Micii Matematicieni (Online) - ISSN

Transcription

1 Micii Matematiciei (Olie) - ISSN

2

3 Acela-i matematicia petru care egalitatea evidetă ca " = 4 ". e d este W. Thompso (lord Kelvi) Micii MATEMATICIENI Revista elevilor di Hârlău Fodată î aul 7 Aul IX, r. 9, martie 5

4 REDACŢIA REVISTEI REDACTOR ŞEF: IOAN SǍCǍLEANU MEMBRII REDACŢIEI: AUREL NEICU GHEORGHE OANCEA BOGDAN DORNEANU RAMONA DARIE IULIANA BLANARU IONELA SIMIONESCU ADRESA REDACŢIEI: COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLǍU STR. MIHAI EMINESCU, NR. 5 TELFAX: 79 WEB: ADRESELE DE L: miciimatematiciei@yahoo.com cicisme68@yahoo.com aeicu@gmail.com TEHNOREDACTARE: IOAN SǍCǍLEANU ILUSTRAŢIA COPERTEI: RAMONA DARIE SPONSORII REVISTEI: ASOCIAŢIA PǍRINŢILOR ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLǍU PRIMǍRIA ORAŞULUI HÂRLǍU S. C. COTNARI S.A. S. C. BEST COLOR S.R.L. C.M.I. DOCTOR STELA TATIANA NEICU S.C. REZIDENT HOUSE S.R.L., HÂRLĂU RESTAURANT ŢǍPUŞǍ ISSN 844 5X

5 ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE DESPRE ÎNCEPUTURILE BIOMATEMATICII RADU PRECUP ) Tot ce e gâdire corectă este sau matematică sau susceptibil de matematizare. (Grigore Moisil, matematicia, 96-97) Î fiecare ştiiţă este umai atâta ştiiţă adevărată, câtă matematică coţie. (Immauel Kat, filozof, 74-84) Putem iubi matematica petru frumuseţea sa abstractă golită de orice coţiut cocret, petru desfăşurarea logică a raţioametului ei care poate coduce de la o premiză A la o cocluzie B, de foarte multe ori surprizătoare, eaşteptată. Dar e poate plăcea matematica şi datorită modului său surprizător pri care se mulează asupra uor procese reale de atură fizică, chimică, biologică, ecoomică, sociologică etc. făcâdu-le descrierea şi îţelegerea mai eacte şi permiţâd cotrolul lor ştiiţific. Ne poate plăcea aşadar matematica pură, sau e poate place matematica aplicată. Cele două matematici u sut disjucte ci se itersectează şi se stimulează reciproc. Să e amitim de faptul că bazele calculului difereţial şi itegral datorate lui Leibiz (646-76) şi Newto (64-77) au fost puse tocmai petru a descrie î termei riguroşi cocepte precum viteza şi acceleraţia proveite di fizică. Astfel, dacă t reprezită o aumită catitate la mometul t, atuci t reprezită t t t limita câd t a raportului eprimă variaţia catităţii pe uitatea de timp, t t la mometul t. Dacă î matematica pură, reprezită o fucţie, fiid golit de orice coţiut real, î matematica aplicată dobâdeşte coţiut putâd fi de la caz la caz: poziţia uui corp î mişcare (fizică); desitatea uei substaţe chimice (chimie); mărimea producţiei uui aumit tip de marfă (ecoomie); mărimea desitatea uei populaţii ditr-o aumită specie, desitatea celulelor de u aumit tip ditr-u orgaism (biologie) ş.a. Atuci câd coceptelor matematice abstracte li se coferă u coţiut real, iar rezultatele matematice abstracte primesc iterpretări specifice se realizează trecerea dispre matematica pură spre matematica aplicată. Posibilitatea utilizării calculului difereţial şi itegral petru descrierea uor realităţi biologice a fost remarcată îcă de la îceputurile dezvoltării aalizei matematice. Petru a eplica aceasta, să cosiderăm o specie al cărei umăr de idivizi la mometul t este otat cu pt. Fie t, p şi mt, p umărul idivizilor care se asc, respectiv mor î itervalul uitar de timp t, t. Dacă acceptăm faptul că pe u iterval scurt de timp t, t h creşterea populaţiei este uiformă, atuci

6 putem afirma că variaţia populaţiei î itervalul t, t h, adică pt h pt este egală cu difereţa ditre aşterele şi decesele îregistrate î acest timp, adică cu t, pmt, p h. Atuci p t h p t t, h mt, h. h Făcâd h obţiem forma geerală a ecuaţiei care modelează procesul de creştere a uei populaţii p t t, p m t, p. Di aceasta se obţi legi de creştere, dacă sut precizaţi termeii t, p şi mt, p, sau umai difereţa lor t, p mt, p. Aşa de eemplu, dacă cosiderăm că aşterele şi decesele sut direct proporţioale cu populaţia, adică t, p a pt şi mt, p b pt, atuci obţiem ecuaţia lui Mathus (766-84) de creştere a uei populaţii. p r p, ude r a b. Costata a este rata de aşterii per capita, b este rata mortalităţii per capita, iar r este rata creşterii per capita. Soluţia acestei ecuaţii, care satisface codiţia iiţială pt p, este fucţia epoeţială rt p t p e t. Este clar că dacă a b (adică r ), atuci populaţia creşte epoeţial la ifiit; dacă a b, atuci populaţia descreşte epoeţial la zero (populaţia tide să dispară); iar dacă a b, atuci populaţia este costată. Este acceptat faptul că legea lui Mathus oferă o estimare corectă a creşterii uei populaţii pe u iterval mărgiit (scurt) de timp. Pe terme lug îsă, creşterea este de cele mai multe ori îcetiită şi î aumite codiţii are loc chiar descreştere. Aşadar ecuaţia lui Mathus trebuie modificată petru a o pue î acord cu realitatea. Astfel, Verhulst (84-849) a propus să se cosidere epresia t, p mt, p ca fiid o fucţie pătratică de p, adică a propus ecuaţia de creştere. p p r p K, ude r, K sut costate pozitive. Remarcăm că această ecuaţie ia î seamă, pri itermediul rp termeului, efectul ihibator al aglomerării. De asemeea, cât timp p este sub pragul K, K membrul drept este pozitiv (adică p ) şi deci populaţia creşte, iar cât timp p este peste pragul K, avem p şi deci populaţia descreşte. Aşadar avem de a face cu efectul de auto-limitare a creşterii. Ecuaţia lui Verhulst itervie şi î alte domeii şi este cuoscută şi sub deumirea de ecuaţia logistică. Dezvoltarea biomatematicii modere îcepe îsă cu Vito Volterra (86-94). Acestuia i se datorează modelul pradă-prădător, cuoscut şi sub umele de sistemul Lotka-Volterra, ce descrie diamica a două specii î iteracţiue, o specie pradă şi o alta prădătoare. Volterra a codus la elaborarea acestui model matematic ca urmare a discuţiilor purtate î jurul aului 95 cu biologul

7 mari Umberto d Acoa 4.. Acesta îi cere o eplicaţie matematică a faptului că la reluarea pescuitului î Marea Mediteraă, după primul război modial, poderea speciilor răpitoare î captura totală de peşte era mai mare decât fusese îaite de război. Iată cum eplică Volterra acest fapt. Fie t populaţia pradă şi yt populaţia prădătoare, la mometul t. Dacă u eistă prădători, diamica populaţiei pradă este descrisă de legea lui Mathus, ude r şi are o creştere r epoeţială. Aalog, î abseţa prăzii, populaţia prădătoare eavâd hraă descreşte epoeţial după legea y r y, ude r. Iteracţiuile ditre cele două specii se vor reflecta î ecuaţii pri termei care cotribuie la descreşterea primei specii şi respectiv la creşterea celei de a doua. Putem accepta că rata per capita de creştere a speciei pradă se dimiuează proporţioal cu umărul răpitorilor, deci r a y, ude factorul de proporţioalitate a este pozitiv. Aalog, rata per capita de descreştere a populaţiei răpitoare se ameliorează proporţioal cu prada, adică y r a y, ude a. Astfel se obţie sistemul Lotka-Volterra ca cel mai simplu model petru diamica pradă-prădător: r a y. y y r a Î acest sistem, toate costatele a, a, r, r sut pozitive. Folosid prima ecuaţie a sistemului, să r observăm că atât timp cât răpitorii sut î umăr mai mic decât a, avem, adică populaţia r pradă creşte. Pe perioadele de timp cât y depăşeşte valoarea de prag a, avem, adică o descreştere a populaţiei pradă. Observaţii similare se pot face asupra tediţei de creştere descreştere a populaţiei răpitoare, dacă se foloseşte cea de a doua ecuaţie di sistem. Modelul poate fi modificat petru a lua î seamă o serie de alţi factori cum ar fi migraţia, vâătoarea sau pescuitul. Astfel, î cazul că reprezită populaţia de peşte pradă, y populaţia de peşte răpitor şi se cosideră că pri pescuit se dimiuează ratele de creştere şi y proporţioal cu cele două populaţii, se ajuge la sistemul de ecuaţii r a yec, y yr a ec y ude factorul de proporţioalitate e ( e ) semifică itesitatea activităţii de pescuit, iar factorii c, c reprezită poderile specifice de capturare ale celor două specii. Factorul e este cu atât mai mare cu cât pescuitul este mai ites şi este ul î abseţa acestuia. Porid de la costatarea tediţei proceselor di atură de a se echilibra î timp scurt, adică de a ajuge la o evoluţie costată, ivariată î timp, putem presupue că starea de echilibru este prezetă la mometul reîceperii pescuitului. Atuci, derivatele, ai ecuaţiilor se obţie sistemul algebric r a yec yr a ec y y sut ule şi di egalarea cu zero a membrilor drepţi

8 a cărui soluţie eulă este Micii MATEMATICIENI r e c a, y r e c. a Rezultă că raportul ditre specia răpitoare şi specia pradă este y a r ec. a r e c Acest raport poate fi privit ca o fucţie mootoia acestei fucţii calculâd derivata ei. Obţiem acr cr R e. a r ec Aşadar, fucţia Re depizâd de itesitatea e a pescuitului. Aalizăm Re este descrescătoare. Aceasta răspude îtrebării biologului d Acoa, căci la o itesitate mai mică a pescuitului cum era cazul î timpul războiului îi corespude o valoare mai mare a raportului Re. Cartea publicată de Volterra, mai îtâi î italiaă, apoi î fraceză., a reprezetat îceputul ecologiei matematice şi totodată al biomatematicii î geeral. Astăzi biomatematica este u domeiu al matematicii aplicate î pliă epasiue, ce oferă răspusuri şi aalize riguroase la marile provocări ale biologiei şi mediciei actuale, cum ar fi răspâdirea şi cotrolul epidemiilor, biologia celulară şi moleculară, geetica, mutaţiile celulare cacerigee, imuologia, bolile eurologice etc 5. REFERINŢE:. T.R.MALTHUS, AN ESSAY ON THE PRINCIPLE OF POPULATION, J.JOHNSON IN ST PAUL S CHURCHYARD, LONDON, P.F. VERHULST, NOTICE SUR LA LOI QUE LA POPULATION SUIT DANS SON ACCROISSEMENT, CORR. MATH. ET. PHYS. (88), -.. V. VOLTERRA, LEÇONS SUR LA THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUTE POUR LA VIE, GAUTIER-VILLARS, PARIS, J.R. GODSTEIN, THE VOLTERRA CHONICLES. THE LIFE AND TIMES OF AN EXTRAORDINARY MATHEMATICIAN 86-94, AMER. MATH. SOC., J.D. MURRAY, MATHEMATICAL BIOLOGY, SPRINGER, BERLIN, 989. ) PROFESOR UNIVERSITAR DOCTOR, FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ, UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI, CLUJ-NAPOCA 4

9 DE LA MINIM LA MAXIM FĂRĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ ANA MĂRIOARA SPIRIDON ( GHEORGHE SPIRIDON ( Determiarea valorilor optime (adică maime sau miime) î matematică şi î alte domeii are o deosebită importaţă. Nu este de mirare că civilizaţia umaă a pus şi a rezolvat astfel de probleme îcă di atichitate. Euclid, Apolloius, Hero, Arhimede şi alţii au luat î cosideraţie şi au rezolvat umeroase probleme de optim di algebră şi geometrie. Astfel, Pitagora ( î.e..) şi discipolii lui, au ajus la cocluzia că ditre toate figurile plae cu acelaşi perimetru, aria cea mai mare o are cercul, iar ditre toate corpurile cu aceeaşi arie totală, cel mai mare volum îl are sfera. De asemeea adepţii lui Pitagora cosiderau cercul şi sfera ca figuri frumoase, figuri perfecte. Treptat, pricipiile de optim au îceput să fie tot mai des folosite î practică. Iată umai câteva domeii de aplicare a problemelor de maim şi de miim: î costrucţii, la trasări de drumuri şi căi ferate, î legătură cu ecoomiile de material şi de mucă, la reducerea costului lucrărilor şi al produselor etc. Î ultimul timp, problemele de maim şi de miim au fost cercetate di ce î ce mai mult pri metode geometrice, aritmetice, algebrice şi ale aalizei matematice. Î cotiuare vom prezeta două di teoremele ce stau la baza studiului elemetar al problemelor de maim şi de miim fără a folosi oţiui di aaliza matematică. Fiecărei teoreme îi vom da trei demostraţii şi câte o aplicaţie. TEOREMA : U produs de mai mulţi factori variabili pozitivi, a căror sumă este costată, este maim atuci câd factorii sut egali. DEMONSTRAŢIA. Cosiderăm produsul P... a umere variabile pozitive, a căror ot sumă este... k (costată). Eistă o ifiitate de posibilităţi de a alege aceste umere astfel ca suma lor să fie egală cu k. Î particular, să le luăm egale, fiecare fiid a -a parte... k di k, adică.... Trebuie să arătăm că are loc: , adevărată, di iegalitatea mediilor aritmetică şi geometrică. DEMONSTRAŢIA. Vom demostra cazul particular. Cosiderăm variabilele reale,, a ot căror sumă S este costată, iar difereţa este variabilă. Obţiem că S şi S, de ude găsim că produsul ot S S P S. 4 4 Se costată că produsul P creşte atuci câd descreşte şi P descreşte câd creşte. Deoarece 5

10 , sut alese arbitrar, produsul P este maim S. DEMONSTRAŢIA (geometrică). Această teoremă poate fi justificată geometric astfel: Fie N, u puct arbitrar pe diametrul ABal uui semicerc. Suma AN NB r este costată. Pe de altă parte, aplicâd teorema îălţimii î AMB mm 9 (fig.), obţiem că MN AN NB, de ude deducem că produsul AN NB este maim dacă lugimea MN este maimă. Dar acest lucru are loc umai câd M ajuge î C, adică puctul N coicide tocmai cu cetrul cercului O. Î acest caz, MN r, AN NB r şi AN NB r. APLICAŢIE: Ditre toate paralelipipedele cu aceeaşi diagoală, cubul are volumul maim. SOLUŢIE. Fie a, b, c, cele trei dimesiui variabile ale paralelipipedului (fig. ) şi diagoala sa costată d. Atuci suma a b c d este costat, iar volumul paralelipipedului V ab c este maim atuci câd este atis maimul produsului a b c V şi aume câd a b c d. Cum d a, b, c, atuci a b c. Aşadar, ditre paralelipipedele cu diagoala dată cubul este cel de volum maim, avâd valoarea egală cu d Vma. 9 TEOREMA : O sumă de mai multe umere variabile pozitive, al căror produs este costat, este miimă atuci câd umerele sut egale. DEMONSTRAŢIA. Petru a demostra să luăm umere variabile pozitive,,..., al căror produs... ot P k este costat. Eistă, evidet, o ifiitate de astfel de umere, dar, î particular, le alegem egale şi fiecare fiid egal cu k. Î acest caz, produsul P devie: P k k... k....trebuie să arătăm că: , adică tocmai iegalitatea mediilor. DEMONSTAŢIA. Dacă... P şi dacă... P, atuci suma S... P. Să presupuem că ar eista o valoare miimă S S P, valoarea S fiid atisă de eemplu petru... S. Rezultă că produsul M C A N O B N Fig. a d Fig. c b 6

11 ... S P, ceea ce este absurd deoarece produsul P este pri ipoteză costat. Aalog se arată că miimul lui S u poate fi mai mare ca aume miimul lui P. Deci rămâe sigurul caz posibil şi S P, valoare atisă umai petru... P. DEMONSTRAŢIA (geometrică). Petru a justifica geometric afirmaţia di teorema de mai sus, vom lua u fasicul de semicercuri cocetrice avâd cetrul î puctul O şi diametrele pe o dreaptă d. Notăm cu d o paralelă la d care itersectează semicercurile î P, P, P ş.a.m.d. Aplicâd teorema îălţimii î triughiul dreptughic Ai PB i i, (fig.), deducem că produsul B Q Q A Q P c este i i i i i i costat. Atuci suma BiQi Qi Ai Bi Ai, variabilă î raport cu i este miimă atuci câd puctul coicide cu P. Adică semicercul devie taget dreptei d. Î acest caz şi umai acum Q O. P i B B P OQ B Fig. c P P d d A Q A Q A APLICAŢIE: Se dă suma catetelor uui triughi dreptughic. Câd ipoteuza este miimă? SOLUŢIE: Notăm suma catetelor triughiului ABC, dreptughic î A cu s AB AC, care este costată (fig.4). Ridicâd suma la C pătrat şi apoi aplicăd teorema lui Pitagora, obţiem că : s AB AC AB AC s BC AB AC. Cum suma s este costată, petru ca lugimea ipoteuzei BC să fie miimă este suficiet ca produsul AB AC să fie maim, fapt realizabil atuci câd factorii sut egali, adică AB AC s, coform teoremei. Pri urmare, ditre triughiurile cu suma catetelor dată triughiul dreptughic isoscel are ipoteuza de valoare miimă, egală cu s. A - fig. 4 - B ) PROFESOR GRADUL ŞCOALA GIMNAZIALĂ,,IORDACHE CANTACUZINO, PAŞCANI ) PROFESOR GRADUL LICEUL ECONOMIC TEHNOLOGIC,,NICOLAE IORGA, PAŞCANI 7

12 NOTĂ MATEMATICĂ Î revista Micii matematiciei r. 8 4, apare problema:.7: Să se arate că are loc: si si, petru ; IOAN SĂCĂLEANU (. PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU Î ota de faţă, e propuem să prezetăm soluţii di perspective diverse ale următoarei geeralizări: petru a, b cu a şi b are loc: a b a b ALGEBRIC: Di a şi b rezultă că ab ab ab ambii membri pozitivi, avem: 4 a a b b 4. Avâd a b a b a b a b a b ab ab a b a b a b A ab a b a b cf ab a b a b a b. ANALITIC: Petru f :,,, f avem f şi f f,,. Deoarece f este cotiuă pe, şi f, f eistă pe,,, f este coveă pe,. Atuci petru,, şi t, f loc: f t t t f t f f a f b a b f. Petru a, a b a b a b f a f b a b a b. şi are b şi GEOMETRIC: Fie reperul cartezia Oy, cercul uitate C, şi puctele A, B C, o a.î. y şi y. Notăm cu A pr A ş i B pr B; C mijlocul lui o A A B ; B D mijlocul lui, d C, E y y y y d C D şi b A a, A D C D C E C E C B,, C mijlocul lui B a b y y D A B A B D mijlocul lui AB ş i y. Di y y A D A ya D a. Aalog, găsim că a b. Deoarece E CD şi CD OX obţiem că yb t, avem c AB, icd C, E. Cum. Fie C, A A a b şi yc, iar A C y şi y b. Atuci y B D B A ya yb a b E C D. y E O C D A A 8

13 Deoarece E C,, atuci obţiem că Coordoatele puctelor, Micii MATEMATICIENI y E y E E a b C D şi E aflate î fucţie de a şi b, se îlocuiesc î relaţia a b a b a b a b a b a b. a b a b a b a b. VECTORIAL. Fie vectorii a şi b. Atuci produsul scalar ab a b cos, a, b, Dacă a ai a j şi b i b j ab a b a b şi a a a, b b b. Vom aplica proprietatea: ab a b, b a b ; petru orice a, b,, atuci iegalitatea a b a b este suficiet să arătăm că 4 a b 4 a abb 4 vectorilor a şi a b a b 5. Petru a arăta a b a b a ab b a b a b a b a b a b 4 A. Cu ajutorul proprietăţii s-a demostrat o iegalitate mai puterică decât cea di euţ, şi aume : Trigoometric. Fie a b a b a cos, b cos cu,, a, b pot lua orice valori di,, î fucţie de şi. Iegalitatea devie cos cos cos cos si si 4cos cos cos cos si si 4cos cos cos cos, deoarece,, si şi si, de ude si si şi si si. Ambii membri ai iegalităţii sut pozitivi şi pri ridicare la pătrat obţiem iegalitatea echivaletă: si si si si 4 cos cos cos cos si cos si cos si si cos cos 4 si si cos cos cos A. ) PROFESOR GRAD, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 9

14 PARADOXURILE MINCINOSULUI ȘI CAPCANELE GÂNDIRII LOGICE RAMONA BUJOR ( Paradoul miciosului reprezită ua di îcercările gâdirii logice di Atichitate și pâă î cotemporaeitate, deoarece pue î discuție u doar gâdirea logică, ci chiar modalitatea de a o ordoa și îțelege realitatea. El a fost reluat sub diferite forme și s-au îcercat soluții de rezolvare care reflectă istorialitatea gâdirii îseși, î ciuda faptului că era umit de către logicieii scolastici isolubilă. Variata cea mai cuoscută îl are ca persoaj pe Epimeide: Epimeride Cretaul spuea că toți cretaii sut micioși. Problema ridicată este: u micios care spue că mite, mite și câd spue că mite, sau u mite? Coform pricipiului tertium o datur, sut posibile umai două răspusuri:. mite;. u mite. Plecâd, pe râd, di ambele ipoteze se ajuge îtr-o cotradicție logică. Dacă afirmația lui Epimeide este adevărată, atuci Epimeide, (creta el îsuși) mite, deci propoziția u este adevărată. Dacă această propoziție este falsă, atuci Epimeide euță o propoziție falsă, și deci propoziția este adevărată. Cu alte cuvite, dacă acela care spue că mite, mite, atuci el spue adevărul (că mite) și deci, u mite. Dacă acela care spue că mite, u mite, atuci este adevărat că mite, deci mite. Astfel, afirmația Mit u este ici adevărată, ici falsă, petru că, acceptarea uei valori de adevăr trimite imediat la valoarea de adevăr opusă, dacă e adevărată, atuci e falsă; dacă e falsă, atuci e adevărată și așa la ifiit. I.Geeza paradoului. Două eplicații geerale ale acestei cotradicții ifiite le idetificăm î istoria logicii. Prima, î ordie comprehesivă și u croologică, este cea a lui B. Russell. Î Pricipia Mathematica, (realizată împreuă cu Whitehead), el eplică apariția paradoului pri vicious circle priciple sau reciproca deumirea latiă a cercului vicios: u se poate defii defiitul pri defiit, sau, u se poate presupue ceva ca admis deja, el urmâd a fi argumetat. Iversarea atecedetului cu cosecvetul coduce la idecizia ître adevăr și fals, fuctorul iciici, mețiâd alergarea ifiită ître cotradictorii. Paradoul miciosului este reluat de B. Russel, ca argumetum reciprocum, cum este folosit de Protagoras: U filosof este codamat la moarte de către u Calid care îi acordă permisiuea să-și aleagă sigur felul morții: «Dacă spui o miciuă vei fi spâzurat; dacă spui u adevăr vei fi decapitat». După u filozoful răspude Voi fi spâzurat ). Codradicția este evidetă: dacă această propoziție este adevărată, filosoful trebuie să fie decapitat; dar, î acest caz, propoziția lui este falsă, și, deci trebuie să fie spâzurat. Dacă propoziția lui este falsă, filosoful trebuie să fie spâzurat, dar atuci, ea va fi adevărată, deci trebuie decapitat. Î cocluzie, propoziția u este ici adevărată ici falsă, îsă ea trebuie să fie sau adevărată sau falsă. Cercul vicios apare petru că filosoful iversează ordiea structurii implicației: propoziția sa cosideră ca atecedet logic, ceea ce Califul stabilise drept cosecvet. Criteriul () Califului este: modalitatea eecutării tale depide de valoarea de adevăr a propoziției pe care o vei spue. Criteriul () Filosofului: Valoarea de adevăr a propoziției mele depide de modalitatea eecutării mele. Idetificarea celor două criterii coduce la cercul vicios. A doua eplicație a geerării paradoului miciosului îi aparție lui Aristotel și, evidețiază faptul că u este vorba de o gimastică a gâdirii, ci se pue î joc îsuși pricipiul cotradicției fudametal al gâdirii și al realității. Putem spue că atât goseologia (teoria cuoașterii) î

15 posibilitatea ei, cât și otologia (teoria fiiței) î costituirea ei sut implicate î rezolvarea acestui parado. Defiiția pricipiului cotradicției:... este peste putiță ca uuia și aceluiași subiect să i se potrivească și totodată să u i se potrivească sub același raport uul și același predicat. ) Îcălcarea acestui pricipiu are loc pri acceptarea cojucției (și-și) ître opuși. Astfel, dacă formalizăm paradoul miciosului, coform pricipiului cotradicției, ajugem la cotradicția flagrată î care Eu mit este echivalet cu Eu u mit. Notăm Eu mit cu p și Eu u mit cu o-p ( ). ( ) ( ) Deci propoziția este și adevărată și falsă î același timp. Nediscrimiarea goseologică ître adevăr și fals atrage după site edetermiarea, amestecul obiectivelor realității, adică u obiect poate primi orice atribut, așa cum, o propoziție poate primi și adevărul și falsul: Dacă două judecăți cotradictorii ar fi adevărate î același timp despre același lucru, atuci... toate ar fi ua, și om, și zeu, și corabie, ba îcă și egațiile lor... atuci ar dispare orice deosebire ître u lucru și celălalt. Pe lâgă aceasta, ar urma că toți spu adevărul și că totuși mit î același timp, și că ficare di ei ar recuoaște despre el îsuși că mite...; î timp ce spue u lucru, ar afirma totodată și cotrariul lui. 4) II.Soluții. Le vom aaliza pe cele care au rămas ca piloi î istoria gâdirii. Soluția lui Aristotel. Î Metafizica, filosoful grec eplică astfel paradoul miciosului: Cel care afirmă că totul este adevărat, dă putere de adevăr și cotrariului afirmației sale, de ude reiese că și afirmația sa este eadevărată. Iar cel care admite că totul este fals declară că și afirmația sa este falsă. 5) Dacă schematizăm logic avem: Se auță propoziția uiversală:. Toate propozițiile sut adevărate. Și propoziția:. Propoziția () este falsă. Rezultă: Propoziția () atreează adevărul propoziției (), propoziția () implică falsitatea propoziției (). Deci, dacă () este adevărată și () este adevărată și atuci () e falsă, ceea ce e o cotradicție. Se formulează propoziția uiversală a miciosului:.toate propozițiile sut false. și propoziția: 4. Propoziția () este adevărată. Rezultă: Propoziția () atreează falsitatea lui (4) și aceasta implică falsitatea lui (). Deci, dacă () e adevărată, (4) este falsă și atuci () este falsă, adică rezultă cotradicția. Paradoul se aulează dacă se ție cot de aioma logicii bivalete, admisă implicit:. Eistă două valori de adevăr a propozițiilor: adevărul și falsul. Atuci, ua di cele două propoziții:. Toate propozițiile sut adevărate.. Toate propozițiile sut false. admițâd umai o sigură valoare de adevăr, itră î cotradicție cu () și astfel, este respisă și ea. Î Respigerile sofistice, Aristotel respide paradoul pri distigerea ître sesul relativ și sesul absolut al uei oțiui sau afirmații; cofudarea lor geerează cotradicția (sofismul):... opușii, ca afirmația sau egația u pot să aparțiă aceluiași lucru î ses absolut, dar este posibil... să aparțiă î același timp uui lucru î aumită priviță... același om poate î același timp să mită și

16 6) să spuă adevărul,... adică să spuă adevărul î uele aserțiui, dar u î chip absolut. Argumetarea lui Aristotel salvează morala și, e gâdim la teza socratică dacă se preferă o acțiue dreaptă ueia edrepte, u rezultă că dreptatea e luată î ses absolut, petru că, u om drept va prefera să sufere o edreptate, decât să facă el o edreptate. Observăm că Aristotel itroduce relativismul și raportul parte-îtreg. (î care partea u poate argumeta îtregul). Sut cele două direcții pe care se vor dezvolta ulterior, î Evul Mediu și î cotemporaeitate, soluțiile paradoului..soluția lui Jea Burida (se XIV). Relativismul se regăsește la el, î Summela, sub forma temporalității. O propoziție poate fi declarată adevărată sau falsă, după ce s-a precizat timpul la care se referă sau î care este formulată. Astfel, valoarea de adevăr este legată de u momet t. Paradoul miciosului este reformulat astfel: : Socrate spue: «Plato spue falsul». Propoziția : Plato spue «Socrate spue adevărul» 7) Cercul vicios este rupt pri itroducerea celor două momete disticte de timp ( ): propoziția () poate fi adevărată î, iar propoziția () î..soluția lui Bertrad Russell. Logiciaul eglez pleacă de la aioma lui Albertus de Saoia (sec. XIV), coform căreia partea u poate reprezeta îtregul și formulează două teorii: cea a mulțimilor și cea a timpurilor. Prima stipulează că: ici o colecție u poate coție u elemet care să fie defiit cu ajutorul colecției îseși. Îcălcarea ei geerează cotradicția: Mulțimea care se coție ca elemet este echivaletă cu mulțimea care u se coție ca elemet. Desfășurarea cotradicției este: mulțimile care se coți formează o ouă mulțime. Toate mulțimile care u se coți formează o ouă mulțime Γ. Mulțimea Γ ar trebui să se coțiă sau u ca elemet. Dar, ea u poate să se coțiă ca elemet, petru că ea coție toate mulțimile care u se coți. Dacă otăm cu mulțimea, obțiem: Γ ~α α (mulțimea lui Γ - mulțimea tuturor mulțimilor care u se coți ca elemet; deci, mulțimea u se coție ca elemet); Dacă = Γ, obțiem Γ Γ ~Γ Γ, adică paradoul miciosului (Epimeide Cretaul u poate afirma sau ega imic despre mulțimea totalitatea cretailor petru că-i este membru!). Teoria tipurilor rezolvă paradoul. B. Russell susție că eistă diferite tipuri de adevăr și de fals. Cosiderâd propoziția și fucția este falsă, se obție: ( ) este falsă. Îsă, î mod eroat, aceasta este luată ca argumet petru fucția «este falsă». Dar după teoria tipurilor, argumetul uei fucții u poate fi îlocuit cu îseși fucția. 8) Trebuie să se distigă ître adevărul propoziției, care este de tipul, și tipul de adevăr al propoziției ( ) este falsă care are o valoare de adevăr de tipul doi. Aceste tipuri de valori de adevăr sut de fapt iveluri de limbaj. Î acest ses, logiciaul A. Tarski, va costrui teoria mega-limbajelor : u limbaj S u poate fi aalizat di iteriorul său, ci ditr-u alt limbaj S, astfel putem deduce că miciosul u poate spue imic despre valorile de adevăr ale propoziției sale Eu mit, î același sistem î care a costruit această propoziție. Este ecesar u meta-limbaj (u S ) petru care primul limba (S) devie obiect. Desigur, rămââd la soluțiile logicii cotemporae, î care auto-referița este eclusă, impuâdu-se meta-logica, e puem două îtrebări: acest meta- u implică u fals ifiit, î care S va fi formalizat de S, S de u meta-s? Și, se poate decide di afara (meta) uui sistem asupra sistemului?

17 U limbaj străi de limbajul-obiect mai vorbește el despre acesta? Îtrebări, la care dacă s- ar îcerca răspusuri, ar trebui să se coștietizeze u adevăr pur, remarcat de L. Wittgestei: Nu pot ieși pri limbă, afară de limbă. NOTE: ) A. DUMITRIU, ȘTIINȚĂ ȘI CUNOAȘTERE, VOL. ESEURI, EDITURA EMINESCU, BUCUREȘTI, 986, P. ; ) ARISTOTEL, METAFIZICA, CARTEA IV, TRAD. ROM. ȘT. BEZDECHI, EDITURA ACADEMIEI ROMÂNE, BUCUREȘTI, 965, P. 4, 5B; 4) IBIDEM, PP. 4, 4 ȘI 44, 7B, 8A, 88B; 5) IBIDEM, P. 58, B; 6) ARISTOTEL, RESPINGERILE SOFISTICE, ÎN ORGANON IV, TRAD. ROM. M FLORIAN, EDITURA ȘTIINȚIFICĂ, BUCUREȘTI, 96, PP ; 7) A. DUMITRIU, IBIDEM, PP. -; 8) B. RUSSELL ȘI A.N. WHITEHEAD, PRINCIPIA MATHEMATICA, I. CAMBRIGE UNIVERSITY PRESS, 9, P. 65, APUD A. DUMITRIU, OP. CIT., P. ) PROFESOR DOCTOR IN FILOSOFIE, COLEGIUL NATIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU ELEVII ȘI TEHNOLOGIA WEB VATAVU DUMITRU-CRISTIAN ( Prezetările TV, siturile Web, pâă şi mesajele primite pe telefoul mobil de ultimă geeraţie, toate abudă de iformaţii diverse (tet, imagii, fişiere audio sau video). Caracterul multimedia al spaţiului World Wide Web costituie u factor major î succesul pe care acesta îl are atât î viaţa de zi cu zi, cât şi î domeii precum e learig sau e commerce. Putem cosidera uiversul iformatic actual ca fiid caracterizat de diamicitate. Iar atuci câd discutăm de diamism, de fapt avem î vedere timpul. O prezetare multimedia diamică, oricare ar fi ea, recurge la mai multe compoete care pot fi stocate local sau distribuit şi care pot fi derulate secveţial, paralel sau î mod combiat. De multe ori, elemetele uei astfel de prezetări trebuie sicroizate uul faţă de altul, petru a oferi u aspect diamic, atrăgător, petru utilizatori. Î aul 9 s-a dat startul primei ediţii a cocursului de programare web petru elevi de liceu HWEB. Cocursul este orgaizat de S.C. Racom Net S.R.L. î parteeriat cu Colegiul Națioal Ștefa cel Mare di Hîrlău, jud.iași. Iițiator și sposor al acestui cocurs este Aleadru Cuibari fost elev al liceului împreuă cu directorul școlii, profesorul Aurel Neicu. Eveimetul are ca scop crearea uui cadru iteractiv î care elevii pasioați de iformatică pot îtâli dezvoltatori web profesioiști și amatori, pot împărtăși tehici și eperieță, pot cocura și își pot depăși limitele.

18 Cocursul se adresează elevilor de liceu, iar proba de cocurs costă î realizarea uei pagii web pe o aumită temă. Cocursul se adresează elevilor di clasele V-XII. La fiecare ediție au fost alese diferite teme petru a fi realizate pagii web. Î prima ediție tema a fost la alegere,urmâd ca di orgaizatorul să propuă o temă iar participații sa realizeze pagii web despre ea. Ultimele cici ediții au avut următoarele teme, î ordie, îcepâd cu aul : Orașul meu, Hîrlău, Modelul meu î viață, Afacerea mea pe Iteret, Liceul meu, Aul 4. Î prima ediție premiile oferite de sposor au fost : Premiul I Aparat foto digital Cao PowerShot A47; Premiul II MP Player Samsug GB; Premiul III Flash Pe Kigsto Data Traveler, 8GB. Î edițiile ce au urmat, petru a atrage u umăr mai mare de elevi și a mări miza, domul Aleadru Cuibari a fost geeros și premiile au fost diversificate si etrem de atrăgatoare. Îcepâd cu ediția premiul I a fost recompesat cu u laptop, miză etrem de motivată ce a adus o participare umeroasă di partea elevilor. Pâă î prezet au fost 6 ediții ale cocursului cu o participare umerosă și implicare costată a domului Aleadru Cuibari-sposor si iițiator. La primele cici ediții au participat doar elevii Colegiului Națioal Ștefa cel Mare -Hîrlău. La ultima ediție, cea di 4, cocursul a primit acceptul Ispectoratului județea Iași petru a fi cocurs ude pot participa elevi di toate școlile județului. A fost o participare umeroasă cu implicare, miză, iar câștigătorul a fost cu adevărat cel mai merituos participat. Mediile de dezvoltare a aplicațiilor și limbajele specifice lor au fost la alegerea cocureților. Elevii au folosit diverse cuoștițe îvățate la orele de iformatică dar și pri mucă idividuală sau î echipă, fiid de cele mai multe ori autodidacți î a descifra codul diverselor limbaje de programare.majoritate participaților și mai ales a câștigătorilor sut î prezet studeți la facultăți cu profil de iformatică. Participații prezeți la acest cocurs pe lâgă premii au primit și diplome de participare ce le pot oferi oportuitatea îmbogățirii CV-lui petru eperiețe ulterioare. Tehologia iformației și toate coeiuile cu ea - este tehologia mometului, este tehologia de top și oferta de pe piața mucii este etrem de geeroasă, bie remuerată. Acest cocurs oferă oportuități petru a iteracțioa cu specialiști și mai ales a itui tedița mometului î ceea ce privește cerițele uui job cu multiple și complee eigețe. ) PROFESOR, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 4

19 VIAŢA MATEMATICĂ ZONALĂ Această rubrică coţie î acest umăr iformaţii despre: o cocursul MICII MATEMATICIENI, ediţia a IX-a di 9 martie 4 ; o subiecte date la TESTAREA ELEVILOR de clasa a IV a î vederea îscrierii î clasa a V a ; o cocursul de creaţie matematică CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ-5; o proiectul educaţioal SUPER MATE; o activităţi ale cercului de matematicǎ CLUBUL MATEMATIENILOR î aul şcolar -4. CONCURSUL MICII MATEMATICIENI RAPORT DE ACTIVITATE Cocursul Micii Matematiciei ediția a IX-a, parte a Proiectului educaţioal cu acelaşi ume, s-a desfășurat î ziua de 9 martie 4, la Colegiul Națioal Ștefa cel Mare Hârlău, activitate îscrisă î CAERI 4 la A Domeiul știițific, poziția 769. La cocursul adresat elevilor di clasele III-VIII s-au îscris 66 elevi proveid di de școli di Pașcai, Botoșai, Târgu Frumos, precum şi di 7 şcoli limitrofe Hârlăului. Cocursul dispue de u Regulamet si o Metodologie de desfășurare, afișate și trasmise aterior tuturor școlilor. Comisia a fost formată di 5 profesori și îvățători propuători de subiecte, aparțiâd școlilor participate, corectori (comisie mită,formată di profesori proveid de la toate școlile participate), de asisteți, selectați di persoalul colegiului. La deschiderea festivă a cocursului au participat Prof. Uiv. Dr. Temistocle Bârsa de la Uiversitatea Tehică Iași şi ispector de specialitate prof. Dr. Iria Caprariu, di partea ISJ Iaşi. Au fost formulate subiecte petru clasele III, IV, V, VI, VII, VIII. Elaborarea baremelor s-a făcut î timp util și a fost afișată ca la orice cocurs ațioal la avizierul școlii. Odată cu demararea cocursului a fost lasată și Revista Micii Matematiciei r.8. Fiecare elev participat a primit o revistă și diplomă de participare. Corectarea s-a făcut î aceeași zi. La ora 8, au fost afișate rezultatele, iar lui martie 4 au fost rezolvate cotestațiile. Atât subiectele, baremele cât și rezultatele fiale se află pe site-ul colegiului: Petru fiecare clasă au fost acordate premii I,II,III și mețiui, totalizâd 8. Elevii au primit diplome și revista Micii matematiciei, premiile i bai proveid de la sposorizările care au spijiit cocursul atât î acest a,cât și î aii precedeți. Comisia de cocurs a avut următoarea compoeță: coordoator cocurs, prof. Aurel Neicu, președite eecutiv prof. Gheorghe Oacea, secretar prof. Ioa Săcăleau, membrii prof. Ramoa Darie, prof. Iuliaa Blaaru şi prof. Iosif Mihai Pauliuc. Proba a durat două ore şi au supravegheat profesori di colegiu. Petru elevii di clasa a IV-a care au acumulat miim 4 de pucte au fost rezervate de Cosiliul de admiistrație al colegiului 6 locuri fără testare la clasa a V-a. Cocursul s-a bucurat de o detaliată prezetare î mass media locală și județeaă, iar revista Micii matematiciei a avut o distribuție ațioală, fiid solicitată de școlile care au trimis materiale spre publicare, di alte județe ale țării. Cocursul și apariția revistei a avut ca sposori: Asociația păriților Ștefa cel Mare di colegiu, Primăria orașului Hârlău, alte firme di oraș. Diplomele și revistele au fost realizate la editura PIM Iași și Copy Ceter Hârlău. Revista Micii Matematiciei a fost distisă cu Premiul special la faza județeaă a cocursului de reviste școlare, secțiuea Știițifică. Cocursul a fost popularizat î mass-media, a avut impact la ivel ațioal, î pagiile sale regăsidu-se articole semate de profesori di îvățămâtul uiversitar și preuiversitar di Iași, Arad, Braşov, Craiova, Paşcai, Târgu Frumos, Hârlău. PROF.AUREL NEICU, DIRECTOR AL COLEGIULUI NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 5

20 Prezetǎm î cotiuare lista premiaţilor şi subiectele propuse spre rezolvare. REZULTATELE CONCURSULUI MICII MATEMATICIENI, EDIŢIA A IX-A, HÂRLĂU, 9 MARTIE 4 NR. NUME ŞI PRENUME PROFESORUL CLASEI PREMIUL CRT CL. ŞCOALA DE PROVENIENŢĂ PUNCTAJ III DUMBRĂVESCU ALEXANDRU ŞC. NR.7, BOTOŞANI RADA NASTASIA 57, I III IVANOVICI IARINA EMMA ŞC. ŞT.BÎRSĂNESCU, IAŞI BÂZDÂGĂ NECULAI 54, II III CHITIC IONELA DENISA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 48,5 III 4 III VORNICU DAVID ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 48, M 5 III CEOBANU IOAN CASIAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 4, M 6 III DASCĂLU CEZAR ANDREI ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 4, M 7 III BUZNEA ALEXANDRU ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 6, M 8 III OPINCĂ LARISA ANDREEA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA, M 9 III ŞALARU IOAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA,5 M III FORMAGIU MARIAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA, M III CUIBUŞ TEODOR ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 9,5 M III BARBU TEONA ELENA ŞC.G. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CRISTEA CAMELIA 8,5 M III PRIGOREANU ALIN GABRIEL ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 5,5 M 4 III IORDACHE ELENA ŞC.G. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CRISTEA CAMELIA 5, M 5 III BOUREANU LAURA MIHAELA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 4, M 6 III MORUZI ALEXANDRU ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 4, M 7 III COJOCARU CRISTIANA PAULA ŞC.G. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CRISTEA CAMELIA, M 8 III GAFINCU IOANA CEZARA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA, M 9 III UNGUREANU NARCISA MIHAELA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA,5 M III GÂLCĂ DENIS L.T. B. VODĂ, HĂLĂUCEŞTI TOMULESEI MIHAELA, M III BUTNARIU MĂDĂLINA ŞC. NR.7, BOTOŞANI RADA NASTASIA 9,5 M III AGAVRILOAIE ŞTEFAN MARIAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 9, M III TĂTĂRUŞANU DENISA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 8,5 M 4 III BÎRLĂDEANU RAREŞ ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 8, M 5 III COZMA CRISTIANA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MORARIU CLAUDIU 8, M 6 III MUSTEAŢĂ GEORGE EMANUEL ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 7,5 M 7 III MATEI EMMA GEORGIANA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI MARIETA 7, M 8 III MĂRIUŢĂ DAVID ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU TOMULESEI MIHAELA 6,5 M 9 III GAROFA MARIUS GABRIEL LIC.TEH. M. BUSUIOC, PAŞCANI MANTALE MIRELA 6, M III SCUTĂRAŞU SILVIU ŞC. MAXUT-DELENI MOGOŞ MARICICA 6, M IV FLUTUREL ALEXANDRU GABRIEL ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 6, I IV DĂSCĂLEANU ILINCA LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA 5, II IV ALEXA THOMAS LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA 49,5 III 4 IV BALAŞA IULIA MARIA ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CONDURACHE ADRIANA 49, M 5 IV DUMITRACHE MARIA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 48,5 M 6 IV ALEXA SAMI ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA 47,5 M 7 IV BĂHNĂREANU ANDREEA-SIMONA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA 47,5 M 8 IV CUIBUŞ ŞTEFAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 47,5 M 9 IV MOŞIESEI ALEXANDRA GABRIELA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 47,5 M 4 IV HOGAŞ RAREŞ CONSTANTIN ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CONDURACHE ADRIANA 47, M 4 IV GRIGORE RALUCA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 46, M 4 IV ENŢUC SEBASTIAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 4, M 4 IV ZAMFOR ALEXANDRA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 4, M 44 IV SANDU CRISTIAN IOAN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 4, M 45 IV SPINEI IRINA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 4, M 46 IV PAIU COSMIN LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA 4,5 M 47 IV CUIBUŞ ALEXANDRU CODRUŢ ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 4,5 M 48 IV TUDOSA IUSTINIAN LAURENŢIU ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CONDURACHE ADRIANA 4, M 49 IV CURCĂ ALEXANDRU FLORIN ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 9, M 5 IV FORMAGIU JESICA MARIA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 9, M 5 IV CIUBOTARU ŞTEFANA PAULA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA 8, M 5 IV NĂSTASE ALEXANDRA LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA 7,5 M 5 IV CIOBANU ANDREEA-OTILIA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA 7, M 54 IV BRAN IONUŢ ALEXANDRU ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI LUMINIŢA 6,5 M 55 IV BOLBOROS GABRIELA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUNTEANU MIRELA 6, M 56 IV MOISII BOGDAN ŞC.G. ZAGAVIA HĂLĂUCĂ MARIA 6, M 57 IV PRICOP ANA MARIA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA 6, M 6

21 58 IV GABOR IASMINA LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA,5 M 59 IV MIHĂILĂ ALEXANDRU ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA,5 M 6 IV MUSTEAŢĂ ŞTEFAN TEOFIL ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU OPREA EMILIA,5 M 6 IV COTUNĂ DARIA MARIA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU CREŢU MARIA, M 6 IV CURECHERIU ELENA ALEXANDRA ŞC. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI LUMINIŢA, M 6 IV DAVID CRISTINA ELENA ŞC.. P. RAREŞ, HÂRLĂU MUŞEI LUMINIŢA, M 64 IV RÎNDAŞU ANDREI ALEXANDRU ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CONDURACHE ADRIANA, M 65 IV PINTILIE IOSIF EMANUEL ŞC. NR.7, BOTOŞANI TEODOR ANDREI,5 M 66 IV COSTAN ALEXANDRU LIC. EC. N. IORGA, PAŞCANI ŞORODOC SILVIA, M 67 IV BUTNARU ANDREEA ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS CONDURACHE ADRIANA, M 68 IV MOLDOVANU LĂCRĂMIOARA ŞC. G.IBRĂILEANU, TG. FRUMOS BELEI IRINA, M 69 V TÂRPESCU CRISTIAN GEORGE C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 56, I 7 V MAXIM MATEI L. T. MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI IACOB GHEORGHE 5,5 II 7 V GRIGORUŢĂ DORIN ŞC.G. NR.7, BOTOŞANI CLIPA DANIELA 48, III 7 V AGHEORGHIESEI HORIA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 48, III 7 V FRĂSILĂ ŞTEFAN C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI FRĂSILĂ MIHAIL 4,5 M 74 V IFRIM TUDOR NICOLAE C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 8, M 75 V ENEA ROBERT VICTOR L. T. ION NECULCE, TG. FRUMOS DOCA LAURENŢA 5,5 M 76 V HUŢANU EUSEBIU C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 4,5 M 77 V PEIU DRAGOŞ ŞC.G. I. CREANGĂ, TG. FRUMOS GOŞMAN MARCELA 4, M 78 V PURCEL IOANA ELENA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE,5 M 79 V ASOFIE ANDREI ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA, M 8 V PORUŞNIUC TEODOR ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA, M 8 V UNGUREANU DAVID C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA, M 8 V RĂŞITARIU DUMITRU ALEXANDRU C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE, M 8 V NECHIFOR ALEXANDRU ŞC. G. IBRĂILEANU, TG. FRUMOS GOŞMAN NECULAI, M 84 V DOGARU TIBERIU ALEXANDRU C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 9,5 M 85 V MAXIM ŞTEFAN THEODOR C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 9,5 M 86 V PÎSLARU ŞTEFAN ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA 9,5 M 87 V SPĂTARIU IOAN GABRIEL C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI POPESCU CLAUDIA 9,5 M 88 V CRISTINA ANDREI ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA 7,5 M 89 V COZMA ALEXANDRA GABRIELA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 6, M 9 V MELINTE DARIA ŞC.G. PETRU RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA 5,5 M 9 V CREŢU ANDREEA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 5, M 9 V ROIU LAVINIA MARIA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE,5 M 9 V CRĂCANĂ ANDRA ELENA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE, M 94 V BOLBOROS ELENA LARISA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE, M 95 V CÎMPEANU IOANA PETRINA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE,5 M 96 V DULHAN PETRU SEBASTIAN C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE, M 97 V GLODOREANU IOANA DIANA ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU ALEXE OANA FELICIA, M 98 V METELEŢ CORINA GIANINA C. N. ŞTEFAN. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE, M 99 VI NECHITA BIANCA ELENA C. N. M. EMINESCU, BOTOŞANI CIUDIN ION 57, I VI CRĂCIUN ŞTEFANA MARIA C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI CRĂCIUN DORINEL MIHAI 48,5 II VI VÂNTUR ANTONIA C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI CRĂCIUN DORINEL MIHAI 4, III VI IFTIME CRISTIAN BOGDAN C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI CRĂCIUN DORINEL MIHAI 9, M VI SCUTARIU IOANA ALEXANDRA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE, M 4 VI LEAGĂN IASMINA C. N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE, M 5 VI TUDORACHI ALEXANDRA C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI PRICOP VASILE,5 M 6 VI CIUBUC TEODOR COSMIN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE, M 7 VI AMOŞIESEI DENISA IONELA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 7, M 8 VI MIHĂILĂ MARIA DENISA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 6,5 M 9 VI LEAGĂN DAN ANDREI C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU OANCEA GHEORGHE 6, M VII ROŞU RADU ANDREI C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI MACOVEI LIVIU, I VII MUSTAŢĂ ROBERT ANDREI C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU NEICU AUREL 4, II VII OLARU ANDREEA L. T. I. NECULCE, TG. FRUMOS DOCA LAURENŢA, III VII FLOREA ALEXANDRU DANIEL ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU RĂUŢU IOAN, M 4 VII CIORNEA ILINCA ŞC. NR. 7, BOTOŞANI CLIPA DANIELA 9, M 5 VII CARP VALENTIN ŞC. CÂRJOAIA VASILIU ADINA 6, M 6 VII IOSUB OVIDIU MARIAN ŞC.G. P. RAREŞ, HÂRLĂU RĂUŢU IOAN 5, M 7 VII TIMOFTE BIANCA L. T. I. NECULCE, TG. FRUMOS DOCA LAURENŢA 5, M 8 VII PRICOP ANA L. T. I. NECULCE, TG. FRUMOS DOCA LAURENŢA, M 9 VIII BUZATU ANDREEA C. N. M. SADOVEANU, PAŞCANI PRICOP VASILE 6, I VIII CORNEI LAURA C. T. C.F. UNIREA, PAŞCANI ACATRINEI LUMINIŢA 59, II VIII VORNICU DENISA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 4, III 7

22 VIII CĂLIN CONSTANTIN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN,5 M VIII COTIUGĂ ILIE IULIAN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN,5 M 4 VIII BUZĂMURGĂ RALUCA GEORGIANA C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 6, M 5 VIII PUHA ALEXANDRU C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN 4, M 6 VIII AŞTEFĂNESEI DANIEL MARIAN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN, M 7 VIII LOGHIN ANDREI FLORIN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN,5 M 8 VIII SURUNIUC CONSTANTIN C.N. ŞT. CEL MARE, HÂRLĂU SĂCĂLEANU IOAN, M SUBIECTELE CONCURSULUI MICII MATEMATICIENI EDIŢIA A IX-A, 9 MARTIE 4 ENUNŢURI. SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE CLASA A III-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I ( PUNCTE):. (p) Să se afle difereţa ditre îzecitul lui a şi dublul treimii lui b ştiid că : a : 6 : şi 6 : 4 4 : 6 b.. Adrei are evoie de 8 lei petru a-şi cumpăra o bicicletă. El depue la bacă suma de 6 lei. După fiecare 6 lui suma creşte cu u sfert di suma eistetă, iar după fiecare a suma eistetă se măreşte cu îcă 7 lei. De câţi lei mai are evoie dacă retrage baii după doi ai? SUBIECTUL II ( PUNCTE):. Calculaţi valoarea epresiei y 5 ştiid că şi y verifică egalităţile: şi y 9 :9 9 9 : : 4.. Miriapozii umiţi Geophilus logicorus au 4 cm lugime şi cel puţi 49 şi cel mult 57 de perechi de picioare. U juriu format de păiajei a câte 7 picioare, căci pe al optulea şi l-au pierdut î lupte, vrea să medieze disputa ditre două familii de miriapozi, fiecare cu câte ouă membri. Aflaţi câte picioare sut î sala de judecată, ştiid că î fiecare familie de miriapozi u eistă doi membri cu acelaşi umăr de picioare? SUBIECTUL III ( PUNCTE): ) Pe tabla ca cea di figura alăturată se aşează 9 fluturi albi şi egri, fiecare pe culoarea lui. La u momet dat îşi schimbă locurile, cei albi trec pe egru, cei egri trec pe alb. Justificaţi că u fluture rămâe î aer şi precizaţi culoarea lui. ) Determiaţi valoarea literelor di piramida alăturată cu umere potrivite, ştiid că î fiecare căsuţă se află u umăr care este difereţa celor două umere care se află sub el. SUBIECTE ELABORATEMODIFICATESELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: MARIA CREŢU, MARIANA DÂRVARIU, MIRELA MUNTEANU, LUMINIŢA MUŞEI SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE ŞI NOTARE. I.. a p; b 49 : 6 8 : p; a b : 6: 66 : p. I.. După 6 lui, Adrei are 6 6 : lei... p, iar după u a el are : 4 7 lei... p. După u a şi jumătate va avea : lei... p, iar după ai, 4 4 : lei... p. Adrei mai are evoie de 857 lei... p. 8: 9 8: 9 8: : y II.. Di y 4 z d e f a 4 b c...5p. Avem 44 : y 4 : y y p. Epresia y p. II.. Juriul are 7 9 picioare... p. Numărul perechilor de picioare al uei familii de miriapozi 9 p t m 8

23 este p. Numărul picioarelor miriapozilor uei familii este p, iar umărul total de picioare di sala de judecată este p. III.. Fluturele rămas î aer are culoarea eagră... 4p, deoarece sut 4 fluturi albi şi 5 egri, iar pri schimbare, u fluture egru u îşi va găsi u loc alb di cele 4 locuri albe de pe tablă... p. III.. a a ; d a 7 ; d 7 5 ; e 4 6 ; y e 6 4 ; m y ; p m 6 6; 9 p t 9 6 t t 69 7 ; t 7 7 ; 4 z 4 z z 4 ; z f f f ; f 4 b 4b b 4 ; b c c b. Petru fiecare di cele situaţii se acordă câte puct... p p. SUBIECTUL I ( PUNCTE): CLASA A IV-A: ENUNŢURI. Arată că umărul b 4 : : 7 6 : 4 : 4 :9 8 4 verifică egalitatea: b b 8 : : Să spuem că distaţa (î metri) de la casa lui Nică pâă la casa mătuşii Mărioara este valoarea lui m di egalitatea următoare: 4 m : 8, iar de la mătuşă şi pâă la cireş, distaţa (măsurată î metri) este valoarea eulă a lui di epresia următoare: : :. a) Demostraţi că m şi că. b) Pofticios, Nică se duce la cireş de ori îtr-o zi, trecâd de fiecare dată pri faţa ogrăzii mătuşii. Ce distaţă a parcurs el î acea zi petru a-şi face pofta de cireşe rumee? SUBIECTUL II ( PUNCTE):. Trei copii au câte o sumă de bai. Dacă împărţim suma primului copil la suma celui de-al doilea copil, obţiem restul şi câtul ; suma celui de-al treilea copil este dublul sumei primului copil şi cu 77 mai mare decât suma celui de-al doilea copil. Câţi lei are fiecare copil?. Determiaţi umărul atural eul y di egalitatea: : y 6 y : 4. SUBIECTUL III ( PUNCTE):. Figura alăturată prezită schiţa drumurilor pe care le poate parcurge G F E profesorul Aritmel, dacă pleacă di puctul A şi ajuge î puctul C. Eemplu: u traseu posibil este A B O C H O C Scrieţi toate traseele de la A la C pe care le poate parcurge profesorul A B D Aritmel, fără a trece de două ori pri acelaşi puct.. Făt-Frumos are 4 de săgeţi î trei tolbe, împărţite î mod eegal ca umăr astfel: a b c cu a, b, c umere aturale. Dorid ca î fiecare tolbă să fie acelaşi umăr de săgeţi, trasferă di prima tolbă î a doua tolbă tot atâtea săgeţi câte sut î a doua tolbă. Apoi ia di a doua şi trasferă î a treia tolbă tot atâtea săgeţi câte sut î a treia. Î fial, ia di a treia şi trasferă î prima tot atâtea săgeţi câte sut î prima tolbă. Aflaţi a, b, c, umărul de săgeţi care erau la îceput î fiecare tolbă. SUBIECTE ELABORATE MODIFICATE SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROF. : MARIETA MUŞEI, GABRIELA ONOFREI,VASILICA TEODORESCU, MARIA TEREZA RUGINĂ ŞI IOAN SĂCĂLEANU 9

24 SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE.... 9: I.....,5p; :9 7...p;... : 8... p b 4 : p. Scrierea b b p; calculul : ,5p;... 6: p; fializarea: 54 I.. a) m A... p. 4 : 8 4 m : 6 m : m m... 4p;... 4p. b) Distaţa de la Nică la cireş şi îapoi este metri... p, iar distaţa parcursă î acea zi este metri... p. II.. Notăm cu a, b, c sumele de bai ai celor trei copii. Scrierea relaţiilor: a b, c a şi c b p. Di b a c a 77 c a 75 a a 75 a p, de ude c 5... p, iar b 7... p. II.. : y 6 y : 4 : y 6 y : y 6 y... p. Împărţirea : y este posibilă petru y sau petru y... 4p. Petru y avem: : p, petru y, : şi cocluzia că y... p. III.. Petru găsirea fiecărui traseu ou ditre cele 9 se acordă câte p, şi aume: A B D C ; A B O F E C ; A B O H G F E C ; A H G F O B D C ; A H G F O C ; A H O B D C ; A H O F E C ; A H O C ; A H G F E C şi traseul di eemplu. III.. 4: 8 săgeţi î fiecare tolbă după cele trasferuri succesive... p, aume: primul trasfer a b, b, c... p; al doilea trasfer a b, b c, c... p; al treilea trasfer a b, b c, c a b... p, de ude egalităţile: a b b c c a b 8... p. Avem: a b 4 aduată cu c a b 8 c c 6... p; b 6 8 b 7... p şi a 7 4 a... p. CLASA A V-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I ( PUNCTE). Calculaţi: Arătaţi că umărul 5 poate fi scris ca sumă de patru cuburi perfecte. a6. Fie mulţimile A m m prim, 5 m şi B ab ab prim, a. Aflaţi A B. b SUBIECTUL II ( PUNCTE): Patru umere aturale a, b, c, d formează u grup ostim dacă a b c d, a b c d b a c şi c b d. y z 88 a) Dă u eemplu de grup ostim î care a 5. 7 m p b) Aflaţi toate umerele di tabelul alăturat, fără să modifici umerele trecute î 7 u 99 t tabel astfel îcât umerele de pe fiecare liie şi de pe fiecare coloaă să formeze u grup ostim. SUBIECTUL III ( PUNCTE):. Spuem că u umăr este factorial dacă el se poate scrie ca produs de două umere cosecutive. Să se arate că u eistă u umăr factorial de două cifre a cărui răsturat să fie tot umăr factorial.. Priveam cu îcâtare tablourile pictorului româ Sabi Balaşa şi am observat cum o furică se îvârtea î acelaşi ses pe margiea tabloului Eploratorul, avâd dimesiuile de 4 cm şi 49 cm. Porid ditr-u colţ al tabloului ea ajugea î acelaşi loc după 4 secude. Precizaţi î ce colţ al tabloului se află furica şi ce distaţă a parcurs după 8 miute şi secude? SUBIECTE ELABORATE MODIFICATE SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: PETRONELA CIOBANU, MARIUS BREŞUG, IULIANA BLANARU, IOSIF PAULIUC ŞI IOAN SĂCĂLEANU

25 SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE p I.. 5p I p. a6 I.. Di 5 m m 5... p, de ude A ;4... p. Di egalitatea a b a6 a b a 6 a b ab 6... p, B ;6... p. Deci, A B... p. II.. a) Di b a c b a c b... p, iar c b d c b d c b a c b d c sut codiţiile de costituire a uui grup ostim, î sesul euţului... p. Găsirea uui eemplu, precum a 5, b 6, c 7, d p şi verificarea codiţiilor de grup ostim... p a 7 t 86 b) u 86 ; 7 67 ; 67 a 64 ; 99 t ; p b c d p. Di c şi b b 68, c 7. Aalog, y 74, z 8 m 8, 9...6p. ab... p. Numerele factoriale de două cifre sut: III.. U umăr factorial se scrie 4, 4 5, 5 6, 4 6 7, , şi p. Atuci ba este, 4, 65, 7... p şi u se află pritre umerele factoriale de două cifre... p. III.. Timpul de 8 mi sec reprezită secude... p. Împărţirea 48: 4,5 reprezită că furica parcurge ture şi jumătate... p. Cum furica pleacă di A atuci ea va ajuge î puctul C, opus tabloului... p. Lugimea uui tur complet este perimetrul tabloului şi se calculează cu P L l 9 8 cm... p, atuci distaţa parcursă de furică este 8 8 : cm... p. CLASA A VI-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I ( PUNCTE):. Arătaţi că produsul a două umere aturale cosecutive este u umăr par. a a b b c. Numerele aturale eule a, b, c verifică egalitatea. c Arătaţi că a b c.. Câte umere de forma yz cu y z şi este u pătrat perfect verifică egalitatea:, yz y, z z, y y z. SUBIECTUL II ( PUNCTE):. Se dau umerele raţioale pozitive a, b, c cu proprietăţile: a 4b 5c şi 5a4b 5c 4. 4, a b 5c,4. Să se arate că are loc iegalitatea:. Locuitorii uei comue, formate di două sate A şi B, sut chemaţi la vot. Procetul de participare la vot al aşezării A este de 6%, iar al aşezării B este de 75%. Să se afle cât la sută reprezită locuitorii satului A di locuitorii satului B, dacă procetul de participare la ivelul comuei este de 69%. SUBIECTUL III ( PUNCTE):. Fie A, A, A,..., A 5 pucte coliiare î această ordie. Știid că A A A A și Ak Ak Ak Ak petru orice k, să se calculeze lugimea segmetului A A 5.

26 . Se dă ughiul alugit AOB și puctele și situate î semiplae opuse față de dreapta, astfel îcât m COD 8. a) Dacă ON este bisectoarea ughiului și OM este bisectoarea ughiului și m BOC 45'", calculați măsura MON. b) Dacă OE este semidreapta opusă semidreptei OD, calculați măsura BOE. SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE. p SUBIECTE ELABORATE MODIFICATE SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: OANA ALEXE, DANA TEODORA PAVĂL ŞI IOAN SĂCĂLEANU I.. Notăm produsul... p. Dacă k, k, atuci p k p este umăr par... p. Dacă k, atuci p k k k k este umăr par... p. I.. Deoarece a a aa şi b b bb sut pare (di a)), rezultă că c c D, c şi b sut b a c... p c c... p. Atuci aa bb 4... p. Dacă uul ditre a, atuci u terme este mai 4 aa bb p, fals. Deci, b... p c... p. a şi yz z y I.. y z y z... p; y z 99 y z 9... p. Dacă y 4 z 5, atuci 9 y z, fals... p. Deci, pătratul... p y z 8 şi z y, de ude y, z 6... p şi y, z 5... p II.. Notăm cu k a b c a k, b k, c k... p. Îlocuid î a doua relaţie dată obţiem că k... p. Atuci a b 5c... p. Deoarece,... p şi ,4... p. Deci,, a b 5c,4... p II.. Notăm cu a, umărul locuitorilor di satul A şi cu b, umărul locuitorilor di satul B. Atuci p a b a b... p. b a... p. a b... p. Di b a p b b p p 66, 6 %... p. 4 III.. A A A A ; A A4 A A ; A4 A5 A A4 ; A5 A6 A4 A5... p.... ; A4 A5... p. Atuci A A5 A A A A A A.. A4 A p, A A p. m AOC m AOB m BOC 9 44 m AOD m COD m AOC III.. a) Avem: ; m AOD 4 5 ; mbod maob m AOD p. Deoarece avem mmon mmod maod m AON... p. b) Di OE şi OD semidrepte opuse D O E pucte coliiare... p AOB ughi alugit AO B pucte coliiare... p. Ughiurile BOE, AOD sut opuse la vârf... p. Pri urmare, mboe m AOD p.

27 CLASA A VII-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I ( PUNCTE): A ;;;...;4 şi a, b, c, d,, y, m,, p, q A. Fie mulţimea a b c a) Calculaţi y, ştiid că a d b d c d şi d d d y a d b d c d. a b c d b) Dacă m,, p şi q, demostraţi că a b c d 4abcd. bcd acd abd abc c) Demostraţi că, dacă umerele u şi w u sut di A, dar verifică u w 4, atuci are loc egalitatea u w SUBIECTUL II ( PUNCTE):. Fie. Ştiid că ître umerele raţioale 7 şi 5 se găsesc cel puţi două umere aturale, să se arate că 5.. Să se determie cel mai mare umăr atural petru care următoarea problemă are soluţie uică: Darius, Emi şi Ilias au împreuă mere. Aflaţi câte mere are fiecare ditre ei, ştiid că Emi are de trei ori mai multe mere decât Darius, iar Ilias are mai multe mere decât Darius şi mai puţie decât Emi. SUBIECTUL III ( PUNCTE):. Liiile mijlocii ale uui triughi isoscel sut egale cu şi 7. Demostraţi că perimetrul triughiului este egal cu 4.. Determiaţi toate dreptughiurile, cu lugimile laturilor eprimate î umere aturale, petru care aria şi perimetrul se eprimă pri acelaşi umăr.. Triughiul ABC este dreptughic î A şi are m ABC. Cosiderăm îălţimea AF şi bisectoarele BE şi AD. Arătaţi că AFD BAE şi că BE AD. SUBIECTE ELABORATE MODIFICATE SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: BOGDAN DORNEANU, GHEORGHE OANCEA ŞI IOAN SĂCĂLEANU SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE. a d b d c d I.a. Observăm că y... p şi că y a d b d c d, căci altfel am avea y A... p, deducem că, y sau, y... p, de ude y... p. a b c d I.b. Avem m pq... p şi di m,, p, q A b c d a c d a b d a b c m p q... p. Deducem că de ude 4 a m abcd, 4 b abcd, a b c d abcd m p q 4abcd... p. 4 c abcd, 4 d abcd... p, I.c. Îmulţid relaţia u w 4 cu 4uw... p, deducem că 4 u 4 w u w... p, de ude uw 4u 4w 4 4 u 4 w p. Atuci... p u w p.

28 II.. Porid de la ideea că ître două umere raţioale pozitive se află cel puţi două umere aturale umai dacă difereţa lor este mai mare decât... 4p, obţiem că... p, de ude p. II.. Notăm umărul de mere ale lui Darius cu, ale lui Emi cu y, iar ale lui Ilias cu z. Obţiem relaţiile: y z, y... p, de ude z 4... p. Cum z y p, de ude şi... p. Deoarece este soluţia uică petru care, atuci p, de ude 5 şi cum este maim rezultă că 5... p. III.. Coform teoremei liiei mijlocii, rezultă că lugimile laturilor a, b şi c pot fi 6 sau 7... p. Verificarea iegalităţii ître laturile triughiului î cele două situaţii: a b 6 şi c 4 e dă 6 6 4, fals... p, iar a b 4 şi c 6, verifică... p, de ude perimetrul este P 4... p. III.. Notăm dimesiuile dreptughiului cu L şi l. Atuci: Ll L l... p, de ude L l L l 4 4 L l 4... p. Cum L, l, deducem că L 4, l L 6, l... p şi L, l L l 4... p. m EBA m B 5... p, mbad m A m FAB 9 m B 6 m FAD m FAB m BAD 5... p. III.. Di BE,AD bisectori p;... p, de ude Di T rezultă că AF p UU AFD BAE... p FAD EAB 5 şi AFD EAB 9... AD AF... p, de ude BE AD... p. BE AB AB... p. Atuci CLASA A VIII-A: ENUNŢURI SUBIECTUL I ( PUNCTE):. (6p) Fie a, b, c. Dacă sigurul umăr atural di itervalul a; c este b, arătaţi că epresia b a c u depide de a, b, c.. (7p) Descompueţi î factori de gradul îtâi epresia algebrică E 8.. (7p) U biciclist trebuie să parcurgă u drum de 6 km şi îşi face socoteala că va ajuge la destiaţie la o aumită oră. Drumul fiid rău, viteza sa este cu km h mai mică decât cea prevăzută şi di cauza aceasta el ajuge la destiaţie cu o îtârziere de o oră. Se cere viteza cu care biciclistul a dorit să parcurgă drumul. SUBIECTUL II ( PUNCTE):. (8p) Demostraţi egalitatea următoare: b c a a c b a b c a b c a b c, a, b, c.. (p) Arătaţi că umărul 6 poate fi scris şi ca sumă de patru pătrate perfecte şi ca sumă de trei umere aturale, pătrate perfecte. 4

29 SUBIECTUL III ( PUNCTE): Se cosideră u paralelipiped dreptughic diagoala paralelipipedului, cu d, d, v BD ; BC şi w BD AB Micii MATEMATICIENI ;. a) (6p) Arătaţi că d d d d. b) (6p) Arătaţi că cos u cos v cos w. c) (8p) Ştiid că dd dd dd d, să se arate că ABCDA B C D de dimesiui a, b, c. Notăm cu d d diagoalele feţelor sale, iar cu u BD ; BB ABCDA B C D este cub. ; SUBIECTE ELABORATE MODIFICATE SELECTATE ŞI PROPUSE DE: PROFESORII: MIHAELA TURNEA, RAMONA DARIE ŞI AUREL NEICU SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE. I.. Di b sigurul di a; c, a, c a, b, c cosecutive b a şi c a... p. Atuci I.. b ac a a a a... p, de ude b ac u depide de a, b, c... p p, 9... p, 9 E... p I.. Avem vt 6 t... p şi 6 vt t... p, v v v v v v 8... p, ) v v 9 v 9, fals şi v soluţia problemei... p. II.. b c a b c a bc ab ac... p, 4 b c a b c a bc ab ac... 4 b c a b c a bc ab ac p, b c a...p, b c a bc ab ac 4...p 4 Pri îsumarea relaţiilor se obţie egalitatea di euţ... 4p. II.. Vom scrie pe 6 a b c. Avem , de ude a 4, b 8, c 44 (eistă mai multe soluţii: 4,, 4 sau 6, 4, )... 6p. Petru o soluţie găsită se îlocuieşte î egalitatea de la ) şi se obţie că p. III.a. Scrierea relaţiilor: d a b... p, d c b... p, d a c... p, d a b c... p. Fializarea... p. b c a b c a III.b. Di cos u... p, cos v... p, cos w... p, cos u cos v cos w d d d d d... p, cos u cos v cos w... p. d III.c. Di a) d d d d d d d d d... p, d d d d d d... p, d d d... p, a b b c c a a b c ABCDA B C D este cub... p. *** ZÂMBETUL ŞTIINŢEI ÎN ACEASTĂ RUBRICĂ VOM TRECE ÎN REVISTĂ CÂTEVA ANECDOTE SEMNIFICATIVE ŞI AMINTIRI DIN VIAŢA CELOR MAI DE FRUNTE MATEMATICIENI. D ALE LUI DAVID HILBERT (MATEMATICIAN GERMAN, 86-94) Î timpul ueia ditre prelegerile sale, David Hilbet spuea: Fiecare om posedă u aumit orizot. Câd se îgustează şi devie ifiit de mic, el se trasformă î puct şi atuci omul zice: "Acesta este puctul meu de vedere". 5

30 TESTAREA ABSOLVENŢILOR DE CLASA A IV-A ÎN VEDEREA ÎNSCRIERII ÎN CLASA A V-A VARIANTA NR., 7 MAI 4 SUBIECTUL I ( PUNCTE):. Aflaţi restul împărţirii umărului 4 la umărul 7.. Calculaţi: 554 : 4 8: : 54 : 9. SUBIECTUL II ( PUNCTE): Aflaţi valoarea umerică a literelor a, b, c di egalităţile: a) a : 4 5 ; b) b ; c) c 4 4c 4. SUBIECTUL III ( PUNCTE):. Suma vârstelor celor patru copii ai uei familii este de ai. Aflaţi vârstele copiilor ştiid că î familie u sut gemei.. O carte, u caiet şi u stilou costă 9 lei. Cartea este mai scumpă decât caietul cu lei şi mai ieftiă decât stiloul cu lei. Cât costă fiecare obiect? SUBIECTUL IV ( PUNCTE): Ce oră arată ceasul meu acum, dacă de la ora a trecut jumătate di timpul care a rămas pâă la sfârşitul zilei? VARIANTA NR., 7 MAI 4 SUBIECTUL I ( PUNCTE): Să se calculeze valoarea epresiei: 5a 4bc, ştiid că: 4 6 : :7 c 7 7 : 74. a ; b şi SUBIECTUL II (5 PUNCTE):. Ştiid că a 4, calculaţi: a 4 5 a : 6.. Aflaţi valoarea lui di egalitatea: 48 : 5 6 : 9 9. SUBIECTUL III (5 PUNCTE):. Se cosideră umerele aturale a şi b cu a b. Aflaţi umerele ştiid că difereţa lor este, iar b este trei sferturi di a.. Îtr-o fructieră erau portocale. Mihaela şi Mihai au mâcat di acele portocale, lăsâd î fructieră o treime di umărul lor. Mama a mai pus la loc 5 portocale şi astfel acum sut 7 portocale î fructieră. Câte portocale erau la îceput î fructieră? SUBIECTUL IV ( PUNCTE): Suma vârstelor a trei fraţi este de 5 ai. Cel mai mare are ochii egri. Arătaţi că ceilalţi doi sut de aceeaşi vârstă. 6

31 VARIANTA NR., 7 MAI 4 SUBIECTUL I (9 PUNCTE): Arătaţi că 5 : 4 :5 : 7 : 9 : 4 5. SUBIECTUL II ( PUNCTE): Aflaţi umărul ecuoscut di fiecare ditre egalităţile: a) a 6 : ; b) b ; c) d 65: SUBIECTUL III (8 PUNCTE): Dacă împărţim la patru fiecare terme al uui şir de umere, obţiem mai multe umere cosecutive impare. Suma ultimelor două umere obţiute este 96 şi este mai mare cu 6 decât dublul sumei primelor două umere. Să se găsească al cicilea terme al şirului. SUBIECTUL IV ( PUNCTE): Pe o creagă stau de veveriţe. Veveriţa Ştefi are î spatele său u sfert di umărul veveriţelor di faţa sa. Pe ce poziţie se află Ştefi? SUBIECTE ELABORATE MODIFICATE SELECTATE ŞI PROPUSE DE: IOAN SĂCĂLEANU, AUREL NEICU, GHEORGHE OANCEA ŞI RAMONA DARIE *** CONCURSUL DE CREAŢIE MATEMATICĂ AL REVISTEI CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ -5 Au răspus ivitaţiei următorii elevi: PAVEL OANA (clasa a III-a): o problemă; CURCĂ ALIN (clasa a IV-a): o problemă; PRIGOREANU ANDREI (clasa a IV-a): o problemă; ROŞU-PAŞCU PARASCHIVA (clasa a IV-a): trei probleme; Au fost premiaţi elevii: PAVEL OANA, MENŢIUNE PRIGOREANU ANDREI, MENŢIUNE. FELICITĂRI! Premiile se vor îmâa la festivitatea de deschidere a CONCURSULUI NAŢIONAL MICII MATEMATICIENI, di 8 martie 5. 7

32 PROIECTUL EDUCAŢIONAL SUPER MATE PROIECTUL EDUCAŢIONAL,,SUPER MATE și-a cotiuat activitatea, și î aul şcolar - 4, la Școala Gimazială,,Petru Rareș,, Hârlău. Elevii sut îcâtați de compleitatea și atractivitatea eercițiilor și problemelor propuse, dar care sut rezolvate cu ușuriță de cei prezeți, sub îdrumarea profesorilor care fac cu drag această activitate î fiecare sâmbătă. Le mulțumim îcă o dată domilor profesori: MARIANA CHELARU, LUMINIŢA MUŞEI, VASILICA TEODORESCU, PETRONELA CIOBANU, VASILE ROZNOVĂŢ, MIRCEA POPA, BOGDAN DORNEANU, ADRIANA MELINTE, MIHAELA TOMULESEI, CLAUDIU MORARIU, MIRELA MUNTEANU ( ŞC.,,PETRU RAREŞ HÂRLĂU), GEORGETA ROPCEANU (ŞC. SLOBOZIA), OLGA ȘERBAN ( ŞC. BĂDENI). Elevii cupriși î proiect au obțiut rezultate deosebite la cocursurile la care au participat: CONCURSUL,,MICII MATEMATICIENI orgaizat de Colegiul Națioal,,Ştefa cel Mare, CLASA A III-A: A: Cozma Elea (M); B: Voricu David (M), Buzea Aleadru (M), Șalaru Ioaa (M), Cuibuș Teodor (M); D: Chitic Deisa (P), Dascălu Cezar (M), Opică Larisa (M), Formagiu Maria (M), Prigoreau Ali (M), Ugureau Narcisa (M), Bîrlădeau Rareș (M). CLASA A IV-A: A: Fluturel Aleadru (P), Moșiesei Aleadra (M), Ețuc Sebastia (M), Sadu Cristia (M), Spiei Iria (M), Cuibuș Aleadru (M), Grigore Raluca (M), Musteață Teofil (M); B: Bra Iouț (M), Curecheriu Elea (M), David Cristia (M); C: Băhăreau Adreea (M), Mihăilă Aleadru (M), Cotuă Daria (M), Ciubotaru Ștefaa (M); D: Bolboros Gabriela (M); ZAGAVIA: Moisii Bogda (M). CONCURSUL,,EUCLID CLASA A III-A: B: Șalaru Ioaa (P+M+P), Cuibuș Teodor (P+P), Buzea Aleadru (M+P); D: Prigoreau Ali (P+P+M+CALIFICAT FINALĂ), Ababei Nadia (P+M+M), Chitic Deisa (P+P), Dascălu Cezar (P+P+P+CALIFICAT FINALĂ), Doboș Ioaa (M+P+P), Ugureau Narcisa (M+P), Bîrlădeau Rareș (M+M+P), Opică Larisa (M+P+P), Formagiu Maria (M+M). CLASA A IV-A: A: Sadu Cristia (P+P+P), Dumitrache Maria (P+P+P), Spiei Iria (P+P+P), Moșiesei Aleadra (P); B: Bra Iouț (P+P+P); C: Mihăilă Aleadru (P+P), Băhăreau Adreea (P), Blaga Geaia (M); D: Bolboros Gabriela (P+P+P), Bucur Atoia (M) CONCURSUL,,PRÂSLEA CEL ISTEȚ CLASA A III-A: D: Chitic Deisa (P) şi Dascălu Cezar (M). GAZETA MATEMATICĂ JUNIOR CLASA A III-A: B: Șalaru Ioaa (97 P); D: Dascălu Cezar (9 P), Formagiu Maria (86 P), Prigoreau Ali (85 P). CLASA A IV-A: A: Dumitrache Maria ( P), Grigore Raluca ( P), Spiei Iria ( P), Sadu Cristia ( P), Moșiesei Aleadra (95 P), Cuibuș Codruț (95 P), Musteață Teofil (85 P); B: David Cristia (8 P); C: Băhăreau Adreea ( P). CONCURSUL,,PROEDUCAȚIA CLASA A III-A: C: Pitilie Edi (MS), Lăcureau Beatris (MS), Tou Ioela (MS), Curcă Ali (MS); D: Prigoreau Ali (P),Ababei Nadia (MS), Chitic Deisa (MS), Ugureau Narcisa (MS). CLASA A IV-A: C: Ciubotaru Șt. (P), Băhăreau A. (MS); D: Bolboros G. (MS),, Trofi D. (MS). CONCURSUL,,FII INTELIGENT LA MATEMATICĂ CLASA A III-A: B: Voricu David (95 P);D: Ugureau Narcisa (M), Opică Larisa (M). CLASA A IV-A: A: Dumitrache Maria(P),Moșiesei Aleadra(P), Curcă Aleadru(96 P); C: Ciubotariu Ștefaa(95 P), Blaga Geaia(9 P), Băhăreau Adreea(8 P); D: Bolboros Gabriela(P) PROF. ÎNV.PRIMAR MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ,,PETRU RAREŞ COORDONATOR - CENTRUL NR. 6 - HÂRLĂU 8

33 CLUBUL MICILOR MATEMATICIENI Vom prezeta activitatea cercului CLUBUL MICILOR MATEMATICIENI şi rezultatele obţiute de uii membri ai cercului î aul şcolar -4, activitate desfăşurată pe următoarele coordoate de referiţă:. PREGĂTIREA CONCURSURILOR ŞCOLARE PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PROPUSE ÎN DIVERSE REVISTE. Astfel, uii membri ai cercului au apărut la RUBRICA REZOLVITORILOR î revistele : GAZETA MATEMATICĂ, BUCUREŞTI CLASA A VII-A (PROF. ÎNDRUMĂTOR AUREL NEICU): Musteaţă Robert Adrei; Duha Dragoş ; Petcu Stelia; Moraru Eduard; Florişteau Biaca; Bezedică Robert; Maticiuc Cosmi ; Pavel Mihai ; Deleau Radu şi Vicol Ştefa.. DEZVOLTAREA POTENŢIALULUI CREATIV PRIN CREAREA DE NOI PROBLEME. Cocursul de creaţie matematică CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ-4 oferă posibilitatea elevilor de a-şi dezvolta poteţialul creativ şi de a propue probleme origiale. Elevul ROMAN RĂZVAN-MIHAI, clasa a IV-a a obţiut MENŢIUNE.. REZULTATE OBŢINUTE LA CONCURSURI (PREMII ŞI MENŢIUNI) Participarea membrilor cercului şi rezultatele obţiute la următoarele cocursuri : CONCURSUL ŞCOLAR NAŢIONAL DE COMPETENŢĂ ŞI PERFORMANŢĂ COMPER EDIŢIA -4: CLASELE: A V-A ŞI A VI-A (metor Gheorghe Oacea ), A VII-A (metoraurel Neicu ) şi A VIII-A (I. Săcăleau). CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ APLICATĂ SPERANŢE OLIMPICE Paşcai, oiembrie : CLASA A IX-A (A: prof. îdrumător Ioa Săcăleau) Dolhescu Aleadru-Cătăli (M). CONCURSUL INTERDISCIPLINAR MATEMATICĂ-FIZICĂ-ŞTIINŢE HENRI COANDĂ Colegiul Ibrǎileau, Iaşi, februarie 4: CLASA A VI-A (îdrumǎtori:floretia Sârbu şi Gheorghe Oacea): Voricu Iulia (M). CLASA A VII-A (îdrumǎtori: Aca Maria Bobîrǎ şi Aurel Neicu): Musteaţă Robert Adrei (M). CONCURSUL INTERNAŢIONAL DE MATEMATICĂ ÎN LIMBA FRANCEZĂ MATHÉMATIQUES SANS FRONTIÈRES orgaizat de Academie de Strasburg, decembrie -martie 4: PRIX SPECIAL: clasa A X-A A şi TROISIEME PRIX: clasa A XI-A A (îdrumǎtor Ioa Sǎcǎleau). Au mai participat clasele: A VII-A (îdrumător Aurel Neicu ), A VIII-A A IX-A A (îdrumător Io Săcăleau). OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA JUDEŢEANĂ Iaşi, 8 martie 4: CLASA A V-A (îdrumǎtor Gheorghe Oacea): Agheorghiesei Horia (M). CLASA A VI-A (îdrumǎtor Gheorghe Oacea): Mihăilă Maria Deisa (M). CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI -ETAPA JUDEṭEANǍ Iaşi, 8 martie 4: CLASA A X-A (B îdrumǎtor Aurel Neicu): Stoica Laureţiu Iouţ (M) şi Ţugui Adreea Ioaa (M) CLASA A XI-A (B îdrumǎtor Gheorghe Oacea): Leahu Adrei (P) şi Nucă Aa Maria (M); (C îdrumǎtor Iuliaa Blaariu): Gacea Mihaela (P) şi Gacea Petroela (M); ( G îdrumǎtor Ramoa Darie): Procovau Cosmia Elea (M), Ţuţuiau Ovidiu Dumitru (P) şi Ilica Aleadru Gheorghe (M). CLASA A XII-A ( B îdrumǎtor Ioa Sǎcǎleau): Pleta Deisa Elea (M) şi Găiă Petroela (M). CONCURSUL JUDEŢEAN MICII MATEMATICIENI Hârlău, 9 martie 4: CLASA A V-A (îdrumǎtor Gheorghe Oacea ): Aghiorghiesei Horia (P), Ifrim Tudor Nicolae (M), Purcel Ioaa Elea (M), Rasitariu Dumitru Aleadru (M), Maim Ştefa Theodor (M), Cozma Aleadra Gabriela (M), Creţu Adreea (M), Roiu Laviia Maria (M), Crăcaă Adra Elea (M), Bolboros Elea Larisa (M), Cîmpeau Ioaa Petria (M), Dulha Petru Sebastia (M), Meteleţ Coria Giaia (M). 9

34 CLASA A VI-A (îdrumǎtor Gheorghe Oacea): Ciubuc Teodor Cosmi (M); Scutariu Ioaa Aleadra (M); Amoşiesei Deisa Ioela (M); Mihăilă Maria Deisa(M); Leagă Iasmia Maria (M) şi Leagă Da Adria (M). CLASA A VII-A (îdrumǎtor Aurel Neicu): Musteaṭǎ Robert (P), CLASA A VIII-A (îdrumǎtor Ioa Sǎcǎleau): Căli Costati (P), Loghi Adrei Flori (M), Cotiugă Ilie Iulia (M), Buzămurgă Raluca Georgiaa (M), Puhă Aleadru (M), Aştefăesei Daiel Maria (M), Loghi Adrei (M) şi Suruiuc Costati (M). RESPONSABILUL CATEDREI DE MATEMATICĂ, PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU UNDE ESTE GREŞEALA? A. TOATE NUMERELE NATURALE SUNT EGALE? Fie f : R R, f ( ). Calculăm itegrala f ( ) d pri metoda itegrării pri părţi: d d d d. Deci, d d. Deducem că. Dacă egalităţii, aduăm obţiem. Cotiuâd obţiem egalităţile:, 4,, Deci, toate umerele aturale sut egale. Altfel, porid de la fucţia f : R R, f ( ), N obţiem: d d d d d d, adică, Pri urmare, orice umăr atural este egal cu, adică sut egale. B. UN LEU ARE BANI SAU BANI? Se ştie că, 5lei 5 bai. Etrăgâd rădăcia pătrată di egalitate, obţiem că, 5 lei 5 bai, de ude deducem că,5lei 5 bai. Aşadar, leu are bai. CULESE DE NEICU MARA, ELEVĂ, CLASA A XII-A

35 PROBLEME ŞI SOLUŢII Această rubrică coţie euţurile şi soluţiile PROBLEMELOR PROPUSE revistei MICII MATEMATICIENI, di martie 4. î umărul 8 al MATEMATICA PITICĂ P.: Arătaţi că: 5 : 4 :5: 45:5 : 4 5. SOLUŢIE: 5: 6 4 :5 : : 5 4 A. 4 :5 : 5:5 : PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 5:5 4 :5 : P.: U cagur grăbit face patru sărituri î şase secude. Petru a ajuge la cocursul Cagurul matematic lui îi mai trebuie 8 sărituri. Î cât timp credeţi că ajuge la cocurs? RĂZVAN-MIHAI ROMAN, ELEV, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Di 4 sărituri î 6 secude deducem că î secude cagurul face sărituri, de ude 8 9 sărituri vor fi făcute î 9 7 secude. P.4: Să se arate că valoarea epresiei: aaa : aaa : aa: a 4 este acelaşi umăr, idiferet de valoarea cifrei eule a. PROF. ÎNV. PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: a : a a : a a : a P.5: Să se afle umere aturale știid că suma succesorilor acelor umere este 4, al doilea umăr este jumătate di suma a celorlalte două și că succesorul celui de al treilea umăr este egal cu suma celorlalte două umere. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu a, b, c cele trei umere. Avem: a b c 4 a b c. Di b a c: a c b a b c b b b : 7 şi a c 4. Di c a b c a 7 c a 6 a c a 6 4 a 6 a 8: 4 şi c. P.6: Marius avea o sumă de bai. Petru ziua de 8 Martie, el a cumpărat eșarfe a câte 8 lei fiecare petru mama și buicele lui și cărți a câte 7 lei fiecare petru verișoarele lui. I-a rămas o sumă de bai egală cu o cicime di suma iițială. Ce sumă de bai a avut Marius la îceput și ce sumă de bai i-a rămas? PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA CREŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Costul celor eşarfe este 8 54 lei, iar a celor cărţi este 7 4 lei. A cheltuit î total suma lei, care reprezită 4 cicimi, de ude o cicime este 88 : 4 lei, suma de bai rămasă. Suma iiţială este 88 lei. P.7: Maria vrea să-i ofere mamei sale de 8 Martie u buchet de 9 flori. Erau flori cu petale și 5 petale, î total de petale.aflați câte flori erau cu petale și câte cu 5 petale? PROF. ÎNV. PRIMAR MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu a umărul de flori cu petale, iar cu b pe cel cu 5 petale. Avem: a b 9 a b 7 şi a 5 b a b b 7 b b 6

36 b şi a 9 6. Deci, sut şase flori cu petale şi trei flori cu 5 petale. P.8: Cu baii pe care îi are Ioaa poate cumpăra u pi şi o carte, care costă cu lei mai mult decât piul. Câţi lei are Ioaa, dacă preţul cărţii este egal cu costul a 6 piuri şi îcă lei? ÎNV. MARIETA MUŞEI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu p pereţul piului, iar cu c preţul cărţii. Avem: c p şi c 6 p, de ude p 6 p 6 p p 6 p p 6 p p 5 p p lei, iar c 4 lei. Ioaa are 4 6 lei. P.9: Î aul 8, u tată avea 4 ai, iar cei trei fii aveau 4, 9, respectiv 5 ai. Î aul câd s-a ăscut Ilias, al patrulea copil, vârsta tatălui era egală cu suma vârstelor copiilor săi. Aflaţi aul de aştere a lui Ilias. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Peste ai, avem: ai. Pri urmare, aul de aştere a lui Ilias este P.4: Câte flori a cules Mateea, ştiid că dacă ar fi cu ua mai puţi, atuci jumătate di acel umăr ar fi cu uu mai mare decât sfertul lui? PROF. ÎNV. PRIMAR TEREZA RUGINĂ, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU : : 4. Îmulţid SOLUŢIE: Notăm cu umărul de flori culese de Matea. Atuci cu 4 egalitatea, obţiem: 4, de ude 5. P.4: Trei copii au împreuă 6 lei. Primii doi au 578, iar al doilea împreuă cu al treilea au 77 lei. Ce sumă are fiecare. ÎNV. VASILE ROZNOVĂȚ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREȘ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Avem: a b c 6. Cum a b c 6 c Cum b c 77 b , iar a P.4: Suma a cici umere aturale impare cosecutive este egală cu 5. Aflaţi umerele. PROF. DOINA STOICA, LICEUL TEHNOLOGIC FRANCISC NEWMAN, ARAD SOLUŢIE: Avem: a a a 4a 6a 8 5 5a 5 5a 995 a 995: Numerele sut 99, 4, 4, 45 şi 47. P.4: Suma vârstelor tatălui şi a fiilor săi gemei este 5 ai. Peste 5 ai tatăl va avea dublul sumei vârstelor gemeilor. Care este vârsta fiecăruia? PROF. ÎNV. PRIMAR IOANA ONOFREI, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI SOLUŢIE: Notăm cu t vârsta actuală a tatălui şi cu f vârsta actuală a gemeilor. t f 5 şi t 5 f 5 t 5 4 f t 4 f 5 t f 6 f 5, de ude 5 6 f 5 6 f 6 f 6 ai, t 56 9 ai. P.44: Fie şirul de umere, 4, 9, 6,... Care este cel de-al o sutălea umăr? PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA SIMIONESCU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Observăm că, 4, 9, 6 44 al o sutălea este. P.45: Suma a două umere aturale este 59. Jumătate di primul umăr este cu mai mică decât a treia parte di al doilea umăr. Aflați umerele. ÎNV. MARIANA CHELARU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu a şi b umerele căutate. Atuci a b 59 şi a : b :. Îmulţid cu 6 ultima egalitate şi pe prima cu, obţiem: a b 8 şi a b 77. Obţiem că

37 b8 b 77 5b 778 b 95 : 5 9 şi a 599. P.46: Îtr-o curte sut găii și miei, î total 4 de capete și 96 de picioare. Câte găii și câți miei sut î curte? PROF. ÎNV. PRIMAR GABRIELA-LILANA ONOFREI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu g umărul găiilor, iar cu m a meilor. Avem: g m 4 g m 8 şi g 4 m 96 g m m 96 8 m 96 m 4 m 7 şi g Î curte găsim 7 miei şi 4 găii. P.47: Găsiţi toate umerele cuprise ître 8 şi care pot fi scrise ca suma uor umere aturale cosecutive. PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA SIMIONESCU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Avem: 9 4 ; 4 ; 5 6 şi 4 5. P.48: Lui Marius îi place să se joace cu bile. La sfârşitul zilei, el are cu opt bile mai mult ca î dimieaţa acelei zile. Totuşi ziua îcepuse rău căci la amiază el pierduse trei bile. Ce s-a petrecut după amiaza? PROF. ÎNV. PRIMAR IOANA ONOFREI, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI SOLUŢIE: După amiaza Marius a câştigat bile pierdute şi cu 8 bile, î total bile. P.49: Pe u platou sut de 4 ori mai multe portocale decât baae. Valeti ia 6 portocale și baae. Pe platou rămâ de 6 ori mai multe portocale decât baae. Câte portocale și câte baae au fost la îceput pe platou? PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA CREŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIA : Figurăm datele problemei folosid simbolul P petru portocale şi B petru baae. s e a r a d i m i e a t a p i e r d u t e 8 b i l e d u p a a m i a z a PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB... Se iau 6 portocale şi baae. Reprezetarea grupelor va fi astfel: PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB PPPPB... Se observă că au rămas 6 portocale şi u umăr de grupe, pe care u îl cuoaştem, format ditre o baaă şi 4 portocale. Di datele problemei se cuoaşte că acum umărul portocalelor este de 6 ori mai mare decât umărul baaelor, decu fiecărei baaa îi corespud 6 portocale. Se vor repartiza cele 6 portocale la grupele eistete, petru a obţie grupe formate di 6 portocale şi o baaă. Se vor completa 6 : grupe. Deci pe platou au rămas baae şi 6 8 portocale. La îceput au fost: 6 baae şi portocale. SOLUŢIA : Notăm cu umărul portocalelor cu p, a baaelor cu b. Avem egalităţile: p 4 b şi p6 6 b 4b6 6b8 86 6b4b b b 6 şi p 4. P.5: Maya vrea să cofecțioeze două feluri de brățări, avâd î total 7 mărgele. Ea face simulta brățări de câte 5 mărgele și de câte mărgele. Câte brățări poate să facă, fără a-i rămâe mărgele? PROF. ÎNV. PRIMAR MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm umărul brăţărilor cu 5 a a mărgele cu a, iar cu b pe cele cu mărgele. 7 5 a Deducem că 5a b 7 5a 7 b a 9şib 7 5 a. Orgaizâd datele b F F F F 7 F F F F F î tabelul alăturat, deducem că sut 4 brăţări a câte 5 mărgele şi 7 brăţări a câte mărgele.

38 P.5: Şase uci şi două pere câtăresc cât de prue, iar o ucă şi şase prue câtăresc cât o pară. Câte prue câtăresc cât o pară? PROF. ÎNV. PRIMAR EMILIA OPREA, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm umărul ucilor cu a, al perelor cu b şi al pruelor cu c. Di euţ, deducem relaţiile: 6a b c, de ude a b c şi b a 6 c. Aşadar, pri îlocuirea : lui b, obţiem: a a 6c c, de aici 4a c6 c, adică 4a 4c a c. Pri urmare, b c 6c b 7 c, adică o pară câtăreşte cât şapte prue. P.5: Coada uei pisici sălbatice este cu 6 cetimetri mai lugă decât coada uui râs. Dacă i s-ar mai lugi coada cu cetimetri, atuci ar fi de două ori mai lugă decât coada râsului. Ce lugime are coada pisicii sălbatice? ÎNV. VASILICA TEODORESCU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notâd cu p lugimea cozii pisicii, iar cu r pe cea a râsului, obţiem relaţiile: p r 6 şi p r, de ude r 6 r r r 6, adică r 6 cm şi p cm. P.5: Aflaţi termeul ecuoscut di egalitatea: SOLUŢIE: Notăm : 8 : 4 : :8 8. PROF. ÎNV. PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU p 8 p : 4 p şi : 4 p. Atuci 4 p 8 p p 8. 4 p 8 p 8:4, de ude 8 6 P.54: Sutem u grup de sportivi. Toţi jucăm fotbal, î afară de. Toţi jucăm hadbal, î afară de. Toţi jucăm baschet, î afară de. Arătaţi că fiecare sport este practicat de acelaşi umăr de sportivi di grup şi aflaţi umărul lor. PROF. ÎNV. PRIMAR TEREZA RUGINĂ, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu f, cu h şi cu b umărul jucătorilor care joacă fotbal, care joacă hadbal, respectiv care joacă baschet. Avem egalităţile: h b, b f şi f h. Pri aduare şi apoi pri împărţire la, obţiem umărului gupului de sportivi: f h b şi f h b. P.55: Patru umere au suma egală cu 4. Dacă di fiecare se scade acelaşi umăr se obţi patru umere cosecutive a căror sumă este. Aflaţi cele patru umere. ÎNV. ADRIANA MELINTE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Notăm cu a, b, c, d umerele căutate şi cu, cel care se scade. Avem: a b c d 4 şi a p, b p, c p şi d p. Datele di euţ şi a b c d pot fi scrise astfel: p p p p 4 p 6 şia b c d4 6 p 5 şi 44. Pri urmare, a 5, b 5, c 54 şi c 55. NOTA REDACŢIEI. Nu era evoie să ştim suma umerelor cosecutive. Îtr-adevăr, di euţ deducem că cele patru umere căutate sut cosecutive cu suma 4. P.56: Aflaţi umărul atural abcd petru care a ab abc abcd 4. PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Di scrierea: a a b a b c a b c d 4, rezultă că aaaa bbb cc d 4. Cum a şi aaaa 4 a, de ude bbb cc d 9. Dacă b 7, atuci 9 bbb cc d , absurd. Deci, b 8 şi cum bbb 9 b 8. Atuci cc d 5. Di cc 5 c şi d 4. Pri urmare, abcd 84. 4

39 MATEMATICA GIMNAZIALĂ CLASA A V-A : Arătaţi că : 5 6 :9 : PROF. RAMONA DARIE, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Se observă că membrul drept al iegalităţii este ul îtrucât produsul coţie factorul Iegalitatea este 5 : 5 4 : A : U leu măâcă o oaie îtr-o oră şi 4 miute, lupul î două ore şi jumătate, iar câiele î cici ore. Î cât timp ar mâca o oaie împreuă? PROF. ADINA VASILIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ CÂRJOAIA, IAŞI SOLUŢIE: Î 5 ore, câiele măâcă oaie, lupul oi, iar leul oi. Împreuă vor mâca 6 oi î 5 ore, adică miute. Deci, o oaie ar fi mâcată împreuă î 5 miute. 5.7 : Aflaţi 5 astfel îcât are loc egalitatea:... SOLUŢIE: Îmulţid paratezele, obţiem: 7. PROF. OANA ALEXE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU..., de ude sau, căci.... Deci, ;. 5.8 : Găsiţi pătratele de forma abc, avâd cifrele umere aturale cosecutive. PROF. IULIANA BLANARU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Calculâd cele pătrate de trei cifre eistete, descoperim că sigurele umere cu cifre cosecutive sut 4 8 şi : Găsiţi cel puţi cici soluţii ale ecuaţiei: z z z t, ude, y, t şi sut umere prime. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA. Numerele şi z u pot avea aceeaşi paritate, SOLUŢIE: Di codiţia de eisteţă a puterii z z căci ar rezulta t par şi prim t z z, fals. Deci, sau z. Vom căuta soluţii cu z şi t 4 prim. Petru ;;5;7;;;7 t 8;;9;5; 5;7;9. 5. : Se cosideră egalitatea: mare umăr atural al cărui pătrat este umărul abc. abc cab bca Determiaţi cel mai mic şi cel mai PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Avem abc cab bca a b c 7 a b c 8 a b c a b c 6 este. Cum. Valoarea cea mai mare a lui abc 69. Numerele căutate sut şi abc 96, iar cea mai mică 4 5. : Să se arate că umărul... u poate fi pătrat perfect, oricare ar fi. PROF. MIHᾺLY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV 5

40 ot SOLUŢIE: Avem S Petru ot 4 ca S să fie pătrat perfect trebuie ca a... să fie par deoarece este multiplul lui. Idiferet de paritatea lui, umărul a este impar, cotradicţie. Deci, S u poate fi pătrat perfect. 5. : Arătaţi că u eistă umerele aturale şi y cu proprietatea SOLUŢIE: Di 5 y. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 5y U U 5y ;; 4;9;6;5 ;8, fals. q.e.d : Aflaţi ultimele trei cifre ale umărului a PROF. GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Di cei 8 termei ai umărului a facem 5 grupe de câte 4 termei. Atuci avem a , de ude scrierea lui a a k a Cum U 7 a : Câte perechi de umere aturale ; b a a b verifică egalitatea: a b. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Datorită simetriei epresiei deducem că soluţia a; b atrage şi soluţia b; a şi că este suficiet să găsim soluţiile cu a b. Dacă Dacă a a F. Dacă a b b. b b b b 5 şi b umăr par. Verifică umai b 4. Dacă b a a b 54 a; b ;, ;4, 4;, ;. a b, de ude 5.5 : Demostraţi adevărul iegalitaţii:, fals. Deci, PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 8 SOLUŢIE: Avem: şi 67 Pri aduare : Determiaţi umărul atural zy astfel îcât fracţia yy zz să fie echiuitară. PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI SOLUŢIE: Avem yy zz y z y 9 z, de ude y 9 y 9 şi 8 z 5 şi z 4. Deci, zy 459 este umărul căutat. 5.7 : Arată că N este divizibil cu 4,. PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI SOLUŢIE: Grupâd şi dâd factor comu, avem: N N Petru ca N să fie divizibil cu este suficiet să se dividă cu umerele prime, 9 şi 5. Ţiâd seama că 9 9, 9, 7 5 şi 54 5 N M M este produs, obţiem: 9 5. Deoarece 6

41 de umere cosecutive, el este divizibil cu, de ude vom obţie N M M 9 M 5 M 4, 5.8 : Difereţa ditre u umăr atural abc şi răsturatul său este pătrat perfect. Aflaţi toate aceste umere aturale. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Avem: abccba a b c c b a 99a99c a c este pătrat dacă. Deoarece a c 9 a c k forma aba cu a 9 9 umere. k 9 k a c. Numerele sut de 5.9 : U umăr atural are proprietatea că se poate descompue atât ca sumă, cât şi ca produs al aceloraşi umere aturale. Demostraţi că este umăr compus. PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Fie,,, p cu p şi p astfel... p şi... p. Vom demostra pri metoda reducerii la absurd. Presupuem că este umăr prim... p, de ude p p, fals. Deci, este umăr compus. şi 5. : La o masă rotudă stau 8 persoae, a căror sumă a vârstelor este ai. Arătați că, idiferet cum se așază la masă aceste persoae, vor eista două persoae alăturate a căror sumă a vârstelor este mai mare de 8 de ai. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIE: Presupuem că suma vârstelor oricăror două persoae alăturate este mai mică sau egală cu 8. Atuci: a a 8, a a 8,, a7 a8 8 şi a8 a 8. Aduâd aceste iegalităţi, obţiem că a a a , de ude găsim că , absurd. Deci, eistă două două persoae alăturate a căror sumă a vârstelor este mai mare decât 8 ai. 5. : Câte umere de forma abcd cu proprietatea că a b cd sut divizibile cu? PROF. PETRU ASAFTEI, ŞCOALA NORMALĂ VASILE LUPU, IAŞI SOLUŢIE: Di abcd M 99a a 99b b c d M a b c d M 9a 9c a bc d M 9a c M a c M cu a şi a c 8 a c. Cum a b b c şi d a. Numerele abba sut divizibile cu şi b a 9 a 9 sut 8 astfel de umere. 5. : Să se determie cifrele eule şi disticte di produsul: ABCDE F GJKF. SOLUŢIE: PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU CLASA A VI-A 6.84 : Determiaţi cifrele disticte A, B, C, D, E, F, G, J, K, L di suma ABC DEF GJKL. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: ; ; şi

42 6.85 : Aflaţi umerele prime, y, z ştiid că 6 8 y z. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA SOLUŢIE: Di egalitatea dată şi că 8 6 şi 6, deducem că z este multiplul lui 6 şi prim z 6. Îlocuid î egalitatea dată, obţiem: y ;;5 4;9; 5 4;7; 6.86 : Fie A k y y 7 şi k şi B p 5... p, k, p. Demostraţi că umerele A şi B sut iverse dacă şi umai dacă k p. k p PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Presupuem, pri absurd, că k p. Dacă k p că eistă cu p k. Avem: k 5 6 k Ak Bp k k k k k absurd. Aalog se ajuge la cotradicţie şi î cazul k p. Coform metodei reducerii la absurd cocluzioăm că k p, situaţie î care se verifică uşor că A B : Rezolvaţi, î mulţimea umerelor îtregi egative, ecuaţia: 7 5. k k PROF. DOINA STOICA, LICEUL TEHNOLOGIC FRANCISC NEWMAN, ARAD SOLUŢIE: Ecuaţia 7 5 ; 7 4;6 7 6; 4; 4;6 ;;; ;; ;; ;; ; ;; ;5; 9;; ;5 Deci, mulţimea soluţiilor este S ; 9; : Arătaţi că eistă umere aturale eule a, b, c, d astfel ca SOLUŢIE: Pri calcul se verifică uşor că a b c d 8. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA Obţiem că a 6 8,. Pri urmare, petru 5 b 5 8, 5 c 8, 5 d 8 avem a b c d : Distaţa ditre două oraşe este parcursă de către u mobil î felul următor: o pătrime di drum î trei ore, iar restul drumului,tot î trei ore. Ştiid că cel mai mic multiplu comu al umerelor care reprezită cele două viteze este, să se afle distaţa ditre cele două oraşe. PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI SOLUŢIE: Notăm cu d distaţa ditre cele două oraşe, iar cu v şi v cele două viteze. Avem: 4 d v ; 4 d v, de ude v d 4v v v. Cum cmmdc v; v că eistă, y astfel îcât v, v y ; y. Găsim y y ; y şi şi y. Distaţa ditre cele două oraşe este d v 4y 6 km. 6.9 : Găsiţi fracţiile ordiare ireductibile astfel îcât fiecare di ele să aibă proprietatea că mărid atât umărătorul, cât şi umitorul cu se obţie o fracţie de trei ori mai mare. PROF. ADINA VASILIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ CÂRJOAIA, IAŞI SOLUŢIE: Fie a b fracţia ireductibilă cu proprietatea di euţ. Avem a a, a, b. b b 8

43 Rezultă că ab b ab 9a b ab 9 b 9 ; ; 9; 7. Deci, a b 6b 7 a b 9 b 9 b 9 D7 ; ; ; b : Determiaţi umărul soluţiilor îtregi ale iecuaţiei: y 7. PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD ot SOLUŢIE: Suma S y. Ea poate lua şapte valori disticte: ; ; ; ; 4; 5 şi 6. Petru fiecare valoare eulă a lui S sut S soluţii cu compoet aturale. Petru fiecare soluţie aturală sut 4 soluţii îtregi. De eemplu: petru S sut 4 8 soluţii îtregi şi aume: ;, ;, ;, ;, ;, ;, ; şi ;. Pri urmare, iecuaţia va avea soluţii îtregi, adică : Determiaţi cel mai mic multiplu al umărului 5, care are eact 5 divizori. PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Deoarece rezultă că umărul căutat poate avea î descompuerea sa, 4 u sigur factor cu epoetul 4 sau doi factori cu epoeţii sau 4. Di M 5 5 sau p. Cum trebuie să fie cel mai mic p : Determiaţi umerele aturale astfel îcât 5 7 divide umărul 7 5. SOLUŢIE: Di ipoteza PROF. MIHᾺLY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV ude 57 ; ;; 4;6;8;; 4 5 6; 5; 4; ; ;;5;7 ; 5 7 4, de. Deci, : Arătaţi că, petru orice cifră, umărul raţioal 9y reprezită o fracţie zecimală periodică. PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI SOLUŢIE: U umăr raţioal poate fi fracţie zecimală fiită sau fracţie zecimală periodică. Vom arăta că umărul dat u poate fi fracţie zecimală fiită, pri metoda reducerii la absurd. Presupuem că fracţia este fiită. Deducem că umitorul 9y are ca divizori umai puteri ale lui şi 5. Numărul 9y u poate fi umai o putere a lui, deoarece 9 5 9y 4 şi ici umai putere a 4 5 lui 5, deoarece y 5 5. Pri urmare, 9y are pe şi 5 divizori se divide cu are ultima cifră y. Petru ca fracţia să fie fiită trebuie ca 9 să aibă ca divizori umai puteri ale lui şi 5. Di şi rezultă că 9 u poate fi umai o putere a lui sau a lui 5. Aşadar, 9 se divide cu, de ude. Se ajuge la fracţia, care u este fiită, cotradicţie. Deci, fracţia dată este periodică : Cosiderăm puctele coliiare A, O, B şi puctele M, N, P de aceeaşi parte a dreptei AB astfel îcât MO ON şi OP bisectoarea ughiului AON. Ştiid că măsurile ughiurilor AON şi MOB sut direct proporţioale cu 4 şi 5, determiaţi m AOP, mpom şi m NOB. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 9

44 . Di AO B coliiare SOLUŢIE: Avem: m AON 4k, m MOB 5k, m MON 9 rezultă că 4k 9 5k 8 k, de ude m AON 4 şi 4 m AOP m AON m NOB m NOM m MOB m MOB 5. Atuci, mpom mpon m NOM 9, iar 6.96 : Triughiurile ABC şi ADC sut situate î semiplae diferite faţă de dreapta AC. Fie E BC F DC astfel îcât fiecare ditre măsurile ughiurilor BAE, EAC, puctele şi CAF şi FAD este media aritmetică a măsurilor celorlalte trei ughiuri, iar AC EF. d E; AB d F; AD AB AD. Demostraţi că şi PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIE: Di euţ se deduce uşor că BAE EAC CAF FAD, de ude AE şi AF sut bisectoarele BAC, respectiv DAC. Rezultă că d E, AB d E, AC şi d F, AD d E, AC coform proprietăţii bisectoarei. Ţiâd cot că AO este bisectoare şi îălţime î d E, AC OE OF d F, AC d E, AB d F, AD, AEF deducem O AC EF. că. Pri urmare,, ude Di proprietatea mediatoarei, rezultă că AE AF şi cum, CAE CAF, AC AC că CAE CAF LUL, de ude ACE ACF care împreuă cu CAB CAD şi AC AC coduce la CAB CAD LUL, de ude AB AD. CLASA A VII-A 7.7 : Dacă, y şi y, să se afle cea mare şi cea mai mică valoare a sumei y şi a produsului y. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA SOLUŢIE: Notăm cu S y şi cu P y. Di şi umere pare rezultă că y este umăr par. Di, y şi y, deducem că ude S ;9;8 şi 6; ; y y ;4;6. Găsim 8;5; P. Pri urmare, Sma, Pma, Smi 8, Pmi. 7.7 : Se cosideră umerele prime a şi b cu proprietatea că umărul bba9 a este pătrat perfect. Comparaţi umerele a şi b. Aflaţi a şi b ştiid că a b este umăr prim. SOLUŢIE: Deoarece u pătrat perfect este, de PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU rezultă că bba9a pri reducere la absurd, că a b. Presupuem că a b. Cum. Vom demostra, b rezultă că b b a, de ude 9a a, î cotradicţie cu a umăr prim ( a, a ). Aşadar, a b. Numerele a şi b au parităţi diferite, căci altfel am avea a b este umăr par şi prim a b, de ude b şi a, fals, îtrucât a. Cum a b a. Obţiem b b 8 k, k, de ude b k 9 bkb k9 bk şi b k 9. Elimiâd k obţiem b şi a b, umăr prim. 4

45 7.7 : Eplicaţi de ce ecuaţia u are soluţii î mulţimea reală. PROF. DOINA STOICA, LICEUL TEHNOLOGIC FRANCISC NEWMAN, ARAD SOLUŢIE: Radicalii eistă dacă 79 şi 5, de ude , de ude , fals. Deci, u are soluţii : Fie triughiul ABC dreptughic î A. Prelugim mediaa AM cu MD AC puctul de itersecție ditre bisectoarea ughiului arate că puctele C, S, D sut coliiare dacă și umai dacă SOLUŢIE: Demostrăm dubla implicaţie. " ": Presupuem că puctele C,, și fie S CAM și bisectoarea ughiului CMD. Să se m ABC 54. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS S D sut coliiare şi demostrăm că m ABC 54. Deoarece AM mediaă î triughiul dreptughic ABC rezultă că AM BM CM. Ughiul CMD fiid m CMD m MCA. Dar MS este bisectoarea eterior triughiului isoscel AMC rezultă că CMD rezultă că SMC MCA, de ude MS AC. Dreapta AS ASM SAC SAM, de ude AMS AM este isoscel cu. rezultă că CDM CAM, adică CAD este isoscel cu MD DC AC. secată şi MS AC, deci MS Cum SMD MAC Dacă atuci mmac, mcmd, madc, m DCM. ughiurilor î ACD obţiem m CAD 6 iar m ABC 54. m ACM Utilizâd suma " ": Ştim m ABC 54 şi arătăm că m DSC 8. Deoarece ABM BAM 54 ACM CAM 6, m CMD 7 şi MS bisectoare CMS MCA 6 de ude MS AC iar AMS isoscel cu AM MS. Îsă AM CM de ude CMS isoscel, iar m MSC 7. Pe de altă parte SMD MAC LU.. L de ude mmsd 8. mdsc mmsd m MSC 8 7 8, adică puctele D, S, C sut coliiare : Aflaţi, y, z ştiid că y z yz 5 SOLUŢIE: Facem calculele î relaţia dată şi descompuem y yz z y y z yz z z y yz y z y z z y yz. şi PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA y z y y z z z y yz y yz z y z 5 y z z y. Îlocuid î y z y 5 y z 5 z 5 z ;; Dacă z y y y 5, absurd. Dacă z y sau y, de ude y, dar y 4 4, absurd. Dacă z, atuci y y. m A : Se cosideră triughiul dreptughic ABC cu, AB c Să se arate că este adevărată egalitatea: c cosb b cosc b c ctgb ctgc c b SOLUŢIE: Ţiâd cot că cos B, cosc, a a c b c b devie succesiv: c b bc a a b c c., BC a şi AC b. PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI c ctgb, b b a b ctgc şi că c c b b c b c a b c, cocluzia a a a A. 4

46 7.77 : Rezolvaţi î mulţimea umerelor îtregi ecuaţia: y y 7 9. PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD y 4 SOLUŢIE: Avem: y y y Deoarece,, rezultă că 4 y 4 y 5. Di egalitate dacă 4 şi y 4 y 5 ; ; 5, ; 4, 4; 5, 4; 4. că are loc y : Se cosideră triughiul echilateral ABC avâd cevieele AP, BS şi CT cocurete î AP BS CT, demostraţi că M este cetrul de greutate al ABC. puctul M. Ştiid că PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Fie A, B şi C mijloacele laturilor triughiului echilateral ABC. Atuci AA BB CC AA P BB S CC T. şi 9 Cum APBS CT rezultă, coform cazului de cogrueţă IC, că AA P BB S CCT, de ude A PBS CT. Se observă că dacă atuci A P, B S, C T AP, BS, CT sut mediae, B A P C de ude M este cetrul de greutate al ABC. Vom arăta că. Avem de aalizat două situaţii: Dacă două ditre puctele P, S, T se află pe u sigur triughi ditre ABC, BA C, CA B (fie T, S ABC ), atuci TS BC şi BT CS BTSC este trapez isoscel, iar diagoalele se itersectează pe mediatoarea bazelor, de ude M AA AP P A X PA. Dacă toate cele trei pucte sut î triughiuri diferite, atuci AT BP CS l, ude l este jumătatea laturii triughiului echilateral, iar BT AS CP l. Di teorema lui Ceva AT BP CS rezultă că l l. BT CP AS 7.79 : Cosiderăm u triughi ABC î care m Bm C adevărul egalităţii: PA PC PB. NOT 9. Dacă AP BC, demostraţi PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU SOLUŢIE: Avem: mb 9 mc 9 B PC. Atuci mabp 8 mabc PA PB. Cum APB APC APB CPA PC PA. m ABP 9 m C m PAC T C A S B CLASA A VIII-A 8.6 : Determiaţi cea mai mică valoare a umărului: a a b 6b 6587 c c 4874, a, b, c. PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD SOLUŢIE: Avem a b c Cea mai mică valoare a lui este : Să se rezolve, î mulţimea umerelor îtregi, ecuaţia: y PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI 4

47 SOLUŢIE: Avem y 96 6 y 8 y 8, de ude D 8 ; 4;9;6 ; ;8, ;46, ;, 6;6, ;8, ;46, ;, 6;6 y : Să se rezolve, î mulţimea umerelor reale, ecuaţia: ude pri a s-a otat partea îtreagă a umărului real a , PROF. DOINA STOICA, LICEUL TEHNOLOGIC FRANCISC NEWMAN, ARAD SOLUŢIE: Dacă de ude cu k 4. Dacă ecuaţia k 4 k k k k k k 4 4. Notăm, k k 4 k k 48 k, de ude k k, căci k. Pri urmare, ecuaţia u are soluţii reale : U bazi are forma uui paralelipiped dreptughic cu dimesiuile bazei eprimate î metri şi L l. Petru accesul î iteriorul baziului se costruieşte o scară de la u vârf la cetrul bazei opuse. Ştiid că scara face cu plaul bazei u ughi de măsură şi că are lugimea de l l metri, determiaţi volumul î litri a baziului. SOLUŢIE: Fie A O l l şi PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU ABCDA B C D paralelipipedul cu O, cetrul bazei ABCD. Lugimea scării este şi triughiul dreptughic AO A Ocos AC A O A OA are m A OA T. P. este V Ll h m dm (litri).. Rezultă că h A A A O L l l l l 4, h. Atuci volumul 8.66 : Cosiderăm ABC cu laturile de lugimi a, b, c, ortocetrul H şi M, mijlocul laturii BC. Fie D, simetricul lui H faţă de M. Să se afle aria şi volumul cilidrului circular drept cu îălţimea de lugime abc şi avâd ca bază cercul circumscris triughiului BDC. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA SOLUŢIE: Deoarece M este mijlocul segmetelor BC şi HD rezultă că BHCD este paralelogram, de ude CD BH şi BD CH m ACD 9 BH AC şi m ABD 9 CH AB m ABD m ACD 8 ABDC este iscriptibil cercul circumscris BCD cercul circumscris dat ABC raza bazei este cot de formulele petru arie A rr h t abc abc r 4S 4 p p a p b p c ABC coicide cu şi ţiâd şi petru volum V r h găsim valorile căutate : Fie umerele aturale a, b, p, s, m, petru care a b p astfel ca umerele,,, m şi a b s. Eistă m a b p s să fie simulta umere prime? PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Răspusul este afirmativ. Este suficiet să luăm m, a 5, b, s şi p 7. 4

48 8.68 : Segmetele AB și CD sut situate pe drepte ecoplaare, iar M AB, N CD Z MD, X MC, Y BN, T AN astfel îcât AM BM, CN ND, ZD MZ MX XC, YN BY, AT TN. Demostrați că puctul X YZT. SOLUŢIE: Î MCD avem CX XM,, PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS CN, de ude, coform reciprocei teoremei lui Thales, aflăm ND MN şi că XN MD. Î mod aalog, ZN MC, adică patrulaterul MXNZ este paralelogram, deci XZ au acelaşi mijloc P. Se arată asemăător că MYNT este paralelogram, deci MN şi acelaşi mijloc XZ şi YT au acelaşi mijloc, de ude XYZT este paralelogram X YZT. TY au *** ZÂMBETUL ŞTIINŢEI ÎN ACEASTĂ RUBRICĂ VOM TRECE ÎN REVISTĂ CÂTEVA ANECDOTE SEMNIFICATIVE ŞI AMINTIRI DIN VIAŢA CELOR MAI DE FRUNTE MATEMATICIENI. "Omul petru care faptul că " 4" e de la sie îţeles u va devei iciodată mare matematicia" BERTOLT BRECHT ( , DRAMATURG, POET ŞI REGIZOR GERMAN) GOTTFRIED WILHELM FREIHERR LEIBNIZ (646-76, FILOSOF ŞI MATEMATICIAN GERMAN) Gottfried Leibiz era credicios i felul său. Petru el posibilitatea de a scrie toate umerele cu ajutorul simbolurilor "" şi "", adică cu ajutorul sistemului biar, costituie demostraţia matematică a creaţiei lumii di imic, Dumezeu fiid "", iar imicul "". PAFNUTI LVOVICI CEBÂŞEV (8-894, MATEMATICIAN RUS) Atuci câd î aul 884 studeţii Uiversităţii di Petersburg i-au dăruit academiciaului P. L. Cebâşev culegerea de lucrări, proaspăt ieşită de sub tipar a cercului de matematică codus de el, Pafutii Lvovici le-a spus: Scrieţi, scrieţi domilor, dar u uitaţi, că î timpurile oastre este mai uşor şă găseşti trei cărţi decât u cititor. CARL FRIEDRICH GAUSS (86-94, MATEMATICIAN, FIZICIAN ŞI ASTRONOM GERMAN) Carl Gauss se distigea îcă di şcoală pri agerimea miţii sale. Odată îvăţătorul său îi zise: Carl, aş vrea să-ţi dau două îtrebări. Dacă la prima o să răspuzi corect, apoi la a doua poţi să u mai răspuzi. Aşadar, câte ace are bradul şcolii oastre, împodobit de Aul Nou? de ace, domule îvăţător, a răspus imediat Gauss. Bie, dar cum ai aflat acest lucru? îl îtrebă îvăţătorul. Această îtrebare de acum este cea de a doua, remarcă cu promptitudie elevul. CULESE DE NEICU MARA, ELEVĂ, CLASA A XII-A 44

49 MATEMATICA LICEALĂ CLASA A IX-A 9.6 : Fie fucţiile f, g :, f 5 şi g 5. Detemiaţi f g şi g f. PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD SOLUŢIE: Avem f g : şi g f : avâd legile de corespodeţă: ,dacă ; , ; ,dacă ; g, g 5 5 4, ; 5 f g f g 5 5 şi g, g , dacă 5 6, ; ; , ; ,dacă ; ,dacă 5 4 ; , ; ,dacă 5 5;5 5 f, f , 4 ;5 g f g f 5 5 f, f ,dacă 5 5 6, 5;5 ; , 5 ; ,dacă 5 5 ; : Numerele a, b și verifică relația a b a b. Demostrați că a b şi că este umăr irațioal. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIE: Pri ridicare la pătrat, obţiem: a b a b a b a b. Deoarece a b, a, b rezultă că a b, de ude a b a a. Dacă a u este pătrat perfect, atuci a este iraţioal şi cu atât mai mult rezultă că. Dacă a este pătrat perfect, atuci a, şi. Di : Fie, y, z cu proprietatea că y z. Arătaţi că SOLUŢIE: Di y z z. y z PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI y y z y z y. Di y z y z y z y y yz y y y z. Deci y z y z z. 45

50 9.66 : Arătaţi că partea îtreagă a umărului... este egală cu. 9 PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD SOLUŢIE: Di k k k, k rezultă că k k k k k, k, de ude, k k k k k k k k k k, k. k Sumâd de la la, obţiem iegalităţile: k k k k 9,...,96. Deci, 9.67 : Rezolvaţi ecuaţia 5 4 k k k k...., ude a reprezită partea îtreagă a umărului a. PROF. MIHALY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV SOLUŢIE: Avem: Deoarece 54, 4 rezultă că 54 ;, de ude ; 5. ; ; ;...; petru care a,, k ak ak k k, s-a otat partea îtreagă a umărului real : Determiaţi mulţimea A a a a a şi a, ude pri PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Di relaţia de recureţă deducem că a, a, a,..., ak sut umere aturale şi disticte. Petru k ;;;...; avem: a a a a 4 4 k k k k a 4 k ak ak ak Avem a a a. Dacă a, atuci 4 A şi a a ;. Atuci: A ;;; sau A ;; sau ;; 4 a a a. Atuci: A ;; ; sau A ; ; sau ; ; ; 9.69 : Demostraţi că ecuaţia pozitive, ştiid că ecuaţia cu coeficieţi reali SOLUŢIE: Ecuaţia a b a b b a A. Dacă a, atuci A. are soluţii reale şi a b PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU a b are soluţii reale. are soluţii reale implică că a 4b. Ecuaţia are soluţii reale a b a b b a b a b b 4 a b a b a 4a b 4a 4 soluţiile, 4a a a b 4 4 a 4a b 4b 4a 4b 4 a 4b sut pozitive. Di di A. Vom arăta că a b, au acelaşi sem. Vom demostra 46

51 că a b, evidet adevărată petru b. Dacă b b, de ude a b a b a b. 9.7 : Se cosideră fucţia f : a; a;, f a b c cu proprietatea că itervalul a; este maimal petru a asigura iversabilitatea fucţiei f. a) Să se determie fucţia f ştiid că a, b, c sut î progresie geometrică (î această ordie). b) Să se determie fucţia f ştiid că a, b, c sut î progresie aritmetică (î această ordie). PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Presupuem că a f : ; ;, f b c b, atuci f este strict descrescătoare Im f ; c Im f ; surjectivă, î cotradicţie cu ipoteza. Dacă b f este strict crescătoare Im f c; ; c; c. Codiţiile de progresie de la a) şi b) e coduc la b f Im f c ;, cotrazice surjectivitatea fucţiei. Deci, a. Atuci, di ijectivitatea fucţiei a V yv a şi a 4a a) Deoarece a, b, c î progresie geometrică b 4ac 4a 4 :4a b b 4a 4ac 4a este de gradul îtâi. Dacă f u este şi c a, iar, di surjectivitate c a a. 4 a c 4a aa a 4a a a a, b, c b) Di a, b, c î progresie aritmetică b a c 4a a aa a 4a cu : a 4 a, 6 a 6, b 8 6, c : Fie, y cu proprietatea că y SOLUŢIE: Avem y y y y y,, y.. Arătaţi că PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD 7 y 9y y 7 9y. 8 Atuci y 79y y , care 7 este adevărată petru orice, căci a 7 şi : Numerele reale pozitive, y, z, t verifică egalitatea: y z t. Demostraţi iegalitatea z t y 4. Î ce caz avem egalitate? 9 5 PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI z t 5 z y t y SOLUŢIE: Cu iegalitatea lui Cauchy z t 44 y z t. Obţiem y 4. Egalitatea se realizează dacă avem y z t y z t 5, de ude, y, z şi t

52 9.7 : Să se determie umerele pozitive,,..., 89 care verifică egalităţile: şi tg tg tg PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS SOLUŢIE: Î formula: tgtg 9 tgctg dâd valorile ; ; ;...,44 lui, obţiem: tg tg... tg44 tg45 tg46... tg88 tg89 tg tg... tg44 ctg45 ctg44... ctg ctg tg Di faptul că şi iegalitatea mediilor petru tg, tg,..., tg avem: k tgk k tgk k tgk k tg tg tg 89 k k Deducem că tg tg tg89 p Î cocluzie, k ctgk, k,89. tgk ot 89 p tg tg p : Îtr-u patrulater cove ABCD, se cosideră puctele M BC, N DC şi P care verifică AP 4 PM şi BP PN. Arătaţi că AB DC dacă şi umai dacă BD MN. PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU NC SOLUŢIE: Notăm t DC şi BM k BC. Di M BC şi N DC rezultă că NC t DC şi BM k BC. Atuci AB AP PB 4 PM PB 4PB BM PB 5 PB 4 BM AB PB PB 4 BM NP PB 4 BM NB 4 BM NC CB 4k BC AB t DC 4k BC, iar MN MB BC CN k BC t DC Deoarece AB DC t DC 4k BC t 4k t k, iar MN BD k BC t DC BC DC k BC t DC k t, deducem echivaleţa cerută î euţ : Numerele,, a b c verifică: a b c 8ab. Demostraţi că c u se află ître a şi b.. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Fără a restrâge geeralitatea presupuem că a b. om demostra pri metoda reducerii c a; b. Deducem imediat că ab, de ude a, b au acelaşi sem. la absurd. Presupuem că Dacă a, b, atuci a b a b c că a b a ab b ab a b c a b a b a b a b c 8ab, de ude găsim, absurd. Dacă a, b, atuci avem că a b a b c 8ab, de ude găsim că, absurd. Pri urmare c u se află ître a şi b. a 4ab 4b 8ab 48

53 CLASA A X-A.4: Patrulaterul ABCD are ADC ABC şi AD BC SOLUŢIE: Notăm m ADC a şi. Atuci AD AC AB DC. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU m ACD t. Aplicâd teorema siusurilor î ADC, AD AC BC AC respectiv ABC :,, obţiem si t si BAC, de ude b BAC si t si a si BAC si a sau b BAC 8 m BAC b, atuci AB DC ABCD este trapez isoscel. Dacă m BCD a a 9 AC AD DC AD DC AB AC AD DC AB,qed. Dacă m BAC 8 t, atuci BC AC AB AC AB cost AD AC DC AC DC cost (teorema cosiusului) şi. Pri scădere, AB DC AC t AB DC ude cost DC AB AC AC BC AB BC AB cos a Dacă AB DC cost. Tot cu teorema cosiusului: AB DC AB DC AD a t 9 cos, de AC AD DC AD DC cos a şi cos. T. P. AD AC DC AC AD DC AB. AB DC teorema AD AC Dacă cos a, atuci AD AD siusurilor si t si cos a AC cos t a DC AB AB DC 4AD 4AC 4AD 4AC 4AD DC AB 4AC AB DC 4AD DC DC AB AB 4AC AB DC AB DC AD AC AB DC..4: Rezolvaţi, î mulţimea umerelor reale, ecuaţia: PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD SOLUŢIE: Avem: ude f : ;, f f g 4 5 5, iar g :,, g 5 5 sut fucţii logaritmice cu baze subuutare. Se observă că graficele celor două fucţii au u sigur puct comu şi aume P ; 4..44: Să se rezolve ecuaţia: SOLUŢIE: f Ecuaţia se mai scrie: f : ; l,. PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI l l l l f l ;,, ude f, este o fucţie strict crescătoare pe îtrucât este suma ditre fucţia logaritmică cu baza e şi fucţia de gradul al doilea. Atuci ecuaţia este ; S.. Deci, G f G g

54 log lg 4.45: Rezolvați ecuația 7. SOLUŢIE: Ecuaţia are ses petru 7; PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS. Notăm log a şi lg 4 b, iar de aici a avem: b şi 4 a şi b 4, de ude a b 7 Ecuaţia di euţ devie: a b 7. Aduâd relaţiile şi vom obţie: a b a b. Paratezele au acelaşi sem cu a b. Petru a avea egalitate trebuie ca a b, de ude fucţia f : lg7; ;, f b b b b 7 7, care are soluţia uică b, deoarece b 7 ijectivă. Obţiem că ; b are..46: Arătaţi că este adevărată iegalitatea: log 5 log 5 SOLUŢIE: Di 5 5 f şi este strict descrescătoare, deci, ;. PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD a b 5 5 log5 5 log5 5. Se ştie că ab, a, b. 4 log 5 5 log5 5 log5 5 4 log5 5 log Atuci:.47: Determiaţi afiul ortocetrului H al triughilui ABC î fucţie de afiele vârfurilor triughiului ortic asociat. SOLUŢIE: Fie ABC şi triughiul său atiortic A B C că ABC este triughiul ortic al A B C. Deoarece ortocetrul I al A B C coicide cu cetrul cercului îscris î ABC, problema revie la a determia afiul cetrului îscris î ABC. Notăm BC a, AB c, AC b şi cu A piciorul bisectoarei di A A AA BC. Aplicâd A B c teorema bisectoarei î ABC, avem. Atuci A C b b zb c zc c zc zb ac z şi BA z z A A B b c b c b c. Aplicâd teorema bisectoarei î z I z A PROF. MARIUS BREŞUG, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS C ABA, avem succesiv: A a za b c a za b zb c zc, de ude cocluzia că zi. a a b c b c B A C I C A B IA BA a B şi atuci IA BA b c 5

55 .48: Arătaţi că u triughi petru care puctele O şi coicid este echilateral, ude O este cetrul cercului circumscris şi este puctul lui Gergoe asociat triughiului. TEMISTOCLE BÎRSAN, IAŞI SOLUŢIE: Fie D puctul de cotact al cercului îscris ABC cu latura BC. Se ştie că BD p b şi CD p c ; ca urmare BD p b a b c, cu otaţiile uzuale a BC, b AC, c AB, p. DC p c Fie A puctul î care diametrul cercului circumscris ABC ce trece pri A itersectează latura BC. Di faptul că acest diametru şi îălţimea dusă di A sut izogoale (formează cu laturile di ughiuri cogruete), rezultă că m A AC B ; similar, A m A AB C. Cu teorema siusurilor, aplicată î A AB şi si C c BA ccos C A AC, obţiem:. Coicideţa puctelor O AC bcos B si B b şi revie la coicideţa puctelor A şi D şi a aaloagelor lor: B şi E, C şi F ; adică la egalitatea ccosc p b bcos B p c aceste egalităţi sub forma şi aaloagele ei a p a cos A b p b cos B c p c cos C. Scriid cos A cos B cosc şi ţiâd cot de p p a p p b p p c bc ac ab A p p a A cos A formulele lui Neper cos şi aaloagele, de cos şi aaloagele, obţiem bc ot A B C cos cos A cos cos B cos cosc cos Acos A cos B cos B cosc cos C k. Fucţia f :, f k are ca rădăcii umerele cos A, cos B şi cosc. Deoarece o ecuaţie de gradul al doilea are cel mult două soluţii, rezultă cel puţi două ditre rădăcii sut egale. Fie acestea cos A cos B ;, deci. Cum fucţia cosius este strict descrescătoare pe B, de ude C A A A ijectivă A cos cos cos cos. Di relaţiile lui Viètte avem cos A cos A, de ude cos A A B C sau cos A A B şi C A, B, C coliiare, fals. Deci, ABC este echilateral. CLASA A XI-A.4: Rezolvaţi, î mulţimea SOLUŢIE: Fie X z y M t, ecuaţia matricială. Di X 7 8 X 6. PROF. DOINA ŞI MIRCEA MARIO STOICA, ARAD yz y yt z tz yz t y t 8, z t şi yz 7 ; yz t 6 t t t M M 7 t ; 7 t ;, de ude ; ; ; 5; 4; ;, 5;4;;, ;8;;, ; 8; ; y z t. ;8 B F C D E O A B C 5

56 .5: Fie şirul Micii MATEMATICIENI cu a, a. Studiaţi covergeţa şirului S SOLUŢIE: Dacă a, atuci k k PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU S şirul S. este coverget. Petru a avem a S. Dacă a lim a lim S S este diverget. Dacă a a lim a lim S lim a a a a a S este diverget. Dacă a a b cu b, atuci cosiderăm următoarele subşiruri: b, petru par b b b S. Rezultă că şirul S u are limită. b, petru impar b b b Pri urmare, şirul S este coverget umai petru a..6: Calculați lim lim f f... f f dek ori k, ude f :, f. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS ori SOLUŢIE: Vom demostra pri iducţie matematică : f f... f, : P I. Arătăm P adevărată f II. Ştim Pk adevărată f... f f k ori k f f f f... f k ori k k f k f k f k f k :k, A.. Demostrăm că Pk este adevărată k f k A L lim lim lim k lim k lim k k. Aplicăm criteriul Stoltz k k k k k k Cesaro L lim lim lim. NOTA REDACŢIEI: Avem: L lim lim ; f ; ck lim lim k k ude ; ; ;...; ;, este diviziuea echidistată a itervalului ; cu orma diviziuii 5

57 k tizâd la zero, şirul de pucte itermediare ck, k ; şi fucţia cotiuă f : ;, f, itegrabilă pe ;. 5.7: Să se calculeze puterea a -a a matricei A. PROF. CLAUDIA BUHA, LICEUL TEHNOLOGIC FRANCISC NEWMAN, ARAD SOLUŢIE: Teorema lui Hamilto-Cayley susţie că orice matrice pătratică de ordi îşi satisface ot det propria ecuaţie caracteristică: pa A I O pa A O. Poliomul caracteristic 5 5, de ude este p A A p.aflăm restul împărţirii lui p X. Avem: X la A X X X X C X a X b X c. Dâd lui valorile,, obţiem sistemul de ecuaţii: 4a b c ; a b c şi 4ab c, de ude 4 a, b şi 4 8 c. 6 Atuci A pa A C A 4 8 O A 4 A 6 I Calculăm A 4 şi obţiem că A 6..8: Să se arate că are loc: si si, petru ;. PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Vezi Nota matematică de la pagia 8. 5

58 CLASA A XII-A.5: Aflaţi fucţia poliomială f : SOLUŢIE: Dacă grad f ştiid că f f f, şi f. PROF. IOSIF MIHAI PAULIUC, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU, atuci grad f şi grad f. Di, de ude f a b c d cu derivatele 6. Di f a b coeficieţii, obţiem: a 8a, de ude Pri urmare, f : f f f rezultă că f a b c f b. Îlocuid î egalitatea di euţ şi idetificâd a ; 4 6ac c, de ude c 6 şi d. 8, f 6 este fucţia căutată. 8.6: Să se determie toate fucțiile f :,, f F SOLUŢIE: Petru care admit primitive și verifică egalitatea: f, ude F este o primitivă fiată a lui f. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS avem f F egalitatea f F, de ude F F F F F. Atribuid lui : obţiem f F f F, care se scrie: F F. Pri itegrare, obţiem F F k. Petru F k k. Cum, F F. Obţiem F d F d l f f F F F F. Pri itegrare, se obţie că F k d d, de ude l arctg arctg l F k l arctg F e e arctg căci, petru k. Atuci f e, de ude F soluţia uică f e arctg..7: Fucţia derivabilă f : ; ; cu f admite primitiva : ; ; F. Demostraţi că şirul f t dt şi lim defiit pri F cu este crescător. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU SOLUŢIE: Di defiiţia fucţiilor rezultă că F şi f, ;, de ude F şi f tdt,,. Cum F derivabilă pe ; F cotiuă pe ;. Formula Leibitz-Newto e dă: f tdt F F. Trecem la limită:, 54

59 Micii MATEMATICIENI lim F lim F F F F F F. Deci, F,. F F şi Vom demostra pri iducţie matematică faptul că este strict crescător, : PEtapa : Arătăm că P este adevărată F. Di F primitivă F f, F este crescătoare pe ;. Cosiderăm fucţia g : ; ;, g F g F şi g F. Avem: g f ; g f g este descrescătoare petru g g g f g g este descrescătoare pe ; g g F, ;, de ude F q.e.d. Etapa : Ştim că. Demostrăm că Pk este adevărată F k F k k k.8: Calculaţi itegrala: P k este adevărată k k k k, adevărată di ipoteza iductivă. Q.E.D. I d. cos si e cos PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI SOLUŢIE: Numitorul f e cos are derivata f f si cos.rezultă că f l l cos I f k e k.9: Arătaţi că rădăciile poliomului umai dacă 7 9 a c ab. f e si. Atuci f f f I d d f X ax bx c sut î progresie aritmetică dacă şi TEMISTOCLE BÎRSAN, IAŞI SOLUŢIE: Codiţia ca rădăciile,, să fie î progresie aritmetică se scrie:. Relaţiile lui Viète: a, b, c, ţiâd cot de, se scriu: a, b, c sau a, b, c şi, îmulţid a doua relaţie cu, obţiem: b ; îlocuid aici pe di relaţia a, vom avea î fial a 7c 9ab. Ivers, dacă rădăciile poliomului verifică relaţia, atuci, utilizâd relaţiile lui Viète, obţiem: Vom arăta că relaţia 4 este echivaletă cu. sau aaloagele ei. Îtr-adevăr, cu calcule de rutiă, avem: egalitatea , de ude avem descopuerea sau sau. 55

60 PROBLEME PROPUSE MATEMATICA PITICĂ P.57: Catica a cules viorele. A oferit 5 şi i-au rămas de trei ori mai multe decât triplul umărului de viorele oferite. Câte viorele a cules? PROF. ÎNV. PRIMAR TEREZA RUGINĂ, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.58: Cu cele 6 abţibilduri şi cu ale fratelui său, Ioaa a decorat şase dulapuri cu câte ouă abţibilduri. Aflaţi câte abţibilduri are fratele său? PROF. ÎNV. PRIMAR ADRIANA MELINTE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.59: Eu am ai. Câd m-am ăscut eu, buicul avea dublul vârstei mamei mele. Dacă mama are cu 4 ai mai mult dacât împătritul vârstei mele, câţi ai avea buicul la aşterea mea? OANA PAVEL, ELEVĂ, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.6: La cercul de matematică Micii matematiciei s-au îscris la îceputul aului școlar băieți și 8 fete. Î fiecare săptămâă se mai îscriu fete și u băiat. Câți membri va avea cercul atuci câd umărul băieților va fi egal cu cel al fetelor? PROF. ÎNV. PRIMAR MARIETA MUŞEI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.6: U umăr este mai mare decât altul cu 77. Suma ditre o şeptime di primul şi o şeptime di al doilea este 5. Aflaţi umerele. PROF. ÎNV. PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.6: Maria a umărat florile di grădia buicii: tradafiri și 8 crizateme. Costată că î fiecare zi au mai îflorit crizateme și tradafir.câte flori vor fi î total atuci câd umărul tradafirilor va fi egal cu umărul crizatemelor? PROF. ÎNV. PRIMAR MIRELA MUNTEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.6: Î patru lăzi sut catităţi egale de portocale. Dacă di fiecare ladă se iau 45 kg de portocale, rămâ î toate lăzile, la u loc, atâtea kg de portocale câte erau la îceput î fiecare ladă. Câte kg de portocale erau la îceput î cele patru lăzi la u loc? PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA SIMIONESCU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.64: Mama, tata și cei doi fii ai lor au împreuă 4 ai. Vârstele păriților, cât și vârstelor celor doi fii sut reprezetate pri umere aturale cosecutive. Câți ai are fiecare ditre ei, dacă copiii au împreuă de ori mai puții ai decât păriții lor? PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA CREŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.65: Aul îfiițării Colegiului Națioal Ștefa cel Mare Hârlău este reprezetat de u umăr de patru cifre impare disticte. Știid că cifra miilor este cel mai mic umăr atural eul, că difereța ditre cifra zecilor și cea a uităților este, iar suma ditre cifrele sutelor, a zecilor și uităților este 7, să se afle câți ai aiversează Colegiul î aul 5. PROF. ÎNV. PRIMAR MARIETA MUŞEI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.66: Ștefaia a cumpărat u stilou, două piuri și două ascuțitori petru care a plătit 6 lei. U pi costă de ori mai mult decât o ascuțitoare sau u sfert di prețul stiloului. Cât costă fiecare obiect cumpărat de Ștefaia? PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA CREŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 56

61 P.67: Cei 4 de elevi ai clasei a II-a A au plecat împreuă cu îvăţătoarea lor î ecursie. Ei vor să traverseze u râu, cu barca. Proprietarul bărcii le spue că î barcă îcap 6 persoae. Câte traversări ale râului va face acesta petru a-i trasporta pe malul celălalt? PROF. ÎNV. PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.68: Adreea are o colecţie de păpuşi. Ea vide jumătate di sfertul umărului de păpuşi pe care le avea. Aflaţi câte păpuşi a avut colecţia Adreei, ştiid că acum a rămas cu 4 păpuşi. PROF. ÎNV. PRIMAR ADRIANA MELINTE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.69: U automobil parcurge distaţa Hârlău Iaşi astfel: î prima zi parcurge 9 di distaţă, a doua zi cu mai puţi decât î prima zi şi mai are de parcurs pâă la Hârlău 4 km. Care este 9 distaţa Iaşi Hârlău? ANDREI PRIGOREANU, ELEV, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.7: Ditr-o paglică s-au tăiat o bucată de 5 metri şi o alta de ori mai lugă. Câţi metri de paglică au fost la îceput dacă după tăierea celor două bucăţi au rămas dublul metrilor tăiaţi? PROF. ÎNV. PRIMAR GABRIELA ONOFREI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.7: La u cocurs de matematică fiecare elev are de rezolvat probleme. Petru fiecare problemă rezolvată corect se acordă 7 pucte, iar petru fiecare problemă rezolvată greşit se scad pucte. Câte probleme au rezolvat corect primii trei clasaţi, dacă au obţiut respectiv 6, 5 şi 4 de pucte? PROF. ÎNV. PRIMAR MARIANA DÎRVARIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.7: Aflaţi umerele aturale care respectă codiţiile: a b 5, a 4 d, c d 7 şi a b c d 98. PROF. ÎNV. PRIMAR VASILE ROZNOVĂȚ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREȘ, HÂRLĂU P.7: Aduâd u umăr atural cu triplul predecesorului său şi cu dublul succesorului său obţiem 5. Aflaţi umărul! PROF. ÎNV. PRIMAR ADRIANA MELINTE, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.74: Cu cicimea jumătăţii di jumătatea uei sume de bai pe care o are, Ioel poate cumpăra o carte care costă 5 lei. Ce sumă are Ioel? PROF. ÎNV. PRIMAR LUMINIŢA MUŞEI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.75: Petru a face compot, o gospodiă taie 48 de mere î două, după care jumătate di umărul bucăţilor le mai taie î două, apoi jumătate di umărul total de bucăţi le taie iarăşi î două. Câte bucăţi de mere are gospodia petru compot? PROF. ÎNV. PRIMAR EMILIA OPREA, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU P.76: Suma a două umere este 6, iar ditre jumătatea primului şi sfertul celuilalt este 94. Aflaţi produsul ditre sfertul celui de al doilea şi jumătatea celuilalt. PROF. ÎNV. PRIMAR VASILE ROZNOVĂȚ, ȘCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREȘ, HÂRLĂU P.77: Suma a trei umere aturale este 69. Aflaţi umerele, ştiid că dacă mărim cu 5 treimea primului umăr, mărim cu 9 treimea celui de al doilea umăr şi cu 8 treimea celui de al treilea umăr obţiem trei umere cosecutive. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 57

62 MATEMATICA GIMNAZIALĂ Clasa a V-a 5. : Sut u umăr atural de două cifre cu suma lor 9. Dublul meu se termiă î 6, iar triplul este u umăr impar. Cie sut eu? ÎNV. MARIANA CHELARU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 5.4 : Îmi aleg două umere aturale. Îsumâd suma acestor umere cu produsul lor obţi 46, adică de trei ori primul umăr aduat cu al doilea. Ce umere am ales? ÎNV. MARIANA CHELARU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 5.5 : Elevii prezeţi la cocursul Micii matematiciei au fost repartizaţi î mod egal î 8 săli de clasă, astfel îcât î fiecare sală umărul elevilor să fie mai mare decât şi mai mic decât 7. Dacă umărul băieţilor este de patru ori mai mic decât umărul fetelor, să se afle umărul cocureţilor. PROF. ÎNV. PRIMAR EMILIA OPREA, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 5.6 : Produsul a două umere aturale este egal cu 96. Dacă u umăr se micșorează cu 9, iar celălalt se mărește de 4 ori, produsul u se schimbă. Să se afle umerele. PROF. ÎNV. PRIMAR MARIETA MUŞEI, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 5.7 : Se cosideră două umere aturale de două cifre astfel îcât cifra uităţilor de la al doilea umăr este jumătate di cifra zecilor primului umăr, iar ultima cifră al primului este dublul cifrei zecilor celui de al doilea. Calculaţi suma tuturor umerelor care îdepliesc aceste codiţii. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 5.8 : Demostraţi că eact două ditre cifrele, y şi z sut egale, ştiid că umărul 95 este u divizor al umărului yz zy yz yz zy zy. PROF. DOINA ŞI MIRCEA MARIO STOICA, ARAD 5.9 : Găsiţi cifrele disticte a, b, c, d, e astfel îcât să avem egalitatea: abcd eee. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 5 5. : Arătaţi că umerele de forma 4, ude, sut divizibile cu 5. PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI 5. : Să se calculeze suma: S PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 5. : Arătaţi că u eistă umere aturale care împărţite la să dea restul şi împărţite la 5 să dea restul 55. PROF. GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU : Determiați umărul abc, știid că 8 abc abc abc : Aflaţi restul împărţirii umărului 9 6 la 9. PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD 58

63 5.5 : Eistă umere aturale ab petru care avem egalitatea: ab a? PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 5.6 : Să se determie ultimele patru cifre ale umărului 8 5. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 5.7 : Determiaţi mulţimile A, B şi C, ştiid că sut îdepliite simulta codiţiile: A B C ;;; ; ; 4 B C ;., A B, A C şi 5.8 : Ordoaţi crescător umerele PROF. DOINA STOICA, LICEUL TEHNOLOGIC FRANCISC NEWMAN, ARAD a 64, b 6 şi c 65 după umărul divizorilor săi. PROF. IONELA CRISTINA SIMIONESCU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 5.9 : Suma a 8 umere aturale eule este. Arată că cel puţi două umere sut egale. PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD 5.4 : Profesorul Aritmel cere elevilor săi patru umere de două cifre. La auzul umărului 85 dă răspusul, la 6 dă, la 86 dă, iar la 6 dă 6. Află răspusul la auzul umărului 99? PROF. ÎNV. PRIMAR MARIA SIMIONESCU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 5.4 : Fie. Arătaţi că umărul a... a... este cubul uui umăr atural dacă şi de ori umai dacă umărul este multiplul umărului a. PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 5.4 : Demostraţi că aa.. a ee... e bb... b dd.. d cc... c ff... f dd... d gg.. g este u multiplu a lui, de ori de ori de ori de ori de ori de ori de ori de ori de ori dacă literele reprezită cifre disticte, a, b, c, d sut crescător cosecutive, iar e, d, f, g sut pare, cosecutive crescător. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU Clasa a VI-a 6.97 : După ore de mers cu bicicleta, mai aveam 4 kilometri pâă la jumătatea drumului. După 5 ore trecusem de jumătate cu 6 kilometri. Ce lugime are drumul pe care trebuia să-l parcurg? ÎNV. MARIANA CHELARU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 6.98 : Numerele a şi b verifică egalitatea a b a b. Demostraţi că a b sau b a. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU y z 6.99 : Află, y, z, ştiid că: şi y z 8 y z 96 y z PROF. DOINA STOICA, LICEUL TEHNOLOGIC FRANCISC NEWMAN, ARAD 6. : Fie A mulţimea umerelor de două cifre care au proprietatea că difereţa ditre umăr şi suma cifrelor sale este 45 şi B mulţimea umerelor de trei cifre al căror produs este u umăr prim. Câte submulţimi ale lui A au suma elemetelor egală cu u umăr di B? PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 59

64 6. : Aflați câte umere aturale de forma abcabcd sut divizibile cu 44. PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI 6. : Demostraţi egalitatea: : 4 : PROF. RAMONA DARIE, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 6. : Aflaţi umerele abc, ştiid că abc ab bc 5 ca, ude este u umăr atural. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 6.4 : Aflaţi multiplul lui 5 de trei cifre, care aduat cu umerele,, respectiv se obţie u multiplu de 6, 7, respectiv 8. PROF. ADINA VASILIU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ CÂRJOAIA, IAŞI 6.5 : Să se găsească două umere prime astfel îcât suma lor să fie u umăr atural impar de forma aa (Numerele sut scrise î baza ). PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI 6.6 : Rezolvaţi î următoarea ecuaţie y 6 y 5. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 6.7 : Demostraţi că cel puţi uul ditre umerele: 5 şi 5 se divide cu 7,. PROF. MIHᾺLY BENCZE, SĂCELE, BRAŞOV 6.8 : Folosid u compas şi o riglă egradată costruiţi ughiuri cogruete î jurul uui puct. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 6.9 : Suma a trei umere aturale este 7. Împărţid al treilea umăr la suma primelor două se obţie câtul şi restul. Determiaţi umerele, ştiid că cel mai mare divizor comu al primelor două umere este 9. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 6. : Fie umerele aturale eule, m, p, a m 6 p şi b 6m 9 p 4. Să se determie a şi b, ştiid că au cel mai mic multiplu comu egal cu. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 6. : Aflaţi umerele a, b, c dacă 6a 9b c şi a b 5c : Puctele A, M şi C verifică egalităţile: AC AM Demostraţi că AM 6. : Stabiliţi eisteţa ABC PROF. RAMONA DARIE, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU MC sau M este mijlocul segmetului AC. şi m CAM m ACM. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU şi, î caz afirmativ, stabiliţi atura sa dacă m BAC 5 7 şi m ACB m ABC, ude., PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 6.4 : Se cosideră puctele A, B,, C, D, E astfel îcât DE ABC ACB BAC şi D BC. Demostraţi că DE AB şi că C DE., E AC 6

65 PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU CLASA A VII-A 7.8 : Determiaţi mulţimile A, B, C şi D, ştiid că îdepliesc simulta codiţiile: A B ;;;;4 C D A B 6;, 6;, 7;, 7;, 8;, 8;,, C D 5; 6;7;8;9;, 4 A B D C ;5, ;9, 4;5, 4;9. PROF. DOINA ŞI MIRCEA MARIO STOICA, ARAD 7.8 : La îceputul primăverii, Ștefaa cumpără 5 de mărțișoare îtr-u iterval de 7 zile. Știid că î fiecare zi a cumpărat cel puți u mărțișor, să se arate că eistă u umăr de zile cosecutive î care a cumpărat î total eact 8 mărțișoare. PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI 7.8 : Fără a etrage rădăcia pătrată, să se demostreze iegalitatea: : Demostraţi că A 7.84 : Să se demostreze iegalitatea: 7.85 : Determiaţi ; di iecuaţia: PROF. GHEORGHE IACOB, LICEUL TEHNOLOGIC MIHAI BUSUIOC, PAŞCANI este u umăr iraţioal, petru. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 7.86 : Scrieţi umărul A a b c 4d ca sumă de două pătrate, ştiid că a, b, c, d sut umere îtregi cosecutive î această ordie. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 7.87 : Fie triughiul ABC şi AD BC. Se costruiesc OM bisectoarea ughiului ADB, M AB şi ON bisectoarea ughiului ADC, N AC. Dacă MN BC, determiaţi atura triughiului ABC. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 7.88 : Se cosideră îălţimea AD şi mediaele CE, BF ale triughiului ABC m BAD 9 ; a) dreptele ED şi DF sut perpediculare dacă şi umai dacă. Demostraţi că: b) patrulaterul AEDF este romb dacă şi umai dacă ABC este triughi isoscel de bază BC. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 7.89 : Fie patru pucte disticte di pla cu proprietatea că formează eact trei ughiuri drepte. Să se calculeaze suma tuturor distaţelor şi suma tuturor ughiurilor eule ce se pot forma cu aceste pucte, ştiid că cel mai mic ditre aceste ughiuri are măsura de şi cea mai mare ditre distaţe este de 8 cm. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 6

66 CLASA A VIII-A 8.69 : Demostraţi că umărul... u este atural şi că PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 8.7 : Găsiţi soluţii îtregi eule ale ecuaţiei: 6 a b c. PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA 8.7 : Arătaţi că umărul este umăr atural oricare ar fi. PROF. IULIANA BLANARU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 8.7 : Numerele raţioale eule verifică egalitatea:. Demostraţi că umărul y z y y z z A z y este pozitiv şi că A este raţioal. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 8.7 : Ştiid că ecuaţia aa bb cc are soluţii reale şi că b este media geometrică a cifrelor a şi c, să se demostreze că ecuaţia a b c are soluţii reale. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 8.74 : Să se demostreze iegalitatea: a b c a b c a b c, a, b, c ;. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 8.75 : Determiaţi toate fucţiile de gradul f : 9 cu proprietatea f f,. PROF. MIRCEA MARIO STOICA, LICEUL TEORETIC ADAM MULLER GUTTENBRUNN, ARAD 8.76 : Fie puctele de A,, B,. Dacă C este simetricul puctului A faţă de aa O, determiaţi aria triughiului ABC, siusul 8.77 : Se dă paralelipipedul dreptughic, DP BC E BP C D F ACB şi aria discului îscris triughiului ABC. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU ABCDA B C D. Dacă AC BD O,, atuci arătaţi că dreptele P OC, D F, B E, CC sut cocurete. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 8.78 : Se dă cubul ABCDABC D de muchie 6 cm şi puctele M, N, P astfel îcât M AA, AM AA, N AB, AN AA, P CC, CP AA. Determiaţi perimetrul secţiuii determiat de plaul care trece pri cele trei pucte. PROF. BOGDAN DORNEANU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 8.79 : Se dă dreptughiul ABCD, simetricul E a lui A faţă de DB. Î B se ridică perpediculara BI pe plaul dreptughiului. Ştiid că AB 8 cm, AD 6 cm, BI cm, să se calculeze: a) măsurile ughiurilor IBE, IED şi DB; IEC b) volumul şi aria totală a tetraedrului IDEB. ; 6

67 PROF. NICOLAE IVĂŞCHESCU, CRAIOVA MATEMATICA LICEALĂ CLASA A IX-A 9.76 : Se cosideră otaţia...!,. Demostraţi că S k k!! u depide de umărul atural. PROF. IONELA CRISTINA SIMIONESCU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 9.77 : Să se determie 5 umere îtregi cosecutive, dacă suma pătratelor lor este pătrat perfect. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU 9.78 : Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuația 9.79 : Determiaţi toate fucţiile de gradul f : k. PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI 9 cu proprietatea f f,. PROF. DOINA ŞI MIRCEA MARIO STOICA, ARAD 9.8 : Se cosideră umerele reale pozitive,,...,, a cu... a. Demostraţi i a că are loc iegalitatea:, ştiid că. i i i PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI 9.8 : Numerele reale pozitive verifică y y z z. Să se demostreze iegalitatea: y z y y z z 9.8 : Patrulaterul cove ABCD are ADC ABC. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS şi DC BC. Arătaţi că AC BD. PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 9.8 : Se cosideră ABC cu semiperimetrul p şi aria S şi puctele A BC, B AC şi C AB. p Ştiid că, să se demostreze că AA, BB şi CC sut cocurete î ortocetrul AA BB CC S triughiului ABC. PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 9.84 : Se cosideră ABC şi puctele M, N, P, Q astfel îcât BM MC, AN NC, AP PB. Demostraţi că BN 8 BQ MP. dacă şi umai dacă Q este mijlocul segmetului PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 9.85 : Fie ABC cu BC, AC, D AC E AB, F BD CE astfel îcât BF 4 FD şi CF FE. Arătaţi că BD este bisectoare şi CE este mediaă. AB şi puctele, PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 6

68 CLASA A X-A.49: Efectuați împărțirea i : i și determiați valoarea tg. PROF. DANA TEODORA PAVEL, ŞCOALA GIMNAZIALĂ DELENI, IAŞI 5.5: Demostraţi că are loc iegalitatea:...,. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS, petru ; : Aflaţi, ştiid că si cos si cos PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU.5: Demostraţi că are loc iegalitatea: z z z z, petru z, z. PROF. DANA TEODORA PAVEL, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU.5: Să se calculeze câte umere de cifre cu produsul cifrelor lor 6, eistă. PROF. IOAN RĂUŢU, ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU.54: Demostraţi că 4 4 cos cos cos cos, petru orice, m. m m m m PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU.55: Să se rezolve î mulţimea umerelor reale, ecuaţia: PROF. MIHAI CRĂCIUN, COLEGIUL NAŢIONAL MIHAIL SADOVEANU, PAŞCANI.56: Se cosideră îălţimea AD a triughiului ABC. Să se demostreze că CD BC BC BC AB AC DC. uică a ecuaţiei este soluţie PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU log.57: Să se rezolve î itervalul ; ecuația : log. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS CLASA A XI-A a y 4z 4.9: Discutaţi după parametrul îtreg a, compatibilitatea sistemului următor: a y 6z 6 a y 64z şi, î caz afirmativ, stabiliţi atura soluţiilor sale. PROF. MADLENA BULBOACĂ, LICEUL PEDAGOGIC DIMITRIE ŢICHINDEAL, ARAD.4: Demostraţi că fucţia f : o fucţie costată , f si cos si cos este PROF. GHEORGHE OANCEA, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU 64

69 6 6.4: Se cosideră matricele A 4 şi B demostreze dubla iegalitate: deta B detb A, ;.4: Fie matricea A I A A.. Să se PROF. AUREL NEICU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU cu proprietatea că A A. Să se demostreze că matricea 4 este iversabilă și să se afle iversa sa. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS.4: Calculaţi limita şirului, defiit pri recureţa:, PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU CLASA A XII-A.5: Pe mulţimea se defieşte legea y y 44y. Ştiid că soluţia aturală a ecuaţiei y z este şi o soluţie a sistemului: a, b, c sut rădăciile poliomului f X X X a by cz 5 b cy az 8, să se demostreze că c ay bz 8 PROF. IOAN SĂCĂLEANU, COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU.6: Se cosideră grupul comutativ G;, astfel îcât fucţia f : G G, f morfism surjectiv. Mulţimea G G y y, y G 5 Să se demostreze că 6 este u se umeşte cetrul grupului G. G, G. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS.7: Fie a şi b două şiruri de umere eegative cu următoarele proprietăţi: a şirul a este mărgiit; b b petru ; c eistă ; astfel îcât a a b petru orice Să se demostreze că a petru.. RADU PRECUP, CLUJ-NAPOCA.8: Fie f : ; o fucție care admite primitiva F cu proprietatea că Demostrați că fucția g : ; ; defiită pri g l F este bijectivă. F. PROF. MIHAELA TURNEA, LICEUL TEORETIC ION NECULCE, TÂRGU FRUMOS 65

70 RUBRICA REZOLVITORILOR Au dat soluţii corecte la PROBLEMELE PROPUSE î umărul 8 al revistei, următorii elevi: ŞCOALA GIMNAZIALĂ PETRU RAREŞ, HÂRLĂU, IAŞI CLASA A IV-A (PROF. MARIETA MUŞEI): MORUZI ALEXANDRU (8P) CLASA A V-A (PROF. BOGDAN DORNEANU): BUCUR ANTONIA(P); MIHALACHE CLAUDIU(P) ŞI ZAPAN DANIEL(P). CLASA A VI-A (PROF. OANA ALEXE): MELINTE DARIA(4P). CLASA A VII-A (PROF. PETRONELA CIOBANU): GHEORGHIAN VIVIANA(4P). CLASA A VIII-A (PROF. IOAN RĂUŢU): IOSUB MARIAN(4P) ŞI TENCHIU TEODOSIA(4P). COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU, IAŞI CLASA A V-A (PROF. GHEORGHE OANCEA): DUMITRACHE MARIA(P); SANDU IOAN-CRISTIAN(8P); SPINEI IRINA MARIA(4P); ALEXA SAMI(P); BĂHNĂREANU ANDREEA SIMONA(P); CIUBOTARU ŞTEFANA PAULA(4P); CUIBUŞ CODRUŢ ALEXANDRU(P); CURECHERIU MARIAN RĂZVAN(P); FORMAGIU JESICA(P); MIHĂILĂ ALEXANDRU(P); MOISII BOGDAN(P); PETCU ELENA GABRIELA(P); CURCĂ FLORIN ALEXANDRU(P); PRICOP ANA MARIA(P); CHIRIAC DENISA(P); ENŢUC SEBASTIAN ŞTEFAN(P) ŞI BRAN IONUŢ(P). CLASA A VI-A (PROF. GHEORGHE OANCEA): MAXIM ŞTEFAN-THEODOR(4P); PURCEL IOANA ELENA(P); AGHIORGHIESEI HORIA(P); AVORNICESEI CĂTĂLIN IONUŢ(P); CIUBUC COSMIN CONSTANTIN(P) ŞI ROIU LAVINIA MARIA(P). CLASA A VII-A (PROF. GHEORGHE OANCEA): SCUTARIU IOANA ALEXANDRA(P); CIUBUC TEODOR COSMIN(P); LEAGĂN IASMINA MARIA(P); MIHĂILĂ MARIA DENISA(P); OPREA ANASTASIA(P) ŞI VIŢELARU ALIN TEODOR(P). CLASA A VIII-A (PROF. AUREL NEICU): PAVĂL MIHAI(P);. CLASA A IX-A (PROF. IOAN SĂCĂLEANU ):COJOCARU COSMIN-CONSTANTIN(4P); GĂINĂ ANDREI(P); FILIMON ANA ROXANA(P) ŞI LĂBUŞCĂ PATRICIA PAULA(P). (PROF. RAMONA DARIE): MAXINOEA MARIA- MĂDĂLINA(P); VINTILĂ SIMONA-GEORGETA(P) CURPĂN ANDREI(P) ŞI COŞOFREŢ ŞTEFAN(P); (PROF. IONELA CRISTINA SIMIONESCU): GHEORGHIŢĂ ALEXANDRA(P); TĂTĂRUŞANU DANIELA-ŞTEFANA(4P) ŞI UNGUREANU RAMONA-ELENA(P); CLASA A X-A (PROF. IOAN SĂCĂLEANU ):CIUBUC REMUS(P) ŞI BALTAG MARISA IOANA(P). (PROF. IULIANA BLANARU):GĂINĂ ANDREEA MIHAELA(P); CIOBANU CODRUŢA DANIELA(P); CIMPOI OANA(P) ŞI LAIU MARIA(P) CLASA A XI-A (PROF. IOAN SĂCĂLEANU ) : OLARIU DUMITRU ALEXANDRU(P); PORUŞNIUC IULIANA BIANCA(P); MUNTEANU ALIN MIHĂIŢĂ(P); MURARIU MARIA(P) ŞI CIUBUC MIHAELA(P). (PROF.AUREL NEICU ): ACORNICESEI GEORGIANA(4P); COROEANU ANDREI(P); OLARU MĂDĂLINA ELENA(P); STOICA ALEXANDRA GABRIELA(5P); STOICA LAURENŢIU IONUŢ(P) ŞI ŢUGUI ANDREEA IOANA(4P); (PROF. RAMONA DARIE ): AZOIŢEI CRISTINA VASILICA(P); PUNGUŢĂ IULIANA ELVIRA(P); LUCEAC ALEXANDRA IOANA(P); PRICOPE ANA MARIA(P); ZAPAN DANIELA(P); DARIE ANDREI(P) ; CIMPOI GEORGIANA(P) ŞI TĂNASĂ ANDREI(P). (PROF. IULIANA BLANARU ):LAVRIC IONUŢ(5P). CLASA A XII-A (PROF. IOAN SĂCĂLEANU ): Mititelu Melisa(P) ŞI BOCA IOAN BOGDAN(P). (PROF. IULIANA BLANARU ):PORUŞNIUC NICOLETA(P); GAGEA PETRONELA(P); GAGEA MIHAELA(P) ŞI MARŢIN GABRIEL(P). (PROF. RAMONA DARIE ): CHIPERI GEORGIANA(P); CERNESCU RAMONA MARINELA(P); ILINCA ALEXANDRU GHEORGHE(P); PROCOVANU COSMINA ELENA(4P) ŞI ŢUŢUIANU OVIDIU DUMITRU(9P). 66

71 CONCURSUL DE CREAŢIE MATEMATICĂ AL REVISTEI CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ - 6 te ivită să îţi pui la îcercare ituiţia, perspicacitatea, creativitatea î coceperea de probleme origiale LA EDIŢIA DIN FEBRUARIE 6. Acum ai ocazia să propui şi tu probleme, u umai să rezolvi problemele propuse de alţii. Aşadar, este o ivitaţie la efort, care va fi îcuuată de satisfacţii pe măsură, petru acei elevi care au îţeles că matematica u îseamă umai probleme îcrutate de calcul, mai mult sau mai puţi asemăătoare, ci îseamă creativitate, imagiaţie, efort de gâdire, toate grefate pe o solidă pregătire teoretică. Cocursul se adresează tuturor elevilor (clasele I-XII). Elevii pot participa DOAR CU PROBLEME ORIGINALE.! Problemele care u sut origiale u vor fi publicate sau u vor participa la premiere. Fiecare problemă propusă trebuie sǎ fie îsoţită de rezolvarea completă. Epediaţi problemele folosid ua di variatele: pri POŞTĂ, pe adresa: COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÂRLĂU, STR. MIHAI EMINESCU, NR. 5 cu meţiuea PENTRU CONCURSUL CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ 6. DIRECT profesorului IOAN SĂCĂLEANU. pri , pe adresa : cicisme68@yahoo.com. Î lua februarie a fiecărui a, vor fi stabiliţi câştigătorii petru fiecare clasă. Va fi PREMIAT autorul celei mai origiale probleme. Alte iformaţii găsiţi pe site-ul liceului ÎN ATENŢIA ELEVILOR! ELEVII care vor trimite REDACŢIEI SOLUŢII CORECTE la PROBLEMELE PROPUSE î acest umăr al revistei, pâă pe..6, vor fi meţioaţi î RUBRICA REZOLVITORILOR. Se va ţie seama de următoarele reguli:. Pot trimite soluţii la MINIM PROBLEME propuse î acest umăr ; pe o foaie va fi redactată soluţia uei sigure probleme;. Elevii di clasele III VI au dreptul să trimită soluţii la PROBLEME PROPUSE pâă la clasa lor şi petru orice clasă mai mare. Elevii di clasele VII-XII pot trimite soluţii la PROBLEME PROPUSE petru clasa lor, petru orice clasă mai mare şi di DOUĂ clase mai mici, IMEDIAT ANTERIOARE.. Vor fi meţioate următorele date persoale: NUMELE ŞI PRENUMELE, TELEFON- , CLASA, ŞCOALA, LOCALITATEA ŞI PROFESORUL CLASEI. 4. Plicul cu PROBLEME REZOLVATE se va trimite pri poştă pe adresa REDACŢIEI: COLEGIUL NAŢIONAL ŞTEFAN CEL MARE, HÎRLĂU, STR. MIHAI EMINESCU, NR. 5 sau va fi adus direct PROF. IOAN SĂCĂLEANU. 67

72 MIORIŢA PARODIE MATEMATICĂ Pe-u picior de PLAN EUCLIDIAN Iată vi î cale TRANSLATÂND la vale, Trei MULŢIMI de PUNCTE Toate trei DISJUNCTE De FUNCŢII păzite Toate diferite. Ele sut tot trei: Ua-i INJECTIVA, Alta-i BIJECTIVA, Şi-alta-i SURJECTIVA. Iar cea INJECTIVĂ Şi cea SURJECTIVĂ, Mari se vorbiră Şi se sfătuiră Să rămâă treze Pâă-o să-sereze Şi s-o ANULEZE Pe cea BIJECTIVĂ, C-are PRIMITIVĂ Şi ASIMPTOTE multe Câte şi mai câte, Că e INVERSABILĂ Şi chiar DERIVABILĂ. Dar îtr-o MULŢIME Asta s-a aflat Şi s-au idigat C-ale lor cuvite Îtrec orice LIMITE. Dar de la f()-coace Uui PUNCT u-i place Să mai stea- MULŢIME Şi de treabă a se ţie. BIJECTIVA se- treba: PUNCTUL ăsta ce-o avea? Şi se duse şi îi spuse: Dragă PUNCTULEŢUL meu Ce rău, oare, îţi fac eu, Sau u-ţi place poate C-ai COORDONATE NATURALE toate? Vrei să stai mai jos Crezi că-i mai frumos? Nu vrei u` te-am pus Vrei cumva mai sus? Dragă BIJECTIVĂ Eu chiar dimpotrivă, Mă simt foarte bie Dar e rău de tie! Câd o să-sereze, Vor să te-anuleze Fucţia INJECTIVA Şi cea SURJECTIVA. Dacă s-o-tâmpla De m-or ANULA Să mă-gropi î zori Î CÂMP DE VECTORI Îtr-o VECINĂTATE Pe-aici pe-aproape Sau chiar î MULŢIME Să fiţi tot cu mie. Iar la cap să-mi pui CALCUL INTEGRAL Ori u MANUAL Sau poate-u TRATAT Cât mai ispirat Şi de l-or citi Îşi vor amiti Cei ce au uitat Că am eistat Şi voi fi propusă Î SUBIECTE iclusă Petru OLIMPIADĂ Sau BALCANIADĂ. Şi- loc de ANULAT Să le spui curat C-am INTERSECTAT Mâdrele ELIPSE Că am PUNCTE FIXE RĂDĂCINI REALE Şi IMAGINARE Şi că am DARBOUX. Dar mai află tu Că de-oi îtâli O SFERĂ bătrâă Cu u CERC de lâă Pri SPAŢIU alergâd Şi la toţi zicâd: Cie mi-a văzut Sau mi-a cuoscut O FUNCŢIE AFINĂ Cu o PANTĂ liă Bie DEFINITĂ Şi NEMĂRGINITĂ? Să te-duri de ea Şi să-i spui aşa: C-am INTERSECTAT Mâdrele ELIPSE Că am PUNCTE FIXE Rădăcii COMPLEXE Şi că am DARBOUX. Dar u-i spue tu De cele REALE Că de-i povesteşti Mult ai s-o mâheşti Şi va şti de-dat Că m-au ANULAT. Şi îcă te mai rog Ca-tre colegi bui! Tot ce am avut Tu să le adui Să le scoţi di SPAŢIUL Cu trei DIMENSIUNI, Iar tu dragul meu Să te INTEGREZI Să te ANEXEZI La altă MULŢIME Că-i greu fără mie Dar îţi va fi bie Şi vei rezista, cât va EXISTA MATEMATICA! 68

73 SUMARUL ARTICOLE ŞI NOTE MATEMATICE DESPRE ÎNCEPUTURILE BIOMATEMATICII, RADU PRECUP DE LA MINIM LA MAXIM,,, FĂRĂ ANALIZA MATEMATICĂ, ANA MĂRIOARA ŞI GHEORGHE SPIRIDON 5 NOTĂ MATEMATICĂ, IOAN SĂCĂLEANU... 8 PARADOXURILE MINCINOSULUI ŞI CAPCANELE GÂNDIRII LOGICE (III), RAMONA BUJOR ELEVII ŞI TEHNOLOGIA WEB, DUMITRU-CRISTIAN VATAVU..... VIAŢA MATEMATICǍ ZONALǍ CONCURSUL MICII MATEMATICIENI, EDIŢIA A IX-A DIN 9 MARTIE 4 RAPORT DE ACTIVITATE, EDIŢIA A IX-A... 5 REZULTATELE CONCURSULUI... 6 PROBLEMELE CONCURSULUI. SOLUŢII. BAREME DE CORECTARE... 8 TESTAREA PENTRU CLASA A V-A. VARIANTELE PROPUSE ÎN MAI CEA MAI FRUMOASĂ PROBLEMĂ PROIECTUL EDUCAŢIONAL SUPER MATE... 8 CLUBUL MICILOR MATEMATICIENILOR. RAPORT DE ACTIVITATE PROBLEME ŞI SOLUŢII SOLUŢIILE PROBLEMELOR PROPUSE ÎN NUMĂRUL 8 4 MATEMATICA PITICĂ... MATEMATICA GIMNAZIALĂ... 5 MATEMATICA LICEALĂ PROBLEME PROPUSE MATEMATICA PITICĂ MATEMATICA GIMNAZIALĂ MATEMATICA LICEALĂ... 6 RUBRICA REZOLVITORILOR CU OCHII ÎN,

74

75