5. STATICA RIGIDULUI Echilibrul solidului rigid liber. 5. Statica rigidului

Transcription

1 5. Statica rigidului 5. STATICA RIGIDULUI 5.. Echilibrul solidului rigid liber 5... Parametrii geometrici care defiesc poziţia uui corp rigid i spaţiu. Grade de libertate Pri solid liber rigid se îţelege u corp rigid care poate ocupa orice poziţie î spaţiu, fară ici o restricţie de atură geometrică, poziţia lui fiid determiată umai de către forţele care acţioează asupra sa. Numărul gradelor de libertate ale uui rigid este dat de umărul parametrilor idepedeţi care îi defiesc poziţia la u momet dat. Fig. 5. Î figura 5. este reprezetat u corp rigid (C) situat îtr-u sistem de referiţă fix O x y z. Corpului i se ataşează u reper propriu Oxyz, legat de corp. Poziţia rigidului este cuoscută dacă se dau poziţiile, faţă de reperul fix, a trei pucte A, A, A 3, aparţiâd acestuia. La râdul lui fiecare puct este defiit pri trei coordoate carteziee. Î total sut ouă parametri, dar umai şase sut idepedeţi, deoarece distaţele ditre pucte rămâ costate: ( x x) ( y y) ( z z) = d ( x 3 x ) ( y3 y ) ( z3 z ) = d ( x x ) ( y y ) ( z z ) = (5.) d3 8 3

2 Statica Rezultă că umărul gradelor de libertate ale uui solod rigid liber este şase. Î practică u se lucrează cu cele ouă coordoate, ître care există relaţiile (5.), ci se aleg coveabil cei şase parametri geometrici idepedeţi şi aume: - coordoatele x 0, y 0, z 0, ale uui puct O al rigidului şi - ughiurile lui Euler (Euler, Leohard, ) ψ, θ, φ sau cosiusurile directoare ale axelor reperului mobil Oxyz faţă de axele reperului fix O x y z. Ughiul ψ, umit ughi de precesie, este ughiul pe care axa odurilor ON îl face cu axa Ox, paralelă cu O x. Axa odurilor rezultă di itersecţia plaului mobil Oxyz cu plaul O x y, paralel cu plaul fix O x y. Ughiul θ, umit ughi de utaţie, este ughiul ditre axa Oz şi Oz, paralelă cu O z. Ughiul φ, umit ughi de rotaţie proprie, este ughiul ditre axa Ox şi axa odurilor ON. Cosiderâd că î poziţia iiţială reperul Oxyz este suprapus peste O x y z, poziţia fială di figură este atisă dâd corpului următoarele şase deplasări (mişcări simple): - trei deplasări liiare succesive î lugul axelor reperului fix, respectiv cu x 0, y 0, z 0, altfel spus obligâd corpul sa execute o mişcare de traslaţie petru ca puctul O sa ajugă î poziţia prescrisă; - o rotaţie cu ughiul ψ î jurul axei O z, paralelă cu O z ; - o rotaţie cu ughiul θ î jurul axei odurilor ON; - o rotaţie cu ughiul φ î jurul axei Oz. Notăm cu α,β,γ cosiusurile directoare ale axei Ox, cu α,β,γ cosiusurile directoare ale axei Oy şi cu α 3,β 3,γ 3, cosiusurile directoare ale axei Oz, î reperul fix. Ître aceastea subzistă relaţiile: daca i = j; i, j =,,3 αi α j + βi β j + γ i γ j = δij = (5.) 0 daca i j i, j =,,3 Cosiusurile directoare ale axelor reperului Oxyz î reperul fix O x y z se pot exprima î fucţie de ughiurile Euler: α = cψ cφ-sψ sφ cθ; α =-cψ sφ-sψ cφ cθ; α 3 = sψ sθ; β = sψ cφ+cψ sφ cθ; β =-sψ sφ+cψ cφ cθ; β 3 =-cψ sθ; (5.3) γ = sφ sθ; γ = cφ sθ; γ 3 = cθ; Fucţiile trigoometrice sius şi cosius au fost otate prescurtat cu s, respectiv c. Î cazul uei plăci aflate îtr-u pla (fig. 5.), poziţia sa faţă de u reper fix legat de pla este detremiată dacă se cuosc poziţiile a două pucte 8

3 5. Statica rigidului A si A, care la râdul lor sut caracterizate de patru coordoate carteziee ce respecta codiţia: ( x x ) ( y y ) ( z z ) = d (5.4) Fig. 5. Pri urmare o placă liberă aflată îtr-u pla are trei grade de libertate. Cei trei parametri idepedeţi care defiesc gradele de libertate ale plăcii pot fi: - coorodoatele x 0 şi y 0, ale uui puct O al plăcii î reperul fix şi - ughiul de rotaţie φ ditre axa Ox a reperului Oxy legat ivariabil de placă şi axa O x paralelă cu O x Ecuaţiile de echilibru ale solidului rigid liber Codiţia ecesară şi suficietă petru ca u solid rigid liber, asupra căruia acţioează u sistem de forţe oarecare (fig. 5.3), să fie î echilibru este ca torsorul sistemului de forţe î raport cu u puct O arbitrar ales să fie ul: R = 0; M O = 0 (5.5) Această afirmaţie este o coseciţă a aplicării teoremei de echivaleţă a două sisteme de forţe şi a pricipiului ierţiei. U sistem de forţe care îdeplieşte codiţiile (5.5) se umeşte vid. Î orice alt puct se face reducerea, aplicâd legea de variaţie a mometului rezultat la schimbarea polului de reducere, se ajuge tot la u torsor ul. Coform pricipiului ierţiei u torsor ul u are ici u efect asupra puctului î care este aplicat, deci toate puctele rigidului rămâ î echilibru şi evidet şi rigidul. 83

4 Statica Proiectâd ecuaţiile vectoriale (5.5) pe axele uui sistem de referiţă Oxyz se obţi ecuaţiile de echilibru scalare ale rigidului liber: Fig. 5.3 R x Fix = 0; R y Fiy = 0; R z Fiz = 0; M ( y F z F ) 0 x i iz i iy = ; My ( zifix xifiz ) = 0 ; M ( x F y F ) 0 z i iy i ix = (5.6) Cu ajutorul ecuaţiilor (5.6) pot fi rezolvate trei categorii de probleme: a) Se cuosc forţele care acţioează asupra rigidului şi se cere determiarea poziţiei de echilibru pri coordoatele geeralizate x 0, y 0, z 0, ψ, θ, φ; b) Se dă poziţia de echilibru şi se cer forţele care asigură această poziţie; c) Se cuoaşte parţial poziţia de echilibru şi parţial sistemul de forţe şi se cere determiarea completă a poziţiei de echilibru şi a sistemului de forţe. Daca umărul ecuoscutelor este şase atuci, î geeral, se obţi soluţii bie determiate. Î cazul forţelor paralele (fig. 5.4) şi coplaare (fig. 5.5) umărul ecuaţiilor scalare de echilibru este trei, celelalte trei fiid satisfăcute idetic: - petru figura 5.4, R x Fix = 0; - petru figura 5.5, M ( zifix ) 0 ; M z ( yifix ) = 0 y = 84 (5.7)

5 5. Statica rigidului R x Fix = 0; R y Fiy = 0; M ( x F y F ) 0 z i iy i ix = (5.8) Fig. 5.4 Fig Echilibrul solidului rigid supus la legături fară frecare Legăturile cu mediul îcojurător ale uui corp, î ses fizic, sut reprezetate de cotacte puctuale, liiare sau superficiale cu alte corpuri di mediul îcojurător. Ca urmare, corpul î cauză este supus aumitor restricţii de atură geometrică. Axioma legăturilor rămâe valabilă şi î cazul rigidului supus la legături, coform căreia: Orice legatură poate fi ilocuită cu forţe şi/sau cupluri de legatură (reacţiui) care reprezită echivaletul mecaic al legăturii. Sub acţiuea forţelor date şi a celor de legătură rigidul poate fi cosiderat liber şi tratat ca atare. Fie R şi M elemetele torsorului forţelor date care acţioează asupra rigidului şi R l şi O M lo elemetele torsorului de reducere, î acelaşi puct, al forţelor de legatură. Ecuaţiile vectoriale de echilibru ale rigidului supus la legături fără frecare, ţiâd seama de axioma legăturilor, sut: R + R = 0; M + M 0 (5.9) O O = la râdul lor echivalete cu şase ecuaţii de echilibru scalare: R M + R 0 ; R + R 0 ; R + R 0 x lx = x Mx = y ly = z lz = + 0 ; M + M 0 ; M + M 0 (5.0) y y = z z = 85

6 Statica Dacă îtr-o problemă de echilibru a uui rigid supus la legături fără frecare umărul total de ecuoscute scalare (reacţiui plus parametrii geometrici idepedeţi care determiă poziţia de echilibru) este şase atuci, î geeral, sistemul (5.0) are soluţie bie determiată. Cele mai îtâlite legături fără frecare ale solidului rigid sut: reazemul simplu, cupla sferă-curbă, cupla cilidru-pla, cupla pla-pla, articulaţia sferică, cupla cilidrică, cupla de rotaţie, cupla prismatică, îcastrarea, legătura pri fir şi pri bară articulată la amâdouă capetele Legăturile fără frecare ale rigidului Reazemul simplu Dacă u puct al uui corp (C) este obligat să rămâă pe o suprafaţă fixă îi ideformabilă, legătura se umeşte reazem simplu sau simplă rezemare. Fig. 5.6 Î figura 5.6 este reprezetat u corp (C) al cărui puct O rămâe pe suprafaţa de ecuaţie: f (x, y, z ) = 0 (5.a) Legătura suprimă rigidului u grad de libertate petru că, di cei şase parametri care determiă poziţia rigidului, trei (şi aume coordoatele puctului O) trebuie să verifice ecuaţia suprafeţei: 86

7 f 0 5. Statica rigidului (x0, y0,z ) = 0 (5.b) Cei cici parametri idepedeţi care defiesc gradele de libertate ale rigidului vor fi coordoatele curbiliii u 0 şi w 0 ale puctului O pe suprafaţă şi ughiurile lui Euler ψ, θ, φ. Legătura u permite deplasarea rigidului de-a lugul ormalei la suprafaţă î puctul de cotact, forţa de legătură fiid plasată pe această ormală: f f f R = N = λ f = λ i + j + k (5.) x y z Deci legătura itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare o sigură ecuoscută: valoarea reacţiuii ormale sau parametrului λ. I figura 5.7 este prezetat u caz cocret de legatură de acest ge, umită cuplă sferă-suprafaţă, la care o sferă aparţiâd corpului (C) se sprijiă pe o suprafaţă fixă. Legatura fucţioează umai îtr-u ses şi de aceea se umeşte uilaterală. O legatură bilaterală sferă-suprafaţă este prezetată î figura 5.8. Fig. 5.7 Fig Cupla sferă-curbă Cupla sau legătura sferă-curbă este costituită ditr-o sferă care aparţie rigidului obligată să rămâă î iteriorul uui tub rectiliiu sau curbiliiu de acelaşi diametru (fig 5.9). Cetru sferei O se află î permaeţă pe axa tubului, adică pe o curbă de ecuaţii: f = (x, y,z ) = 0; f (x, y,z ) 0 (5.3) 87

8 Statica Legătura suprimă corpului două grade de libertate îtrucât coordoatele puctului O trebuie sa verifice ecuaţiile curbei: f (x0, y0,z0 ) = 0; f (x 0, y0, z 0 ) = 0 (5.4) (Γ) Fig. 5.9 Pri urmare rigidul (C) are patru grade de libertate, poziţia sa fiid defiită de patru parametri geometrici idepedeţi: coordoata curbiliie u a puctului O pe curba fixă (Γ) şi ughiurile lui Euler ψ, θ, φ. Această legatură u permite deplasarea rigidului i plaul ormal la curbă. Ca urmare reacţiuea este coţiută î plaul ormal şi petru a fi determiată trebuie cuoscute proiecţiile sale pe doua direcţii di plaul ormal, defiit de ormala pricipală şi biormală sau de cei doi vectori ormali la cele două suprafeţe di itersecţia cărora rezultă curba. Legatura sfera-curbă itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare două ecuoscute: proiecţiile N ν şi N β ale reacţiuii pe ormala pricipală şi pe biormală, sau parametrii λ si λ di expresia: R = N = λ f f = λ i x + λ f f + y Cupla cilidru-pla j = f + z k + λ f x i f + y j f + z k (5.5) Acest tip de legatură este prezetat î figurile 5.0 (legatură uilaterală) şi 5. (legatură bilaterală). Cotactul ditre corpul (C) şi plaul de spriji se 88

9 5. Statica rigidului realizează după u segmet de dreaptă reprezetat î acest caz de geeratoarea cilidrului. Fig. 5.0 Fig. 5. Forţele de legatură distribuite pe geeratoarea de cotact, ormale pe pla şi pe clilidru, se reduc îtr-u puct O al axei cilidrului (cetrul cuplei) la u torsor format di doi vectori perpediculari: R = Rz = N = k dx ; M O = My = xi k dx (5.6) A Î raport cu puctele axei cetrale, situată la distaţa d = M ly / R lz faţă de O, forţele de legatură se reduc la o rezultată uică R =R z. Legătura itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare două ecuoscute: R z şi M y sau R z şi d. Ea u permite deplasarea rigidului de-a lugul ormalei la pla (axa Oz) şi rotaţia î jurul axei Oy (perpediculara pe axa cilidrului şi pe ormala la pla). Deci, cupla clilidru-pla suprimă rigidului două grade de libertate corespuzatoare mişcărilor simple iterzise, rigidului rămââdu-i patru grade de libertate corespuzatoare celor patru mişcări simple permise, două deplasări liiare î plaul xoy şi două deplasări ughiulare î jurul axelor Ox şi Oz Cupla pla-pla Acest tip de legătură obligă u pla al rigidului să rămâa î cotact cu u alt pla. Schiţa uei legături pla-pla uilaterale este redată î figura 5., iar a ueia bilaterale î figura 5.3. Legătura suprimă rigidului deplasarea î lugul ormalei comue Oz la cele două plae şi rotaţiile î jurul celorlalte două axe Ox şi Oy di plaul paralel cu plaul fix, ceea ce justifica plasarea î schiţe a vectorului rezultat şi a compoetelor mometului rezultat ale forţelor de legătură. Deci, legatura pla-pla suprimă rigidului trei grade de libertate şi îi permite tot trei grade de libertate: doua traslaţii liiare î plaul xoy şi o rotatie î jurul axei Oz. A 89

10 Statica Fig. 5. Fig. 5.3 Îtrucât vectorii: R = R z şi M O = Mx + My, reprezetâd elemetele torsorului de reducere al forţelor de legatură, sut perpediculari, aceste forţe se reduc î raport cu axa cetrală la o rezultată uică R = R z. Axa cetrala itersectează plaul xoy î puctul P 0 de coordoate x 0 = a = -M y / R z şi y 0 = b = M x / R z. O cupla pla-pla itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare trei ecuoscute: R z, M x şi M y, sau R z, a şi b Articulaţia sferică Fig

11 5. Statica rigidului Articulaţia (cupla) sferică (fig. 5.4) obligă u puct O al rigidului să rămâa îtr-o poziţie dată (fixă). Alegâd coveabil sistemele de referiţă, coordoatele puctului O vor fi: x 0 =0, y 0 =0, z 0 =0. Legătura suprimă corpului trei grade de libertate, iterzicâd deplasările liiare î lugul celor trei axe de coordoate şi permite rotaţiile î jurul aceloraşi axe. Poziţia rigidului este determiată de ughiurile lui Euler ψ, θ, φ. Î ecuaţiile de echilibru scalare sut itroduse ca ecuoscute proiecţiile reacţiuii pe axele reperului Oxyz: R x =H, R y =V, R z =W. Deoarece forţele de legatură distribuite pe suprafaţa sferei sut ormale pe aceasta şi cocurete î O, mometul lor faţa de acest puct este ul Cupla cilidrică u φ φ Fig. 5.5 Această legatura umită şi cuplă de rototraslaţie (fig. 5.5) obligă u segmet de dreaptă al rigidului să-şi păstreze suprotul fix. Alegâd sistemele de referiţă ca î figură, cupla permite rigidului deplasările liiară u şi ughiulară φ î lugul şi î jurul axei Oz, umită şi axa cuplei. Ca urmare rigidul are două grade de libertate. Corpului îi sut iterzise traslaţiile liiare şi rotaţiile î lugul, respectiv î jurul axelor Ox şi Oy. Poziţia rigidului este defiita de deplasarile liiară (u) şi ughiulară φ. Cupla itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare patru ecuoscute: proiecţiile pe axele Ox şi Oy ale vectorului rezultat şi ale mometului rezultat: R x, R y, M x, M y Cupla de rotaţie Cupla de rotaţie obligă două pucte ale rigidului să-şi păstreze poziţia fixă. Cele două pucte determiă o axă umită axă de rotaţie. O astfel de legatură este prezetată î figura 5.6. Ea permite rigidului o sigură mişcare, 9

12 Statica cea de rotaţie î jurul axei fixe Oz, coferidu-i acestuia u sigur grad de libertate. Poziţia corpului este defiită de ughiul de rotaţie φ. φ Fig. 5.6 Sut iterzise deplasările liiare î lugul celor trei axe ale sistemului de referiţă şi rotatiile î jurul axelor Ox şi Oy, perpediculare pe axa de roataţie, fapt ce justifică plasarea compoetelor carteziee ale torsorului de reducere al forţelor de legatură R x, R y, R z, M x, M y, compoete ce urmează a fi determiate di ecuaţiile de echilibru scalare. (C) Fig. 5.7 Daca forţele exterioare date sut toate situate î plaul xoy, ormal pe axa cuplei î cetrul cuplei, legătura se umeşte articulaţie plaă (fig. 5.7). Fortele F i, (,,, ), tid să deplaseze bara (C) î lugul axelor Ox şi Oy şi s-o rotească î jurul axei Oz. Articulaţia O se opue deplasării barei î lugul celor două axe pri compoetele R x şi R ly ale reacţiuii dar u iflueţează cu imic, î ipoteza eglijării frecării, rotaţia î jurul axei cuplei (Oz). O articulaţie plaă itroduce î ecuaţiile de echilibru scalare două ecuoscute R x =H şi 9

13 5. Statica rigidului R y =V, sau valoarea R a reacţiuii şi ughiul α pe care reacţiuea îl face cu o direcţie fixă (de exemplu Ox ) Cupla prismatică (C) Fig. 5.8 Modelul fizic al uei cuple prismatice sau de traslaţie este redat î figura 5.8. Teoretic, două drepte paralele ale corpului îşi păstrează suporturile fixe. Legătura suprimă corpului cici grade de libertate, fiid posibilă doar deplasarea liiară î lugul axei Oz a cuplei. Ca urmare rigidul are u sigur grad de libertate defiit de deplasarea axială u. Cupla de traslaţie iterzice deplasările corpului î lugul axelor Ox şi Oy precum şi rotaţiile î jurul celor trei axe ceea ce justifică plasarea celor cici compoete carteziee ale reacţiuii: R x, R y, M x, M y, M z, compoete ce urmează a fi obţiute di ecuaţiile de echilibru. (C) Fig

14 Statica Daca forţele exterioare date sut situate î plaul xoy, ca î figura 5.9, legatura se umeşte cuplă de traslaţie plaă. Şi î acest caz bara (C) are u sigur grad de libertate defiit pri deplasarea axiala u. Legătura, de data aceasta, itroduce î ecuaţiile de echilibru umai două ecuoscute R y şi M lx. Deoarece triomul ivariat este ul, sistemul forţelor de legătură se reduce î raport cu puctele axei cetrale la o rezultată uică. Axa cetrala este paralelă cu axa Oy şi itersectează axa Oz î puctul P O de coordoate x O =0, y O =0, z O = -M lx / R y Icastrarea Dacă u capat al uei bare este fixat îtr-u zid sau î alt corp pri sudură, betoare, şuruburi, sau alt sistem de fixare, legătura la care este supusă bara î capătul respectiv se umeşte îcastrare (fig. 5.0). O îcastrare suprimă corpului toate posibilităţile de mişcare (umărul gradelor de libertate este zero). Legătura se opue deplasărilor liiare şi rotaţiilor î lugul şi î jurul celor trei axe ale sistemului de coordoate Oxyz pri compoetele carteziee ale elemetelor torsorului de reducere al forţelor de legatură: R x, R y, R z, M x, M y, M z, compoete ce se determiă di cele şase ecuaţii de echilibru scalare. (C) Fig. 5.0 Î figura 5. este prezetată o îcastrare plaă a barei (C), solicitată de u sistem de forţe exterioare date situate î plaul xoy. Îcastrarea plaa se opue deplasărilor barei î lugul axelor Ox şi Oy pri compoetele carteziee R x =H, R y =V ale vectorului rezultat al forţelor de legatură şi rotaţiei barei î jurul axei Oz pri mometul M O =M z al aceloraşi forţe. Î cele trei ecuaţii de echilibru scalare specifice sistemelor de forte coplaare apar cele trei ecuoscute: R x, R y, M z. 94

15 5. Statica rigidului Fig Legătura pri fir şi pri bară dublu articulată Legătura pri fir (fig. 5.), cosiderat perfect flexibil şi iextesibil, sau bară cu greutate eglijabilă articulată la ambele capete (fig. 5.3), iterzice corpului deplasarea pe direcţia firului itis, respectiv pe directia barei. Ca si simpla rezemare, acest tip de legatură, suprimă corpului u sigur grad de libertate. Fig. 5. Fig. 5.3 Î fir ia aştere o forţă de legatură deumită tesiue avâd puctul de aplicaţie î puctul î care este legat firul de rigid şi suportul dreapta după care este itis firul, sesul fiid de la rigid către puctul de acorare al firului. Legătura pri fir este o legătură uilaterală deoarece fucţioează umai dacă firul este itis. Forţa de legătură corespuzatoare barei articulate la amâdouă capetele, deumită efort, are direcţia barei iar sesul depide de acţiuea forţelor exterioare. Legătura pri bară dublu articulată este bilaterală deoarece bara poate fi atât itisă cât şi comprimată. 95

16 Statica 5.4. ECHILIBRUL SOLIDULUI RIGID SUPUS LA LEGĂTURI CU FRECARE Geeralităţi privid frecările. Codiţii de echilibru a b c Fig. 5.4 Se cosideră î figura 5.4a u corp (C) care se sprijiă pe u alt corp fix (C ), teoretic îtr-u sigur puct O, practic, datorită deformării corpurilor, pe o aumita suprafaţa, deumită suprafată de cotact. Asupra corpului (C) acţioeaza u sistem de forţe date F i, (,,, ), al cărui torsor de reducere î O este format di vectorul rezultat R şi mometul rezultat M O. Practic, se costată că rigidul (C) rămâe î echilibru. Îseamaă că forţele de legătură care apar î puctele suprafeţei de cotact se reduc î acelaşi puct O la u torsor, format di vectorul rezultat R şi mometul rezultat M lo, care echilibrează torsorul forţelor date (fig. 5.4b): R + R = 0 ; M + M 0 (5.7) O O = Petru a stabili codiţiile de echilibru ale corpului (C), supus la legături cu frecare, se descompu vectorii di ecuaţiile (5.7) î compoete după ormala la suprafaţa de cotact şi plaul taget la aceasta î puctul teoretic de cotact (fig 5.4c): 96

17 5. Statica rigidului R = P + F ; R = N + T ; M O = M + M t ; M O = Mp + M r (5.8) Tiâd seama de (5.7) rezultă: P + N = 0; F + T = 0 ; M M = 0 ; M + M 0 (5.9) + p t r = Compoeta P tide să deplaseze corpul (C) iteriorul corpului (C ), mişcare umită de strapugere. Acestei tediţe i se opue reacţiuea ormala N, egală î modul şi direct opusă compoetei P. Compoeta F tide să deplaseze corpul (C) î plaul taget la suprafaţa de cotact, mişcare umită de aluecare. Se opue acestei tediţe compoeta T a vectorului rezultat al forţelor de legătură, umita forţă de frecare de aluecare. Experimetal se demostrează că aluecarea u se produce atâta timp cât forţa de frecare u depaşeşte o valoare maximă egală cu produsul ditre coeficietul frecării de aluecare şi reacţiuea ormală: T µn (5.0) Compoeta M a mometului rezultat al forţelor exterioare date are tediţa sa rotească rigidul î jurul ormalei, î puctul teoretic de cotact, la suprafaţa de cotact, mişcare umită de pivotare. Tediţei de pivotare a corpului i se opue compoeta M a mometului forţelor de legătura, p deumită momet al frecării de pivotare. Corpul u pivoteaza dacă mometul frecării de pivotare este mai mic sau cel mult egal cu mometul maxim al frecarii de pivotare, egal la râdul lui cu produsul ditre coeficietul frecării de pivotare şi reacţiuea ormala: M p νn (5.) Compoeta M t a mometului rezultat al forţelor exterioare date tide sa rotească rigidul î jurul uei tagete di plaul taget, î puctul teoretic de cotact la suprafaţa de cotact, mişcare umită de rostogolire. Tediţei de rostogolire a corpului se opue compoeta M r a mometului forţelor de legatură, deumită momet al frecării de rostogolire. Corpul u se rostogoleşte dacă mometul frecării de rostogolire u depaşeşte mometul maxim al frecării de rostogolire, care este egal cu produsul ditre coeficietul frecării de rostogolire şi tiuea ormală: M r sn (5.) 97

18 Statica Dacă sut îdepliite codiţiile (5.0), (5.) si (5.) corpul rămâe î echilibru, adică u aluecă u pivotează şi u se rostogoleşte Frecarea de aluecare Î figura 5.5 este reprezetat u corp (C) simplu rezemat î puctele A, A,, A şi se presupue ca î aceste pucte u itervi decât frecari de aluecare. Petru ca rigidul să rămâa î echilibru, pe lâga ecuaţiile (5.7), trebuie sa mai fie îdepliite codiţiile: T µ N ; T µ N ; ; T p µ pn p (5.3) Se obţie u sistem mixt de şase ecuaţii şi p iecuaţii destul de dificil de rezolvat deoarece tediţa de mişcare a corpului este greu de ituit şi î coseciţă şi sesurile forţelor de frecare. Problema se simplifică dacă iecuaţiile (5.3) se trasformă î egalităţi, dar î acest caz se pot pierde multe soluţii. Drept exemplu se dă problema uei scări omogee A A (fig 5.6a) de lugime l şi greutate G rezemată cu frecare î A pe u pla orizotal şi î A pe u perete Fig. 5.5 vertical, coeficietii de frecare la aluecare fiid µ si respectiv µ. Î capatul A al scării se găseşte u om cu greutatea P. Se cere determiarea valorii ughiului α petru care scara rămâe î echilibru. a Fig b

19 5. Statica rigidului Rezolvare: ) Se redeseează scara şi se alege u sistem de referiţă Oxy (fig. 5.6b); ) Pe lâgă forţele date G si P se reprezită, î puctele A si A, reacţiuile N, N şi forţele de frecare T şi T ţiâd seama de tediţele de mişcare ale celor doua pucte; 3) Se scriu cele trei ecuaţii scalare de echilibru (două de proiecţii şi ua de momete) îsoţite de codiţiile de ealuecare î cele două pucte: T + N = 0 ; G P + N + T = 0 ; l N lcos α N lsi α G cos α = 0 (5.4) T µ N ; T µ N (5.5) U astfel de sistem fiid greu de rezolvat se va cosidera situaţia echilibrului la limită: T = µ N; T = µ N (5.6) obţiâdu-se î acest caz valoarea miimă a ughiului α petru care îcă se mai realizează echilibrul scării. Dispuem astfel de u sistem de cici ecuaţii cu cici ecuoscute: α, N, N, T, T. Rezolvâdu-l aflăm compoetele reacţiuilor şi tageta ughiului α mi : P ( µ µ ) + tgα = G mi (5.7) P µ + G Petru ca scara sa u aluece trebuie ca: α arctg ( µ µ ) µ + + P G P G (5.8) Cocret, petru µ = µ =0.5 si P/G=3 rezultă, α=59,35. 99

20 Statica Frecarea de rostogolire Petru puerea î evideţă a mometului frecării de rostogolire se cosideră cazul cocret al uei roţi trase aflate pe u pla orizotal (fig. 5.4a). Î axul roţii de rază r acţioează forţa verticală G şi forţa de tracţiue F. a b c Fig. 5.7 Presupuâd ca rezemarea are loc îtr-u sigur puct (fig. 5.7a) ecuaţiile de echilibru: F T = 0 ; N G = 0 ; F r = 0 (5.9) coduc la rezultatul F=0, care cotrazice realitatea. Roata rămâe î repaus, şi dacă asupra ei acţioeaza o forţă F a cărei valoare u depaşeşte îsa o aumită limită. Acest paradox poate fi ilăturat dacă se ţie seama de faptul că fie calea de rulare, fie roata, sau amâdouă se deformează şi cotactul are loc pe o aumită suprafaţă pe care apar reacţiui distribuite ormale şi tageţiale t. Deoarece, î geeral, ughiul la cetru corespuzător arcului de cotact este mic putem cosidera ca suportul rezultatei N a reacţiuilor ormale este perpedicular pe pla şi situat la distaţa e de puctul teoretic de cotact A, iar suportul rezultatei T a reacţiuilor tageţiale t este paralel cu plaul şi trece pri puctul teoretic de cotact A (fig 5.7b). Se reduce reacţiuea ormala N î puctul A la acelaşi vector N şi u cuplu de momet M r = Ne deumit momet al frecării de rostogolire (fig. 5.7c). Ecuaţiile de echilibru ale roţii, î această situaţie sut: 00

21 5. Statica rigidului F T = 0; N G = 0 ; M r F r = 0 (5.30) de ude rezultă: N = G ; M r = Fr ; T = F (5.3) Echilibrul are loc petru valori limitate ale modulului forţei de tracţiue: F F max (5.3) Îmulţim (5.3) cu r şi dacă tiem seama de relaţia a doua di (5.3) obţiem codiţia: M r M r max (5.33) ude s-a otat M rmax = F max r. Deoarece M r = Ne şi N = G = costat, codiţia (5.33) poate fi pusă sub forma: M r = Ne max (5.34) care cu otaţia e max =s, s fiid umit coeficiet al frecării de rostogolire, devie: M r Ns (5.35) Deducem ca s reprezită distaţa maximă la care poate fi deplasat paralel cu el îsuşi suportul reacţiuii ormale N faţă de puctul teoretic de cotact, la care roata îcă u se rostogoleşte. Petru a fi asigurat echilibrul şi la aluecare trebuie îdepliită şi codiţia : T µ N (5.36) Este importat de reţiut că î problemele de echilibru ude apar tediţe de rostogolire trebuie impuse ambele iegalităţi, (5.35) şi (5.36) Frecarea de pivotare Studiem feomeul frecării de pivotare î cazul uui arbore vertical ce se sprijiă îtr-u lagăr pe o suprafaţă orizotală avâd forma uei coroae circulare cu razele r şi r (fig. 5.8). Î axul arborelui acţioează forţa P şi u cuplu de momet M. Vom presupue că presiuea p şi coeficietul frecării de 0

22 Statica aluecare µ sut aceleaşi î toate puctele suprafeţei de cotact. Se doreşte aflarea mometului maxim al frecarii de pivotare M pmax şi a coeficietului de pivotare ν. Reacţiuea ormală pe uitatea de suprafaţă este egală cu presiuea: P N = p = (5.37) π = ( r r ) π( r ) r Asupra uei arii elemetare (î coordoate polare) da = rdϕdr de coroaă circulară a capătului arborelui acţioează o reacţiue elemetară ormala dn a cărei valoare este egală cu produsul ditre presiue si aria elemetară N dn = pda = r dϕdr (5.38) π ( r r ) şi o forţă de frecare elemetară dt, Fig 5.8 tagetă la cercul de raza r (r r r ), şi dirijată î ses ivers tediţei de pivotare, a cărei valoare la limita echilibrului este egală cu produsul ditre coeficietul frecarii de aluecare µ şi reacţiuea elemetară dn: N dt = µ dn = µ r dϕdr (5.39) π ( r r ) Mometul dat de forţa elemetară de frecare î raport cu cetrul coroaei circulare este: dm p max = r dt (5.40) Mometul frecării de pivotare maxim va fi egal cu suma acestor momete elemetare: M p max N = r dt = µ r dr dϕ = π (S) ( r r ) r r π 0 r µ 3 r 3 r r 3 N (5.4) 0

23 5. Statica rigidului Arborele u va pivota dacă M p M pmax, adică M p νn. Este evidetă expresia coeficietului frecării de pivotare: 3 3 r r ν = µ (5.4) 3 r r Dacă sprijiirea se face pe o suprafaţă circulară cu raza r, făcâd î (5.4) r = r şi r =0, obţiem: M p max µ = rn şi ν = µ r 3 3 (5.43) Frecarea î articulaţii şi î lagăre Î tehică se itâlesc adesea cazuri complexe de frecare cum sut frecările di articulatii şi lagăre. Osiile sau arborii pe care sut fixate roţile maşiilor se sprijiă pri itermediul fusurilor pe articulaţii care permit rotaţia, deumite lagăre. Petru îtârzierea uzurii, lagărele sut prevăzute cu piese ielare care-l imbracă î iterior deumite cuzieţi. Se va studia umai frecarea uscată, utilizarea lubrifiaţilor schimbâd eseţial problema. După extiderea suprafeţei de cotact ditre cuzietul lagărului şi fus, lagărul poate fi cosiderat estrâs (cu jos) sau strâs (fără joc). a) Cazul lagărului cu joc Dacă lagărul u este strâs, cotactul ditre fus şi lagăr poate fi cosiderat îtr-u sigur puct A (fig. 5.9). Fig

24 Statica Torsorul forţelor exterioare î puctul O este costituit di mometul motor M O care acţioeaza î lugul axului arborelui şi vectorul rezultat R situat îtr-u pla perpedicular pe axul arborelui. Vom ota cu r raza fusului şi cu A puctul teoretic de cotact. Î puctul A are loc u feome de aluecare şi de rostogolire. Forţele de legătură se reduc î puctul A la reacţiuea ormală N, forta de frecare T şi mometul frecarii de rostogolire M r. Î acest caz ecuaţiile şi iecuaţiile de echilibru sut: T R si α = 0 ; N R cos α = 0 ; M M + Rr si α 0 ; (5.44) Di (5.44) deducem: r O = T µ N ; M r sn (5.45) T = R si α ; N = R cos α ; M r = M O + R r si α (5.46) pe care le itroducem î (5.45) şi obţiem codiţiile de echilibru: s M O R r si α + cos α ; tg α µ (5.47) r La limita echilibrului privid aluecarea: tg α = µ ; µ si α = ; + µ µ cos α = (5.48) + µ şi prima formulă di (5.47) devie: s µ + M r O + µ rr (5.49) Dacă se otează cu: s µ + µ r f = + µ, (5.50) coeficietul frecării î lagăr, codiţia (5.49) devie: M r R (5.5) O µ f 04

25 5. Statica rigidului Î puctul O forţele de legătură se reduc la mometul frecării î lagăr M f, egal î modul şi direct opus mometului motor M O şi la reacţiuea R, egală î modul şi direct opusă vectorului rezultat R al forţelor exterioare. Îlocuid î (5.5) modulul mometului motor M O cu modulul mometului frecării î lagăr M f şi modulul vectorului rezultat al forţelor date R cu modulul reactiuii R, obţiem codiţia de echilibru sub forma: M µ rr (5.5) f f Modulul reacţiuii se determiă cu ajutorul compoetelor carteziee. Astfel, î cazul uei articulaţii plae sferice H + V W R = +. b) Cazul lagărului fără joc H V R = +, iar î cazul uei cuple Î acest caz cotactul ditre fus şi lagăr se face practic pe o suprafaţă cilidrică. Îtr-u puct oarecare de cotact apare o reacţiue ormală N şi o forţă de frecare T i (fig. 5.30). Mometul frecării î lagăr este egal cu suma mometelor forţelor de frecare î raport cu puctul O. i La limita echilibrului câd frecării i lagar: f max = Ti r = Fig 5.30 T = µ N obţiem mometul maxim al N i M µ Ni r = µ r Ni = µ r R = µ R i 05 i f r R (5.53)

26 Statica S-a otat cu R, reacţiuea di lagăr calculată î ipoteza că u există frecare şi cu µ f coeficietul de frecare î lagăr: Ni µ f = µ R (5.54) Se observă ca acest coeficiet depide de legea de variaţie a reacţiuilor ormale N i pe suprafaţa de cotact ditre fus şi lagăr. Şi î acest caz petru echilibru este ecesar ca mometul frecării î lagăr să respecte codiţia: f M µ r R (5.55) Rezultatele obţiute mai sus sut acceptabile umai calitativ, coeficieţii de frecare µ f determiâdu-se experimetal. f 06