FIABILITATEA SISTEMELOR INFORMATICE

Transcription

1 FLOAREA BAICU FIABILITATEA SISTEMELOR INFORMATICE (CAIET DE SEMINAR)

2 Cupris CAPITOLUL Fiabiliae, defece, erori - cocepe geerale.. Defiirea fiabiliăţii, defecării, defecului.. Obiecive ale fiabiliăţii.3. Ciclul de viaţă al sisemelor.4. Defece, defecări, erori.5. Evoluţia î imp a defecelor.6. Tipuri de erori sofware.7. Teme de rezolva CAPITOLUL Sudiul idicaorilor de fiabiliae peru siseme ehice şi specifici sofware... Fucţii specifice fiabiliăţii... Fucţia de fiabiliae, R()... Probabiliaea de defecare, F()..3. Desiaea de probabiliae a impului de fucţioare fără defecare, f()..4. Raa de defecare, z() sau ()..5. Media impului de fucţioare pâă la defecare, m..6. Deviaţia sadard, (σ) şi dispersia (D)..7. Cuaila impului de fucţioare,.. Idicaori peru fiabiliaea sofware... Fucţia de fiabiliae, R()... Raa de maifesare a erorilor sau desiaea de defecare, z()..3. Cuaila impului de execuţie,..4. Numărul de erori remaee, N()..5. Duraa medie de fucţioare pâă la defecare..6. Idicaori idirecţi, specifici fiabiliăţii previzioale a programelor.3. Idicaori de complexiae a sisemelor sofware.4. Teme rezolvae.5. Teme de rezolva CAPITOLUL 3 Modele maemaice peru calculul idicaorilor de fiabiliae 3.. Tipuri de disribuţie saisică 3.. Calculul fucţiilor de fiabiliae specifice 3... Peru variabile aleaoare discree 3... Peru variabile aleaoare coiui

3 3.3. Disribuţia biomială 3.4. Disribuţia Poisso 3.4. Disribuţia ormală (Gauss-Laplace) 3.6. Teme de rezolva CAPITOLUL 4 Sudiul fiabiliăţii sisemelor pe baza blocurilor logice de fiabiliae 4.. Pricipii de bază ale modelului blocuri logice de fiabiliae 4. Tipuri de coexiui î BLF 4... Siseme de ip serie 4... Siseme de ip paralel 4.3 Tabel de sieză 4.4. Probleme rezolvae 4.5. Probleme de rezolva CAPITOLUL 5 Meoda arborilor de defecare peru sudiul fiabiliăţii sisemelor 5.. Pricipii de bază referioare la arborii de defecare 5.. Meode de aaliză ale arbori de defecare 5.3. Elemeele compoee ale arbori de defecare 5.4. Evaluarea probabiliăţii de defecare 5.5. Teme de rezolva CAPITOLUL 6 Calculul probabiliăţilor de defecare a sisemelor complexe pri meoda biomială 6.. Prezearea disribuţiei biomiale 6.. Aplicarea meodei 6.3. Probleme CAPITOLUL 7 Meoda laţurilor Marov peru fiabiliaea sisemelor 7.. Defiirea laţului Marov 7.. Maricea sărilor de raziţie 7.3. Exemplu de calcul peru maricea sărilor de raziţie 7.4. Eapele aplicării meodei laţurilor Marov 7.3. Exemple de aplicare al meodei CAPITOLUL 8 Meode peru esimarea idicaorilor de fiabiliae 8.. Meode de esimare. Geeraliăţi 8.. Meoda verosimiliăţii maxime (maximum lielihood mehod) 8.3. Tesul secveţial al lui Wald 8.4. Probleme

4 CAPITOLUL 9 Tesarea sofware 9.3. Meode de esare Tesarea idividuala a uor uiai separae dir-u sisem sofware Tesul de iegrare Tesarea de validare Tesul de accepare Tesul de sisem Tesarea regresivă Tesarea de compaibiliae 9.4. Isrumee de esare 9.5. Tesarea empirică 9.6. Efecuarea esării 9.7. Idicaori de esare 9.8. Teme de sudiu CAPITOLUL Modelul Jelisi-Morada peru fiabiliaea sofware.. Modelul Jelisi-Morada clasic.. Modelul Jelisi-Morada geomeric.3. Modelul Jelisi-Morada hibrid.4. Probleme propuse CAPITOLUL Probleme specifice de fiabiliae hard discurilor.. Pricipiul de fucţioare şi compoeele HDD.. Scrierea şi ciirea daelor pe HDD.3. Tipuri de defece î HDD.4.Teme de sudiu: CAPITOLUL Probleme specifice de fiabiliae a memoriilor semicoducoare.. Iroducere.. Pricipiul de fucţioare al memoriilor semicoducoare.3. Mecaismele de defecare şi erori î memoriile semicoducoare.4 Teme de sudiu BIBLIOGRAFIE

5 Capiolul. FIABILITATE, DEFECTE, ERORI - CONCEPTE GENERALE.. Defiirea fiabilăţii, defecării, defecului Fiabiliaea sisemelor ehice ese defiiă ca fiid probabiliaea ca u sisemul să-şi îdepliească fucţia proiecaă u ierval de imp specifica, î codiţii de uilizare presabilie. Maemaic, fiabiliaea se exprimă cu ajuorul fucţiei de fiabiliae (reliabiliy fucio) R( ) şi repreziă probabiliaea ca î iervalul (, ) sisemul să fucţioeze fără să apară defece : p( ) P( T) R( ), (..) ude: p ( ) probabiliaea de buă fucţioare; variabila imp; T limia specificaă a duraei de fucţioare, respeciv duraa de fucţioare pâă la defecare; Auci câd e referim la fiabiliaea uui sisem ehic rebuie să e referim la oae părţile compoee ale acesuia care au fiabiliăţi diferie. Compoeele uui sisem ehic po îsema echipamee fizice, hardware, sofware, ierfeţe, coexiui, operaor uma, proceduri de uilizare şi u î ulimul râd, îfrasrucura supor. U sisem rebuie să fie echilibra di puc de vedere al fiabiliăţii: oae compoeele sale rebuie să aibă ivele de fiabiliae comparabile, alfel cea mai efiabilă compoeă deermiă fiabiliaea sisemului, ea ese veriga cea mai slabă a laţului. Fiabiliaea uui sisem poae fi îmbuăăţiă folosid diferie ehici speciale pe care le vom sudia î capiolele urmăoare. Di sudiile de specialiae se poae cosidera că î defecarea sisemelor de calcul, defecarea hardului repreziă u proce de 9%, a sofului 4% î imp ce facorul uma (proceduri icorece sau icorec aplicae) geerează 49% di defecări, acele de vadalism %, accidee de mediu %, suprasoliciarea 6%. Î acesă care e vom ocupa de fiabiliaea hardware şi sofware, de modelele care descriu defecarea acesora, meode de evideţiere a defecărilor, măsurare a paramerilor şi îmbuăăţirea idicaorilor de fiabiliae. U sisem bie proieca, corec realiza, miuţios verifica, judicios uiliza u ar rebui să prezie defecări î fucţioare. Experieţa a arăa că şi cele mai bue siseme î codiţiile uei exploaări corece u exclud posibiliaea apariţiei uor defece î fucţioare. 9

6 .. Obiecive ale fiabiliăţii Teoria fiabiliăţii se cosruieşe pe baza daelor referioare la defecarea sisemului şi compoeelor acesuia. Defecarea ese procesul de pierdere a capaciăţii sisemului (sau compoee ale sisemului) de a-şi realiza fucţia proiecaă. Fiabiliaea ca şiiţă are ca obieciv: - aprecierea caiaivă a comporării sisemelor î imp, ţiâd seama de iflueţa pe care o exerciă asupra acesora facorii ieri şi exeri; - sabilirea meodelor de proiecare, dezvolare, cosrucive, ehologice şi de exploaare peru asigurarea, meţierea şi creşerea fiabiliăţii sisemelor şi compoeelor acesora; - sudiul defecelor şi erorilor (al cauzelor, proceselor de apariţie şi dezvolare), al meodelor de preveire a apariţiei defecelor, de remediere a defecelor şi corecare a erorilor; - aaliza fizică a defecelor; - sabilirea modelelor şi meodelor de calcul şi progoză a fiabiliăţii pe baza îcercărilor specifice şi a urmăririi comporării î exploaare a sisemelor; - sabilirea meodelor de selecare şi prelucrare a daelor privid fiabiliaea; - deermiarea valorilor opime a idicaorilor de fiabiliae; - sabilirea uor măsuri corecive peru reducerea riscurilor pe parcursul ciclului de viaţă şi îmbuăăţirea fiabiliăţii. Apecele privi maagemeul şi procedurarea aciviăţilor uilizaorilor sisemului su raae separa î şiiţe oi de exemplu caliae, opimizare securiae şi maageme ielige. Fiabiliaea ese iseparabil legaă de capaciaea sisemului de a fi repus î fucţiue după defecare. Probabiliaea ca sarea de buă fucţioare a sisemului să fie resabiliă pri operaţii adecvae desfăşurae îr-u aumi ierval de imp se umeşe meeabiliae. Asamblul uuror aiviăţilor desfăşurae peru a meţie sau resabili sarea de buă fucţioare se umeşe meeaţă. Exisă siseme care î urma uor operaţii de meeaţă po fi aduse îr-o sare de fucţioare apropiaă de cea iiţială, iar asfel de siseme se umesc siseme cu resabilire sau reparabile (umie şi siseme cu reîoire) şi siseme care u mai po fi aduse î sarea de buă fucţioare pri ici u program de meeaţă. Asfel de siseme se umesc siseme ereparabile..3. Ciclul de viaţă al sisemelor Fiabiliaea rebuie avuă î vedere î îreg ciclu de viaţă al sisemului. Ciclul de viață al oricărui sisem, iclusiv al sisemelor iformaice, cosă îr-o îlăţuire de eape care se succed dar se şi suprapu pe aumie perioade. Î accepţiue ieraţioală, eapele ciclului de viaţă ale uui sisem su [48]:. aaliza ecesiăţii uui sisem: ideificarea ceriţelor şi asepărilor beeficiarilor acesui sisem;. cocepere: sabilirea fucţiilor sisemului;

7 3. proiecare/dezvolare: realizarea proiecului pe baza ceriţelor ideificae ale beeficiarului referioare la fucţiile sisemului, cu respecarea ceriţelor legale şi celorlale reglemeări legale di domeiu; 4. realizare - realizarea propriu-zisă pe baza proiecului elabora; 5. esarea - uilizâd meode adecvae, iclusiv fucţioarea î codiţii corolae/de laboraor care simulează fucţioarea reală; 6. implemeare, fucţioare/operare î codiţii reale/omiale; 7. verificare, esare, iclusiv validare; 8. îreţiere şi îmbuăățire, meeață - corecarea erorilor care au codus la defecare, up-grade, up-dae; 9. reragere..4. Defece, defecării, erori Defecul de poae defiii ca o aomalie î fucţioarea corecă a uui sisem. Îcearea capaciăţii uui sisem de a îdeplii fucţia specificaă (proiecaă) poară deumirea de cădere sau defecare. Defecarea poae să îseme că cel puţi ua di performaţele sisemului a ieşi di limiele specificae. Performaţele sisemului su relevae faţă de o aume aplicaţie, iar a ţie seama de oae performaţele sisemului, chiar peru u sisem simplu, ese exrem de dificil. Defecarea poae fi rezulaul uui proces coiuu de variaţie a performaţelor sisemului sau al modificării bruşe a valorii uei performaţe, sarea de defecare aflâdu-se îr-u rapor de coiuiae sau discoiuiae faţă de sarea de buă fucţioare a sisemului. Idifere de modul de variaţie al performaţelor sisemului, defecarea ese u proces aleaor. Toae modelele maemaice ale fiabiliăţii su de ip sohasic, asfel îcâ previziuea comporării viioare a uui sisem, bazaă pe cuoaşerea evoluţiei sale di recu şi a srucurii sale, poae fi făcuă umai be baza eoriilor specifice probabiliăţilor, cu u aumi ivel de îcredere, cu u ivel accepa de iceriudie. Cauzele care po deermia defecarea po fi daorae proiecării, fabricaţiei şi/sau uilizării sisemului. Defecarea ese provocaă pri depăşirea uor sări limiă, care se maifesă sub forma ruperii uei compoee, apariţiei uui scurcircui sau erori î program ec., mecaismul defecării puâd fi de aură fizică, chimică sau de ală aură. Exisă prire specialişi şi opiia coform căreia u orice mică defecţiue cosiuie o defecare, îrucâ exisă defecţiui care u împiedică îdepliirea fucţiilor de bază ale produsului. Fiabiliaea sofware repreziă probabiliaea ca sofware-ul să u producă defecarea uui sisem care uilizează calculaorul îr-u aumi ierval de imp şi î codiţii specificae. Ese legaă de abiliaea sofului de a rula cum și câd ese ecesar î momeul iegrării î sisem. Defecarea sofului u ese similară cu cea a hardului, ese u eveime cauza de pierderea abiliății de realizare a uei fucții sof î limiele specificae şi se defieşe ca maifesarea uui defec î sof care poae împiedica realizarea performaței cerue, face să se obţiă rezulae eaşepae î fucţioarea acesuia, discrepațe îre valorile obţiue și cele specificae sau corece di puc de vedere eoreic. Defecările sofului apar î mod aleaoriu î operarea sisemului și

8 po survei oricâd î impul ciclului de viață al sisemului. Auci câd apar su sisemaice și au caracerisici similare. U defec sof repreziă icapaciaea uui sof de a opera di cauza erorilor. U defec sof rămâe lae pâă câd ese aciva î aumie circumsațe de fucțioare și î mod ormal devie iaciv câd acese circumsaţe u mai exisă. U defec sof poae cauza defecarea sisemului. Eroarea sof ese o ese de obicei produsă de acțiuea greşiă a uui programaor î impul codificării sau de ierprearea greșiă de căre programaor a cerițelor specificației sof, raducerea icorecă (compilarea) î limbajele specifice sau omieri ale cerițelor î specificația de proiecare. Î mod uzual se folosese ermeul de eroare aâ peru o acţiue greşiă câ şi peru maifesarea greşelii î program. Î domeiul programelor defecarea cosă î puerea î evideţă a uei erori laee coţiue î program şi care u se daorează uzurii. Daoriă fapului că o aumiă cofiguraţie de dae, care pue î evideţă eroarea, apare după u ierval de imp aleaor de esare sau uilizare, defecările sofware-ului po fi raae ca eveimee aleaoare, care se produc de-a lugul uui ierval de imp. Î cazul programelor defecarea repreziă maifesarea uei erori prezee î program şi care ese deecaă pri: - mesaje de eroare de execuţie; - o duraă de execuţie efiiă a programului; - obţierea uui rezula clar eroa, î afara domeiului. S-a demosra că î imp, chiar îr-u program foare bu, elabora la firme mari se specialişi recuoscuţi şi miuţios verificae au apăru defece. Progoza defecării uui program ese afecaă de două surse de iceriudie: - variabiliaea daelor de irare şi lipsa uei aumie legi de succesiue a acesora; - variabiliaea programelor care po implemea o aceeaşi fucţie, respeciv variabiliaea raţioameelor peru rezolvarea uei probleme. Elemeele eseţiale î defiirea defecării sofware, coform IEEE (ANSI) 98. di 988 [34] su: eroarea (error), eregula (faul, bug), defecul (defec) şi defecarea sau căderea (failure). Legăurile dire acese elemee su prezeae î figura.. Figura.. Elemeele defecării sofware

9 Coform sadardului mai sus cia, eroarea (error) ese o greşeală umaă care are drep rezula u program icorec. Programele su elaborae î baza uor lugi şiruri de raţioamee î care erorile umae su ieviabile. De exemplu, dacă beeficiarul a omis o ceriţă criică auci câd a solica elaborarea programului (specificaţia), produsul fial, deşi corec cocepu, ese ecorespuzăor. Ale ipuri de erori su deermiae de ierprearea greşiă a uei ceriţe sau recerea de la proiecarea simbolică la coduri. Î urma erorii umae rezulă eregula (faul sau bug). Ea repreziă accideul ier care face ca sisemul să u fucţioeze coform aşepărilor. Maerializarea direcă a erorii umae î program ese o porţiue a codului care rebuie corecaă. Î exprimarea cureă se uilizează ermeul de eroare aâ peru acul de a greşi (error), câ şi peru maifesarea lui direcă î program (faul sau bug). Neregulile cauzae de erori coduc la aomalii ale produsului sofware, umie defece (defecs). Defecele se referă aâ la produsul fial (codul), câ şi la produsele iermediare (ceriţele şi dealierea lor pri proiecare). Ele iclud ambiguiăţi la ivelul ceriţelor, omisiui î documeaţie, dae de esare icorec specificae ec. Defecarea (failure) ese maifesarea vizibilă a defecului pri care o uiae fucţioală a sisemului (iclusiv hardware-ul) u-şi mai poae îdeplii fucţia sau -o poae îdeplii î limiele specificae. Defecarea se produce umai auci câd u se de dae de irare acivează defecul preze î sofware. Defecările repreziă percepţia uilizaorului ieresa ca sisemul să fucţioeze idifere de problemele rezidee î srucura sa. Erorile po fi daorae aâ producăorului câ şi uilizaorului. Uilizaorul poae greşi câd specifică ceriţele sau câd operează sisemul, î imp ce producăorul poae ierprea greşi o ceriţă sau o poae coda icorec. Erorile umae, eregulile (fauls) şi defecele (defecs) di sisemul sofware repreziă cauzele eveimeelor edorie iar defecările (failures) repreziă efecele. Neregulile şi defecele su imporae di pucul de vedere al celui care produce sau îreţie sisemul şi care-l percepe diăuru î afară, porid de la srucura lui. Moiorizarea fucţioării uui sisem de calcul implică aâ parea sofware câ şi parea hardware, operaorul uma şi mediul de lucru. Deseori, ieracţiuile dire acese părţi po coduce la defecări chiar î abseţa uor defece localizabile î vreua dire ele. De aceea, ese impora să se ia î cosiderare asamblul om-maşiă, forma di hardware (HW), sofware (SW) şi persoalul uilizaor, facorul uma (FU). Defecarea sisemului se poae produce di cauza uor malfucţioări ale sofware-ului chiar dacă acesa u coţie defece dar ese uiliza ecorespuzăor..5. Evoluţia î imp a defecelor Prezeţa defecărilor î diferie eape di viaţa sisemelor ese diferiă î fucţie de eapa di ciclul de viaţă, de ipul şi complexiaea sisemului. La ivel ieraţioal, î lieraura de specialiae, peru perioada de fucţioare ese 3

10 uaim cosideraă peru evoluţia de ip a raei de defece a aşa umiei curbe de forma cadă de baie - bahroom curve prezeaă î figura.. Coform acesei reprezeări î ciclul de viaţă al uui sisem se po cosidera rei perioade disice. Prima perioadă o cosiuie perioada iiţială (de moraliae ifailă, de rodaj, de maurizare) perioadă î care defecările au o frecveţă ridicaă. Elemeele compoee care se defecează î aceasă perioadă su elemeele cele mai slabe, cu vicii ascuse care se defecează chiar de la primele soliciări. După elimiarea acesor defecţiui iiţiale, precoce, defecţiuile se vor produce di ce î ce mai rar. Di aces moiv, aumie echipamee se livrează cosumaorilor după o perioadă iiţială de rodare, de esare, î care are loc "puerea la puc", perioadă î care echipameele su puse î fucţiue î codiţiile omiale specificae iar sofurile se vâd după ce variaa β a fos oferiă liberă pe piaţă şi a fos uilizaă de mai mulţi uilizaori, care au rimis observaţii referior la bua fucţioare. Î aceasă perioadă caracerisicile de fiabiliae ale uui sisem se îmbuăăţesc. Peru dispoziivele semicoducoare acese defecări se elimiă î impul perioadei de ardere, pri proba umi "bur-i" realizaă de producăor îaiea vâzării acesora. Peru produsele sof o pare di erorile di perioada de dezvolare a codului su elimiae î impul esării "variaei β" de căre uilizaori ieresaţi. Figura.. Variaţia ipică î imp a raei de defecare, curba "cadă de baie" Perioada a II-a, perioada ormală de fucţioare (de mauriae ) repreziă perioada pricipală de fucţioare, cu duraa cea mai lugă. Caracerisica geerală a acesei perioade o cosiuie frecveţa redusă a defecărilor şi ivelul relaiv cosa al raei de defecare. Defecări apar şi î aceasă perioadă, ele îsă u po fi prevăzue. Nu rebuie făcuă cofuzie îre acese defecţiui şi eveualele îlocuiri periodice daoriă uzurii care ţi de programul de meeaţă al sisemului. Defecele di perioada de mauriae au u caracer accideal, aleaor, î geeral cosa. Aceasa ese perioada î care se efecuează sudiile privid fiabiliaea. Îaiea îceperii uui sudiu de fiabiliae ese ecesar să se eseze dacă respecivul sisem se află î perioada ormală de fucţioare. 4

11 Perioada a III-a, perioada fială (de uzură, aşa umia "bărâeţe") se caracerizează prir-o creşere bruscă a frecveţei defecărilor daoriă uzurii accelerae a sisemului (degradare). Î acesă perioadă caracerisicile de fiabiliae se îrăuăţesc rapid. Peru mule siseme ehice, iclusiv peru sof, aceasă perioadă u se aige î pracică, ele uzâdu-se moral îaie de uzură şi îlocuie cu alele cu caracerisici superioare. Exiderea î imp a celor rei perioade variază î fucţie de aura sisemului sudia..6. Tipuri de erori sofware Î impul proiecării şi codificării se po iroduce erori care po fi grupae î urmăoarele caegorii: i. erori legae de alegerea şi descrierea algorimului: - algorim icorec, sau iadecva problemei de rezolva; - algorim mai puţi performa ca precizie sau imp ecesar rezolvării problemei; - omierea, ierprearea greşiă sau icompleă a uor părţi ale algorimului; - validarea icorecă şi/sau icompleă a daelor de irare; - iversarea răspusurilor la u bloc de decizie ec. ii. erori î defiirea şi uilizarea daelor ce provi di variabile eiiţializae, formae improprii de ciire, cooare de capaciae isuficieă, everificarea daelor de irare, aliiere/redefiire icorecă a câmpurilor, uilizarea uor cuvie cheie ca variabile, variabile ilegale (formae pri cocaeare sau despărţie îre două liii de program); iii. erori de calcule care po avea ca surse: - expresii complicae care fac posibilei eroari ecorolabile; - coversii implicie de ip (cu eroare de coversie, roujire, ruchiere ec.); - eierceparea cazurilor de depăşire/subdepăşire a iervalului defii ec. iv. erori produse î ehica de programare : - variabile şi srucuri de dae globale; - acces ecorola la zoe de memorie parajae; - ierfeţe program - subprogram erespecae; - pasarea cosaelor ca parameri rasmişi pri adresă; - pasarea paramerilor de irare/ieşire pri valoare; - auomodificarea programului î impul execuţie; - uilizarea ecorolaă a mai mulor limbaje cu coveţii de apel diferie ec. v. erori produse di eaeţie siuaţie î care logica de corol e defecuoasă, apar saluri î afara limielor programului, codiţii logice compuse sau icorec egae, eprelucrarea primei sau ulimei îregisrări, eluarea î cosiderare a posibiliăţii de exiseţă a fişierelor goale (vide), eprelucrarea erorilor de irare/ieşire, depăşirea capaciăţii sivei, adresare icorecă, ecorolarea idecşilor ec. 5

12 vi. erori î coexul execuţiei daorae memoriei diamice isuficiee sau ealocaă, periferice eoperaţioale, comuicare defecuoasă cu sisemul de operare. O mare pare di erorile meţioae mai sus depisae î faza de compilare a programului şi su exrase î fişierul de ieşire, îr-o formă specifică fiecărui compilaor. To ca erori de codificare su cosiderae şi cele deecae î faza de ediare a legăurilor..7. Teme de rezolva. Realizaţi u sudiu pe echipe peru ideificarea uor defece î hard si sof peru calculaoarele proprii şi cele di laboraorul Propueţi u model de fişă de observaţii peru colecarea daelor referioare la defecarea calculaorului persoal sau peru calculaoarele care corolează decolările dir-u aeropor, cauzele producerii defecelo şi modul de evideţiere. 3. Eumeraţi ipuri de defece şi propueţi u mod de clasificare a erorilor, 4. Îcercaţi să găsiţi defece peru perioada ifailă şi cea fială peru sofurile si hardul calculaoarelor IBM 5. Compleaţi obiecivele fiabiliăţii di experieţa proprie. 6. Propueţi meode de îmbuăăţire a fiabiliăţii facorului uma. 7. Exemplificaţi modul î care soliciăţile afecează fiabiliaea. 7. Compleaţi coloaa 4 di abelul de mai jos 6

13 Cauza Crieriu Defecare Forma de maifesare Exemplificări Duraa defecţiuii Legăurile dire defecţiui Modul de deecare Caracerul apariţiei Uzură î imp Greşeli proiecare realizare de sau Uilizare improprie Trazieă Iermieă Raeuri Permaeă Primară (idepedeă) Secudară (depedeă) Evideă Ascusă Bruscă Trepaă progresivă uzură) sau (de Alerare a caracerisicilor î imp, î mod aural Se maifesă î perioada de îcepu a ciclului de viaţă şi se po elimia pri ese prelimiare, rodaj, bur-i, selecţie ec. Apar la aplicarea uor soliciări care depăşesc limiele specificae Caracer emporar, razioriu, ueori se remediază fără ierveţia omului, auci câd aumie codiţii de uilizare au fos modificae Temporară şi repeaă Caracer emporar de scură duraă, deermiae de scure perurbaţii; se remediază de la sie Caracer permae (remedierea ecesiă reparaţie) Apar di orice moiv, dar u ca efec al uei ale defecţiui Apare ca rezula al alor defecţiui care s-au produs deja Se descoperă pri corol uzual sau la puerea î fucţiue a sisemului Se descoperă umai pri măsurări speciale Modificarea rapidă a caracerisicilor fucţioale ale sisemului Îrăuăţirea leă a paramerilor sisemului ca urmare a uzurii şi îmbărâirii î imp 9

14 Cum afecează capaciae de fucţioare a sisemului Efece Graviae Frecveţa apariţiei Volumul şi caracerul resabilirii Derajame Defecţiue parţială Defecţiue oală Criică Majoră Mioră Caasofică Severă Semificaivă Mioră Sisemaică Îâmplăoare Avarie Cădere Dereglare Nu împiedică exploaarea ormală a sisemului, îdepliirea fucţiei de bază Depăşirea uor limie de căre uul sau mai mulţi parameri, dar care permie realizarea parţială a fucţiei proiecae Ieşirea compleă di fucţiue a sisemului Poae provoca pierderi de vieţi omeeşi, răire de persoae sau pierderi maeriale imporae Afecează fucţioarea sisemului la parameri omiali Nu afecează fucţia pricipală a sisemului Defecarea îregului sisem Afecează o fucţie prioriară peru beeficiar care u ese dispoibilă auci câd acesa are evoie Sisemul poae fucţioa dar cu modificări imporae Fucţia de bază a sisemului u ese afecaă Se maifesă ori de câe ori apar aceiaşi facori perurbaori î fucţioare Nu apare ca urmare a aceloraşi cauze Deermiaă de fabricaţie icorecă sau erori grave î exploaare; ecesiă imp îdeluga peru resabilire Deermiae de modificări irevversibileî srucura sisemului; se îlăură pri îlocuirea elemeului defec Ese afeca regimul ormal de fucţioare

15 Capiolul. STUDIUL INDICATORILOR DE FIABILITATE PENTRU SISTEME TEHNICE ŞI SPECIFICI SOFTWARE... Fucţii specifice fiabiliăţii Exisă o serie de fucţii specifice fiabiliăţii, iercoecae îre ele, care permi descrierea fiabiliăţii sisemelor, umie şi idicaori de fiabiliae. Peru siseme ehice î geeral, deci şi peru hardware, aceşi idicaori su: fucţia de fiabiliae şi cea de ofiabiliae, disribuţia impului de fucţioare pâă la defecare, raa de defecare, media impului de fucţioare pâă la defecare, dispersia şi abaerea păraică medie, cuaila impului de fucţioare. Peru sofware, acese fucţii se adapează şi compleează cu raa de maifesare a erorilor sau desiaea de defecare, impul de execuţie, umărul de erori remmaee î program după o duraă de esare, umărul de irări/ieşiri pe modul, idicaori Halsead referiori la lugimea volumul şi dificulaea programelor, idicaori de complexiae. Î coiuare vor fi prezeae fucţiile care descriu fiabiliaea sisemelor ehice şi ierdepedeţa dire ele. Fucţiile care descriu fiabiliaea sisemului sofware vor fi prezeae î dealiu î &.... Fucţia de fiabiliae, R( ) (Reliabiliy), repreziă probabiliaea ca u sisem (sau o compoeă a sisemului) să-şi îdepliească corec fucţiile prevăzue pe o perioadă de imp specificaă, î codiţii de uilizare presabilie,8, 3, 34: p( ) P( T) R( ), (..) ude: p ( ) probabiliaea de buă fucţioare; variabila imp; T limia specificaă a duraei de fucţioare, respeciv duraa de fucţioare pâă la defecare; R( ) repreziă probabiliaea ca î iervalul (, ) sisemul să fucţioeze fără să apară defece. Fucţia de fiabiliae R ( ) are urmăoarele proprieăţi: - R ( ) deoarece T > ese u eveime sigur al experieţei; - R () ese o fucţie descrescăoare; - R ( ) peru, eveimeul T > fiid imposibil. Coform eoriei probabiliăţilor se cosideră că probabiliaea de buă fucţioare ese egală cu la momeul îceperii fucţioării, al şi scade î imp, asfel îcâ după u ierval de imp suficie de mare ( ) ajuge asimpoic la. Reprezearea geerală a uei asfel de fucţii ese redaă î figura.. Î capiolul rei al acesei cărţi vom prezea mai mule ipuri de fucţii maemaice cocree, care descriu fiabiliae sisemelor.

16 Figura.. Fucţia de fiabiliae... Probabiliaea de defecare, F ( ) (ureliabiliy) se defieşe cu relaţia: F( ) P( T). (..) F () repreziă probabiliaea de defecare a sisemului î iervalul (, ). R () şi F () su fucţii complemeare, fucţia F () umidu-se şi fucţia de ofiabiliae. Maemaic aceasa se scrie: R ( ) F( ). (..3) Acese fucţii se exclud reciproc, u sisem ese la u mome da, fie fucţioal fie defec. Ele se po uşor subsiui, ueori ese avaajos să discuăm despre probabiliaea de defecare a uui sisem, pri îcercările de fiabiliae se obţi î mod uzual dae despre defecele care se maifesă...3. Desiaea de probabiliae a impului de fucţioare fără defecare f ( ) (probabiliy desiy fucio), exprimă frecveţa relaivă a defecărilor îr-u ierval de imp da şi se mai umeşe lege de repariţie sau de disribuţie saisică a impului de fucţioare pâă la defecare. Se defieşe cu relaţia: F( ) F( ) df( ) dr( ) f ( ) lim. (..4) d d..4. Raa de defecare, z ( ) sau ( ), descrie probabiliaea de defecare î jurul uui mome da al uui eleme compoe al uui sisem afla î sare de buă fucţioare pâă la acel mome. Coform defiiţiei probabiliăţilor codiţioae se poae scrie: F( ) F( ) f ( ) dr z( ) lim. R( ) R( ) R( ) d (..5) Aceasă relaţie ese valabilă idifere de modul de variaţie î imp a raei de defecare. Uiaea de măsură peru raa de defecare ese iversul uiăţii de măsură a impului, h. Peru compoee elecroice se foloseşe uiaea de măsură FIT (Failure I Time). FIT repreziă u defec care apare după fucţioarea uei compoee imp de 9 h sau după fucţioarea uui lo de compoee imp de 7 h, sau a uui lo de compoee imp de 6 h sau o ală combiaţie îre umărul de compoee şi imp care ajuge la 9 37.

17 Relaţia dire raa de defecare şi fucţia de fiabiliae rezulă di relaţia..5 scrisă sub forma: R dr( ) z d l R( ). (..5) R( ) Peru R. Peru cazul geeral se poae scrie: R ( ) exp ( ). z d (..6) Raa de defecare permie o clasificare a sisemelor după ipul de uzură. U sisem fără uzură are raa de defecare cosaă (RDC), u sisem cu uzură poziivă are raa de defecare poziivă (RDP), iar u sisem cu uzură egaivă are raa de defecare egaivă (RDN). Fucţia de fiabiliae are proprieăţi specifice fiecărui ip de uzură...5. U al idicaor de fiabiliae ese media impului de fucţioare pâă la defecare, m, care se defieşe cu ajuorul relaţiei: m f ( ) d R( ) d exp z( ) d d, (, ). (..7) Î cazul sisemelor reparabile aces idicaor devie impul mediu îre defecări, MTBF (Media Time Bewee Failures), iar î cazul sisemelor ereparabile devie MTTF (Media Time To Failures)...6. Deviaţia sadard () şi dispersia (D) impului de fucţioare se defiesc cu ajuorul relaţiilor: D ( m) f ( ) d, (..8) D. (..9) Acese două mărimi idică gradul de împrăşiere sau de uiformiae a performaţelor idividuale ale uor siseme de acelaşi ip, di puc de vedere al fiabiliăţii. Dacă procesul de fabricare al elemeelor compoee ale uui sisem ese bie corola, valorile lui D şi vor fi mici...7. Cuaila impului de fucţioare,, repreziă impul î care proporţia de elemee defecae dir-u eşaio u depăşeşe o valoare presabiliă. Ese defii ca rădăciă a ecuaţiei: F ( ). (..) u depide de imp şi poae fi ierprea ca impul garaa de producăor pâă la aigerea uui aumi proce de defece, u aumi ivel de îcredere garaa de producăor. O sieză a fucţiilor de fiabiliae ese prezeaă î abelul. 3

18 Simbol peru: Nr. Valoarea esimaă Idicaor Valoare Defiţie UM cr. eoreică Pucual îcredere Ierval de Probabiliaea ca u sisem (sau o compoeă a sisemului) să-şi îdepliească R Fucţia de fiabiliae R() if corec fucţiile prevăzue pe o perioadă de imp daă, î codiţii de uilizare Rˆ () R sup specificaă, respeciv : - p() = P( < T)= R() Fucţia de repariie a impului de fucţioare Desiaea de probabiliae a impului de fucţioare F() f() Raa (iesiaea) de z( ) defecare ( ) Media impului de fucţioare: - MTTF - MTBF M Fˆ () fˆ () ẑ () mˆ F if F sup f if f sup z if z sup m if m sup Probabiliaea ca sisemul să se defeceze î iervalul (, ) : F() = P( T) Frecveţa relaivă a defecărilor îr-u ierval de imp da şi se mai umeşe lege de repariţie a impului de fucţioare pâă la defecare. F( ) F( ) df( ) dr( ) lim o d d Descrie pericolul de defecare î jurul uui mome da al uui eleme compoe al uui sisem afla î sare de buă fucţioare pâă la acel mome. F( ) F( ) f ( ) dr lim R( ) R( ) R( ) d Valoarea medie a impului de fucţioare (momeul cera de ordiul ): m f ( ) d R( ) d exp[ z( )] d - h - h - sau FIT h Dispersia impului de fucţioare Abaerea medie păraică a impului de fucţioare Cuaila impului de fucţioare D Σ Dˆ ˆ ˆ D if D sup Fif Fsup Momeul cera de ordiul al impului de fucţioare: D = ( m) f ( ) d σ if σ sup σ = D h, sau după Timpul î care u produs fucţioează cu o aumiă probabiliae care proporţia de compoee defece dir-u lo u depăşeşe valoarea : P( T ) h h 4

19 .. Idicaori peru fiabiliaea sofware O pare di idicaorii referiori la fiabiliaea sofware su similari cu cei peru orice sisem ehic cum su fucţia de fiabiliae, de ofiabiliae sau fucţia desiae probabiliae a impului de fucţioare fără defece iar raa de defecare ese îlocuiă de raa de maifesare a erorilor. Exisă îsă şi o serie de idicaori specifici, idirecţi ce vor fi prezeaţi mai jos... Fucţia de fiabiliae, R ( ). Repreziă probabiliaea ca ici o eroare să u fie acivaă îr-u ierval de lucru preciza. Î oaţia R(, ), ude repreziă iervalul de lucru, iar momeul de iiţializare al iervalului, care coicide de obicei cu sfârşiul esării. Fucţia de ofiabiliae ese F(), cu aeleaşi aribue ca şi la &... Argumeul imp di expresia fucţiei de fiabiliae poae fi ueori exprima î uiăţi caledarisice, dar ese de prefera să se cosidere impul de lucru al uiăţii cerale de procesare (CPU ime - Ceral Processig Ui ime), asfel, aâ câ şi semifică durae de execuţie. Ueori argumeul fucţiei de fiabiliae ( şi ) se exprimă î umăr de rulări. Peru =, fucţia de fiabiliae repreziă probabiliaea uei rulări îcuuae de succes. De regulă, aceasa se evaluează pe baza a rulări aerioare î care u s-au deeca erori... Raa de maifesare a erorilor sau desiaea de defecare, z ( ). Repreziă probabiliaea maifesării uei erori î iervalul raporaă la mărimea a acesui ierval. F( ) F( ) z( ). (..) R( ) Raa de maifesare a erorilor, z ( ), se referă la o defecare oarecare, idifere de umărul ei de ordie. Uiaea de măsură peru z ( ) ese iversa uiăţii de măsură a impului de execuţie. Exisă îsă şi idicaori specifici fiabiliăţii sofware care u-şi găsesc u corespode î eoria geerală a fiabiliăţii...3 Cuaila impului de execuţie, a. Repreziă duraa uei execuţii î care fucţia de fiabiliae are cel puţi valoarea a după u ierval de esare. Se mai umeşe iversul fucţiei de fiabiliae, adică duraa de execuţie î care probabiliaea acivării uei erori ese limiaă la o valoare prescrisă egală cu - a...4 Numărul de erori remaee, N ( ), rămase î program după o duraă de esare. Dacă peru se cosideră valoarea, idicaorul va reprezea umărul oal de erori N = N () rezidee î program. Raporâdu-se aces umăr la umărul mediu de liii de cod (LOC), rezulă desiaea erorilor exprimaă î KLOC - (umăr mediu de erori la o mie de liii de cod). Peru codul sursă se folosese KSLOC - (umăr mediu de erori la o mie de liii de cod sursă)...5 Duraa medie de fucţioare pâă la defecare (m = MTTF Media Time To Failure) Timpul mediu pâă la defecare se modifică după fiecare ierveţie exerioară, asfel îcâ el depide de impul de esare, recomadâdu-se oaţia m ( ). Spre deosebire de o largă clasă de siseme peru care duraa medie pâă la defecare 5

20 coicide cu duraa medie îre defecări succesive (MTTF = MTBF ), î cazul sisemelor sofware o asemeea egaliae ese exclusă...6. Idicaori idirecţi, specifici fiabiliăţii previzioale a programelor Majoriaea idicaorilor eumeraţi mai sus ecesiă ca, îaie ca ei să poaă fi evaluaţi, sisemul sofware să fie comple proieca şi implemea. Peru a evalua ivelul de fiabiliae îcă di faza de cocepere, de proiecare, câd se sabilesc ceriţele, specificaţiile, se face proiecarea simbolică, fiabiliaea se calculează î fucţie o serie de idicaori specifici care se umesc idicaori idirecţi sau chiar umai merici sofware (sofware merics). Aceşi idicaori permi previzioarea ivelului fiabiliăţii sofware di faza de proiecare [45: a) Numărul de irări/ieşiri pe modul, Ipu/Oupu Number. Descrie arhiecura programului î faza de proiecare. Simplis, u modul ar rebui să aibă câe o irare şi o ieşire peru fiecare fucţie pricipală. Peru a raa erorile po fi ecesare îsă puce adiţioale de ieşire. Uilizâd aces idicaor se ideifică modulele care măresc impul de execuţie pri apelări frecvee ale alor module. Miimizarea umărului de irări/ieşiri ese o caracerisică a programării srucurae şi oferă posibiliaea de creşere a fiabiliăţii programului di faza de proiecare. b) Idicaori Halsead. Aceşi idicaori au fos propuşi de Maurice H. Halsead î 977 şi permi evaluarea dificulăţii uui aumi program, porid de la urmăoarele mărimi: umărul de operaori disicţi di program; umărul operazilor disicţi di program; N umărul oal de ierveţii î program ale operaorilor; N umărul oal de ierveţii ale operazilor î program; E eforul făcu peru dezvolarea programului; B umărul de ereguli (bugs, fauls) di program Operazii po fi de mai mule caegorii, de exemplu: IDENTIFIER: oţi ideificaorii care u su cuvie rezervae, TYPENAME: doc, docx, jpeg TYPESPEC : cuvie rezervae care au semificaţii specifice,fiecărui limbaj, de exemplu char, double, floa, i, log, shor, siged, usiged, void. CONSTANT: caracere alfaumerice, sigulare sau şiruri Operaori, de asemeea po fi cosideraţi de mai mule caegorii. Cei mai uzuali operaori su:!!= % %= & && &= ( ) * *= =, = ->.... / /= : :: < << <<= <= = == > >= >> >>=? [ ] ^ ^= { } = ~ Exisă cuvie rezervae care specifică casa de socare, SCSPEC (sorage class specifiers): auo, exer, ili, regiser, saic, ypedef, virual, muable sau cuvie rezervae peru ip, TYPE_QUAL (ype qualifiers): cos, fried, volaile, sau operaori specifici limbajelor de asamblare (ASM). Peru C++ exisă o serie de cuvie rezervae: asm, brea, case, class, coiue, defaul, delee, do, else, eum, for, goo, if, ew, operaor, privae, proeced, public, reur, sizeof, sruc, swich, his, uio, while, amespace, usig, ry, cach, hrow, cos_cas, saic_cas, dyamic_cas, reierpre_cas, ypeid, emplae, explici, rue, false, ypeame. Cu ajuorul mărimilor de mai sus se po calcula urmăorii idicaori Halsead:. Lugimea vocabularul programului : 6

21 ; (..). Lugimea observaă a programului : N N N ; (..3) 3. Lugimea esimaă a programului : N log log ; (..4) 4. Volumul programului : V N log ; (..5) 5. Dificulaea programului : N D (..6) 6. Nivelul programului : NP ; (..7) D 7. Eforul meal ecesar implemeării codului : V E V D; (..8) NP 8. Numărul de ereguli (Delivered Bugs) di program. Acesa se esimează uilizâd urmăoarea formulă empirică sabiliă de Halsead: / 3 V E B. (..9) 3 3 Se poae observa că pri micşorarea volumului programului, respeciv pri scăderea eforului meal ecesar implemeăriii codului (a lui E ), se reduce umărul de erori di program, deci fiabiliaea programului creşe. 9. Timpul de implemeare al uui program : E, (..) S ude S 8 umărul de operaţii elemeare de comparaţii/secudă (deermia de Halsead). Asamblul idicaorilor Halsead prezeaţi permie evaluarea dificulăţii programelor care u rebuie să depăşească u aumi prag peru ca fiabiliaea să u fie pericliaă. Aces prag ese specific limbajului de programare folosi..3. Idicaori de complexiae a sisemului sofware. Exisă paru idicaori ai complexiăţii bazaţi pe eoria grafurilor 6: ) Complexiaea saică, C s Aces idicaor descrie programul ca pe o reţea de module (subprograme), iercoecae care po fi execuae îr-o aumiă succesiue, comada de execţie fiid sabiliă î program. Peru calculul complexiăţii se apelează la eoria grafurilor. Fiecare modul al programului repreziă u od al grafului iar fiecare arc repreziă o apelare a modulului şi o reveire îre module. Dacă E ese umărul de arce şi N ese umărul de oduri ale grafului, complexiaea saică ese daă de relaţia: C s E N. (..) ) Complexiaea diamică C d Aces idicaor ţie seama de fapul că îreruperile daorae apelărilor şi reveirilor po modifica, î imp, umărul de arce di graf. Ca urmare, complexiaea 7

22 diamică se calculează folosid formula complexiăţii saice la diferie momee de imp: C d = C s () (..) O complexiae diamică medie pe ierval pue î evideţă frecveţele diferie de execuţie ale modulelor şi îreruperilor î impul execuţiei lor. 3) Complexiaea ciclomaică C c Se mai umeşe şi complexiae codiţioală şi a fos irodusă de Thomas J. McCabe, Sr. i 976. Aces idicaor poae fi uiliza peru esimarea fiabiliăţii programului la ivel de cod sursă. Programul ese reprezea prir-u graf care are ca oduri isrucţiuile (N) şi ca arce (E) recerile corolului de la o isrucţiue la ala. U od di care poresc mai mule arce se umeşe od bifurca (Spliig Nod). Numărul ieşirilor di program ese oa cu P. Dacă SN ese umărul odurilor simplu bifurcae (î cazul odurilor muliplu bifurcae se cosideră de că odul iervie de mai mule ori), iar RG ese umărul regiuilor (regiuea ese u domeiu mărgii de arce, care u se iersecează), complexiaea ciclomaică poae fi evaluaă î 3 moduri (evaluări echivalee): C c E N P (..3) Peru programe care au o sigură ieşire, cum ese cazul celor mai mule programe si subprograme P = iar E N ca î cazul complexiăţii saice; C c C c RG (umărul de regiui); (..4) C c SN (umărul de oduri bifurcae + ). (..5) O valoare rezoabilă peru C c ese cosideraă. Peru programele care au mai mule ieşiri: D P C c (..6) ude D repreziă umărul de puce de decizie. 4) Complexiaea saică geeralizaă, C g Aces idicaor cosideră, alăuri de modulele iercoecae - N, resursele - K (de memorie, de imp) alocae auci câd corolul rulării programului rece de la u modul la alul. Fie maricea resurselor R(K, E ) care î eoria grafurilor se umeşe maricea de adiaceţă, ce are elemeele r i egale cu dacă resursa ese ecesară pe arcul i şi î caz corar, ude:,,..., K şi i,,..., E. Complexiaea saică geeralizaă ese daă de relaţia: E C c d r, (..5) g i i E K i ude: c i ese complexiaea legaă de apelarea şi reveirea pe arcul e i, i,,..., E; d - o măsură a complexiăţii asociae cu alocarea resursei (de exemplu complexiaea asociaă procedurii folosie peru a avea acces exclusiv la dae comue, ecesară pe arcul i); ri - elemeele maricei resurselor. Cei paru idicaori de complexiae po fi calculaţi peru grafuri coecae, adică acele grafuri î care orice od ese accesibil di oricare al od. Aces lucru se poae realiza, adăugâd u arc suplimear îre modulul de irare şi modulul de ieşire..4. Teme rezolvae i 8

23 . Sudiaţi ierdepedeţa dire fucţiile specifice fiabiliăţii, realixâd u grafic cu exemplificarea relaţiei dire fucţiile R(), F(), f() şi z() şi u abel Relaţia dire fucţiile R(), F(), f() şi z() ese prezeaă sieic î figura.4. şi î abelul., (fără a ţie seama de o aumiă formă a fucţiei f()): Figura.4.. Relaţiile îre fucţiile specifice fiabiliăţii Tabelul. F () R () f () z () F () R( ) f ( ) d exp z( ) d R () F( ) f f () z () df ( ) d F( ) Dacă se cosideră simplifică asfel: df( ) d ( ) d exp z( ) d dr ( ) z( ) R( ) d dr( ) f ( ) f ( ) R( ) d R( ) f ( ) d z() cosa, relaţiile îre fucţiile specifice de fiabiliae se R ( ) exp ( ), f ( ) exp, m exp( ) d.4.. Calculaţi idicaorii Halsead peru segmeul de program (î C) peru care vom ideifica operaorii, operazii, umărul de ierveţii şi vom calcula idicaorii de complexiae Halsead: mai() { i a, b, c, avg; scaf("%d %d %d",&a, &b, &c);. 9

24 avg = (a + b + c) /3; prif ("avg = %d",avg); } Operaorii disicţi di program su: mai, (), {}, i, scaf, &, =, +, /, prif, adică = Operazi su: a, b, c, avg, "%d %d %d", 3, "avg = %d" di care disicţi su : a, b, c, avg, "%d, 3 =, adică =7 Numărul oal de ierveţii ale operaorilor ese N =6; Numărul oal de ierveţii ale operazilor î program ese N =5, Idicaori Halsead calculaţi su:. Lugimea vocabularul programului: 7 7;. Lugimea observaă a programului: 3. Lugimea esimaă a programului: N N N 6 5 3; N log log log 7 log 7 5,9; 4. Volumul programului: 5. Dificulaea programului: V N log 3 log 7 6,7 N 5 D,7; (..6) 7 6. Nivelul programului: NP ; (..7) D 7. Eforul meal ecesar implemeării codului: V E V D,7 6,7.3557; (..8) NP 8. Numărul de ereguli (Delivered Bugs) di program: V B 3 / 3 E 3, ,4 9. Timpul de implemeare al uui program: 3

25 E,3557 T 75, 3s S Calculaţi idicaorii Halsead peru daele de irare di coloaa a abelului de mai jos, folosid relaţiile dela pucul..6. Dae de irare =; = N =; N = =; = N =; N = =; = N =; N = =; = N =; N = =; = N =; N = =; = N =; N = =; = N =; N = =; = N =; N = =; = N =; N = Vocabularul programului Lugimea observaă a programului Dificulaea programului Nivelul programului I=+= L=+= D=/ /=5 NP=/5=, l=+= L=+= D=/ /=5 NP=/5=, l=+= L=+= D=/ /=,5 NP=/,5= l=+= L=+= D=/ /=5 NP=/5=, l=+= L=+= D=/ /=5 NP=/5=, l=+= L=+= D=/ /=, NP=/,= l=+= L=+= D=/ /=5 NP=/5=, l=+= L=+= D=/ /=5 NP=/5=, l=+= L=+= D=/ /=5 NP=/5=,.4.4. Să se calculeze idicaorii de complexiae peru u graf coeca cu 5 oduri şi 6 arce de forma celui di figura.5.. Figura.4.. Graf coeca cu 5 oduri şi 6 arce Nr. oduri N = 5 Nr. arce E = 6 Nr. regiui RG = Nr. oduri bifurcae SN = (od 5) MA = maricea de adiaceă umiă şi maricea resurselor are facori r ij ude r ij = dacă i u ese lega de j r ij = dacă i ese lega de j (cu săgeaă) Drumuri I II

26 ( ) Numărul valorilor de di marice ese egal cu umărul arcelor; Numărul de liii şi coloae egal cu umărul odurilor C s = E N + = = g C c = RG = SP + = 6 i Cel de-al doilea erme al relaţiei ese: C c i 6 5 i d r d r + d 3 r 3 + d 4 r 34 + d 5 r 35 + d 5 r 45 + d r 5 = = 8 c i ese complexiaea legaă de apelarea şi reveirea pe arcul e i, î cazul osru peru că u se revie pe ici u arc, puem cosidera că c i = şi auci C g i,.6. Teme de rezolva. Realizaţi î formă de abel o sieză a idicaorilor geerali de fiabiliae, simboluri, defiiţii maemaice uiăţi de măsură şi ierdepedeţa lor.. Calculaţi complexiăţile urmăorului graf: 3

27 Capiolul 3. MODELE MATEMATICE PENTRU CALCULUL INDICATORILOR DE FIABILITATE. 3.. Tipuri de disribuţie saisică Descrierea fiabiliăţii sisemelor pri iermediul uei legi de disribuţie şi a caracerisicilor umerice aferee cosiuie o abordare saisică a fiabiliăţii. Legile de disribuţie sudiae î saisica maemaică su adopae î eoria fiabiliăţii î măsura î care ele implică o fucţie de fiabiliae de formă adecvaă căreia să i se poaă asocia o aumiă ierpreare fizică. Dacă variabila aleaoare ia u umăr fii de valori discree,,..., cu probabiliăţile p, p,..., p, disribuţia saisică se poae oa schemaic asfel:... T.... (3..) p p p Dacă p i ese probabiliaea de realizare a eveimeului i, iar probabiliaea de erealizare a eveimeului i ese q i, legăura dire acese două probabiliăţi ese de complemeariae, adică: p q. (3..) i i Peru o disribuţie discreă, fucţia de disribuţie are expresia: F( ) P( T ) p( ), (3..3) ude p ) ese probabiliaea ca variabila aleaoare să ia valoarea i. ( i i 3.. Calculul fucţiilor de fiabiliae specifice 3... Peru variabile aleaoare discree Valoarea medie a variabilei aleaoare discree ese, pri defiiţie: i 33

28 ude: sau m M ( T ) T p i i. (3..) i Dispersia variabilei T se defieşe pri relaţia: ( T M ( T)) p ( m). D( T) M (3..) 3... Peru variabile aleaoare coiui Valoarea medie a uei variabile aleaoare coiui se defieşe pri relaţia: i i m M ( T) f ( ) d. (3..3) Dispersia uei variabile aleaoare coiui ese defiiă pri relaţia: O formulă pracică de calcul a dispersiei ese: T D ( m) f ( ) d. (3..4) i D T) M M, (3..4) ( M m M( ) valoarea mediei sau momeul cera de ordiul, M momeul cera de ordiul. Momeul cera de ordiul r se calculează cu formulele: r M ( m) f ( ) peru variabile discree, (3..5) r M i i i r ( m) f ( d peru variabile coiui. (3..6) r ) Peru r = se obţie momeul de ordiul, iar peru r se obţie momeul de ordiul Disribuţia biomială (Beroulli) Probabiliaea ca eveimeul A să se producă de ori ese: P( A ) P ( ) C p q (3.3.) iar disribuţia variabilei aleaoare va avea urmăorul ablou: 34

29 q (3.3.) C pq... C p q... p Se observă că probabiliăţile P () su ocmai ermeii dezvolării biomului ( p q), de ude deumirea de disribuţie biomială. Valoarea medie ese, coform defiiţiei: m C p q p. (3.3.3) Peru a efecua calculul se ţie seama de ideiaea: ( p q) C p q. (3.3.4) Dacă derivăm relaţia (3.3.4) î rapor cu, se obţie: ( ) p p q C p q. (3.3.5) Dacă se alege = şi se ţie seama că p + q =, relaţia (3.3.5) devie: C p q p mp. (3.3.6) Dispersia se calculează uilizâd relaţia (3..4). Peru a calcula valoarea momeului de ordiul se uilizează relaţia (3..5), procedâd î mod asemăăor ca la calculul valorii medii: D pq p( p). (3.3.7) Desiaea de disribuţie a disribuţiei biomiale ese daă de probabiliaea realizării eveimeului A de ori şi are u sigur parameru, pe : Fucţia de disibuţie ese daă de relaţia: f ( ; ) P ( ) C p q. (3.3.8) F( ; ) f ( ; p) C p q. (3.3.9) Ţiâd seama de formula lui Sirlig: u! e e e, (3.3.) ude ; cele două fucţii (desiaea de disribuţie şi fucţia de disribuţie) se po scrie:! f ( ; ) C p q p q, (3.3.)!( )! 35

30 36 x p p q p F. ) ( )!!(! )!!(! ) ; ( (3.3.) 3.4. Disribuţia Poisso Dacă o variabilă ia valori discree, respeciv,,, 3,...,, auci probabiliaea ca variabila să ia valoarea ese de forma:,! ) ; ( a e a a T P (3.4.) auci variabila discreă are disribuţia Poisso. Paramerul a se umeşe paramerul disribuţiei Poiso. Tabloul disribuţiei acesei variabile ese:....!... 3!!! a a a a a e a e a e a e a e (3.4.) Desiaea de disribuţie depide de u sigur parameru, a, şi are forma:.! ) ; ( a e a a f (3.4.3) Fucţia de disribuţie corespuzăoare are expresia:.! ) ; ( a e a a F (3.4.4) Valoarea medie se calculează cu formula de defiiţie (3..4):.! a e ae e a m a a a (3.4.5) Dispersia se calculează cu urmăoarea formulă:! ) ( ) ( a e a T M T M D a. ) ( a a a a a ae e a e a a a (3.4.6) După cum se poae observa, aâ valoarea medie câ şi dispersia au valori egale cu paramerul disribuţiei Disribuţia ormală (Gauss-Laplace) Variabila aleaoare coiuă, T, are o disribuţie ormală de parameri m şi, dacă desiaea sa de disribuţie ese de forma:

31 37. ), ; ( ) ( m e m f (3.5.) ude şi. Graficul fucţiei ), ; ( m f ese da î figura 3.4, depide de doi parameri, m şi, şi are urmăoarele proprieăţi: Figura 3.4. Variaţia î imp a desiăţii de repariţie f ( ) î cazul disribuţiei ormale ese simerică faţă de axa = m :, ), ; ( ) ( e e m m f m m (3.5.) ; ), ; ( ) ( e e m m f m m (3.5.) are u maxim peru = m a cărui valoare ese: ; ), ; ( m m f (3.5.3) pucele m su puce de iflexiue. Î acese puce valoarea fucţiei ese:. ), ; ( e m m f (3.5.4) Îre limiele m + şi m se îcadrează 63,7% di valorile saisice. Idifere de valorile paramerilor m şi graficul acesei fucţii are forma de clopo (clopoul lui Gauss ). Paramerul m defieşe axa de simerie, iar sabileşe îălţimea graficului î pucul de maxim. Cu câ ese mai mic, cu aâ ordoaa pucului de maxim al curbei ese mai mare, clopoul ese mai îal, dispersia (împrăşierea) valorilor variabilelor aleaoare ese mai mică.

32 Fucţia de repariţie a uei variabile cu disribuţie aleaoare ormală, T, ese: F( T) P( T ) f ( ) d e Graficul acesei fucţii ese da î figura 3.6. ( m) d F( ; m, ). (3.5.5) Figura 3.6. Fucţia disribuţiei ormale 3.6.Teme de rezolva. Să se calculeze valoarea medie şi dispersia variabilei T care ese o variabilă aleaoare discre, peru o fucţie discreă de o sigură variabilă, aleasă;. Să se calculeze valoarea medie şi dispersia variabilei T peru o variabilă aleaoare coiuă, peru o fucţie coiuă de o sigură variabilă,oarecare, aleasă 3. Să se calculeze valoarea medie şi dispersia peru disribuţia Berouli 35 7 defiiă de ablolu T.,,3,,4 4. Să se reprezie graficele uor fucţii Gauss f ( ; m, ) peru a) aceeaşi valoare a lui şi peru rei valori diferie ale lui m b) peru aceeaşi valoare a lui m şi rei valori diferie ale lui 5. Să se sudieze disribuţia ormală ormaă, calculâd valoarea medie şi dispersia apelâd la schimbare de variabilă î disribuţia Gauss. ( m) Dacă î relaţia F(, m; ) e d se face o schimbare de m variabilă, umiă variabila aleaoare ormaă de forma u, di care rezulă 38

33 că = u + m iar d = d u, se obţie fucţia de disribuţie a variabilei aleaoare ormale ormae, umiă şi legea ormală ormaă sau repariţia ormală redusă (repariţie sadard )care se scrie: m u F u e ( ;,) du e du N( u;, ) du, u e ude N (u;,) ese fucţia, care corespude valorilor m= şi = m u m Desiaea de disribuţie a repariţiei ormale ormae ese de forma: u f ( u;,) e. Reprezearea desiăţii de probabiliae a disribuţiei ormale ormaă ese daă î figura de mai jos peru (, ); Valoarea maximă a acesei fucţii se obţie î pucul m =, şi ese /,3989). Desiaea de probabiliae a disribuţiei ormale ormae Media uei variabile cu disribuţie ormală ese daă de relaţia: M ( T) e ( m) d. Peru a calcula valoarea mediei se recurge la o schimbare de variabilă: m y y m d dy. Cu aceasă schimbare de variabilă se obţie: 39

34 u m y m M ( T) e dy e dy y e. dy Dar y y y ( ;,), e dy N y şi, ye dy e deci M( T) m. Dispersia ese daă de relaţia: D( T) y ( m) e ( m) d. y Apelâd la aceeaşi schimbare de variabilă, se poae scrie: D( T) y e dy. Peru a calcula iegrala se face o iegrare pri părţi, luâd u y y, v ye, respeciv u' si v e. y y D( T) ye e y y dy. y Dacă se ţie seama că lim se obţie dispersia: y e y y şi e dy ( ;,), N y dy D ( T), 4

35 Capiolul 4. STUDIUL FIABILITĂŢII SISTEMELOR PE BAZA BLOCURILOR LOGICE DE FIABILITATE 4.. Pricipii de bază ale modelului blocuri logice de fiabiliae Bua fucţioare a uui sisem complex ese coseciţa fucţioării corece a uuror subasamblelor compoee. La râdul lor subasamblele se compu di blocuri, module ş.a.m.d. pâă câd procesul de divizare ideifică compoeele, elemeele de legăură, reperele şi oae celelale elemee, care deermiă fucţioarea corecă şi fiabiliaea sisemului. Fiabiliaea sisemului depide de fiabiliaea uuror elemeelor compoee (sau subsisemelor), de legăurile cauzale sabilie îre ele şi de mediul î care fucţioează. Dacă u eleme se defecează, fucţioarea sisemului ese afecaă oal sau parţial. Fucţia de fiabiliae a uui sisemul complex se calculează î fucţie de fiabiliaea compoeelor sale. Scopul modelelor bazae pe blocuri logice de fiabiliae (BLF) ese ca, porid de la fucţia de srucură S a sisemului să se obţiă o relaţie îre fucţia de fiabiliae a sisemului şi cea a elemeelor compoee. Peru elaborarea schemei cu blocuri logice de fiabiliae se procedează asfel: - se defieşe sare de buă fucţioare/de defecare a sisemului; - se ideifică modulele di sisem porid de la schema bloc a sisemului asfel îcâ fiecare bloc să fie idepede di puc de vedere saisic de celelale. Ese de prefera ca fiecare bloc să u coţiă ici o redudaţă. Î schema logică de fiabiliae modulul repreziă elemeul peru care se poae ideifica clar vecorul de irare şi cel de ieşire; - se ideifică căile şi direcţiile de rasmiere a iformaţiei de buă fucţioare; - se coecează modulele pri liii şi se realizează schema logică de fiabiliae asfel îcâ acesea să formeze o "cale reuşiă". Diferiele căi reuşie dire pucele de irare şi ieşire ale diagramei, rec pri acele combiaţii de blocuri care rebuie să fucţioeze peru ca sisemul să fucţioeze. - se defieşe sarea de buă fucţioare (succes) şi cea de defec (efucţioare) peru fiecare modul compoe şi peru îregul sisem. Numărul de sări posibile ale uui sisem ese, ude ese umărul de module cosiuee. Se sabileşe asfel expresia logică a fiabiliăţii sisemului, î fucţie de modul de coecare al elemeelor compoee. 4

36 Peru cele mai mule siseme complexe o asemeea aaliză coduce la ideificarea grafului de arboresceţă a fabricării, asamblării, îreţierii şi reparării produsului. 4.. Tipuri de coexiui î BLF 4... Siseme de ip serie Sisemele de ip serie se caracerizează pri aceea că defecarea uui eleme deermiă ieşirea di fucţiue a îregului sisem. Reprezearea uui asfel de sisem cu compoee poae fi urmăriă î figura 4.. Figura 4.. Sisem de ip serie Se cosideră că peru fiecare eleme se cuoaşe: i - raa de defecare a compoeei i ; R i ( ) - fucţia de fiabiliae, respeciv probabiliaea de buă fucţioare a compoeei i. Sisemul ese caraceriza de şi s R s () care su raa de defecare şi, respeciv, probabiliaea de buă fucţioare a sisemului. Raa de defecare a sisemului, idifere de fucţia de disribuţie a impului de buă fucţioare a sisemului respeciv, se calculează cu formula: s i. (4..) Probabiliaea de buă fucţioare a iacesui sisem, de ip serie, se calculează coform relaţiei: R ( ) R ( ) R ( )... R R ( ). (4..) s i i Peru u sisem complex, fiabiliaea sa scade cu câ sisemul ese mai complex, valoarea idicaorului s creşe cu aâ mai mul cu câ ermeii sumei cosiuive (relaţia 4..) su î umăr mai mare. Di relaţia 4.. se observă că fiabiliaea sisemului ese mai mică decâ fiabiliaea oricăreia di compoeele sale. Dacă o compoeă are o fiabiliae mul iferioară celorlale, aceasa deermiă fiabiliaea sisemului şi repreziă veriga cea mai slabă. Ese, deci, coraidicaă realizarea uui sisem de ip serie cu elemee eomogee di puc de vedere al fiabiliăţii Siseme de ip paralel Sisemele de ip paralel su caracerizae pri fapul că defecarea ueia dire compoeele sisemului u provoacă defecarea sisemului, la defecarea uei compoee irâd î fucţiue compoea legaă î paralel cu cea defecaă, aşa umia compoeă de rezervă, redudaă. 4

37 Rezervele se difereţiază î fucţie de duraa de coecare î sisem auci câd se defecează elemeul de bază şi de sarea î care se află elemeul de rezervă î perioada de asepare, asfel: - rezervă acivă - elemeul rezervă şi cel de bază su soliciae la fel î perioada de fucţioare, iar coecarea rezervei acive se face imeedia ce elemeul di sisem s-a defeca, î imp pracic egal cu zero; - rezervă semiacivă - elemeul de rezervă ese mai puţi solicia decâ elemeul de bază, iar impul de coecare al rezervei ese mic, dar u zero; - rezervă pasivă - elemeul de rezervă u ese pregăi peru îlocuirea imediaă a elemeului de bază, soliciarea acesora ese eglijabilă î perioada de rezervă. Cazul cel mai favorabil de redudaţă, di puc de vedere al fucţioării sisemului (u şi al cosurilor) ese cel î care u eleme ese dubla de u alul ideic, afla î rezervă acivă. Î cazul geeral se cosideră u sisem forma di elemee legae î paralel, cu rae de defecare (peru compoea i ), i - raa de reparare a i compoeei i şi R i () - fucţia de fiabiliae, respeciv probabiliaea de fucţioare a compoeei i. Fucţie de srucură a acesui sisem ese ipul SAU logic: S x x x3... x. (4..3) Reprezearea uui sisem forma di elemee coecae î paralel ese î figura 4.. Figura 4.. Sisem de ip paralel Aaliza fiabiliăţii sisemului u ese imediaă ca î cazul sisemului de ip serie. Peru sisem de ip paralel se cosideră fucţia de sare S egaă, respeciv sarea de defecare a sisemului: S x x... x x x... x. (4..3) Probabiliaea de defecare a sisemului ese egală cu produsul probabiliăţilor de defecare ale elemeelor sisemului: F P( S ) P( x ) F, (4..4) s i i i ude F ese probabiliaea de defecare a elemeului i. i Aşa cum se cuoaşe deja, probabiliaea de buă fucţioare a uui sisem ese complemeara fucţiei de defecare a acesuia. Deci probabiliaea de buă i 43

38 fucţioare a uui sisem ese cu elemee legae î paralel, R, ese complemeul fucţiei de defecare a sisemului. Se poae scrie: R ( ) F ( R ( )), (4..5) p s ude R i ese probabiliaea de buă fucţioare a elemeului compoe, i. O asfel de schemă se mai umeşe şi schemă redudaă, fiid folosiă î siuaţiile, î care u eleme al schemei ese rezerva pri al eleme ideic Tabel de sieză O sieză peru peru fiabiliaea uui sisem complex realiza cu compoee cuplae serie şi paralel ese prezea sub formă abel i i Cofiguraţie de bază Serie R R R 3 R Ecuaţie peru fiabiliaea sisemului R S A. Caz geeral Rs R R R B. Cu R R R R, R R s Paralel A. Caz geeral aciv Aciv Rs ( R) ( R ) ( Rz ) B. Aciv cu R R R R z z R ( ) R s R z R z Î aşepare C. S Î aşepare cu R e R R R R e z e z!.e 3 Serie/paralel sau sisem reduda A. Caz geeral z aciv Aciv R R ) S ( Rj Rj ja B. Aciv cu Ra Ra Ra Rb Rb Rb Rz Rz z R R z a R a R a R S ( R j ) ja R b R b R b j R z R z R z C. Aciv cu R aj R R R peru j = la bj zj 44

39 Î aşepare R R R R R R R ( R ) S D. Î aşepare e ecu R R e S z e x! z R R R 4 Paralel/serie sau eleme reduda A. Caz geeral aciv Aciv Rs Ra Ra R R R R R a R a R az R b R b R bz R R R z az b b bz R R R B. Aciv cu Ra Ra Ra, Rb Rb Rb R R R z z R S ( R a ) ( Rb ) z ( R ) z C. Aciv cu oae blocurile avâd aceeaşi fiabiliae R Raj Rbj Rj R Dacă se presupue R R e e e S Î aşepare D. Î aşepare cu R e R e e S R R R R R R 5 Paralel/serie (cu eleme reduda) A. Aciv presupuâd oae fucţiile egale R a R a Raj Rbj Rzj R cu excepţia R z sw R R R R S sw R b R sw R b R sw R z R sw R z R sw R R R sw B. Aciv presupuâd z =, = şi oae fucţiile de fiabiliae egale, Raj Rbj Rzj R e cu excepţia R sw RS e Rswe Rswe 45

40 4.4. Probleme rezolvae Fie u sisem alcăui di i = 4 elemee îseriae cu raele de defecare: 6, h,, h,,5 h. Fucţia de disribuţie a impului de buă fucţioare a sisemului ese cosideraă a fi expoeţială. Să se calculeze probabiliaea de buă fucţioare a sisemului 6 Probabiliaea de buă fucţioare a sisemului realiza cu acese paru compoee ese fiid produsul probabiliăţilor de buă fucţioare a compoeelor. Ese o o fucţie expoeţială, fiid de forma: ( ) exp(, ) exp(, ) exp(,5 ) R s 6 exp(,5 ) exp(,3 ). Peru u imp de misiue de h rezulă o probabiliaea de buă fucţioare: R ( ) exp(,3),75. s Peru u imp de misiue mai mic, de exemplu h, rezulă o valoare mul mai mare, respeciv: R ( ) exp(,3),878. s Cocluzia ese evideă: probabiliaea de buă fucţioare a uui sisem ese cu aâ mai mare cu câ duraa de fucţioare ese mai mică. Evide probabiliaea de fucţioare, la momeul iiţial are valoarea maximă, R s () = şi după u imp de fucţioare suficie de mare (specific fiecărui sisem) probabiliaea de buă fucţioare ide spre, R s () = Fie o schemă redudaă cu două elemee î paralel: elemeul cu fiabiliaea R ( ), 9, care, la defecare, ese îlocui de rezerva sa, elemeul, ideic cu primul, deci cu aceaşi valoare a fucţiei de fiabiliae R ( ),9. Să se calculeze fucţia de fiabiliae a sisemului Fiabiliaea asamblului celor două elemee ese: (,9) (,9),99,9 R p ) ( R ) ( R ). ( Se cosaă că fiabiliaea sisemlui paralel ese mai buă decâ fiabiliaea elemeelor sale, ceea ce face ca u asfel de sisem să fie prefera uuia serie, după cum se va prezea î paragraful 3..7, rezerva sisemelor redudae Se cosideră sisemul cu schema di figura de mai jos. Să se calculeze fucţia de fiabiliae a sisemului realiza

41 Fiabiliaea sisemului se calculează pe subsiseme cu coexiui de bază, coform grupărilor di figură di figură: R R R ( R )( R ), R R R a b c s 8 R 4 c 9 5 R R ( R R R, R ( R 6 a 3 )( R ) ( R b ) 7 ) 4.5. Probleme de rezolva Să se calculeze fucţia de fiabiliae a sisemelor di figurile de mai jos: a., I A B C Z A B C Z O b. I D A B C A B C O c. I D A B C A B C O 47

42 Capiolul 5. METODA ARBORILOR DE DEFECTARE PENTRU STUDIUL FIABILITĂŢII SISTEMELOR 5.. Pricipii de bază referioare la arborii de defecare Sudiul fiabiliăţii sisemelor pri meoda arborilor de defecare ese o meodă deducivă de aaliză care se desfăşoară de sus î jos şi care permie ideificarea cauzelor care po duce la eveimeul de vârf defii. U arbore de defecare ese o reprezeare grafică orgaizaă a uor codiţii sau facori care cauzează sau coribuie la apariţia uei defecări a sisemului, deumiă eveime de vârf. Eveimeul de vârf ese o coseciţă a combiaţiilor uuror eveimeelor de irare [, 5]. Ese umi şi eveime fial sau coseciţă de vârf Reprezearea uui arbore de defec se face sub o formă care poae fi uşor îţeleasă şi aalizaă peru a permie ideificarea: facorilor care afecează eveimeul de vârf cosidera; facorilor care afecează caracerisicile de fiabiliae şi performaţă ale uui sisem, de exemplu, deficieţe î proiecare, soliciări de mediu sau de fucţioare, moduri de defecare a compoeelor, greşeli ale operaorilor, defece ale pacheelor sofware; eveimeelor care afecează fucţioarea mai mulor compoee, aulâd beeficiile uor redudaţelor sau a uor părţi ale uui sisem. Î cosrucţia arborelui de defecare se poreşe de la eveimeul de vârf şi se lucrează cu urmăoarele elemee: poară logică - simbol care ese folosi peru a sabili legăuri simbolice îre eveimeul de ieşire şi irările corespuzăoare; reflecă ipul de relaţie logică (booleeaă) îre eveimeele de irare peru ca eveimeul de ieşire să se poaă produce. eveime- apariţia uei codiţii sau o acţiue care duce la defecarea sisemului; eveime primar - eveime care să la baza arborelui de defec; poae fi u eveime care u mai poae fi dezvola î arborele aaliza sau u eveime care a fos dezvola î ală pare pe baza uui grup de eveimee şi porţi şi care ese irodus ca eveie deja sudia; defecare pri eveime uic - eveime de defecare care poae cauza defecarea geerală a sisemului sau care, idepede de ale eveimee sau de combiaţiile acesora, poae cauza eveimeul de vârf cauză comuă - cauză de apariţie a mai mulor eveimee; eveime repea eveime care ese o irare peru mai mule eveimee de ivel superior. Meoda arborilor de defecare ese adecvaă peru aaliza sisemelor care cuprid mai mule subsiseme fucţioale sau depedee. Ese aplicaă î mod 49

43 uzual la proiecarea de cerale de eergie ucleară, siseme de raspor, siseme de comuicaţie, procese chimice sau idusriale, siseme de cale feraă, siseme medicale, şi u î ulimul râd a sisemelor iformaice 5.. Meode de aaliză Arborii de defecare permi aâ aalize caliaive câ şi caiaive. Scopul primar al aalizei caliaive ese ideificarea seului de ăieuri miimal peru a deermia modul î care eveimeele de bază iflueţează eveimeul de vârf. Aaliza caiaivă poae fi uilizaă peru calculul probabiliăţile de apariţie a eveimeului de vârf şi eveimeelor iermediare auci câd su cuoscue probabiliăţile eveimeelor primare. O aaliză bazaă pe arbori de defecare are ca obiecive: ideificarea cauzelor sau a combiaţiilor acesor cauze care duc la eveimeul de vârf; deermiarea modului î care o caracerisică de fiabiliae a uui sisem paricular îdeplieşe o ceriţă specificaă; deermiarea modurilor sau facorilor poeţiali de defecare care coribuie cel mai mul la probabiliaea de defecare sau idispoibiliaea sisemuluie reparabil, peru a ideifica îmbuăăţirile posibile ce po fi aduse fiabiliăţii uui sisem; aaliza şi compararea diverselor aleraive de proiecare peru a îmbuăăţi fiabiliaea sisemului; demosrarea valabiliăţii ipoezelor făcue î ale aalize (de exemplu laţuri Marov şi FMEA); ideificarea modurilor poeţiale de defecare care po cauza o problemă de securiae,evaluarea probabiliăţii corespuzăoare de apariţie a eveimeelor de securiae şi a posibiliăţii de reducere; ideificarea eveimeelor comue; căuarea uui eveime sau a uei combiaţii de eveimee care su cauza cea mai probabilă a apariţiei eveimeului de vârf; evaluarea impacului apariţiei uui eveime primar asupra probabiliăţii eveimeului de vârf; calculul probabiliăţilor eveimeului; calculul dispoibiliăţilor şi al raelor de defecare ale sisemului sau compoeelor sale reprezeae î arborele de defec, dacă se poae declara o sare ca fiid sabilă, iar eveualele reparaţii su idepedee uele de celelale (aceeaşi limiare ca şi peru diagrama căii de succes/diagrama-bloc de fiabiliae). Meoda arborilor de defecare folosiă î sudiul fiabiliăţii sisemelor poreşe de la ideea că procesul de defecare poae fi cuaifica la ivel srucural, asfel că 5

44 orice defecţiue a sisemului ese rezulaul uei secveţe cuaificae de sări ale procesului de defecare. Aaliza Booleaă a arborelui de defec ese ua dire meodele frecve uilizaă peru aaliza arborilor de defecare. Meoda are la bază logica booleeaă ude cele două valori su Defec (D), corespuzâd lui şi Fucţioal (F ), corespuzâd lui. După cum se cuoaşe, î sisemul biar di variabile, se po forma combiaţii biare. Peru orice aplicaţie pracică, orice fucţie logică poae fi obţiuă pri folosirea umai a celor rei fucţii logice de bază fucţii fudameale ale algebrei booleee: fucţia egaţie (NU), produsul logic(şi) şi suma logică (SAU).Aşa cum spu maemaicieii acese rei fucţii logice defiesc u sisem comple. Peru fiecare eveime care apare î arborele de defecare se recomadă să se realizeze o lisă cu umele sau descrierea eveimeului, să se codifice eveimee şi să se calculeze probabiliaea de apariţie. Dacă u eveime repreziă u eveime repea sau di cauză comuă, el ese prezea î arborele de defec î mod repea, dar cu u seguleţ de aeţioare. Toae eveimeele repeae sau di cauză comuă di arbore rebuie să aibă acelaşi cod şi rebuie marcae cu u simbol rasfer-irare sau cu u al simbol ales special peru u aumi arbore de defecare. Aceasă regulă se aplică uuror eveimeelor repeae sau cu cauză comuă cu excepţia eveimeului de cel mai mic ivel di asamblu, care ese marca cu u simbol rasfer-ieşire. Î uele diagrame ale arborilor de defec, simbolurile peru eveimeele primare repeae sau de ivel mai mare su aceleaşi Elemeele compoee ale arborelui de defecare Di puc de vedere srucural, arborelui de defecare i se asociază urmăoarele cocepe: - elemeele primare - compoeele sau elemeele care se găsesc la ivelul de bază; - defecări de bază - defecările elemeelor primare; - eveimeul edori - sarea de defec; - modul de defecare - seul de elemee defece simulae, care coduc la defecarea sisemului; - modul miim de defecare - cel mai mic se de compoee primare, care coduc la defecarea sisemului; - ivelul ierarhic - oaliaea elemeelor care su echivalee srucural, care ocupă poziţii echivalee î alcăuirea arborelui de defecare. Simboluri uilizae frecve peru u arbore de defecare su sieizae î abelul de mai jos. 5

45 Tabelul 5. Simboluri uilizae frecve peru u arbore de defecare Simbol Nume Descriere Corelaţia cu Fiabiliaea EVENIMENT Eveimeul de cel mai mic ivel Mod de defecare a DE peru care su dispoibile compoeei sau cauza BAZĂ iformaţii referioare la modului de defecare probabiliaea de apariţie sau fiabiliaea sa Numărul de irări EVENIMENT CONDIŢIONAT EVENIMENT ÎN AŞTEPTARE" EVENIMENT NEDEZVOLTAT Eveime care ese o codiţie de producere a uui al eveime, auci câd peru a apărea o ieşire rebuie să aibă loc Ambele eveimee U eveime primar care repreziă o defecare î adormire ; u eveime care u ese deeca imedia dar arpuea să fie deeca prir-o ispecţie sau aaliză suplimeară U eveime primar care repreziă o pare a uui sisem careu ese îcă dezvola Eveime care se produce peru ca u al eveime să se producă Probabiliae codiţioaă Mod de defecare al uei Compoee iacive sau cauză a defecării î aşepare U coribuior la probabiliaea de defecare. Srucura acesei părţi di sisem u ese îcă defiiă Trasfer IEŞRE POARTĂ DE TRANSFER Poară care idică evoluţia acesei părţi a sisemului î ală pare sau pagiă a diagramei O pare a arborelui de defecare prezeaă î ală pare a sisemului oal; INTRARE = poara de 5

46 Simbol Nume Descriere Corelaţia cu Fiabiliaea dezvolare se află î ală pare. IEŞIRE = aceeaşi poară Trasfer irare dezvolaă î aces loc va fi uilizaă î ală pare Numărul de irări Poară OR (SAU) Eveimeulde ieşire apare dacă apare orice eveime la irare Defecarea sisemului se produice dacă se defecează oricare compoeă a sisemului sisem serie m Poară VOT MAJORITY Eveimeulde ieşire apare dacă eveimeul de irare apare la m sau mai mule irări di oalul de irări Redudaţă di, ude m = + 3 Poară OR EXCLUSIVE Eveimeulde ieşire apare dacă eveimeul de irare apare la o sigură irare Defecarea sisemului apare dacă se defecează o sigură compoeă a sisemului 53

47 Simbol Nume Descriere Corelaţia cu Numărul Fiabiliaea de irări Poară AND (ŞI) Eveimeulde ieşire apare umai dacă eveimeul de irare apare la oae irările Redudaţă paralel Poară PRIORITY AND (PAND) Eveimeulde ieşire (defecarea) apare umai dacă eveimeele de irare apar îr-o aumiă secveţă, de la sâga la dreapa Buă peru reprezearea defecelor secudare sau peru secveţe de eveimee Poară INHIBIT Eveimeulde ieşire apare dacă aparambele eveimee la irare, uul dire ele fiid codiţioa Eveimeului fial are o probabilise de apariţie codiioaă Poară NOT Eveimeulde ieşire apare dacă u apare eveimeul de irare Eveime exclusiv sau măsură preveivă peru ca eveimeul să u apară 54

48 Î figura 5. ese daă reprezearea cea mai simplă a uui arbore de defecare, alcăui di eveimee primare, iercoecae pri iermediul uei srucuri logice booleee, care idică posibiliăţile, î care eveimeele se po combia peru a produce avaria sisemului. Dacă sisemul are mai mule codiţii de avarie, peru fiecare dire ele rebuie cosrui u arbore de defecare separa. Arborele de defecare se cosruieşe porid de la eveimeul di vârf (defecarea sisemului) pâă câd se ajuge la eveimeele primare (defecarea compoeelor sau subsisemelor) sudiid ieracţiuile logice dire acese eveimee ale sisemului [8, 66, 83, 94, 96]. Î faza de proiecare, meoda arborilor de defecare permie evideţierea uor deficieţe de cocepţie, a locurilor şi elemeelor vulerabile di sisem. Figura 5.. Reprezearea simplă a uui arbore de defecare Coseciţa fială a uui arbore de defecare (eveime de vârf) poae fi o defecare î sie sau u eveime. Aici, arborele de defecare descrie u defec sau u eveime care rezulă di eveimeele coribuioare sau di ale defece. Î aaliza arborelui de defecare aumie combiaţii de eveimee po fi sări sau eveimee, î imp ce alele rebuie să se porivească coseciţei. 55

49 Sarea poae fi caracerizaă pri probabiliaea exiseţei sale la momeul, iar eveimeul poae fi caraceriza, fie pri raa sau frecveţa de defecare, fie pri probabiliaea de apariţie a eveimeului la momeul Evaluarea probabiliăţii de defecare Evaluarea probabiliăţii de defecare foloseşe proprieăţile porţilor logice. - ieşirea porţilor NU: ieşirea = probabiliaea (A să NU fie defec): P( A) P( A). (5.4.) - ieşirea porţilor ŞI : Ieşirea ese probabiliaea (A defec ŞI B defec): P( A B) P( A/ B) P( B) P( B / A) P( A). (5.4.) Dacă eveimeele A şi B su idepedee (u se codiţioează reciproc), se obţie: P( A B) P( A) ( B). (5.4.3) -ieşirea porţilor SAU (figurile 5., c şi 5.3, c): Ieşirea ese probabiliaea (A defec SAU B defec) P( A B) P( A) P( B) P( A B). (5.4.4) Dacă eveimeele A şi B su idepedee se obţie: P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B). (5.4.5) Evaluarea raei de defecare se face pe baza uor ipoeze similare. - ieşirea porţilor SAU : Cosiderăm că cele două eveimee su idepedee şi la ieşire urmărim raa de defecare echivaleă s. Noâd cu P( A) FA( ) - probabiliaea ca A să se defeceze î iervalul (, ) şi cu P( B) FB ( ) probabiliaea ca B să se defeceze î iervalul (, ). Probabiliaea ca u sisem cu o poară logică SAU să se defeceze î iervalul (, ) se calculează cu relaţia: F s ( ) P( A B) P( A) P( B) P( A) P( B) FA( ) FB ( ) FA( ) FB ( ). (5.4.6) Probabiliaea de buă fucţioare î iervalul (, ) a sisemului cosidera, R S (), ese: R ( ) F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) F ( ) auci: Exemplu: Dacă: S S A F ( ) F ( ) R ( ) R ( ). A B B (5.4.7) S A A A A B R ( ) e şi R ( ) e, (5.4.8) B A B ( A B ) S R ( ) e e e e. (5.4.9) B B 56

50 Di relaţia de mai sus rezulă că: s A B. (5.4.) - ieşirea porţilor ŞI : Cosiderâd elemee idepedee la irarea porţii ŞI, raa de defecare a sisemului se deermimă reluâd, corespuzăor, raţioameul de la poara SAU, şi rezulă: N i ( i ) S i N, (5.4.) i ude i, i, N. (5.4.) exp( i) Î cazul logicii paralel (redudaţă), cu N elemee ideice N S N, (5.4.3) i ude i. e i (5.4.3) Peru cele mai mule siseme, o aaliză a fiabiliăţii sisemului, ţiâd seama de bua fucţioare a uuror elemeelor compoee coduce la realizarea grafului de arboresceţă [3]. U aumi produs complex, î procesul sudierii fiabiliăţii, se poae descompue î subsiseme de diferie iveluri (subasamble, blocuri, elemee ec.). Î fucţie de scopul aalizei, fiecare asemeea asamblu (la orice ivel) poae fi cosidera ca u îreg, care se supue cerceării de sie săăor. Deci orice subsisem, sau chiar sisemul î asamblul său, poae fi cosidera ca obiec de sudiu al fiabiliăţii, care se realizează după aceeaşi meodologie ca şi sudiul uei compoee elemeare Teme de rezolva 5.. Ideificaţi - eveimeele de bază - eveimeul de vârf - ipurile de porţi di figura de mai jos, preluaă di sadardul ieraţioal de fiabiliae IEC 65/7 - Faul ree aalysis (FTA) i i 57

51 Sysem ou of specificaio or o operaioal Top eve Fial eve Top oucome >= Sysem Failure Iermediae eve Cause of he ex level eve Ipu eve o he ex level eve Oupu eve of is ipus No or iadequae volages >= Power Supply No or iadequae daa processig Microprocessor The eve developed o aoher place i he faul ree Represeed graphically by a rasfer gae Gae (OR), as a symbol represes combiaio of is ipu eves - oe or he oher eve occurrece or sae exisece causes he ex eve or sae No volage delivered from he baery >= Baery Ipu Baery volage o filered Filerig Sysem does o provide ay of he wo oupus & Oupus Gae (AND), as a symbol represes combiaio of is ipu eves - occurrece of boh eves causes he ex eve Exisece of boh saes resuls i he oupu sae Ipu iducor fails ope >= Ipu Coil Ope Filerig capacior shors baery o groud >= Filer Cap Shor Oupu o available Oupu o available Udeveloped eve Developed i aoher FTA, or lef udeveloped for he lac of iformaio or a eed for furher deail Oupu Oupu Iducor failed ope due o is radom failure Maufacurig defec causes ope circui Capacior failed shor due o is radom failure Maufacurig defec causes shor circui Basic eve >= MFG_Ope_L >= MFG_Shor_C Ope_L Shor_C Isufficie solder causes ope coecio Iducor coil broe durig assembly Excessive solder shors he pads Par craced durig assembly - shor Solder_L Broe_L Solder Shor_C Craced_C Figura 5. Exemplu de arbore de defec care preziă diferie ipuri de porţi. Realizaţi u arbore de defecare peru calculaoarele di laboraorul 5.9, cosiderâd defecarea sofware, hardware, erorile iroduse de uilizaor, fiecare dire sudeţi, porid de la arborele simpu di exemplul de mai jos Exemplu: Fie u sisem de calcul olera la defece compus di două uiăţi hardware ideice (H şi H ), care execuă aceeaşi versiue de program (V ). Îaie de afişarea rezulaului, ieşirea ese suspusă uui modul de decizie (D), care cosă îr-u es de accepare. Dacă î rezulaul, oferi de prima uiae hardware, se deecează o eroare, rezulaul va fi cel oferi de cea de-a doua uiae. Elemeele de bază repreziă defecările compoeelor hard şi sof. 58

52 Fiecare defecare sofware se poae daora fie (logică SAU): - versiuii greşie (V ), - deciziei greşie (D ), - defecării sofware, daoriă uei specificaţii icomplee (G ). Fiecare defecare hardware se poae daora defecării ambelor uiăţi hard (H ) (logică ŞI ). Arborele de defecare corespuzăor acesui sisem ese da î figura 5.. Figura 5.. Arbore de defecare peru u sisem de calcul olera la defece 59

53 Capiolul 6. CALCULUL PROBABILITĂŢILOR DE DEFECTARE A SISTEMELOR COMPLEXE PRIN METODA BINOMINALĂ 6.. Prezearea disribuţiei biomiale Se aplică sisemelor biare sau mulivalee, formae di eleme biare, idepedee şi reparabile Ese umiă şi schema lui Beroulli, deoarece se asociază cu experimeul care cosă î exrageri idepedee ua de ala a uei bile de o aumiă culoare dir-o ură, care coţie u umăr da de bile de două culori diferie, dar î res ideice. Bila exrasă ese reirodusă î ură după oarea culorii peru asigurarea idepedeţei exragerilor. Fie exracţii succesive dir-u lo de produse, reiroducâdu-se î lo produsele exrase, după verificare; fiecare di produsele verificae poae fi defec, cu probabiliaea p (eveimeul A ), sau corespuzăor, cu probabiliaea q (eveimeul A ega, oa A ); umărul de apariţii ale eveimeului A î cele experimee ese, ude ese o variabilă aleaoare, care poae lua valorile,,,..., ; probabiliaea ca eveimeul A să se producă de ori ese: P( A ) P ( ) C p q (6..) iar disribuţia variabilei aleaoare va avea urmăorul ablou: (6..) q C pq... C p q... p Se observă că probabiliăţile P () su ocmai ermeii dezvolării biomului ( p q), de ude deumirea de disribuţie biomială. Valoarea medie ese, coform defiiţiei: m C p q p. (6..3) Peru a efecua calculul se ţie seama de ideiaea: ( px q) C p x q. (6..4) Dacă derivăm relaţia (6..) î rapor cu x, se obţie: p ( px q) C p x q. (6..5) Dacă se alege x = şi se ţie seama că p + q =, relaţia (6..5) devie: 6

54 C p q p mp. (6..6) Dispersia se calculează uilizâd momeul de ordiul î mod asemăăor ca la calculul valorii medii: D pq p( p). (6..7) Desiaea de disribuţie a disribuţiei biomiale ese daă de probabiliaea realizării eveimeului A de ori şi are u sigur parameru, pe : f ( ; ) P ( ) C p q. (6..8) Fucţia de disibuţie ese: F( ; ) f ( ; p) C p q. (6..9) Ţiâd seama de formula lui Sirlig: u! e e e, (6..) ude ; cele două fucţii (desiaea de disribuţie şi fucţia de disribuţie) se po scrie:! f ( ; ) C p q p q, (6..)!( )! x!! F( ; ) p q p ( p). (6..)!( )!!( )! Graficul fucţiei de repariţie al disribuţiei biomiale are repe, corespuzăoare celor + puce de discoiuiae. Exisă abele care dau valorile probabiliăţilor P () şi ale repariţiei F (x) peru,, p şi x cuoscue,8. Aceasă disribuţie ieresează î special peru a calcula probabiliaea exragerii uor bile/umere dir-o ură sau î cazurile î care se urmăreşe a se cuoaşe câe produse dir-u lo (sau ce proceaj) se găsesc î fucţiue la u mome da, observaţiile făcâdu-se la iervale de imp egale. Î aces ulim caz, variabila ese umărul de produse î sare de fucţioare. 6.. Aplicarea meodei Daele de irare ecesare su: - dispoibiliăţile momeae ale elemeelor, respeciv probabiliăţile de buă fucţioare, p i sau cele de defecare q i ; - srucura sisemului descrisă de abelul de sări. Daele de ieşire su: - dispoibiliaea momeaă a sisemului; - media impului oal de fucţioare îr-u ierval T da, M[T f ]; - media impului oal de defecare îr-u ierval T da, M[T d ].

55 Aplicarea meodei presupue parcurgerea urmăoarelor eape: I. Exragerea daelor de irare II. Îocmirea abelului de sări III. Calculul probabiliăţilor sărilor sisemului, de fucţioare sau de defecare IV. Calculul performaţei sisemului î fiecare sare V. Gruparea sărilor sisemului VI. Calculul probabiliăţilor grupelor de sări VII. Calculul idicaorilor de fiabiliae ai sisemului Vom prezea pe scur acese eape. I. Daele de irare Daele de irare peru elemeele biare su dispoibiliăţile elemeelor p i cu i m es ude m es ese mulţimea elemeelor sisemului. Î cazul sisemelor mulivalee formae di elemee biare puem iroduce oţiuea de performaţă a fiecărui eleme, oaă cu Π i, î sarea de fucţioare a acesuia. Performaţa ese u parameru sau u vecor de parameri care caracerizează sarea de succes (buă fucţioare) a elemeului respeciv. Srucura sisemului şi relaţia lui cu elemeele compoee se exprimă sub formă de abel de adevăr peru sările sisemului (Fucţioal sau Defec). II. Îocmirea abelului de adevăr peru sările sisemului Tabelul de adevăr are u umăr de coloae egal cu umărul de elemee al sisemului plus o coloaă corespuzăoare sisemului şi u umăr de liii egal cu umărul sărilor sisemului după cum urmează: - mulţimea sărilor cu oae elemeele î fucţiue C o = C o = - mulţimea sărilor cu u eleme defec C = C = - mulţimea sărilor cu două elemee defece C = C - mulţimea sărilor cu i elemee defece i C i = C - mulţimea sărilor cu - elemee defece C = C = - mulţimea sărilor cu elemee defece C = C = Numărul oal de sări î care se poae afla sisemul ese da de relaţia: ss = (6..) Elemee abelului de adevăr vor fi: - peru sisemul biar forma di elemee biare u simbol peru sarea de succes care poae fi F = fucţioare, S = succes sau iar peru cea de refuz D = defec, R = refuz sau ; - peru sisemul mulivale forma di elemee biare, abelul va coţie valori ale performaţelor elemeelor, respeciv ale sisemului. III. Calculul probabiliăţilor sisemului Cuoscâd probabiliăţile de fucţioare p i şi de defec q i peru oricare eleme i, i (,,, es ) se poae calcula probabiliaea oricărei sări a sisemului folosid eorema produsului de probabiliăţi: 63

56 Probabiliaea producerii simulae a două sau mai mule eveimee idepedee ese egală cu produsul probabiliăţilor eveimeelor. Peru caegoriile de sări meţioae aerior, avem: - probabiliaea sării cu oae elemeele î fucţiue p = p j j - probabiliaea sării cu elemeul i defec p i = q i p i j ;j i - probabiliaea sării cu elemee, i şi, defece p i, = q i q p i j i - probabiliaea sării cu d elemee defece iar î fucţiue f elemee, d + f = es p df = q j p l jed lef - probabiliaea sării cu oae elemeele defece p d = q j Acese probabiliăţi repreziă ermeii dezvolării produsului biomial es j (p i + q i ) i de ude provie şi deumirea de meoda biomială. Probabiliăţile absolue ale sărilor sisemului se calculează î fucţie de probabiliăţile de fucţioare (dispoibiliăţile) momeae ale elemeelor compoee. IV. Calculul performaţei sisemului î fiecare sare Se face î fucţie de valorile paramerilor fucţioali ai elemeelor sisemului şi ale sisemului. V. Gruparea sărilor sisemului Exisă două posibiliăţi: - Sisem biar, caz î care sările sale se grupează î două submulţimi: a) mulţimea sărilor de fucţioare (succes) F; b) mulţimea sărilor de defec (refuz) D.

57 - Sisem mulivale, caz î care sările se grupează î mai mule submulţimi, după crieriul ivelului de performaţă a sisemului; di aceeaşi grupă vor face pare sările î care sisemul are acelaşi ivel de performaţă. VI. Calculul probabiliăţilor grupelor de sări Sările sisemului fiid icompaibile, probabiliăţile grupelor de sări se vor calcula cu eorema sumei de probabiliăţi: Probabiliaea producerii oricăruia di două sau mai mule eveimee icompaibile va fi egală cu suma probabiliăţilor eveimeelor. Probabiliaea de succes (de buă fucţioare) a sisemului se poae calcula biar folosid relaţia: P s = p i iar probabiliaea de refuz (defecare) a sisemului cu relaţia ies Q s = p i = P s ier Î cazul sisemelor mulivale, mulţimea sărilor acesora poae fi împărţiă î mai mule submulţimi, S, S,. S i,., S m după crieriul de exemplu, al ivelului de performaţă al sisemului î grupa respecivă de sări. VII. Calculul idicaorilor de fiabiliae a sisemului Peru cazul sisemelor biare, î eapele aerioare s-au deermia probabiliaea P s de succes a sisemului ca şi probabiliaea Q s de defecare. Folosid acese mărimi se po deermia alţi idicaori de fiabiliae. - MTBF = P s T, media impului oal de fucţioare a sisemului î perioada de referiţă T - MD = Q s T, media impului oal de defec a sisemului î perioada de referiţă T Peru cazul sisemelor mulivalee, se cuoaşe di eapele precedee fucţia de disribuţie a variabilei aleaoare discree Π s, performaţa sisemului Probleme Peru exemplificare vom rezolva probleme cosiderâd elemee idepedee, care po avea umai două sări, fucţioal sau defec şi care su coecae îr-u sssem, mai îâi î serie, apoi î paralel.. Se cosideră u sisem forma di două elemee îseriae, idepedee, care po avea ua di două sări: Fucțioal sau Defec (sisem biar). Primul eleme are probabiliaea de buă fucțioare p =,98, iar al doilea eleme, p =,95 Peru o duraă de viață de ai, să se calculeze:. Probabiliaea de buă fucțioare și cea de defecare a sisemului, Q s. Media impului de buă fucțioare și de efucțioare a sisemului, MTBF şi M D. 65

58 Rezolvare: I. Daele de irare p =,98, q =, p =,95, q =,5 T = ai ~ 876h II. Tabelul de adevăr peru sările sisemului Ese forma di 3 coloae (+) și 4 liii ( ) și are forma de mai jos: Nr. sare Eleme Eleme Sisem S F F F S F D D S 3 D F D S 4 D D F III. Probabiliățile de sare se calculează pri îmulțirea probabiliăților parțiale (eorema produsului). P S = p p =,98,95 =,93 P S = p q =,98,5 =,49 P S3 = q p =,,95 =,9 P S4 = q q =,,5 =, IV. Gruparea sărilor sisemului, așa cum rezulă di abelul de sări: - sisem fucțioal, F: [S ] - sisem defec, D: [S, S 3, S 4 ] V. Calculul probabiliăților grupelor de sări: F: P s = P s =,93 D: Q s = P s + P s3 +P s4 =,49 +,9 +, =,69 VI. Media impului de buă fucțioare a sisemului MTFB = P S T =, = 8555,6h VII. Media impului de efucțioare a sisemului M D Q s T =, = 6.44,4h VIII. Verificare: MTFB + M D = , ,4 = 876h P s + Q S = =,93+,69=, Sisemul u poae să fie decâ : fie Fucțioal, u imp de 8555,6 h fie Defec, u imp de 644,4 h

59 . Se cosideră aceleași elemee, coecae î paralel. Să se calculeze: a.. Probabiliaea de buă fucțioare și cea de defecare a sisemului b.. Media impului de buă fucțioare și de efucțioare a sisemului. Rezolvare: I. Daele de irare p =,98 q =, p =,95 q =,5 T = ai~876h II. Tabelul de adevăr peru sările sisemului Ese forma o di 3 coloae și 4 liii, dar are ală formă, prezeaă mai jos: Nr. sare Eleme Eleme Sisem S F F F S F D F S 3 D F F S 4 D D D III. Probabiliățile de sare se calculează î același mod, respeciv pri îmulțirea probabiliăților parțiale P S = p p =,98,95 =,93 P S = p q =,98,5 =,49 P S3 = q p =,,95 =,9 P S4 = q q =,,5 =, IV. Gruparea sărilor sisemului coform abelului de adevăr de mai jos: - sisem Fucțioal, F: [S, S, S 3 ] - sisem Defec, D: [S 4 ] V. Calculul probabiliăților grupelor de sări F: P s = P s + P s + P s3 =,93 +,49 +,9 =,999 D: Q s = P s4 =, VI. Media impului de buă fucțioare a sisemului MTFB = P S T =, = 875,4h VII. Media impului de efucțioare a sisemului M D = Q T =, 876 = 87,6h VIII. Verificare: MTFB + M D = 875,4 + 87,6 = 876h P s + Q S =,999 +, =, Așa cum se poae urmări di cele două exemple de calcul, probabiliaea de buă fucțioare a sisemului realiza di aceleași elemee coecae î paralel ese mul mai mare decâ a sisemului realiza di elemeele coecae î serie:,999,93 La fel și duraa de buă fucțioare î cazul sisemului cu elemeele coecae î paralel față de sisemul serie: 67

60 875,4 8555,6 Duraa de efucțioare a sisemului paralel ese umai 87,6 h, mai puți de 4 zile di ai î comparație cu 644h~43 zile di 365 zile.

61 Capiolul 7. METODA LANŢURILOR MARKOV PENTRU FIABILITATEA SISTEMELOR 7.. Defiirea laţului Marov Laţul Marov (î egleză Marov Chai) ese u proces probabilisic x (), care preziă proprieaea lui Marov şi aume, fapul că sarea cureă a sisemului capează îregul isoric al acesuia, iar sarea lui viioare va depide umai de sarea lui prezeă [, 8, ]: PX ( ) x/ X ( ) x, X ( ) x, X ( ) x X ( ) x/ X ( ) x, (7..) ude:. Trecerea sisemului dir-o sare i îr-o sare j se umeşe raziţie. Fiecărei raziţii i se asociază o probabiliae de raziţie (iesiae de raziţie) peru a desema probabiliaea ca sisemul să fie î sarea j la momeul +, codiţioaă de fapul că a fos î sarea i la momeul : p ij (, ) PX ( ) j / X ( ) i. (7..) Di defiiţie rezulă că esimarea sării viioare a sisemului ese comple deermiaă (î ses probabilisic) de cuoaşerea sării lui prezee. Aaliza Marov ese o ehică caiaivă şi poae fi disică (uilizâd probabiliăţi de schimbare îre sări) sau coiuă (uilizâd rae de schimb îre sări). Deşi aaliza Marov poae fi efecuaă şi de mâă, aura ehicilor o face adecvaă uilizării pe programe iformaice, mule exisâd î mod cure pe piaţă. Tehica de aaliză Marov poae fi uilizaă pe diverse srucuri de sisem, reparabile sau u icluzâd: - compoee idepedee î paralel; - compoee idepedee î serie; - siseme cu sarciă pusă î comu - siseme î sad-by, iclusiv cazurile î care se poae produce o defecţiue de comuare; - siseme degradae. Daele de irare î aaliza Marov su urmăoarele: - lisa diverselor sări ale sisemului, sub-sisemului sau ale părţii compoee care po fi de exemplu comple operaţioale, parţial operaţioale (adică î sare degradaă), defece ec; - îţelegere clară a raziţiilor posibile care ecesiă a fi modelae. De exemplu o paă la u cauciuc de maşiă rebuie să ia î calcul sarea roţii de rezervă şi deci frecveţa ispecţiilor; 69

62 - raa de recere de la o sare la ala, reprezeaă de regulă fie pri probabiliaea recerii de la o sare la ala peru eveimee idividuale sau raa de defecare (λ) şi/sau raa reparaţiilor (µ) peru eveimeele coiue. Tehica de aaliză Marov ese ceraă î jurul cocepului de sări, de exemplu dispoibil şi defec şi pe raziţia dire cele două sări î imp cosiderâd probabiliăţi cosae de raziţie. Ese uilizaă o marice a probabiliăţilor aleaorii de raziţie peru a descrie recerea de la o sare la ala şi a permie calcularea diverselor oupuuri. Ipoezele care sau la baza sudiului fiabiliăţii uui sise, uilizâd laţuri Marov su:. fiabiliaea sisemului se poae esima î fucţie de fiabiliaea uuror elemeelor sale;. perioada de imp î care ese aaliza sisemul ese cea de mauriae, caracerizaă pri = cosa; 7. raziţiile dir-o sare î ala se po produce î orice mome; 4. defecarea sau repararea uui eleme al sisemului ese idepedeă de sarea celorlale elemee; 5. defecarea uui eleme al sisemului ese u eveime, a cărui probabiliae de realizare îr-u ierval de imp,, ese, probabiliae care depide umai de mărimea iervalului, u şi de impul aerior de fucţioare; 7. repararea uui eleme al sisemului ese u eveime a cărui probabiliae de realizare îr-u ierval de imp ese ; 7. probabiliaea defecării şi reparării uui eleme al sisemului î iervalul ese ( = ) adică î aces ierval poae să aibă loc o sigură raziţie, fie defecare, fie reparare. Cosiderâd că î mod sigur (cu ceriudie) îr-u ierval de imp foare mic, d, sisemul u poae decâ să-şi păsreze sarea i de la momeul iiţial sau să razieze îr-o sare j, se poae scrie: i p sau q. (7..3) ij Laţul Marov ese omoge, î rapor cu impul, dacă probabiliaea de recere u depide de valoarea iiţială a impului de observare, ci umai de duraa raziţiei (d ) şi că i, j S, Pij R, asfel îcâ: Pij ( ) PX ( i / X ( ) j. (7..4) Eveimeele X ( ) j, j S, poae scrie: j ij formâd u sisem comple, se 7

63 P x( d) i S x( d ) i / x( ) j Px( ) j. j S (7..5) Iroducâd oaţia: P i x( ) i, R, i, ( ) P S (7..6) relaţia (7..4) se poae scrie: Pi ( d) Pj ( ) aijd P X ( d) i x( ) j Pi ( ) j S i ude j S Pj ( ) aijd ahidpi ( ). i hs i a ij lim p ( ) ij (7..7) (7..7) repreziă raa de raziţie di sarea i î sarea j cu i j, la momeul + d. Î mod similar a ii lim p ( ) ii (7..7) ese raa de raziţie di sarea i î sarea i (de fap meţierea aceleiaşi sări i ). Ţiâd seama că p, (7..8) js ij se poae scrie: a. (7..9) ij a ji js ji Relaţia 7..9 devie: P i ( d) Pj ( ) d ( aij ) d Pi ( ). (7..) js ji Peru d ecuaţia 7.. devie o ecuaţie difereţială, de fap u sisem de ecuaţii difereţiale mariciale: 7

64 dpi ( ) ai j Pj ( ). (7..) d js Soluţia acesui sisem ese dificil de obţiu peru cazul geeral. Î caz dp saţioar, câd (peru u imp de observare suficie de mare), lim i, d rezolvarea sisemului ese mai simplă. Dacă se adaugă şi codiţia de ormare, sisemul de ecuaţii (7..) se reduce la u sisem de ecuaţii liiare: js js a P, ij P ( ). j j (7..) Laţul Marov admie soluţie saţioară care ese uică dacă ese u laţ ireducibil. Aceasa îseamă că mulţimea sărilor S formează o clasă îchisă, care u poae fi părăsiă, adică, fiecare sare poae fi aisă, dacă se poreşe di oricare ală sare, dar umai di mulţimea sărilor sisemului. 7.. Maricea sărilor de raziţie Sisemul de ecuaţii difereţiale (7.4.) se poae scrie şi sub forma mariceală asfel: dp A( ) P( ), d (7..) ude: - A ) ( a ) ese maricea Marov, maricea raelor de raziţie; ( ij - P ( ) ese vecorul coloaă al probabiliăţii de sare ale sisemului; dp - ese vecorul coloaă al derivaei vecorului probabiliăţii de sare. d Maricea A () ese o marice păraă de dimesiue, cu i, j S, ude ermeii diagoalei ( a ii ) repreziă suma cu sem schimba a raziţiilor care poresc di sarea i, iar ermeii ediagoali ( a ij ), cu i j, repreziă iesiaea raziţiilor di sarea desemaă de umărul coloaei î cea desemaă de umărul liiei. 7

65 Peru că a a, rezulă că suma ermeilor fiecărei liii a maricei ii Marov ese ulă. S i Soluţia ecuaţiei mariceale (7..) ese o marice de forma [,8]: ude: - P () ese maricea sărilor iiţiale; ( ) () A T P P e, T - A ese maricea raspusă a raelor de raziţie. (7..) Aceasă formă a soluţiei ese elegaă, dar soluţia ese dificil de evalua, fiid T evoie de scrierea maricei A. Peru ca maricea (7.4.3) să exprime soluţia sisemului (7.4.), ese ecesară diagoalizarea maricei raspuse a raelor de raziţie. T Dacă valorile proprii ale maricei A su disice şi ea ese diagoalizaă (are vecori proprii idepedeţi), auci se poae scrie: A T V D V (7..3) ude:, - maricea D ese o marice diagoală de forma: iar maricea D ese de forma: D ,... (7..4) Valorile proprii,..., D se obţi ca soluţii ale ecuaţiei: T. (7..5) de A T (7..6) 73

66 - V repreziă maricea formaă di vecorii proprii V V,..., T maricii A, adică: i V V... V, V ai V, (7..7) ude vecorul propriu V ese o marice coloaă, obţiu ca soluţie a ecuaţiei: Maricea sub forma: e D T I V. A (7..8) i se poae scrie, pri dezvolare î serie Taylor î jurul lui =,! e D! D 3! D I D...! !... e e e. (7..9) Cu acesea, soluţia (7..9) se poae aduce, î fial, sub forma elegaă: D P( ) V e V P(). (7..) Dacă modelul Marov admie soluţie saţioară, aceasa va fi de forma uei marici coloaă P = P i care se obţie ca soluţie a ecuaţiei: P. A T (7..) 74

67 Peru a ridica edeermiarea, la ecuaţiile (7..) rebuie adăugaă codiţia ca sările sisemului să formeze u comple de eveimee P i. i S 7.3. Exemplu de peru maricea sărilor de raziţie Fie u sisem cu resabilire, cu două sări, S F, D, ude F corespude sării fucţioale şi D - celei de defec. Raele de defecare şi cele de reparare su cosae, egale cu şi, respeciv cu. Probabiliăţile de raziţie di sarea de fucţioare î cea de defec şi ivers (di sarea de defec î sare de fucţioare) su a şi, respeciv a. Celelale probabiliăţi, de meţiere î aceaşi sare, de fucţioare sau de defec su: a şi a. Graful de raziţie al sărilor ese da î figura 7.. Figura 7.. Graful de raziţie al sărilor uui sisem simplu cu două sări Maricea raziţiilor şi raspusa sa su: A, (7.3.) T A. Ecuaţia di care se află valorile proprii ese: I, de A T (7.3.) adică ( )( ) ( ). (7.3.3) Di rezolvarea ecuaţiei de mai sus se obţie: şi (7.3.3) ( ). (7.3.3) 75

68 76 Maricea diagoală a valorilor proprii ese:. ) ( D (7.3.4) Se poae scrie imedia şi maricea D e. D e e (7.3.5) Vecorii proprii se obţi î felul urmăor:, de V I A T (7.3.6), y x (7.3.7). V y x (7.3.8). de V I A T (7.3.9), y x (7.3.),, y x y x (7.3.). V (7.3.) Maricea vecorilor proprii ese:, V (7.3.3) iar iversa sa:

69 77. V (7.3.4) Se obţie î fial, coform (7..5), vecorul de sare al sisemului:. ) ( ) ( ) ( ) ( e e e P (7.3.5) 7.4. Eapele aplicării meodei laţurilor Marov Eapele aplicării acesei meode peru evaluarea fiabiliăţii uui sisem su: I. Sabilirea daelor de irare: - srucura sisemului aaliza, - sarea iiţială a sisemului, - raele de defecare,, i şi de reparare, i ale fircărui eleme.. II. Îocmirea abelului de sări şi raziţii posibile, luâd î cosiderare oae sările pri care po rece oae elemeele sisemului (fucţioal - F, defec - D, de rezervă - Rz sau revizie -Rv). Trecerea sisemului dir-o sare î ala ese deermiaă de defecarea sau repararea uui sigur eleme al sisemului, dar poae fi deermiaă şi de efecuarea uor operaţii de căuare, ca urmare a uei revizii programae (meeaţă preveivă) sau a recerii sisemului de pe elemeul de rezervă pe cel de bază. Î fucţie de srucura sisemului aaliza, po apare urmăoarele raziţii: - recere de la sarea de fucţioare la cea de defec; - recere de la sarea de fucţioare la cea de defec şi apoi la rezervă; - recere de la sarea de fucţioare la cea de defec, la cea de rezervă şi apoi la revizie; - recerea de la sarea de defec la cea de fucţioare, direc sau pri sarea de rezervă.

70 Î abelul 7. su prezeae sările caracerisice ale uui sisem forma di două elemee, care poae avea umai sări, fucţioal (F) şi defec (D). Î figura 7. au fos prezeae raziţiile îre acese sări (fucţioal/defec), iar î figura 7. su prezeae rei sări caracerisice ale uui eleme: fucţioal (F) - defec (D) - rezervă (Rz), cu probabiliăţile de raziţie î fiecare sare. Tabelul 7. Nr. sare F D Sarea sisemului, - F D D 3 -, D Traziţiile marcae cu liie pucaă idică fapul că acesea u apar, dacă elemeul de bază u ese dispoibil: dacă el a fos repara ese pus imedia î fucţiue, u ese păsra î rezervă. Figura 7.. Trei sări caracerisice ale uui eleme de sisem: F, D, R z Noaţiile di figura de mai sus au urmăoarea semificaţie: -, Rz şi Rz raele de defecare ale uui eleme, care marchează raziţiile dire urmăoarele sări (FD ), (FRz ) şi respeciv (RzD); - - raa de reparare a uui eleme. III. Trasarea grafului sărilor: Graful sărilor se formează pe baza abelului de sări. Aces graf oferă o imagie asupra sărilor şi raziţiilor dire sări, faciliâd scrierea maricei raelor de raziţie şi sabilirea expresiei de calcul a uor idicaori de fiabiliae. 78

71 Graful sărilor se orgaizează pe iveluri, u ivel cuprizâd sările, care au acelaşi umăr de defece. Trecerile sisemului dir-o sare î ala îseamă o recere dir-u ivel î ivelul imedia urmăor sau aerior, î fucţie de eveimeul, care are loc (defecare sau reparare). Îre sările aceluiaşi ivel u exisă raziţii. e 7.5.Exempl3 de aplicare a meodei Exemplul. Fie u sisem forma di paru compoee, coform schemei di figura 7.3. Figura 7.3. Sisemul aaliza Să se sudieze fiabiliaea acesui sisem aplicâd meoda laţurilor Marov. Tabelul de sări peru aces sisem ese da urmăorul (abelul 7.). Nr. sare Elemee fucţioale Elemee defece Sarea sisemului,, 3, 4 - F, 3, 4 D, 3, 4 D 3,, 4 3 F 4,, 3 4 F 5, 4 3, D 6, 4 3, D 7, 3, 4 D 8, 3 4, D 9, 3 4, D Peru 3 elemee defece, oricare ar fi, sisemul ese defec (urmăoarele 7sări) Graful sărilor raziţiilor acesui sisem ese prezea î figura

72 Figura 7.3. Graful sărilor sisemului aaliza Îrucâ sisemul ese caraceriza de elemee biare (F - D sau - ), graful sărilor ese simeric. IV. Scrierea maricei lui Marov A( ) ( aij ) Maricea raziţiilor se scrie uşor pe baza grafului sărilor, respecâd regulile de formare ale acesora. Coreciudiea ei se verifică urmărid dacă: - ordiul maricei ese egal cu umărul ivelelor sărilor sisemului; - suma iesiăţilor de raziţie de pe fiecare liie ese egală cu (zero). V. Deermiarea probabiliăţilor de ocupare a sărilor Dacă se urmăreşe comporarea sisemului pe erme limia, se vor calcula probabiliăţile de ocupare a sărilor î fucţie de imp, P( ), di sisemul (7..9) sau ecuaţia (7..), cosiderâd P i () cuoscue. Dacă se urmăreşe comporarea sisemului pe o duraă îdelugaă (puâd aproxima ), se vor calcula probabiliăţile absolue de ocupare a sărilor pri rezolvarea sisemului. VI. Calculul idicaorilor de fiabiliae Dacă se cuosc probabiliăţile de ocupare a sărilor sisemului P i şi se uilizează imagiea grafului sărilor, se po deermia idicaorii de fiabiliae peru sisemul aaliza. Î rezolvarea mulor probleme de fiabiliae uilizarea proceselor Marov ese mul prea complicaă şi se apelează auci la procese semi-marov 6, 5. Procesul semi-marov ese u proces Marov î care se fac aumie simplificări, care uşurează ideificarea sărilor sisemului. Î cazul sisemelor de programare, acese simplificări po fi: - se cosideră că la u mome da se execuă doar uul di modulele programului; - raziţia corolului de la u modul la alul ese aleaoare, asfel îcâ probabiliaea de a fi apela modulul j după execuarea modulului 8

73 i depide umai de cele două module i şi j, u şi de resul modulelor di program. Peru duraa de execuţie a modulelor se admie orice lege de disribuţie care descrie fucţioarea acesui modul. Exemplul. Se cosiderară u sisem complex care poae avea umai rei sări: de fucţioare, sare degradaă şi defecă, defiie ca sările S, S şi respeciv S7. Sisemul se poae afla la u mome da îr-ua di cele rei sări. Tabelul 7.3 araă probabiliaea ca sarea fială a sisemului să fie de asemeea ua di sările iiţiale Tabelul 7.3 Maricea Marov Sarea fială Sarea iiială S S S3 S,95,3, S,4,65,6 S3,,5, Î maricea Marov (maricea de raziţie) se poae observa că suma fiecărei coloae ese, fiid suma uuror raziţiilor posibile î fiecare caz. Sisemul mai poae fi reprezea prir-o diagramă Marov î care cercurile repreziă sările iar săgeţile repreziă raziţia împreuă cu probabiliăţile aferee.,95 S,,4,,3, S3,5 S,65 Figura 7.4 Exemplu de diagramă Marov a sisemului Săgeţile de la o sare îapoi la aceeaşi sare u su de regulă prezeae î diagramă, prezearea lor î acese exemple avâd ca scop redarea uei imagii câ mai complee. 8

74 Să presupuem că Pi repreziă probabiliaea să găsim sisemul î sarea i peru i =,, 3, î care caz ecuaţiile simulae care rebuie rezolvae su: P =,95 P +,3 P +, P3 (7.5.) P =,4 P +,65 P +,6 P3 (7.5.) P3 =, P +,5 P +, P3 (7.5.3) peru a le rezolva aces sisem se va uiliza şi o ecuaţie care descrie că suma probabiliăţilor de ese = P + P + P3 (7.5.4) Soluţia acesui sisem de ecuaţii ese,85,,3 şi, peru sările respecive,, 3 ceace idică fapul că sisemul ese comple fucţioal 85% di imp, fucţioal parţial 3% di imp şi efucţioal % di imp. Se iau î cosiderare două elemee fucţioâd î paralel, fiecare rebuid să fie operaţioal peru a asigura fucţioarea sisemului. Elemeele po fi fie operaţioale sau efucţioale iar fucţioarea sisemului ese codiţioaă de sauul acesor două elemee. Sările po fi cosiderae drep: Sarea :Ambele elemee fucţioează corec; Sarea : U eleme ese defec şi se află î reparaţii, celălal ese î fucţiue; Sarea 3:Ambele elemee su defece şi uul se afllă î reparaţii. Dacă se presupue că raa de defecare a fiecărui eleme ese λ şi raa de reparare ese µ, diagrama raziţiilor de sare de ese: S S S3 ( + ) Figura 7.6 Diagrama raziţiilor sare Se poae observa că raziţia de la sarea la sarea se realizează cu probabiliaea λ îrucâ defecarea oricăruia di elemee va duce sisemul î sarea. Să luăm Pi() drep probabiliaea de a fi î sarea iiţială i î momeul ; şi Să luăm Pi( + δ) drep probabiliaea de a fi î sarea fială î momeul + δpi() Maricea probabiliăţilor de raziţie devie: 8

75 Sarea fială Tabelul 7.5. Maricea Marov fială Sarea iiţială P() P() P3() P( + δ) - λ µ P( + δ) λ - (λ + µ) µ P3( + δ) λ - µ De reţiu că valorile zero apar îrucâ u ese posibilă recerea de la sarea la sarea 3 sau de la sarea 3 la sarea. de asemeea, sumele pe coloaele su zero câd se specifică raele. Ecuaţia A() = P() + P() poae fi acum exprimaă asfel: A = P + P Se obţie: A = (μ + λ μ ) / (μ + λ μ + λ ) Exemplul 3. Să se esimeze fucţia de fiabiliae a uui sisem de ipul uui si de memorie uilizâd meoda laţurilor Marov. Aces dispoziiv îdeplieşe rei fucţii pricipale de imporaţă egală a căror ordie ese secveţială:. Ciirea daelor (CD). Prelucrarea/selecţia daelor (PD) 3. Memorarea daelor (MD) Fucţiile pricipale su realizae cu ajuorul uei combiaţii de hardware şi sofware specializa. Se cosideră că dispoziivul ese ereparabil, defecarea oricărui modul ecesiâd îlocuirea dispoziivului. Modelare. Ciirea daelor: Daele su preluae de pe liia de comuicaţie cu ajuorul uui circui specializa fără a se afeca rasmisia î sie şi su rimise circuiului de selecţie.. Prelucrarea/selecţia daelor: Daele recepţioae su verificare şi selecţioae pe baza uor crierii de coreciudie şi rasmise modulului de memorare spre a fi socae. 3. Memorarea daelor: Daele su îscrise î cardul de memorie de ip Solid Device peru prelucrare ulerioară. Puem cosidera cele rei fucţii ale sisemului ca 3 module fucţioale, îseriae, aşa cum se observă î chema sisemului di figura

76 Figura 7.7. Schema bloc a sisemul simplu de memorie Se cosideră urmăoarele probabiliăţi de fucţioare a sisemului sudia: Probabiliaea de fucţioare a sisemului asfel rezula (sisem serie) va fi: R s () = P P P 3 =,8,95,99 =,77 Aceasă probabiliae de fucţioare,77% ese cosideraă mul prea mică, se impue dublarea fucţiei (modulului) cu cea mai mică probabiliae de fucţioare şi asfel schema bloc a sisemului va fi cea di figura 7.8. Figura 7.8: Schema bloc sisemului de memorie cu redudaţă la ciireadaelor Peru a puea calcula fucţia de fiabiliae cu ajuorul meodei laţurilor Marov (procese Marov cu sări discree) vom realiza abelul sărilor sisemului. Nr. sare Elemee fucţioale Elemee defece Sarea sisemului,, 3, 4 - F, 3, 4 F, 3, 4 F 3,, 4 3 D 4,, 3 4 D 5 3, 4, D 6, 4, 3 D 7, 3, 4 D 8, 4, 3 D 9, 3, 4 D Fucţia de fiabiliae Peru a puea deermia fucţia de fiabiliae vom cosidera peru fiecare di cele 4 modele urmăorul model Marov cu două sări, fucţioare F şi defec D, model prezea î figura

77 Figura 7.8. Graful de raziţie al sărilor per modul Urmăoarea eapă a deermiării fucţiei ese realizarea grafului sărilor raziţiilor sisemului pe baza abelului sărilor şi modelului Marov mai sus prezeae. Graful sărilor sisemului ese prezea î figura 7.9. Figura 7.9. Graful sărilor sisemului Deoarece am sabili fapul că u se vor efecua reparaţii şi fapul că cele două module de comuicare serială se află coecae î paralel permae, vom puea simplifica diagrama de sări Marov ca î figura 7.. Figura 7.. Diagrama de sări Marov simplificaă 85

78 Pe baza diagramei de mai sus se scrie maricea lui Marov asfel: [A()] = (a ij ) λ λ λ A() [ λ ] λ 3 λ 3 λ 4 Di codiţia obligaorie ca suma iesiăţilor de raziţie pe fiecare coloaă să fie egală cu zero, vom obţie urmăoarele valori: λ =,5; λ = ; λ 3 = ; λ 4 = Se po calcula probabiliăţile de ocupare a sărilor coform relaţiei: adică: [ dp ] = [A()] [P()] d λ λ [ dp.8.8 d ] = [ λ λ.8.8 ] [ ] = [ ] λ 3 λ λ Cu ajuorul meodei de calcul a fiabiliăţii sisemelor paralele vom calcula fiabiliaea peru elemeul compus di P şi P şi vom obţie: R p () = ( P ) ( P ) = (,8) (,8) =,96 Observăm că aceasă probabiliae ese mai mare decâ cea a oricăruia dire elemeele sau luae separa. Probabiliaea de fucţioare a sisemului asfel rezula coform calculului peru sisemul serie obţiu va fi: R s () = R p P 3 P 4 =,96,95,99 =,9 Se observă o creşere semificaivă a fiabiliăţii sisemului, probabiliaea de fucţioare crescâd semificaiv de la,77 î cazul uilizării uui sigur eleme de comuicare la,9 î cazul uilizării a două elemee legae î paralel. 86

79 Capiolul 8. METODE PENTRU ESTIMAREA INDICATORILOR DE FIABILITATE 8.. Meode de esimare. Geeraliăţi Coform ermiologiei saisice, esimarea uui parameru ese pucuală dacă rezulă di calculul uei valori orieaive a paramerului pe baza uei relaţii maemaice folosid rezulaelor experimeale. Peru ca valoarea esimaă pucual să fie că mai apropiaă de cea adevăraă se folosesc meode adecvae, ce vor fi prezeae î aces capiol. Limiele de îcredere defiesc, î jurul esimaorului pucual, u ierval de îcredere care iclude valoarea adevăraă a idicaorului de fiabiliae, cu o aumiă probabiliae, umiă ivel de îcredere. Iervalul de îcredere ese cu aă mai mic (deci esimaţia ese mai precisă) cu câ peru calcul su dispoibile de u volum mai mare de iformaţii, rezulae di observaţii (fie di îcercărcări î laboraor, fie di exploaare). Iervalul de îcredere poae fi uilaeral sau bilaeral. Î cazul uui ierval uilaeral peru aumiţi idicaori şi aumie legi de repariţie saisică se dă limia iferioară (if), peru alţi idicaori sau ale legi de repariţie saisică se dă limia superioară (sup). Dacă se dă o sigură limiă şi u se specifică felul ei, ese vorba de limia iferioară. Î cazul uui ierval bilaeral, se dă, î acelaşi imp, o limiă iferioară şi o limiă superioară. Iervalul de îcredere iclude valorile adevărae ale idicaorilor de fiabiliae, cu o aumiă probabiliae. Aceasă probabiliae ese daă î geeral î fucţie de sau, care au urmăoarea semificaţie: - repreziă probabiliaea de a respige o ipoeză, deşi ea ese adevăraă. Aceasa ese cosideraă o eroare de ordiul I. Î saisica referioare la fiabiliae, la fel ca şi î caliae, se mai umeşe şi riscul furizorului şi repreziă probabiliaea de a respige u lo de produse/compoee, deşi el ese bu; - repreziă probabiliaea de a admie o ipoeză deşi ea ese falsă. Aceasa ese cosideraă o eroare de ordiul II. Î saisica referioare la fiabiliae se mai umeşe riscul beeficiarului şi repreziă probabiliaea de a accepa u lo de produse/compoee, deşi el u ese bu. 8.. Meoda verosimiliăţii maxime (Maximum Lielihood Mehod) Ua dire cele mai uilizae meode de esimare pucuală ese meoda verosimiliăţii maxime, coform căreia valoarea esimaă pucual ese aceea care maximizează probabiliaea de apariţie a rezulaelor experimeale [9, 6, 6]. Probabiliaea asociaă rezulaelor experimeale se umeşe fucţie de 87

80 verosimiliae şi se oează cu L, ude ese vecorul rezulaelor experimeale iar ese paramerul de esima. Meoda verosimiliăţii maxime ese o meodă uzuală peru esimarea pucuală a paramerilor uei disribuţii saisice, serveşe la esimarea uui idicaor de fiabiliae fără a face ipoeze privid aura legii de repariţie a impului de fucţioare; ese deci o meodă eparamerică. Dezavaajul meodelor eparamerice ese lega de fapul că valorile esimae u po fi exrapolae dicolo de iervalul de imp î care se desfăşoară experimeul. Se cosideră că desiaea de probabiliae ese cuoscuă şi depide de s parameri,,..., s, adică ese de forma f ( i, ) (i =,..., ; =,..., s). Fucţia de verosimiliae L ( ) se defieşe ca fucţia de desiae de probabiliae reuiă a variabilelor aleaoare,,..., : L( ) f (, ). (8.3.) i i Valoarea cea mai verosimilă (cea mai probabila a fi obţiuă) a paramerului ese aceea peru care fucţia L( ) are valoarea maximă. Dupa cum se şie de la Aaliza maemaică, aceasă ceriţă se îdeplieşe dacă derivaa parţială a fucţiei î rapor cu parameul respeciv se aulează. Esimarea de maximă verosimiliae peru ˆ (semul pus deasupra simbolului desemează, aşa cum am mai specifica valoare esimaă a lui ; se mai oează şi ca valoare medie a esimaorului ) se obţie pri maximizarea fucţiei de verosimiliae L( ), î rapor cu. Valorile paramerilor,,..., se deermiă rezolvâd sisemul de ecuaţii de verosimiliae, respeciv sisemul de derivaele parţiale ale fucţiei de verosimiliae î rapor cu paramerii de ieres. Ecuaia (8.3.) î pracica se dovedese dificil de aplica, pracic ese mai uzual a se deriva logarimul aural al fucţiei L( )(peru că fucţia logarimică ese sric crescăoare), respeciv: ll( ). (8.3.) Soluţiile sisemului de ecuaţii (8.3.) se umesc esimaţii de verosimiliae maximă Tesul secveţial al lui Wald Tesul secveţial al lui Wald (Abraham Wald, ascu la Cluj î 9) cosiuie o meodă de obţiere rapidă a deciziei de accepare sau respigere a uui lo îcerca pri complearea uui grafic, umi Plaul lui Wald. Ese deumi şi 88

81 plaul secveţial al lui Wald îrucâ poreşe de la îcercări de fiabiliae de ip secveţial [8, 6, 5]. Graficul plaului are axele T S (impul cumula de îcercare pâă la luarea deciziei de îrerupere a îcercării) şi r (umărul de defecări îregisrae). Î acese coordoae se rasează două drepe paralele A N şi R N, corespuzăoare limielor de accepare, respeciv de respigere a loului de N elemee. Se procedează secveţial, marcâdu-se pe pla, după fiecare defecare (r =,, 3,..., ), pucul de coordoae (T S, r ), aşa cum se poae urmări î figura 8.. Figura 8.. Tesul secveţial al lui Wald Î momeul î care curba experimeală obţiuă iersecează ua di drepe, îcercarea se opreşe şi se ia decizia de accepare sau respigere. Drepele limiă A N şi R N se deermiă asfel: a) Se sabilesc valorile urmăoarelor mărimi: -valoarea accepabilă MTTF, -o valoare iacepabilă a MTTF ( > ), -riscul furizorului (probabiliaea maximă de a respige u lo accepabil cu = ), -riscul beeficiarului (probabiliaea maximă de a admie u lo iaccepabil cu = ). b) Pe caracerisica operaivă peru îcercare de forma celei prezeaă î figura 8., se deduc probabiliăţile de accepare: P a( ), Pa ( ). (8.3.) c) Peru îcercarea cu umărul de ordie r, se iroduc oaţiile: - P ( r ) -probabiliaea ca să fie valabilă ipoeza H :, - P ( ) -probabiliaea ca să fie valabilă ipoeza H. r : 89

82 9 Figura 8.. Caracerisica operaivă peru deermiarea probabiliăţii de accepare Noă: reprezearea di figură u păsrează proporţiile peru a pue î evideţă mărimile şi. d) Se calculează raporul ) ( ) ( r P r P ţiâd seama de fapul că umărul de defecţiui r î impul T Σ are o repariţie Poisso, respeciv:.! ) ( r e T r P T r (8.3.) Pri urmare:. ) ( ) ( T r e r P r P (8.3.3) e) Tesul lui Wald cosă î a forma peru fiecare valoare a lui r raporul ) ( ) ( r P r P şi a-l compara cu două umere dae a şi b aflae î relaţia b < a, ambele sabilie pe baza caracerisiicilor operaive coform relaţiilor: a şi. b (8.3.4) Dacă, ) ( ) ( r P r P (8.3.5) auci loul se accepă, coform ipoezei H. Dacă

83 P ( r), P ( r) auci loul se respige, coform ipoezei H. Dacă P ( r), P ( r) (8.3.6) (8.3.7) esul se coiuă. Codiţia de coiuare a esului, cu oaţiile de la (8.3.6) se mai poae scrie: P ( r) b a (8.3.7) P ( r) sau lb r l T l a. (8.3.7) Împărţid cu l, relaţia (8.3.9) devie: 9 T lb l Iroducâd oaţiile: relaţia (8.3.8) se poae scrie: l a r l l T T. l (8.3.8) m, (8.3.9, a) l l l b, (8.3.9, b) l l l l a ; (8.3.9, c) l l mt r mt. (8.3.) Se cosaă că î parea dreapă şi î parea sâgă a iecuaţiei su ecuaţiile a două drepe paralele:

84 A N mt, (8.3., a) R N mt. (8.3., b) Acese drepe împar plaul ( T, r) î rei regiui: regiuea I - de accepare a ipoezei H, regiuea II - de respigere a ipoezei H şi regiuuea III - de coiuare a esului, aşa cum se poae observa î figura Probleme. Să se esimeze valorile raei de defecare,, pe baza duraelor de defecare (,,..., ) peru sisem peru care, peru impul dire defecării ese valabilă disribuţia expoeţială. Rezolvare: Esimaorul (paramerul) î aces caz, ese. Fucţia de verosimiliae ese: L (8.3.3) i i i, e e, i Valoarea maximă a esimaorului se obţie di egalarea cu a derivaei L, î rapor cu esimaorul logarimului fucţiei Soluţia ecuaţiei ese: l i, l L (8.3.3) ll( ) i i i. (8.3.4). (8.3.5) i i ) Peru cazul disribuţiei biomiale (Beroulli), se cosideră variabilă aleaoare care poae lua valorile şi, cu probabiliăţile p şi respeciv q p. Să se esimeze probabiliaea p pe baza uei selecţii repeae,...,,...,. Probabiliaea ca x,..., x ese egală cu ( x,..., x ) q p, dacă dire valorile x,..., x su egale cu, iar su egale cu. Ecuaţia verosimiliăţii maxime se poae scrie: l l( p q ), (8.3.6) p p p q p q p p (8.3.7) p x... x (8.3.8) 9

85 Aşadar, valoarea medie a selecţiei, verosimiliae maximă a probabiliăţii p. x x i i (8.3.8) ese o esimaţie de 3. U lo forma di uiăţi de memorie RAM au fos supuse la o probă de Fucţioare îr-u mediu corola care avea urmăorii paramerii: - emperaura mediului: 65 o C - umidiae relaivă: 9% - imp de 4 zile (4x4=336h) După aces imp de fucţioare î mediu se va deermia umărul de dispoziive defece şi se va opri îcercarea. Să se calculeze idicaorii de fiabiliae şi apoi aplicâd meoda verosimiliăţii maxime să se esimeze valoarea raei de defecare. Dacă umărul de dispoziive defecae ese sub %, î cazul osru buc., se va cosidera că memoria a recu aces es şi că el poae avea duraa de viaţă de u a peru paramerii de fucţioare. Î abelul urmăor su prezeaţi impii de defecare ai dispoziivelor defecae î aces ierval. Nr. eleme Timp defecare Nr. elemee rămase fucţioale = h 99 = 5 h = 7 h = h = h = 38 h = 3 h = 3 h 9 Duraa de fucţioare cumulaă ese: 8 T Σ = i + (N r)t = = 3h i= Esimarea pucuală a fucţiei de fiabiliae ese daă de raporul dire umărul de compoee rămase şi cele fucţioale de la îcepuul esului. N r R (τ) = N = 9 =,9 Probabiliăţile de fucţioare şi de defecare ale elemeelor compoee di loul esa ese: P( < T) = e T/θ P( T) = e T/θ Pricipalii idicaori de fiabiliae esimaţi pucual pri îcercarea ruchiaă fără îlocuire de mai sus su: 93

86 F () = exp ( r T Σ ) f () = r T Σ exp ( r T Σ ) R () = exp ( r T Σ ) z () = r = 9 =,86 3 T Σ 3 m = T Σ r = 3 9 = 348,9 D = ( T Σ r ) = 747,9 σ = 348,9 Di idicaorii calculaţi mai sus se poae cocluzioa că dispoziivul esa îşi îdeplieşe codiţiile de fucţioare. Î cazul dispoziivului esa dacă dorim esimarea valorii raei de defecare λ pe baza duraelor de defecare, vom cosidera esimaorul λ şi fucţia de verosimiliae de forma: 8 L(λ)Ζ = λe λ i i= După logarimare şi rezolvarea ecuaţiei lu L(λ) λ = λ e λ 8 i= i se obţie valoarea esimaă peru raa de defecare lu L(λ) λ = λ e λt Σ λ = λ λt Σ λ λt Σ = λ = T Σ λ = T Σ Peru daele experimeale obţiue, se obţie: λ = 8 = 8 = 6,73 3 T Σ 89 94

87 Capiolul 9. TESTAREA SOFTWARE 9. Ceriţe fudameale privid esarea sofware Tesarea sofware repreziă o ivesigație empirică, o sumă de proceduri, operaţii şi acţiui meie sa asigure bua fucţioare a programelor, realizaă cu scopul de a oferi iformații referioare la caliaea programului supus esării, ţiâd seama de coexul operațioal î care va fi folosi programul. Tesarea sofware poae fi defiiă ca u proces de validare și verificare a fapului că u program/aplicaţie/produs sofware corespude cerițelor de busiess și celor ehice care au sa la baza proiecării și implemeării lui, rulează și se comporă corespuzăor așepărilor. Tehicile de esare se aplică î procesul proiecare şi codificare, de execuție a programului sau aplicaţiei î scopul ideificării defecelor/erorilor de sofware. Tesele de accepare au două scopuri: - să deeceze deviaţii faţă de comporarea prevăzuă a programului şi - să previă furizarea uor rezulae periculoase. Tesarea sofware poae fi implemeaă la orice eapă î cadrul procesului de dezvolare, deși cele mai cosiderabile eforului de esare se fac î eapa de după codarea propriu-zisă şi î eapa de fiisare a implemeării. Se aplică îodeaua programelor oi care su supuse uor ese de accepare foare severe sau celor peru care se soliciă u ivel de fiabiliae ridica, dar şi programelor mai vechi care au fos îmbuăăţie. Pri bua fucioare a sofware se îţelege î mod uzual: - Respecarea specificaţiilor / cererilor clieului; - Implemearea coreca a ceriţelor de fucioare (requiremes); - Abseţa erorilor de proiecare logică şi algorimică; - Siguraţa daelor folosie î cadrul programului; - Vieza opima de rulare a aplicaţiei; - Folosirea eficiea a resurselor dispoibile; - Grad ridica de uilizare ec. Tesarea sofware ese o preocupare a specialişilor apăruă odaă cu primele siseme iformaice ( ), iiţial orieaă căre compoeele hardware ale sisemului de calcul. Se cosidera că defecele di sofware, auci câd de elaborarea de sof se ocupau specialişi, erau puţi probabil să apară. Specialişii implicaţi î elaborarea codul efecuau şi esarea acesuia îr-o eapă disică umiă verificare, facâd şi depaarea. Î perioada procesul de esare a îcepu să fie efecua cu scopul declara de a descoperi erori era o aciviaea de aaliză şi corol î impul rulării a uui program. Î perioada '83 - '87 au apăru meodologii de evaluare care cuprid meode de aaliză, evaluare și esare aplicabile de-a lugul îregului ciclu de viață al aplicaţiei. Exisă aşa umie Ghiduri de bue pracici care propu meode de verificare și validare, î fucție de caracerisicile fiecărui sof, ecesiăţile de securiae şi grupul ţiă al acesuia. Rezulaul esării riguroase a fos scăderea umărului de defece care ajug edeecae î programul fial. Î ulimii ai acceul ese pus pe preveirea apariţiei erorilor î programe, urmărid izolarea și corecarea defecelor care au poeţial de a cauza erori. 95

88 Tesarea iclude aâ examiarea saică a codului sursă câ și examiarea codului î execuție î diferie codiții. 9..Sraegii de esare Î impul proiecării şi codificării po apărea urmăoarele caegorii de erori: - erori legae de alegerea şi descrierea algorimului: algorim icorec sau corec dar iadecva problemei; algorim mai puţi performa ca precizie sau imp ecesar rezolvării problemei; omierea, ierprearea greşiă sau icompleă a uor părţi ale algorimului; validarea icorecă şi/sau icompleă a daelor de irare; iversarea răspusurilor la u bloc de decizie; - erori î defiirea şi uilizarea daelor ce provi di variabile eiiţializae, formae improprii de ciire, cooare de capaciae isuficieă, everificarea daelor de irare, aliiere/redefiire icorecă a câmpurilor, uilizarea uor cuvie cheie ca variabile, variabile ilegale (formae pri cocaeare sau despărţie îre două liii de program); - erori de calcule care au ca surse: expresii complicae cu posibiliăţi ecorolae de eroare; coversii implicie de ip (cu eroare de coversie, roujire, ruchiere); eierceparea cazurilor de depăşire/subdepăşire a iervalului defii; - erori produse î ehica de programare cum su variabile şi srucuri de dae globale, acces ecorola la zoe de memorie parajae, ierfeţe program - subprogram erespecae, pasarea cosaelor ca parameri rasmişi pri adresă, pasarea paramerilor de irare/ieşire pri valoare, auomodificarea programului î impul execuţiei, uilizarea ecorolaă a mai mulor limbaje cu coveţii de apel diferie; - erori produse di eaeţie caz î care logica de corol e defecuoasă, sal î afara limielor programului, codiţii logice compuse sau icorec egae, eprelucrarea primei sau ulimei îregisrări, eluarea î cosiderare a posibiliăţii de exiseţă a fişierelor vide, eprelucrarea erorilor de irare/ieşire, depăşirea capaciăţii sivei, adresare icorecă, ecorolarea idecşilor; - erori î coexul execuţiei daorae memoriei diamice isuficiee sau ealocaă, periferice eoperaţioale, comuicare defecuoasă cu sisemul de operare. Cea mai mare pare a erorilor de proiecare şi codificare su depisae î faza de compilare a programului şi su exrase î fişierul de ieşire, îr-o formă specifică fiecărui compilaor. Ca erori de codificare su cosiderae şi cele deecae î faza de ediare a legăurilor. Î impul execuţiei programelor apar erori de geul: - erori de echipame, care su legae de coexul î care se execuă u program şi care se împar î: erori î daele de irare, erori ce decurg di eglijarea specificului uui limbaj sau compilaor (arimeica umerelor î calculaor, modul de implemeare a ipurilor şi srucurilor de dae pe u limbaj da) şi - erori de îcărcare a programelor şi de apelare icorecă a diferielor periferice 9.3. Meode de esare Tesarea idividuala a uor uiai separae dir-u sisem sofware Meoda "Whie Box" Se presupue ca eser-ul are acces î sursele programului (srucuri, cod, algorimi). De mule ori, esarea pri aceasa meoda implica scrierea de cod sau cel pui,

89 urmarirea celui exise. Pracic se eseaza fiecare meoda î pare iiial câ şi ieroperarea meodelor. Meoda "Blac Box" Presupue esarea programului la ivelul user-ului, plecad de la premisa că u cuoasem modul î care acesa fucţioează. Pracic, u luam î calcul modul î care programul ese cosrui şi meodele sale, ci pur şi simplu oi îi cerem orice, iar programul rebuie să e dea u răspus. Peru aces ip de esare, eser-ul rebuie sa cuoasca rezulaele ce se aseapă di parea programului peru fiecare caz î pare. Meoda "Gray Box" Aceasă meodă a aparu di evoie şi pracicabiliae. Ese o eapă iermediară ire "Whie box" şi "Blac box". Ca mod de lucru, avâd acces la sursele programului, se cosruiesc es case-urile. Dupa care, acesea su execuae î mod Blac box ca şi user simplu, eaxâdu-e î momeul execuării esului pe srucura iera a programului Tesul de iegrare Are ca obieciv esarea pe diverse iveluri de iegrare a modulelor. Se pue acceul pe fucţioarea corecă a asamblului, pe compaibiliaea dire compoee, de asemeea se pue acce pe depisarea erorilor de ierfaţă îre module, păsrarea iegriăţii semaice a srucurilor de dae exere, elimiarea coflicelor privid accesul la resursele de calcul. Ese idica ca esele să fie desfăşurae îr-u mediu câ mai apropia de cel î care sisemul va fucţioa ulerior. Su pracicae rei ipuri de modaliăţi ale esării: - esarea de sus î jos, op-dow; - esarea de jos î sus, buom-up; - esarea mixă. Tesarea de sus î jos Ese folosiă umai î cazul uei coceperi descedee a sisemului. Meoda cosă di urmăoarele: se poreşe cu modulul rădăciă şi cu uul sau mai mule iveluri de ordi imedia iferior; după esarea acesui schele care probează oae posibiliăţile legăurilor (ierfeţelor) se adaugă u al ivel iferior; câd s-au adăuga modulele ulimului ivel esarea ese ermiaă. Modulele de ivel superior apelează module ficive de ivel iferior, care vor fi implemeae îr-o aumiă eapă, asfel: - se prevede ermiarea execuţiei lor dacă fucţia pe care o realizează ese corespuzăoare; - ieşirile di acese module se impu pri cosae; - se impu ieşiri aleaoare produse de geeraoare de umere aleaoare; - se ipăreşe u mesaj de averizare peru ca programaorul să fie iforma că modulul vid respeciv a ira î execuţie. Se observă că esarea de sus î jos se desfăşoară cocomie cu proiecarea şi codificarea, adică se proiecează programul pricipal, se programează şi esează, apoi se proiecează, programează şi esează programul pricipal împreuă cu modulele de ivel imedia iferior, ş.a.m.d., pâă câd ulimul ivel a fos proieca, programa şi esa. Aceasă ulimă fază coicide cu esarea îregului sisem. Pri efecuarea esării î paralel cu proiecarea, pe oal se reduce cosiderabil impul de elaborare al uui produs program (ueori aproape cu o reime). 97

90 Deşi pricipiul esării de sus î jos pare iaccesibil, exisă ouşi o serie de avaaje: se elimiă esarea îregului sisem, căci u mai ese ecesară; se esează mai îâi ierfeţele dire module, elimiâdu-se de la îcepu erorile dificil de deeca; micile erori de codificare afecează umai u modul şi deci se localizează cu uşuriţă; beeficiarii au o versiue prelimiară parţial fucţioală a programului; ermeele de predare su respecae sau chiar devasae; impul de esare ese mai bie disribui; esarea îmbuăăţeşe moralul programaorului, îrucâ oferă acesuia şi beeficiarului rezulae parţiale pe parcurs. Tesarea de jos î sus Ese o meodă clasică de esare şi cosă î esarea idividuală a modulelor urmaă de esarea asamblului de module ca u o uiar. Peru fiecare modul rebuie efecuae: - esul de fucţioaliae - se verifică dacă modulul îdeplieşe fucţia sau fucţiile sale; - esul de depisare a daelor eroae ce u corespud fucţiei şi - esul de comporare î codiţii exreme de lucru. Tesarea sisemului u ese exhausivă. Ea presupue verificarea sisemului di puc de vedere al specificaţiilor sale, dar şi al performaţelor: imp de răspus, capaciae de lucru ec. Tesele de sisem ocupă pâă la 3% di impul oal de realizare. U dezavaaj al meodei ese dificulaea î sabilirea daelor de es peru sisemul fial. Erorile cele mai dificile fiid cele legae de modul de comuicare îre module dae euilizae, dae iiţializae î mai mule module, dae modificae î diferie module, ruie suplimeare de simulare. Meoda mixă Presupue aplicarea simulaă a celor două meode precedee, rămââd predomiaă esarea descedeă. Pri urmare se îcepe elaborarea proiecului îr-o maieră descedeă, dar simula se realizează module di ivelul de bază al ierarhiei. Î aces caz esarea descedeă se desfăşoară paralel cu cea ascedeă. Aces procedeu de cocepere şi esare s-a dovedi eficie î elaborarea mulor produse program. Nici ua di meode u rezolvă sigură şi uic oae problemele de esare, su şi siuaţii câd ordiea de abordare coţie şi bucle, meodele se adapează siuaţiilor pariculare ale programelor complexe Tesarea de validare Presupue o abordare graduală a modulelor specifice. Odaă modulele asamblae şi esae î iegraio es şi după ce erorile de ierfaţă au fos descoperie şi rezolvae îcepe seria fială de es şi aume esul de validare. Validarea ese defiiă î diferie moduri dar o defiiţie simplă ese că validarea ese ermiaă câd aplicaia sofware fucţioează îr-o maieră rezoabilă accepaă de clie. Accepările rezoabile su defiie î documeul ce cupride specificaţia ceriţelor şi care descrie oae aribuele cerue de clie. Specificaţiile coţi o secţiue umiă crieriile de validare care repreziă baza esului de validiae. Peru realizarea acesui es se pregăeşe u pla de es împreuă cu procedurile pri care se face esul. Plaul şi procedurile su proiecae asfel îcâ să se eseze ceriţele, performaţele, documeaţia, compaibiliaea, îreţierea câ şi procedurile de resaurare. Î urma esului de validare se creează o

91 documeaţie cu specificare peru fiecare eleme di plaul de es ca fucţia/caracerisică de performaţă: - ese coform cu specificaţia şi ese accepaă; - u ese coform cu specificaţia şi ese aaşaă o lisa de erori sau abaeri de la specificaţie. Peru elimiarea erorilor descoperie î aceasă eapă a proiecului se corecează îaie de predare dar de cele mai mule ori rebuie să se egocieze cu clieul peru sabilirea meodelor peru rezolvarea deficieţelor găsie î aceasă eapă. U eleme impora al procesului de validare ese revederea cofiguraţiei - cofiguraio review. Se verifică dacă oae elemeele ecesare peru cofigurare au fos dezvolae şi fucţioează la parameri sabiliţi. Ese imposibil de imagia cum clieul va folosi î realiae produsul realiza de o compaie de sofware, chiar dacă acesa cupride u maual de uilizare. Cei mai mulţi producăori de sofware uilizează procese umie Alpha Tes şi Bea Tes peru a descoperi erori pe care umai uilizaorii fiali le descoperă. Tesul alpha se realizează de căre clieţi selecaţi, ese codus de căre dezvolăorii de sofware şi ese de obicei îr-u mediu corola. Aplicaţia ese uiliza avâd î spae dezvolaorul peru a îregisra erorile şi problemele apărue. Tesul bea ese făcu de uul sau mai mulţi clieţi fiali fără ici u corol di parea dezvolaorului. Acesa ese u es îr-u mediu ecorola (ambie real) î care clieul îregisrează oae problemele reale sau imagiare şi vor fi raporae la iervale regulae căre dezvolăor Tesul de accepare Se efecuează peru a valida fucţioal produsul di perspeciva uilizaorului fial. Obiecivul recomada ese demosrarea modului î care produsul se va iegra î mediul de lucru real al beeficiarului. Ca aleraivă, se urmăreşe familiarizarea uilizaorilor fiali cu modul de operare a aplicaţiei, caz î care are loc o recere î revisă a fucţiilor aplicaţiei. Se apreciază că aces ip de esare, care implică şi pariciparea viiorilor beeficiari, ese peru dezvolăor o imporaă sursă de iformaţii privid coexul î care va fi uiliza sisemul Tesul de sisem Ese specific sisemelor complexe care rebuie să fie operaţioale. Îr-u sisem sofware complex ese obligaoriu să se facă şi esul de sisem. Tesul de sisem ese compus dir-o serie de ese al căror obieciv ese să eseze evoluţia produsului sofware î codiţii dae de sisemul hardware. Avem urmăoarele ese care rebuie făcue î esarea sisemului: - es de recuperare (recovery esig); - es de securiae (securiy esig); - es de sres (sress esig); - es de performaţă (performace esig). Tesul de recuperare Ese u es de sisem pri care se forţează sisemul să dea o varieae de erori peru a puea verifica dacă resaurarea se realizează corec. Se verifică: resaurarea (auomaă sau mauală), reiiţializarea, mecaismele de verificare a resaurării şi respeciv impul ecesar peru resaurare. 99

92 Tesul de securiae Presupue verificarea mecaismelor de proecţie implemeae î sisem, de fap proecţia la irările eauorizae î sisem. Rolul uui proiec de securiae al uui sisem ese să facă asfel îcâ cosul de spargerea al sisemului să fie mai mare decâ beeficiile pe care le obţie pri spargerea sisemului. Tesul de sres Presupue execuţia sisemului îr-o maieră aormală. Adică se esează cofruarea sofware cu siuaţi aormale (muliple razacţii, memorie isuficieă, spaţiu liber mic pe disc, blocarea perifericelor cu care lucrează aplicaţia ec.) Tesul de performaţă Ese proieca să eseze î ru-ime performaţele sisemului. Aces es se face aâ la ivelul modulelor câ şi la ivelul global al îregii aplicaţii, dar îsă peru verificarea ceriţelor de performaţă aceasă esare se face după ce iegrarea ese compleă. Tesarea de performaţă implică aâ elemee sofware câ şi elemee hardware Tesarea regresivă Repreziă o reapă deosebi de imporaă peru echipele care doresc să dezvole procese accelerae. Ca modaliae de lucru, prevede repearea esării cu dae de es şi î codiţii ideice, peru fiecare ouă versiue ieră a uei compoee sofware. Pri compararea rezulaelor esării şi ideificarea difereţelor se depisează erorile ou apărue; aces lucru ese deosebi de uil peru maiera acuală de dezvolare a aplicaţiilor RAD - Rapid Applicaio Developme, care implică uilizarea isrumeelor vizuale de programare şi se caracerizează pri apariţia uui umăr mare de modificări îr-u ierval scur de imp Tesarea de compaibiliae Tesarea compaibiliăţii presupue verificarea ieracţiuii sofware cu celelale compoee sofware cu care va coexisa şi va ieracţioa. Tesarea produsului pe mai mule plaforme ese o mucă foare cosisioare, aâ di puc de vedere al esării câ şi di puc de vedere al rezolvării problemelor care su descoperie. Tesarea compaibiliăţii, realizaă î bea esig, repreziă o esare exeră cu u grup seleca ca poeţiali clieţi. Selecarea grupului se efecuează după crierii precise îrucâ rezulaele esării su cu aâ mai cocludee cu câ exisă garaţia că aceşi clieţii selecaţi uilizează o diversiae câ mai mare de module. O aplicaţie complexă are î compoeţă muliple cofigurări de paramerii, de variabile de mediu seări depedee de sisemul de operare, de ipul bazei de dae, de diferiele cofigurări pe care le permie aplicaţie î fucţie de poeţiali clieţii. Foare mule di acese cofigurări se ceraliză pe u sigur calculaor al clieului şi se disribuie auoma pe celelale calculaoare. Tesarea cofigurării presupue verificarea îmbiării dire seările posibile şi ambieul sofware şi hardware exise. Dacă aplicaţia ese proiecaă să folosească scaer rebuie să fie compaibilă cu hardware exise. Trebuie făcue seările ecesare peru a puea uiliza u aumi ip de hardware. Icompaibiliățile ce apar îre versiui se daorează fapului că la momeul scrierii codului programaorul a cosidera sau a esa, produsul doar peru u sigur sisem de operare (sau u se resrâs de siseme de operare), fară a lua î calcul

93 problemele ce po apărea la schimbarea coexului de execuție, iar ulima versiue a programului poae să u mai fie compaibilă cu acea combiație de sofware/hardware folosiă mai devreme, sau poae să u mai fie compaibilă cu u al sisem, compaibiliae exrem de imporaă. Tesarea de compaibiliae ese o "sraegie orieaă spre preveire", fiid ulima di fazele de esare 9.4. Isrumee de esare Procesul de esare ese asisa de isrumee specifice, care dimiuează aspecele de ruiă. Se apreciază că uilizarea isrumeelor de esare aduce beeficii comparaiv cu efecuarea mauală a eselor, deoarece esarea mauală, chiar î cazul uei plaificări riguroase, preziă riscul eideificării erorilor di eaeţie sau di cauza erespecării riguroase a cazurilor de es prevăzue, soliciă u cosum ies de resurse umae, care su cosisioare şi u îodeaua dispoibile, ese îceaă comparaiv cu esarea auomaizaă, adesea apare problema dezvolării uor oi versiui iere ale compoeelor îaie de esarea compleă a versiuilor precedee; Dire caegoriile de isrumee peru asisarea esării eumerăm: - isrumee de capurare/redare îregisrează o sesiue de esare îr-u fişier scrip, permiţâd repearea aceseia şi su efecuae ese muliple î maieră auomaă cu efecuarea de comparaţii asupra rezulaelor, acese isrumee su eficiee î esarea regresivă; - isrumee de execuţie auomaă a eselor asemăăoare cu cele de mai sus, dar cazurile de es su specificae de uilizaor î fişiere scrip; - aalizor de acoperire evaluează gradul î care srucura codului esa a fos acoperiă pri cazurile de es, asfel de isrumee su uile peru ideificarea porţiuilor de cod eesae; - geeraor de cazuri de es ese u isrume care, pe baza uor iformaţii precum ceriţe, modele ale daelor, modele obiecuale; geerază cazuri de es semificaive, avaajul ese elimiarea redudaţei î esare, pri deermiarea cazurilor de es care asigură acoperirea câ mai mare a codului; aceasă aciviae, execuaă maual, ese dificilă; - geeraor de dae de es ese u isrume care foloseşe la popularea fişierelor şi bazelor de dae î vederea esării, popularea se face î geeral cu dae aleaoare, dar uele isrumee prevăd şi posibiliaea specificării uor codiţii; isrumeele su uilizae î geeral peru obţierea uor volume mari de dae ecesare esărilor operaţioale şi la capaciae maximă; - aalizor logic / de complexiae serveşe la cuaificarea complexiăţii uor porţiui de cod; mule asfel de isrumee oferă şi reprezeări grafice ale căilor posibile î srucura codului; su uile peru deermiarea cazurilor de es ecesare peru aigerea aumior puce di cod di ruie complexe. - isrumee de rasare a erorilor permi gesiuea iformaţiilor privioare la erorile deecae şi sadiul corecării lor şi ceralizarea acesor iformaţii peru urmărirea ediţelor acesor defece; pe baza acesor ediţe se efecează îmbuăăţiri î procesele de dezvolare şi/sau meeaţă ale orgaizaţiei; - isrumee de gesioare a esării au rolul de a asisa plaificarea şi orgaizarea elemeelor implicae î esare precum fişiere scrip, cazuri de esare, rezulae;

94 9.5. Tesarea empirică Are u caracer parţial şi se efecuează î eapele de aaliză, proiecare, programare, iegrare module. Ese aâ u proces de auoverificare câ şi u proces global. Tesarea empirica se realizează î pricipal de căre elaboraorii de programe şi mai apoi de căre uilizaorii programelor. Programul rebuie privi ca o cuie eagră. Di documeaţie, di module de proiecare a ierfeţelor rezulă srucura daelor de irare. Cum se efecuează prelucrările, care su acesea, ce efece secudare su geerae, u repreziă u eleme eseţial di puc de vedere al esării empirice. Obiecivul esării empirice ese acela de a pue î evideţă că programul e bu sau u e bu (merge sau u merge). Tesarea empirică se focalizează î rei puce: i. la ivelul daelor de irare peru a verifica dacă programul accepă ca irări daele care defiesc problema; se esează siuaţii cu dae mai mule/mai puţie şi egale decâ ofera. ii. la ivelul prelucrărilor î parcurgâd paşii algorimului execuţiei sau î puce diferie, cu găsirea uor legăuri îre daele oferie şi pucul î care are loc îreruperea; iii. la ivelul rezulaelor câd se ideifică rezulae icomplee srucural, rezulae complee srucural şi icorece şi respeciv siuaţia î care rezulaele corespud caliaiv fără a puea fi făcue meţiui asupra coreciudiii efecive a lor. Tesarea empirică ese direcţioaă fie spre laura poziivă fie spre laura egaivă a esării produsului. Î urma esării empirice pri exemple de es se obţi rezulaele cocree pri care se defieşe comporameul programului Efecuarea esării Tesarea eficieă peru u produs complex presupue şi exiseţa uor isrumee care asisă procesul de esare peru a auomaiza aces proces. Persoalul implica î esare rebuie să fie specializa să cuoască ehicile de aaliză, proiecare şi programare şi să îţeleagă problema pe care aplicaţia doreşe să o rezolve. Procesul de esare se recomadă a fi idepede de producăor şi de uilizaor peru a asigura riguroziaea rezulaelor şi a ierpreării corece a acesora. Tesarea se derulează î eape asfel: - se formează echipa de es î fucţie de scopul esului şi de aplicaţia de esa; Peru siseme sofware complexe creşe umărul esărilor, al specialişilor şi experiza lor; - echipa va fi împărţiă pe ipuri de fucţii pe care rebuie să le eseze persoaele grupului de es; - se cosruiesc exemplele de es şi se uilizează şi exemplele de es furizae î specificaţie; - se face u pla de es cuprizâd duraa şi umărul de ieraţii; - se alege meoda se esare adecvaa î rapor cu produsul; - se defiesc documeele/rapoarele pe care rebuie să le elaboreze membri echipe de es, câ şi documeele care se realizează la ivelul echipei; - se colecează erorile, le sabilesc frecveţa şi se cuaifică efecele pe care acesea le geerează la uilizaori; - reproduc codiţiile de producere a erorilor;

95 - î cadrul programării orieae obiec, esarea rebuie să cupridă î mod special esarea ivelurilor de îcapsulare, moşeire şi polimorfism, peru fiecare exisâd ehici de esare adecvae; Cazurile de es rebuie să ţiă seama că: - fiecare caz de es rebuie să fie ideifica uic şi asocia explici cu clasele care vor fi esae; - să se spuă di sar scopul esului; - rebuie realizaă o lisă de paşi pri care rebui să reacă esarea ce rebuie să cupridă: lisă cu sările pri care rebuie să reacă obiecul esa; lisă de mesaje şi operaţii care rebuie făcue peru ca esul să fie cosise; lisă de excepţii pri care u obiec rebuie esa; lisă de codiţii exere (exemplu: modificarea uor variabile de evirome); iformaţii suplimeare ecesare peru a îţelege sau realiza esul. Pe baza erorilor şi documeelor colecare î urma esării, şeful de proiec va sabili impii şi prioriăţile î rezolvarea defecelor Idicaori de esare Î eapa de esare se calculează aumiţi idicaori peru a caraceriza procesul de esare câ caliaea sisemului esa. Complexiaea esării (C ) repreziă umărul de cazuri de es ecesare rapora la volumul aplicaţiei. Se calculează aâ pe îregul produs câ şi pe u aumi modul sau uiae fucţioală. Maemaic repreziă umărul cazurilor de es raporae la uiaea esaă şi ese daă de relaţia: C = CT UT ude: CT Cazuri de es; UT Uiaea esaă; Cazurile de es su raporae la u aumi umăr de razacţii, u modul, u grup de module sau îregul sisem. Caliaea defecelor raporae (Cd) repreziă raporul dire defecele efecive şi oalul defecelor raporae. Se calculează cu relaţia C d = TD uice TD ude: TD uice - oalul defece uice; TD oalul defecelor raporae. Raa defecelor (R d ).repreziă umărul de defece efecive descoperie raporae la umărul cazurilor de es raa defecelor ude CT cazurile de es R d = TD uice CT 3

96 Raa icideelor - umărul de icidee î exploaarea sisemului (R i ) repreziă raporul dire umărului de icidee şi umărul de ore de fucţioare sau umărul de razacţii efecuae dae de relaţia: R i = N I N T ude: N I umăr de icidee; N T umăr de razacţii; Pri icide se îţeleg acele erori care apar di exploaarea sisemului de exemplu: îreruperea programului, blocarea programului, reseări de fucţii şi de sări, erori î afişarea şi imprimarea rezulaelor saui ale comporamee eprevăzue. Aces idicaor descrie eficieţa măsurilor de îreţiere şi de corecare după implemeare a produsului-program Teme de sudiu. Aalizaţi meodele de esare prezeae şi aduceţi compleări;. Pe parcursul a două săpămâi ideificaţi ipuri de erori î ieracţiuea persoală cu programele di calculaorul propriu 3. Căuaţi şi prezeaţi ipuri de erori proprii di eapa de proiecare şi codificare a uui program pe care l-aţi dezvola la laboraorul de proiecare procedurală 4. Proiecaţi o esarea de sofware, parcurgâd eapele: - se formează echipa de es - împărţiţi echipa pe fucţiile pe care rebuie să le eseze - cosruiţi exemplele de es după u pla de es - alegeţi meode se esare adecvaa - coleceaţi erorile, moiorizaţi frecveţa şi efecele pe care le geerează uilizâd fişe de colecare dae. Acese dae urmează a fi folosie î sudiul modelului Jelisi-Morada

97 Capiolul. MODELE JELINSKI - MORANDA PENTRU FIABILITATEA SOFTWARE.. Modelul Jelisi-Morada clasic Ese uul dire cele mai cuoscue modele peru predicţia fiabiliăii programelor. Ipoezele modelului : a) Iervalele de imp îre defecările succesive su variabile aleaoare idepedee, disribuie după legi expoeţiale cu paramerii diferiţi; b) Raa de defecare ese proporţioală cu umărul de erori laee ale programului şi ese o cosaă pe u aumi ierval, avâd forma: N ( ) N ) peru, z( ) N( ) (..) ude: - N ese umărul iiţial de erori N(=) iar - ese o cosaă de proporţioaliae. c) La fiecare defecare se efecuează o ierveţie î program pri care se elimiă o sigură eroare, şi aume, aceea pusă î evideţă de căre defecarea observaă. Variaţia î imp a raei de defecare aşa cum ese prezeaă î figura.. Figura.. Variaţia î imp a raei de defecare peru modelul Jelisi-Morada După cum se poae urmări î figură, raa de defecare scade la fiecare defecare a programului, deci fiabiliaea acesuia creşe; se poae spue că ese u proces de reîoire cu reîoiri egaive. 5

98 Caracerisici şi parameri de fiabiliae: a) Ese u model de creşere expoeţială a fiabiliăţii. b) Fucţia de fiabiliae şi fucţia desiae de probabiliae pe iervalul su. ( N) R ( ) e (..) dr ( N) f ( ) ( N ) e (..') d c) Media impului îre defecările - şi ese: m R( ) d. (..3) ( N ) d) Fucţia de reîoire ese media umărului de defecări î iervalul (, ) şi ese daă de relaţia: H( ) N( e ). (..4) iar desiaea de reîoire ese dh( ) h( ) N e (..4') d e) Duraa medie pâă la elimiarea uuror erorilor: D ( )..., (..5) ( N ) ( N ) ude repreziă primele defecări observae. Esimarea paramerilor modelului (N şi ) se poae face uilizâd meoda verosimiliăţii maxime, cosiderâd ca esimaţii pucuale perechea de valori ( N ˆ, ˆ ) care maximizează probabiliaea de apariţie a rezulaelor experimeale obţiue. Fucţia de verosimiliae ese defiiă ca fucţia de desiae de probabiliae reuiă a variabilelor aleaoare: L (,,..., ( N) / N, ) ( N ) e (..6) Fucţia de verosimiliae îşi aige maximul peru acele valori î care derivaele parţiale î rapor cu N şi ale logarimulului fucţiei de verosimiliae se aulează: l L l L şi N Di rezolvarea acesor ecuaţii se obţie: (..7) 6

99 7, ) (, ) ( N N N (..8) ude am irodus oaţia: (..8) repreziă duraa scursă de la îcepuul observaţiilor pâă la îregisrarea defecării cu umărul de ordie. Rezolvarea ecuaţiilor di sisem coduce la obţierea esimaţiilor pucuale Nˆ şi ˆ care depid de umărul de defecări observae şi de momeul la care se face esimarea. Rezolvarea acesor ecuaţii şi discuţii referioare la soluţiile obţiue po fi sudiae î bibliografie 6. Peru ca soluţiile să fie accepabile se impue acumularea uui umăr foare mare de dae de la uilizaorii programului... Modelul Jelisi-Morada geomeric Ipoezele modelului: a) Derivă di modelul Jelisi-Morada, îlocuid ipoeza că la o ierveţie se elimiă o sigură eroare cu aceea că la fiecare ierveţie se elimiă o aceeaşi fracţiue di erorile laee exisee î program, C, asfel îcâ umărul de erori remaee coţiue î program scade la fiecare ierveţie. Peru N ( ) se poae scrie urmăoarea expresie:.,......,,,,,, ) ( 3 N C N C CN N N (..) b) Raa de defecare ese proporţioală cu umărul de erori laee asfel îcâ ese cosaă pe fiecare ierval iar valorile ei formează o progresie geomerică descrescăoare cu raţia C, avâd expresia:.,......,,,, ) ( ) ( C N C C CN N N z (..)

100 Paramerii modelului Jelisi-Morada geomeric su şi C, iar umărul de erori laee şi poderea fiecărei erori su eprecizae. Caracerisici şi parameri de fiabiliae : Modelul u poae prevede umărul de defecări îr-u ierval de imp şi ici umărul de erori remaee la u mome da, dar permie calculul fucţie de fiabiliae îr-u ierval aume şi duraei medii reziduale de viaţă: a) Fucţia de fiabiliae şi fucţia desiae de probabiliae pe iervalul ese: C R e (, ) iar b) Media impului de buă fucţioare: m R( ) d e C f ( ) C e C (..3) d. C o (..4) Se poae observa că media impului de buă fucţioare u depide decâ de fracţiuea de erori care se elimiă şi de raa de defecare iiţială, Esimarea paramerilor modelului, C şi, se poae face o pri meoda verosimiliăţii maxime, uilizâd fucţia de verosimiliae: l L(,,..., / C, ) l f,,..., / C, l ( )l C C x. (..5) Peru obţierea valorilor care maximizează fucţia L se calculează derivaele parţiale î rapor cu cei doi parameri C şi se egalează cu : Rezolvâd ecuaţiile: l L l L şi (..6) C Se obţie sisemul de ecuaţii: C (..7) ( ) C, C Di rezolvarea sisemului complex (cu u program de calcul specializa) se obţi paramerii modelului: 8

101 9. ) ( ) (, ˆ C x C x C x C (..8). 3. Modelul Jelisi-Morada hibrid Ipoezele modelului: Erorile rezidee îr-u program se clasifică î două caegorii: a) Cele care su elimiae î pachee, coform ipoezelor modelului Jelisi- Morada geomeric; b) Cele care u po fi elimiae dar sisemul poae fi repus î fucţiue dacă se maifesă o asfel de eroare, u su erori criice. Caracerisici şi parameri de fiabiliae : a) Raa de defecare:, ) ( C z (.3.) ude:, iar ese iesiaea fluxului Poisso forma de erorile care u po fi elimiae. b) Duraa medie îre două defecări şi + ese:. ) ( ) ( N m (.3.) c) Duraa medie pâă la elimiarea uuror erorilor ese:. ) ( ) ( N i N i N D (.3.4) Paramerii modelului su, şi C. Ei po fi esimaţi o cu meoda verosimiliăţii maxime, fucţia de verosimiliae fiid î aces caz:. ) ( ) l( ),, /...,, ( l C C C L (.3.5) Esimaţiile pucuale ˆ, ˆ şi Ĉ se obţi rezolvâd sisemul de ecuaţii:

102 , ) ( ) (,, C C C C C C C (.3.6) cu. (.3.6).4.Probleme propuse. Peru rezolvarea sisemului sueţi iviaţi să elaboraţi u program de calcul şi să rezolvaţi folosid daele deţiue de la capiolul aerior.. Ideificaţi deosebirile dire cele rei modele Jelisi-Morada

103 Capiolul. FIABILITATEA HARD DISCURILOR.. Pricipiul de fucţioare şi compoeele HDD U HDD cosă î uul sau mai mule discuri rigide (hard) care se roesc cu o vieză foare mare, umie plaae (Plaers) şi u cap mageic care cieşe şi scrie daele pe suprafaţa plaaelor, umi cap de ciire/scriere (head read/wrie) a cărui mişcare ese realizaă de u dispoziiv de acţioare umi acuaor. Corolul logic al îregului HDD (dis coroller) ese realiza de u dispoziiv elecroic iar roirea plaaelor şi mişcarea capului de ciire/scriere ese realizaă de moorul (sau două mooare). HDD dispue de sisem elecro-mecaic de blocare a capeelor. O schemă simplificaă a coţiuului uui HDD ese prezeaă î figura, preluaă di hp://upload.wiimedia.org/wiipedia/commos/humb/5/5/hard_drivee.svg/55px-hard_drive-e.svg.pg" \* MERGEFORMATINET Figura.. Compoeele HDD Plaaele su realizae dir-u subsra o-mageic pe care ese depus u mediu mageic care cosiuie suporul de socare. Subsraul o-mageic rebuie să poaă fi prelucra î forme foare subţiri (de ordi aomeric) se realizează di aliaj de alumiiul, di siclă sau dir-u maerial ceramic. Ambele părţi ale subsraului su acoperie cu u sra foare subţire (-m) de maerial cu proprieăţi mageice foare bue, de exemplu o peliculă de oxid mageic sau u sra de mealic foare subţire şi ese proeja cu o peliculă de carbo. HDD-urile folosesc magei eodim (Magei di eodim NdFeB (Neodimfier-bor) su la ora acuală cei mai puerici mageți permaeți şi foare sabili. Su pui sesibili la campurile mageice exere, dar su predispusi la corodare si i cazul emperaurilor iale isi po pierde proprieăţile mageice. Di aces moiv su proejai la suprafaa cu zic (Z), ichel (Ni) sau răşii epoxidice. Plaaele su comple izolae de mediul exerior, ele su aşezae îr-o carcasă îr-u mediu corola, la o presiue cosaă, feri de acţiuea prafului şi umidiăţii. De regulă exisă mai mule plaae la aceasă daă pâă la 7) asezae

104 uul pese alul, la disaţe meţiue cosae prir-u separaor, fixae de u ax care roeşe o asamblul de plaae la mii de roaţii pe miu (4 5Rpm). Capul de ciire/scriere repreziă raslaorul, cel care prelucrează iformaţia de pe plaae î forma digial şi o rasferă corolerului de disc peru a o rasmie mai depare la procesor. Exisă câe u cap de ciire/scriere peru fiecare di feţele plaaului acesea fiid acţioae simula, pri iermediul aceluiasi braţ. Figura.. Cap ciire/scriere deasupra plaaelor Capeele su cocepue să fie meţiue la disaţă faţă de plaae, (foare mică, de ordiul m) şi să aigă discul umai câd plaaele s-au opri. Oprirea lor, parcarea se face îr-o zoă specială umiă LZ (Ladig Zoe). Ese foare uşor şi scur (şiff), poae aige o acceleraţie de 5g Sisemul de acţioare al capului de ciire/scriere ese umi HSA (Head Sysem Asamble) şi ese forma dir-u braţ (Arm) şi o bobia mobilă (Voice Coil) care asigură acţioarea elecromageică. U HSA peru HDD fabrica de Seagae ese prezea î figura 3. HDD al compaiei Seagae (ST3333AS de TB), preluaă de pe sie-ul oficial al producăorului hp:// foografii realizae de Arem Rubsov Figura.3. Sisemului de acţioarea al capului de ciire/scriere - HSA

105 Peru ca aces asamblul de compoee să aibă mişcările fluide, HSA are u rulme (bearig). Capul de ciire scriere ese aașa la braț pri iermediul uui sisem umi Heads Gimbal Assembly, oa î figură cu HGA. Exesia flexibilă ese umiă Flexible Pried Circui (Circui flexibil imprima) oa FPC şi realizează legăura HSA-ul cu plaaele pri capeele de coac. Dispoziivele de la capăul HGA-urilor su umie Slidere. Aumie surse preid că sliderele su capee reale, de fap ele su u fel de aripă care ajuă elemee de ciire şi scriere să zboare pe suprafața plaaului. Disaţa la care se află pe HDD-uri modere, ese de aproximaiv 5- aomeri (firul de păr uma are diameru de 5 m). Î cazul î care o pariculă rece pe sub slider ar puea supraîcălzi imedia (di cauza frecarii) capeele și le-ar disruge, de aceea aerul cura î ieriorul HDA ese aâ de impora. Elemeele adevărae de ciire şi scriere su siuae la sfârșiul slider-ului și ele su aâ de mici îcâ po fi văzue doar la microscop bu, aşa cum se poae observa î figura.4. Suprafaa slider-ului are caeluri aerodiamice care ajua u slider sa zboare deasura plaaului. Aerul de sub slider formeaza suprafața de spriji aeria (ABS - Air Bearig Surface) Figura.4. Slider-ele capului de ciire /scriere O pare foare imporaă a HSA ese preamplificaoul, u cip care corolează capeele și amplifică semalele de la/spre ele. Ese siua î ieriorul capului de ciire/scriere peru că semale de la capee su foare slabe. Preamplificaor are mul mai mule căi ce merg la capeele. Aces ip HDD are șase coace pe "cap": - u coac ese de împămâare, - două peru elemee de ciire și scriere; - două peru microacuaorilor (dispoziive piezoelecrice speciale sau mageice care po mişca sau roi slider-ul), care ajua la reglarea poziiei acesuia; - ulimul coac ese peru o sursă de îcălzire a sisemului de ermocuplu (două lamele de diferie aliaje cu coeficieţi de dilaare ermică diferiă) care ajuă la ajusarea îălţimii capeelor. Odaă ce gimbal-ul fos îcălzi se curbează spre 3

106 suprafaa plaaului și aceasă acțiue reduce îălțimea de zbor. După răcire gimbal-ul se îdreapă. Moivul peru care preamplificaorul ese siua î ieriorul HAD-ului ese simplu - semale de la capee su foare slabe și pe HDD-uri modere careo frecveță mai mare de GHz, iar dacă elimii preamplificaorul di HDA asfel de semale slabe u ar supraviețui, ele vor dispărea pe drumul spre PCB. Preamplificaor are mul mai mule cai ce merg la capeele (parea dreapă) decâ la HDA (laeral sâga),asa peru că HDD-ul poae lucra umai cu u "cap" (pereche de elemee scriere/ciire)ela u mome da. HDD rimie semale de corol peru preamplificaor și acesa selecează capul HDD de care are evoie la momeul acual. Aces HDD are șase coace pe "cap". U coac ese de impamaare, ale două peru elemee de ciire și scriere. Ale două peru microacuaorilor - dispoziive piezoelecrice speciale sau mageice care po misca sau roi slider-erul, care ajua la reglarea poziiei acesuia iar ulimul coac ese peru sursa de îcălzire care poae ajua la ajusarea îălţimii la care pluesc slidere-le. Sisemul de îcălzire poae îcălzi GIMBAL-ul, legăura specială care coecează slider-ul la HGA. GIMBAL-ul ese realiza di două lamele di diferie aliaje cu coeficieţi de dilaare ermică diferia. Odaă ce gimbal-ul fos îcălzi se curbează spre suprafaa plaaului reducâd asfel îălțimea de zbor. După răcire gimbal-ul se îdreapă. Placa cu circuie imprimae Compoeele elecroice şi coecorii HDD su moae pe o placă cu circuie imprimae umiă PCB - Pried Circui Board. Î figura.5 se po observa acese compoee elecroice peru u HDD al compaiei Seagae (ST3333AS de TB), preluaă de pe sie-ul oficial al producăorului hp:// Figura.5. Compoeele de pe placa cu circuie imprimae - PCB

107 Voice Coil Moor Coroler, Memory cip a) Cel mai mare cip care se poae observa î figură ese corolerul uiăţii de procesare oaă MCU - Micro Ui Coroller, care coţie o uiae de procesare ce realizează oae calculele și o uiae de ciire/scriere care covereșe semalele aalogice î iformație digială î impul ciirii, iar î impul scrierii codifică iformații digiale î semale aalogice. MCU are poruri I/O peru a corola PCB și peru rasmierea daelor pri ierfaţa SATA. b) Cipul de memorie (Memory cip) ese o memorie ampo de ip cachè. Dimesiuea acesei memorii defieşe dimesiuea memoriei HDD şi ese u idicaor de performaţă. Î exemplul prezea, PCB coţie cip de memorie Samsug 3MB DDR, ceea ce îseamă că HDD are 3MB memorie cachè. Memoria cachè permie creşeriea viezei de acces la dae. Daele care au mai fos accesae su depuse î memoria ampo, iar î momeul î care se îcearcă u ou acces, ele su obţiue direc di cachè, reducâd asfel impul de căuare. c) U al cip de pe placă ese Voice Coil Moor Coroler sau corolerul moorului bobiei mobile, u coroler VCM care corolează mișcările de roație a moorului și braţului capeelor. d) Flash memory (cip de memorie flash) coie o pare di firmware-ul uiății. Auci câd uiaea ese alimeaă, cipul MCU cieșe coiuul cipului flash și îcepe execuţia codulul. Fără aces cod uiaea ici u poae îcepe ici mişcarea de roaţie a plaaelor. La aumie HDD-uri coiuul cipului flash se află î ieriorul MCU. 5. Sezorul de soc poae deeca șocurie excesive asupra uiăţii și rimie semale la corolerul VCM care are rolul de a proeja uiaea de eveuale deeriorări daoriae şocurilor. 6. Dioda TVS - Trasie Volage Suppressio proejează PCB-ul de căderi de esiue de la sursa de alimeare exeră. Câd dioda TVS deecează o scurgere de eergie, se arde și creează scurcircui îre coecorul de alimeare și sol, împiedicâd asfel deeriorarea îregului sisem. Pe aces PCB exisă două diode TVS: de 5V și V. HDD ese îcapsula îr-o carcasă eaşă, sigura cale pri care aerul poae ira i ieriorul HDA ese pri gaura de veilaţie prevăzuă cu filru peru ca aerul di ierior să u coţiă praf. Filrul are mai mule srauri de filrare şi poae avea silicagel î ierior peru a reduce umidiaea aerului... Scrierea şi ciirea daelor pe HDD Îregisrarea daelor pe hard disc se face pri mageizarea plaaelor feromageice. Daele su scrise î sisem biar, adică se sochează o îşiruire de şi, sub formă de blocuri logice de obicei de 5 B (exisă preocupări de exidere a lugimii blocurilor logice pâă la 496 B). Ciirea daelor se face pri deecarea raziţiilor mageice şi decodificarea cu u limbaj adecva. Daele su salvae pe disc sub forma uor fişiere (files), u umăr de byes cu u ume. Byes po fi coduri ASCII peru u ex sau po fi isrucţiui ale uei aplicaţii pe care calculaorul rebuie să o ruleze. Î momeul î care u program care rulează cere u fişier, hard discul îl ciese şi îl rimie la procesor. 5

108 Figura.6. Secţiue rasversală a câmpului mageic cu evideţierea modulării î frecveţă şi codificării biare Câd u HDD ese supus uei formaări de ivel scăzu (î fabrică) suprafaţa ese împărţiă î pise şi secoare (secors ad racs). Pisele su cercuri cocerice pe fiecare pare a plaaelor, î jurul axului ceral. Pisele, egal disaţae de axul plaaului de pe fiecare pare a plaaului şi de pe oae plaaele, su grupae î cilidri care su subdivizae la râdul lor î secoare a câe 5 biţi fiecare. Formaarea low level îseamă sabilirea umărului de secoare şi de pise pe care le are u HDD. Formaarea de ivel îal scrie apoi fișierele de sisem î aumie blocuri logice selecae, păsâd aumie blocuri dispoibile peru sisemul de operare gazdă şi aplicațiile sale. Sisemul de fișiere al sisemului de operare folosese o pare di spațiul de pe disc peru a orgaiza fișierele de pe disc, îregisra umele lor și secveța de zoe de disc care repreziă fișierul. U hard disc fucţioează aproape la fel ca o caseă mageică obisuiă, dar daele pe HDD se po scrie şi rescrie foare repede şi po fi meţiue mai mul. Plaaele su roie cu vieze foare mari. Iformaţia se scrie pe plaa î impul roirii acesuia de căre capeele de ciire/scriere. Aşa cum am specifica, peru fiecare suprafaă a plaaului exisă câe u cap de ciire/scriere moa la u braţ comu. Aces braţ mişcă capeele de ciire/scriere pese suprafeţele plaaelor, pe u arc de cerc (aproximaiv radial), peru a permie capeelor să acceseze aproape îreaga suprafaă a plaaelor î imp ce se roesc. Braţul ese mua folosid mecaismul de acţioare elecromageic, cu bobiă mobilă (voice coil). Îaie de 98 moorul care acţioa braţul era de ipul pas cu pas ceea ce u permiea vieze de roaţie prea mari. Peru a accesa o pisă oarecare pe uul di plaae, braţul care susţie capeele de ciire/scriere va mua capeele spre acea pisă. O meodă de a opimiza impul de acces la dae ese ca u grup de dae care su accesae secveţial să fie scrise pe o sigura pisă. Dacă daele u îcap pe aceeasi pisă, auci ese opim să fie scrise pe pisa cu acelaşi umăr pe u plaa diferi. Peru a miimiza impul de muare al capului, rebuie urmări ca daele să u fie împrăşiae pe mai mule pise. Peru a descrie modul opimiza de socare a daelor pe muliplele plaae suprapuse se foloseşe ermeul de cilidru. U cilidru se referă la oae pisele care au acelaşi umar, dar localizae pe diferie plaae..3. Tipuri de defece î HDD La HDD se po cosidera paru ipuri de defeciui: - defecţiui logice; - defecţiui elecroice;