Puncte şi drepte izogonale în planul unui trapez
|
|
- Karen Tucker
- 6 years ago
- Views:
Transcription
1 Puncte şi drepte izogonale în planul unui trapez Ştefan DOMINTE 1 Abstract. In this paper, there are presented a number of properties of collinearity and conciclicity of the centers of some circles associated with a trapezoid. Keywords: trapezoid, circumcircle, isogonal lines, isogonal points. MSC 2010: 51M04. Această Notă pleacă de la două probleme privind trapezele din [1;p. 62]. Întrucât aceste probleme sunt prezentate numai prin figuri, fără niciun text pentru enunţurile şi rezolvările lor, vom începe prin a da detalii în această privinţă. Problema [1]. Dat un trapez oarecare ABCD (AB CD), fie {X} = AD BC şi {Y} = AC BD (Fig.1). Dacă Z este punctul de intersecţie a cercurilor (Y AD) şi (Y BC), diferit de Y, atunci semidreptele XY şi XZ sunt izogonale în raport cu unghiul AXB. Fig. 1 Fig. 2 Soluţie. Pentru patrulaterul complet XDY CAB, punctul Z este punctul lui Miquel [3; p. 25]; aşadar Z se află şi pe cercurile (XAC) şi (XBD). Să arătăm că XYA DYZ. Cum XAY = DZY, rămâne să arătăm că AX AY = ZD ( ). În ZY acest scop, să observăm mai întâi că XDZ CYZ ( DXZ = YCZ şi XZD = ZD CZY - patrulatere inscriptibile) şi, deci, avem: ZY = XD (**). Apoi, din teorema CY 1 Elev, cl. a XI-a, Liceul Internaţional de Informatică, Bucureşti; stef dominte@yahoo.com 115
2 YA lui Menelaus pentru XAC cu transversala D Y B, obţinem: YC = BX BC DA DX = AX AD DA DX = AX YA, de unde DX YC = XA ZD ( ) ( ). Ca urmare, = XD ( ) = XA CD ZY CY YA şi în consecinţă, relaţia ( ) are loc. Din asemănarea XYA DYZ rezultă că AXY = ZDY. Dar ZDY = ZDB = ZXB. Aşadar, AXY = ZXB, adică AY şi AZ sunt izogonale. Problema [1]. Se noteză cu X intersecţia laturilor neparalele ale trapezului ABCD (AB CD) şi cu P şi Q centrele cercurilor (BCD), respectiv (ABD) (Fig.2). Atunci, semidreptele XP şi XQ sunt izogonale faţă de unghiul AXB. Soluţie. Vom arăta că XPB XQA( ), de unde va rezulta că PXB = QXA, deci XP şi XQ vor fi izogonale. Într-adevăr, avem: PBX = PBC = 90 BDC = 90 ABD = QAD = QAX şi, deci, PBX = QAX( ). Pe de altă parte, cu teorema sinusurilor, avem: PB QA = de unde BP AQ = BX ( ). Din ( ) şi ( ) rezultă ( ). AX BD sin( BCD) sin( BAD) = sin( BAX) BD sin(π ABX) = BX AX, Observaţie. Izogonalele XP şi XQ coincid cu bisectoarea unghiului AXB dacă şi numai dacă această bisectoare este perpendiculară pe diagonala BD sau pe AC. Scopul acestei Note este de a indica noi proprietăţi ale configuraţiilor din aceste probleme sau ale unora de acelaşi fel. Propoziţia 1. Să reluăm notaţiile din Problema şi, în plus, să notăm cu O 1 şi O 2 centrele cercurilor (YAD), respectiv (YBC) (Fig.3). Atunci, avem: (i) Semidreptele XO 1 şi XO 2 sunt izogonale în raport cu unghiul AXB. (ii) Patrulaterul O 1 YO 2 Z este ortodiagonal şi circumscriptibil. Fig. 3 Fig. 4 Demonstraţie. (i) Arătăm că AXO 1 BXO 2 cu aceleaşi argumente ca în Problema Avem: XAO1 = 90 AYD = 90 BYC = XBO 2, deci 116
3 XAO 1 = XBO 2 ( ). Pe de altă parte, AO 1 AD = BO 1 sin( AYD) sin( BYC) = AD BD BC = AX BX, de unde AO 1 = AX BO 1 BX ( ). Din ( ) şi ( ) rezultă că AXO 1 BXO 2 şi de aici faptul că afirmaţia (i) este adevărată. (ii) Această afirmaţie reiese din faptul că O 1 O 2 este mediatoarea corzii comune YZ şi avem O 1 Y +O 2 Z = O 1 Z +O 2 Y. Propoziţia 2. În (Fig.4), se adaugă diagonala AC şi se notează cu U şi V centrele cercurilor (ACD), respectiv (ABC). Au loc următoarele afirmaţii: (i) Semidreptele XU şi XV sunt izogonale faţă de unghiul AXB. (ii) Patrulaterele ABCD şi UPVQ sunt trapeze ortogonale şi asemenea. Demonstraţie. (i) Aşa cum s-a arătat că XP şi XQ sunt izogonale. (ii) Utilizând proprietatea de perpendicularitate a liniei centrelor şi a corzii comune a două cercuri secante, avem UP CD, VQ AB, PV BC, QU AD, precum şi PQ BD, UV AC. Aşadar, patrulaterele ABCD şi UPVQ sunt ortogonale; mai mult, diagonalele ce se corespund sunt perpendiculare (Fig.4). Evident, U P V Q este trapez (UP CD,VQ AB şi AB CD). Proprietăţile de perpendicularitate puse în evidenţă conduc imediat la congruenţele: U = Â, P = B, V = C şi Q = D ( ). Apoi, din faptul că UPV ABC, PVQ BCD, VQU CDA, UP obţinem: AB = PV BC = VQ CD = QU ( ). În final, din ( ) şi ( ), rezultă că trapezele DA ABCD şi UPVQ sunt asemenea. Fig. 5 Fig. 6 Observaţii. 1) Dacă trapezul ABCD este isoscel, cercurile (ABC), (ABD), (ACD) şi (BCD) coincid cu cercul circumscris lui. 2) Plecând de la UPVQ obţinem înacelaşimodunnoutrapezasemeneacuabcd şiculaturileparalelecualeacestuia. Propoziţia 3. Dat un trapez ABCD (AB CD), fie {X} = AD BC. Dacă cercurile de diametre AD şi BC se intersectează în P şi Q, atunci aceste puncte sunt izogonal conjugate în raport cu triunghiul ABX (Fig. 5). Demonstraţie. Întrucât MN este linia centrelor şi PQ este coarda comună cercurilor, avem PQ MN. De asemenea, CT AB, unghiul CTB fiind înscris într-un semicerc (Fig.5). Ca urmare, P Q CT; altfel spus, patrulaterul CP QT este 117
4 trapez isoscel. Acest fapt ne permite să scriem că PBC = QBT, adică semidreptele BP şi BQ sunt izogonale faţă de unghiul ABC. Similar, se arată că semidreptele AP şi AQ sunt izogonale faţă de unghiul BAD. Observaţie. Cercurile de diametre AD şi BC sunt tangente în cazul în care punctele P şi Q coincid, adică vor fi tocmai punctul de intersecţie al liniei mijlocii MN a trapezului dat cu bisectoarea unghiului AXB. Revenind la Propoziţia 1, vom aduce completări prin considerarea cercurilor(y AB) şi (YCD); să notăm cu C 1 şi C 2 aceste cercuri şi cu C 1 şi C 2 centrele lor (Fig.3). Propoziţia 4. În condiţiile din Propoziţia 1 şi cu notaţiile precedente în legătură cu punctul Y, sunt adevărate proprietăţile: (i) Patrulaterul O 1 C 1 O 2 C 2 este paralelogram. (ii) Cercurile C 1 şi C 2 sunt tangente în Y. Demonstraţie. (i) Din faptul că C 1 O 1 YA şi C 2 O 2 YC rezultă că C 1 O 1 C 2 O 2 ( ). Similar, din C 1 O 2 YB şi C 2 O 2 YD rezultă că C 1 O 2 C 2 O 1 ( ). Relaţiile ( ) şi ( ) spun că O 1 C 1 O 2 C 2 este paralelogram. (ii) Fie d tangenta în Y la cercul C 1 şi S un punct pe d. Avem: YDC + YCD = DYA = DYS + SYA = DYS + YBA = DYS + YDC, de unde obţinem că YCD = DYS, adică faptul că d este tangentă la cercul C 2 în Y. O proprietate similară celei din propoziţia precedentă poate fi pusă în evidenţă pentru punctele izogonal conjugate P şi Q din Propoziţia 3. Propoziţia 5. Dat fiind un trapez ABCD (AB CD) şi ţinând cont de notaţiile din Propoziţia 3, cercurile (PAB),(PCD) sunt tangente în P, iar cercurile (QAB), (QCD) sunt tangente în Q (Fig.5). Demonstraţie. Fie d tangenta înp la cercul (PAB) şi R un punct pe ea. Notăm {S} = PC AB. Avem: DCP + PBA = CSB + PBA = CPB = 90 = DPA = DPR+ RPA = DPR+ PBA, de unde DCP = DPR, deci d este tangentă în P la cercul (PCD). Analog se arată şi partea a doua a propoziţiei. Fie ABC şi L,M,N mijloacele laturilor BC, CA, respectiv AB. Relativ la fiecare dintre trapezele BCMN,CANL,ABLM se pot considera puncte de tipul O 1,O 2,Y,Z,P,Q,U,V (Propoziţiile1şi2). Estefoarteposibilăexistenţauneilegături între anumite grupe de astfel de puncte. Ne limităm la circumcentrele triunghiurilor care au o mediană ca latură; în total sunt 12 triunghiuri de acest fel. Triunghiurile determinate de mediana AL sunt: ALB, ALC, ALN şi ALM, iar pentru circumcentrele lor folosim notaţiile: O1 A,OA 2,OA 3, respectiv OA 4. În mod asemănător se introduc circumcentrele Oi B şi Oi C (i = 1,2,3,4). Lemă. Fie M şi N mijloacele laturilor AC, respectiv AB ale triunghiului ABC. Atuncicercurile (ABM) şi (ACN) se intersectează a doua oară într-un punct T situat pe simediana din A (Fig. 6). 118
5 Demonstraţie. Deoarece BNT = ACT(= 180 ANT) şi NBT = TMC(= 180 AMT), rezultăcă NBT CMT. Caurmare, dist(t,nb) dist(t,mc) = NB MC = AB AC, de unde decurge că T este pe simediana [2] dusă din A. Propoziţia 6. Punctele Oi A,OB i,oc i (i = 1,2,3,4), cu semnificaţiile de mai sus, au următoarele proprietăţi: (i) O1 A,O2 A,O3 A,O4 A sunt coliniare; anume, sunt situate pe mediatoarea medianei din A. Afirmaţii analoage relativ la vârfurile B şi C ale ABC. (ii) O1 C,OB 2,OA 3,OA 4 sunt conciclice; la fel sunt şi cvadruplele analoage. (iii) O1 A,O2 A,O1 C,O2 B sunt conciclice; la fel şi analoagele. Demonstraţie. (i) Este vorba de centrele cercurilor (ABL),(ACL),(AN L) şi (AML), care au mediana AL drept coardă comună. Evident, centrele lor se află pe mediatoarea segmentului AL. (ii) Relativ la cercurile (AMB) şi (AML) observăm că avem O2 BOA 4 AM, iar în privinţa cercurilor (ANL) şi (AML) avem O3 A O4 A AL; ca urmare O A 3 OA 4 OB 2 MAL (mod π) ( ). Analog, obţinem, în conformitate cu Lema, că O C 1 OB 2 AT (simediana din A), precum şi faptul că O C 1 O A 3 AN; din acestea, rezultă că O 3 AOC 1 OB 2 TAN (mod π) ( ). Deoarece AT este simediană, avem relaţia TAN = LAM( ). Combinând ( ),( ),( ), obţinem că are Fig. 7 loc relaţia O 3 AOA 4 OB 2 O3 AOC 1 OB 2 (mod π), adică punctele OC 1,OB 2,OA 3,OA 4 sunt conciclice. (iii) Se procedează ca la punctul (ii). Observaţie. Să împărţim în două grupe cele 12 cercuri asociate figurii formate din triunghiul dat şi cel median: (I) (AMB),(ANC);(BNC),(BLA);(CLA),(CMB); (II) (AML),(ANL);(BNM),(BLM);(CLN),(CMN). Evident, punctul G (centrul de greutate) este centrul radical al cercurilor din grupa (I), iar punctul K (simedian) este, pe baza Lemei, centrul radical al cercurilor din grupa (II); în particular, aceste centre radicale sunt izogonal conjugate. Bibliografie 1. A. Akopyan Geometry in Figures, T. Lalescu Geometria triunghiului, Ed. Tineretului, L. Nicolescu, V. Boskoff Probleme practice de geometrie, Ed. Tehnică, Bucureşti,
Aspecte geometrice ale unei rozete asociate unui triunghi
Aspecte geometrice ale unei rozete asociate unui triunghi Vlad TUCHILUŞ, Răzvan Andrei MORARIU, Robert ANTOHI 1 Abstract. In this Note, a rosette is associated to an arbitrary triangle and the triangles
More informationGRAFURI NEORIENTATE. 1. Notiunea de graf neorientat
GRAFURI NEORIENTATE 1. Notiunea de graf neorientat Se numeşte graf neorientat o pereche ordonată de multimi notată G=(V, M) unde: V : este o multime finită şi nevidă, ale cărei elemente se numesc noduri
More informationDEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1
DEMONSTRAREA CONCURENŢEI ŞI COLINIARITĂŢII UTILIZÂND METODA FASCICULELOR CONVERGENTE NECULAI STANCIU 1 Abstract This article is devoted to the study of two fundamental and reciprocal questions: when do
More informationRigla şi compasul. Gabriel POPA 1
Rigla şi compasul Gabriel POPA 1 Abstract. The two instruments accepted by the ancient Greeks for performing geometric constructions, if separately used, are not equally powerful. The compasses alone can
More informationBiraportul în geometria triunghiului 1
Educaţia Matematică Vol. 2, Nr. 1-2 (2006), 3-10 Biraportul în geometria triunghiului 1 Vasile Berghea Abstract In this paper we present an interesting theorem of triangle geometry which has applications
More informationA s o c i a ţ i a R e c r e a ţ i i M a t e m a t i c e
Anul XVIII, Nr. 1 Ianuarie Iunie 016 R E C R E A Ţ I I M A T E M A T I C E R E V IS T Ă DE MATE MATI C Ă PE N T R U E LE V I Ş I PR O FE S O RI e i 1 A s o c i a ţ i a R e c r e a ţ i i M a t e m a t i
More informationOLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA ADDENDUM
OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 014/015 RUNDA A DOUA ADDENDUM Abstract. Comments on some additional problems presented at the new integrated International
More informationTeoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1
Educaţia Matematică Vol. 4, Nr. 1 (2008), 33-38 Teoreme de Analiză Matematică - II (teorema Borel - Lebesgue) 1 Silviu Crăciunaş Abstract In this article we propose a demonstration of Borel - Lebesgue
More informationVISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE. Se deschide proiectul Documents->Forms->Form Wizard->One-to-many Form Wizard
VISUAL FOX PRO VIDEOFORMATE ŞI RAPOARTE Fie tabele: create table emitenti(; simbol char(10),; denumire char(32) not null,; cf char(8) not null,; data_l date,; activ logical,; piata char(12),; cap_soc number(10),;
More informationParadoxuri matematice 1
Educaţia Matematică Vol. 3, Nr. 1-2 (2007), 51-56 Paradoxuri matematice 1 Ileana Buzatu Abstract In this paper we present some interesting paradoxical results that take place when we use in demonstration
More informationParcurgerea arborilor binari şi aplicaţii
Parcurgerea arborilor binari şi aplicaţii Un arbore binar este un arbore în care fiecare nod are gradul cel mult 2, adică fiecare nod are cel mult 2 fii. Arborii binari au şi o definiţie recursivă : -
More information22METS. 2. In the pattern below, which number belongs in the box? 0,5,4,9,8,13,12,17,16, A 15 B 19 C 20 D 21
22METS CLASA a IV-a 1. Four people can sit at a square table. For the school party the students put together 7 square tables in order to make one long rectangular table. How many people can sit at this
More information4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia
4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare: media şi dispersia Media (sau ) a unei variabile aleatoare caracterizează tendinţa centrală a valorilor acesteia, iar dispersia 2 ( 2 ) caracterizează
More informationO VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE
O VARIANTĂ DISCRETĂ A TEOREMEI VALORII INTERMEDIARE de Andrei ECKSTEIN, Timişoara Numeroase noţiuni din analiza matematică au un analog discret. De exemplu, analogul discret al derivatei este diferenţa
More informationPasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I
4.19 Cum se transformă o faţă în piatră? Pasul 1. Deschideţi imaginea pe care doriţi să o modificaţi. Pasul 2. Desaturaţi imaginea. image>adjustments>desaturate sau Ctrl+Shift+I Pasul 3. Deschideţi şi
More informationGhid de instalare pentru program NPD RO
Ghid de instalare pentru program NPD4758-00 RO Instalarea programului Notă pentru conexiunea USB: Nu conectaţi cablul USB până nu vi se indică să procedaţi astfel. Dacă se afişează acest ecran, faceţi
More informationUniversitatea din Bucureşti. Facultatea de Matematică şi Informatică. Şcoala Doctorală de Matematică. Teză de Doctorat
Universitatea din Bucureşti Facultatea de Matematică şi Informatică Şcoala Doctorală de Matematică Teză de Doctorat Proprietăţi topologice ale atractorilor sistemelor iterative de funcţii (Rezumat) Îndrumător
More informationPROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE
PROBLEME DE TEORIA NUMERELOR LA CONCURSURI ŞI OLIMPIADE Corneliu Mănescu-Avram Nicuşor Zlota Lucrarea prezentata la Conferinta Anuala a SSMR din Romania, Ploiesti, 19-21 octombrie 2012 Abstract. This paper
More informationCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 TESTE DE SELECŢIE JUNIORI
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 204 TESTE DE SELECŢIE JUNIORI Abstract. Comments on some of the problems asked at the Junior Selection Tests after the National Mathematical Olympiad of 204. Se adresează
More informationSUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1
008 SUBIECTE CONCURS ADMITERE TEST GRILĂ DE VERIFICARE A CUNOŞTINŢELOR FILIERA DIRECTĂ VARIANTA 1 1. Dacă expresiile de sub radical sunt pozitive să se găsească soluţia corectă a expresiei x x x 3 a) x
More informationPlatformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Proiect nr. 154/323 cod SMIS 4428 cofinanțat de prin Fondul European de Dezvoltare Regională Investiții pentru viitorul
More informationAplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ
Aplicatii ale programarii grafice in experimentele de FIZICĂ Autori: - Ionuț LUCA - Mircea MIHALEA - Răzvan ARDELEAN Coordonator științific: Prof. TITU MASTAN ARGUMENT 1. Profilul colegiului nostru este
More informationCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2013 ULTIMELE DOUĂ TESTE DE SELECŢIE
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 03 ULTIMELE DOUĂ TESTE DE SELECŢIE Abstract. Comments on some of the problems given at the last two Selection Tests after the National Mathematics Olympiad 03. Data:
More information10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere
10 Estimarea parametrilor: intervale de încredere Intervalele de încredere pentru un parametru necunoscut al unei distribuţii (spre exemplu pentru media unei populaţii) sunt intervale ( 1 ) ce conţin parametrul,
More informationCum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară
Cum putem folosi întregii algebrici în matematica elementară Marian TETIVA 1 Abstract. The paper brings some tools from advanced algebra (namely algebraic integers) in attention of those interested in
More informationREVISTA DE MATEMATICĂ
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Filiala Caraş-Severin REVISTA DE MATEMATICĂ A ELEVILOR ŞI PROFESORILOR DIN JUDEŢUL CARAŞ-SEVERIN Nr. 4, An XIII 0 Acest număr al revistei are avizul Comisiei
More informationMail Moldtelecom. Microsoft Outlook Google Android Thunderbird Microsoft Outlook
Instrucțiunea privind configurarea clienților e-mail pentru Mail Moldtelecom. Cuprins POP3... 2 Outlook Express... 2 Microsoft Outlook 2010... 7 Google Android Email... 11 Thunderbird 17.0.2... 12 iphone
More informationLESSON FOURTEEN
LESSON FOURTEEN lesson (lesn) = lecţie fourteen ( fǥ: ti:n) = patrusprezece fourteenth ( fǥ: ti:nθ) = a patrasprezecea, al patrusprezecilea morning (mǥ:niŋ) = dimineaţă evening (i:vniŋ) = seară Morning
More informationSYMBOL CONVERSION LONG-TERM EQUITY OPTIONS EXPIRING IN JANUARY AND MARCH 2007
Trading Interest Rate Derivatives Trading Equity and Index Derivatives Back-office Futures Back-office - Options Technology Regulation CIRCULAR June 6, 2006 SYMBOL CONVERSION LONG-TERM EQUITY OPTIONS EXPIRING
More informationApplication form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO)
Application form for the 2015/2016 auditions for THE EUROPEAN UNION YOUTH ORCHESTRA (EUYO) Open to all born between 1 January 1990 and 31 December 2000 Surname Nationality Date of birth Forename Instrument
More informationPage 1 of 6 Motor - 1.8 l Duratorq-TDCi (74kW/100CP) - Lynx/1.8 l Duratorq-TDCi (92kW/125CP) - Lynx - Curea distribuţie S-MAX/Galaxy 2006.5 (02/2006-) Tipăriţi Demontarea şi montarea Unelte speciale /
More informationRECREAŢ II MATEMATICE
Anul XII, Nr. Iulie Decembrie RECREAŢ II MATEMATICE REVISTĂ DE MATEMATICĂ PENTRU ELEVI Ş I PROFESORI Universitatea Al. I. Cuza din Iaşi (86 ) e iπ = Asociaţia Recreaţii Matematice IAŞI - Semnificaţia formulei
More informationOlimpiada Naţională de Matematică 2015 Testele de Selecţie Juniori IV şi V
Olimpiada Naţională de Matematică 205 Testele de Selecţie Juniori IV şi V Abstract. Comments on several of the problems sat at subsequent Junior Selection Tests 205. Se adresează claselor V, VI, VII, VIII.
More informationClick pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat.
1. Sus în stânga, click pe Audio, apoi pe Audio Connection. 2. Click pe More options sub simbolul telefon (în centru spre stânga) dacă sistemul nu a fost deja configurat. 3. 4. Alegeți opțiunea favorită:
More informationSplit Screen Specifications
Reference for picture-in-picture split-screen Split Screen-ul trebuie sa fie full background. The split-screen has to be full background The file must be exported as HD, following Adstream Romania technical
More informationModalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ:
Modalităţi de redare a conţinutului 3D prin intermediul unui proiector BenQ: Proiectorul BenQ acceptă redarea conţinutului tridimensional (3D) transferat prin D-Sub, Compus, HDMI, Video şi S-Video. Cu
More informationOLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 2014/2015 RUNDA A DOUA
OLIMPIADA INTERNAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ FORMULA OF UNITY / THE THIRD MILLENIUM 014/015 RUNDA A DOUA Abstract. Comments on some of the problems presented at the new integrated International Mathematical
More informationMaria plays basketball. We live in Australia.
RECAPITULARE GRAMATICA INCEPATORI I. VERBUL 1. Verb to be (= a fi): I am, you are, he/she/it is, we are, you are, they are Questions and negatives (Intrebari si raspunsuri negative) What s her first name?
More information1. Funcţii speciale. 1.1 Introducere
1. 1.1 Introducere Dacă o anumită ecuaţie diferenţială (reprezentând de obicei un sistem liniar cu coeficienţi variabili) şi soluţie sa sub formă de serie de puteri apare frecvent în practică, atunci i
More informationMulti-Level Gate Circuits. Chapter 7 Multi-Level Gate Circuits NAND and NOR Gates. Some Terminologies (Cont.) Some Terminologies
Chapter 7 Multi-Level Gate Circuits NAND and NOR Gates iaojun Qi Multi-Level Gate Circuits Design Find the inputs and outputs Find the relationship between inputs and outputs (i.e., For each input combination,
More informationPREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI My joy is my sorrow unmasked. 1
PREZENTARE CONCURSUL CĂLĂRAŞI 203 Abstract. Presentation with solutions for the problems given at the Juniors and Seniors Tests, and some selected other problems from the Călăraşi Competition, 203. Data:
More informationARHITECTURA SISTEMELOR DE CALCUL ŞI SISTEME DE OPERARE. LUCRĂRILE DE LABORATOR Nr. 12, 13 şi 14
ARHITECTURA SISTEMELOR DE CALCUL ŞI SISTEME DE OPERARE LUCRĂRILE DE LABORATOR Nr. 12, 13 şi 14 ELEMENTE DE LOGICĂ NUMERICĂ. REDUCEREA EXPRESIILOR LOGICE. I. SCOPUL LUCRĂRILOR Lucrările prezintă câteva
More informationOLIMPIADA DE MATEMATIC ¼A ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007
ETAPA JUDEŢEAN ¼A 3 martie 2007 CLASA A IV-A. Folosind de şapte ori cifra 7, o parte din semnele celor patru operaţii operaţii +; ; ; : eventual şi paranteze rotunde, compuneţi şapte exerciţii, astfel
More informationGeometrie euclidian¼a în plan şi în spaţiu. Petru Sorin Botezat
Geometrie euclidian¼a în plan şi în spaţiu Petru Sorin Botezat aprilie-mai 2009 Capitolul 1 Noţiuni de logic¼a 1.1 Propoziţii Unitatea discursului logic este propoziţia. Not¼am propoziţiile cu p; q; r;...
More informationCOMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 2014 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI
COMENTARII OLIMPIADA DE MATEMATICĂ 214 ETAPA JUDEŢEANĂ ŞI A MUNICIPIULUI BUCUREŞTI Abstract. Comments on some of the problems presented at the 214 District Round of the Romanian National Mathematics Olympiad.
More information2. PORŢI LOGICE ( )
2. PORŢI LOGICE (9.4.24) 2.. INTRODUCERE 2.. CONSTANTE ŞI VARIAILE OOLEENE. TAELE DE ADEVĂR În algebra booleană sunt două constante: şi. În funcţie de tipul de logică folosit, de tehnologia utilizată,
More informationSORIN CERIN STAREA DE CONCEPŢIUNE ÎN COAXIOLOGIA FENOMENOLOGICĂ
SORIN CERIN STAREA DE CONCEPŢIUNE ÎN COAXIOLOGIA FENOMENOLOGICĂ EDITURA PACO Bucureşti,2007 All right reserved.the distribution of this book without the written permission of SORIN CERIN, is strictly prohibited.
More informationREVISTĂ DE M ATEMATI CĂ P ENTRU ELEVI ŞI P ROFESO RI IAŞI 201 5
Anul XVII, Nr. 1 Ianuarie Iunie 2015 R E C R E A Ţ I I M A T E M A T I C E REVISTĂ DE M ATEMATI CĂ P ENTRU ELEVI ŞI P ROFESO RI e i 1 A s o c i a ţ i a R e c r e a ţ i i M a t e m a t i c e IAŞI 201 5
More informationTTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună
Lighting TTX260 investiţie cu cost redus, performanţă bună TTX260 TTX260 este o soluţie de iluminat liniară, economică şi flexibilă, care poate fi folosită cu sau fără reflectoare (cu cost redus), pentru
More informationData Mining. Dr. Raed Ibraheem Hamed. University of Human Development, College of Science and Technology Department of Computer Science
Data Mining Dr. Raed Ibraheem Hamed University of Human Development, College of Science and Technology Department of Computer Science 2016 2017 Road map Association rule mining Market-Basket Data Frequent
More informationJOURNAL OF ROMANIAN LITERARY STUDIES DO ASSERTIONS, QUESTIONS OR WISHES MAKE A THICK TRANSLATION?
JOURNAL OF ROMANIAN LITERARY STUDIES Issue no.6/2015 DO ASSERTIONS, QUESTIONS OR WISHES MAKE A THICK TRANSLATION? Anca-Mariana PEGULESCU Romanian Ministry of Education and Scientific Research Abstract:
More informationPress review. Monitorizare presa. Programul de responsabilitate sociala. Lumea ta? Curata! TIMISOARA Page1
Page1 Monitorizare presa Programul de responsabilitate sociala Lumea ta? Curata! TIMISOARA 03.06.2010 Page2 ZIUA DE VEST 03.06.2010 Page3 BURSA.RO 02.06.2010 Page4 NEWSTIMISOARA.RO 02.06.2010 Cu ocazia
More informationAlgoritmică şi programare Laborator 3
Algoritmică şi programare Laborator 3 Următorul algoritm calculează cel mai mare divizor comun şi cel mai mic multiplu comun a două numere naturale, nenule, a şi b, citite de la tastatură. Algoritmul are
More information2005 Slatina Olt. Editura Cuart I.S.S.N Revista de matematică M X M. Nr. 1
I.S.S.N. -559 * ACEST NUMĂR A FOST REALIZAT CU SPRIJINUL CABINETULUI DE MATE MATICĂ AL INSPECTORATULUI ŞCOLAR OLT! * * Propuneri, sugestii, nemulţumiri, soluţii, se PRIMESC pe adresa: *Prof. Preoteasa
More informationComentarii la a 18-a Balcaniadă de Matematică Juniori jbmo 2014, Ohrid Macedonia
Comentarii la a 18-a Balcaniadă de Matematică Juniori jbmo 2014, Ohrid Macedonia Abstract. Comments on the problems of the 18 th jbmo (the Junior Balkan Mathematical Olympiad), Ohrid Republic of Macedonia,
More informationMarea teoremă a lui Fermat pentru polinoame
Marea teoremă a lui Fermat pentru polinoame Temistocle BÎRSAN 1 1. Odată cucăderea Constantinopolului (1453), mulţi învăţaţi bizantini s-au îndreptat spre Europa de Vest aducând cu ei manuscrise preţioase
More informationGREUTATE INALTIME IMC TAS TAD GLICEMIE
Corelaţii Obiective: - Coeficientul de corelaţie Pearson - Graficul de corelaţie (XY Scatter) - Regresia liniară Problema 1. Introduceţi în Excel următorul tabel cu datele a 30 de pacienţi aflaţi în atenţia
More informationSTUDIUL GRUPURILOR DE IZOMETRII. Rezumatul tezei de doctorat
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ STUDIUL GRUPURILOR DE IZOMETRII Rezumatul tezei de doctorat Conducător ştiinţific: Prof. univ. dr. DORIN ANDRICA Doctorand: VASILE GHEORGHE
More informationABSTRACT. Figure 1. Continuous, 3-note, OP-Space (Mod-12) (Tymoczko 2011, fig )
Leah Frederick Indiana University lnfreder@indiana.edu Society for Music Theory Arlington, VA 11.3.2017 GENERIC (MOD-7) VOICE-LEADING SPACES ABSTRACT In the burgeoning field of geometric music theory,
More informationîn perioada 1 7 decembrie 2017, urmatoarele filme :
71/ 27.XI.2017 ROMANIAFILM PREZINTA : în perioada 1 7 decembrie 2017, urmatoarele filme : 1 Cinematograful EUROPA din BUCURESTI = tel.0374.053.498 MARITA Distribuitor : Microfilm 1-7 dec: 13.00, 15.00,
More informationReprezentări grafice
Reprezentări grafice Obiective: - realizarea graficelor pentru reprezentarea datelor; Problema 1: S-a realizat un studiu pe un lot format din 19 nou născuţi pentru care se urmăresc parametrii biomedicali:
More informationSistemul de operare Windows (95, 98) Componenta My Computer
Laborator 9 Sistemul de operare Windows (95, 98) Componenta My Computer My Computer este o componentă ce permite crearea şi organizarea fişierelor şi directoarelor şi gestionarea discurilor. My Computer
More informationZOOLOGY AND IDIOMATIC EXPRESSIONS
ZOOLOGY AND IDIOMATIC EXPRESSIONS ZOOLOGIA ŞI EXPRESIILE IDIOMATICE 163 OANA BOLDEA Banat s University of Agricultural Sciences and Veterinary Medicine, Timişoara, România Abstract: An expression is an
More informationThe word digital implies information in computers is represented by variables that take a limited number of discrete values.
Class Overview Cover hardware operation of digital computers. First, consider the various digital components used in the organization and design. Second, go through the necessary steps to design a basic
More informationContribuţii la studiul problemelor de coincidenţă pentru operatori univoci si multivoci
Contribuţii la studiul problemelor de coincidenţă pentru operatori univoci si multivoci Rezumatul tezei de doctorat Oana Maria Mleşniţe Departamentul de Matematică Universitatea Babeş-Bolyai, Cluj-Napoca
More informationCircuite Basculante Bistabile
Circuite Basculante Bistabile Lucrarea are drept obiectiv studiul bistabilelor de tip D, Latch, JK şi T. Circuitele basculante bistabile (CBB) sunt circuite logice secvenţiale cu 2 stări stabile (distincte),
More informationCapitolul 5. Elemente de teoria probabilităţilor
Capitolul 5. Elemente de teoria probabilităţilor Acest capitol este preluat din Dragomirescu (1998), cu unele corecţii şi cu o piesă originală: aplicaţia ecologică sau biomedicală la regula adunării şi
More informationSplit Screen Specifications
Reference for picture-in-picture split-screen Cuvantul PUBLICITATE trebuie sa fie afisat pe toată durata difuzării split screen-ului, cu o dimensiune de 60 de puncte in format HD, scris cu alb, ca in exemplul
More informationTHE ART OF WRITING, READING AND LIVING BETWEEN TRADITION AND MODERNITY
THE ART OF WRITING, READING AND LIVING BETWEEN TRADITION AND MODERNITY Eva-Nicoleta BURDUŞEL, Associate Professor Ph.D., Lucian Blaga University of Sibiu Abstract: The aim of the present study is to investigate
More informationLogout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a XII-a» Attempt 1. Continue
Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a XII-a 1 of 3 4/14/2008 12:57 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a XII-a» Attempt 1 1 La distanţa L de un ecran, nu prea mare, se află un izvor luminos
More informationPhase Equilibria, Crystallographic and Thermodynamic Data of Binary Alloys
Landolt-Börnstein Numerical Data and Functional Relationships in Science and Technology New Series / Editor in Chief: W. Martienssen Group IV: Physical Chemistry Volume 12 Phase Equilibria, Crystallographic
More informationCAPITOLUL 2. PROIECTAREA MODELULUI RELAŢIONAL AL DATELOR PRIN NORMALIZARE
CAPITOLUL 2. PROIECTAREA MODELULUI RELAŢIONAL AL DATELOR PRIN NORMALIZARE În literatura de specialitate, în funcţie de complexitatea bazei de date sunt abordate următoarele metode de proiectare: proiectarea
More informationBulletin 509 Full Voltage
Bulletin 509 Full Voltage Example Cat. No. 509 B O D A2E 17 a b c d e f a Bulletin No. Bulletin No. 509 Top-wired starter 509DC Top-wired starter (DC voltage) b NEMA Size T 00 A 0 B 1 C 2 D 3 E 4 F 5 G
More informationColors. He tries to see everything in black and white although he knows this is impossible.
Colors 1.black and white = a vedea in alb sau negru - thinking of everything or judging everything as either good or bad He tries to see everything in black and white although he knows this is impossible.
More informationCOSTUL DE OPORTUNITATE AL UNUI STUDENT ROMÂN OPPORTUNITY COST OF A ROMANIAN STUDENT. Felix-Constantin BURCEA. Felix-Constantin BURCEA
COSTUL DE OPORTUNITATE AL UNUI STUDENT ROMÂN Felix-Constantin BURCEA Abstract A face compromisuri implică întotdeauna a compara costuri şi beneficii. Ce câştigi reprezintă beneficiul, care de obicei depinde
More informationSAMPLE IN EVERY AGE. b b. œ œ œ œ. œ b œ. j œ œ. j œ. œ œ. œ œ œ. . œ œ œ œ. œ œ. b œ œ œ b œ. œ œ œ œ œ. œ moun - cast, use. J œ
Melody Keyboard VERSES (q = ca. 86) sea dust a - 4 4 4 Long Des - be-forti - ny us is make tient To have slee Ab sus2,#4 al - light eace - b IN EVERY AGE Text: Bed on Psalm 0:1 4, 12; anèt Sullivan Whitaker,
More informationDOWNLOAD OR READ : THE HOUSE OF BARIC PART ONE PDF EBOOK EPUB MOBI
DOWNLOAD OR READ : THE HOUSE OF BARIC PART ONE PDF EBOOK EPUB MOBI Page 1 Page 2 the house of baric part one the house of baric pdf the house of baric part one Kicker L7 15 Box Plans. The Best Kicker L7
More informationBiostatistică Medicină Generală. Lucrarea de laborator Nr Intervale de încredere. Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti:
Biostatistică Medicină Generală Lucrarea de laborator Nr.5 Scop: la sfârşitul laboratorului veţi şti: Să folosiţi foaia de calcul Excel pentru a executa calculele necesare găsirii intervalelor de încredere
More informationConferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a IV-a, Graph Magics. Dumitru Ciubatîi Universitatea din Bucureşti,
Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a IV-a, 2006 133 Graph Magics Dumitru Ciubatîi Universitatea din Bucureşti, workusmd@yahoo.com 1. Introducere Graph Magics este un program destinat construcţiei
More informationAnalele Universităţii Constantin Brâncuşi din Târgu Jiu, Seria Economie, Nr. 1/2010
DIAGNOSTICUL FINANCIAR MODALITATE DE OBŢINERE A PERFORMANŢELOR FINANCIARE ALE FIRMEI Prof. Univ. Dr. Constantin CARUNTU Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu - Jiu Lect.univ.dr. Mihaela Loredana
More informationMAURIZIO MACHELLA Arranger, Interpreter, Publisher
MAURIZIO MACHELLA Arranger, Interpreter, Publisher Italia About the artist Famous musician and organist, known throughout the world. Italian publisher, researcher and organist. Music collaborator with
More informationQ1. In a division sum, the divisor is 4 times the quotient and twice the remainder. If and are respectively the divisor and the dividend, then (a)
Q1. In a division sum, the divisor is 4 times the quotient and twice the remainder. If and are respectively the divisor and the dividend, then (a) 3 (c) a 1 4b (b) 2 (d) Q2. If is divisible by 11, then
More informationFINANCIAL DIAGNOSIS THE WAY TO GET FINANCIAL PERFORMANCES BY THE COMPANY
DIAGNOSTICUL FINANCIAR MODALITATE DE OBŢINERE A PERFORMANŢELOR FINANCIARE ALE FIRMEI PROF.UNIV.DR. CĂRUNTU CONSTANTIN LECT.UNIV.DR. LĂPĂDUŞI MIHAELA LOREDANA UNIVERSITATEA CONSTANTIN BRÂNCUŞI FINANCIAL
More information1. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi
1. 1.1 Introducere Scopul acestui curs este de a furniza celor interesaţi în primul rând o bază solidă asupra problemelor matematice care apar în inginerie şi în al doilea rând un set de instrumente practice
More informationTeologie öi limbä. Înnoire, consecvenæä, conservatorism
Teologie öi limbä. Înnoire, consecvenæä, conservatorism Astăzi se vorbeşte tot mai des cu ceva întârziere, bineînţeles, la noi de contextualizare culturală şi de erori de judecată în teologia istorică.
More informationProiect:ID 1005, Coinele, algebre Hopf şi categorii braided monoidale, Director: C. Năstăsescu SINTEZA LUCRĂRII
1 Proiect:ID 1005, Coinele, algebre Hopf şi categorii braided monoidale, Director: C. Năstăsescu SINTEZA LUCRĂRII Cercetarea pe temele propuse în proiect s-a concretizat în următoarele articole: [1] S.
More informationPROGRAMA CONCURSULUI NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI ANUL ŞCOLAR
Clasa a IX-a 1. Mulţimi şi elemente de logică matematică : mulţimea numerelor reale; propoziţie, predicat, cuantificatori; operaţii logice elementare; inducţia matematică; probleme de numărare. 2. Şiruri:
More informationRaionul Şoldăneşti la 10 mii locuitori 5,2 4,6 4,4 4,8 4,8 4,6 4,6 Personal medical mediu - abs,
Indicatorii de bază privind sănătatea populaţiei raionului şi rezultatele de activitate a instituţiilor medico - sanitare publice Reţeaua instituţiilor medicale: -spitale republicane 17 - - - - - - -spitale
More information«**]+( «**]I" «**]g% «**^!) «**^?# «**^]& «**a?*
SEIKO OPTICAL PRODUCTS OF AMERICA, INC. chapter. page 9. 1-0.00 ULTRA AR 70mm «**]!* 0909600009 +0.25 ULTRA AR 70mm «**]+( 0909601007 +0.50 ULTRA AR 70mm «**]5& 0909602005 +0.75 ULTRA AR 70mm «**]?$ 0909603003
More informationDUBLIN BUSINESS SCHOOL GARETH DOONER AN ASSAULT ON MODERN THEATRE S DICHOTOMOUS FOUNDATIONS
DUBLIN BUSINESS SCHOOL GARETH DOONER AN ASSAULT ON MODERN THEATRE S DICHOTOMOUS FOUNDATIONS THESIS SUBMITTED IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS OF THE BA (HON) FILM, LITERATURE & DRAMA COURSE SUPERVISOR:
More informationOPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR
OPTIMIZING THE MANUFACTURING EQUIPMENTS LOAD FACTOR OPTIMIZAREA GRADULUI DE ÎNCĂRCARE AL UTILAJELOR DE FABRICAŢIE Traian Alexandru BUDA, Magdalena BARBU, Gavrilă CALEFARIU Transilvania University of Brasov,
More informationDepartment of Computer Science and Engineering Question Bank- Even Semester:
Department of Computer Science and Engineering Question Bank- Even Semester: 2014-2015 CS6201& DIGITAL PRINCIPLES AND SYSTEM DESIGN (Common to IT & CSE, Regulation 2013) UNIT-I 1. Convert the following
More informationRomanian Master of Mathematics and Sciences 2011 Physics Section
1. Suntem în plină eră spańială şi zborul cosmic este la ordinea zilei. Convoaie de nave spańiale brăzdează vidul ce separă Pământul şi coloniile lui. Eşti comandantul unui astfel de convoi, constând din
More informationRELAŢIA RESPONSABILITATE SOCIALĂ SUSTENABILITATE LA NIVELUL ÎNTREPRINDERII
RELAŢIA RESPONSABILITATE SOCIALĂ SUSTENABILITATE LA NIVELUL ÎNTREPRINDERII Ionela-Carmen, Pirnea 1 Raluca-Andreea, Popa 2 Rezumat: În contextual crizei actuale şi a evoluţiei economice din ultimii ani
More informationDepartment of CSIT. Class: B.SC Semester: II Year: 2013 Paper Title: Introduction to logics of Computer Max Marks: 30
Department of CSIT Class: B.SC Semester: II Year: 2013 Paper Title: Introduction to logics of Computer Max Marks: 30 Section A: (All 10 questions compulsory) 10X1=10 Very Short Answer Questions: Write
More informationCoils for solenoid valves
MAKING MODERN LIVING POSSIBLE Technical leaflet Coils for solenoid valves www.danfoss.com B and A coils Encapsulated coils with long operating life, even under extreme conditions Standard coils for a.c.
More informationLUPTA PENTRU IDENTITATEA OMULUI. MEMORIE ŞI IDENTITATE COLECTIVĂ THE BATTLE FOR THE HUMAN BEING S IDENTITY. MEMORY AND COLLECTIVE IDENTITY
LUPTA PENTRU IDENTITATEA OMULUI. MEMORIE ŞI IDENTITATE COLECTIVĂ THE BATTLE FOR THE HUMAN BEING S IDENTITY. MEMORY AND COLLECTIVE IDENTITY Dr. Simona MITROIU Departamentul de Ştiinţe Umaniste Universitatea
More informationEMOŢII ÎN CONTEXT PRAGMATIC EMOTIONS IN PRAGMATIC CONTEXT. Lect.univ. Oana Maria PĂSTAE Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu
EMOŢII ÎN CONTEXT PRAGMATIC EMOTIONS IN PRAGMATIC CONTEXT Lect.univ. Oana Maria PĂSTAE Universitatea Constantin Brâncuşi din Târgu-Jiu Lecturer Oana Maria PĂSTAE Constantin Brâncuşi University from Târgu-Jiu
More informationVENDOR NUMBER CROSS REFERENCE LIST
CROSS REFERENCE LIST 574-S. 839 987 6E-2 912 412 6J-3 E-70 168-M 6K-3 E-70 259-M AFB-2447 S 1731 513 AFB-2448 S 1731 514 AFB-2641 S *1822 052 AFB-2642 S *1822 053 AFB-2650 S *1826 079 AFB-2651 S *1826
More informationPROGRESE ÎN CONSTRUCŢIA REDUCTOARELOR DE TURAŢIE CU AXELE PARALELE
PROGRESE ÎN CONSTRUCŢIA REDUCTOARELOR DE TURAŢIE CU AXELE PARALELE Gheorghe MILOIU, Mihai IONEL Progress in building of the helical gearboxes with parallel shafts This paper presents the newest concept
More information