Metoda celor mai mici pătrate cu Matlab

Size: px

Start display at page:

Download "Metoda celor mai mici pătrate cu Matlab"

Meredith Hancock
6 years ago
Views:

1 Coferiţa Naţioală de Îvăţăât Virtual, ediţia a IV-a, Metoda celor ai ici pătrate cu Matlab Costati I.Popovici-Uiversitatea Tehică Gh. Asachi Iaşi, eail:costati.popovici@rdslik.ro Eilia Popovici-Uiversitatea Tehică Gh. Asachi Iaşi, e-ail:eiliapopovici@yahoo.co Gheorghe Sufaru-Uiversitatea Tehică Gh. Asachi Iaşi, e-ail:geocos1981@yahoo.co Abstract Lucrarea reflectă odul î care se poate folosi ediul de prograare Matlab petru îvăţarea şi îţelegerea odului de aplicare î practică a cursului de Aaliză Nuerică prezetat studeţilor Facultăţii de Costrucţii di Uiversitatea Tehică Gh. Asachi Iaşi. Este prezetat algoritul ueric asociat etodei celor ai ici pătrate î cazul sisteelor de ecuaţii algebrice liiare supradiesioate şi tratate doua exeple adecvate, cu aplicatii î practica. Î cocluzie, studeţii pot utiliza softul Matlab petru rezolvarea probleelor de ateatică, care apar î cercetare, proiectare, igierie, iar utilizarea softului este o etodă copleetară şi u substitutivă []. 1. Itroducere Metodele uerice care se folosesc astăzi, fie cele clasice, fie cele oi, se utilizează uai pri iterediul calculatorului. Ţiâd cot de coplexitatea probleelor utilizatorul trebuie să studieze cazurile î care trebuie să decidă ce siste de calcul va fi adecvat petru problea î cauză, dar î acelaşi tip şi să ituiască odul de abordare a raţioaetelor ce trebuie ipleetate petru rezolvarea probleei. Metodele uerice trebuie cocepute astfel îcât să fie eficiete şi ueric stabile. Eficieţa se asigură pri elaborarea uor algoriti care să iplice u uăr cât ai ic de operaţii aritetice eleetare. Ituitiv vorbid, stabilitatea uerică a uui algorit îseaă ca acesta este cât ai puţi sesibil la erorile de rotujire sau la alte icertitudii uerice care pot aparea î procesul de calcul. Dacă toate calculele se fac pe baza uor cobiaţii covexe, atuci toate rezultatele iterediare şi chiar rezultatul fial vor fi î doeiul de ărie al datelor iiţiale, asigurâd stabilitatea algoritului. Elaborarea uui algorit uai pe baza uor cobiaţii covexe u se poate realiza î toate cazurile, dar această ceriţă costituie u pricipiu geeral ce trebuie avut î vedere îtotdeaua la ipleetarea etodelor uerice pe calculator.. Aproxiarea discretă î sesul celor ai ici pătrate Portrivirea (etezirea) datelor î sesul celor ai ici pătrate s-a dovedit u istuet idispesabil îcă de la ivetarea sa de către Gauss şi Legedre, î jurul aului 1800, cu raificaţii î ştiiţele experietale. 139

2 140 Facultatea de Mateatică şi Iforatică, Bucureşti Î libajul algebrei liiare, problea este de a rezolva u siste de ecuaţii algebrice liiare supradiesioat (uărul ecuaţiilor fiid ai are decât uărul ecuoscutelor) sau a uui siste de ecuaţii subdiesioat (uărul ecuatiilor fiid ai ic decat uărul ecuoscutelor), adica sistee dreptughiulare de fora Ax = b. Abordă problea sisteelor supradiesioate. Ideea este de a rezolva sisteul pri iiizarea orei euclidiee a reziduului b + Ax. Cosideră sisteul Ax = b, cu ecuoscute şi cu > ecuaţii. Sibolic, dori să gasi u vector x C ce satisface sisteul Ax = b, ude A C şi b C. Î geeral, o astfel de probleă u are ici o soluţie. U vector x corespuzător poate există uai dacă b I(A) şi deoarece b este u vector cu copoete şi I(A ) are diesiuea cel ult, acest lucru este adevarat uai petru alegeri cu totul speciale ale lui b. Vectorul r defiit de relaţia, r = b + Ax, r C, (1) uit reziduu, poate fi făcut ic pritr-o alegere adecvată a lui x, dar î geeral u poate fi făcut egal cu zero. Ce îseaă să rezolvă o probleă care u are ici o soluţie? Î cazul uui siste supradiesioat există u răspus atural la aceasta îtrebare. Deoarece reziduul r u poate fi făcut zero, trebuie să-l face cât ai ic posibil îtr-o auită oră. Dacă alege ora, problea poate fi reforulată astfel. Dată fiid atricea A C,, b C, să se gaseasca vectorul x C astfel îcat Ax b să fie iiă. Această probleă se ueşte probleă liiară discretă de aproxiare î sesul celor ai ici pătrate. Alegerea orei poate fi justificată pri diverse arguete geoetrice şi statistice şi, aşa cu vo vedea, coduce la algoriti sipli datorită faptului că derivata uei fucţii pătratice, care trebuie aulată petru a se obtie iiul, este liiară. Iterpretarea geoetrică a probleei este siplă: căuta u vector x C,astfel îcât vectorul Ax C să fie puctul di I(A ) cel ai apropiat de b. 3. Metoda celor ai ici pătrate Î procesul de prelucrare şi ajustare a datelor apar sistee de ecuaţii algebrice liiare supradiesioate sau subdiesioate. Aborda problea sisteelor supradiesioate. Fie sisteul: a11x1 + a1 x + + a1 x = b1 a1x1 + a x + + a x = b, > () a1x1 + a x + + a x = b Evidet, u aseeea siste poate să u aibă soluţie. Fie vectorul rezidual, T r = Ax b = r, r,, ) (3) ( 1 r 140

3 Coferiţa Naţioală de Îvăţăât Virtual, ediţia a IV-a, ude ri = ai1 + + ai x bi, i = 1,. Cosideră fucţia pătratică, f x) = f ( x, x,, x ) =< r r >= r + r + + r. (4) ( 1, 1 Defiiţia 1. Se ueşte soluţie î sesul celor ai ici pătrate a sisteului (), acel vector x *, petru care fucţia (4) are valoarea iiă. * Dacă: i f ( x) = f ( x ) = 0, atuci r ( * i x ) = 0, petru orice i = 1,. x R Rezultă că sisteul () este copatibil şi atuci x=x * este soluţia exactă a sa. * Î geeral, sisteul () u este copatibil şi i f ( x) = f ( x ) > 0, iar x=x * este u x R substituit petru soluţia sisteului, şi aue soluţia î sesul celor ai ici pătrate. Fucţia f se poate pue sub fora : f ( x) =< r, r >=< Ax b, Ax b >=< Ax, Ax > < Ax, b > + < b, b >, şi astfel ave T T f ( x) =< A Ax, x > < A b, x > + < b, b > (5) Teorea 1. Dacă rag A =, atuci sisteul () adite o sigură soluţie î sesul celor ai ici pătrate şi aceasta este soluţia (uică) a sisteului A T Ax = A T b (6) Sisteul (6) se ueşte sisteul oral al lui Gauss. Deostraţie. Puctele de extre ale fucţiei pătratice f, dată de relaţia (5), se caută pritre puctele sale critice, iar acestea se află rezolvâd sisteul: grad f = 0 Cu grad f = A T Ax A T b, obţie sisteul A T Ax = A T b. Ţiâd cot că : rag A = rag A T = rag (A T A) =rag (AA T ), atuci atricea B = A T A este o atrice pătratică de ordiul şi rag B =, cofor celor de ai sus. Rezultă că sisteul (6) adite o soluţie uică, x = x *, care este puct critic petru f. Matricea B este evidet sietrică şi seipozitiv defiită. Mai ult, î ipoteza oastră, atricea B este pozitiv defiită. Îtr-adevăr dacă presupue ca <Bx,x> = 0, atuci rezultă că <Ax,Ax> =0 şi deci Ax =0. Cu rag A = < rezultă x = 0. Pe de altă parte ave d f ( x) = b dx dx > 0, i= 1 j= 1 de ude rezultă că x = x * este puct de ii petru f şi cu aceasta teoreă este deostrată. Aşadar, î ipoteza rag A =,soluţia sisteului (), î sesul celor ai ici pătrate, este uică şi se află rezolvâd sisteul (6). Acest siste este sietric pozitiv defiit. Rezolvarea sa se poate face pri etoda Cholesky sau ua di etodele de relaxare. ij i j 141

4 14 Facultatea de Mateatică şi Iforatică, Bucureşti Factorizarea Cholesky petru sisteul (6) este o etoda directă de rezolvare a uui siste de ecuaţii liiare, cu atricea coeficieţilor pozitiv defiită. Există o atrice uică R superior triughiulară, esigulară, care satisface relaţia: A T A = R T R Factorizarea Cholesky petru (6) se realizează cu fucţia Matlab chol; aceasta fucţie se poate apela cu ua ditre sitaxele: R = chol (A T A) sau [ R,p] = chol (A T A), ude: A - este o atrice pozitiv defiita; R - este o atrice superior triughiulara, astfel icat R T R = A T A ; p - este u scalar de test, egal cu zero daca atricea A este pozitiv defiita şi, u îtreg pozitiv î caz cotrar. Rezolvarea cu Matlab a uui siste de ecuaţii liiare presupue etapele: - se calculeaza factorul Cholesky, R = chol (A T *A) ; - se rezolva sisteul R T y = b cu relatia : y = R T \A T b ; - se rezolva sisteul Rx = y cu relatia : x = R \ y. Rezolvarea practică a sisteului (6) ridică problee di cauza faptului ca uărul de codiţioare al atricei B = A T A este are. Nuărul de codiţioare a lui B se calculează cu fuctia Matlab cod. Observatie. Teoretic, soluţia sisteului (6) este x * = (A T A) -1 A T b. Matricea P = (A T A) -1 A T se ueste pseudoiversa atricei (dreptughiulare) A. Noţiuea de atrice pseudoiversă geeralizează oţiuea de atrice iversă (petru atrice dreptughiulare ). 4. Exeple Dreapta de regresie 1) Să se deterie traseul opti petru o coductă de gaze aturale care să treacă pri apropierea localităţilor L i, i = 1,,..., 10, care, raportate la u siste cartezia de referiţă, au coordoatele urătoare: L 1 (1,), L (,), L 3 (5,3), L 4 (7,4), L 5 (10,), L 6 (11,3), L 7 (15,4), L 8 (16,5), L 9 (18,1), L 10 (0,4). Rezolvare Luâd traseul după o dreaptă, se obţie sisteul : ++ = + = = = = = 3, cu A = 10 1 = şi b = ( ) T = = =

5 Coferiţa Naţioală de Îvăţăât Virtual, ediţia a IV-a, Sisteul este supradiesioat şi icopatibil. Se forează sisteul oral al lui Gauss B u = C ude B = A T A, C = A T b şi u este ecuoscută; î cazul ostru: B = , C = Matricea B este o atrice pozitiv defiită. Secveţa Matlab : clc B = [ ; ]; C = [340 30]; [R,p] = chol (B); y = R \ C; x = R \ y; ed Metoda Cholesky poate fi aplicată şi ave soluţia u 1 =0,0611, u =, Raportat la acel siste de coordoate, traseul coductei trebuie să ureze drepta: y = 0,0611 x +, cod (B) = 568,405; λ 1 = 151,3 şi λ =,7. λ1 Ave cod (B) > şi sisteul oral Gauss este bie codiţioat. λ Dreapta de regresie î acest caz este: y = 0,0611 x +, Această dreaptă u trece exact pri puctele L i, dar este acea dreaptă di pla care trece cel ai aproape de aceste pucte. ) Să presupue că vre să deteriă dreapta de regresie corespuzatoare puctelor M i (x i,y i ), i + 1,,...,. Matricele A şi B sut: 1 1 A= 1 şi B = A T A = 1 ( + 1)( + 1) 6 ( + 1) ( + 1). Petru =100, cod (B) > şi deci sisteul oral al lui Gauss este prost codiţioat. 5. Cocluzii Matlab oferă o soluţie copletă şi uitară petru o rezolvare uerică a sisteelor de ecuaţii liiare şi eliiare, a ecuaţiilor difereţiale, a probleelor de aproxiare. Este utilizat atât de ateaticiei, iforaticiei, cât şi de igieri şi fiziciei. Acest ediu de prograare este flexibil şi usor de utilizat. 143

6 144 Facultatea de Mateatică şi Iforatică, Bucureşti Bibliografie [1] Mari Vlada, Tehologiile societatii iforatioale, Coferita Natioala de Ivataat Virtual, editia a III-a, 005, Facultatea de Mateatica şi Iforatica Bucuresti, pp [] Ariada Lucia Pletea, Rezolvarea ecuatiilor diferetiale cu Matheatica, Coferita Natioala de Ivataat Virtual, editia a II-a, 004, Facultatea de Mateatica şi Iforatica Bucuresti, pp [3] Mari Vlada, Maple ad MapleNet-itegrated solutios for Web Based Learig î Matheatics, Sciece ad Egieerig, Coferita Natioala de Ivataat Virtual, editia a IIa, 004, Facultatea de Mateatica şi Iforatica Bucuresti, pp [4] Nicolae Daet, Metode de costructie a curbelor plae. O itroducere folosid Mathcad, Coferita Natioala de Ivataat Virtual, editia a II-a, 004, Facultatea de Mateatica şi Iforatica Bucuresti, pp [5] Costati I. Popovici, Eilia Popovici, Metode uerice cu Matlab, Coferita Natioala de Ivataat Virtual, editia a III-a, 005, Facultatea de Mateatica şi Iforatica Bucuresti, pp [6] Gavril Paltieau, Pavel Matei, Roica Tradafir, Aaliza uerica, Editura Cospress, Bucuresti,

Sisteme de recunoaşterea formelor Lab 1 Metoda celor mai mici pătrate

Sisteme de recunoaşterea formelor Lab 1 Metoda celor mai mici pătrate Sisteme de recuoaşterea formelor Lab 1 Metoda celor mai mici pătrate 1. Obiective Acest laborator itroduce librăria OpeCV care va fi folosită petru procesarea imagiilor. Se doreşte potirivirea uei liii