echilibru a b c Fig. 5.4 Se cosideră î figura 5.4a u corp (C) care se sprijiă pe u alt corp fix (C ), teoretic îtr-u sigur puct O, practic, datorită deformării corpurilor, pe o aumita suprafaţa, deumită suprafată de cotact. Asupra corpului (C) acţioeaza u sistem de forţe date F i, (,,, ), al cărui torsor de reducere î O este format di vectorul rezultat R şi mometul rezultat M O. Practic, se costată că rigidul (C) rămâe î echilibru. Îseamaă că forţele de legătură care apar î puctele suprafeţei de cotact se reduc î acelaşi puct O la u torsor, format di vectorul rezultat R şi mometul rezultat M lo, care echilibrează torsorul forţelor date (fig. 5.4b): R + R = 0 ; M + M 0 (5.7) O O = Petru a stabili codiţiile de echilibru ale corpului (C), supus la legături cu frecare, se descompu vectorii di ecuaţiile (5.7) î compoete după ormala la suprafaţa de cotact şi plaul taget la aceasta î puctul teoretic de cotact (fig 5.4c): 96
17 5. Statica rigidului R = P + F ; R = N + T ; M O = M + M t ; M O = Mp + M r (5.8) Tiâd seama de (5.7) rezultă: P + N = 0; F + T = 0 ; M M = 0 ; M + M 0 (5.9) + p t r = Compoeta P tide să deplaseze corpul (C) iteriorul corpului (C ), mişcare umită de strapugere. Acestei tediţe i se opue reacţiuea ormala N, egală î modul şi direct opusă compoetei P. Compoeta F tide să deplaseze corpul (C) î plaul taget la suprafaţa de cotact, mişcare umită de aluecare. Se opue acestei tediţe compoeta T a vectorului rezultat al forţelor de legătură, umita forţă de frecare de aluecare. Experimetal se demostrează că aluecarea u se produce atâta timp cât forţa de frecare u depaşeşte o valoare maximă egală cu produsul ditre coeficietul frecării de aluecare şi reacţiuea ormală: T µn (5.0) Compoeta M a mometului rezultat al forţelor exterioare date are tediţa sa rotească rigidul î jurul ormalei, î puctul teoretic de cotact, la suprafaţa de cotact, mişcare umită de pivotare. Tediţei de pivotare a corpului i se opue compoeta M a mometului forţelor de legătura, p deumită momet al frecării de pivotare. Corpul u pivoteaza dacă mometul frecării de pivotare este mai mic sau cel mult egal cu mometul maxim al frecarii de pivotare, egal la râdul lui cu produsul ditre coeficietul frecării de pivotare şi reacţiuea ormala: M p νn (5.) Compoeta M t a mometului rezultat al forţelor exterioare date tide sa rotească rigidul î jurul uei tagete di plaul taget, î puctul teoretic de cotact la suprafaţa de cotact, mişcare umită de rostogolire. Tediţei de rostogolire a corpului se opue compoeta M r a mometului forţelor de legatură, deumită momet al frecării de rostogolire. Corpul u se rostogoleşte dacă mometul frecării de rostogolire u depaşeşte mometul maxim al frecării de rostogolire, care este egal cu produsul ditre coeficietul frecării de rostogolire şi tiuea ormală: M r sn (5.) 97
18 Statica Dacă sut îdepliite codiţiile (5.0), (5.) si (5.) corpul rămâe î echilibru, adică u aluecă u pivotează şi u se rostogoleşte Frecarea de aluecare Î figura 5.5 este reprezetat u corp (C) simplu rezemat î puctele A, A,, A şi se presupue ca î aceste pucte u itervi decât frecari de aluecare. Petru ca rigidul să rămâa î echilibru, pe lâga ecuaţiile (5.7), trebuie sa mai fie îdepliite codiţiile: T µ N ; T µ N ; ; T p µ pn p (5.3) Se obţie u sistem mixt de şase ecuaţii şi p iecuaţii destul de dificil de rezolvat deoarece tediţa de mişcare a corpului este greu de ituit şi î coseciţă şi sesurile forţelor de frecare. Problema se simplifică dacă iecuaţiile (5.3) se trasformă î egalităţi, dar î acest caz se pot pierde multe soluţii. Drept exemplu se dă problema uei scări omogee A A (fig 5.6a) de lugime l şi greutate G rezemată cu frecare î A pe u pla orizotal şi î A pe u perete Fig. 5.5 vertical, coeficietii de frecare la aluecare fiid µ si respectiv µ. Î capatul A al scării se găseşte u om cu greutatea P. Se cere determiarea valorii ughiului α petru care scara rămâe î echilibru. a Fig b
19 5. Statica rigidului Rezolvare: ) Se redeseează scara şi se alege u sistem de referiţă Oxy (fig. 5.6b); ) Pe lâgă forţele date G si P se reprezită, î puctele A si A, reacţiuile N, N şi forţele de frecare T şi T ţiâd seama de tediţele de mişcare ale celor doua pucte; 3) Se scriu cele trei ecuaţii scalare de echilibru (două de proiecţii şi ua de momete) îsoţite de codiţiile de ealuecare î cele două pucte: T + N = 0 ; G P + N + T = 0 ; l N lcos α N lsi α G cos α = 0 (5.4) T µ N ; T µ N (5.5) U astfel de sistem fiid greu de rezolvat se va cosidera situaţia echilibrului la limită: T = µ N; T = µ N (5.6) obţiâdu-se î acest caz valoarea miimă a ughiului α petru care îcă se mai realizează echilibrul scării. Dispuem astfel de u sistem de cici ecuaţii cu cici ecuoscute: α, N, N, T, T. Rezolvâdu-l aflăm compoetele reacţiuilor şi tageta ughiului α mi : P ( µ µ ) + tgα = G mi (5.7) P µ + G Petru ca scara sa u aluece trebuie ca: α arctg ( µ µ ) µ + + P G P G (5.8) Cocret, petru µ = µ =0.5 si P/G=3 rezultă, α=59,35. 99
20 Statica Frecarea de rostogolire Petru puerea î evideţă a mometului frecării de rostogolire se cosideră cazul cocret al uei roţi trase aflate pe u pla orizotal (fig. 5.4a). Î axul roţii de rază r acţioează forţa verticală G şi forţa de tracţiue F. a b c Fig. 5.7 Presupuâd ca rezemarea are loc îtr-u sigur puct (fig. 5.7a) ecuaţiile de echilibru: F T = 0 ; N G = 0 ; F r = 0 (5.9) coduc la rezultatul F=0, care cotrazice realitatea. Roata rămâe î repaus, şi dacă asupra ei acţioeaza o forţă F a cărei valoare u depaşeşte îsa o aumită limită. Acest paradox poate fi ilăturat dacă se ţie seama de faptul că fie calea de rulare, fie roata, sau amâdouă se deformează şi cotactul are loc pe o aumită suprafaţă pe care apar reacţiui distribuite ormale şi tageţiale t. Deoarece, î geeral, ughiul la cetru corespuzător arcului de cotact este mic putem cosidera ca suportul rezultatei N a reacţiuilor ormale este perpedicular pe pla şi situat la distaţa e de puctul teoretic de cotact A, iar suportul rezultatei T a reacţiuilor tageţiale t este paralel cu plaul şi trece pri puctul teoretic de cotact A (fig 5.7b). Se reduce reacţiuea ormala N î puctul A la acelaşi vector N şi u cuplu de momet M r = Ne deumit momet al frecării de rostogolire (fig. 5.7c). Ecuaţiile de echilibru ale roţii, î această situaţie sut: 00
21 5. Statica rigidului F T = 0; N G = 0 ; M r F r = 0 (5.30) de ude rezultă: N = G ; M r = Fr ; T = F (5.3) Echilibrul are loc petru valori limitate ale modulului forţei de tracţiue: F F max (5.3) Îmulţim (5.3) cu r şi dacă tiem seama de relaţia a doua di (5.3) obţiem codiţia: M r M r max (5.33) ude s-a otat M rmax = F max r. Deoarece M r = Ne şi N = G = costat, codiţia (5.33) poate fi pusă sub forma: M r = Ne max (5.34) care cu otaţia e max =s, s fiid umit coeficiet al frecării de rostogolire, devie: M r Ns (5.35) Deducem ca s reprezită distaţa maximă la care poate fi deplasat paralel cu el îsuşi suportul reacţiuii ormale N faţă de puctul teoretic de cotact, la care roata îcă u se rostogoleşte. Petru a fi asigurat echilibrul şi la aluecare trebuie îdepliită şi codiţia : T µ N (5.36) Este importat de reţiut că î problemele de echilibru ude apar tediţe de rostogolire trebuie impuse ambele iegalităţi, (5.35) şi (5.36) Frecarea de pivotare Studiem feomeul frecării de pivotare î cazul uui arbore vertical ce se sprijiă îtr-u lagăr pe o suprafaţă orizotală avâd forma uei coroae circulare cu razele r şi r (fig. 5.8). Î axul arborelui acţioează forţa P şi u cuplu de momet M. Vom presupue că presiuea p şi coeficietul frecării de 0
22 Statica aluecare µ sut aceleaşi î toate puctele suprafeţei de cotact. Se doreşte aflarea mometului maxim al frecarii de pivotare M pmax şi a coeficietului de pivotare ν. Reacţiuea ormală pe uitatea de suprafaţă este egală cu presiuea: P N = p = (5.37) π = ( r r ) π( r ) r Asupra uei arii elemetare (î coordoate polare) da = rdϕdr de coroaă circulară a capătului arborelui acţioează o reacţiue elemetară ormala dn a cărei valoare este egală cu produsul ditre presiue si aria elemetară N dn = pda = r dϕdr (5.38) π ( r r ) şi o forţă de frecare elemetară dt, Fig 5.8 tagetă la cercul de raza r (r r r ), şi dirijată î ses ivers tediţei de pivotare, a cărei valoare la limita echilibrului este egală cu produsul ditre coeficietul frecarii de aluecare µ şi reacţiuea elemetară dn: N dt = µ dn = µ r dϕdr (5.39) π ( r r ) Mometul dat de forţa elemetară de frecare î raport cu cetrul coroaei circulare este: dm p max = r dt (5.40) Mometul frecării de pivotare maxim va fi egal cu suma acestor momete elemetare: M p max N = r dt = µ r dr dϕ = π (S) ( r r ) r r π 0 r µ 3 r 3 r r 3 N (5.4) 0
23 5. Statica rigidului Arborele u va pivota dacă M p M pmax, adică M p νn. Este evidetă expresia coeficietului frecării de pivotare: 3 3 r r ν = µ (5.4) 3 r r Dacă sprijiirea se face pe o suprafaţă circulară cu raza r, făcâd î (5.4) r = r şi r =0, obţiem: M p max µ = rn şi ν = µ r 3 3 (5.43) Frecarea î articulaţii şi î lagăre Î tehică se itâlesc adesea cazuri complexe de frecare cum sut frecările di articulatii şi lagăre. Osiile sau arborii pe care sut fixate roţile maşiilor se sprijiă pri itermediul fusurilor pe articulaţii care permit rotaţia, deumite lagăre. Petru îtârzierea uzurii, lagărele sut prevăzute cu piese ielare care-l imbracă î iterior deumite cuzieţi. Se va studia umai frecarea uscată, utilizarea lubrifiaţilor schimbâd eseţial problema. După extiderea suprafeţei de cotact ditre cuzietul lagărului şi fus, lagărul poate fi cosiderat estrâs (cu jos) sau strâs (fără joc). a) Cazul lagărului cu joc Dacă lagărul u este strâs, cotactul ditre fus şi lagăr poate fi cosiderat îtr-u sigur puct A (fig. 5.9). Fig
24 Statica Torsorul forţelor exterioare î puctul O este costituit di mometul motor M O care acţioeaza î lugul axului arborelui şi vectorul rezultat R situat îtr-u pla perpedicular pe axul arborelui. Vom ota cu r raza fusului şi cu A puctul teoretic de cotact. Î puctul A are loc u feome de aluecare şi de rostogolire. Forţele de legătură se reduc î puctul A la reacţiuea ormală N, forta de frecare T şi mometul frecarii de rostogolire M r. Î acest caz ecuaţiile şi iecuaţiile de echilibru sut: T R si α = 0 ; N R cos α = 0 ; M M + Rr si α 0 ; (5.44) Di (5.44) deducem: r O = T µ N ; M r sn (5.45) T = R si α ; N = R cos α ; M r = M O + R r si α (5.46) pe care le itroducem î (5.45) şi obţiem codiţiile de echilibru: s M O R r si α + cos α ; tg α µ (5.47) r La limita echilibrului privid aluecarea: tg α = µ ; µ si α = ; + µ µ cos α = (5.48) + µ şi prima formulă di (5.47) devie: s µ + M r O + µ rr (5.49) Dacă se otează cu: s µ + µ r f = + µ, (5.50) coeficietul frecării î lagăr, codiţia (5.49) devie: M r R (5.5) O µ f 04
25 5. Statica rigidului Î puctul O forţele de legătură se reduc la mometul frecării î lagăr M f, egal î modul şi direct opus mometului motor M O şi la reacţiuea R, egală î modul şi direct opusă vectorului rezultat R al forţelor exterioare. Îlocuid î (5.5) modulul mometului motor M O cu modulul mometului frecării î lagăr M f şi modulul vectorului rezultat al forţelor date R cu modulul reactiuii R, obţiem codiţia de echilibru sub forma: M µ rr (5.5) f f Modulul reacţiuii se determiă cu ajutorul compoetelor carteziee. Astfel, î cazul uei articulaţii plae sferice H + V W R = +. b) Cazul lagărului fără joc H V R = +, iar î cazul uei cuple Î acest caz cotactul ditre fus şi lagăr se face practic pe o suprafaţă cilidrică. Îtr-u puct oarecare de cotact apare o reacţiue ormală N şi o forţă de frecare T i (fig. 5.30). Mometul frecării î lagăr este egal cu suma mometelor forţelor de frecare î raport cu puctul O. i La limita echilibrului câd frecării i lagar: f max = Ti r = Fig 5.30 T = µ N obţiem mometul maxim al N i M µ Ni r = µ r Ni = µ r R = µ R i 05 i f r R (5.53)
26 Statica S-a otat cu R, reacţiuea di lagăr calculată î ipoteza că u există frecare şi cu µ f coeficietul de frecare î lagăr: Ni µ f = µ R (5.54) Se observă ca acest coeficiet depide de legea de variaţie a reacţiuilor ormale N i pe suprafaţa de cotact ditre fus şi lagăr. Şi î acest caz petru echilibru este ecesar ca mometul frecării î lagăr să respecte codiţia: f M µ r R (5.55) Rezultatele obţiute mai sus sut acceptabile umai calitativ, coeficieţii de frecare µ f determiâdu-se experimetal. f 06
3. CPU 3.1. Setul de regiştri. Copyright Paul GASNER
3. CPU 3.1. Setul de regiştri Copyright Paul GSNER CPU Procesorul Cetral Process Uit CPU este costituit di trei mari părţi: + regiştri + RM (cache) execută toate operaţiile aritmetice şi logice bus de
More informationSisteme de recunoaşterea formelor Lab 1 Metoda celor mai mici pătrate
Sisteme de recuoaşterea formelor Lab 1 Metoda celor mai mici pătrate 1. Obiective Acest laborator itroduce librăria OpeCV care va fi folosită petru procesarea imagiilor. Se doreşte potirivirea uei liii
More informationVISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE. Se deschide proiectul Documents->Forms->Form Wizard->One-to-many Form Wizard
VISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE Fie tabele: create table emitenti(; simbol char(10),; denumire char(32) not null,; cf char(8) not null,; data_l date,; activ logical,; piata char(12),; cap_soc number(10),;
More informationSisteme de recunoaştere a formelor Lab 10 Clasificatori liniari şi algoritmul perceptron
Sisteme de recuoaştere a formelor Lab 10 Clasificatori liiari şi algoritmul perceptro 1. Obiective Acest laborator prezită algoritmul de îvăţare perceptro petru clasificatori liiari. Vom aplica gradiet
More informationGRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat
GRAFURI NEORIENTATE 1. Notiunea de graf neorientat Se numeşte graf neorientat o pereche ordonată de multimi notată G=(V, M) unde: V : este o multime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc noduri
More informationPage 1 of 6 Motor - 1.8 l Duratorq-TDCi (74kW/100CP) - Lynx/1.8 l Duratorq-TDCi (92kW/125CP) - Lynx - Curea distribuţie S-MAX/Galaxy 2006.5 (02/2006-) Tipăriţi Demontarea şi montarea Unelte speciale /
More informationParcurgerea arborilor binari şi aplicaţii
Parcurgerea arborilor binari şi aplicaţii Un arbore binar este un arbore în care fiecare nod are gradul cel mult 2, adică fiecare nod are cel mult 2 fii. Arborii binari au şi o definiţie recursivă : -
More informationLaborator 5 - Statistică inferenţială
Laborator 5 - Statistică ifereţială O populaţie statistică este o mulţime de idivizi 1 al căror atribut (greutate, îalţime etc) este supus uor variaţii aleatoare. Statistica ifereţială are drept scop determiarea
More informationSUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1
008 SUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1 1. Dacă expresiile de sub radical sunt pozitive să se găsească soluţia corectă a expresiei x x x 3 a) x
More informationTehnici de programare
Tehici de programare 2016 ovidiu.baias@aut.upt.ro Scurtă prezetare Curs 14 săptămâi Test 1 săptămâa 7 Proiect săptămâa 13 Lucrări practice 14 săptămâi Test 2 săptămâa 14 Grilă sesiue Tehici de programare
More informationCRIZA, CONFLICTUL, RĂZBOIUL
UNIVERSITATEA NAŢIONALĂ DE APĂRARE CAROL I Cetrul de Studii Strategice de Apărare şi Securitate ACADEMIA TEHNICĂ MILITARĂ ACADEMIA DE STUDII ECONOMICE UNIVERSITATEA ŞTEFAN CEL MARE DIN SUCEAVA CIP ISBN
More informationMetoda celor mai mici pătrate cu Matlab
Coferiţa Naţioală de Îvăţăât Virtual, ediţia a IV-a, 006 139 Metoda celor ai ici pătrate cu Matlab Costati I.Popovici-Uiversitatea Tehică Gh. Asachi Iaşi, eail:costati.popovici@rdslik.ro Eilia Popovici-Uiversitatea
More informationModele de aproximare, software şi aplicaţii
Modele de aproximare, software şi aplicaţii Mari Vlada, Uiversitatea di Bucureşti, vlada[at]fmi.uibuc.ro Abstract Lucrarea prezită preocupările şi rezultatele privid aaliza datelor experimetale i diverse
More informationSplit Screen Specifications
Reference for picture-in-picture split-screen Split Screen-ul trebuie sa fie full background. The split-screen has to be full background The file must be exported as HD, following Adstream Romania technical
More informationTRANSMISIUNI DE DATE ÎN BANDA DE BAZĂ ŞI PRIN MODULAREA UNUI PURTĂTOR
CAPITOLUL 2 TRANSMISIUNI DE DATE ÎN BANDA DE BAZĂ ŞI PRIN MODULAREA UNUI PURTĂTOR 2.1 Trasmisiui sicroe şi asicroe Caractere şi octeţi. Î ses restrâs datele îseamă iformaţie codată, reprezetată de caractere
More informationParadoxuri matematice 1
Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 51-56 Paradoxuri matematice 1 Ileana Buzatu Abstract In this paper we present some interesting paradoxical results that take place when we use in demonstration
More information10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere
10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere Intervalele de încredere pentru un parametru necunoscut al unei distribuţii (spre exemplu pentru media unei populaţii) sunt intervale ( 1 ) ce conţin parametrul,
More informationPasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I
4.19 Cum se transformă o faţă în piatră? Pasul 1. Deschideţi imaginea pe care doriţi să o modificaţi. Pasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I Pasul 3. Deschideţi şi
More informationPROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE
PROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE Corneliu Mănescu-Avram Nicuşor Zlota Lucrarea prezentata la Conferinta Anuala a SSMR din Romania, Ploiesti, 19-21 octombrie 2012 Abstract. This paper
More informationMODALITATEA OPTIMĂ ŞI EXEMPLU DE SELECŢIE A SOLUŢIEI DE COGENERARE DE MICĂ PUTERE PENTRU CONSUMATORII DE TIP CONDOMINIU
MODALITATEA OTIMĂ ŞI EXEMLU DE SELECŢIE A SOLUŢIEI DE COGENERARE DE MICĂ UTERE ENTRU CONSUMATORII DE TI CONDOMINIU RODICA FRUNZULICĂ UTCB, Facultatea de Istalaţii, rofruzulica@gmail.com MIRELA SANDA ŢOROOC
More informationO VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE
O VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE de Andrei ECKSTEIN, Timişoara Numeroase noţiuni din analiza matematică au un analog discret. De exemplu, analogul discret al derivatei este diferenţa
More informationCONTRIBUŢII LA ANALIZA CIRCUITELOR INTEGRATE PENTRU MICROUNDE
UNIVERSITATEA TEHNICĂ GH. ASACHI IAŞI RECTORATUL Nr. di Către Vă facem cuoscut că î ziua de, ora, î Aula Uiversităţii Tehice Gh. Asachi Iaşi, Bd. Carol I., r., va avea loc susţierea publică a tezei de
More informationDEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1
DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1 Abstract This article is devoted to the study of two fundamental and reciprocal questions: when do
More informationRigla şi compasul. Gabriel POPA 1
Rigla şi compasul Gabriel POPA 1 Abstract. The two instruments accepted by the ancient Greeks for performing geometric constructions, if separately used, are not equally powerful. The compasses alone can
More informationOptimizarea structurii de producție a unei ferme vegetale amplasată în Regiunea de Dezvoltare Sud-Muntenia a României
Optimizarea structurii de producție a uei ferme vegetale amplasată î Regiuea de Dezvoltare Sud-Muteia a Româiei Academia de Studii Ecoomice Facultatea de Ecoomie Agroalimetară și a Mediului Ee Bogda-Nicolae
More informationPROGRESE ÎN CONSTRUCŢIA REDUCTOARELOR DE TURAŢIE CU AXELE PARALELE
PROGRESE ÎN CONSTRUCŢIA REDUCTOARELOR DE TURAŢIE CU AXELE PARALELE Gheorghe MILOIU, Mihai IONEL Progress in building of the helical gearboxes with parallel shafts This paper presents the newest concept
More informationLucrare de laborator nr. 3 Proiectarea circuitelor logice in tehnologie CMOS
Lucrare de laborator r. 3 Proiectarea circuitelor logice i tehologie CMOS Scoul lucrării: îsuşirea cuoştiţelor rivid roiectarea circuitelor logice î tehologie CMOS (trazistorul MOS, modele SPICE, arametrii
More information22METS. 2. In the pattern below, which number belongs in the box? 0,5,4,9,8,13,12,17,16, A 15 B 19 C 20 D 21
22METS CLASA a IV-a 1. Four people can sit at a square table. For the school party the students put together 7 square tables in order to make one long rectangular table. How many people can sit at this
More informationASUPRA CAPABILITǍŢII PROCESELOR TEHNOLOGICE DE FABRICARE
ASUPRA CAPABILITǍŢII PROCESELOR TEHNOLOGICE DE FABRICARE RUSU ŞTEFAN Prof.uiv.Dr.-Ig. Uiversitatea Tehicã de Costrucţii Bucureşti Facultatea de Utilaj Tehologic IONESCU TONE Prof.uiv.Dr.-Ig. Uiversitatea
More informationOLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA ADDENDUM
OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 014/015 RUNDA A DOUA ADDENDUM Abstract. Comments on some additional problems presented at the new integrated International
More informationAspecte geometrice ale unei rozete asociate unui triunghi
Aspecte geometrice ale unei rozete asociate unui triunghi Vlad TUCHILUŞ, Răzvan Andrei MORARIU, Robert ANTOHI 1 Abstract. In this Note, a rosette is associated to an arbitrary triangle and the triangles
More informationApplication form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO)
Application form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO) Open to all born between 1 January 1990 and 31 December 2000 Surname Nationality Date of birth Forename Instrument
More informationSplit Screen Specifications
Reference for picture-in-picture split-screen Cuvantul PUBLICITATE trebuie sa fie afisat pe toată durata difuzării split screen-ului, cu o dimensiune de 60 de puncte in format HD, scris cu alb, ca in exemplul
More informationBiraportul în geometria triunghiului 1
Educaţia Matematică Vol. 2, Nr. 1-2 (2006), 3-10 Biraportul în geometria triunghiului 1 Vasile Berghea Abstract In this paper we present an interesting theorem of triangle geometry which has applications
More informationriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 16 - Criptografia asimetrică Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Limitările criptografiei
More informationFIŞA DISCIPLINEI. 3.4 Total ore studiu individual Total ore pe semestru Număr de credite 5. Nu este cazul
FIŞA DISCIPLINEI 1. Date despre program 1.1 Istituţia de îvăţămât superior Uiversitatea Alexadru Ioa Cuza di Iaşi 1.2 Facultatea Facultatea de Ecoomie şi Admiistrarea Afacerilor (FEAA) 1.3 Departametul
More informationNoi scheme de codare convoluţională de complexitate redusă operand în campuri Galois de ordin superior pentru corecţia erorilor de canal
Noi scheme de codare covoluţioală de complexitate redusă operad î campuri Galois de ordi superior petru corecţia erorilor de caal Cotract PN-II-RU-TE-2009-1 r. 18/12.08.2010 cod TE_158 Aaliza de performate
More informationTEMA 1 CONSIDERAŢII PRIVIND MODELAREA ŞI SIMULAREA PROCESELOR ECONOMICE
UNIVERSITATEA CREŞTINĂ DIMITRIE CANTEMIR FACULTATEA DE FINANŢE, BĂNCI ŞI CONTABILITATE BRAŞOV CERCUL ŞTIINŢIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE ANUL UNIVERSITAR 03-04 TEMA CONSIDERAŢII
More informationModalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ:
Modalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ: Proiectorul BenQ acceptă redarea conţinutului tridimensional (3D) transferat prin D-Sub, Compus, HDMI, Video şi S-Video. Cu
More information6. MPEG2. Prezentare. Cerinţe principale:
6. MPEG2 Prezentare Standardul MPEG2 VIDEO (ISO/IEC 13818-2) a fost realizat pentru codarea - în transmisiuni TV prin cablu/satelit. - în televiziunea de înaltă definiţie (HDTV). - în servicii video prin
More informationMicii Matematicieni (Online) - ISSN
Micii Matematiciei (Olie) - ISSN 44-487 Acela-i matematicia petru care egalitatea evidetă ca " = 4 ". e d este W. Thompso (lord Kelvi) Micii MATEMATICIENI Revista elevilor di Hârlău Fodată î aul 7 Aul
More information1. Istoria matematicii
Istoria matematicii Este mai importat cum gâdeşti, decât ce gâdeşti J W Goethe Newto versus Leibiz de prof Adria Sta Demostrarea riguroasă a multor descoperiri î matematică, fizică, astroomie are la bază
More informationPlatformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiect nr. 154/323 cod SMIS 4428 cofinanțat de prin Fondul European de Dezvoltare Regională Investiții pentru viitorul
More information1. Funcţii speciale. 1.1 Introducere
1. 1.1 Introducere Dacă o anumită ecuaţie diferenţială (reprezentând de obicei un sistem liniar cu coeficienţi variabili) şi soluţie sa sub formă de serie de puteri apare frecvent în practică, atunci i
More information4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia
4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia Media (sau ) a unei variabile aleatoare caracterizează tendinţa centrală a valorilor acesteia, iar dispersia 2 ( 2 ) caracterizează
More informationTeoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1
Educaţia Matematică Vol. 4, Nr. 1 (2008), 33-38 Teoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1 Silviu Crăciunaş Abstract In this article we propose a demonstration of Borel - Lebesgue
More informationAplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ
Aplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ Autori: - Ionuț LUCA - Mircea MIHALEA - Răzvan ARDELEAN Coordonator științific: Prof. TITU MASTAN ARGUMENT 1. Profilul colegiului nostru este
More informationASPECTS CONCERNING MECHANICAL SYSTEMS PROTOTYPING AND OPTIMIZING ASPECTE PRIVIND PROTOTIPAREA ŞI OPTIMIZAREA SISTEMELOR MECANICE
Aalele Uiversităţii Costati Brâcuşi di Târgu Jiu, Seria Igierie, Nr. /011 ASPECTE PRIVIND PROTOTIPAREA ŞI OPTIMIZAREA SISTEMELOR MECANICE Drăguţ Gheorghe, ig.,uiversitatea Costati Brâcuşi REZUMAT: Pe măsură
More informationTTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună
Lighting TTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună TTX260 TTX260 este o soluţie de iluminat liniară, economică şi flexibilă, care poate fi folosită cu sau fără reflectoare (cu cost redus), pentru
More informationTEOREMA FLUXULUI MAGNETIC
TEOREMA FLUXULUI MAGNETIC EUGENIU POTOLEA 1 Cuvinte cheie: Teoria fizicii, legile electrodinamicii, legea fluxului magnetic. Rezumat. Teoria tradiţională a electrodinamicii consideră că relaţia B = este
More informationGREUTATE INALTIME IMC TAS TAD GLICEMIE
Corelaţii Obiective: - Coeficientul de corelaţie Pearson - Graficul de corelaţie (XY Scatter) - Regresia liniară Problema 1. Introduceţi în Excel următorul tabel cu datele a 30 de pacienţi aflaţi în atenţia
More informationPREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI My joy is my sorrow unmasked. 1
PREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI 203 Abstract. Presentation with solutions for the problems given at the Juniors and Seniors Tests, and some selected other problems from the Călăraşi Competition, 203. Data:
More informationOLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA
OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 014/015 RUNDA A DOUA Abstract. Comments on some of the problems presented at the new integrated International Mathematical
More informationCum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară
Cum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară Marian TETIVA 1 Abstract. The paper brings some tools from advanced algebra (namely algebraic integers) in attention of those interested in
More informationIntroducere în Criptografie Funcții Criptografice, Fundamente Matematice și Computaţionale
Itroducere î Criptografie Fucții Criptografice, Fudamete Matematice și Computaţioale Bogda Groza Prefaţă Prezeta lucrare, extide lucrarea autorului publicată î 007 sub titlul Itroducere î criptografia
More informationGhid de instalare pentru program NPD RO
Ghid de instalare pentru program NPD4758-00 RO Instalarea programului Notă pentru conexiunea USB: Nu conectaţi cablul USB până nu vi se indică să procedaţi astfel. Dacă se afişează acest ecran, faceţi
More informationClasele de asigurare. Legea 237/2015 Anexa nr. 1
Legea 237/2015 Anexa nr. 1 Clasele de asigurare Secţiunea A. Asigurări generale 1. accidente, inclusiv accidente de muncă şi boli profesionale: a) despăgubiri financiare fixe b) despăgubiri financiare
More informationUniversitatea din Bucureşti. Facultatea de Matematică şi Informatică. Şcoala Doctorală de Matematică. Teză de Doctorat
Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Şcoala Doctorală de Matematică Teză de Doctorat Proprietăţi topologice ale atractorilor sistemelor iterative de funcţii (Rezumat) Îndrumător
More informationBiostatistică Medicină Generală. Lucrarea de laborator Nr Intervale de încredere. Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti:
Biostatistică Medicină Generală Lucrarea de laborator Nr.5 Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti: Să folosiţi foaia de calcul Excel pentru a executa calculele necesare găsirii intervalelor de încredere
More informationReprezentări grafice
Reprezentări grafice Obiective: - realizarea graficelor pentru reprezentarea datelor; Problema 1: S-a realizat un studiu pe un lot format din 19 nou născuţi pentru care se urmăresc parametrii biomedicali:
More informationSistemul de operare Windows (95, 98) Componenta My Computer
Laborator 9 Sistemul de operare Windows (95, 98) Componenta My Computer My Computer este o componentă ce permite crearea şi organizarea fişierelor şi directoarelor şi gestionarea discurilor. My Computer
More informationCapitolul V MODELAREA SISTEMELOR CU VENSIM
5.1. Introducere Capitolul V MODELAREA SISTEMELOR CU VENSIM VENSIM este un software de modelare vizuală care permite conceptualizarea, implementarea, simularea şi optimizarea modelelor sistemelor dinamice.
More informationCERCETĂRI TEORETICE ŞI EXPERIMENTALE PRIVIND RANDAMENTUL ANGRENAJULUI MELCAT GLOBOIDAL CU BILE LA VARIAŢIA UNOR PARAMETRI GEOMETRICI
CERCETĂRI TEORETICE ŞI EXPERIMENTALE PRIVIND RANDAMENTUL ANGRENAJULUI MELCAT GLOBOIDAL CU BILE LA VARIAŢIA UNOR PARAMETRI GEOMETRICI Conf. dr. ing. R. COTEŢIU - Universitatea de Nord din Baia-Mare Abstract:
More informationAnalele Universităţii Constantin Brâncuşi din Târgu Jiu, Seria Inginerie, Nr. 4/2011
PROIECTAREA ŞI REALIZAREA UNUI LIMBAJ DE PROGRAMARE ÎN CODUL G PENTRU REPERUL CASETĂ R290, COMPONENTĂ A PRODUSULUI GHIRLANDĂ C3G 1800,2000,2250 Iovanov Valeria Victoria, Colegiul Tehnic Nr. 2, Târgu-Jiu,
More informationSOLUŢII DE PROTECŢIE A INFRASTRUCTURII RUTIERE ÎMPOTRIVA HAZARDELOR NATURALE. MSc. Civil. Ing.Daniel Flum 1
SOLUŢII DE PROTECŢIE A INFRASTRUCTURII RUTIERE ÎMPOTRIVA HAZARDELOR NATURALE MSc. Civil. Ing.Daniel Flum 1 REZUMAT Sistemele de stabilizare flexibile realizate din plase de oţel de înaltă rezistenţă şi
More informationPRELUCRARE STATISTICA A SIRURILOR DE DATE ELIMINAREA VALORILOR ABERANTE
PRELUCRARE STATISTICA A SIRURILOR DE DATE ELIMINAREA VALORILOR ABERANTE A. Scopul lucrarii: Se urmarete realizarea urmatoarelor obiective: - prezetarea metodelor de aaliza i vederea depitarii şi elimiarii
More informationCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 TESTE DE SELECŢIE JUNIORI
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 204 TESTE DE SELECŢIE JUNIORI Abstract. Comments on some of the problems asked at the Junior Selection Tests after the National Mathematical Olympiad of 204. Se adresează
More informationANALIZA STATICĂ A UNEI STRUCTURI DE TIP PANOU
APLICAŢIA 7 ANALIZA STATICĂ A UNEI STRUCTURI DE TIP PANOU 7.1 Descrierea aplicaţiei Structurile de tip panou publicitar sunt compuse, în principal, din două elemente: unul de tip panou şi celălalt de tip
More informationLogout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a XII-a» Attempt 1. Continue
Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a XII-a 1 of 3 4/14/2008 12:57 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a XII-a» Attempt 1 1 La distanţa L de un ecran, nu prea mare, se află un izvor luminos
More informationdeclarare var <identif>:array[<tip1>,<tip2>,...] of <tip_e>; var a: array[1..20] of integer; (vector cu 20 elemente)
TITLUL: Tablou unidimensional 1. Teorie Tabloul este o structură de date statică (dimensiunea este fixă) care memoreză o succesiune de elemente de acelaşi tip. Elementele tabloului sunt identificate prin
More information1. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi
1. 1.1 Introducere Scopul acestui curs este de a furniza celor interesaţi în primul rând o bază solidă asupra problemelor matematice care apar în inginerie şi în al doilea rând un set de instrumente practice
More informationSISTEM NUMERIC PENTRU STUDIUL SENZORILOR REZISTIVI DE DEPLASARE NUMERICAL SYSTEM FOR RESISTIVE DISPLACEMENT SENSORS STUDY
SISTEM NUMEIC PENTU STUDIUL SENZOILO EZISTIVI DE DEPLASAE Grofu Flori, cof.dr.ig., Uiversitatea Costati Brâcuşi di Târgu-Jiu Cercel Costati, asist.ig., Uiversitatea Costati Brâcuşi di Târgu-Jiu ABSTACT:
More informationJean Mouton. (before ) Quis dabit oculis? This edition prepared for The Tallis Scholars. Gimell
Jean Mouton (before 1459 1522) Quis dabit oculis? This edition prepared for The Tallis Scholars Gimell Quis dabit oculis nostris fontem lachrimarum? Et plorabimus die ac nocte coram domino? ritannia, quid
More informationMaria plays basketball. We live in Australia.
RECAPITULARE GRAMATICA INCEPATORI I. VERBUL 1. Verb to be (= a fi): I am, you are, he/she/it is, we are, you are, they are Questions and negatives (Intrebari si raspunsuri negative) What s her first name?
More informationCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 214 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI Abstract. Comments on some of the problems presented at the 214 District Round of the Romanian National Mathematics Olympiad.
More informationCircuite Basculante Bistabile
Circuite Basculante Bistabile Lucrarea are drept obiectiv studiul bistabilelor de tip D, Latch, JK şi T. Circuitele basculante bistabile (CBB) sunt circuite logice secvenţiale cu 2 stări stabile (distincte),
More informationWPA REGIONAL CONGRESS OSAKA Japan 2015
!!!!!!!!! -1- WPA REGIONAL CONGRESS OSAKA Japan 2015 "! " -2- !!!! -3- " " "!! " " -4- !!!!!!!!!!!!!! -5- !!!!!!!!!!!!!!! -6- WPA REGIONAL CONGRESS OSAKA Japan 2015! -7- ! "!! -8- -9- WPA REGIONAL CONGRESS
More informationReglementare tehnică "Cod de proiectare. Bazele proiectării structurilor în construcţii", indicativ CR din 27/12/2005
Regleetare tehică "Cod de proiectare. Bazele proiectării structurilor î costrucţii", idicativ CR 0-2005 di 27/12/2005 Publicat i Moitorul Oficial, Partea I r. 148bis di 16/02/2006 Itra i vigoare la data
More informationMINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI INVAŢAMINTULUI ANATOLIE HRISTEV MECANICA $1 1 ACUSTICA. 1. f ' 1 1. k 1 EDITURA DIDACTICA ŞI BUCUREŞTI PEDAGOGICA
. r t MINISTERUL EDUCAŢIEI ŞI INVAŢAMINTULUI ANATOLIE HRISTEV r MECANICA $ ACUSTICA. f ' ' ' k EDITURA DIDACTICA ŞI BUCUREŞTI PEDAGOGICA Notă Lucrarea de faţă reprezintă cursul predat de autor de ciţiva
More informationReview by Mihaela VANCEA
Bogdan GHIU, Everything must be translated: the new paradigm [Totul trebuie tradus: noua paradigmă], Cartea Românească, București, ISBN print: 978-973- 23-3101-9, 2015, 235 p. Review by Mihaela VANCEA
More informationMail Moldtelecom. Microsoft Outlook Google Android Thunderbird Microsoft Outlook
Instrucțiunea privind configurarea clienților e-mail pentru Mail Moldtelecom. Cuprins POP3... 2 Outlook Express... 2 Microsoft Outlook 2010... 7 Google Android Email... 11 Thunderbird 17.0.2... 12 iphone
More informationProiect:ID 1005, Coinele, algebre Hopf şi categorii braided monoidale, Director: C. Năstăsescu SINTEZA LUCRĂRII
1 Proiect:ID 1005, Coinele, algebre Hopf şi categorii braided monoidale, Director: C. Năstăsescu SINTEZA LUCRĂRII Cercetarea pe temele propuse în proiect s-a concretizat în următoarele articole: [1] S.
More information1. I N T R O D U C E R E
1 1. I N T R O D U C E R E 1.1. Definirea şi rolul tribologiei Tribologia este o disciplină relativ nouă şi care a apărut din necesităţi industriale, odată cu creşterea performanţelor maşinilor, utilajelor,
More informationOLIMPIADA DE MATEMATIC ¼A ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007
ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007 CLASA A IV-A. Folosind de şapte ori cifra 7, o parte din semnele celor patru operaţii operaţii +; ; ; : eventual şi paranteze rotunde, compuneţi şapte exerciţii, astfel
More informationPlease note that not all pages are included. This is purposely done in order to protect our property and the work of our esteemed composers.
Please note that not all pages are included. his is purposely done in order to protect our property and the work of our esteemed composers. If you would like to see this work in its entirety, please order
More information1. INTRODUCERE Obiectul mecanicii Noţiunile fundamentale ale mecanicii Modele folosite in mecanică. 1.
1. Introducere 1. INTRODUCERE 1.1. Obiectul mecanicii Mecanica clasică (raţională, teoretică, tehnică) studiază deplasarea relativă a corpurilor materiale macroscopice cu viteze neglijabile faţă de aceea
More informationRULMENŢI. TIPURI CONSTRUCTIVE. MONTARE ŞI DEMONTARE. 1. Scopul lucrării Tipurile constructive de rulmenţi. Montarea şi demontarea rulmenţilor.
LUCRAREA 15 RULMENŢI. TIPURI CONSTRUCTIVE. MONTARE ŞI DEMONTARE 1. Scopul lucrării Tipurile constructive de rulmenţi. Montarea şi demontarea rulmenţilor. 2. Elemente teoretice. Clasificare Rulmenţii au
More informationBULETIN INFORMATIV. Nr. 3/2004 Editat de IROVAL
BULETIN INFORMATIV Nr. 3/2004 Editat de IROVAL Stimaţi colegi, Pri HG 1447 /09.09.2004, ANEVAR a fost recuoscută ca fiid de utilitate publică. Acest eveimet are o deosebită importaţă petru asociaţia oastră
More information8.5 --Intro to RAA Proofs Practice with Proofs. Today s Lecture 4/20/10
8.5 --Intro to RAA Proofs 9.3 --Practice with Proofs Today s Lecture 4/20/10 Announcements -- Final Exam on May 11 th (now s the time to start studying)! -- Next Tues is the deadline to turn in any late
More information2. PORŢI LOGICE ( )
2. PORŢI LOGICE (9.4.24) 2.. INTRODUCERE 2.. CONSTANTE ŞI VARIAILE OOLEENE. TAELE DE ADEVĂR În algebra booleană sunt două constante: şi. În funcţie de tipul de logică folosit, de tehnologia utilizată,
More informationANEXA 4 Lista indicatori ANALIZA ŞI DIAGNOSTICUL FIRMEI. Tipul de diagnostic Tipul de analiză Indicatori Observaţii
ANEXA 4 Lista idicatori ANALIZA ŞI DIAGNOSTICUL IRMEI Tipul de diagostic Tipul de aaliză Idicatori Observaţii Producţia marfă fabricată Qf = Vpf + Vle + Vsp Exprimă valoarea (la preţ de îregistrare) buurilor
More informationOPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR
OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR OPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE Traian Alexandru BUDA, Magdalena BARBU, Gavrilă CALEFARIU Transilvania University of Brasov,
More informationConferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a IV-a, Graph Magics. Dumitru Ciubatîi Universitatea din Bucureşti,
Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a IV-a, 2006 133 Graph Magics Dumitru Ciubatîi Universitatea din Bucureşti, workusmd@yahoo.com 1. Introducere Graph Magics este un program destinat construcţiei
More informationClick pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat.
1. Sus în stânga, click pe Audio, apoi pe Audio Connection. 2. Click pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat. 3. 4. Alegeți opțiunea favorită:
More informationDefuzzificarea într-un sistem cu logică fuzzy. Aplicaţie: maşina de spălat cu reguli fuzzy. A. Obiective. B. Concepte teoretice ilustrate
Defuzzificarea într-un sistem cu logică fuzzy. Aplicaţie: maşina de spălat cu reguli fuzzy A. Obiective 1) Vizualizarea procesului de selecţie a valorii tranşante de ieşire din mulţimea fuzzy de ieşire
More informationJoel Martinson (Choral score) Selah Publishing Co., Inc. Hn. J œ œ œ œ œ œ. j œ. 8 5 Choir: (Women or Men) for review only. ni- mi- pax.
Missa Guadalupe o Martson 10-911 (Choral score) Sah Publishg Co. Inc. Orr rom your avorite aler or at.sahpub.com (Or call 00--1.S. and Cada) This document is provid or revie purposes only. It is illegal
More informationAnexa 2. Instrumente informatice pentru statistică
Anexa 2. Instrumente informatice pentru statistică 2.1. Microsoft EXCEL şi rutina HISTO Deoarece Microsoft EXCEL este relativ bine cunoscut, inclusiv cu unele funcţii pentru prelucrări statistice, în acest
More informationZOOLOGY AND IDIOMATIC EXPRESSIONS
ZOOLOGY AND IDIOMATIC EXPRESSIONS ZOOLOGIA ŞI EXPRESIILE IDIOMATICE 163 OANA BOLDEA Banat s University of Agricultural Sciences and Veterinary Medicine, Timişoara, România Abstract: An expression is an
More informationLUCRAREA NR. 2 STUDIUL AMPLIFICATORULUI DIFERENŢIAL
LUCRRE NR. STUDIUL MPLIFICTORULUI DIFERENŢIL 1. Scopl lcrării În această lcrare se stdiază amplificatorl diferenţial realizat c tranzistoare bipolare, în care generatorl de crent constant este o srsă de
More informationPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ANUL ŞCOLAR
Clasa a IX-a 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică : mulţimea numerelor reale; propoziţie, predicat, cuantificatori; operaţii logice elementare; inducţia matematică; probleme de numărare. 2. Şiruri:
More information